Çfarë do të thotë fuqia minus e një numri? Fuqia me bazë negative

Ngritja në një fuqi negative është një nga elementët bazë të matematikës, i cili shpesh gjendet në zgjidhjen e problemeve algjebrike. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.

Si të ngrihet në një fuqi negative - teori

Kur e ngremë një numër në një fuqi të zakonshme, e shumëzojmë vlerën e tij disa herë. Për shembull, 3 3 = 3×3×3 = 27. Me një thyesë negative e kundërta është e vërtetë. Formula e përgjithshme e formulës do të jetë si më poshtë: a -n = 1/a n. Kështu, për të ngritur një numër në një fuqi negative, duhet të pjesëtoni një me numrin e dhënë, por me një fuqi pozitive.

Si të ngrihet në një fuqi negative - shembuj për numrat e zakonshëm

Duke mbajtur parasysh rregullin e mësipërm, le të zgjidhim disa shembuj.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Përgjigje: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Përgjigje -4 -2 = 1/16.

Por pse përgjigjet në shembullin e parë dhe të dytë janë të njëjta? Fakti është se kur një numër negativ ngrihet në një fuqi çift (2, 4, 6, etj.), Shenja bëhet pozitive. Nëse shkalla do të ishte e barabartë, atëherë minusi do të mbetej:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Si të ngrini numrat nga 0 në 1 në një fuqi negative

Kujtoni se kur një numër midis 0 dhe 1 rritet në një fuqi pozitive, vlera zvogëlohet me rritjen e fuqisë. Kështu për shembull, 0.5 2 = 0.25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Shembulli 3: Llogaritni 0,5 -2
Zgjidhja: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Përgjigje: 0,5 -2 = 4

Analiza (sekuenca e veprimeve):

• Shndërroje thyesën dhjetore 0,5 në thyesën thyesore 1/2. Është më e lehtë kështu.
  Ngrini 1/2 në një fuqi negative. 1/(2) -2 . Ndani 1 me 1/(2) 2, marrim 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Shembulli 4: Llogarit 0,5 -3
Zgjidhje: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Shembulli 5: Llogaritni -0,5 -3
Zgjidhje: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Përgjigje: -0,5 -3 = -8

Bazuar në shembujt e 4-të dhe të 5-të, mund të nxjerrim disa përfundime:

• Për një numër pozitiv në rangun nga 0 në 1 (shembulli 4), i ngritur në një fuqi negative, pavarësisht nëse fuqia është çift apo tek nuk është e rëndësishme, vlera e shprehjes do të jetë pozitive. Për më tepër, sa më e madhe të jetë shkalla, aq më e madhe është vlera.
• Për një numër negativ në rangun nga 0 në 1 (shembulli 5), i ngritur në një fuqi negative, pavarësisht nëse fuqia është çift apo tek nuk është e rëndësishme, vlera e shprehjes do të jetë negative. Në këtë rast, sa më e lartë të jetë shkalla, aq më e ulët është vlera.

Si të rritet në një fuqi negative - një fuqi në formën e një numri thyesor

Shprehjet e këtij lloji kanë këtë formë: a -m/n, ku a është një numër i rregullt, m është numëruesi i shkallës, n është emëruesi i shkallës.

Le të shohim një shembull:
Llogaritni: 8 -1/3

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

• Le të kujtojmë rregullin për ngritjen e një numri në një fuqi negative. Marrim: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Vini re se emëruesi ka numrin 8 në një fuqi thyesore. Forma e përgjithshme e llogaritjes së një fuqie thyesore është si më poshtë: a m/n = n √8 m.
• Kështu, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Marrim rrënjën kubike të tetës, e cila është e barabartë me 2. Nga këtu, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Përgjigje: 8 -1/3 = 2

Formulat e diplomës përdoret në procesin e zvogëlimit dhe thjeshtimit të shprehjeve komplekse, në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive.

Numri cështë n-fuqia e një numri a Kur:

Operacionet me gradë.

1. Duke shumëzuar shkallët me të njëjtën bazë, shtohen treguesit e tyre:

jam·a n = a m + n .

2. Kur pjesëtohen shkallët me të njëjtën bazë, zbriten eksponentët e tyre:

3. Shkalla e prodhimit të 2 ose më shumë faktorëve është e barabartë me prodhimin e shkallëve të këtyre faktorëve:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Shkalla e një thyese është e barabartë me raportin e shkallëve të dividendit dhe pjesëtuesit:

(a/b) n = a n /b n .

5. Duke ngritur një fuqi në një fuqi, eksponentët shumëzohen:

(a m) n = a m n .

Çdo formulë e mësipërme është e vërtetë në drejtimet nga e majta në të djathtë dhe anasjelltas.

Për shembull. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacionet me rrënjë.

1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:

2. Rrënja e një raporti është e barabartë me raportin e dividendit dhe pjesëtuesit të rrënjëve:

3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi:

4. Nëse rrit shkallën e rrënjës në n një herë dhe në të njëjtën kohë të ndërtuar në n fuqia është një numër radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

5. Nëse ulni shkallën e rrënjës në n nxirrni rrënjën në të njëjtën kohë n-fuqia e një numri radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:

Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent jo pozitiv (numër i plotë) përcaktohet si ai i pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlerën absolute të eksponentit jopozitiv:

Formula jam:a n =a m - n mund të përdoret jo vetëm për m> n, por edhe me m< n.

Për shembull. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Në formulë jam:a n =a m - n u bë e drejtë kur m=n, kërkohet prania e shkallës zero.

Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri që nuk është e barabartë me zero me një eksponent zero është e barabartë me një.

Për shembull. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real A deri në shkallën m/n, ju duhet të nxirrni rrënjën n shkalla e m-fuqia e këtij numri A.

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin, ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an = an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Në përgjithësi, fuqizimi përdoret shpesh në formula të ndryshme në matematikë dhe fizikë. Ky funksion ka një qëllim më shkencor se katër kryesoret: Mbledhja, Zbritja, Shumëzimi, Pjesëtimi.

Ngritja e një numri në një fuqi

Ngritja e një numri në një fuqi nuk është një operacion i komplikuar. Ajo lidhet me shumëzimin në një mënyrë të ngjashme me marrëdhënien midis shumëzimit dhe mbledhjes. Shënimi an është një shënim i shkurtër i numrit të n-të të numrave "a" të shumëzuar me njëri-tjetrin.

Konsideroni fuqizimin duke përdorur shembujt më të thjeshtë, duke kaluar në ato komplekse.

Për shembull, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Katër katror (në fuqinë e dytë) është i barabartë me gjashtëmbëdhjetë. Nëse nuk e kuptoni shumëzimin 4 * 4, atëherë lexoni artikullin tonë rreth shumëzimit.

Le të shohim një shembull tjetër: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pesë kube (në fuqinë e tretë) është e barabartë me njëqind e njëzet e pesë.

Një shembull tjetër: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Nëntë kubik është i barabartë me shtatëqind e njëzet e nëntë.

Formulat e fuqizimit

Për të ngritur saktë një fuqi, duhet të mbani mend dhe të njihni formulat e dhëna më poshtë. Nuk ka asgjë shtesë të natyrshme në këtë, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe atëherë ato jo vetëm që do të mbahen mend, por edhe do të duken të lehta.

Ngritja e një monomi në një fuqi

Çfarë është një monom? Ky është një produkt i numrave dhe variablave në çdo sasi. Për shembull, dy është një monom. Dhe ky artikull ka të bëjë pikërisht me ngritjen e monomeve të tilla në pushtet.

Duke përdorur formulat për fuqizim, nuk do të jetë e vështirë të llogaritet fuqia e një monomi.

Për shembull, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Nëse e ngrini një monom në një fuqi, atëherë çdo përbërës i monomit ngrihet në një fuqi.

Duke ngritur një ndryshore që tashmë ka një fuqi në një fuqi, fuqitë shumëzohen. Për shembull, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6 ;

Ngritja në një fuqi negative

Një fuqi negative është reciproke e një numri. Cili është numri reciprok? Reciproku i çdo numri X është 1/X. Domethënë X-1=1/X. Ky është thelbi i shkallës negative.

Shqyrtoni shembullin (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Pse eshte ajo? Meqenëse ka një minus në shkallë, ne thjesht e transferojmë këtë shprehje në emërues, dhe më pas e ngremë atë në fuqinë e tretë. E thjeshtë apo jo?

Ngritja në një fuqi të pjesshme

Le të fillojmë duke e parë çështjen me një shembull specifik. 43/2. Çfarë do të thotë shkalla 3/2? 3 - numërues, nënkupton ngritjen e një numri (në këtë rast 4) në një kub. Numri 2 është emëruesi është nxjerrja e rrënjës së dytë të një numri (në këtë rast, 4).

Pastaj marrim rrënjën katrore 43 = 2^3 = 8. Përgjigje: 8.

Pra, emëruesi i një fuqie thyesore mund të jetë ose 3 ose 4 ose deri në pafundësi çdo numër, dhe ky numër përcakton shkallën e rrënjës katrore të marrë nga një numër i caktuar. Natyrisht, emëruesi nuk mund të jetë zero.

Ngritja e një rrënjë në një fuqi

Nëse rrënja është ngritur në një shkallë të barabartë me shkallën e vetë rrënjës, atëherë përgjigja do të jetë një shprehje radikale. Për shembull, (√x)2 = x. Dhe kështu në çdo rast, shkalla e rrënjës dhe shkalla e ngritjes së rrënjës janë të barabarta.

Nëse (√x)^4. Pastaj (√x)^4=x^2. Për të kontrolluar zgjidhjen, ne e shndërrojmë shprehjen në një shprehje me fuqi thyesore. Meqenëse rrënja është katrore, emëruesi është 2. Dhe nëse rrënja është ngritur në fuqinë e katërt, atëherë numëruesi është 4. Marrim 4/2=2. Përgjigje: x = 2.

Në çdo rast, opsioni më i mirë është thjesht të konvertohet shprehja në një shprehje me një fuqi thyesore. Nëse thyesa nuk anulohet, atëherë kjo është përgjigja, me kusht që rrënja e numrit të dhënë të mos jetë e izoluar.

Ngritja e një numri kompleks në fuqi

Çfarë është një numër kompleks? Një numër kompleks është një shprehje që ka formulën a + b * i; a, b janë numra realë. i është një numër që, kur vihet në katror, ​​jep numrin -1.

Le të shohim një shembull. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Regjistrohuni në kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikën mendore" për të mësuar se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë numrat dhe madje të nxirrni rrënjët shpejt dhe saktë. Në 30 ditë, do të mësoni se si të përdorni truket e thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Eksponimi në internet

Duke përdorur kalkulatorin tonë, mund të llogarisni ngritjen e një numri në një fuqi:

Shpallja e klasës së 7-të

Nxënësit fillojnë të ngrihen në fuqi vetëm në klasën e shtatë.

Shpejtësia është një veprim i lidhur ngushtë me shumëzimin, ky operacion është rezultat i shumëzimit të përsëritur të një numri në vetvete. Le ta paraqesim me formulën: a1 * a2 * … * an=an.

Për shembull, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Shembuj për zgjidhje:

Prezantimi eksponencial

Prezantim mbi ngritjen e fuqive, projektuar për nxënësit e klasës së shtatë. Prezantimi mund të sqarojë disa pika të paqarta, por këto pika ndoshta nuk do të pastrohen falë artikullit tonë.

Fundi

Ne kemi parë vetëm majën e ajsbergut, për të kuptuar më mirë matematikën - regjistrohuni në kursin tonë: Përshpejtimi i aritmetikës mendore - JO aritmetika mendore.

Nga kursi jo vetëm që do të mësoni dhjetëra teknika të shumëzimit të thjeshtuar dhe të shpejtë, mbledhjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe llogaritjes së përqindjeve, por do t'i praktikoni edhe në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Aritmetika mendore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrim, të cilat stërviten në mënyrë aktive kur zgjidhin probleme interesante.

Që nga shkolla, ne të gjithë e dimë rregullin për fuqizimin: çdo numër me eksponent N është i barabartë me rezultatin e shumëzimit të këtij numri në vetvete me numrin N herë. Me fjalë të tjera, 7 në fuqinë e 3 është 7 e shumëzuar me vetveten tre herë, domethënë 343. Një rregull tjetër është se ngritja e çdo sasie në fuqinë 0 jep një, dhe ngritja e një sasie negative është rezultat i ngritjes së zakonshme në fuqia nëse është çift dhe i njëjti rezultat me shenjën minus nëse është tek.

Rregullat gjithashtu japin përgjigjen se si të rritet një numër në një fuqi negative. Për ta bërë këtë, duhet të ngrini vlerën e kërkuar me modulin e treguesit në mënyrën e zakonshme, dhe më pas të ndani njësinë me rezultatin.

Nga këto rregulla bëhet e qartë se kryerja e detyrave reale që përfshijnë sasi të mëdha do të kërkojë disponueshmërinë e mjeteve teknike. Ju mund të shumëzoni me dorë një gamë maksimale numrash deri në njëzet deri në tridhjetë, dhe më pas jo më shumë se tre ose katër herë. Kjo nuk do të thotë pastaj pjesëtimi i një me rezultatin. Prandaj, për ata që nuk kanë një kalkulator të veçantë inxhinierik në dorë, ne do t'ju tregojmë se si ta ngrini një numër në një fuqi negative në Excel.

Zgjidhja e problemeve në Excel

Për të zgjidhur problemet që përfshijnë fuqizimin, Excel ju lejon të përdorni një nga dy opsionet.

E para është përdorimi i një formule me një shenjë standarde "kapak". Futni të dhënat e mëposhtme në qelizat e fletës së punës:

Në të njëjtën mënyrë, ju mund të ngrini vlerën e dëshiruar në çdo fuqi - negative, të pjesshme. Le të kryejmë hapat e mëposhtëm dhe t'i përgjigjemi pyetjes se si të ngremë një numër në një fuqi negative. Shembull:

Mund të korrigjoni =B2^-C2 direkt në formulë.

Opsioni i dytë është përdorimi i funksionit të gatshëm "Degree", i cili merr dy argumente të kërkuara - një numër dhe një eksponent. Për të filluar përdorimin e tij, thjesht vendosni shenjën e barabartë (=) në çdo qelizë të lirë, duke treguar fillimin e formulës dhe shkruani fjalët e mësipërme. Mbetet vetëm të zgjidhni dy qeliza që do të marrin pjesë në operacion (ose të specifikoni numra specifikë me dorë) dhe të shtypni tastin Enter. Le të shohim disa shembuj të thjeshtë.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar se si të ngrini një numër në një fuqi negative dhe në një fuqi të rregullt duke përdorur Excel. Në fund të fundit, për të zgjidhur këtë problem, mund të përdorni simbolin e njohur "kapak" dhe funksionin e integruar të programit, i cili është i lehtë për t'u mbajtur mend. Ky është një plus i caktuar!

Le të kalojmë në shembuj më kompleksë. Le të kujtojmë rregullin se si të ngremë një numër në një fuqi thyesore negative dhe do të shohim që ky problem zgjidhet shumë lehtë në Excel.

Treguesit thyesorë

Shkurtimisht, algoritmi për llogaritjen e një numri me një eksponent thyesor është si më poshtë.

1. Shndërroni një thyesë në një thyesë të duhur ose të papërshtatshme.
2. Ngrini numrin tonë në numëruesin e thyesës së konvertuar që rezulton.
3. Nga numri i marrë në paragrafin e mëparshëm, llogaritni rrënjën, me kushtin që eksponenti i rrënjës të jetë emëruesi i thyesës së fituar në fazën e parë.

Pajtohuni që edhe kur veproni me numra të vegjël dhe thyesa të duhura, llogaritjet e tilla mund të marrin shumë kohë. Është mirë që procesorit të fletëllogaritjes Excel nuk i intereson se cili numër është ngritur në çfarë fuqie. Provoni të zgjidhni shembullin e mëposhtëm në një fletë pune në Excel:

Duke përdorur rregullat e mësipërme, mund të kontrolloni dhe të siguroheni që llogaritja është bërë saktë.

Në fund të artikullit tonë, ne do të paraqesim në formën e një tabele me formula dhe rezultate disa shembuj se si të ngrihet një numër në një fuqi negative, si dhe disa shembuj të veprimit me numra dhe fuqi thyesore.

Tabela shembull

Shikoni shembujt e mëposhtëm në fletën tuaj të punës në Excel. Që gjithçka të funksionojë siç duhet, duhet të përdorni një referencë të përzier kur kopjoni formulën. Fiksoni numrin e kolonës që përmban numrin e ngritur dhe numrin e rreshtit që përmban treguesin. Formula juaj duhet të duket diçka si kjo: "=$B4^C$3."

Ju lutemi vini re se numrat pozitivë (madje edhe jo të plotë) mund të llogariten pa probleme për çdo eksponent. Nuk ka probleme me ngritjen e ndonjë numri në numra të plotë. Por ngritja e një numri negativ në një fuqi thyesore do të rezultojë të jetë një gabim për ju, pasi është e pamundur të ndiqni rregullin e treguar në fillim të artikullit tonë për ngritjen e numrave negativë, sepse barazia është një karakteristikë ekskluzivisht e një numri TË GJITHË.

Në këtë artikull do të kuptojmë se çfarë është shkalla e. Këtu do të japim përkufizime të fuqisë së një numri, ndërsa do të shqyrtojmë në detaje të gjithë eksponentët e mundshëm, duke filluar nga eksponenti natyror dhe duke përfunduar me atë irracional. Në material do të gjeni shumë shembuj të gradave, duke mbuluar të gjitha hollësitë që dalin.

Navigimi i faqes.

Fuqia me eksponent natyror, katrori i një numri, kubi i një numri

Le të fillojmë me. Duke parë përpara, le të themi se përkufizimi i fuqisë së një numri a me eksponent natyror n është dhënë për a, të cilin do ta quajmë bazën e shkallës, dhe n, të cilat do t'i quajmë eksponent. Vëmë re gjithashtu se një shkallë me një eksponent natyror përcaktohet përmes një produkti, kështu që për të kuptuar materialin e mëposhtëm duhet të keni një kuptim të shumëzimit të numrave.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri me eksponent natyror nështë shprehje e formës a n, vlera e së cilës është e barabartë me produktin e n faktorëve, secili prej të cilëve është i barabartë me a, pra .
Në veçanti, fuqia e një numri a me eksponent 1 është vetë numri a, domethënë a 1 =a.

Vlen të përmendet menjëherë për rregullat për leximin e gradave. Mënyra universale për të lexuar shënimin a n është: "a në fuqinë e n". Në disa raste, opsionet e mëposhtme janë gjithashtu të pranueshme: "a në fuqinë e n-të" dhe "fuqia e n-të e a". Për shembull, le të marrim fuqinë 8 12, kjo është "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "tetë në fuqinë e dymbëdhjetë", ose "fuqia e dymbëdhjetë e tetë".

Fuqia e dytë e një numri, si dhe fuqia e tretë e një numri, kanë emrat e tyre. Fuqia e dytë e një numri quhet katrore numrin, për shembull, 7 2 lexohet si "shtatë në katror" ose "katrori i numrit shtatë". Fuqia e tretë e një numri quhet numrat në kub, për shembull, 5 3 mund të lexohet si "pesë kube" ose mund të thoni "kubi i numrit 5".

Është koha për të sjellë shembuj të shkallëve me eksponentë natyrorë. Le të fillojmë me shkallën 5 7, këtu 5 është baza e shkallës dhe 7 është eksponenti. Le të japim një shembull tjetër: 4.32 është baza, dhe numri natyror 9 është eksponenti (4.32) 9 .

Ju lutemi vini re se në shembullin e fundit, baza e fuqisë 4.32 është shkruar në kllapa: për të shmangur mospërputhjet, ne do të vendosim në kllapa të gjitha bazat e fuqisë që janë të ndryshme nga numrat natyrorë. Si shembull, japim shkallët e mëposhtme me eksponentë natyrorë , bazat e tyre nuk janë numra natyrorë, ndaj shkruhen në kllapa. Epo, për qartësi të plotë, në këtë pikë do të tregojmë ndryshimin që përmbahen në regjistrimet e formës (−2) 3 dhe −2 3. Shprehja (−2) 3 është një fuqi prej −2 me një eksponent natyror 3, dhe shprehja −2 3 (mund të shkruhet si −(2 3) ) korrespondon me numrin, vlerën e fuqisë 2 3 .

Vini re se ekziston një shënim për fuqinë e një numri a me një eksponent n të formës a^n. Për më tepër, nëse n është një numër natyror me shumë vlera, atëherë eksponenti merret në kllapa. Për shembull, 4^9 është një tjetër shënim për fuqinë e 4 9 . Dhe këtu janë disa shembuj të tjerë të shkrimit të shkallëve duke përdorur simbolin "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . Në atë që vijon, ne do të përdorim kryesisht shënimin e shkallës së formës a n.

Një nga problemet e anasjellta të rritjes në një fuqi me një eksponent natyror është problemi i gjetjes së bazës së fuqisë nga një vlerë e njohur e fuqisë dhe një eksponent i njohur. Kjo detyrë çon në.

Dihet se bashkësia e numrave racionalë përbëhet nga numra të plotë dhe thyesa, dhe secila thyesë mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme pozitive ose negative. Ne përcaktuam një shkallë me një eksponent numër të plotë në paragrafin e mëparshëm, prandaj, për të plotësuar përkufizimin e një shkalle me një eksponent racional, duhet t'i japim kuptim fuqisë së numrit a me një eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror. Le ta bejme.

Le të shqyrtojmë një shkallë me një eksponent thyesor të formës . Që prona fuqi-fuqi të mbetet e vlefshme, barazia duhet të mbahet . Nëse marrim parasysh barazinë që rezulton dhe mënyrën se si përcaktuam , atëherë është logjike ta pranojmë atë me kusht që për m, n dhe a të dhëna të ketë kuptim shprehja.

Është e lehtë të kontrollohet nëse të gjitha vetitë e një shkalle me një eksponent numër të plotë janë të vlefshme (kjo është bërë në seksionin vetitë e një shkalle me një eksponent racional).

Arsyetimi i mësipërm na lejon të bëjmë sa vijon përfundimi: nëse jepen m, n dhe a shprehja ka kuptim, atëherë fuqia e a-së me një eksponent thyesor m/n quhet rrënja e n-të e a-së në fuqinë e m.

Ky pohim na afron me përkufizimin e një shkalle me një eksponent thyesor. Mbetet vetëm për të përshkruar atë që m, n dhe a ka kuptim shprehja. Në varësi të kufizimeve të vendosura në m, n dhe a, ekzistojnë dy qasje kryesore.

Mënyra më e lehtë është të vendosësh një kufizim mbi a duke marrë a≥0 për m pozitive dhe a>0 për m negative (pasi për m≤0 shkalla 0 e m nuk është e përcaktuar). Pastaj marrim përkufizimin e mëposhtëm të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Fuqia e një numri pozitiv a me eksponent thyesor m/n, ku m është një numër i plotë dhe n është një numër natyror, quhet rrënja e n-të e numrit a me fuqinë m, domethënë .

Fuqia thyesore e zeros përcaktohet gjithashtu me paralajmërimin e vetëm që treguesi duhet të jetë pozitiv.

Përkufizimi.

Fuqia zero me eksponent pozitiv thyesor m/n, ku m është një numër i plotë pozitiv dhe n është një numër natyror, përkufizohet si .
Kur shkalla nuk përcaktohet, domethënë, shkalla e numrit zero me një eksponent negativ thyesor nuk ka kuptim.

Duhet të theksohet se me këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor, ka një paralajmërim: për disa negative a dhe disa m dhe n, shprehja ka kuptim dhe ne i hodhëm këto raste duke futur kushtin a≥0. Për shembull, hyrjet kanë kuptim ose , dhe përkufizimi i dhënë më sipër na detyron të themi se fuqitë me një eksponent thyesor të formës nuk kanë kuptim, pasi baza nuk duhet të jetë negative.

Një qasje tjetër për përcaktimin e një shkalle me një eksponent thyesor m/n është të merren parasysh veçmas eksponentët çift dhe tek të rrënjës. Kjo qasje kërkon një kusht shtesë: fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është , konsiderohet të jetë fuqia e numrit a, eksponenti i të cilit është thyesa përkatëse e pakësueshme (do të shpjegojmë rëndësinë e kësaj gjendjeje më poshtë ). Kjo do të thotë, nëse m/n është një thyesë e pakalueshme, atëherë për çdo numër natyror k shkalla zëvendësohet fillimisht me .

Për n dhe pozitiv m, shprehja ka kuptim për çdo jonegativ a (një rrënjë çift i një numri negativ nuk ka kuptim për m negativ, numri a duhet të jetë ende i ndryshëm nga zero (përndryshe do të ketë pjesëtim). me zero). Dhe për n tek dhe m pozitiv, numri a mund të jetë cilido (rrënja e një shkalle tek përcaktohet për çdo numër real), dhe për negativ m, numri a duhet të jetë jo zero (në mënyrë që të mos ketë pjesëtim me zero).

Arsyetimi i mësipërm na çon në këtë përkufizim të një shkalle me një eksponent thyesor.

Përkufizimi.

Le të jetë m/n një thyesë e pakalueshme, m një numër i plotë dhe n një numër natyror. Për çdo thyesë të reduktueshme, shkalla zëvendësohet me . Fuqia e një numri me një eksponent thyesor të pakalueshëm m/n është për



Le të shpjegojmë pse një shkallë me një eksponent thyesor të reduktueshëm zëvendësohet fillimisht nga një shkallë me një eksponent të pareduktueshëm. Nëse thjesht do ta përkufizonim shkallën si , dhe nuk do të bënim një rezervë për pakësueshmërinë e thyesës m/n, atëherë do të përballeshim me situata të ngjashme me sa vijon: meqenëse 6/10 = 3/5, atëherë barazia duhet të jetë , Por , A .