Rregullojnë numrat irracionalë. Çfarë do të thotë një numër irracional? Numrat iracional $\mathbb(I)$

Përkufizimi i një numri irracional

Numrat irracionalë janë ata numra që në shënimet dhjetore paraqesin thyesa dhjetore të pafundme jo periodike.

Kështu, për shembull, numrat e fituar duke marrë rrënjën katrore të numrave natyrorë janë irracionalë dhe nuk janë katrorë të numrave natyrorë. Por jo të gjithë numrat irracionalë fitohen duke marrë rrënjë katrore, sepse numri pi i marrë me pjesëtim është gjithashtu irracional dhe nuk ka gjasa që ta merrni duke u përpjekur të nxirrni rrënjën katrore të një numri natyror.

Vetitë e numrave irracionalë

Ndryshe nga numrat e shkruar si dhjetore të pafundme, vetëm numrat irracionalë shkruhen si dhjetore të pafundme jo periodike.
Shuma e dy numrave irracionalë jonegativë mund të përfundojë të jetë një numër racional.
Numrat irracionalë përcaktojnë prerjet Dedekind në bashkësinë e numrave racionalë, në klasën e ulët nuk ka numër më të madh dhe në klasën e lartë nuk ka më të vogël.
Çdo numër real transcendental është irracional.
Të gjithë numrat irracionalë janë ose algjebrikë ose transcendentalë.
Bashkësia e numrave irracionalë në një rresht është e vendosur në mënyrë të dendur, dhe midis çdo dy prej numrave të saj sigurisht që do të ketë një numër irracional.
Bashkësia e numrave irracionalë është e pafundme, e panumërueshme dhe është një bashkësi e kategorisë së dytë.
Kur kryeni ndonjë veprim aritmetik mbi numrat racional, përveç pjesëtimit me 0, rezultati do të jetë një numër racional.
Kur i shtojmë një numër racional një numri irracional, rezultati është gjithmonë një numër irracional.
Kur mbledhim numra irracionalë, mund të përfundojmë me një numër racional.
Bashkësia e numrave irracionalë nuk është çift.

Numrat nuk janë irracionalë

Ndonjëherë është mjaft e vështirë t'i përgjigjemi pyetjes nëse një numër është irracional, veçanërisht në rastet kur numri është në formën e një thyese dhjetore ose në formën e një shprehjeje numerike, rrënjë ose logaritmi.

Prandaj, nuk do të jetë e tepërt të dimë se cilët numra nuk janë iracionalë. Nëse ndjekim përkufizimin e numrave irracionalë, atëherë tashmë e dimë se numrat racionalë nuk mund të jenë iracionalë.

Numrat irracionalë nuk janë:

Së pari, të gjithë numrat natyrorë;
Së dyti, numrat e plotë;
Së treti, thyesat e zakonshme;
Së katërti, numra të ndryshëm të përzier;
Së pesti, këto janë thyesa dhjetore periodike të pafundme.

Përveç të gjitha sa më sipër, një numër irracional nuk mund të jetë çdo kombinim i numrave racionalë që kryhet nga shenjat e veprimeve aritmetike, si +, -, , :, pasi në këtë rast rezultati i dy numrave racional do të jetë gjithashtu. një numër racional.

Tani le të shohim se cilët numra janë irracionalë:

A dini për ekzistencën e një klubi fansash, ku fansat e këtij fenomeni misterioz matematikor kërkojnë gjithnjë e më shumë informacion për Pi, duke u përpjekur të zbardhin misterin e tij? Anëtar i këtij klubi mund të bëhet çdo person që njeh përmendësh një numër të caktuar numrash Pi pas presjes dhjetore;

A e dini se në Gjermani, nën mbrojtjen e UNESCO-s, ndodhet pallati Castadel Monte, falë përmasave të të cilit mund të llogaritni Pi. Mbreti Frederiku II i kushtoi të gjithë pallatin këtij numri.

Rezulton se ata u përpoqën të përdorin numrin Pi në ndërtimin e Kullës së Babelit. Por për fat të keq, kjo çoi në kolapsin e projektit, pasi në atë kohë llogaritja e saktë e vlerës së Pi nuk ishte studiuar mjaftueshëm.

Këngëtarja Kate Bush në diskun e saj të ri regjistroi një këngë të quajtur "Pi", në të cilën u dëgjuan njëqind e njëzet e katër numra nga seria e famshme e numrave 3, 141….

Cilat janë numrat irracionalë? Pse quhen kështu? Ku përdoren dhe çfarë janë ato? Pak njerëz mund t'u përgjigjen këtyre pyetjeve pa u menduar. Por në fakt, përgjigjet ndaj tyre janë mjaft të thjeshta, megjithëse jo të gjithë kanë nevojë për to dhe në situata shumë të rralla

Thelbi dhe emërtimi

Numrat irracionalë janë numra të pafundëm jo periodikë Nevoja për të prezantuar këtë koncept është për faktin se për zgjidhjen e problemeve të reja që lindin, konceptet e mëparshme ekzistuese të numrave realë ose realë, të plotë, natyrorë dhe racionalë nuk ishin më të mjaftueshëm. Për shembull, për të llogaritur se cila sasi është katrori i 2, duhet të përdorni dhjetore të pafundme jo periodike. Përveç kësaj, shumë ekuacione të thjeshta gjithashtu nuk kanë zgjidhje pa prezantuar konceptin e një numri irracional.

Ky grup shënohet si I. Dhe, siç është tashmë e qartë, këto vlera nuk mund të përfaqësohen si një thyesë e thjeshtë, numëruesi i së cilës do të jetë një numër i plotë, dhe emëruesi do të jetë

Për herë të parë, në një mënyrë ose në një tjetër, matematikanët indianë e hasën këtë fenomen në shekullin e 7-të, kur u zbulua se rrënjët katrore të disa sasive nuk mund të tregohen në mënyrë eksplicite. Dhe prova e parë e ekzistencës së numrave të tillë i atribuohet Pitagorës Hippasus, i cili e bëri këtë duke studiuar një trekëndësh kënddrejtë izosceles. Disa shkencëtarë të tjerë që jetuan para epokës sonë dhanë një kontribut serioz në studimin e këtij grupi. Prezantimi i konceptit të numrave irracionalë solli një rishikim të sistemit ekzistues matematikor, kjo është arsyeja pse ata janë kaq të rëndësishëm.

Origjina e emrit

Nëse raporti i përkthyer nga latinishtja është "fraksion", "raport", atëherë parashtesa "ir"
i jep kësaj fjale kuptimin e kundërt. Kështu, emri i grupit të këtyre numrave tregon se ata nuk mund të lidhen me një numër të plotë ose thyesë dhe të kenë një vend të veçantë. Kjo rrjedh nga thelbi i tyre.

Vendi në klasifikimin e përgjithshëm

Numrat irracionalë, së bashku me numrat racional, i përkasin grupit të numrave realë ose realë, të cilët nga ana e tyre i përkasin numrave kompleksë. Nuk ka nënbashkësi, por ka varietete algjebrike dhe transcendentale, të cilat do të diskutohen më poshtë.

Vetitë

Meqenëse numrat irracionalë janë pjesë e grupit të numrave realë, të gjitha vetitë e tyre që studiohen në aritmetikë (ato quhen edhe ligje bazë algjebrike) vlejnë për ta.

a + b = b + a (komutativiteti);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativiteti);

a + (-a) = 0 (ekzistenca e numrit të kundërt);

ab = ba (ligj komutativ);

(ab)c = a(bc) (shpërndarja);

a(b+c) = ab + ac (ligji i shpërndarjes);

a x 1/a = 1 (ekzistenca e një numri reciprok);

Krahasimi kryhet gjithashtu në përputhje me ligjet dhe parimet e përgjithshme:

Nëse a > b dhe b > c, atëherë a > c (kalueshmëria e relacionit) dhe. etj.

Sigurisht, të gjithë numrat irracionalë mund të konvertohen duke përdorur aritmetikën bazë. Nuk ka rregulla të veçanta.

Për më tepër, aksioma e Arkimedit zbatohet për numrat irracionalë. Ai thotë se për çdo dy sasi a dhe b, është e vërtetë që nëse merrni a si term mjaft herë, mund ta mposhtni b.

Përdorimi

Përkundër faktit se nuk i hasni shumë shpesh në jetën e përditshme, numrat irracionalë nuk mund të numërohen. Ka një numër të madh të tyre, por ato janë pothuajse të padukshme. Numrat irracionalë janë rreth nesh. Shembuj që janë të njohur për të gjithë janë numri pi, i barabartë me 3.1415926..., ose e, që në thelb është baza e logaritmit natyror, 2.718281828... Në algjebër, trigonometri dhe gjeometri, ato duhet të përdoren vazhdimisht. Nga rruga, kuptimi i famshëm i "raportit të artë", domethënë raporti i pjesës më të madhe me pjesën më të vogël, dhe anasjelltas, gjithashtu

i përket këtij grupi. Ai më pak i njohur "argjendi" gjithashtu.

Në vijën numerike ato janë të vendosura shumë dendur, kështu që midis çdo dy sasie të klasifikuara si racionale, sigurisht që do të ndodhë një irracionale.

Ka ende shumë probleme të pazgjidhura që lidhen me këtë grup. Ekzistojnë kritere të tilla si masa e irracionalitetit dhe normaliteti i një numri. Matematikanët vazhdojnë të studiojnë shembujt më domethënës për të përcaktuar nëse ato i përkasin një grupi apo një tjetër. Për shembull, besohet se e është një numër normal, d.m.th., probabiliteti që shifra të ndryshme të shfaqen në shënimin e tij është i njëjtë. Sa i përket pi, kërkimet janë ende duke u zhvilluar në lidhje me të. Masa e irracionalitetit është një vlerë që tregon se sa mirë një numër i caktuar mund të përafrohet me numra racionalë.

Algjebrike dhe transcendentale

Siç është përmendur tashmë, numrat iracionalë ndahen në mënyrë konvencionale në algjebrikë dhe transcendentalë. Me kusht, meqenëse, në mënyrë rigoroze, ky klasifikim përdoret për të ndarë grupin C.

Ky emërtim fsheh numra kompleksë, të cilët përfshijnë numra realë ose realë.

Pra, një vlerë algjebrike është një vlerë që është rrënja e një polinomi që nuk është identikisht i barabartë me zero. Për shembull, rrënja katrore e 2 do të ishte në këtë kategori sepse është një zgjidhje e ekuacionit x 2 - 2 = 0.

Të gjithë numrat e tjerë realë që nuk e plotësojnë këtë kusht quhen transcendental. Kjo shumëllojshmëri përfshin shembujt më të famshëm dhe të përmendur tashmë - numrin pi dhe bazën e logaritmit natyror e.

Interesante, as njëra dhe as tjetra nuk u zhvilluan fillimisht nga matematikanët në këtë cilësi, irracionaliteti dhe transcendenca e tyre u vërtetuan shumë vite pas zbulimit të tyre. Për pi, prova u dha në 1882 dhe u thjeshtua në 1894, duke i dhënë fund një debati 2500-vjeçar rreth problemit të katrorit të rrethit. Ende nuk është studiuar plotësisht, kështu që matematikanët modernë kanë diçka për të punuar. Nga rruga, llogaritja e parë mjaft e saktë e kësaj vlere u krye nga Arkimedi. Para tij, të gjitha llogaritjet ishin shumë të përafërta.

Për e (numrin e Euler ose Napier), prova e transcendencës së tij u gjet në 1873. Përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve logaritmike.

Shembuj të tjerë përfshijnë vlerat e sinusit, kosinusit dhe tangjentes për çdo vlerë algjebrike jozero.

Dhe ata i morën rrënjët e tyre nga fjala latine "ratio", që do të thotë "arsye". Bazuar në përkthimin fjalë për fjalë:

Një numër racional është një "numër i arsyeshëm".
Një numër irracional është, në përputhje me rrethanat, një "numër i paarsyeshëm".

Koncepti i përgjithshëm i një numri racional

Një numër racional është një numër që mund të shkruhet si:

Një fraksion i zakonshëm pozitiv.
Thyesë e zakonshme negative.
Si një numër zero (0).

Me fjalë të tjera, përkufizimet e mëposhtme zbatohen për një numër racional:

Çdo numër natyror është në thelb racional, pasi çdo numër natyror mund të përfaqësohet si një thyesë e zakonshme.
Çdo numër i plotë, duke përfshirë numrin zero, pasi çdo numër i plotë mund të shkruhet ose si një thyesë e zakonshme pozitive, si një thyesë e zakonshme negative, ose si numër zero.
Çdo thyesë e zakonshme, dhe nuk ka rëndësi nëse është pozitive apo negative, gjithashtu i afrohet drejtpërdrejt përkufizimit të një numri racional.
Përkufizimi mund të përfshijë gjithashtu një numër të përzier, një thyesë dhjetore të fundme ose një thyesë periodike të pafundme.

Shembuj të numrave racionalë

Le të shohim shembuj të numrave racionalë:

Numrat natyrorë - "4", "202", "200".
Numrat e plotë - "-36", "0", "42".
Thyesat e zakonshme.

Nga shembujt e mësipërm është mjaft e qartë se numrat racional mund të jenë pozitiv dhe negativ. Natyrisht, numri 0 (zero), i cili nga ana tjetër është gjithashtu një numër racional, në të njëjtën kohë nuk i përket kategorisë së një numri pozitiv ose negativ.

Prandaj, do të doja të kujtoja programin e arsimit të përgjithshëm duke përdorur përkufizimin e mëposhtëm: "Numrat racional" janë ata numra që mund të shkruhen si thyesë x/y, ku x (numëruesi) është një numër i plotë dhe y (emëruesi) është një numri natyror.

Koncepti i përgjithshëm dhe përkufizimi i një numri irracional

Përveç "numrave racionalë", ne njohim edhe të ashtuquajturat "numra irracionalë". Le të përpiqemi shkurtimisht të përcaktojmë këto numra.

Edhe matematikanët e lashtë, duke dashur të llogarisin diagonalen e një katrori përgjatë anëve të tij, mësuan për ekzistencën e një numri irracional.
Bazuar në përkufizimin e numrave racionalë, mund të ndërtoni një zinxhir logjik dhe të jepni një përkufizim të një numri irracional.
Pra, në thelb, ata numra realë që nuk janë racionalë janë thjesht numra irracionalë.
Thyesat dhjetore, që shprehin numra irracionalë, nuk janë periodikë dhe të pafund.

Shembuj të një numri irracional

Për qartësi, le të shqyrtojmë një shembull të vogël të një numri irracional. Siç e kemi kuptuar tashmë, thyesat e pafundme dhjetore jo periodike quhen irracionale, për shembull:

Numri “-5.020020002... (duket qartë se dyshet janë të ndara me një sekuencë prej një, dy, tre, etj. zero)
Numri “7.040044000444... (këtu shihet qartë se numri i katërshave dhe numri i zerove rritet me një çdo herë në një zinxhir).
Të gjithë e dinë numrin Pi (3.1415...). Po, po - është gjithashtu irracionale.

Në përgjithësi, të gjithë numrat realë janë racionalë dhe irracionalë. Me fjalë të thjeshta, një numër irracional nuk mund të përfaqësohet si një thyesë e përbashkët x/y.

Përfundim i përgjithshëm dhe krahasim i shkurtër ndërmjet numrave

Ne e shikuam secilin numër veç e veç, por ndryshimi midis një numri racional dhe një numri irracional mbetet:

Një numër irracional shfaqet kur nxjerrim rrënjën katrore, kur pjesëtojmë një rreth me diametrin e tij, etj.
Një numër racional përfaqëson një thyesë të përbashkët.

Le ta përfundojmë artikullin tonë me disa përkufizime:

Një veprim aritmetik i kryer në një numër racional, përveç pjesëtimit me 0 (zero), përfundimisht do të çojë gjithashtu në një numër racional.
Rezultati përfundimtar, kur kryeni një operacion aritmetik mbi një numër irracional, mund të çojë në një vlerë racionale dhe joracionale.
Nëse të dy numrat marrin pjesë në një veprim aritmetik (përveç pjesëtimit ose shumëzimit me zero), atëherë rezultati do të jetë një numër irracional.

Bashkësia e numrave irracionalë zakonisht shënohet me shkronjë të madhe I (\displaystyle \mathbb (I) ) me stil të theksuar pa hije. Kështu: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), domethënë bashkësia e numrave irracionalë është ndryshimi midis bashkësive të numrave realë dhe racionalë.

Ekzistenca e numrave irracionalë, më saktë, segmenteve të pakrahasueshëm me një segment të njësisë së gjatësisë, ishte tashmë e njohur për matematikanët e lashtë: ata e dinin, për shembull, pa krahasueshmërinë e diagonales dhe anës së një katrori, e cila është e barabartë me irracionalitetin e numrin.

YouTube enciklopedik

1 / 5
Irracionale janë:

Shembuj të vërtetimit të irracionalitetit

Rrënja e 2

Le të supozojmë të kundërtën: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionale, pra e paraqitur si thyesë m n (\style ekrani (\frac (m)(n))), Ku m (\displaystyle m)është një numër i plotë, dhe n (\displaystyle n)- numri natyror.
Le të vendosim në katror barazinë e supozuar:
2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Djathtas 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Shigjeta djathtas m^(2)=2n^(2)).
Histori

Antikiteti

Koncepti i numrave irracionalë u përvetësua në mënyrë implicite nga matematikanët indianë në shekullin e VII para Krishtit, kur Manava (rreth 750 p.e.s. - rreth 690 p.e.s.) kuptoi se rrënjët katrore të disa numrave natyrorë, si 2 dhe 61, nuk mund të shprehen në mënyrë eksplicite. [ ] .
Prova e parë e ekzistencës së numrave irracionalë zakonisht i atribuohet Hipasusit të Metapontusit (rreth 500 para Krishtit), një pitagorian. Në kohën e Pitagorianëve, besohej se ekzistonte një njësi e vetme gjatësie, mjaft e vogël dhe e pandashme, e cila përfshinte një numër të plotë herë në çdo segment [ ] .
Nuk ka të dhëna të sakta se cili numër u provua irracional nga Hippasus. Sipas legjendës, ai e gjeti atë duke studiuar gjatësitë e anëve të pentagramit. Prandaj, është e arsyeshme të supozohet se ky ishte raporti i artë [ ] .
Matematikanët grekë e quajtën këtë raport të sasive të pakrahasueshme alogos(e pashprehur), por sipas legjendave ata nuk i kushtuan respektin e duhur Hipasusit. Ekziston një legjendë që Hippasus e bëri zbulimin ndërsa ishte në një udhëtim në det dhe u hodh në det nga pitagorianë të tjerë "për shkak të krijimit të një elementi të universit që mohon doktrinën se të gjitha entitetet në univers mund të reduktohen në numra të plotë dhe raportet e tyre". Zbulimi i Hipasusit shtroi një problem serioz për matematikën e Pitagorës, duke shkatërruar supozimin themelor se numrat dhe objektet gjeometrike ishin një dhe të pandashëm.

Numër racional– një numër i përfaqësuar nga një thyesë e zakonshme m/n, ku numëruesi m është një numër i plotë, dhe emëruesi n është një numër natyror. Çdo numër racional mund të përfaqësohet si një thyesë dhjetore periodike e pafundme. Bashkësia e numrave racionalë shënohet me Q.

Nëse një numër real nuk është racional, atëherë është numër irracional. Thyesat dhjetore që shprehin numra irracionalë janë të pafundëm dhe jo periodikë. Bashkësia e numrave irracionalë zakonisht shënohet me shkronjën e madhe I.

Një numër real quhet algjebrike, nëse është rrënja e ndonjë polinomi (shkallë jozero) me koeficientë racionalë. Quhet çdo numër joalgjebrik transcendentale.

Disa veti:
Kur zgjidhni probleme, është e përshtatshme, së bashku me numrin irracional a + b√ c (ku a, b janë numra racional, c është një numër i plotë që nuk është katrori i një numri natyror), të merret parasysh numri "konjugat" a. – b√ c: shuma dhe prodhimi i tij me numrat origjinal – racional. Pra, a + b√ c dhe a – b√ c janë rrënjët e një ekuacioni kuadratik me koeficientë të plotë.

Problemet me zgjidhjet

1. Vërtetoni se

a) numri √ 7;

b) numri i regjistrit 80;

c) numri √ 2 + 3 √ 3;

është irracionale.

a) Le të supozojmë se numri √ 7 është racional. Pastaj, ka p dhe q të njëjtat të dhëna që √ 7 = p/q, prej nga marrim p 2 = 7q 2 . Meqenëse p dhe q janë relativisht të thjeshtë, atëherë p 2, dhe për këtë arsye p pjesëtohet me 7. Atëherë p = 7k, ku k është një numër natyror. Prandaj q 2 = 7k 2 = pk, që bie ndesh me faktin se p dhe q janë të dyfishta.

Pra, supozimi është i rremë, që do të thotë se numri √ 7 është irracional.

b) Le të supozojmë se numri log 80 është racional. Pastaj ka p natyrore dhe q të tilla që log 80 = p/q, ose 10 p = 80 q, nga të cilat marrim 2 p–4q = 5 q–p. Duke marrë parasysh se numrat 2 dhe 5 janë relativisht të thjeshtë, gjejmë se barazia e fundit është e mundur vetëm për p–4q = 0 dhe q–p = 0. Prej nga p = q = 0, e cila është e pamundur, pasi p dhe q janë zgjedhur të jetë e natyrshme.

Pra, supozimi është i rremë, që do të thotë se numri lg 80 është irracional.

c) Këtë numër ta shënojmë me x.

Pastaj (x – √ 2) 3 = 3, ose x 3 + 6x – 3 = √ 2 (3x 2 + 2). Pas katrorit të këtij ekuacioni, gjejmë se x duhet të plotësojë ekuacionin

x 6 – 6x 4 – 6x 3 + 12x 2 – 36x + 1 = 0.

Rrënjët e tij racionale mund të jenë vetëm numrat 1 dhe –1. Kontrollimi tregon se 1 dhe –1 nuk janë rrënjë.

Pra, numri i dhënë √ 2 + 3 √ 3 është irracional.

2. Dihet se numrat a, b, √a –√b,– racionale. Vërtetoni këtë √a dhe √b janë edhe numra racionalë.

Le të shohim punën

(√ a – √ b)·(√ a + √ b) = a – b.

Numri √a +√b, që është e barabartë me raportin e numrave a – b dhe √a –√b,është racional, pasi herësi i dy numrave racional është një numër racional. Shuma e dy numrave racionalë

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a – √ b) = √ a

- një numër racional, ndryshimi i tyre,

½ (√ a + √ b) – ½ (√ a – √ b) = √ b,

është gjithashtu një numër racional, që është ajo që duhej vërtetuar.

3. Vërtetoni se ka numra irracionalë pozitivë a dhe b për të cilët numri a b është numër natyror.

4. A ka numra racional a, b, c, d që plotësojnë barazinë

(a + b √ 2 ) 2n + (c + d√ 2 ) 2n = 5 + 4√ 2 ,

ku n është një numër natyror?

Nëse plotësohet barazia e dhënë në kusht dhe numrat a, b, c, d janë racionalë, atëherë plotësohet edhe barazia:

(a–b √ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n = 5 – 4√ 2.

Por 5 – 4√ 2 (a – b√ 2 ) 2n + (c – d√ 2 ) 2n > 0. Kontradikta që rezulton vërteton se barazia fillestare është e pamundur.

Përgjigje: ato nuk ekzistojnë.

5. Nëse segmentet me gjatësi a, b, c formojnë një trekëndësh, atëherë për të gjithë n = 2, 3, 4, . . . segmentet me gjatësi n √ a, n √ b, n √ c formojnë gjithashtu një trekëndësh. Provoje atë.

Nëse segmentet me gjatësi a, b, c formojnë një trekëndësh, atëherë pabarazia e trekëndëshit jep

Prandaj kemi

(n √ a + n √ b) n > a + b > c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b > n √ c.

Në mënyrë të ngjashme konsiderohen rastet e mbetura të kontrollit të pabarazisë së trekëndëshit, nga ku del përfundimi.

6. Vërtetoni se thyesa dhjetore e pafundme 0.1234567891011121314... (pas presjes dhjetore të gjithë numrat natyrorë shkruhen sipas radhës) është numër irracional.

Siç e dini, numrat racional shprehen si thyesa dhjetore, të cilat kanë një periudhë që fillon nga një shenjë e caktuar. Prandaj, mjafton të vërtetohet se kjo thyesë nuk është periodike në asnjë shenjë. Supozoni se nuk është kështu, dhe një sekuencë T prej n shifrash është periudha e thyesës, duke filluar nga vendi i dhjetorit m-të. Është e qartë se midis shifrave pas shenjës m-të ka ato jo zero, prandaj ka një shifër jo zero në sekuencën e shifrave T. Kjo do të thotë se duke u nisur nga shifra e mth pas presjes dhjetore, në mesin e çdo n shifrash në rresht ka një shifër jozero. Megjithatë, shënimi dhjetor i kësaj thyese duhet të përmbajë shënimin dhjetor të numrit 100...0 = 10 k, ku k > m dhe k > n. Është e qartë se kjo hyrje ndodh në të djathtë të shifrës m-të dhe përmban më shumë se n zero me radhë. Kështu, marrim një kontradiktë që plotëson provën.

7. Jepet një thyesë dhjetore e pafundme 0,a 1 a 2 ... . Vërtetoni se shifrat në shënimin e saj dhjetor mund të riorganizohen në mënyrë që thyesa që rezulton të shprehë një numër racional.

Kujtoni se një thyesë shpreh një numër racional nëse dhe vetëm nëse është periodik, duke filluar nga një shenjë e caktuar. Numrat nga 0 deri në 9 do t'i ndajmë në dy klasa: në klasën e parë përfshijmë ata numra që paraqiten në thyesën origjinale një numër të kufizuar herë, në klasën e dytë përfshijmë ata që shfaqen në thyesën origjinale një numër të pafund. herë. Le të fillojmë të shkruajmë një thyesë periodike që mund të merret nga origjinali duke riorganizuar numrat. Së pari, pas zeros dhe presjes, ne shkruajmë në mënyrë të rastësishme të gjithë numrat nga klasa e parë - secili aq herë sa shfaqet në shënimin e fraksionit origjinal. Shifrat e klasës së parë të regjistruara do t'i paraprijnë periudhës në pjesën thyesore të numrit dhjetor. Më pas, le të shkruajmë numrat nga klasa e dytë një nga një në një rend. Ne do ta deklarojmë këtë kombinim si një pikë dhe do ta përsërisim një numër të pafundëm herë. Kështu, ne kemi shkruar thyesën periodike të kërkuar që shpreh një numër të caktuar racional.

8. Vërtetoni se në çdo thyesë dhjetore të pafundme ekziston një sekuencë e numrave dhjetorë me gjatësi arbitrare, e cila ndodh pafundësisht shumë herë në zbërthimin e thyesës.

Le të jetë m një numër natyror i dhënë në mënyrë arbitrare. Le ta ndajmë këtë thyesë dhjetore të pafundme në segmente me m shifra në secilin. Do të ketë një numër të pafund segmentesh të tilla. Nga ana tjetër, ekzistojnë vetëm 10 m sisteme të ndryshme që përbëhen nga m shifra, pra një numër i kufizuar. Rrjedhimisht, të paktën një nga këto sisteme duhet të përsëritet këtu pafundësisht shumë herë.

Komentoni. Për numrat irracionalë √ 2, π ose e ne as nuk e dimë se cila shifër përsëritet pafundësisht shumë herë në thyesat dhjetore të pafundme që i përfaqësojnë ato, megjithëse secili prej këtyre numrave mund të vërtetohet lehtësisht se përmban të paktën dy shifra të tilla të ndryshme.

9. Vërtetoni në mënyrë elementare se rrënja pozitive e ekuacionit

është irracionale.

Për x > 0, ana e majtë e ekuacionit rritet me x, dhe është e lehtë të shihet se në x = 1,5 është më pak se 10, dhe në x = 1,6 është më e madhe se 10. Prandaj, rrënja e vetme pozitive e ekuacioni qëndron brenda intervalit (1.5 ; 1.6).

Le ta shkruajmë rrënjën si një thyesë e pakalueshme p/q, ku p dhe q janë disa numra natyrorë relativisht të thjeshtë. Atëherë në x = p/q ekuacioni do të marrë formën e mëposhtme:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

nga ku del se p është pjesëtues i 10-ës, pra, p është e barabartë me njërin nga numrat 1, 2, 5, 10. Megjithatë, kur shkruajmë thyesat me numëruesit 1, 2, 5, 10, vërejmë menjëherë se asnjëri prej tyre nuk bie brenda intervalit (1.5; 1.6).

Pra, rrënja pozitive e ekuacionit origjinal nuk mund të përfaqësohet si një fraksion i zakonshëm, dhe për këtë arsye është një numër irracional.

10. a) A ka tri pika A, B dhe C në rrafsh të tilla që për çdo pikë X gjatësia e të paktën njërit prej segmenteve XA, XB dhe XC të jetë irracionale?

b) Koordinatat e kulmeve të trekëndëshit janë racionale. Vërtetoni se koordinatat e qendrës së rrethit të tij janë gjithashtu racionale.

c) A ekziston një sferë e tillë në të cilën ka saktësisht një pikë racionale? (Një pikë racionale është një pikë për të cilën të tre koordinatat karteziane janë numra racionalë.)

a) Po, ato ekzistojnë. Le të jetë C mesi i segmentit AB. Pastaj XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 – AB 2)/2. Nëse numri AB 2 është irracional, atëherë numrat XA, XB dhe XC nuk mund të jenë racional në të njëjtën kohë.

b) Le të jenë (a 1 ; b 1), (a 2 ; b 2) dhe (a 3 ; b 3) koordinatat e kulmeve të trekëndëshit. Koordinatat e qendrës së rrethit të tij të rrethuar jepen nga një sistem ekuacionesh:

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 2) 2 + (y – b 2) 2,

(x – a 1) 2 + (y – b 1) 2 = (x – a 3) 2 + (y – b 3) 2.

Është e lehtë të verifikohet që këto ekuacione janë lineare, që do të thotë se zgjidhja e sistemit të ekuacioneve në shqyrtim është racionale.

c) Një sferë e tillë ekziston. Për shembull, një sferë me ekuacionin

(x – √ 2 ) 2 + y 2 + z 2 = 2.

Pika O me koordinata (0; 0; 0) është një pikë racionale e shtrirë në këtë sferë. Pikat e mbetura të sferës janë irracionale. Le ta vërtetojmë.

Le të supozojmë të kundërtën: le të jetë (x; y; z) një pikë racionale e sferës, e ndryshme nga pika O. Është e qartë se x është e ndryshme nga 0, pasi në x = 0 ka një zgjidhje unike (0; 0; 0), e cila nuk është në dispozicion për ne tani të interesuar. Le të hapim kllapat dhe të shprehim √ 2:

x 2 – 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2)/(2x),

e cila nuk mund të ndodhë me x, y, z dhe iracionalë √ 2. Pra, O(0; 0; 0) është pika e vetme racionale në sferën në shqyrtim.

Probleme pa zgjidhje

1. Vërtetoni se numri

\[ \sqrt(10+\sqrt(24)+\sqrt(40)+\sqrt(60)) \]

është irracionale.

2. Për cilët numra të plotë m dhe n vlen barazia (5 + 3√ 2 ) m = (3 + 5√ 2 ) n?

3. A ekziston një numër a i tillë që numrat a – √ 3 dhe 1/a + √ 3 të jenë numra të plotë?

4. A mund të jenë numrat 1, √ 2, 4 anëtarë (jo domosdoshmërisht fqinj) të një progresion aritmetik?

5. Vërtetoni se për çdo numër natyror n ekuacioni (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 nuk ka zgjidhje në numrat racional (x; y).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve