Hyrje

Kjo punë e kursit synon të:

1) të konsolidojë, thellojë dhe zgjerojë njohuritë teorike në fushën e metodave për modelimin e sipërfaqeve dhe objekteve, aftësitë praktike dhe aftësitë e metodave të zbatimit të softuerit;

2) të përmirësojë aftësitë e punës së pavarur;

3) të zhvillojë aftësinë për të formuluar gjykime dhe përfundime, për t'i paraqitur ato në mënyrë logjike, të qëndrueshme dhe të demonstrueshme.

Lëndët e ngurta të Platonit

Trupat platonike janë poliedra konvekse, të gjitha fytyrat e të cilave shumëkëndëshat e rregullt. Të gjitha kënde poliedrike të një shumëkëndëshi të rregullt janë kongruentë. Siç rezulton nga llogaritja e shumës së këndeve të rrafshët në një kulm, nuk ka më shumë se pesë poliedra të rregullt konveks. Duke përdorur metodën e treguar më poshtë, mund të vërtetohet se ekzistojnë saktësisht pesë poliedra të rregullta (kjo u vërtetua nga Euklidi). Ata - tetraedron i rregullt, gjashtëkëndor (kub), oktaedron, dodekaedron dhe ikozaedron. Emrat e këtyre poliedrave të rregullt vijnë nga Greqia. NË përkthim fjalë për fjalë nga greqishtja "tetrahedron", "octahedron", "hexahedron", "dodecahedron", "ikosaedron" do të thotë: "tetrahedron", "oktahedron", "gjashtëkëndor". "dodekahedron", "njëzet e njëzet".

Tabela nr. 1

Tabela nr. 2

Emri:	Rrezja e sferës së kufizuar	Rrezja e sferës së brendashkruar
Tetrahedron
Heksahedron

Dodekahedron
Ikozaedri

Tetrahedron- një katërkëndësh, të gjitha faqet e të cilit janë trekëndësha, d.m.th. piramidë trekëndore; një katërkëndësh i rregullt është i kufizuar nga katër trekëndësha barabrinjës. (Fig. 1).

Kub ose gjashtëkëndor i rregullt- një prizëm i rregullt katërkëndor me skaje të barabarta, i kufizuar me gjashtë katrorë. (Fig. 1).

Tetëkëndësh- oktaedron; trup i kufizuar nga tetë trekëndësha; një tetëkëndësh i rregullt është i kufizuar nga tetë trekëndësha barabrinjës; një nga pesë poliedrat e rregullt. (Fig. 1).

Dodekahedron- dodekahedron, trup i kufizuar nga dymbëdhjetë shumëkëndësha; pesëkëndëshi i rregullt. (Fig. 1).

Ikozaedri- njëzet anësor, trup i kufizuar nga njëzet shumëkëndësha; Ikozaedri i rregullt është i kufizuar nga njëzet trekëndësha barabrinjës. (Fig. 1).

Kubi dhe oktaedri janë të dyfishtë, d.m.th. fitohen nga njëra-tjetra nëse qendrat e rëndesës së fytyrave të njërës merren si kulme të tjetrës dhe anasjelltas. Dodekaedri dhe ikozaedri janë njësoj të dyfishtë. Tetrahedroni është i dyfishtë në vetvete. Një dodekahedron i rregullt përftohet nga një kub duke ndërtuar "çati" në faqet e tij (metoda Euklidiane kulmet e katërkëndëshit janë çdo katër kulme të kubit që nuk janë ngjitur në çift përgjatë një skaji). Kështu përftohen nga kubi të gjitha poliedrat e tjera të rregullta. Vetë fakti i ekzistencës së vetëm pesë poliedrave vërtet të rregullt është befasues - në fund të fundit, ka pafundësisht shumë shumëkëndësha të rregullt në aeroplan!

Të gjitha poliedrat e rregullta njiheshin që në atë kohë Greqia e lashtë, dhe libri i 13-të i Elementeve të Euklidit u kushtohet atyre. Quhen edhe trupa të ngurtë platonike, sepse. ata pushtuan vend i rëndësishëm në konceptin filozofik të Platonit për strukturën e universit. Katër poliedrone personifikuan katër esenca ose "elemente" në të. Tetraedri simbolizonte zjarrin, sepse. maja e saj drejtohet lart; Ikozaedroni? ujë, sepse është më e “racionalizuara”; kub - tokë, si më e "qëndrueshme"; tetëkëndësh? ajri, si më i “ajrosuri”. Polyedri i pestë, dodekaedri, mishëronte "gjithçka që ekziston", simbolizonte të gjithë universin dhe konsiderohej kryesori.

Grekët e lashtë i konsideronin marrëdhëniet harmonike si bazën e universit, kështu që katër elementët e tyre ishin të lidhur me proporcionin e mëposhtëm: tokë/ujë = ajër/zjarr.

Në lidhje me këto organe, do të ishte me vend të thuhet se sistemi i parë i elementeve, i cili përfshinte katër elemente? toka, uji, ajri dhe zjarri - u kanonizua nga Aristoteli. Këta elementë mbetën katër gurët e themelit të universit për shumë shekuj. Është mjaft e mundur t'i identifikojmë ato me katër gjendjet e materies të njohura për ne - të ngurta, të lëngshme, të gazta dhe plazma.

Polyedra të rregullta zinin një vend të rëndësishëm në sistemin e strukturës harmonike të botës të I. Keplerit. I njëjti besim në harmoninë, bukurinë dhe strukturën matematikisht të rregullt të universit e çoi I. Keplerin në idenë se meqenëse ekzistojnë pesë poliedra të rregullta, vetëm gjashtë planetë korrespondojnë me to. Sipas mendimit të tij, sferat e planetëve janë të ndërlidhura nga trupat e ngurtë platonike të gdhendura në to. Meqenëse për çdo poliedron të rregullt qendrat e sferave të brendashkruara dhe të rrethuara përkojnë, i gjithë modeli do të ketë një qendër të vetme në të cilën do të vendoset Dielli.

Pasi bëri një sasi të madhe pune llogaritëse, në 1596 I. Kepler botoi rezultatet e zbulimit të tij në librin "Misteri i Universit". Ai fut një kub në sferën e orbitës së Saturnit, në një kub? sfera e Jupiterit, katërkëndëshi në sferën e Jupiterit, e kështu me radhë, a përshtaten sfera e Marsit me njëra-tjetrën në mënyrë sekuenciale? dodekahedron, sfera e Tokës? Ikozaedroni, sfera e Venusit? oktaedron, sfera e Mërkurit. Misteri i universit duket se është i hapur.

Sot mund të themi me besim se distancat midis planetëve nuk lidhen me asnjë poliedër. Megjithatë, është e mundur që pa "Misterin e Universit", "Harmoninë e Botës" nga I. Kepler, poliedra të rregullta nuk do të kishin pasur tre ligje të famshme të I. Keplerit, të cilat luajnë rol të rëndësishëm në përshkrimin e lëvizjeve të planetëve.

Ku tjetër mund t'i shihni këta trupa të mrekullueshëm? Në librin e biologut gjerman të fillimit të shekullit të kaluar, E. Haeckel, "Bukuria e formave në natyrë", mund të lexoni rreshtat e mëposhtëm: "Natyra ushqen në gjirin e saj një numër të pashtershëm krijesash mahnitëse, të cilat në bukuria dhe diversiteti i tejkalojnë të gjitha format e krijuara nga arti njerëzor.” Krijesat e natyrës të paraqitura në këtë libër janë të bukura dhe simetrike. Kjo është një pronë e pandashme e harmonisë natyrore. Por a ka edhe organizma njëqelizorë të dukshëm këtu? feodaria, forma e së cilës pasqyron me saktësi ikozaedrin. Çfarë e shkakton këtë gjeometrizim natyror? Ndoshta për shkak të të gjitha poliedrave me të njëjtin numër fytyrash, është ikozaedri që ka vëllimin më të madh dhe sipërfaqen më të vogël. Kjo veti gjeometrike ndihmon mikroorganizmin detar të kapërcejë presionin e kolonës së ujit.

Është gjithashtu interesante se ishte ikozaedroni që u bë fokusi i vëmendjes së biologëve në mosmarrëveshjet e tyre në lidhje me formën e viruseve. Virusi nuk mund të jetë krejtësisht i rrumbullakët, siç mendohej më parë. Për të vendosur formën e tij, ata morën poliedra të ndryshëm dhe drejtuan dritën drejt tyre në të njëjtat kënde si rrjedha e atomeve në virus. Doli që vetëm një poliedron jep saktësisht të njëjtën hije? ikozaedron. Vetitë e tij gjeometrike, të përmendura më sipër, lejojnë ruajtjen e informacionit gjenetik. Polyedra të rregullta? shifrat më fitimprurëse. Dhe natyra e përdor gjerësisht këtë. Kristalet e disa substancave të njohura për ne kanë formën e poliedrave të rregullt. Kështu, kubi përcjell formën e kristaleve të kripës së tryezës NaCl, një kristal i vetëm i aluminit-kaliumit (KAlSO4)2 12H2O ka formën e një tetëedri, një kristal i piritit të squfurit FeS ka formën e një dodekaedri, sulfat e antimonit ka formën e një katërkëndëshi dhe bori ka formën e një ikozaedri. Polyedrat e rregullta përcaktojnë formën e rrjetave kristalore të disa substancave kimike.

Pra, poliedrat e rregullt na zbuluan përpjekjet e shkencëtarëve për t'iu afruar sekretit të harmonisë botërore dhe treguan tërheqjen dhe bukurinë e parezistueshme të këtyre figurave gjeometrike.

Polyedra të dyfishta në trupat e ngurtë të Arkimedit. Ashtu si trupat e ngurtë të Arkimedit, ka 13 rombododekaedra ... Wikipedia

Dodekahedron Shumëfaqëshi i rregullt, ose i ngurtë platonik, është një shumëfaqësh konveks me simetrinë më të madhe të mundshme. Një shumëkëndësh quhet i rregullt nëse: është konveks të gjitha faqet e tij janë shumëkëndësha të rregullta të barabarta në secilin prej tij... ... Wikipedia;

Dodekahedron Shumëkëndëshi i rregullt ose i ngurtë platonik është një shumëkëndësh konveks i përbërë nga shumëkëndësha të rregullt identikë dhe që ka simetria hapësinore... Wikipedia

Ky artikull propozohet për fshirje. Një shpjegim i arsyeve dhe diskutimi përkatës mund të gjendet në faqen e Wikipedia: Për t'u fshirë / 22 nëntor 2012. Ndërsa procesi i diskutimit është ... Wikipedia

Një pjesë e hapësirës e kufizuar nga një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh planar (shih GJEOMETRI) të lidhur në mënyrë të tillë që secila anë e çdo shumëkëndëshi të jetë një anë e një shumëkëndëshi tjetër (që quhet... ... Enciklopedia e Collier

Polyedra gjysmë të rregullta në rast i përgjithshëm këto janë shumëfaqësh të ndryshëm konveks që kanë shenja të caktuara e rregullt, si p.sh. ngjashmëria e të gjitha fytyrave ose fakti që të gjitha fytyrat janë poligone të rregullta, si dhe hapësinore ... Wikipedia

Ose trupat e ngurtë të Arkimedit janë shumëkëndësha konveks që kanë dy veti: Të gjitha faqet janë shumëkëndësha të rregullt të dy ose më shumë llojeve (nëse të gjitha faqet janë shumëkëndësha të rregullta të të njëjtit lloj, ai është një shumëkëndësh i rregullt); Për çdo çift... ... Wikipedia

Lloji Fytyrë poliedrike e rregullt Fytyra pesëkëndëshe e rregullt Fytyra 12 skaje 30 kulme 20 ... Wikipedia

Lloji i animacionit Fytyrë poliedrike e rregullt Trekëndësh i rregullt Fytyra 20 ... Wikipedia

Ky term ka kuptime të tjera, shih Kub (kuptimet). Lloji i kubit Polyedron i rregullt Fytyra katrore ... Wikipedia

libra

Gjeometria e shenjtë, numerologjia, muzika, kozmologjia ose QUADRIVIUM, Martino D., Landi M. dhe të tjerë "Kudo që e njihni, për aq sa është e mundur, unitetin e natyrës" ("Poezi të arta" të Pitagorianëve) "Bota (. hapësira) nuk u krijua për ju - por ju jeni për të" (Iamblichus, filozof antik) Kjo ilustron ...
Magjike Edges, Nr. 11, 2015,. Krijimi i modeleve të poliedrës nga kartoni është një aktivitet shumë emocionues dhe i arritshëm, është "magjia e shndërrimit" të një fletë letre figura tredimensionale. Më së shumti modele të thjeshta mund të ketë poliedra...

Shkolla e misterit të Pitagorës, Platoni dhe grekët e lashtë besonin se këta pesë trupa ishin modelet bazë pas universit fizik. Megjithatë, kjo njohuri e lashtë ka qenë e njohur që nga kohra të lashta. Katër trupat janë modelet arketipale që qëndrojnë pas katër elementeve të gjithë krijimit: Toka, Zjarri, Ajri dhe Uji. Modeli i pestë konsiderohej Substanca Universale e universit, dhe në disa shkolla sekrete konsiderohej Elementi i Pestë - Eteri. Trupi i pestë është dodekaedri dhe përdorimi i tij në botën materiale u fsheh me kujdes, sepse ata ndjenin rrezikun e keqpërdorimit të tij. Ne e dimë se NAA, shumë shoqëri sekrete dhe linja Illuminati i kanë keqpërdorur ato si forma që qëndrojnë në themel të dhjetë strukturave të kthimit të vendosura në Tokë si matrica e kontrollit të mendjes.

Këto quhen Rrjetet e Kthimit 55 dhe shprehen me forma dodekaedronësh, shumë prej të cilave shoqërohen me matricën e kthimit të përdorur për t'i shërbyer Vetes së entiteteve. Kështu, në modelin tonë ne do ta konsiderojmë dodekaedrin si një matricë elementare ose substancë që përdoret për të formuar kohën dhe hapësirën. Matrica mund të programohet me kënde të ndryshme thyerjet e dritës që përkulin në mënyrë inorganike kohën dhe hapësirën. Nëpërmjet Hierogamisë, ndodh modernizimi - Ylli i Mërkurit (Ylli i Azothit), nga Ylli Kristal, Shtatë Diejt e Shenjtë, që përmbajnë përbërësin e Eterit Kozmik. Ky element i pestë do të evoluojë në të gjashtin, duke ruajtur lidhjen dhe komunikimin tonë në përputhje me Ligjin Suprem Kozmik dhe nën drejtimin e Yllit Kristal. Eteri Kozmik ose Kuintesenca e Nënës manifestohet në çdo model valësh gjeometrike dhe i jep jetë formës. Ajo krijon pasardhës si modele të shumta fraktale të spiraleve, duke qenë krijesa të lindura nga forma dhe materia. Trupat platonike janë të renditura në modele fraktale që thurin Fushën Morfogjenetike në një Projekt që manifeston në hapësirë një matricë që lidh atomet me yjet në modelet e tyre astronomike. Megjithëse format e trupave të ngurtë platonike janë të ndryshme, marrëdhëniet, struktura dhe modeli holografik janë të ngjashëm. Kjo korrespondon me parimin hermetik "Si lart, ashtu edhe më poshtë".

Këto modele astronomike vërehen në lëvizjen vjetore të ekliptikës nëpër yjësitë e Diellit, e cila lëviz për mijëra vjet në cikle evolucionare të quajtura Precesioni i Ekuinokseve. Universi lëviz dhe zhvillohet në një spirale. Të gjitha polaritetet e kundërta shpërbëhen, duke u kthyer në ekuilibër. Balanca midis polariteteve mund të vërehet në lëvizjen spirale. Lëvizja e energjisë përgjatë një spirale ka një qendër kryesore, në të cilën ka një zero absolute të spirales, kjo është një qendër neutrale ose një qendër pushimi. Kjo qendër themelore e spirales së ndërgjegjes është e pranishme në të gjitha qeniet e gjalla.

Pesë trupat e ngurtë platonike janë blloqe ndërtimi Gjeometria e shenjtë në vetëdije, që ka të njëjtat veçori:

Të gjitha skajet kanë të njëjtën madhësi

Të gjitha skajet kanë të njëjtën gjatësi

Të gjithë këndet e trupit janë të barabartë

Të gjithë trupat mund të futen në një sferë

Tetrahedron - trupi i parë platonik, katër faqet e të cilit janë trekëndësha të rregullt, përfaqëson elementin e zjarrit. Ajo është e lidhur me kryqëzimin e trajektoreve të planetëve Jupiter dhe Mars, i cili u zbulua për herë të parë nga Johannes Kepler.

Heksahedron - trupi i dytë platonik, gjashtë fytyrat e të cilit janë katrorë, simbolizon elementin e tokës. Ajo është e lidhur me kryqëzimin e trajektoreve të planetëve Saturn dhe Jupiter, i cili u zbulua për herë të parë nga Johannes Kepler.

Tetëkëndësh - trupi i tretë platonik, tetë faqet e së cilës janë trekëndësha të rregullt dhe përfaqëson elementin e ajrit. Kjo është për shkak të kryqëzimit të trajektoreve të planetëve Mars dhe Tokë, i cili u zbulua për herë të parë nga Johannes Kepler.

Dodekahedron - trupi i katërt platonik, dymbëdhjetë fytyrat e të cilit janë pesëkëndëshat e rregullt, paraqet elementin e kohës dhe hapësirës, substancën nga e cila ndërtohen matricat. Ajo është e lidhur me kryqëzimin e trajektoreve të planetëve Tokë dhe Venus, i cili u zbulua për herë të parë nga Johannes Kepler.

Ikozaedri - trupi i pestë platonik, njëzet faqet e të cilit janë trekëndësha barabrinjës, simbolizon elementin e ujit. Ajo është e lidhur me kryqëzimet e trajektoreve të planetëve Venus dhe Merkur, i cili u zbulua për herë të parë nga Johannes Kepler.

Fusha e vetme e rrjetit

Trupat platonike janë kompozime të formuara gjeometrikisht që organizohen në grupe të ndryshme për të koduar bazën e strukturës së rrjetit. Rrjeti është një term i përgjithshëm që përdoret për të shpjeguar nivelet e shumta të Fushës Morfogjenetike që formojnë Fushën e Unifikuar të substancës së gjallë përmes së cilës gjithçka lidhet në Univers. Rrjeti përfaqëson pëlhurën në të cilën nivelet e projekteve kristalore janë thurur në manifestim, formë mbështetëse dhe vetëdije. Energjia e rrjetit është vetë thelbi dhe struktura e Universit.

Format gjeometrike janë struktura kristalore që formojnë nivele shumëdimensionale të formave të vetëdijes dhe materies. Ato veprojnë si blloqe ndërtimi të frekuencës dhe tone tingujsh nga të cilat formohen modelet bazë të trupave. Format gjeometrike janë ato që projektojnë dhe zgjerojnë format e vetëdijes në kohë dhe hapësirë, dhe gjithashtu e kthejnë trupin e Ndërgjegjes në qendrën kryesore. Ata vendosin themelin gjeometrik të të gjithë materies, strukturave dhe biologjisë që perceptojnë hapësirën dhe kohën në të gjithë Kozmosin. Këto themelore trupat gjeometrikë formë fusha elektromagnetike, duke lëvizur njëkohësisht në shumë dimensione dhe kontrolloni se si shfaqen këto fusha dhe ndërtojnë forma materiale. Trupat platonike formojnë një matricë kristalore të fushave elektromagnetike dhe vetëdijes që përshkon dhe lidh gjithçka në Univers.

Gjeometria e Shenjtë

Format themelore gjeometrike të trupave të ngurtë platonike janë të organizuara në grupe nga të cilat formohen grupe komandash dhe kode gjeometrike më komplekse. Të gjitha format materiale dhe energjia e vetëdijes janë të strukturuara në bazë të këtyre grupeve bazë dhe parametrave të kodimit gjeometrik. Kjo përcakton strukturën bazë atomike dhe gjenetikën e formës, karakteristikat dhe personalitetin e saj. Puna me Gjeometrinë e Shenjtë është të punosh me grupe modelesh gjeometrike të përcaktuara nga trupat e ngurtë platonike. Vini re se këto grupe formojnë një kodim specifik që drejton dritën dhe valët e zërit për të formuar shprehje të shumta në shumë dimensione njëkohësisht. Këto kode gjeometrike mbajnë modelin bazë të manifestimit në të gjitha format individuale. Ata gjithashtu mbështesin strukturën bazë që formon vetëdijen brenda të gjitha gjërave në Univers. Vetitë e manifestimit të formave mund të ndryshohen ose përshtaten duke rikonfiguruar këto kode bazë gjeometrike.

Gjeometria e Shenjtë përmban të gjitha udhëzimet dhe blloqet ndërtuese për Projektet e të gjithë universit, nga botët e pamanifestuara deri te ato të manifestuara, dhe është baza e të gjitha formave dhe Ndërgjegjes. Gjeometria e Shenjtë është një model i Ndërgjegjes. Në çdo nivel, nga kuanti deri te trupat e mëdhenj planetarë dhe astronomikë, çdo model rritjeje, ndryshimi ose lëvizjeje korrespondon me saktësi matematikore me një ose më shumë forma gjeometrike. Gjeometria e Shenjtë është një shkencë e lashtë metafizike që studion modelet matematikore që janë të natyrshme në univers dhe zbulon mënyrën e saktë në të cilën Universi organizohet. Gjeometria e Shenjtë zbulon lidhjen bazë që qëndron në themel të të gjitha gjërave, në formë matematikore, përmes numrave dhe gjeometrisë, duke vërtetuar rendin e fshehur pas gjithë krijimit, në Kalkulusin e Pafund Hyjnor. Kuptimi i madh se "Zoti është matematika" dhe Gjeometria e Shenjtë është gjuha e Universit pas të gjitha formave të krijimit krijon një kozmologji uniteti dhe jo një ndjenjë ndarjeje.

Kuptimi i Gjeometrisë së Shenjtë përmes meditimit ose soditjes është i rëndësishëm për të eksploruar natyrën, për të kuptuar qëllimin dhe nevojën për formimin e Shpirtit të Shpirtit. Modeli ynë unik i shpirtit përmban modelet matematikore dhe format gjeometrike që diktojnë modelin e ndërgjegjes sonë. Ndërsa studiojmë këto struktura të vetëdijes, ne fitojmë një kuptim më të thellë të modeleve dhe kodeve matematikore që zbulojnë simbolikën e natyrës së marrëdhënies sonë me veten, Universin dhe Zotin.

Çdo gjë ka një model që qëndron në themel të dizajnit, është çelësi i krijimit të ngjarjeve të caktuara dhe ndikon në vetëdijen ose perceptimin tonë. Duke studiuar ndryshimet dhe lëvizjet natyrore të mbretërive të natyrës, gjeometrinë e natyrshme në natyrë, ne fitojmë një mori informacionesh për mënyrën se si funksionon natyra. Të gjitha format janë prodhuar në përputhje me Parimin Gjinor të Krijimit. Gjithçka krijohet duke kombinuar parimet e nënës dhe babait.

Përkthimi:

Lëndët e ngurta platonike

Ka një numër tronditës të vogël të poliedrave të rregullt, por kjo skuadër shumë modeste arriti të futej në thellësi të shkencave të ndryshme.

L. Carroll

Njeriu gjithmonë ka treguar interes për poliedrat. Disa nga trupat e rregullt dhe gjysmë të rregullt ndodhin në natyrë në formën e kristaleve, të tjerët - në formën e viruseve, të cilat mund të shihen duke përdorur mikroskop elektronik. Çfarë është një poliedron? Një shumëkëndësh është një pjesë e hapësirës e kufizuar nga një koleksion i një numri të kufizuar poligonesh të sheshtë.

Shkencëtarët kanë qenë prej kohësh të interesuar për shumëkëndëshat "idealë" ose të rregullt, domethënë shumëkëndëshat që kanë anët e barabarta Dhe kënde të barabarta. Shumëkëndëshi më i thjeshtë i rregullt mund të konsiderohet një trekëndësh barabrinjës, pasi ka numrin më të vogël të brinjëve që mund të kufizojnë një pjesë të rrafshit. Pamja e përgjithshme e shumëkëndëshave të rregullt që na interesojnë së bashku me trekëndëshin barabrinjës janë: katrori (katër brinjë), pesëkëndëshi (pesë brinjë), gjashtëkëndëshi (gjashtë brinjë), tetëkëndëshi (tetë brinjë), dhjetëkëndëshi (dhjetë brinjë) etj. Natyrisht, teorikisht nuk ka kufizime në numrin e brinjëve të një shumëkëndëshi të rregullt, domethënë, numri i shumëkëndëshave të rregullt është i pafund.

Çfarë është një poliedron i rregullt? Një shumëkëndësh i rregullt është një shumëkëndësh i tillë, të gjitha faqet e të cilit janë të barabarta (ose kongruente) me njëra-tjetrën dhe në të njëjtën kohë janë shumëkëndësha të rregullt. Sa poliedra të rregullta ka? Në librin XIII të Elementeve të Euklidit, kushtuar poliedrave të rregullt, ose trupave të ngurtë platonike (Platoni i diskuton ato në dialogun Timaeus), gjejmë prova të rrepta se ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullta dhe fytyrat e tyre mund të jenë vetëm tre lloje të shumëkëndëshave të rregullt: trekëndëshat, katrorët dhe pesëkëndëshat.

Prova se ekzistojnë saktësisht pesë poliedra konvekse të rregullta është shumë e thjeshtë.

Natyrisht, çdo kulm i një poliedri mund t'i përkasë tre ose më shumë fytyrave. Së pari, merrni parasysh rastin kur faqet e shumëfaqëshit janë trekëndësha barabrinjës. Sepse këndi i brendshëm Një trekëndësh barabrinjës është 60°; Nëse tani i përkulim këto qoshe përgjatë anëve të brendshme dhe i ngjisim së bashku përgjatë anëve të jashtme, marrim një cep shumëkëndësh të një katërkëndëshi - një shumëkëndësh i rregullt, në secilën kulm të të cilit takohen tre fytyra të rregullta trekëndore. Tre trekëndësha të rregullt me një kulm të përbashkët quhen zhvillimi i një kulmi katërkëndor. Nëse i shtoni një trekëndësh tjetër zhvillimit të kulmit, totali është 240°. Ky është zhvillimi i kulmit të oktaedrit. Shtimi i një trekëndëshi të pestë do të japë një kënd prej 300 ° - marrim zhvillimin e kulmit të ikozaedrit. Nëse shtojmë një trekëndësh tjetër, të gjashtë, shuma e këndeve bëhet e barabartë me 360° - ky zhvillim, padyshim, nuk mund të korrespondojë me asnjë shumëkëndësh konveks.

Tani le të kalojmë te fytyrat katrore. Një zhvillim i tre fytyrave katrore ka një kënd prej 3 x 90 ° = 270 ° - kjo krijon kulmin e një kubi, i cili quhet edhe gjashtëkëndor. Shtimi i një katrori tjetër do të rrisë këndin në 360° - ky zhvillim nuk korrespondon më me asnjë shumëkëndësh konveks.

Tre faqe pesëkëndëshe japin një kënd skanimi prej 3 x 108° = 324° - kulmi i dodekaedrit. Nëse shtojmë një pesëkëndësh tjetër, marrim më shumë se 360°.

Për gjashtëkëndëshat, tashmë tre fytyra japin një kënd skanimi prej 3 x 120° = 360°, kështu që është e saktë shumëkëndësh konveks me faqe gjashtëkëndore nuk ekziston. Nëse fytyra ka edhe më shumë kënde, atëherë skanimi do të ketë një kënd edhe më të madh. Kjo do të thotë se nuk ka poliedra të rregullta konvekse me faqe që kanë gjashtë ose më shumë kënde.

Kështu, ne jemi të bindur se ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullt konveks - tetraedri, tetëkëndëshi dhe ikozaedri me faqe trekëndore, kubi (gjashtëkëndëshi) me faqe katrore dhe dodekaedri me faqe pesëkëndëshe.

Pesë poliedrat e rregullt ose trupat e ngurtë platonike ishin në përdorim dhe të njohura shumë kohë përpara kohës së Platonit. Kate Crichlow, në librin e saj Time Stands Still, jep dëshmi bindëse se ata ishin të njohur për popullin neolitik të Britanisë të paktën 1000 vjet para Platonit. Ky pretendim bazohet në praninë e një numri gurësh sferikë të vendosur në Muzeun Ashmolean në Oksford. Këta gurë, të përmasave që të përshtateshin në dorë, ishin të mbuluar me figura sferike gjeometrikisht të sakta të kubit, katërkëndëshit, tetëkëndëshit, ikozaedrit dhe dodekaedrit, si dhe me disa trupa të ngurtë shtesë dhe pseudo të rregullt si kuboktaedri dhe ikododekaedri. Critchlow thotë: "Ajo që kemi janë objekte që padyshim tregojnë shkallën aftësitë matematikore të cilat deri më tani janë mohuar në lidhje me njeriun neolitik nga disa arkeologë apo historianë të matematikës”.

Theaetetus i Athinës (417–369 pes), një bashkëkohës i Platonit, dha një përshkrim matematikor të poliedrave të rregullt dhe provën e parë të njohur se janë saktësisht pesë prej tyre.

Në Timaeus, i cili është karakteri më i fortë i Pitagorës nga ndonjë prej veprave të tjera të Platonit, ai thotë se katër elementët bazë të botës janë toka, ajri, zjarri dhe uji dhe se secili prej këtyre elementeve lidhet me një element hapësinor. shifrat. Tradita e lidh kubin me tokën, katërkëndëshin me zjarrin, oktaedrin me ajrin dhe ikozaedrin me ujin. Platoni përmend "një strukturë të caktuar të pestë" të përdorur nga krijuesi në krijimin e universit. Kështu, dodekaedri u lidh me elementin e pestë: eterin. Organizatori i universit, Platoni, vendosi rendin nga kaosi primitiv i këtyre elementeve me ndihmën e formave dhe numrave themelorë. Renditja sipas numrit dhe formës për më shumë nivel të lartëçoi në rregullimin e destinuar të pesë elementëve në universin fizik. Më pas, format dhe numrat themelorë filluan të vepronin si vijë ndarëse midis më të lartave dhe botët e ulëta. Vetë dhe për shkak të analogjisë së tyre me elementë të tjerë, ata patën aftësinë për të formësuar botën materiale.

Të njëjtat pesë organe të rregullta në përputhje me traditë klasike vizatohen në atë mënyrë që të përfshihen në nëntë topa koncentrikë dhe secili trup është në kontakt me një sferë e cila është e rrethuar rreth trupi i ardhshëm ndodhet brenda tij. Kjo përbërje shfaq shumë marrëdhënie të rëndësishme dhe është huazuar nga një disiplinë e quajtur corpo transparente, që ka të bëjë me perceptimin e sferave të bëra nga materiali transparent dhe të vendosura njëra brenda tjetrës. Ky udhëzim iu dha nga Fra Luca Paccioli shumë prej njerëzve të mëdhenj të Rilindjes, duke përfshirë Leonardo dhe Brunulleschi.

Në librin e tij "Sekreti i botës" (Mysterium Cosmographicum), e cila u botua në vitin 1596. Johannes Kepler sugjeroi se ekziston një lidhje midis pesë trupave të ngurtë platonike dhe gjashtë planetëve të sistemit diellor të zbuluar deri në atë kohë. Sipas këtij supozimi, një kub mund të futet në sferën e orbitës së Saturnit, në të cilën përshtatet sfera e orbitës së Jupiterit. Tetrahedroni i përshkruar pranë sferës së orbitës së Marsit përshtatet në të, nga ana tjetër. Dodekaedri përshtatet në sferën e orbitës së Marsit, në të cilën futet sfera e orbitës së Tokës. Dhe përshkruhet pranë ikozaedrit, në të cilin është gdhendur sfera e orbitës së Venusit. Sfera e këtij planeti përshkruhet rreth oktaedrit, në të cilin përshtatet sfera e Mërkurit. Ky model i sistemit diellor u quajt "Kupa Kozmike" e Keplerit. Mospërputhja midis modelit të Keplerit dhe dimensioneve aktuale të orbitave (të rendit disa përqind) u shpjegua nga I. Kepler si "ndikimi i materies".

Në shekullin e 20-të, lëndët e ngurta platonike u përdorën në teori modeli i shtresës elektronike Robert Moon, e cila njihet edhe si teoria e Hënës. Hëna vuri re se rregullimi gjeometrik i protoneve dhe neutroneve në bërthamën atomike është i lidhur me pozicionin e kulmeve të trupave të ngurtë platonike. Ky koncept u frymëzua nga Mysterium Cosmographicum i J. Kepler.

Ekziston formula e Euler-it për poliedrat:

F + V = E + 2

Në këtë formulë F- numri i fytyrave, V- numri i kulmeve, E– numri i brinjëve. Këto karakteristika numerike për trupat e ngurtë platonike janë dhënë në tabelë.

Veçoritë sasiore të lëndëve të ngurta platonike

Marrëdhëniet e rëndësishme midis skajeve, diametrave të sferave të brendashkruara dhe të rrethuara, sipërfaqeve dhe vëllimeve të shumëkëndëshave të rregullta shprehen përmes numrave irracionalë. Tabela më poshtë tregon raportin e gjatësisë së skajit me diametrin e rrethuar të sferës për secilën nga pesë trupat e ngurtë platonike.

Çdo rezultat i marrë është një numër irracional që mund të gjendet vetëm duke marrë rrënjën katrore. Ne shohim se këtu shfaqen numra që janë të rëndësishëm dhe të veçantë në matematikën e shenjtë.

Gjeometria e dodekaedrit dhe ikozaedrit është e lidhur me raportin e artë. Në të vërtetë, faqet e dodekaedronit janë pesëkëndësha, pra pesëkëndësha të rregullt bazuar në raportin e artë. Nëse shikoni nga afër ikozaedrin, mund të shihni se pesë trekëndësha takohen në çdo kulm të ikozaedrit, anët e jashtme të cilat formojnë Pentagonin. Vetëm këto fakte janë të mjaftueshme për të na bindur se proporcioni i artë luan rol të rëndësishëm në ndërtimin e këtyre dy trupave të ngurtë platonike. Këto dy figura janë anasjellta e njëra-tjetrës: të dyja përbëhen nga 30 skaje, por pavarësisht kësaj, ikozaedri ka 20 faqe dhe 12 kulme, dhe dodekaedri ka 12 faqe dhe 20 kulme. Gjithashtu të kundërt me njëri-tjetrin janë oktaedri dhe gjashtëkëndëshi, dhe teataedri me vetveten.

Ka të mahnitshme lidhjet gjeometrike mes të gjithëve poliedra të rregullta. Kështu, për shembull, kubik Dhe tetëkëndësh janë të dyfishta, pra fitohen nga njëra-tjetra nëse qendrat e rëndesës së fytyrave të njërës merren si kulme të tjetrës dhe anasjelltas. Në mënyrë të ngjashme të dyfishtë ikozaedron Dhe dodekahedron. Tetrahedron e dyfishtë për veten e tij. Një dodekahedron përftohet nga një kub duke ndërtuar "çati" në faqet e tij (metoda Euklidiane kulmet e një katërkëndëshi janë çdo katër kulme të kubit që nuk janë ngjitur në çift përgjatë një skaji, domethënë, të gjitha shumëfaqëshet e tjera të rregullta mund të jenë); marrë nga kubi.

Robert Lawlor në veprën e tij tregon se trupat e ngurtë platonike mund të ndërtohen në bazë të ikozaedrit. Ai shkruan: “Nëse i lidhim të gjitha kulmet e brendshme të ikozaedrit duke tërhequr tre vija nga secila prej tyre, duke e lidhur çdo kulm me kulmin e kundërt të tij, dhe pastaj nga dy kulmet e sipërme vizatoni katër vija në dy ato të kundërta, në mënyrë që këto vijat takohen në qendër, ne, duke vepruar në përputhje me atë që u tha, do të ndërtojmë natyrshëm skajet e dodekaedrit. Ky ndërtim ndodh automatikisht kur linjat e brendshme të ikozaedronit kryqëzohen. Pas krijimit të dodekaedronit, ne thjesht mund të përdorim gjashtë nga kulmet e tij dhe qendrën për të ndërtuar një kub. Duke përdorur diagonalet e kubit, mund të ndërtojmë një katërkëndësh në formë ylli ose të ndërthurur. Kryqëzimet e katërkëndëshit të yllit me kubin na japin vendndodhjen e saktë për të ndërtuar oktaedrin e brendashkruar. Pastaj, në vetë oktaedrin, duke përdorur vijat e brendshme të ikozaedrit dhe kulmet e tetëkëndëshit, fitohet një ikozaedron i dytë. Ne kemi kaluar të gjithë ciklin e plotë, pesë faza nga fara në farë. Dhe veprime të tilla përfaqësojnë një sekuencë të pafundme.

Tetrahedron

Më e thjeshta nga shumëfaqëshet e rregullta është tetraedri. Për Platonin korrespondon me elementin e Zjarrit. Në fizikë, "zjarri" mund të lidhet me gjendjen e plazmës. Tetraedri ka numrin më të vogël të faqeve midis trupave të ngurtë platonike dhe është një analog tredimensional i atij të sheshtë. trekëndëshi i rregullt, i cili ka numrin më të vogël të brinjëve midis shumëkëndëshave të rregullt. Katër faqet e tij janë trekëndësha barabrinjës. Katër është numri më i vogël i skajeve që ndajnë një pjesë të hapësirës tre-dimensionale. Secila nga kulmet e saj është kulmi i tre trekëndëshave. Të gjithë këndet poliedrike të një tetraedri janë të barabartë me njëri-tjetrin. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 180°. Kështu, një katërkëndor ka 4 faqe, 4 kulme dhe 6 skaje.

Tetëkëndësh

Tetëkëndëshi përbëhet nga tetë trekëndësha barabrinjës. Për Platonin korrespondon me elementin e Ajrit. Në fizikë, "ajri" mund të lidhet me gjendje e gaztë substancave. Secila nga kulmet e saj është kulmi i katër trekëndëshave. Fytyra të kundërta shtrihen në plane paralele. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 240°. Kështu, oktaedri ka 8 faqe, 6 kulme dhe 12 skaje.

Ikozaedri

Ikozaedri është një nga pesë trupat e ngurtë platonike, pas tetraedrit dhe tetëkëndëshit për nga thjeshtësia. Për Platonin korrespondon me elementin e Ujit. Në fizikë, "uji" mund të lidhet me gjendjen e lëngshme të materies. Ikozaedri përbëhet nga njëzet trekëndësha barabrinjës. Secila nga kulmet e saj është kulmi i pesë trekëndëshave. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 300°. Kështu, ikozaedroni ka 20 fytyra, 12 kulme dhe 30 skaje.

Heksahedron

Një gjashtëkëndor ose kub përbëhet nga gjashtë katrorë. Për Platonin korrespondon me elementin e Tokës. Në fizikë, "toka" mund të lidhet me gjendje e ngurtë substancave. Secila nga kulmet e saj është kulmi i tre katrorëve. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 270°. Kështu, një kub ka 6 fytyra, 8 kulme dhe 12 skaje.

Dodekahedron

Dodekaedri përbëhet nga dymbëdhjetë pesëkëndësha barabrinjës. Për Platonin korrespondon me elementin e pestë - Eterin. Secila nga kulmet e saj është kulmi i tre pesëkëndëshave. Shuma e këndeve të rrafshët në çdo kulm është 324°. Kështu, dodekaedri ka 12 faqe, 20 kulme dhe 30 skaje.

Në natyrën e gjallë gjenden poliedra të rregullta. Në fillim të shekullit të 20-të, Ernst Haeckel ( Ernst Haeckel) përshkroi një numër organizmash, format e skeletit të të cilëve janë të ngjashme me poliedra të ndryshme të rregullta. Për shembull: Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus dhe Circorrhegma dodecahedra. Format skeletore të këtyre organizmave pasqyrohen në emrat e tyre.

Skeleti organizëm njëqelizor feodaria ( Circogoniaikosaedra) ka formën e një ikozaedri. Shumica e feodarëve jetojnë në thellësi të detit dhe shërbejnë si pre e peshqve koral. Por kafsha më e thjeshtë përpiqet të mbrohet: 12 gjilpëra të zbrazëta dalin nga 12 majat e skeletit. Skajet e gjilpërave kanë gjemba që e bëjnë gjilpërën edhe më efektive në mbrojtje.

Shumë viruse, p.sh. herpes, kanë formën e një ikozaedri të rregullt. Strukturat virale ndërtohen nga nën-njësi proteinash të përsëritura dhe ikozaedroni është forma më e përshtatshme për riprodhimin e këtyre strukturave.

Rrjetat kristalore të shumë mineraleve kanë formën e lëndëve të ngurta platonike.

Prodhimi i acidit sulfurik, hekurit dhe llojeve të veçanta të çimentos nuk është i plotë pa piritet e squfurit ( FeS). Kristalet e këtij kimikati janë në formë dodekaedri. Sylviti mineral ka rrjetë kristali në formën e një kubi. Kristalet e piritit kanë formën e një dodekaedri, ndërsa cupriti formon kristale në formën e oktaedronëve.

Trupat platonike janë një objekt shumë i rëndësishëm për studim, si nga pikëpamja e matematikës së shenjtë, ashtu edhe nga pikëpamja shkencat natyrore. Lëndët e ngurta platonike shfaqen kudo, nga viruset, shumë prej të cilëve kanë një formë ikozaedrale, deri te makrostrukturat komplekse si sistemi diellor.

Anton Mukhin

Nga libri Fletore autor Çehov Anton Pavlovich

pjesë e trupit. 2 [Kryeprifti qan si i sëmuri në fëmijëri kur e ëma i vinte keq; Unë qava thjesht nga sexhdeja e përgjithshme shpirtërore, turma qau. Ai besoi, arriti gjithçka që i ishte [dhënë (?)] e arritshme për një person në pozicionin e tij, por prapë i dhembte shpirti: jo gjithçka ishte e qartë, diçka tjetër

Nga libri Gjithçka është nën kontroll: Kush po ju shikon dhe si autor Garfinkel Simeon

Nga libri E ardhmja e paimagjinueshme autor Krieger Boris

Pengët e trupit tuaj Në gjendje të shëndetit dhe mirëqenies, një person harron plotësisht ekzistencën e trupit të tij. Ai nuk shqetësohet nga dhimbja dhe manifestimet e tjera të shqetësimit, si ndjenja e të ftohtit, nxehtësisë, urisë dhe të tjera. Megjithatë, ndjenja e realitetit të jetës është e drejtë

Nga libri "Matrix" si filozofi nga Irwin William

TRUPAT, MENDJET, GJINET "Yjet" e "Matrix" duken sipas një standardi të caktuar. Në botën virtuale, mishi i tyre fshihet poshtë mik i ngjashëm mbi njëra-tjetrën me kostume prej lëkure të zezë me shkëlqim ose lateks. "ekzistenca" është e mbushur me mish, gërvishtje dhe lëngje gjaku të freskët. Të tillë

Nga libri Japonia Fytyrat e Kohës. Mentaliteti dhe traditat në një brendshme moderne. autor Prasol Alexander Fedorovich

Kapitulli 17 RRETH DINAMIKËS SË TRUPIT - TIPARET E LËVIZJEVE JAPONEZE Klima, dieta dhe mënyra e jetesës, e ndryshme nga ajo evropiane, kanë formësuar fizikun japonez dhe natyrën e lëvizjeve për shekuj me radhë. Ka ende shumë të paeksploruara në këtë fushë, kështu që le të përpiqemi ta kuptojmë

Nga libri Mësimet e njerëzve të tjerë - 2008 autor Golubitsky Sergej Mikhailovich

ESTETIKA E TRUPIT NUD historikisht Qëndrimi japonez ndaj shumë aspekteve të paraqitjes së një personi ishte gjithashtu shumë i ndryshëm nga ai evropian. Kjo është veçanërisht e dukshme në lidhje me trupin e zhveshur. Në kulturën evropiane, lakuriqësia lejohet në dy raste: nga

Nga libri Gazeta Letrare 6300 (Nr. 45 2010) autor Gazeta letrare

Gjuha e relaksuar e trupit Botuar në revistën “Business Magazine” Nr.15 datë 8 gusht 2008. Associated Press, 4 korrik 2008: “Philip Bennett, ish-kreu i Refco Inc., u dënua me 16 vjet burg për mashtrim financiar që çoi në shembjen e një prej më të mëdhenjve në botë.

Nga libri Si të mposhtim kinezët autor Maslov Alexey Alexandrovich

Misteret e trupit Biblioman. Libri i dhjetëra Misteret e trupit LEXIMI I MOSKËS A.A. Kamensky, M.V. Maslova, A.V. Grafiku. Hormonet sundojnë botën: Endokrinologjia popullore. – M.: AST-PRESS, 2010. – 192 f.: ill. – (Shkenca dhe Paqja). – 5000 kopje. Nuk publikohet shumë tani letërsi shkencore popullore,

Nga libri Kritika e arsyes së papastër autor Silaev Alexander Yurievich

Nga libri Duke parashikuar veten. Nga imazhi në stil autor Khakamada Irina Mitsuovna

Trupat e vërtetë Për ta thënë shkurt: nuk mjafton të dish të vërtetën, duhet ta jetosh atë në trupin tënd. Në mënyrë që trupi të sillet me të vërtetë. Dhe kjo duhet të mësohet veçmas, në lëndë-disiplina të veçanta. Të gjithë e dinë, askush

Nga libri Dimensioni i pestë. Në kufirin e kohës dhe hapësirës [koleksioni] autor Bitov Andrey

Kapitulli 4. Spiritualizimi i trupit Trupi mund të trajtohet ndryshe. Ju mund ta hyjnizoni atë dhe t'i kushtoni jetën tuaj atij. Jane Fonda shkroi për këtë në kujtimet e saj. Pasi krijoi gjimnastikë, ajo e torturoi veten me dieta dhe palestër, duke e çuar psikikën e saj në një gjendje shkatërruese. E mundur në

Nga libri Fotografitë e Parisit. Vëllimi II autor Mercier Louis-Sebastien

Trupa delikate (personalisht) NË 1964, menjëherë pas xhirimeve, artistja e Leningradit Gaga Kovenchuk ëndërroi për Nikita Sergeevich. Ata u takuan në metro. Gaga ishte shumë e lumtur. "Si kështu? – shprehu menjëherë simpatinë. "Gjithçka po shkonte aq mirë!" Nikita Sergeevich ishte i shkurtër:

Nga libri Masoneria dhe Makineria (koleksioni) autor Baykov Eduard Arturovich

226. Festa e Corpus Christi (57) Dita e Corpus Christi është më solemne nga të gjitha. Festat katolike. Në këtë ditë, Parisi është i pastër, i gëzuar, i sigurt, madhështor. Në këtë ditë, mund të shihet se sa gjëra argjendi ka në kisha, për të mos përmendur ar dhe diamante, sa luksoze është kisha.

Nga libri Rusia. Nuk është ende mbrëmje autor Mukhin Yuri Ignatievich

Kult trupi Bodybuilding (nga anglishtja body - body and building - construction, d.m.th. Body-Building - body building, body building), ose bodybuilding (nga frëngjisht culturisme - ushqyer, ndërtim) nuk është thjesht një sistem. ushtrime fizike, duke nxitur rritjen masë muskulore Dhe,

Nga libri Doktrina e shokut [Rritja e kapitalizmit të fatkeqësive] nga Naomi Klein

Dalja e shpirtit nga trupi Unë mendoj se nuk do t'ju habisë që kur një person është në gjendje vdekjeje, trupi bën gjithçka për të shpëtuar trurin. Kjo do të thotë, nëse trupi humbet gjakun, atëherë trupi (Shpirti) do të ndërpresë të gjitha organet nga furnizimi me gjak dhe do të qarkullojë gjakun e mbetur vetëm në një rreth:

Nga libri i autorit

Goditje në trup Rezistenca u rrit dhe pushtuesit u përgjigjën duke përdorur gjithnjë e më shumë goditjen në një formë të re. Natën vonë ose herët në mëngjes, ushtarët hynin në dyer, duke ndezur fenerë në dhomat e errëta dhe duke mbushur shtëpinë me britma, nga të cilat banorët vendas mund të dallonte vetëm disa

Shënim

Filozofi i shquar rus Alexei Losev, studiues i estetikës së antikitetit dhe të Rilindjes, në fjalët e mëposhtme formuloi paradigmën "e artë" të grekëve të lashtë: "Nga këndvështrimi i Platonit, dhe në të vërtetë nga këndvështrimi i gjithë kozmologjisë antike, bota është një lloj i tërë proporcionale, që i nënshtrohet ligjit të ndarjes harmonike - seksioni i artë.” Zbulimet më të fundit të shkencës moderne, të bazuara në trupat e ngurtë platonike, raporti i artë, numrat e Fibonaçit: fullerene, Çmimin Nobel- 1996; kuazikristalet, Çmimi Nobel - 2011; prova eksperimentale e ekzistencës së harmonisë së "seksionit të artë" në bota kuantike; zbulimi i modelit Fibonacci në tabelën periodike; "Hipoteza e Proclus" dhe një vështrim i ri mbi "Elementet" e Euklidit dhe historinë e zhvillimit të matematikës, duke filluar nga Euklidi; funksionet hiperbolike të Fibonaçit dhe teoria e re gjeometrike e filotaksisë; trekëndëshi i Paskalit dhe numrat e përgjithësuar të Fibonaçit; përmasat e përgjithësuara të arta dhe ligji i harmonisë strukturore të sistemeve; Numrat Lambda Fibonacci si klasë e re sekuenca të plota me veti matematikore unike; "proporcione metalike" dhe teori e përgjithshme funksionet hiperbolike harmonike; zgjidhja e problemit të katërt të Hilbertit dhe kërkimi i botëve hiperbolike harmonike të Natyrës; Matricat "të arta", transformimet Fibonacci-Lorentz dhe interpretimi "artë". teori e veçantë relativiteti; Matricat e gjeneve "të arta"; teoria e matjes algoritmike, kodet e Fibonaçit dhe kompjuterët; sistemet e numrave me baza irracionale, aritmetika pasqyrë-simetrike treshe dhe teoria e numrave “të artë” si drejtim i ri në teorinë e numrave; matricat e përgjithësuara të Fibonaccit dhe teoria e re e kodimit; më në fund, "matematika e harmonisë" si një drejtim i ri ndërdisiplinor, që daton që nga "Elementet" e Euklidit - të gjitha këto janë "fytyra të proporcionit hyjnor" në shkencën moderne, të cilat krijojnë një pamje të përgjithshme të lëvizjes së saj drejt "Artë" Revolucioni Shkencor, e cila pasqyron kolektivisht një nga tendencat më të rëndësishme në zhvillimin e shkencës moderne - një kthim te Pitagora, Platoni dhe Euklidi.

PjesëIII

"Matematika posedon jo vetëm të vërtetën, por edhe bukurinë e lartë - bukuri e mprehtë dhe e rreptë, sublimisht e pastër dhe që përpiqet për përsosmërinë e vërtetë, e cila është karakteristikë vetëm për shembujt më të mëdhenj të artit."

Bertrand Russell

Parathënie

Secilit prej nesh i është dashur të mendojë më shumë se një herë se përse Natyra është në gjendje të krijojë struktura kaq të mahnitshme estetike që kënaqin dhe kënaqin syrin. Pse artistët, poetët, kompozitorët, arkitektët krijojnë vepra të mahnitshme arti nga shekulli në shekull? Cili është sekreti dhe cilat ligje qëndrojnë në themel të këtyre krijesave harmonike? Çfarë është "harmonia"? Dhe a ka ajo shprehje matematikore? Për të modeluar "botën e harmonisë" në botën e lashtë, kryesisht në Greqinë e Lashtë, u krijua matematika e harmonisë, elementet e të cilave janë ringjallur në shkencën moderne në shumë libra, përfshirë librin Aleksej Stakhov “ Të Matematika e Harmonia. Nga Euklidi te bashkëkohore Matematika dhe Kompjuter Shkenca” , botuar në vitin 2009 nga një prej shtëpive botuese shkencore më prestigjioze në botë, “World Scientific”.

Qëllimi i këtij botimi, i destinuar për një audiencë të gjerë, është të shpjegojë në mënyrë popullore konceptin e "harmonisë", i cili u fut në shkencë në agimin e zhvillimit të qytetërimit njerëzor, për të treguar për historinë e kësaj prirje në periudhën antike. , Mesjeta, Rilindja, në shekujt 19 dhe 20, si dhe futin në rrethin e ideve dhe aplikimeve të "matematikës së harmonisë" moderne, duke u zhvilluar në mënyrë aktive në shekullin e 21-të. . Natyrisht, “matematika e harmonisë” është një degë e matematikës; Prandaj, autorët nuk ishin në gjendje të shmangnin plotësisht formulat matematikore në artikullin kushtuar kësaj disipline matematikore. Sidoqoftë, "matematika e harmonisë" është një matematikë mjaft e thjeshtë (mund të thuhet "fillore"), e cila përdor formula matematikore që janë të arritshme për nxënësit e shkollave të mesme. Dhe autorët shpresojnë për kënaqësinë e lexuesve tanë.

Artikulli përbëhet nga 4 pjesë:

Pjesa III. Trupat platonike, "hipoteza e Proclusit", një vështrim i ri në "Elementet" e Euklidit, fullerenet dhe kuazikristalet

Pjesa IV. Roli i "matematikës së harmonisë" në zhvillimin e shkencës moderne

PjesëIII. Trupat platonike, "hipoteza e Proclusit", një vështrim i ri në "Elementet" e Euklidit, fullerenet dhe kuazikristalet

7. Trupat platonike

Shumëkëndësha të rregullt dhe shumëfaqësh

Një person tregon interes për shumëkëndëshat dhe poliedrat e rregullt gjatë gjithë veprimtarisë së tij të ndërgjegjshme - nga një fëmijë dyvjeçar që luan me blloqe druri tek një matematikan i pjekur. Disa nga trupat e rregullt dhe gjysmë të rregullt ndodhin në natyrë në formën e kristaleve, të tjerët - në formën e viruseve që mund të ekzaminohen duke përdorur një mikroskop elektronik.

Çfarë është një shumëkëndësh dhe një shumëkëndësh? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të kujtojmë se vetë gjeometria ndonjëherë përkufizohet si shkenca e hapësirës dhe figurave hapësinore - dy-dimensionale dhe tre-dimensionale. Një figurë dydimensionale mund të përkufizohet si një grup segmentesh të drejta që lidhin një pjesë të një rrafshi. Një figurë e tillë e sheshtë quhet shumëkëndëshi. Nga kjo rrjedh se një shumëfaqësh mund të përkufizohet si një grup poligonesh që lidhin një pjesë të hapësirës tre-dimensionale. Shumëkëndëshat që formojnë një shumëkëndësh quhen faqet e tij.

Shkencëtarët kanë qenë prej kohësh të interesuar për shumëkëndëshat idealë ose të rregullt, domethënë shumëkëndëshat me brinjë dhe kënde të barabarta. Mund të konsiderohet shumëkëndëshi më i thjeshtë i rregullt trekëndësh barabrinjës, pasi ka numrin më të vogël të anëve që mund të kufizojnë një pjesë të aeroplanit. Pamja e përgjithshme e shumëkëndëshave të rregullt që na interesojnë, së bashku me trekëndëshin barabrinjës, është: katrore(katër anët) pesëkëndësh(pesë anët) gjashtëkëndësh(gjashtë anët) tetëkëndësh(tetë anët) dhjetëkëndësh(dhjetë anët), etj. Natyrisht, teorikisht nuk ka kufizime në numrin e anëve të një shumëkëndëshi të rregullt, domethënë, numri i shumëkëndëshave të rregullt është i pafund.

Çfarë është ajo poliedri i rregullt? Një shumëkëndësh i rregullt është një shumëkëndësh i tillë, të gjitha faqet e të cilit janë të barabarta (ose kongruente) me njëra-tjetrën dhe në të njëjtën kohë janë shumëkëndësha të rregullt. Sa poliedra të rregullta ka? Në shikim të parë, përgjigja për këtë pyetje është shumë e thjeshtë - ka po aq shumëkëndësha të rregullt sa ka. Megjithatë, kjo nuk është e vërtetë. Në Elementet e Euklidit gjejmë një provë rigoroze se ka vetëm pesë shumëkëndësha të rregullt konveks dhe fytyrat e tyre mund të jenë vetëm tre lloje të shumëkëndëshave të rregullt: trekëndëshat, katrorët dhe pesëkëndëshat.

Polyedra të rregullta në Elementet e Euklidit

Shumë libra i kushtohen teorisë së poliedrës. Një nga më të famshmit është libri i matematikanit anglez M. Wenninger “Models of Polyhedra”. Libri fillon me një përshkrim të të ashtuquajturit poliedra të rregullta, pra poliedra të formuara nga shumëkëndëshat më të thjeshtë të rregullt të të njëjtit lloj. Këto poliedra zakonisht quhen Lëndët e ngurta platonike, i quajtur sipas filozofit të lashtë grek Platoni, i cili përdori poliedra të rregullta në kozmologjinë e tij. Ne do të fillojmë shqyrtimin tonë me poliedra të rregullt, faqet e të cilave janë trekëndësha barabrinjës (Fig. 21).

Fig.21. Lëndët e ngurta platonike: tetraedron, oktaedron, kub, dodekaedron, ikozaedron

E para (dhe më e thjeshta) midis poliedrave të rregullt është katërkëndësh. Në një katërkëndësh, tre trekëndësha barabrinjës takohen në një kulm; në të njëjtën kohë, bazat e tyre formojnë një trekëndësh të ri barabrinjës. Tetraedri ka numrin më të vogël të faqeve midis trupave të ngurtë platonikë dhe është analog tredimensional i një trekëndëshi të rregullt të sheshtë, i cili ka numrin më të vogël të brinjëve midis shumëkëndëshave të rregullt.

Trupi tjetër, i cili formohet nga trekëndëshat barabrinjës, quhet tetëkëndësh. Në një oktaedron, katër trekëndësha takohen në një kulm; rezultati është një piramidë me një bazë katërkëndore. Nëse lidhni dy piramida të tilla me bazat e tyre, ju merrni një trup simetrik me tetë fytyra trekëndore - tetëkëndësh.

Tani mund të provoni të lidhni pesë trekëndësha barabrinjës në një pikë. Rezultati do të jetë një figurë me 20 fytyra trekëndore - ikozaedron.

Forma e mëposhtme e rregullt e shumëkëndëshit është katrore. Nëse lidhim tre katrorë në një pikë dhe më pas shtojmë tre të tjerë, marrim një formë të përsosur me gjashtë brinjë të quajtura gjashtëkëndor ose kubik.

Së fundi, ekziston një mundësi tjetër e ndërtimit të një poliedri të rregullt, bazuar në përdorimin e poligonit të rregullt vijues - Pentagoni. Nëse mbledhim 12 pesëkëndësha në mënyrë të tillë që tre pesëkëndësha të takohen në secilën pikë, marrim një trup tjetër platonik, i quajtur dodekahedron.

Shumëkëndëshi tjetër i rregullt është gjashtëkëndësh. Sidoqoftë, nëse lidhim tre gjashtëkëndësha në një pikë, marrim një aeroplan, domethënë është e pamundur të ndërtohet një figurë tredimensionale nga gjashtëkëndëshat. Çdo shumëkëndësh tjetër i rregullt mbi një gjashtëkëndësh nuk mund të formojë fare trupa të ngurtë. Në thelb, ne përsëritëm arsyetimin që kreu Euklidi në Librin XIII të Elementeve të tij. Ky libër i kushtohet prezantimit të teorisë së përfunduar gjeometrike të trupave të ngurtë platonike. Dhe është pikërisht nga këto argumente që rezulton se ekzistojnë vetëm pesë poliedra të rregullt konveks, faqet e të cilave mund të jenë vetëm trekëndësha, katrorë dhe pesëkëndësha barabrinjës.

Karakteristikat numerike të trupave të ngurtë platonike. Karakteristikat kryesore numerike të trupave të ngurtë platonike janë numri i anëve të një fytyre m, numri i faqeve n që konvergojnë në çdo kulm, numri i faqeve G, numri i kulmeve NË, numri i skajeve R dhe numri i këndeve të sheshta U Në sipërfaqen e një poliedri, Euler zbuloi dhe vërtetoi formulën e famshme:

NË - P+ G = 2 ,

Lidhja e numrit të kulmeve, skajeve dhe faqeve të çdo poliedri konveks. Karakteristikat numerike të mësipërme janë dhënë në tabelën 2.

Tabela 2. Karakteristikat numerike të trupave të ngurtë platonike

Është e përshtatshme t'i kushtohet vëmendje pronës dualiteti, që lidh trupat e ngurtë platonike. Nga tabela 2 rrjedh se për një gjashtëkëndor (kub) dhe një tetëkëndor, numri i skajeve P = 12 dhe numri i këndeve të sheshta në sipërfaqe Y = 24 përputhen. Por numri i faqeve të kubit G=6 përkon me numrin e kulmeve të tetëedrit B=6 dhe numri i kulmeve të kubit B=8 përputhet me numrin e faqeve të tetëedrit G=8. Përveç kësaj, numri i anëve të një fytyre kubike m= 4 përkon me numrin e fytyrave të takimit të tetëkëndëshit në kulm, n=4, ndërsa numri i faqeve të kubit konvergojnë në n=3, përkon me numrin e anëve të faqes së tetëkëndëshit m= 3. Një situatë e ngjashme vërehet në rastin e ikozaedrit dhe dodkahedronit. Në raste të tilla flasim për dualiteti nxehtësia përkatëse e Platnovit, domethënë kubik e dyfishtë oktaedri dhe ikozaedri e dyfishtë dodekahedron. Vini re se në pronë dualiteti pasqyrohet harmonia e “fshehur” e trupave të ngurtë platonike.

Raporti i artë në dodekaedron dhe ikozaedron. Dodekaedri dhe ikozaedroni i tij i dyfishtë zënë një vend të veçantë midis trupave të ngurtë platonike. Para së gjithash, duhet theksuar se gjeometria e dodekaedrit dhe ikozaedrit lidhet drejtpërdrejt me raportin e artë. Në të vërtetë, faqet e dodekaedronit janë pesëkëndësha, domethënë pesëkëndësha të rregullt bazuar në raportin e artë. Nëse shikoni nga afër ikozaedron, mund të shihni se pesë trekëndësha takohen në secilën nga kulmet e tij, anët e jashtme të të cilit formojnë një pesëkëndësh. Vetëm këto fakte janë të mjaftueshme për të na bindur se raporti i artë luan një rol vendimtar në hartimin e këtyre dy trupave të ngurtë platonike.

Por ka dëshmi më të thella të lidhjes së thellë matematikore të raportit të artë me ikozaedrin dhe dodekaedrin. Dhe kjo lidhje çon në faktin se dodekaedri dhe ikozaedri shprehin harmoninë e raportit të artë në një formë "të fshehur".

9. Hipoteza e Proclus: një vështrim i ri në Elementet e Euklidit dhe historia e zhvillimit të matematikës

Për çfarë qëllimi i shkroi Euklidi Elementet e tij?

Në pamje të parë, duket se përgjigja për këtë pyetje është shumë e thjeshtë: qëllimi kryesor i Euklidit ishte të përcaktonte arritjet kryesore të matematikës greke në 300 vitet para Euklidit, duke përdorur " metodë aksiomatike» prezantimi i materialit. Në të vërtetë, Elementet e Euklidit është vepra kryesore e shkencës greke kushtuar ndërtim aksiomatik gjeometria dhe matematika. Kjo pamje e Principia është më e zakonshme në matematikën moderne.

Sidoqoftë, përveç këndvështrimit "aksiomatik", ekziston një këndvështrim tjetër për motivet që udhëhoqën Euklidin kur shkruante "Elementet". Ky këndvështrim u shpreh nga filozofi dhe matematikani grek Proclus Diadochos(412-485), një nga komentuesit e parë të Elementeve.

Para së gjithash, disa fjalë për Proclus. Prokli lindi në Bizant në familjen e një avokati të pasur nga Licia. Duke synuar të ndiqte gjurmët e të atit, si adoleshent shkoi në Aleksandri, ku studioi fillimisht retorikën, më pas u interesua për filozofinë dhe u bë student i neoplatonistit Aleksandri Olimpiodori i Ri. Ishte prej tij që Prokli filloi të studionte traktatet logjike të Aristotelit. Në moshën 20-vjeçare Prokli u zhvendos në Athinë, ku Akademia Platonike në atë kohë drejtohej nga Plutarku i Athinës. Tashmë në moshën 28-vjeçare, Prokli shkroi një nga veprat e tij më të rëndësishme, një koment mbi Timaeus të Platonit. Rreth vitit 450, Prokli u bë kreu i Akademisë Platonike.

Ndër veprat matematikore të Proklis, më e famshmja është Komenti i tij mbi librin e parë të Elementeve të Euklidit. Në këtë koment ai parashtron hipotezën e mëposhtme të pazakontë, e cila quhet "Hipoteza e Proclus". Thelbi i saj është si më poshtë. Siç dihet, XIII, pra libri i fundit i "Elementeve", i kushtohet prezantimit të teorisë së pesë poliedrave të rregullt, të cilat luajtën një rol dominues në "Kozmologjinë e Platonit" dhe në shkencën moderne njihen si Lëndët e ngurta platonike. Është pikërisht kjo rrethanë që tërheq vëmendjen Prokli. Siç thekson Eduard Soroko, sipas Proclus-it, Euklidi "krijoi Principia, gjoja jo për qëllimin e paraqitjes së gjeometrisë si të tillë, por për të dhënë një teori të plotë të sistemuar të ndërtimit të pesë "ngurtësave platonike", duke theksuar njëkohësisht disa nga arritjet më të fundit të matematikës."

Rëndësia e hipotezës së Proclus për zhvillimin e matematikës. Përfundimi kryesor nga "Hipoteza e Proclus" është se Elementet e Euklidit, vepra më e madhe matematikore greke, u shkrua nga Euklidi nën ndikimin e drejtpërdrejtë të "idesë së Harmonisë" greke, e cila ishte e lidhur me trupat e ngurtë platonike. Kështu, "hipoteza e Proclus" na lejon të sugjerojmë se "doktrina e Pitagorës së harmonisë numerike të Universit" dhe "Kozmologjia e Platonit", bazuar në poliedra të rregullta, u mishëruan në veprën më të madhe matematikore të matematikës greke, Elementet e Euklidit.

Fatkeqësisht, hipoteza origjinale e Proclus-it në lidhje me qëllimet e vërteta të Euklidit në shkrimin e Elementeve është injoruar nga shumë historianë modernë të matematikës, duke rezultuar në një pamje të shtrembëruar të strukturës së matematikës dhe të gjithë edukimit matematikor. Dhe ky është një nga "gabimet strategjike" kryesore në zhvillimin e matematikës.

"Hipoteza e Proclus" dhe problemet "kyçe" të matematikës antike. Siç e dini, akademiku Kolmogorov në librin e tij identifikoi dy probleme kryesore, domethënë "kyç" që stimuluan zhvillimin e matematikës në fazën e fillimit të saj - problem i llogarisë Dhe problemi i matjes. Sidoqoftë, një problem tjetër "kyç" rrjedh nga "hipoteza e Proclus" - problemi i harmonisë, e cila u shoqërua me "ngurtë platonike" dhe "raportin e artë" - një nga zbulimet më të rëndësishme matematikore të matematikës antike (Propozimi II.11 i "Elementeve" të Euklidit). Ishte ky problem që Euklidi përdori si bazë për "Elementet" e tij, qëllimi kryesor i të cilit ishte krijimi i një teorie gjeometrike të "ngurtësave platonike", e cila në "kozmologjinë e Platonit" shprehte harmoninë e Universit. Kjo ide çon në një pamje të re të historisë së matematikës, të paraqitur në Figurën 22.

Oriz. 22. Probleme "kyçe" të matematikës antike dhe drejtime të reja në matematikë, fizikës teorike dhe shkenca kompjuterike

Qasja e demonstruar në Fig. 22 u përvijua fillimisht në punim. Ai bazohet në arsyetimin e mëposhtëm. Tashmë në lindjen e matematikës, u bënë një numër zbulimesh të rëndësishme matematikore që ndikuan rrënjësisht në zhvillimin e matematikës dhe shkencës në tërësi. Më të rëndësishmet prej tyre janë:

1. Parimi pozicional i paraqitjes së numrave, bërë nga matematikanët babilonas në mijëvjeçarin II para Krishtit. dhe të mishëruara prej tyre në sistemin e numrave babilonas 60-arësh. Ky zbulim i rëndësishëm matematikor qëndron në themel të të gjitha sistemeve pasuese të numrave pozicional, në veçanti sistemi dhjetor Dhe sistemi binar- bazat e kompjuterëve modernë. Ky zbulim përfundimisht çoi në formimin e konceptit numri natyror- koncepti më i rëndësishëm që qëndron në themel të matematikës.

2. Vërtetimi i ekzistencës së segmenteve të pakrahasueshëm. Ky zbulim është bërë në shkollë shkencore Pitagora, çoi në një rimendim të matematikës së hershme të Pitagorës, e cila bazohej në "parimin e krahasueshmërisë së sasive" dhe në hyrjen numrat irracionalë- koncepti i dytë (pas numrave natyrorë) themelor i matematikës. Në fund të fundit, këto dy koncepte (numrat natyrorë dhe irracionalë) ishin baza e "Matematikës Klasike".

3. Ndarja e një segmenti në raporte ekstreme dhe mesatare ("raporti i artë"). Përshkrimi i kësaj zbulimi matematik dhënë në Elementet e Euklidit (Propozimi II.11). Ky propozim u prezantua nga Euklidi me qëllim të krijimit të një teorie të plotë gjeometrike të "ngurtësave platonike" (në veçanti, dodekaedrit), prezantimi i së cilës i kushtohet librit të fundit (XIII) të "Elementeve" të Euklidit.

Qasja e formuluar më sipër (Fig. 22) çon në një përfundim që mund të jetë i papritur për shumë matematikanë. Rezulton se paralelisht me « Matematikë Klasike» në shkencë, duke filluar me grekët e lashtë, filloi të zhvillohet një drejtim tjetër matematikor - "Matematika e Harmonisë" e cila, si matematika klasike, kthehet në Elementet e Euklidit, por e përqendron vëmendjen e saj jo në "qasjen aksiomatike", por në "problemin e ndarjes së një segmenti në raportin ekstrem dhe mesatar" (Propozimi II.11) dhe në teorinë gjeometrike. e poliedrave të rregullt, të paraqitur në Librin XIII të Elementeve të Euklidit. Mendimtarë, shkencëtarë dhe matematikanë të shquar morën pjesë në zhvillimin e "matematikës së harmonisë" gjatë disa mijëvjeçarëve: Pitagora, Platoni, Euklidi, Fibonacci, Pacioli, Kepler, Cassini, Binet, Lucas, Klein, dhe në shekullin e 20 - i famshëm. matematikanët Coxeter, Vorobiev, Hoggatt dhe Vaida. Dhe ne nuk mund ta anashkalojmë këtë fakt historik.

Origjina e doktrinës

Sipas një komentuesi të botimit të fundit të veprave të Platonit, ai ka "I gjithë proporcionaliteti kozmik mbështetet në parimin e ndarjes së artë, ose proporcionit harmonik." Siç u përmend, kozmologjia e Platonit bazohet në poliedra të rregullta të quajtura trupa të ngurtë platonike. Ideja e harmonisë "nga fundi në fund" të universit shoqërohej pa ndryshim me mishërimin e saj në këto pesë poliedra të rregullta, të cilat shprehnin idenë e përsosmërisë universale të botës. Dhe fakti që figura kryesore "kozmike" - dodekaedri, që simbolizon trupin e botës dhe shpirtin universal, bazohej në raportin e artë, i dha kësaj të fundit një bukuri të veçantë, kuptimin e proporcionit kryesor të universit.

Kozmologjia e Platonit u bë fillimi i të ashtuquajturës doktrinë ikozaedral-dodekaedral, i cili qysh në lashtësi kalon si një fije e kuqe në të gjithë shkenca njerëzore. Thelbi i kësaj doktrine është se dodekaedri dhe ikozaedri janë forma tipike të natyrës në të gjitha manifestimet e saj, nga hapësira në mikrokozmos.

Forma e Tokës

Çështja e formës së Tokës pushtoi vazhdimisht mendjet e shkencëtarëve të kohëve të lashta. Dhe kur u vërtetua hipoteza për formën sferike të Tokës, lindi ideja se në formën e saj Toka është dodekahedron. Pra, Sokrati ka shkruar tashmë:

“Toka, kur e shikon nga lart, duket si një top i bërë nga 12 copa lëkure.”

Kjo hipotezë e Sokratit gjendet më tej zhvillimin shkencor në veprat e fizikantëve, matematikanëve dhe gjeologëve. Pra, gjeologu francez de Beamon dhe matematikan i famshëm Poincare besonte se forma e Tokës ishte një dodekaedron i deformuar.

Gjeologu rus S. Kislitsin ndau gjithashtu mendimin për formën dodekaedrale të Tokës. Ai hodhi hipotezën se 400-500 milionë vjet më parë, gjeosfera dodekaedrale u shndërrua në një gjeo-ikosaedron. Sidoqoftë, një tranzicion i tillë doli të ishte i paplotë dhe i paplotë, si rezultat i të cilit gjeo-dodekaedri e gjeti veten të gdhendur në strukturën e ikozaedrit. Më shumë informacion të detajuar kjo hipotezë është paraqitur në libër.

Misteri i kalendarit egjiptian

Një nga të parët kalendarët diellorë ishte Egjiptian, krijuar në mijëvjeçarin e IV para Krishtit. Viti kalendarik origjinal egjiptian përbëhej nga 360 ditë. Viti u nda në 12 muaj me saktësisht 30 ditë secili. Megjithatë, më vonë u zbulua se kjo gjatësi e vitit kalendarik nuk korrespondon me të dhënat astronomike. Dhe më pas egjiptianët shtuan 5 ditë të tjera në vitin kalendarik, të cilat, megjithatë, nuk konsideroheshin ditë të muajit. Ishte 5 pushime, duke lidhur vitet kalendarike fqinje. Kështu, viti kalendarik egjiptian kishte këtë strukturë: 365=12 x 30+5. Vini re se është kalendari egjiptian që është prototipi i kalendarit modern.

Shtrohet pyetja: pse egjiptianët e ndanë vitin kalendarik në 12 muaj? Në fund të fundit, kishte kalendarë me një numër të ndryshëm muajsh në vit. Për shembull, në kalendarin Maja, viti përbëhej nga 18 muaj me 20 ditë në muaj. Pyetja e radhës në lidhje me kalendarin egjiptian: pse çdo muaj kishte saktësisht 30 ditë (më saktë, ditë)? Disa pyetje mund të ngrihen edhe për sistemin e matjes së kohës, i cili mund të jetë formuar në kohët e mëvonshme. Në veçanti, lind pyetja: pse njësia e orës u zgjodh në atë mënyrë që të përshtatet saktësisht 24 herë në ditë, domethënë pse 1 ditë = 24 (2 x 12) orë? Tjetra: pse 1 orë = 60 minuta, dhe 1 minutë = 60 sekonda? Të njëjtat pyetje vlejnë edhe për zgjedhjen e njësive. vlerat këndore, në veçanti: pse rrethi ndahet në 360°, pra pse 2p=360°=12 x 30°? Këtyre pyetjeve u shtohen edhe të tjera, në veçanti: pse astronomët e panë të arsyeshme të besojnë se ka 12 zodiakut shenja, edhe pse në fakt, gjatë lëvizjes së tij përgjatë ekliptikës, Dielli kalon 13 yjësi? Dhe një pyetje tjetër "e çuditshme": pse sistemi i numrave babilonas kishte një bazë shumë të pazakontë - numrin 60?

Duke analizuar kalendarin egjiptian, si dhe sistemet për matjen e kohës dhe vlerave këndore, zbulojmë se katër numra përsëriten me qëndrueshmëri mahnitëse: 12, 30, 60 dhe derivati i tyre numri 360 = 12´30. Shtrohet pyetja: a ka ndonjë ide shkencore themelore që mund të japë një shpjegim të thjeshtë dhe logjik për përdorimin e këtyre numrave në kalendarin dhe sistemet egjiptiane?

Le të kthehemi te dodekaedri (Fig. 21). Nga tabela 1 rezulton se dodekaedri ka 12 faqe, 30 skaje dhe 60 kënde të sheshta në sipërfaqen e tij. Imagjinoni habinë e egjiptianëve të lashtë kur zbuluan se të njëjtat numra shprehnin ciklet e sistemit diellor, domethënë, ciklin 12-vjeçar të Jupiterit, ciklin 30-vjeçar të Saturnit dhe, së fundi, ciklin 60-vjeçar të sistemi diellor. Kështu, midis një figure kaq të përsosur hapësinore si dodekahedron, dhe Sistemi Diellor, ka një lidhje të thellë matematikore! Ky përfundim u bë nga shkencëtarët e lashtë. Kjo çoi në faktin se dodekahedron u adoptua si “figura kryesore” që simbolizonte Harmonia e Universit. Meqenëse, sipas të lashtëve, lëvizja e Diellit përgjatë ekliptikës ishte rreptësisht rrethore, atëherë, duke zgjedhur 12 shenja të Zodiakut, distanca e harkut midis të cilave ishte saktësisht 30 °, egjiptianët u koordinuan çuditërisht bukur. lëvizje vjetore Dielli sipas ekliptikës me strukturën e vitit të tij kalendarik: një muaj korrespondonte me lëvizjen e Diellit përgjatë ekliptikës midis dy shenjave fqinje të Zodiakut! Për më tepër, lëvizja e Diellit me një shkallë korrespondonte me një ditë të vitit kalendarik egjiptian! Në këtë rast, ekliptika u nda automatikisht në 360°. Më vonë, e njëjta ide shkencore u përdor nga krijuesit e sistemit të matjes së kohës. Duke e ndarë çdo gjysmë të ditës në 12 pjesë (12 anë dodekahedron) çoi në hyrje orë- njësia më e rëndësishme e kohës. Ndarja e një ore në 60 minuta (60 kënde të rrafshët në sipërfaqe dodekahedron) çoi në hyrje minuta- njësia tjetër e rëndësishme e kohës. Në të njëjtën mënyrë u prezantua e dyta(1 minutë = 60 sekonda).

Kështu, duke zgjedhur dodekahedron si figura kryesore “harmonike” e universit, dhe duke ndjekur rreptësisht karakteristikat numerike të dodekaedrit 12, 30, 60, shkencëtarët arritën të ndërtonin një kalendar jashtëzakonisht harmonik, si dhe sisteme për matjen e kohës dhe vlerave këndore.

Këto janë përfundimet befasuese që rrjedhin nga krahasimi: dodekahedron me sistemin diellor. Dhe nëse hipoteza jonë është e saktë (le të përpiqet dikush ta përgënjeshtroj atë), atëherë rrjedh se për shumë mijëvjeçarë njerëzimi ka jetuar nën shenjën e "raportit të artë" (që qëndron në themel të dodkahedronit)! Dhe sa herë që shikojmë numrin e orës sonë, e cila është ndërtuar gjithashtu në përdorimin e karakteristikave numerike të dodekaedronit 12, 30 dhe 60, prekim "Misterin e Universit" kryesor - raporti i artë, pa e ditur as vetë! Me sa duket, kjo hipotezë e kalendarit egjiptian ka të bëjë me një sekret "të fshehur" të sistemit diellor, të lidhur me "raportin e artë".

Johannes Kepler dhe Felix Klein

“Misterium Cosmographicum”. E imja veprimtaria shkencore Johannes Kepler filloi në qytetin e vogël austriak të Gracit, ku, pasi u diplomua në Akademinë e Tübingenit, u dërgua për të dhënë mësim matematikën në gjimnaz.

Le të bëjmë një “digresion lirik”. Nga data 15 deri më 19 korrik 1996, në Graz u zhvillua Konferenca e 7-të Ndërkombëtare mbi Numrat Fibonacci dhe aplikimet e tyre. Në këtë konferencë, Alexey Stakhov bëri një raport “ TëArtëSeksionidheModerneHarmoniaMatematika” , nga e cila, në thelb, filloi zhvillimi i "matematikës së harmonisë" moderne si një drejtim i ri ndërdisiplinor i shkencës moderne. Raporti ngjalli interes të madh në mesin e matematikanëve Fibonacci dhe u zgjodh për botim në koleksionin "Applications of Fibonacci Numbers" (1998). Gjatë qëndrimit në Graz, prof. Alexey Stakhov bëri një foto pranë monumentit të Johannes Kepler, i instaluar në një nga parqet në Graz.

Alexey Stakhov pranë monumentit të Johannes Kepler

(Graz, korrik 1996)

Puna e parë astronomike e Keplerit, e shkruar në Graz, ishte një libër i vogël me titullin e mëposhtëm: "Paraardhësi i kërkimit kozmografik, që përmban misterin e universit në lidhje me përmasat e mrekullueshme midis rrathëve qiellorë dhe shkaqeve të vërteta, numrit dhe madhësisë së sferat qiellore, si dhe lëvizjet periodike të shpjeguara nga pesë trupat e rregullt nga Johannes Kepler nga Württemberg, një matematikan nga provinca e shquar e Styria." Ai vetë e quajti këtë libër, të botuar në 1597, "Misterium Cosmographicum" ("Misteri i Kozmografisë").

Duke lexuar veprën e parë të Keplerit, "Misterium Cosmographicum" ("Misteri i Kozmografisë"), njeriu nuk pushon së mahnituri me imagjinatën e tij. Bindja e thellë në ekzistencën e harmonisë në botë la një gjurmë në të gjithë mendimin e Keplerit. Kepler formuloi qëllimin e kërkimit të tij, të përcaktuar në Misteri i Kozmografisë, në parathënie:

« I dashur lexues! Në këtë libër, unë u nisa të provoj se Zoti i Gjithëmirë dhe i Gjithëfuqishëm, kur krijoi botën tonë lëvizëse dhe kur rregullonte orbitat qiellore, zgjodhi si bazë pesë trupat e rregullt, që nga koha e Pitagorës dhe Platonit e deri te ditët e sotme kanë fituar një famë kaq të madhe, zgjodhën numrin dhe përmasat e orbitave qiellore, si dhe marrëdhëniet midis lëvizjeve u zgjodhën në përputhje me natyrën e trupave të rregullt. Thelbi i tre gjërave - pse ato janë rregulluar në këtë mënyrë dhe jo ndryshe - më interesoi veçanërisht, domethënë: numri, dimensionet dhe lëvizjet e orbitave qiellore.

Të zbulosh sekretin e universit do të thoshte, sipas Keplerit, t'i përgjigjesh pyetjes që ai i bëri vetes për herë të parë në historinë e astronomisë. Ishte në librin "Misteri i Kozmografisë" që Kepler arriti, siç i dukej, të zbulonte këtë sekret. Thelbi i tij, sipas Keplerit, është si vijon:

“Toka (orbita e Tokës) është masa e të gjitha orbitave. Le të përshkruajmë një dodekaedron rreth tij. Sfera e rrethuar rreth dodekaedrit është sfera e Marsit. Le të përshkruajmë një tetraedron rreth sferës së Marsit. Sfera e rrethuar rreth tetraedrit është sfera e Jupiterit. Le të përshkruajmë një kub rreth sferës së Jupiterit. Sfera e rrethuar rreth tetraedrit është sfera e Saturnit. Le të fusim një ikozaedron në sferën e Tokës. Sfera e gdhendur në të është sfera e Venusit. Le të fusim një oktaedron në sferën e Venusit. Sfera e gdhendur në të është sfera e Mërkurit."

Vera W. de Spinadel. Nga mesatarja e artë në kaos. Nueva Libreria, 1998 (botimi i dytë, Nobuko, 2004).

Gazale Midhat J. Gnomon. Nga Faraonët tek Fraktalët. Princeton, Nju Xhersi: Universiteti Princeton Press, 1999 (përkthim rusisht: Midhat Ghazale. Gnomon. Nga faraonët te fraktale. Moskë-Izhevsk: Instituti i Kërkimeve Kompjuterike, 2002.)

Tatarenko A.A. T m i artë - harmonitë dhe D m - fraktale janë thelbi i Tm si soliton - strukturogjeneza e botës // "Academy of Trinitarianism", M., El Nr. 77-6567, pub

Granti Arakelyan. Numrat dhe sasitë në fizika moderne. Jerevan: Shtëpia botuese. AN, 1989.

Shenyagin V.P. "Pytagora, ose Secili krijon mitin e tij" - katërmbëdhjetë vjet që nga botimi i parë për proporcionet kuadratike të mantisave // "Academy of Trinitarianism", M., El Nr. 77-6567, pub

Falcon Sergio, Plaza Angel. Mbi numrat k të Fibonaccit Chaos, Solitons & Fractals, Volume 32, Issue 5, Qershor 2007: 1615-1624.

A.P. Stakhov, Mbi teorinë e përgjithshme të funksioneve hiperbolike bazuar në funksionet hiperbolike të Fibonaçit dhe Lucas dhe në Problemin e Katërt të Hilbertit. Matematikë pamore, vëll. 15, Nr.1, 2013. http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/2013stakhov/hyp.pdf

A. Stakhov, S. Aranson, "Funksionet hiperbolike të Fibonaçit dhe Lucas, Goniometria "e Artë" e Fibonacci, Gjeometria e Bodnarit dhe Problemi i Katërt i Hilbertit". Matematikë e aplikuar, 2011, Nr.1 (janar), nr.2 (shkurt), nr.3 (mars).

Stakhov, A.P. Formulat Ghazale, një klasë e re e funksioneve hiperbolike të Fibonacci dhe Lucas dhe një metodë e përmirësuar e kriptografisë "artë" // "Academy of Trinitarianism", M., El Nr. 77-6567, pub

Stakhov A.P., Teoria e numrave Fibonacci // “Academy of Trinitarianism”, M., El Nr. 77-6567, pub. 04/05/2012 http://www.trinitas.ru/rus/doc/. 0232/ 009a/02321250.htm

A.P. Stakhov, Matematika e harmonisë: Sqarimi i origjinës dhe zhvillimit të matematikës // Congressus Numerantium, 193, 2008, 5-48.

Stakhov, "Matricat "e arta" dhe një lloj i ri kriptografie". Chaos, Solitons & Fractals 2007, Volume 32, Issue 3, 1138-1146.

A. Stakhov, S. Aranson. Goniometria e Fibonaccit "Artë". Transformimet e Fibonacci-Lorentz, dhe problemi i katërt i Hilbertit. Congressus Numerantium, 193 (2008), 119-156.

A.P. Stakhov, "Seksioni i Artë dhe Matematika Moderne e Harmonisë". Aplikimet e numrave Fibonacci, Kluwer Academic Publishing, Vëllimi 7, 1998: 393-399.

Stakhov A. P., Tkachenko I. S. Trigonometria hiperbolike Fibonacci // Raporte të Akademisë së Shkencave të SSR-së së Ukrainës, vëllimi 208, nr. 7, 1993.

Stakhov A., Rozin B. Mbi një klasë të re të funksionit hiperbolik // Chaos, Solitons & Fractals, 2005, Vol. 23, Numri 2, 379-389.

Stakhov A.P. Raportet e përgjithësuara të arta dhe një qasje e re për përkufizimin gjeometrik të numrit. // Gazeta Matematikore e Ukrainës, 2004, vëll. 56, Nr. 8, 1143-1150.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve

Tercet kineze. Tercet më të bukura të shkruara nga nxënës të shkollës ruse bazuar në haiku klasike japoneze

Hyrje

Lëndët e ngurta të Platonit

libra

Fusha e vetme e rrjetit

Gjeometria e Shenjtë