Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete përcaktohet nga formula. pritje
Teoria e probabilitetit është një degë e veçantë e matematikës që studiohet vetëm nga studentët e institucioneve të arsimit të lartë. Ju pëlqejnë llogaritjet dhe formulat? A nuk ju tremb perspektiva e njohjes me shpërndarjen normale, entropinë e ansamblit, pritshmërinë matematikore dhe shpërndarjen e një ndryshoreje të rastësishme diskrete? Atëherë kjo temë do të jetë shumë interesante për ju. Le të njihemi me disa nga konceptet bazë më të rëndësishme të kësaj dege të shkencës.
Le të kujtojmë bazat
Edhe nëse mbani mend konceptet më të thjeshta të teorisë së probabilitetit, mos i neglizhoni paragrafët e parë të artikullit. Çështja është se pa një kuptim të qartë të bazave, nuk do të jeni në gjendje të punoni me formulat e diskutuara më poshtë.
Pra, ndodh një ngjarje e rastësishme, një eksperiment. Si rezultat i veprimeve që ndërmarrim, mund të marrim disa rezultate - disa prej tyre ndodhin më shpesh, të tjerët më rrallë. Probabiliteti i një ngjarjeje është raporti i numrit të rezultateve të marra në të vërtetë të një lloji me numrin total të atyre të mundshme. Vetëm duke ditur përkufizimin klasik të këtij koncepti, mund të filloni të studioni pritshmërinë matematikore dhe shpërndarjen e ndryshoreve të rastësishme të vazhdueshme.
Mesatarja aritmetike
Që në shkollë, gjatë orëve të matematikës, keni filluar të punoni me mesataren aritmetike. Ky koncept përdoret gjerësisht në teorinë e probabilitetit dhe për këtë arsye nuk mund të injorohet. Gjëja kryesore për ne për momentin është se do ta hasim në formulat e pritjes dhe shpërndarjes matematikore të një ndryshoreje të rastësishme.
Ne kemi një sekuencë numrash dhe duam të gjejmë mesataren aritmetike. Gjithçka që kërkohet nga ne është të përmbledhim gjithçka në dispozicion dhe të pjesëtojmë me numrin e elementeve në sekuencë. Le të kemi numrat nga 1 deri në 9. Shuma e elementeve do të jetë e barabartë me 45 dhe këtë vlerë do ta ndajmë me 9. Përgjigje: - 5.
Dispersion
Në terma shkencorë, dispersioni është katrori mesatar i devijimeve të vlerave të marra të një karakteristike nga mesatarja aritmetike. Ajo shënohet me një shkronjë të madhe latine D. Çfarë nevojitet për ta llogaritur atë? Për secilin element të sekuencës, ne llogarisim ndryshimin midis numrit ekzistues dhe mesatares aritmetike dhe e katrorojmë atë. Do të ketë saktësisht aq vlera sa mund të ketë rezultate për ngjarjen që po shqyrtojmë. Tjetra, ne përmbledhim gjithçka që kemi marrë dhe e ndajmë me numrin e elementeve në sekuencë. Nëse kemi pesë rezultate të mundshme, atëherë pjesëtojeni me pesë.
Dispersioni gjithashtu ka veti që duhet të mbahen mend në mënyrë që të përdoren gjatë zgjidhjes së problemeve. Për shembull, kur një ndryshore e rastësishme rritet me X herë, varianca rritet me X herë në katror (d.m.th. X*X). Nuk është kurrë më pak se zero dhe nuk varet nga zhvendosja e vlerave lart ose poshtë në sasi të barabarta. Për më tepër, për provat e pavarura, varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave.
Tani patjetër duhet të shqyrtojmë shembuj të variancës së një ndryshoreje të rastësishme diskrete dhe pritshmërisë matematikore.
Le të themi se bëmë 21 eksperimente dhe morëm 7 rezultate të ndryshme. Ne vëzhguam secilën prej tyre 1, 2, 2, 3, 4, 4 dhe 5 herë, respektivisht. Me çfarë do të jetë e barabartë varianca?
Së pari, le të llogarisim mesataren aritmetike: shuma e elementeve, natyrisht, është 21. Pjestojeni atë me 7, duke marrë 3. Tani zbrisni 3 nga çdo numër në sekuencën origjinale, katrore secilën vlerë dhe shtoni rezultatet së bashku. Rezultati është 12. Tani gjithçka që duhet të bëjmë është të ndajmë numrin me numrin e elementeve dhe, me sa duket, kjo është e gjitha. Por ka një kapje! Le ta diskutojmë.
Varësia nga numri i eksperimenteve
Rezulton se kur llogaritet varianca, emëruesi mund të përmbajë një nga dy numrat: ose N ose N-1. Këtu N është numri i eksperimenteve të kryera ose numri i elementeve në sekuencë (që në thelb është e njëjta gjë). Nga çfarë varet kjo?
Nëse numri i testeve matet me qindra, atëherë duhet të vendosim N në njësi, atëherë N-1. Shkencëtarët vendosën ta vizatojnë kufirin në mënyrë mjaft simbolike: sot ai kalon përmes numrit 30. Nëse kryenim më pak se 30 eksperimente, atëherë do ta ndajmë sasinë me N-1, dhe nëse më shumë, atëherë me N.
Detyrë
Le të kthehemi te shembulli ynë i zgjidhjes së problemit të variancës dhe pritshmërisë matematikore. Ne morëm një numër të ndërmjetëm 12, i cili duhej të ndahej me N ose N-1. Meqenëse kemi kryer 21 eksperimente, që janë më pak se 30, ne do të zgjedhim opsionin e dytë. Pra përgjigja është: varianca është 12/2 = 2.
pritje
Le të kalojmë në konceptin e dytë, të cilin duhet ta konsiderojmë në këtë artikull. Pritshmëria matematikore është rezultat i shtimit të të gjitha rezultateve të mundshme të shumëzuara me probabilitetet përkatëse. Është e rëndësishme të kuptohet se vlera e fituar, si dhe rezultati i llogaritjes së variancës, merret vetëm një herë për të gjithë problemin, pavarësisht sa rezultate merren parasysh në të.
Formula për pritshmërinë matematikore është mjaft e thjeshtë: marrim rezultatin, shumëzojmë me probabilitetin e tij, shtojmë të njëjtën gjë për rezultatin e dytë, të tretë, etj. Gjithçka që lidhet me këtë koncept nuk është e vështirë të llogaritet. Për shembull, shuma e vlerave të pritura është e barabartë me vlerën e pritur të shumës. E njëjta gjë vlen edhe për veprën. Jo çdo sasi në teorinë e probabilitetit ju lejon të kryeni operacione kaq të thjeshta. Le të marrim problemin dhe të llogarisim kuptimin e dy koncepteve që kemi studiuar njëherësh. Përveç kësaj, ne ishim të hutuar nga teoria - është koha për të praktikuar.
Një shembull tjetër
Ne zhvilluam 50 prova dhe morëm 10 lloje të rezultateve - numra nga 0 në 9 - që shfaqen në përqindje të ndryshme. Këto janë përkatësisht: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Kujtojmë që për të marrë probabilitetet, duhet të ndani vlerat e përqindjes me 100. Kështu, marrim 0.02; 0.1, etj. Le të paraqesim një shembull të zgjidhjes së problemit për variancën e një ndryshoreje të rastësishme dhe pritshmërinë matematikore.
Ne llogarisim mesataren aritmetike duke përdorur formulën që mbajmë mend nga shkolla fillore: 50/10 = 5.
Tani le t'i konvertojmë probabilitetet në numrin e rezultateve "në copa" për ta bërë më të lehtë numërimin. Marrim 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dhe 9. Nga secila vlerë e fituar, zbresim mesataren aritmetike, pas së cilës ne katrorim secilin prej rezultateve të marra. Shihni si ta bëni këtë duke përdorur elementin e parë si shembull: 1 - 5 = (-4). Tjetra: (-4) * (-4) = 16. Për vlerat e tjera, bëni vetë këto veprime. Nëse keni bërë gjithçka siç duhet, atëherë pasi t'i shtoni të gjitha do të merrni 90.
Le të vazhdojmë të llogaritim variancën dhe vlerën e pritur duke pjesëtuar 90 me N. Pse zgjedhim N në vend të N-1? E saktë, sepse numri i eksperimenteve të kryera i kalon 30. Pra: 90/10 = 9. Morëm variancën. Nëse merrni një numër tjetër, mos u dëshpëroni. Me shumë mundësi, keni bërë një gabim të thjeshtë në llogaritjet. Kontrolloni dy herë atë që keni shkruar dhe gjithçka me siguri do të bjerë në vend.
Së fundi, mbani mend formulën për pritjet matematikore. Ne nuk do t'i japim të gjitha llogaritjet, do të shkruajmë vetëm një përgjigje me të cilën mund të kontrolloni pasi të keni përfunduar të gjitha procedurat e kërkuara. Vlera e pritur do të jetë 5.48. Le të kujtojmë vetëm se si të kryejmë operacione, duke përdorur elementët e parë si shembull: 0*0.02 + 1*0.1... e kështu me radhë. Siç mund ta shihni, ne thjesht shumëzojmë vlerën e rezultatit me probabilitetin e tij.
Devijimi
Një koncept tjetër i lidhur ngushtë me dispersionin dhe pritshmërinë matematikore është devijimi standard. Shënohet ose me shkronjat latine sd, ose me shkronjat e vogla greke "sigma". Ky koncept tregon se sa mesatarisht devijojnë vlerat nga tipari qendror. Për të gjetur vlerën e tij, duhet të llogaritni rrënjën katrore të variancës.
Nëse vizatoni një grafik të shpërndarjes normale dhe dëshironi të shihni devijimin katror direkt në të, kjo mund të bëhet në disa faza. Merrni gjysmën e figurës në të majtë ose në të djathtë të modalitetit (vlera qendrore), vizatoni një pingul me boshtin horizontal në mënyrë që zonat e figurave që rezultojnë të jenë të barabarta. Madhësia e segmentit ndërmjet mesit të shpërndarjes dhe projeksionit që rezulton në boshtin horizontal do të përfaqësojë devijimin standard.
Software
Siç mund të shihet nga përshkrimet e formulave dhe shembujve të paraqitur, llogaritja e variancës dhe e pritjes matematikore nuk është procedura më e thjeshtë nga pikëpamja aritmetike. Për të mos humbur kohë, ka kuptim të përdorni programin e përdorur në institucionet e arsimit të lartë - quhet "R". Ka funksione që ju lejojnë të llogaritni vlerat për shumë koncepte nga statistikat dhe teoria e probabilitetit.
Për shembull, ju specifikoni një vektor vlerash. Kjo bëhet si më poshtë: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Si përfundim
Dispersioni dhe pritshmëria matematikore janë pa të cilat është e vështirë të llogaritet ndonjë gjë në të ardhmen. Në kursin kryesor të leksioneve në universitete, ato diskutohen tashmë në muajt e parë të studimit të lëndës. Pikërisht për mungesën e të kuptuarit të këtyre koncepteve të thjeshta dhe pamundësisë për t'i llogaritur, shumë studentë fillojnë menjëherë të mbeten prapa në program dhe më vonë të marrin nota të këqija në fund të seancës, gjë që i privon nga një bursë.
Praktikohuni për të paktën një javë, gjysmë ore në ditë, duke zgjidhur detyra të ngjashme me ato të paraqitura në këtë artikull. Pastaj, në çdo provë në teorinë e probabilitetit, do të jeni në gjendje të përballeni me shembujt pa këshilla të jashtme dhe fletë mashtrimi.
Pritshmëria matematikore (vlera mesatare) e një ndryshoreje të rastësishme X e dhënë në një hapësirë diskrete probabiliteti është numri m =M[X]=∑x i p i nëse seria konvergon absolutisht.
Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur shërbimin online janë llogaritur pritshmëria matematikore, varianca dhe devijimi standard(shih shembullin). Përveç kësaj, vizatohet grafiku i funksionit të shpërndarjes F(X).
Vetitë e pritshmërisë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme
- Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetveten: M[C]=C, C – konstante;
- M=C M[X]
- Pritshmëria matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve të tyre matematikore: M=M[X]+M[Y]
- Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore: M=M[X] M[Y] , nëse X dhe Y janë të pavarur.
Vetitë e dispersionit
- Varianca e një vlere konstante është zero: D(c)=0.
- Faktori konstant mund të hiqet nga nën shenjën e dispersionit duke e kuadruar atë: D(k*X)= k 2 D(X).
- Nëse ndryshoret e rastësishme X dhe Y janë të pavarura, atëherë varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të varur: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- Formula e mëposhtme llogaritëse është e vlefshme për shpërndarjen:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Shembull. Pritjet dhe variancat matematikore të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura X dhe Y janë të njohura: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e ndryshores së rastësishme Z=9X-8Y+7.
Zgjidhje. Bazuar në vetitë e pritjes matematikore: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Bazuar në vetitë e dispersionit: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmi për llogaritjen e pritjeve matematikore
Vetitë e ndryshoreve diskrete të rastësishme: të gjitha vlerat e tyre mund të rinumërohen me numra natyrorë; Cakto çdo vlerë një probabilitet jo zero.- Dyshet i shumëzojmë një nga një: x i me p i .
- Shtoni prodhimin e çdo çifti x i p i .
Për shembull, për n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Shembulli nr. 1.
| x i | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| p i | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Pritjen matematikore e gjejmë duke përdorur formulën m = ∑x i p i .
Pritshmëria M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Variancën e gjejmë duke përdorur formulën d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianca D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Devijimi standard σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
Shembulli nr. 2. Një ndryshore e rastësishme diskrete ka seritë e mëposhtme të shpërndarjes:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| r | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Zgjidhje. Vlera e a-së gjendet nga relacioni: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 ose 0,24 = 3 a , nga ku a = 0,08
Shembulli nr. 3. Përcaktoni ligjin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete nëse dihet varianca e saj, dhe x 1
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 = 0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96
Zgjidhje.
Këtu ju duhet të krijoni një formulë për gjetjen e variancës d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
ku pritshmëria m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Për të dhënat tona
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
ose -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Prandaj, ne duhet të gjejmë rrënjët e ekuacionit, dhe do të ketë dy prej tyre.
x 3 =8, x 3 =12
Zgjidhni atë që plotëson kushtin x 1
Ligji i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme diskrete
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 = 15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
Kjo është, nëse sl. atëherë sasia ka një ligj shpërndarjeje
thirrur pritjet e tij matematikore. Nëse sl. sasia ka një numër të pafund vlerash, atëherë pritshmëria matematikore përcaktohet nga shuma e serisë së pafundme 
, me kusht që kjo seri të jetë absolutisht konvergjente (përndryshe thonë se pritshmëria matematikore nuk ekziston) .
Për të vazhdueshme sl. vlera e specifikuar nga funksioni i densitetit të probabilitetit f(x), pritshmëria matematikore përcaktohet si një integral
me kusht që ky integral të ekzistojë (nëse integrali ndryshon, atëherë ata thonë se pritshmëria matematikore nuk ekziston).
Shembulli 1. Le të përcaktojmë pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë Ligji i Poisson-it. Sipas përkufizimit
ose le të shënojmë
, 
Pra parametri , ligji përcaktues i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme Poisson është i barabartë me vlerën mesatare të kësaj ndryshore.
Shembulli 2. Për një ndryshore të rastësishme që ka një ligj të shpërndarjes eksponenciale, pritshmëria matematikore është e barabartë me
(
):
(merrni kufijtë në integral, duke marrë parasysh faktin se f (x) është jozero vetëm për x pozitiv).
Shembulli 3. Variabla e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit të shpërndarjes Cauchy, nuk ka vlerë mesatare. Vërtet
Vetitë e pritjes matematikore.
Prona 1. Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë këtë konstante.
Konstanta C e merr këtë vlerë me probabilitetin një dhe, sipas përkufizimit, M(C)=C×1=C
Prona 2. Pritshmëria matematikore e një shume algjebrike të ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën algjebrike të pritjeve të tyre matematikore.
Ne kufizohemi në vërtetimin e kësaj vetie vetëm për shumën e dy ndryshoreve të rastësishme diskrete, d.m.th. le ta vërtetojmë atë
Nën shumën e dy fjalëve diskrete. Sasitë kuptohen si më poshtë. Një sasi që merr vlera me probabilitete
Sipas përkufizimit
ku llogaritet probabiliteti i ngjarjes me kushtin që . Ana e djathtë e barazisë së fundit rendit të gjitha rastet e ndodhjes së ngjarjes, prandaj është e barabartë me probabilitetin total të ndodhjes së ngjarjes, d.m.th. 
. Po kështu 
. Më në fund kemi
Prona 3. Pritshmëria matematikore e produktit të dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore.
| U | … | |||||||
| P | … | |||||||
| X | … | |||||||
| R | … | |||||||
Ne paraqesim prova të kësaj vetie vetëm për sasi diskrete. Për variablat e rastësishme të vazhdueshme vërtetohet në mënyrë të ngjashme.
Le të jenë X dhe Y të pavarur dhe të kenë ligje të shpërndarjes
Produkti i këtyre variablave të rastësishëm do të jetë një variabël i rastësishëm që merr vlera me probabilitet të barabartë, për shkak të pavarësisë së variablave të rastit, . Pastaj
Pasoja. Faktori konstant mund të merret si një shenjë e pritjes matematikore. Pra, konstanta e shekullit C nuk varet nga vlera e fjalës. vlera X, pastaj nga vetia 3. kemi
M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)
Shembull. Nëse a dhe b janë konstante, atëherë M(ax+b)=aM(x)+b.
Pritshmëria matematikore e numrit të ndodhive të një ngjarjeje në një projektim të provave të pavarura.
Le të kryhen n eksperimente të pavarura, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje në secilën prej të cilave është i barabartë me P. Numri i shfaqjeve të një ngjarjeje në këto n eksperimente është një ndryshore e rastësishme X e shpërndarë sipas ligjit binomial. Megjithatë, llogaritja e drejtpërdrejtë e vlerës së saj mesatare është e rëndë. Për ta thjeshtuar, do të përdorim zgjerimin, të cilin do ta përdorim më shumë se një herë në të ardhmen: Numri i shfaqjeve të një ngjarjeje në n eksperimente përbëhet nga numri i dukurive të ngjarjes në eksperimente individuale, d.m.th.
ku ka ligji i shpërndarjes (merr vlerën 1 nëse ngjarja ka ndodhur në një eksperiment të caktuar, dhe vlerën 0 nëse ngjarja nuk është shfaqur në një eksperiment të caktuar).
| R | 1 | r |
Kjo është arsyeja pse
ato. numri mesatar i shfaqjeve të një ngjarjeje në n eksperimente të pavarura është i barabartë me produktin e numrit të eksperimenteve dhe probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje në një eksperiment.
Për shembull, nëse probabiliteti për të goditur objektivin me një goditje është 0.1, atëherë numri mesatar i goditjeve në 20 goditje është 20x0.1=2.
Karakteristikat themelore numerike të ndryshoreve të rastësishme diskrete dhe të vazhdueshme: pritshmëria matematikore, dispersioni dhe devijimi standard. Karakteristikat dhe shembujt e tyre.
Ligji i shpërndarjes (funksioni i shpërndarjes dhe seria e shpërndarjes ose densiteti i probabilitetit) përshkruan plotësisht sjelljen e një ndryshoreje të rastësishme. Por në një sërë problemesh, mjafton të njihen disa karakteristika numerike të vlerës në studim (për shembull, vlera mesatare e saj dhe devijimi i mundshëm prej saj) për t'iu përgjigjur pyetjes së shtruar. Le të shqyrtojmë karakteristikat kryesore numerike të ndryshoreve diskrete të rastit.
Përkufizimi 7.1.Pritshmëria matematikore Një ndryshore e rastësishme diskrete është shuma e produkteve të vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre përkatëse:
M(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p p p.(7.1)
Nëse numri i vlerave të mundshme të një ndryshoreje të rastësishme është i pafund, atëherë nëse seria që rezulton konvergon absolutisht.
Shënim 1. Pritshmëria matematikore nganjëherë quhet mesatare e ponderuar, pasi është afërsisht e barabartë me mesataren aritmetike të vlerave të vëzhguara të ndryshores së rastësishme në një numër të madh eksperimentesh.
Shënim 2. Nga përkufizimi i pritjes matematikore rezulton se vlera e tij nuk është më e vogël se vlera më e vogël e mundshme e një ndryshoreje të rastësishme dhe jo më shumë se më e madhja.
Shënim 3. Pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është jo të rastësishme(konstante. Do të shohim më vonë se e njëjta gjë është e vërtetë për variablat e rastësishme të vazhdueshme.
Shembulli 1. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X- numri i pjesëve standarde midis tre të zgjedhurve nga një grup prej 10 pjesësh, duke përfshirë 2 të dëmtuara. Le të krijojmë një seri shpërndarjeje për X. Nga kushtet problemore del se X mund të marrë vlerat 1, 2, 3. Pastaj
Shembulli 2. Përcaktoni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje të rastësishme X- numri i hedhjeve të monedhave para shfaqjes së parë të stemës. Kjo sasi mund të marrë një numër të pafund vlerash (bashkësia e vlerave të mundshme është grupi i numrave natyrorë). Seria e saj e shpërndarjes ka formën:
| X | … | n | … | ||
| r | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)n | … |
+ (gjatë llogaritjes, formula për shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie është përdorur dy herë: , nga ku ).
Vetitë e pritjes matematikore.
1) Pritja matematikore e një konstante është e barabartë me vetë konstanten:
M(ME) = ME.(7.2)
Dëshmi. Nëse kemi parasysh ME si një variabël e rastësishme diskrete duke marrë vetëm një vlerë ME me probabilitet r= 1, atëherë M(ME) = ME?1 = ME.
2) Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Dëshmi. Nëse ndryshorja e rastit X dhënë sipas serive të shpërndarjes
Pastaj M(CX) = Cx 1 r 1 + Cx 2 r 2 + … + Cx p p p = ME(X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x p r p) = CM(X).
Përkufizimi 7.2. Quhen dy ndryshore të rastësishme i pavarur, nëse ligji i shpërndarjes së njërit prej tyre nuk varet nga vlerat që ka marrë tjetri. Përndryshe variablat e rastësishëm i varur.
Përkufizimi 7.3. Le të thërrasim produkt i ndryshoreve të pavarura të rastit X Dhe Y ndryshore e rastësishme XY, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me produktet e të gjitha vlerave të mundshme X për të gjitha vlerat e mundshme Y, dhe probabilitetet përkatëse janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të faktorëve.
3) Pritja matematikore e produktit të dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me produktin e pritjeve të tyre matematikore:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Dëshmi. Për të thjeshtuar llogaritjet, ne kufizohemi në rastin kur X Dhe Y merrni vetëm dy vlera të mundshme:
Prandaj, M(XY) = x 1 y 1 ?fq 1 g 1 + x 2 y 1 ?fq 2 g 1 + x 1 y 2 ?fq 1 g 2 + x 2 y 2 ?fq 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 fq 1 + x 2 fq 2) + + y 2 g 2 (x 1 fq 1 + x 2 fq 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 fq 1 + x 2 fq 2) = M(X)?M(Y).
Shënim 1. Në mënyrë të ngjashme mund ta vërtetoni këtë veti për një numër më të madh vlerash të mundshme të faktorëve.
Shënim 2. Vetia 3 është e vërtetë për produktin e çdo numri të ndryshoreve të rastësishme të pavarura, e cila vërtetohet me induksion matematikor.
Përkufizimi 7.4. Le të përcaktojmë shuma e variablave të rastit X Dhe Y si një ndryshore e rastësishme X+Y, vlerat e mundshme të të cilave janë të barabarta me shumat e secilës vlerë të mundshme X me çdo vlerë të mundshme Y; probabilitetet e shumave të tilla janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të termave (për variablat e rastësishme të varura - produktet e probabilitetit të një termi nga probabiliteti i kushtëzuar i të dytit).
4) Pritja matematikore e shumës së dy ndryshoreve të rastësishme (të varura ose të pavarura) është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dëshmi.
Le të shqyrtojmë përsëri variablat e rastësishëm të përcaktuara nga seria e shpërndarjes së dhënë në vërtetimin e vetive 3. Pastaj vlerat e mundshme X+Y janë X 1 + në 1 , X 1 + në 2 , X 2 + në 1 , X 2 + në 2. Le t'i shënojmë probabilitetet e tyre përkatësisht si r 11 , r 12 , r 21 dhe r 22. Ne do të gjejmë M(X+Y) = (x 1 + y 1)fq 11 + (x 1 + y 2)fq 12 + (x 2 + y 1)fq 21 + (x 2 + y 2)fq 22 =
= x 1 (fq 11 + fq 12) + x 2 (fq 21 + fq 22) + y 1 (fq 11 + fq 21) + y 2 (fq 12 + fq 22).
Le ta vërtetojmë këtë r 11 + r 22 = r 1. Në të vërtetë, ngjarja që X+Y do të marrë vlera X 1 + në 1 ose X 1 + në 2 dhe probabiliteti i të cilit është r 11 + r 22 përkon me ngjarjen që X = X 1 (probabiliteti i tij është r 1). Në mënyrë të ngjashme vërtetohet se fq 21 + fq 22 = r 2 , fq 11 + fq 21 = g 1 , fq 12 + fq 22 = g 2. Mjetet,
M(X+Y) = x 1 fq 1 + x 2 fq 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Komentoni. Nga vetia 4 rezulton se shuma e çdo numri të ndryshoreve të rastit është e barabartë me shumën e pritshmërive matematikore të termave.
Shembull. Gjeni pritshmërinë matematikore të shumës së numrit të pikëve të fituara kur hidhni pesë zare.
Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të numrit të pikëve të hedhura kur hedhim një za:
M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) I njëjti numër është i barabartë me pritshmërinë matematikore të numrit të pikave të hedhura në çdo zare. Prandaj, nga pasuria 4 M(X)=
Dispersion.
Për të pasur një ide mbi sjelljen e një ndryshoreje të rastësishme, nuk mjafton të dimë vetëm pritshmërinë e saj matematikore. Konsideroni dy ndryshore të rastësishme: X Dhe Y, të specifikuara nga seritë e shpërndarjes së formularit
| X | |||
| r | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| fq | 0,5 | 0,5 |
Ne do të gjejmë M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Siç mund ta shihni, pritshmëritë matematikore të të dy madhësive janë të barabarta, por nëse për HM(X) përshkruan mirë sjelljen e një ndryshoreje të rastësishme, duke qenë vlera më e mundshme e saj (dhe vlerat e mbetura nuk ndryshojnë shumë nga 50), pastaj vlerat Y hequr ndjeshëm nga M(Y). Prandaj, së bashku me pritshmërinë matematikore, është e dëshirueshme të dihet se sa vlerat e ndryshores së rastësishme devijojnë prej saj. Për të karakterizuar këtë tregues, përdoret dispersioni.
Përkufizimi 7.5.Shpërndarja (shpërndarja) e një ndryshoreje të rastësishme është pritshmëria matematikore e katrorit të devijimit të saj nga pritshmëria e saj matematikore:
D(X) = M (X-M(X))². (7.6)
Le të gjejmë variancën e ndryshores së rastit X(numri i pjesëve standarde midis atyre të përzgjedhura) në shembullin 1 të kësaj ligjërate. Le të llogarisim devijimin në katror të secilës vlerë të mundshme nga pritshmëria matematikore:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2.4) 2 = 0.36. Prandaj,
Shënim 1. Në përcaktimin e dispersionit, nuk vlerësohet devijimi nga vetë mesatarja, por katrori i tij. Kjo bëhet në mënyrë që devijimet e shenjave të ndryshme të mos anulojnë njëra-tjetrën.
Shënim 2. Nga përkufizimi i dispersionit del se kjo sasi merr vetëm vlera jo negative.
Shënim 3. Ekziston një formulë për llogaritjen e variancës që është më e përshtatshme për llogaritjet, vlefshmëria e së cilës vërtetohet në teoremën e mëposhtme:
Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dëshmi.
Duke përdorur çfarë M(X) është një vlerë konstante, dhe vetitë e pritshmërisë matematikore, ne e transformojmë formulën (7.6) në formën:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), që ishte ajo që duhej vërtetuar.
Shembull. Le të llogarisim variancat e ndryshoreve të rastit X Dhe Y diskutuar në fillim të këtij seksioni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) = (0 2 ?0.5 + 100²?0.5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Pra, varianca e ndryshores se dyte te rastit eshte disa mijera here me e madhe se varianca e te pares. Kështu, edhe pa i ditur ligjet e shpërndarjes së këtyre sasive, bazuar në vlerat e njohura të dispersionit mund të themi se X devijon pak nga pritshmëria e saj matematikore, ndërsa për Y ky devijim është mjaft domethënës.
Vetitë e dispersionit.
1) Varianca e një vlere konstante ME e barabartë me zero:
D (C) = 0. (7.8)
Dëshmi. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Faktori konstant mund të hiqet nga shenja e dispersionit duke e kuadruar atë:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dëshmi. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varianca e shumës së dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dëshmi. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Përfundimi 1. Varianca e shumës së disa variablave të rastësishme të pavarura reciprokisht është e barabartë me shumën e variancave të tyre.
Përfundimi 2. Varianca e shumës së një ndryshoreje konstante dhe të rastit është e barabartë me variancën e ndryshores së rastit.
4) Varianca e diferencës ndërmjet dy variablave të rastësishme të pavarura është e barabartë me shumën e variancave të tyre:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dëshmi. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varianca jep vlerën mesatare të devijimit në katror të një ndryshoreje të rastësishme nga mesatarja; Për të vlerësuar vetë devijimin, përdoret një vlerë e quajtur devijimi standard.
Përkufizimi 7.6.Devijimi standardσ variabël e rastësishme X quhet rrënja katrore e variancës:
Shembull. Në shembullin e mëparshëm, devijimet standarde X Dhe Y janë përkatësisht të barabarta
Pritshmëria matematikore është vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme.Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme diskrete është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të saj të mundshme dhe probabiliteteve të tyre:
Shembull.
X -4 6 10
р 0,2 0,3 0,5
Zgjidhja: Pritja matematikore është e barabartë me shumën e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të X dhe probabiliteteve të tyre:
M (X) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.
Për të llogaritur pritshmërinë matematikore, është e përshtatshme për të kryer llogaritjet në Excel (veçanërisht kur ka shumë të dhëna), ne sugjerojmë të përdorni një shabllon të gatshëm ().
Një shembull për ta zgjidhur vetë (mund të përdorni një kalkulator).
Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X të specifikuar nga ligji i shpërndarjes:
X 0,21 0,54 0,61
р 0,1 0,5 0,4
Pritja matematikore ka vetitë e mëposhtme.
Vetia 1. Pritja matematikore e një vlere konstante është e barabartë me vetë konstantën: M(C)=C.
Vetia 2. Faktori konstant mund të nxirret si shenjë e pritjes matematikore: M(CX)=CM(X).
Vetia 3. Pritshmëria matematikore e prodhimit të ndryshoreve të rastit reciprokisht të pavarura është e barabartë me prodhimin e pritjeve matematikore të faktorëve: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*M (Xn)
Vetia 4. Pritja matematikore e shumës së ndryshoreve të rastësishme është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +M(Xn).
Problemi 189. Gjeni pritshmërinë matematikore të ndryshores së rastësishme Z nëse dihen pritjet matematikore të X dhe Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Zgjidhja: Duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore (pritja matematikore e shumës është e barabartë me shumën e pritjeve matematikore të termave; faktori konstant mund të hiqet nga shenja e pritjes matematikore), marrim M(Z )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Duke përdorur vetitë e pritshmërisë matematikore, vërtetoni se: a) M(X - Y) = M(X) - M (Y); b) pritshmëria matematikore e devijimit X-M(X) është e barabartë me zero.
191. Një ndryshore diskrete e rastësishme X merr tre vlera të mundshme: x1= 4 Me probabilitet p1 = 0,5; xЗ = 6 Me probabilitet P2 = 0,3 dhe x3 me probabilitet p3. Gjeni: x3 dhe p3, duke ditur që M(X)=8.
192. Është dhënë një listë e vlerave të mundshme të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X: x1 = -1, x2 = 0, x3= 1 janë të njohura edhe pritjet matematikore të kësaj vlere dhe katrorit të saj: M(X) = 0.1; , M(X^2) = 0,9. Gjeni probabilitetet p1, p2, p3 që korrespondojnë me vlerat e mundshme të xi
194. Një grup prej 10 pjesësh përmban tre pjesë jo standarde. Dy pjesë u zgjodhën në mënyrë të rastësishme. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X - numrin e pjesëve jo standarde midis dy të zgjedhurve.
196. Gjeni pritshmërinë matematikore të një ndryshoreje diskrete të rastësishme X-numri i hedhjeve të tilla prej pesë zare, në secilën prej të cilave një pikë do të shfaqet në dy zare, nëse numri i përgjithshëm i hedhjeve është njëzet.
Pritja matematikore e një shpërndarjeje binomiale është e barabartë me produktin e numrit të provave dhe probabilitetit që një ngjarje të ndodhë në një provë:
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve