Kush i zgjidhi problemet e Hilbertit. VIVOS VOCO: David Hilbert, "Probleme matematikore"

Përshkrimi i prezantimit sipas sllajdeve individuale:

1 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

2 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Informacione të përgjithshme Problemet e Hilbertit janë një listë me 23 probleme kryesore në matematikë të paraqitura nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Pastaj këto probleme (që mbulojnë bazat e matematikës, algjebrës, teorisë së numrave, gjeometrisë, topologjisë, gjeometrisë algjebrike, grupeve të gënjeshtrës, reale dhe analizë gjithëpërfshirëse, ekuacionet diferenciale, fizikës matematikore dhe teoria e probabilitetit, si dhe llogaritja e variacioneve) nuk u zgjidhën. Aktiv për momentin 16 probleme nga 23 janë zgjidhur, 2 të tjera janë probleme matematikore jo të sakta (njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, tjetra, larg të qenit i zgjidhur, është fizike, jo matematikore). Nga 5 problemet e mbetura, dy nuk janë zgjidhur në asnjë mënyrë dhe tre janë zgjidhur vetëm për disa raste.

3 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

4 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Lista e problemave (vazhdim) Nr. Statusi Formulim i shkurtër Rezultati Viti i zgjidhjes 11 i zgjidhur pjesërisht Studimi i formave kuadratike me koeficientë numerik algjebrikë arbitrare 12 i pazgjidhur Zgjerimi i teoremës së Kronecker-it mbi fushat abeliane në një arbitrar zona algjebrike racionaliteti 13 i zgjidhur A është e mundur të zgjidhet ekuacioni i përgjithshëm shkalla e shtatë duke përdorur funksione që varen vetëm nga dy ndryshore Po 1957 14 të zgjidhura Vërtetim i gjenerimit të fundëm të algjebrës së invarianteve të një grupi algjebrik linear Përgënjeshtrohet 1959 15 i zgjidhur pjesërisht Arsyetimi rigoroz i gjeometrisë së llogaritjes së Shubertit 16 lakoreve të sipërfaqes të zgjidhura pjesërisht71 të zgjidhura Disa forma mund të paraqiten si katrorë Po 1927

5 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

Lista e problemave (vazhdim) Nr. Gjendja Formulim i shkurtër Rezultati Viti i zgjidhjes 18 i zgjidhur A është numri i grupeve algjebrike të fundme? A ka mbushje të parregullta të hapësirës me poliedra kongruente? A janë paketimet gjashtëkëndore dhe kubike të sferave në qendër të faqes më të dendura? Po Po Po (a)1927 (b)1998 19 zgjidhur A janë gjithmonë analitike zgjidhjet e problemit variacional të Lagranzhit? Po 1957 20 zgjidhur Janë të gjitha problemet variacionale me të caktuara kushtet kufitare ka zgjidhje? Po? 21 i zgjidhur Vërtetimi i ekzistencës së ekuacioneve diferenciale lineare me një grup të caktuar monodromi A kërkon sqarim formulimi? 22 zgjidhur Uniformizimi i varësive analitike duke përdorur funksionet automorfike? 23 i pazgjidhur Zhvillimi i metodave të llogaritjes së variacioneve

6 rrëshqitje

Përshkrimi i rrëshqitjes:

24 - Problemi I Fillimisht lista përmbante 24 probleme, por në procesin e përgatitjes së raportit, Gilbert braktisi njërën prej tyre. Ky problem lidhej me teorinë e provave të kriterit të thjeshtësisë dhe metodat e zakonshme. Ky problem u zbulua në shënimet e Hilbertit nga historiani gjerman i shkencës Rüdiger Thiele në 2000.

GOU Gjimnazi nr 000

"Gjimnazi-Laboratori Pedagogjik i Qytetit të Moskës"

Abstrakt

Problemet e Hilbertit dhe matematika sovjetike

Efremova Ekaterina

Mbikëqyrësi:

hyrje................................................ .......................................................... .......................................................... ...2

§1. Biografi e shkurtër David Gilbert..................................................... ...................................4

§2. Problemet e Hilbertit................................................ ................................................... ......... ................5

§3. Kontributi i matematikanëve sovjetikë në zgjidhjen e problemeve të Hilbertit................................. ...........7

§4. Problemet e zgjidhura nga matematikanët sovjetikë................................................. ....... ................9

konkluzioni................................................ ................................................ ...................................10

Referencat................................................ .......................................................... .................................11

Hyrje

Abstrakti im i kushtohet një artikulli rreth problemeve të Hilbertit dhe matematikës sovjetike. Artikulli u shkrua nga Demidov dhe u botua në numrin e nëntorit të revistës shkencore popullore të fizikës dhe matematikës "Kvant" në 1977.

Kjo revistë për nxënës dhe studentë është krijuar për lexuesin masiv. Në kohën e botimit të artikullit, revista u botua nga botimi Nauka. Ideja e krijimit të Kvant u shpreh për herë të parë nga akademiku Pyotr Leonidovich Kapitsa në 1964, dhe vetëm në janar 1970 u botua numri i parë i revistës, në të cilin kryeredaktor u bë Akademiku Isaac Konstantinovich Kikoin. Sipas ekspertëve të UNESCO-s në vitin 1985, Quant ishte një revistë unike në zhanrin e saj.

Problemet e Hilbertit janë një listë me njëzet e tre probleme kryesore në matematikë të paraqitura nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Këto probleme përfshinin themelet e matematikës (1, 2 problema), algjebrës (13, 14, 17 problema), teorisë së numrave (7, 8, 9, 10, 11, 12 problema), gjeometrisë (3, 4, 18 problema), topologji (16 problema), gjeometria algjebrike (12, 13, 14, 15, 16, 22 problema), Grupet e gënjeshtrës (5, 14, 18 problema), analiza reale dhe komplekse (13, 22 problema), ekuacione diferenciale (16, 19, 20, 21 problema), fizika matematikore dhe teoria e probabilitetit (problemi 6), si dhe llogaritja e variacioneve (problemi 23). Këto probleme nuk u zgjidhën atëherë. Për momentin, nëntëmbëdhjetë nga njëzet e tre tashmë janë zgjidhur, ose më mirë pesëmbëdhjetë janë zgjidhur, dhe katër të tjerët kanë vetëm një zgjidhje të pjesshme. Dy të tjera nuk janë probleme të sakta matematikore, pasi njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, dhe e dyta është më shumë fizike sesa matematikore. Përgjigja për dy të tjerat (8.16) është ende një mister.

Por theksi në këtë artikull nuk është në problemet e Hilbertit, por në matematikën sovjetike. Ai tregon se Rusia për një kohë të gjatë nuk ishte një fuqi e fuqishme matematikore, si Franca dhe Gjermania. Në atë kohë, Rusia e kishte njohur shkollat ​​e matematikës dhe ia dha botës matematikanë të shquar, si Lobachevsky dhe Chebysheva. Artikulli i Demidov tregon se si Rusia u rrit në shkencë dhe si arriti majat në matematikë. Mendoj se kjo është e rëndësishme sepse tregon se jo gjithçka jepet menjëherë dhe se gjithçka duhet të arrihet me përpjekje. Se edhe për të fituar njohjen mbarëbotërore, shkencëtarët duhej të bënin një rrugë të gjatë në shkencë.

Ky artikull bazohet në një libër që flet për arritjet e shkencëtarëve në mbarë botën në zgjidhjen e problemeve të Hilbertit, i cili u botua në Rusi në 1969. Por nuk po shkruaj nga ky libër, pasi kërkon domethënëse trajnimi matematikor, madje edhe një kurs universitar nuk mjafton për të kuptuar disa departamente. Gjithashtu, nga koha e botimit të tij deri në kohën e shkrimit të artikullit, gjendja e çështjeve me studimin e problemeve të Hilbertit ka ndryshuar shumë. Matematika ishte tashmë në skenë zhvillim të shpejtë, ajo vazhdimisht shtronte probleme të reja për shkencëtarët. Kjo përkundër faktit se shumë probleme të vjetra, përfshirë atë të Hilbertit, nuk e kanë gjetur zgjidhjen e tyre.

I vura vetes qëllimin të studioja kontributin e matematikanëve sovjetikë në zgjidhjen e këtyre problemeve dhe të shikoja se si shkenca matematikore për shekullin e njëzetë duke përdorur shembullin e këtij artikulli.

Unë e konsideroj këtë temë interesante kryesisht për veten time, dhe kjo është arsyeja pse e mora atë si bazë për esenë time. Më duket se tani koncepti i matematikës tek nxënësit e shkollës është shumë sipërfaqësor. Të gjithë besojnë se të gjitha teoremat dhe ligjet e mundshme tashmë janë zbuluar. Por kjo është larg nga e vërteta. Çdo ditë matematika ec përpara dhe nuk qëndron ende. Dhe ky artikull tregon se si u zhvillua, si e zhvilluan bashkatdhetarët tanë. Dhe mendoj se është e rëndësishme të dimë se çfarë bënë ata për matematikën botërore.

§1. Biografia e David Gilbert

David Gilbert lindi në familjen e gjyqtarit Otto Gilbert, në qytetin Wehlau pranë Königsberg në Prusi më 23 janar 1862. Këtu ai u diplomua në gjimnazin Wilselm dhe hyri në Universitetin e Königsberg, ku u miqësua me Hermann Minkowski dhe Adolf. Hurwitz. Së bashku ata shpesh bënin "shëtitje matematikore" të gjata ku diskutuan në mënyrë aktive zgjidhjen probleme shkencore. Gilbert më vonë i legjitimoi shëtitjet e tilla si një pjesë integrale e edukimit të studentëve të tij.

Në 1885, Hilberti mbrojti disertacionin e tij mbi teorinë e invarianteve. mbikëqyrës shkencor në të cilën ishte Lindemann dhe në vitin e ardhshëm u bë profesor i matematikës në Königsberg. Në vitet e ardhshme zbulimet themelore Teoria e pandryshueshme e Hilbertit e vendosi atë në ballë të matematikanëve evropianë.

Në 1895, me ftesë të Felix Klein, Hilbert u transferua në Universitetin e Göttingen. Ai qëndroi në këtë detyrë për 35 vjet, pothuajse deri në fund të jetës së tij.

Në vitin 1900, në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikës, Hilberti formuloi listën e famshme të 23 problemeve të pazgjidhura në matematikë, të cilat do të diskutohen më tej.

§2. Problemet e Hilbertit

“Cili prej nesh nuk do të donte të hiqte velin pas së cilës fshihet e ardhmja jonë, për të depërtuar të paktën me një shikim në sukseset e ardhshme të dijes sonë dhe sekretet e zhvillimit të saj në shekujt e ardhshëm? Cilat do të jenë synimet specifike që liderët do t'i vendosin vetes? mendjet matematikore gjenerata e ardhshme? Cilat metoda dhe fakte të reja do të zbulohen në shekullin e ri në fushën e gjerë dhe të pasur të mendimit matematik? Historia mëson se zhvillimi i shkencës është i vazhdueshëm. Ne e dimë se çdo epokë ka problemet e veta, të cilat epoka e mëvonshme ose i zgjidh ose i lë mënjanë si të pafrytshme për t'i zëvendësuar me të reja. Për të imagjinuar natyrën e mundshme të zhvillimit të matematikës në të ardhmen e afërt, duhet të kalojmë në imagjinatën tonë pyetjet që mbeten ende të hapura, të vëzhgojmë problemet e paraqitura nga shkenca moderne, dhe zgjidhjet e të cilave i presim nga e ardhmja. Një rishikim i tillë i problemeve më duket sot, në kapërcyellin e shekullit të ri, veçanërisht në kohën e duhur.” – Kështu e filloi D. Hilberti raportin e tij në kongresin e dytë matematikor më 8 gusht 1900, në një mbledhje të seksionit të pestë dhe të gjashtë.

Gjashtë problemet e para të raportit të Hilbertit lidhen me justifikimin e disiplinave të ndryshme matematikore, nëntë të tjerat - deri në më shumë çështje të veçanta algjebra, gjeometria algjebrike dhe teoria e numrave, tetë të tjerët - në teorinë e funksioneve, ekuacionet diferenciale dhe llogaritjen e variacioneve.

Duhet të theksohet se disa nga këto probleme janë paraqitur shumë kohë përpara Hilbertit. Kështu, i pari në listë - problemi i vazhdimësisë - u shtrua nga G. Cantor në 1878, çështjet që lidhen me problemin e tretë u diskutuan nga K. Gauss në korrespondencën e tij me Gerling. Për sa u përket pyetjeve që përbëjnë përmbajtjen e problemës së tetë, një prej tyre është hipoteza për zero

Funksioni zeta - u parashtrua nga B. Riemann në 1859, një tjetër, i quajtur hipoteza Goldbach, - në vitin 1742 në letrën e këtij të fundit drejtuar L. Euler, dhe së fundi, problemi i 21-të - një problem i paraqitur nga B. Riemann në 1857. Problemet e mbetura, autor i të cilave ishte vetë Hilberti, përbëjnë vetëm një pjesë të problemeve të shtruara prej tij në atë kohë. Këto rrethana theksojnë natyrën e veçantë të zgjedhjes së problemeve të përfshira në raport - këtu janë vetëm ato më të rëndësishmet, sipas mendimit të Hilbertit, detyrat me të cilat përballej atëherë matematika, reflektimi mbi të cilin mund të ndihmonte "të imagjinohet natyra e mundshme e zhvillimit të matematikës". njohuri në të ardhmen e afërt”.

Aktiv kohë të dhënë, tashmë 113 vite pasi u shprehën problemet, dy nuk janë zgjidhur problemet e famshme. Gjegjësisht, i teti (rreth zerot e funksionit zeta Riemann) dhe i gjashtëmbëdhjetë (rreth cikleve kufi). Shkencëtarët në mbarë botën po mendojnë për zgjidhjen e këtyre problemeve, por ende nuk kanë gjetur një zgjidhje dhe parashikimet nuk janë ende shumë të qarta.

Nga të gjitha problemet janë zgjidhur vetëm dymbëdhjetë probleme, nga të cilat dy janë hedhur poshtë. Gjithashtu, tre kërkojnë sqarim të formulimit, dhe një është e pazgjidhshme.

Ekziston gjithashtu fakt interesant se fillimisht kishte 24 probleme të Hilbertit. Por në procesin e përgatitjes për raportin, Gilbert braktisi një prej tyre. Problemi u zbulua njëqind vjet më vonë nga një historian gjerman në shënimet e Gilbertit. Kjo detyrë lidhej me teorinë e vërtetimit të kriterit të metodave të thjeshta dhe të përgjithshme. Në parim, edhe ky problem është i pazgjidhur, por askush nuk ka folur zyrtarisht për të. Dhe për këtë arsye ata nuk u përpoqën ta zgjidhnin atë.

§3. Kontributi i matematikanëve sovjetikë në zgjidhjen e problemeve të Hilbertit

Gjithashtu në zgjidhjen e këtyre problemeve, përveç shumë matematikanëve të talentuar nga vende të ndryshme bota dhe vetë Hilberti, matematikanë vendas morën pjesë gjithashtu. Rusia në atë kohë nuk ishte ende një fuqi matematikore, si Franca apo Gjermania, por tashmë kishte shkolla matematikore. Delegacionet ruse në kongrese nuk ishin të shumta, rreth 9 vetë. Dhe kjo është e vogël në krahasim me Gjermaninë (25) dhe Francën (90). Në këtë kongres delegacioni bëri vetëm një raport “Për zhdukjen e funksionit N disa variabla”.

Puna e parë në Rusi kushtuar zgjidhjes së problemeve të Hilbertit konsiderohet të jetë puna e Kaganit e vitit 1903 mbi problemin e tretë. Edhe pse nuk u zgjidh, hulumtimi e ka thjeshtuar shumë provën. Ishte me këtë problem që filloi në Rusi pjesëmarrje aktive në vendimin e tyre.

Dhe një vit më vonë, një shkencëtar i ri, më vonë një akademik, Berenstein i dha plotësisht një zgjidhje problemit të nëntëmbëdhjetë. Zhvillimi i këtyre problemeve solli një famë të caktuar për matematikanët sovjetikë, pasi më parë dihej pak për ta.

Gjatë gjithë shekullit të njëzetë, shkencëtarët kanë zgjidhur probleme me shkallë të ndryshme suksesi. Kështu që në 1929 Gelfond i dha një zgjidhje të pjesshme problemit të shtatë të Hilbertit dhe në 1934 ai dha zgjidhjen përfundimtare të tij. Disa matematikanë gjermanë punuan në këtë problem dhe gradualisht arritën në përfundime. Falë duke punuar së bashku shkencëtarët dhe problemi i shtatë, si shumë të tjerë, u vërtetua.

Problemi i tetë i Hilbertit përbëhet nga disa probleme që lidhen me teorinë numrat e thjeshtë. Të gjithë morën këtu fakt i ri ishte një ngjarje me rëndësi ekstreme. Një nga këto probleme është i ashtuquajturi problem Goldbach: të vërtetohet se çdo numër i plotë më i madh ose i barabartë me gjashtë është shuma e tre numrave të thjeshtë.

Është e lehtë të gjesh zgjerimet e nevojshme për jo numra të mëdhenj:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Por provojeni këtë hipotezë në numra të mëdhenj për një kohë të gjatë nuk funksionoi. Nuk ishte e mundur të gjendej ndonjë qasje për zgjidhjen e problemit. Arriti deri në atë pikë sa në Kongresin Ndërkombëtar të Matematikanëve në 1912 pati një raport mbi zgjidhjen e pamundur të këtij problemi. Aq më e bujshme ishte rezultati i të shquar Matematikan sovjetik akademik, i cili në vitin 1937 arriti të zgjidhte problemin për numrat tek. Ky rezultat, si dhe metoda për marrjen e tij, konsiderohet si një nga më të spikaturit arritjet matematikore shekulli XX. Kjo metodë u përdor me sukses më vonë për të zgjidhur shumë probleme në teorinë e numrave. Në vitin 1946, akademiku dha një tjetër provë të teoremës duke përdorur metoda nga teoria e funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Mund të flasim në detaje për shumë shkencëtarë rusë që kontribuan në zgjidhjen e këtyre problemeve, sepse edhe një zbulim i vogël në zgjidhjen e problemit tashmë do të thoshte shumë dhe na afroi me zgjidhjen e tij.

§4. Problemet e zgjidhura nga matematikanët sovjetikë

Lista e problemeve të zgjidhura nga matematikanët modernë, ose të cilave ata u afruan:

1. Hulumtimi në vitin 1903, i cili shkurtoi dhe thjeshtoi ndjeshëm zgjidhjen e problemit të tretë të Hilbertit;

2. Në vitin 1904 ai i dha një zgjidhje problemit të nëntëmbëdhjetë

3. Në veprat e tij të viteve 1908-1909 ka marrë rezultate të rëndësishme lidhur me problemin e njëzetë;

4. Më 1929, ai i dha një zgjidhje të pjesshme problemit të shtatë të Hilbertit;

5. punoi në problemin e gjashtëmbëdhjetë të Hilbertit dhe në vitin 1933 zgjidhi një nga këto probleme;

6. Më 1934 dha vendim përfundimtar problemi i shtatë;

7. Përparoi në zgjidhjen e problemit të pestë dhe e vërtetoi problemin përkatësisht në vitin 1934 dhe 1946 për raste shumë të rëndësishme, megjithëse nuk e zgjidhën plotësisht;

8. Rezultatet për problemën e nëntëmbëdhjetë u morën në vitin 1937;

9. në vitin 1937, zgjidhi një pjesë të problemës së tetë për numrat tek;

10. Një nga provat më të shquara të problemit të dytë u mor në vitin 1943 nga një akademik;

11. Në veprën e vitit 1949 (së bashku me) ai e përgjithësoi rezultatin e tij mbi problemin e nëntëmbëdhjetë;

12. Në vitin 1954, akademiku bëri përparim në zgjidhjen e problemit të trembëdhjetë;

13. Në vitin 1960, matematikanët e Leningradit arritën një "konvergjencë" të rezultateve mbi problemat e nëntëmbëdhjetë dhe të njëzetë të Hilbertit;

14. Problemi i dhjetë u zgjidh përfundimisht në vitin 1970;

konkluzioni

Problemet e Hilbertit janë një nga më të shumtat detyra komplekse matematika botërore. Por zgjidhja e tyre ndihmoi në zhvillimin e matematikës ruse nga pothuajse asgjë me famë botërore. Nëse në fillim të shekullit të 20-të njiheshin vetëm pak matematikanë, atëherë në fund Rusia njihej si një fuqi e madhe matematikore. U themeluan shkolla dhe universitete me fusha matematikore. Matematika tani është në një fazë zhvillimi të shpejtë, ajo paraqet vazhdimisht probleme të reja për shkencëtarët. Dhe shumë të vjetra (duke përfshirë disa nga problemet e Hilbertit) nuk e kanë gjetur ende zgjidhjen e tyre. Shumë njerëz e shohin matematikën si një "shkencë të vdekur", por nuk është ashtu. Matematikanët vazhdimisht e zhvillojnë atë.

Dhe prania e problemeve të caktuara tregon se edhe matematika ka historinë e saj. Për më tepër, duke studiuar këto probleme, kuptova se kjo histori është shumë interesante. Mësova shumë gjëra të reja për veten time, matematika është vetëm një grup formulash dhe provash, teoremash dhe aksiomash. Pra, kjo është matematika shkencë e gjallë. Ashtu si bota jeton dhe hyn në histori çdo ditë, ashtu edhe matematika e shkruan historinë e saj.

Unë pashë gjithashtu se sa shumë do të thoshte shekulli i 20-të për matematikën, dhe veçanërisht për matematikën në Rusi. Në fund të fundit, kaq shumë ka ndryshuar gjatë këtij shekulli. Pati një kërcim të jashtëzakonshëm në shkencë, pjesërisht falë matematikanëve sovjetikë.

Referencat

1) Bolibrukh "Iluminizmi Matematikor" Çështja 2. "Problemet e Hilbertit (100 vjet më vonë)." // Moskë, 1999.

2) Demidov S. Revista popullore shkencore fiziko-matematikore "Kvant". // Moskë, nëntor 1977.

Plani:

Hyrje

• 1 Lista e problemeve
• Problemi 2 24
• 3 Shënime
• 4 Tekste në internet
Letërsia

Hyrje

Problemet e Hilbertit- një listë me 23 probleme kryesore në matematikë, të paraqitura nga David Hilbert në Kongresin e Dytë Ndërkombëtar të Matematikanëve në Paris në 1900. Në atë kohë, këto probleme (që mbulonin themelet e matematikës, algjebrës, teorisë së numrave, gjeometrisë, topologjisë, gjeometrisë algjebrike, grupeve të gënjeshtrës, analizës reale dhe komplekse, ekuacioneve diferenciale, fizikës matematikore dhe teorisë së probabilitetit, dhe llogaritjes së variacioneve) nuk u zgjidhën. Për momentin, 16 problema nga 23 janë zgjidhur, 2 të tjera nuk janë probleme të sakta matematikore (njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, tjetra, larg zgjidhjes, është fizike, jo matematikore). . Nga 5 problemet e mbetura, dy nuk janë zgjidhur në asnjë mënyrë dhe tre janë zgjidhur vetëm për disa raste.

1. Lista e problemeve

2. Problemi i 24-të

Fillimisht, lista përmbante 24 probleme, por në procesin e përgatitjes së raportit, Gilbert braktisi një prej tyre. Ky problem lidhej me teorinë e provave të kriterit të thjeshtësisë dhe metodat e përgjithshme. Ky problem u zbulua në shënimet e Hilbertit nga historiani gjerman i shkencës Rüdiger Thiele në 2000.

3. Shënime

1. Rezultatet e Gödel dhe Cohen tregojnë se as hipoteza e vazhdimësisë dhe as mohimi i saj nuk kundërshtojnë sistemin e aksiomave Zermelo-Fraenkel ( sistemi standard aksiomat e teorisë së grupeve). Kështu, hipoteza e vazhdimësisë në këtë sistem aksiomash as nuk mund të provohet dhe as të hidhet poshtë (me kusht që ky sistem aksiomash të jetë konsistent). Ka disa debate nëse rezultati i Cohen është një zgjidhje e plotë e problemit.
2. Kurt Gödel vërtetoi se qëndrueshmëria e aksiomave të aritmetikës nuk mund të vërtetohet bazuar në vetë aksiomat e aritmetikës. Në vitin 1936, Gerhard Gentzen provoi qëndrueshmërinë e aritmetikës, por për ta bërë këtë ai duhej të shtonte një formë të dobësuar të induksionit transfinit në listën e aksiomave.
3. Sipas Rowe dhe Grey (shih më poshtë), shumica e problemeve janë zgjidhur. Disa prej tyre nuk janë formuluar me saktësi të mjaftueshme, por rezultatet e arritura na lejojnë t'i konsiderojmë ato si të "zgjidhura". Moat dhe Grey i referohen problemit të katërt si një problem shumë i paqartë për të gjykuar nëse është zgjidhur apo jo.
4. Zgjidhur nga Siegel dhe Gelfond (dhe në mënyrë të pavarur nga Schneider) në më shumë pamje e përgjithshme: Nëse a≠ 0, 1 është një numër algjebrik, dhe b- algjebrike, por irracionale, pra a b- numër transcendental
5. Çështja #8 përmban dy çështje të njohura, të dyja mbeten të pazgjidhura. E para nga këto, Hipoteza e Riemanit, është një nga shtatë Problemet e Mijëvjeçarit që janë cilësuar si "Problemet e Hilbertit" të shekullit të 21-të.
6. Problemi #9 është zgjidhur për rastin Abelian; çështja jo-abeliane mbetet e pazgjidhur.
7. Yuri Matiyasevich në 1970 vërtetoi pavendosmërinë algoritmike të pyetjes nëse një ekuacion arbitrar Diofantine ka të paktën një zgjidhje. Fillimisht, problemi u formulua nga Hilberti jo si një dilemë, por si një kërkim për një algoritëm: në atë kohë, me sa duket, ata as që menduan për atë që mund të ekzistonte. vendim negativ probleme të ngjashme.
8. Pohimi për gjenerimin e fundëm të algjebrës së invarianteve vërtetohet për grupet reduktive. Nagata në vitin 1958 ndërtoi një shembull të një grupi unipotent algjebra e invarianteve të të cilit nuk është krijuar përfundimisht. V.L. Popov vërtetoi se nëse algjebra e invarianteve të çdo veprimi të një grupi algjebrik G në një varietet afinal algjebrik gjenerohet përfundimisht, atëherë grupi G është reduktues.
9. Pjesa e parë (algjebrike) e problemës nr. 16 është formuluar më saktë si më poshtë. Harnack vërtetoi se numri maksimal i ovaleve është M=(n-1)(n-2)/2+1, dhe se kurba të tilla ekzistojnë - ato quhen M-lakore. Si mund të renditen ovalet e kurbës M? Ky problem është bërë deri në shkallën n=6 përfshirëse, dhe për shkallën n=8 dihet mjaft (edhe pse ende nuk është përfunduar). Përveç kësaj, ekziston deklarata të përgjithshme, duke kufizuar se si mund të vendosen ovalet e kurbave M - shih veprat e Gudkov, Arnold, Roon, vetë Hilbert (megjithatë, vlen të merret parasysh se ka një gabim në provën e Hilbertit për n=6: një nga rastet, të cilën ai e konsideronte të pamundur, doli të ishte e mundur dhe u ndërtua nga Gudkov). Pjesa e dytë (diferenciale) mbetet e hapur edhe për fushat vektoriale kuadratike - nuk dihet as sa mund të ketë, dhe se ekziston një kufi i sipërm. Edhe teorema individuale e fundshmërisë (që çdo polinom fushë vektoriale në dispozicion numri përfundimtar ciklet kufi) u vërtetua vetëm kohët e fundit. Ajo u konsiderua e provuar nga Dulac, por u zbulua një gabim në vërtetimin e tij, dhe kjo teoremë u vërtetua më në fund nga Ilyashenko dhe Ecal, për të cilat secili prej tyre duhej të shkruante një libër.
10. Përkthimi i emrit origjinal të problemit të dhënë nga Hilberti është dhënë: “16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen" - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html (gjermanisht). Megjithatë, më saktë përmbajtja e tij (siç konsiderohet sot) mund të përcillet me titullin e mëposhtëm: “Numri dhe vendndodhja e ovaleve të një kurbë reale algjebrike të një shkalle të caktuar në rrafsh; numri dhe vendndodhja e cikleve kufitare të një fushe vektoriale polinomiale të një shkalle të caktuar në plan." Ndoshta (siç mund të shihet nga përkthimi në anglisht teksti i njoftimit - aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html#prob16 (anglisht) ), Hilberti besonte se pjesa diferenciale (në realitet, e cila doli të ishte shumë më e vështirë se pjesa algjebrike) do të ishte e tretshme me të njëjtat metoda si ajo algjebrike, dhe për këtë arsye nuk e përfshiu atë në titull.
11. Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.-Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
12. Rove dhe Grey gjithashtu e quajnë problemin #18 "të hapur" në librin e tyre të vitit 2000, sepse problemi i paketimit të topit (i njohur gjithashtu si problemi i Keplerit) nuk ishte zgjidhur në atë kohë, por tani raportohet se është zgjidhur (shih më poshtë). Përparime në zgjidhjen e problemit nr. 16 janë bërë kohët e fundit, si dhe në vitet 1990.
13. http://www.maa.org/news/Thiele.pdf - www.maa.org/news/Thiele.pdf

4. Tekste në internet

• Teksti origjinal në gjermanisht i raportit të Hilbertit - www.mathematik.uni-bielefeld.de/~kersten/hilbert/rede.html
• Përkthimi rusisht i raportit të Gilbert - vivovoco.rsl.ru/VV/PAPERS/NATURE/GILBERT_R.HTM (pjesa hyrëse dhe përfundimi)

Letërsia

• Bolibrukh A. A. Problemet e Hilbertit (100 vjet më vonë) - www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2. - MCNMO, 1999. - T. 2. - 24 f. - (Biblioteka “Edukimi Matematik”).
• Demidov S. S. Mbi historinë e problemeve të Hilbertit // Kërkim historik dhe matematikor. - M.: Nauka, 1966. - Nr 17. - F. 91-122.
• Lyashko S. I., Nomirovsky D. A., Petunin Yu I., Semenov V. V. Problemi i njëzetë i Hilbertit. Zgjidhje të përgjithësuara të ekuacioneve të operatorëve - shtonda.blogspot.com/2009/01/twentieth-problem-hilbert.html. - M.: “Dialektika”, 2009. - 192 f. - ISBN 978-5-8459-1524-5
• Problemet e Hilbertit - ilib.mccme.ru/djvu/klassik/gilprob.htm, Koleksioni i redaktuar nga P. S. Aleksandrov, M., Nauka, 1969, 240 f.

Në vitin 1900 u mbajt Kongresi i Dytë Ndërkombëtar i Matematikanëve në Paris. Ajo u trajtua nga një shkencëtar gjerman, profesor David Hilbert, i cili në raportin e tij ngriti 23 nga më të rëndësishmet në atë kohë, problemet domethënëse që lidhen me matematikën, gjeometrinë, algjebrën, topologjinë, teorinë e numrave dhe teorinë e probabilitetit.

Për momentin, 16 nga 23 probleme janë zgjidhur. 2 të tjerat nuk janë probleme të sakta matematikore (njëra është formuluar shumë e paqartë për të kuptuar nëse është zgjidhur apo jo, tjetra, larg të qenit e zgjidhur, është fizike, jo matematikore). Nga pesë problemet e mbetura, dy nuk janë zgjidhur në asnjë mënyrë dhe tre janë zgjidhur vetëm për disa raste.

Lista e plotë Problemet e Hilbertit dhe statusi i tyre:

1. Vazhdim-hipoteza. A ka një numër kardinal të pafundëm në mënyrë rigoroze midis kardinalëve të grupeve të numrave të plotë dhe numra realë? Zgjidhur nga Paul Cohen në 1963 - përgjigja e pyetjes varet nga cilat aksioma përdoren në teorinë e grupeve.

2. Konsistenca logjike e aritmetikës. Vërtetoni se aksiomat standarde të aritmetikës nuk mund të çojnë në një kontradiktë. Zgjidhur nga Kurt Gödel në 1931: me aksiomat e zakonshme të teorisë së grupeve një provë e tillë është e pamundur.

3. Përbërja e barabartë e tetraedrave me përmasa të barabarta. Nëse dy katërkëndëshe kanë të njëjtin vëllim, a është gjithmonë e mundur të pritet një prej tyre në një numër të kufizuar poligonesh dhe të mblidhet një i dytë prej tyre? E zgjidhur në 1901 nga Max Dehn, përgjigja është negative.

4. Një vijë e drejtë është distanca më e shkurtër ndërmjet dy pikave. Formuloni aksiomat e gjeometrisë bazuar në këtë përkufizim direkt dhe shikoni se çfarë vijon. Detyra është shumë e paqartë për t'u mbështetur vendim të prerë, por është bërë shumë.

5. Gënjeshtra grupe pa u mbështetur në diferencim. Pyetje teknike teoria e grupeve të transformimit. Në një nga interpretimet u zgjidh nga Andrew Gleason në vitet 1950, në një tjetër nga Hidehiko Yamabe.

6. Aksiomat e fizikës. Zhvilloni një sistem rigoroz të aksiomave për fushat matematikore të fizikës, të tilla si teoria e probabilitetit ose mekanika. Një sistem aksiomash për probabilitetet u ndërtua nga Andrei Kolmogorov në 1933.

7. Irracionale dhe numrat transcendental. Vërtetoni këtë numra të caktuar janë irracionale ose transcendentale. Zgjidhur në 1934 nga Alexander Gelfond dhe Theodor Schneider.

8. Hipoteza e Riemann-it. Vërtetoni se të gjitha zerat jo të parëndësishme të funksionit zeta të Rimanit shtrihen në vijën kritike. Shih kapitullin 9.

9. Ligjet e reciprocitetit në fushat numerike. Përmblidhni ligji klasik reciprociteti kuadratik (rreth katrorë modulo) në më shumë shkallë të lartë. Pjesërisht e zgjidhur.

10. Kushtet për ekzistimin e zgjidhjeve të ekuacioneve diofantine. Gjeni një algoritëm që ju lejon të përcaktoni nëse një ekuacion i dhënë polinom me shumë variablat e vendimit në numër të plotë. Pamundësia u vërtetua nga Yuri Matiyasevich në 1970.

11. Forma kuadratike Me numrat algjebrikë si koeficientë. Çështje teknike të zgjidhjes së ekuacioneve diofantine me shumë ndryshore. Pjesërisht e zgjidhur.

12. Teorema e Kronecker-it mbi fushat Abeliane. Çështjet teknike të përgjithësimit të teoremës së Kronecker-it. Nuk është provuar ende.

13. Zgjidhja e ekuacioneve të shkallës së shtatë duke përdorur funksionet lloj i veçantë. Vërtetoni se një ekuacion i përgjithshëm i shkallës shtatë nuk mund të zgjidhet duke përdorur funksionet e dy ndryshoreve. Në një nga interpretimet, mundësia e një zgjidhjeje të tillë u vërtetua nga Andrei Kolmogorov dhe Vladimir Arnold.

14. Gjymtyrë sistem të plotë funksionet. Zgjeroni teoremën e Hilbertit mbi invariantet algjebrike në të gjitha grupet e transformimit. Refuzuar nga Masayoshi Nagata në 1959

15. Gjeometria numerike e Shubertit. Hermann Schubert gjeti një metodë jo rigoroze për llogaritjen e konfigurimeve të ndryshme gjeometrike. Sfida është që kjo metodë të bëhet rigoroze. Zgjidhje e plotë ende jo.

16. Topologjia e kthesave dhe e sipërfaqeve. Sa komponentë të lidhur mund të ketë një kurbë algjebrike e një shkalle të caktuar? Sa cikle periodike të ndryshme mund të ketë një ekuacion diferencial algjebrik i një shkalle të caktuar? Promovim i kufizuar.

17. Prezantimi forma të caktuara si shumë katrorësh. Nëse funksioni racional merr gjithmonë vlera jo negative, atëherë a duhet të shprehet domosdoshmërisht si një shumë katrorësh? Zgjidhur nga Emil Artin, D. Dubois dhe Albrecht Pfister. E vërtetë për numrat realë, e gabuar në disa sisteme të tjera numrash.

18. Mbushja e hapësirës me poliedra. Pyetje të përgjithshme mbi mbushjen e hapësirës me poliedra kongruente. Lidhet me hipotezën e Keplerit, e provuar tani (shih Kapitullin 5).

19. Analiticiteti i zgjidhjeve në llogaritjen e variacioneve. Llogaritja e variacioneve u përgjigjet pyetjeve të tilla si "gjeni kurbën më të shkurtër me vetitë e dhëna". Nëse një problem i tillë formulohet duke përdorur funksione të bukura, atëherë a duhet të jetë edhe zgjidhja e bukur? Provuar nga Ennio de Giorgi në 1957 dhe John Nash.

20. Probleme me vlerën kufitare. Të kuptojnë zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale të fizikës në një rajon të caktuar të hapësirës, ​​nëse vetitë e zgjidhjes janë të specifikuara në sipërfaqen që kufizon këtë rajon. Kryesisht i zgjidhur (shumë matematikanë kontribuan).

21. Ekzistenca e ekuacioneve diferenciale me monodromi të caktuar. Lloji i veçantë gjithëpërfshirëse ekuacioni diferencial, e cila mund të kuptohet duke përdorur të dhëna për pikat e saj të singularitetit dhe grupin monodromi. Vërtetoni se çdo kombinim i këtyre të dhënave mund të ekzistojë. Përgjigja është "po" ose "jo" në varësi të interpretimit.

22. Uniformizimi duke përdorur funksionet automorfike. Pyetje teknike për thjeshtimin e ekuacioneve. Paul Koebe vendosi menjëherë pas vitit 1900.

23. Zhvillimi i llogaritjes së variacioneve. Hilberti bëri thirrje për ide të reja në fushën e llogaritjes së variacioneve. Është bërë shumë, por formulimi është shumë i paqartë që problemi të konsiderohet i zgjidhur.