Cila është përcaktorja e një sistemi ekuacionesh lineare. Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur përcaktorë
Matricë - tavolinë drejtkëndëshe, i përbërë nga numra.
Le të jepet një matricë katrore e rendit 2:
Përcaktori (ose përcaktori) i rendit 2 që korrespondon me një matricë të caktuar është numri
Një përcaktues (ose përcaktues) i rendit të tretë që korrespondon me një matricë është një numër
Shembulli 1: Gjeni përcaktorë të matricave dhe
Sistemi linear ekuacionet algjebrike
Le të jepet një sistem 3x ekuacionet lineare me 3 të panjohura
Sistemi (1) mund të shkruhet në formë matrice-vektoriale
ku A është matrica e koeficientit
B - matricë e zgjeruar
X është vektori i komponentit të kërkuar;
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën e Cramer
Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare me dy të panjohura:
Le të shqyrtojmë zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare me dy dhe tre të panjohura duke përdorur formulat e Cramer-it. Teorema 1. Nëse përcaktori kryesor i sistemit është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje, dhe një unike. Zgjidhja e sistemit përcaktohet nga formula:
ku x1, x2 janë rrënjët e sistemit të ekuacioneve,
Përcaktori kryesor i sistemit, x1, x2 janë përcaktorë ndihmës.
Kualifikuesit ndihmës:
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare me tre të panjohura duke përdorur metodën e Cramer-it.
Le të jepet një sistem ekuacionesh lineare me tre të panjohura:
Teorema 2. Nëse përcaktori kryesor i sistemit është i ndryshëm nga zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje, dhe një unike. Zgjidhja e sistemit përcaktohet nga formula:
ku x1, x2, x3 janë rrënjët e sistemit të ekuacioneve,
Përcaktuesi kryesor i sistemit,
x1, x2, x3 janë përcaktorë ndihmës.
Përcaktori kryesor i sistemit përcaktohet nga:
Kualifikuesit ndihmës:
- 1. Bëni një tabelë (matricë) të koeficientëve për të panjohurat dhe llogaritni përcaktorin kryesor.
- 2. Gjeni - një përcaktues shtesë i x-së i marrë nga zëvendësimi i kolonës së parë me një kolonë anëtarë të lirë.
- 3. Gjeni - një përcaktor shtesë i y, i marrë duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë.
- 4. Gjeni - një përcaktor shtesë i z, i marrë duke zëvendësuar kolonën e tretë me një kolonë me terma të lirë. Nëse përcaktori kryesor i sistemit nuk është e barabartë me zero, më pas kryeni hapin 5.
- 5. Gjeni vlerën e ndryshores x duke përdorur formulën x / .
- 6. Gjeni vlerën e ndryshores y duke përdorur formulën y /.
- 7. Gjeni vlerën e ndryshores z duke përdorur formulën z / .
- 8. Shkruani përgjigjen: x=...; y=…, z=….
- Sistemet m ekuacionet lineare me n i panjohur.
Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare- ky është një grup i tillë numrash ( x 1, x 2, …, x n), kur zëvendësohet në secilin nga ekuacionet e sistemit, fitohet barazia e saktë.
Ku a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n— koeficientët e sistemit;
b i, i = 1, …, m- anëtarë të lirë;
x j, j = 1, …, n- e panjohur.
Sistemi i mësipërm mund të shkruhet në formë matrice: A X = B,
ku ( A|B) është matrica kryesore e sistemit;
A— matrica e zgjeruar e sistemit;
X- kolona e të panjohurave;
B— kolona e anëtarëve të lirë.
Nëse matrica B atëherë nuk është një matricë null ∅ këtë sistem ekuacionet lineare quhen johomogjene.
Nëse matrica B= ∅, atëherë ky sistem ekuacionesh lineare quhet homogjen. Një sistem homogjen ka gjithmonë një zgjidhje zero (të parëndësishme): x 1 = x 2 = …, x n = 0.
Sistemi i përbashkët i ekuacioneve lineareështë një sistem ekuacionesh lineare që ka një zgjidhje.
Sistemi jokonsistent i ekuacioneve lineareështë një sistem i pazgjidhshëm ekuacionesh lineare.
Një sistem i caktuar ekuacionesh lineare- po ka e vetmja zgjidhje sistemi i ekuacioneve lineare.
Sistemi i pacaktuar ekuacionesh lineare- po ka grup i pafund zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh lineare. - Sistemet e n ekuacioneve lineare me n të panjohura
Nëse numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve, atëherë matrica është katrore. Përcaktori i një matrice quhet përcaktor kryesor i një sistemi ekuacionesh lineare dhe shënohet me simbolin Δ.
Metoda Cramer për zgjidhjen e sistemeve n ekuacionet lineare me n i panjohur.
Rregulli i Kramerit.
Nëse përcaktori kryesor i një sistemi ekuacionesh lineare nuk është i barabartë me zero, atëherë sistemi është konsistent dhe i përcaktuar, dhe zgjidhja e vetme llogaritet duke përdorur formulat Cramer:
ku Δ i janë përcaktorë të përftuar nga përcaktorja kryesore e sistemit Δ duke zëvendësuar i kolona th në kolonën e anëtarëve të lirë. . - Sisteme m ekuacionesh lineare me n të panjohura
Teorema Kronecker–Capelli.
Në mënyrë që një sistem i caktuar ekuacionesh lineare të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës së sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar të sistemit, rang(Α) = rang(Α|B).
Nëse rang(Α) ≠ rang(Α|B), atëherë sistemi padyshim nuk ka zgjidhje.
Nëse rang(Α) = rang(Α|B), atëherë janë të mundshme dy raste:
1) rang(Α) = n(numri i të panjohurave) - zgjidhja është unike dhe mund të merret duke përdorur formulat e Cramer;
2) gradë (Α)< n - ka pafundësisht shumë zgjidhje. - Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare
Le të krijojmë një matricë të zgjeruar ( A|B) të një sistemi të dhënë nga koeficientët e të panjohurave dhe të anëve të djathta.
Metoda Gaussian ose metoda e eliminimit të të panjohurave konsiston në zvogëlimin e matricës së zgjeruar ( A|B) duke përdorur transformime elementare mbi rreshtat e tij në një formë diagonale (në pjesën e sipërme pamje trekëndore). Duke u kthyer në sistemin e ekuacioneve, përcaktohen të gjitha të panjohurat.
Transformimet elementare mbi vargjet përfshijnë si më poshtë:
1) ndërroni dy rreshta;
2) shumëzimi i një vargu me një numër të ndryshëm nga 0;
3) shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar;
4) hedhja e një rreshti zero.
Një matricë e zgjeruar e reduktuar në formë diagonale korrespondon me një sistem linear ekuivalent me atë të dhënë, zgjidhja e të cilit nuk shkakton vështirësi. . - Sistemi i ekuacioneve lineare homogjene.
Një sistem homogjen ka formën:
korrespondon me të ekuacioni i matricës A X = 0.
1) Një sistem homogjen është gjithmonë i qëndrueshëm, pasi r(A) = r(A|B), ekziston gjithmonë zgjidhje zero (0, 0, …, 0).
2) Në mënyrë që të sistem homogjen kishte një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që r = r(A)< n , e cila është ekuivalente me Δ = 0.
3) Nëse r< n , atëherë padyshim Δ = 0, atëherë lindin të panjohura të lira c 1, c 2, …, c n-r, sistemi ka zgjidhje jo të parëndësishme dhe ka pafundësisht shumë prej tyre.
4) Zgjidhja e përgjithshme X në r< n mund të shkruhet në formë matrice si më poshtë:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
ku janë zgjidhjet X 1 , X 2 , …, X n-r formojnë një sistem themelor zgjidhjesh.
5) Sistemi themelor zgjidhjet mund të merren nga zgjidhje e përgjithshme sistem homogjen:
,
nëse vendosim në mënyrë sekuenciale vlerat e parametrave të barabarta me (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
Zgjerimi i zgjidhjes së përgjithshme për sa i përket sistemit themelor të zgjidhjeveështë një regjistrim i një zgjidhjeje të përgjithshme në formën e një kombinimi linear të zgjidhjeve që i përkasin sistemit themelor.
Teorema. Në mënyrë që sistemi linear ekuacionet homogjene kishte një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Δ ≠ 0.
Pra, nëse përcaktorja Δ ≠ 0, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike.
Nëse Δ ≠ 0, atëherë sistemi i ekuacioneve homogjene lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Teorema. Në mënyrë që një sistem homogjen të ketë një zgjidhje jozero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që r(A)< n .
Dëshmi:
1) r nuk mund të ketë më shumë n(grada e matricës nuk e kalon numrin e kolonave ose rreshtave);
2) r< n , sepse Nëse r = n, atëherë përcaktori kryesor i sistemit Δ ≠ 0, dhe, sipas formulave të Cramer-it, ekziston një zgjidhje unike e parëndësishme x 1 = x 2 = … = x n = 0, që bie ndesh me kushtin. Mjetet, r(A)< n .
Pasoja. Për një sistem homogjen n ekuacionet lineare me n të panjohurat kishin një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që Δ = 0.
1.1. Sistemet e dy ekuacioneve lineare dhe përcaktuesve të rendit të dytë
Konsideroni një sistem me dy ekuacione lineare me dy të panjohura:
Shanset 
me të panjohura 
Dhe 
kanë dy indekse: i pari tregon numrin e ekuacionit, i dyti - numrin e ndryshueshëm.
Rregulli i Cramer: Zgjidhja e sistemit gjendet duke pjesëtuar përcaktorët ndihmës me përcaktorin kryesor të sistemit.
,
Shënim 1. Përdorimi i rregullit të Cramer-it është i mundur nëse përcaktuesi i sistemit 
jo e barabartë me zero.
Shënim 2. Formulat e Cramer janë të përgjithësuara në sisteme të rendit më të lartë.
Shembulli 1. Zgjidheni sistemin: 
.
Zgjidhje.
;
;
;
Ekzaminimi:
konkluzioni: Sistemi është zgjidhur saktë: 
.
1.2. Sisteme me tre ekuacione lineare dhe përcaktorë të rendit të tretë
Konsideroni një sistem prej tre ekuacionesh lineare me tre të panjohura:
Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktuesi i sistemit ose përcaktori kryesor:
.
Nëse 
atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, e cila përcaktohet nga formula e Cramer:
ku janë përcaktorët 
– quhen ndihmëse dhe fitohen nga përcaktorja 
duke zëvendësuar kolonën e tij të parë, të dytë ose të tretë me një kolonë anëtarësh të lirë të sistemit.
Shembulli 2. Zgjidheni sistemin 
.
Le të formojmë përcaktorët kryesorë dhe ndihmës:
Mbetet të merren parasysh rregullat për llogaritjen e përcaktuesve të rendit të tretë. Janë tre prej tyre: rregulli i shtimit të kolonave, rregulli Sarrus, rregulli i dekompozimit.
a) Rregulli për shtimin e dy kolonave të para në përcaktorin kryesor:
Llogaritja kryhet si më poshtë: produktet e elementeve të diagonales kryesore dhe paraleleve me të shkojnë me shenjën e tyre me shenjën e kundërt, merren produktet e elementeve të diagonales dytësore dhe paraleleve me të.
b) Rregulli i Sarrus:
Me shenjën e tyre, merrni produktet e elementeve të diagonales kryesore dhe përgjatë paraleleve me të, dhe elementi i tretë që mungon merret nga këndi i kundërt. Me shenjën e kundërt merren produktet e elementeve të diagonales dytësore dhe paralelet me të, elementi i tretë merret nga këndi i kundërt.
c) Rregulla e zbërthimit sipas elementeve të një rreshti ose kolone:
Nëse 
, Pastaj.
Komplement algjebrikështë një përcaktues i rendit më të ulët që merret duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën përkatëse dhe duke marrë parasysh shenjën 
, Ku 
- numri i linjës, 
- numri i kolonës.
Për shembull,
,
,
etj.
Duke përdorur këtë rregull, ne llogarisim përcaktorët ndihmës 
Dhe 
, duke i zgjeruar ato sipas elementeve të rreshtit të parë.
Pasi kemi llogaritur të gjithë përcaktuesit, gjejmë variablat duke përdorur rregullin e Cramer:
Ekzaminimi:
konkluzioni: sistemi është zgjidhur drejt: .
Vetitë themelore të përcaktorëve
Duhet mbajtur mend se përcaktori është numri, gjendet sipas disa rregullave. Llogaritja e tij mund të thjeshtohet nëse përdorim vetitë bazë që janë të vlefshme për përcaktuesit e çdo rendi.
Prona 1. Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse të gjitha rreshtat e tij zëvendësohen me kolona që korrespondojnë në numër dhe anasjelltas.
Operacioni i zëvendësimit të rreshtave me kolona quhet transpozim. Nga kjo veti del se çdo pohim që është i vërtetë për rreshtat e përcaktorit do të jetë i vërtetë edhe për kolonat e tij.
Prona 2. Nëse dy rreshta (kolona) në përcaktor ndërrohen, shenja e përcaktorit do të ndryshojë në të kundërtën.
Prona 3. Nëse të gjithë elementët e çdo rreshti të një përcaktori janë të barabartë me 0, atëherë përcaktorja është e barabartë me 0.
Prona 4.
Nëse elementet e vargut përcaktor shumëzohen (pjestohen) me ndonjë numër 
, atëherë vlera e përcaktorit do të rritet (zvogëlohet) në 
një herë.
Nëse elementet e një rreshti kanë një faktor të përbashkët, atëherë ai mund të hiqet nga shenja përcaktuese.
Prona 5. Nëse një përcaktor ka dy rreshta identikë ose proporcionalë, atëherë një përcaktor i tillë është i barabartë me 0.
Prona 6. Nëse elementet e çdo rreshti të një përcaktori janë shuma e dy termave, atëherë përcaktorja është e barabartë me shumën e dy përcaktorëve.
Prona 7. Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse elementet e një rreshti u shtohen elementeve të një rreshti tjetër, shumëzuar me të njëjtin numër.
Në këtë përcaktor, së pari rreshti i tretë u shtua në rreshtin e dytë, shumëzuar me 2, pastaj i dyti u zbrit nga kolona e tretë, pas së cilës rreshti i dytë u shtua në të parën dhe të tretën, si rezultat kemi marrë shumë zero dhe thjeshtoi llogaritjen.
Elementare transformimet përcaktor quhet thjeshtimi i tij nëpërmjet përdorimit të vetive të specifikuara.
Shembulli 1. Llogaritni përcaktorin
Llogaritja e drejtpërdrejtë sipas një prej rregullave të diskutuara më sipër çon në llogaritje të rënda. Prandaj, këshillohet të përdorni pronat:
a) nga rreshti 1, zbrit të dytën, shumëzuar me 2;
b) nga rreshti II zbres i treti, shumëzuar me 3.
Si rezultat marrim:
Le ta zgjerojmë këtë përcaktor në elementet e kolonës së parë, e cila përmban vetëm një element jo zero.
.
Sistemet dhe përcaktuesit e rendit më të lartë
sistemi 
ekuacionet lineare me 
të panjohurat mund të shkruhen si më poshtë:
Për këtë rast, është gjithashtu e mundur të përcaktohen përcaktuesit kryesorë dhe ndihmës, dhe të përcaktohen të panjohurat duke përdorur rregullën e Cramer. Problemi është se përcaktorët e rendit më të lartë mund të llogariten vetëm duke ulur rendin dhe duke i reduktuar në përcaktues të rendit të tretë. Kjo mund të bëhet me zbërthim të drejtpërdrejtë në elemente rreshtash ose kolonash, si dhe me anë të transformimeve elementare paraprake dhe zbërthimit të mëtejshëm.
Shembulli 4. Llogaritni përcaktorin e rendit të katërt
Zgjidhje mund ta gjejmë në dy mënyra:
a) me zgjerim të drejtpërdrejtë në elementët e rreshtit të parë:
b) nëpërmjet transformimeve paraprake dhe zbërthimit të mëtejshëm
|
|
a) nga rreshti I zbres III |
|
|
b) shtoni rreshtin II në IV |
Shembulli 5. Llogaritni përcaktorin e rendit të pestë, duke marrë zero në rreshtin e tretë duke përdorur kolonën e katërt
|
|
nga rreshti i parë zbresim të dytin, nga i treti zbresim të dytin, nga i katërti zbresim të dytin shumëzuar me 2. |
zbrit të tretën nga kolona e dytë: 
zbrit të tretën nga rreshti i dytë: 
Shembulli 6. Zgjidheni sistemin:
Zgjidhje. Le të përpilojmë një përcaktor të sistemit dhe, duke përdorur vetitë e përcaktorëve, ta llogarisim atë:
(nga rreshti i parë zbresim të tretën, dhe më pas në përcaktuesin e rendit të tretë që rezulton nga kolona e tretë zbresim të parën, shumëzuar me 2). Përcaktues 
Prandaj, formulat e Cramer janë të zbatueshme.
Le të llogarisim përcaktuesit e mbetur:
Kolona e katërt u shumëzua me 2 dhe u zbrit nga pjesa tjetër
Kolona e katërt u zbrit nga e para, dhe më pas, shumëzuar me 2, u zbrit nga kolona e dytë dhe e tretë.
.
Këtu kemi kryer të njëjtat transformime si për 
.
.
Kur të gjeni 
kolona e parë është shumëzuar me 2 dhe është zbritur nga pjesa tjetër.
Sipas rregullit të Cramer-it kemi:
Pas zëvendësimit të vlerave të gjetura në ekuacione, ne jemi të bindur se zgjidhja e sistemit është e saktë.
2. MATRICAT DHE PËRDORIMI I TYRE
NË ZGJIDHJEN E SISTEMEVE TË EKUACIONET LINEARE
Ligjërata 1.1.Matricat numerike dhe veprimet mbi to.
Përmbledhje:Vendi algjebër lineare Dhe gjeometria analitike në shkencën e natyrës. Roli i shkencëtarëve vendas në zhvillimin e këtyre shkencave. Koncepti i një matrice. Veprimet mbi matricat dhe vetitë e tyre.
Tabela e numrave të formës quhet drejtkëndore matricë dimensionet. Matricat tregohen me shkronja të mëdha me shkronja latine A, B, C, ...Thirren numrat që përbëjnë tabelën elementet matricat. Çdo element ka dy indekse dhe , duke treguar përkatësisht numrin e rreshtit () dhe numrin e kolonës () në të cilën ndodhet këtë element. Përdoret shënimi i mëposhtëm i matricës.
Të dy matricat quhen të barabartë , nëse kanë të njëjtin dimension (d.m.th. të njëjtin numër rreshtave dhe kolonave) dhe nëse numrat në vendet përkatëse të këtyre matricave janë të barabartë.
Nëse numri i rreshtave të një matrice është i barabartë me numrin e kolonave të saj, matrica quhet katrore
. Në një matricë katrore, numri i rreshtave (ose kolonave) quhet rendi i matricës. Në veçanti, një matricë katrore e rendit të parë është thjesht numër real. Prandaj ata thonë se linjë vektoriale
është një matricë e dimensionit , dhe vektor kolone
ka dimension.
Elementet e vendosura në diagonalen kryesore të një matrice katrore (duke shkuar nga lart majtas në të djathtë këndi i poshtëm), quhen diagonale .
Quhet një matricë katrore, elementët e së cilës nuk janë të gjithë në diagonalen kryesore 0 diagonale .
Matrica diagonale, të gjithë elementët diagonalë të të cilëve janë të barabartë me 1, dhe të gjithë elementët jashtë diagonalë janë të barabartë me 0, quhet beqare dhe shënohet me ose , ku n është rendi i tij.
Operacionet bazë mbi matricat janë shtimi i matricave dhe shumëzimi i një matrice me një numër.
Puna matricat A numri është një matricë e të njëjtit dimension me matricën A, çdo element i të cilit shumëzohet me këtë numër.
Për shembull: 
; 
.
Vetitë e veprimit të shumëzimit të një matrice me një numër:
1.l (m A )=(lm) A (shoqërim)
2.l( A +NË )= l A +l NË (shpërndarja në lidhje me shtimin e matricës)
3. (l+m) A =)=l A +m A (shpërndarja në lidhje me mbledhjen e numrave)
Kombinimi linear i matricave A Dhe NË me të njëjtën madhësi është shprehje e formës: a A +b NË , ku a,b - numra arbitrar
Matrica e shumës Dhe NË (ky veprim është i zbatueshëm vetëm për matricat e të njëjtit dimension) quhet matricë ME të të njëjtit dimension, elementët e të cilit janë të barabartë me shumat e elementeve përkatëse të matricës A Dhe NË .
Karakteristikat e mbledhjes së matricës:
1)A +NË =NË +A (komutativiteti)
2)(A +NË )+ME =A +(NË +ME )=A +NË +ME (shoqërim)
Matrica e diferencës Dhe NË (ky veprim është i zbatueshëm vetëm për matricat e të njëjtit dimension) quhet matricë C e të njëjtit dimension, elementët e së cilës janë të barabartë me diferencën e elementeve përkatëse të matricës. A Dhe NË .
Transpozoni. Nëse elementet e çdo rreshti të një matrice të dimensioneve janë shkruar në të njëjtin rend në kolonat e një matrice të re, dhe numri i kolonës është i barabartë me numrin e rreshtit, atëherë matricë e re quhet transpozuar në lidhje me dhe tregon . Dimensioni është Kalimi nga në quhet transpozim. Është gjithashtu e qartë se. 
, 
Shumëzimi i matricës. Operacioni i shumëzimit të matricës është i mundur vetëm nëse numri i kolonave të faktorit të parë është i barabartë me numrin e rreshtave të të dytit. Si rezultat i shumëzimit, marrim një matricë, numri i rreshtave të së cilës përkon me numrin e rreshtave të faktorit të parë, dhe numrin e kolonave me numrin e kolonave të të dytit: 
Rregulla e shumëzimit të matricës: për të përftuar një element në rreshtin e katërt dhe kolonën e produktit të dy matricave, duhet të shumëzoni elementet e rreshtit të matricës së parë me elementët e kolonës së dytë të matricës së dytë dhe të shtoni produktet që rezultojnë. Në zhargonin matematikor ata ndonjëherë thonë: ju duhet të shumëzoni rreshtin e th të matricës me kolonën e th të matricës. Është e qartë se rreshti i matricës së parë dhe kolona e dytë duhet të përmbajnë të njëjtin numër elementesh.
Në ndryshim nga këto operacione, operacioni i shumëzimit matricë-matricë është më i vështirë për t'u përcaktuar. Le të jepen dy matrica A Dhe NË , dhe numri i kolonave të së parës prej tyre është i barabartë me numrin e rreshtave të të dytës: për shembull, matrica A ka dimensionin dhe matricën NË – dimension. Nëse
, 
, pastaj matrica e dimensioneve
, ku (i=1,…,m;j=1,…,k)
i quajtur produkti i matricës A te matrica NË dhe është caktuar AB .
Vetitë e veprimit të shumëzimit të matricës:
1. (AB)C=A(BC)=ABC (shoqërim)
2. (A+B)C=AC+BC (shpërndarja)
3. A(B+C)=AB+A (shpërndarja)
4. Shumëzimi i matricës është jokomutativ: AB jo të barabartë VA ., nëse janë të barabarta, atëherë këto matrica quhen komutative.
Transformimet elementare mbi matricat:
1. Ndërroni dy rreshta (kolona)
2. Shumëzimi i një rreshti (kolone) me një numër të ndryshëm nga zero
3. Shtimi në elementet e një rreshti (kolone) të elementeve të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me çdo numër.
Ligjërata 1.2.Përcaktorë me koeficientë realë. Gjetja matricë e anasjelltë.
Përmbledhje:Përcaktuesit dhe vetitë e tyre. Metodat e llogaritjes së përcaktorëve me koeficientë realë. Gjetja e matricës së kundërt për matricat e rendit të tretë.
Koncepti i një përcaktori prezantohet vetëm për një matricë katrore. Përcaktues - Kjo numri, e cila është plotësisht rregulla të caktuara dhe shënohet me ose det A .
Përcaktues matricat rendit të dytë është kështu: ose
Përcaktori i rendit të tretë numri quhet:
.
Për të kujtuar këtë formulë të rëndë, ekziston "rregulli i trekëndëshave":
Ju gjithashtu mund të llogaritni duke përdorur një metodë tjetër - metodën e dekompozimit sipas rreshtit ose kolonës. Le të paraqesim disa përkufizime:
Të mitur matricë katrore A
quhet përcaktor i matricës A
, e cila përftohet duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën e th: për shembull, për të vogla - 
.
Komplement algjebrik elementi i përcaktorit quhet minor i tij, i marrë me shenjën e vet nëse shuma e numrave të rreshtit dhe kolonës në të cilën ndodhet elementi është çift, dhe me shenjën e kundërt nëse shuma e numrave është tek: .
Pastaj: Përcaktori i rendit të tretë e barabartë me shumën prodhimet e elementeve të çdo kolone (rreshti) nga plotësimet e tyre algjebrike.
PR: Le të llogarisim përcaktorin: duke e zgjeruar në elementët e rreshtit të parë.
Vetitë e përcaktorëve:
1. Përcaktori është i barabartë me 0 nëse përmban dy rreshta (kolona) identike ose një rresht zero (kolona).
2. Përcaktorja ndryshon shenjën e saj kur dy rreshta (kolona) riorganizohen.
3.Shumëzuesi total në një rresht (në një kolonë) mund të nxirret si shenjë përcaktuese.
4. Përcaktori nuk ndryshon nëse një rreshti (kolona) i shtohet ndonjë rresht tjetër (një kolonë tjetër) i shumëzuar me një numër arbitrar.
5. Përcaktori nuk ndryshon kur matrica transpozohet.
6. Përcaktori i matricës së identitetit është 1:
7. Përcaktor i prodhimit të matricave e barabartë me produktin përcaktuesit
Matrica e anasjelltë.
Matrica katrore quhet jo i degjeneruar, nëse përcaktorja e saj është e ndryshme nga zero.
Nëse, gjatë shumëzimit të matricave katrore A Dhe NË funksionon në çdo mënyrë matrica e identitetit (AB=BA=E ), pastaj matrica NË quhet matrica e anasjelltë e matricës A dhe shënohet me , d.m.th. .
Teorema.Çdo matricë jo njëjës ka një të anasjelltë.
Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt:
Matrica e anasjelltë. Një matricë katrore thuhet se është jo njëjës nëse përcaktorja e saj është jo zero. NË ndryshe quhet i degjeneruar .
Anasjellta e një matrice shënohet me. Nëse matrica e anasjelltë ekziston, atëherë ajo është unike dhe 
Ku është bashkëngjitja (bashkësia), e përbërë nga shtesa algjebrike j: 
Atëherë përcaktori i matricës së kundërt lidhet me përcaktorin e kësaj matrice me relacionin e mëposhtëm: . Në fakt, 
, nga e cila rrjedh kjo barazi.
Karakteristikat e një matrice të anasjelltë:
1. 
, ku janë jo të degjeneruara matricat katrore të njëjtin rend.
3. 
.
4. 
Ligjërata 1.3.Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer, metodat e Gausit dhe llogaritjen e matricës.
Përmbledhje:Metoda e Kramerit dhe metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare. Metoda e matricës zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve. Rangu i matricës. Teorema Kronecker-Capelli. Sistemi themelor i zgjidhjeve. Sistemet homogjene dhe heterogjene.
Sistemi i ekuacioneve llojin e mëposhtëm:
(*) , ku quhet , ‑ koeficientët, ‑ variabla sistemi i ekuacioneve lineare. Të zgjidhësh një sistem ekuacionesh lineare do të thotë të tregosh të gjitha zgjidhjet e sistemit, d.m.th. grupe të tilla vlerash variablash që i kthejnë ekuacionet e sistemit në identitete. Sistemi i ekuacioneve lineare quhet.
DEGA KOSTROMA E UNIVERSITETIT USHTARAK TË MBROJTJES SË RCB
Departamenti i Automatizimit të Kontrollit të Trupave
Vetëm për mësuesit
"Unë e miratoj"
Shef i Departamentit Nr.9
Koloneli YAKOVLEV A.B.
"____"______________ 2004
Profesor i asociuar A.I. SMIRNOVA
“KUALIFIKATET.
ZGJIDHJA E SISTEMEVE TË EKUACIONET LINEARE"
LEKTURA Nr. 2 / 1
Diskutuar në mbledhjen e departamentit nr. 9
"____"___________ 2004
Protokolli nr.___________
Kostroma, 2004.
Hyrje
1. Përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë.
2. Vetitë e përcaktorëve. Teorema e zbërthimit.
3. Teorema e Kramerit.
konkluzioni
Letërsia
1. V.E. Schneider et al. Kursi i shkurtër Matematika e Lartë, Vëllimi I, K. 2, paragrafi 1.
2. V.S. Shchipachev, Matematikë e lartë, kapitulli 10, paragrafi 2.
HYRJE
Leksioni diskuton përcaktorët e rendit të dytë dhe të tretë dhe vetitë e tyre. Dhe gjithashtu teorema e Cramer, e cila ju lejon të zgjidhni sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur përcaktorë. Përcaktorët përdoren gjithashtu më vonë në temën " Algjebër vektoriale" gjatë llogaritjes produkt vektorial vektorët.
Pyetja e parë studimore PËRCAKTORËT E TË DYTËS DHE TË TRETËS
POROSI
Konsideroni një tabelë me katër numra të formularit
Numrat në tabelë tregohen me një shkronjë me dy tregues. Indeksi i parë tregon numrin e rreshtit, i dyti numrin e kolonës.
PËRKUFIZIM 1. Përcaktues i rendit të dytë thirrur shprehje lloji :
(1)
Numrat A 11, …, A 22 quhen elemente të përcaktorit.
Diagonale, të formuara nga elementë A 11 ; A 22 quhet kryesori, dhe diagonalja e formuar nga elementët A 12 ; A 21 - krah për krah.
Kështu, përcaktori i rendit të dytë është i barabartë me ndryshimin e produkteve të elementeve të diagonaleve kryesore dhe dytësore.
Vini re se përgjigja është një numër.
SHEMBUJ. Llogaritni:
Tani merrni parasysh një tabelë me nëntë numra, të shkruar në tre rreshta dhe tre kolona:
PËRKUFIZIM 2. Përcaktori i rendit të tretë quhet shprehje e formës :
Elementet A 11; A 22 ; A 33 - formoni diagonalen kryesore.
Numrat A 13; A 22 ; A 31 - formoni një diagonale anësore.
Le të përshkruajmë në mënyrë skematike se si formohen termat plus dhe minus:
" + " " – "
Plus përfshin: produktin e elementeve në diagonalen kryesore, dy termat e mbetur janë prodhimi i elementeve të vendosura në kulmet e trekëndëshave me baza paralele me diagonalen kryesore.
Termat minus formohen sipas të njëjtës skemë në lidhje me diagonalen dytësore.
Ky rregull për llogaritjen e përcaktorit të rendit të tretë quhet
Rregulli T reugolnikov.
SHEMBUJ. Llogaritni duke përdorur rregullin e trekëndëshit:
KOMENT. Përcaktorët quhen edhe përcaktorë.
Pyetja e dytë studimore VETITË E PËRCAKTORËVE.
TEOREMA E ZGJERIMIT
Prona 1. Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse rreshtat e tij ndërrohen me kolonat përkatëse.
.
Duke zbuluar të dy përcaktuesit, ne jemi të bindur për vlefshmërinë e barazisë.
Vetia 1 përcakton barazinë e rreshtave dhe kolonave të përcaktorit. Prandaj gjithçka pronat e mëtejshme Ne do të formulojmë përcaktorin si për rreshtat ashtu edhe për kolonat.
Prona 2. Kur riorganizoni dy rreshta (ose kolona), përcaktori ndryshon shenjën e tij në atë të kundërt, duke ruajtur vlerën e tij absolute. .
.
Prona 3. Faktori i përbashkët i elementeve të rreshtit (ose kolonë)mund të nxirret si shenjë përcaktuese.
.
Prona 4. Nëse përcaktori ka dy rreshta (ose kolona) identike, atëherë ai është i barabartë me zero.
Kjo pronë mund të vërtetohet me verifikim të drejtpërdrejtë, ose mund të përdorni pronën 2.
Le ta shënojmë përcaktorin me D. Kur rirregullohen dy rreshtat e parë dhe të dytë identikë, ai nuk do të ndryshojë, por sipas vetive të dytë duhet të ndryshojë shenjë, d.m.th.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Prona 5. Nëse të gjithë elementët e një vargu (ose kolonë)janë të barabarta me zero, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.
Kjo pronë mund të konsiderohet si rast i veçantë pronat 3 në
Prona 6. Nëse elementet e dy vijave (ose kolona)përcaktorët janë proporcionalë, atëherë përcaktorja është e barabartë me zero.
.
Mund të vërtetohet me verifikim të drejtpërdrejtë ose duke përdorur vetitë 3 dhe 4.
Prona 7. Vlera e përcaktorit nuk do të ndryshojë nëse elementet përkatëse të një rreshti (ose kolone) tjetër u shtohen elementeve të një rreshti (ose kolone), të shumëzuar me të njëjtin numër.
.
E vërtetuar me verifikim të drejtpërdrejtë.
Përdorimi i këtyre vetive në disa raste mund të lehtësojë procesin e llogaritjes së përcaktorëve, veçanërisht të rendit të tretë.
Për atë që vijon do të na duhen konceptet e minorit dhe komplementit algjebrik. Le t'i shqyrtojmë këto koncepte për të përcaktuar rendin e tretë.
PËRKUFIZIM 3. Të mitur i një elementi të caktuar të një përcaktori të rendit të tretë quhet përcaktor i rendit të dytë i marrë nga një element i caktuar duke kryqëzuar rreshtin dhe kolonën në kryqëzimin e të cilave qëndron elementi i dhënë.
Element i vogël A i j shënohet me M i j. Pra, për elementin A 11 e mitur
Përftohet duke kryqëzuar rreshtin e parë dhe kolonën e parë në përcaktorin e rendit të tretë.
PËRKUFIZIM 4. Plotësues algjebrik i elementit të përcaktorit e quajnë të vogël shumëzuar me (-1)k , Ku k - shuma e numrave të rreshtave dhe kolonave në kryqëzimin e të cilave qëndron ky element.
Komplement algjebrik i një elementi A i j shënohet me A i j .
Kështu, A i j =
.Le të shkruajmë shtesat algjebrike për elementet A 11 dhe A 12.
.
.
Një rregull i dobishëm për t'u mbajtur mend: plotësues algjebrik elementi i përcaktorit është i barabartë me minorën e saj të nënshkruar plus, nëse shuma e numrave të rreshtave dhe kolonave në të cilat shfaqet elementi është madje, dhe me një shenjë minus, nëse kjo shumë i çuditshëm .
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve