Një nga figurat që ndeshet gjatë zgjidhjes së problemeve gjeometrike në hapësirë ​​është një kon. Ai, ndryshe nga poliedrat, i përket klasës së figurave të rrotullimit. Le të shqyrtojmë në artikull se çfarë nënkuptohet me të në gjeometri dhe të shqyrtojmë karakteristikat e seksioneve të ndryshme të konit.

Le të supozojmë se ka një kurbë në aeroplan. Mund të jetë një parabolë, rreth, elips, etj. Le të marrim një pikë që nuk i përket rrafshit të specifikuar dhe të lidhim të gjitha pikat e kurbës me të. Sipërfaqja që rezulton quhet konike ose thjesht konike.

Nëse kurba origjinale është e mbyllur, atëherë sipërfaqja konike mund të mbushet me materie. Figura e përftuar në këtë mënyrë është një trup tredimensional. Quhet gjithashtu një kon. Disa kone të bëra nga letra janë paraqitur në foton më poshtë.

Sipërfaqja konike shfaqet në jeta e zakonshme. Për shembull, një kon akullore ose një kon rrugor me vija ka këtë formë, e cila është krijuar për të tërhequr vëmendjen e shoferëve dhe këmbësorëve.

Llojet e koneve

Siç mund ta merrni me mend, figurat në fjalë ndryshojnë nga njëra-tjetra në llojin e kurbës mbi të cilën janë formuar. Për shembull, ekziston një kon i rrumbullakët ose një eliptik. Kjo kurbë quhet baza e figurës. Sidoqoftë, forma e bazës nuk është e vetmja veçori që lejon klasifikimin e koneve.

Karakteristika e dytë e tyre e rëndësishme është pozicioni i lartësisë në raport me bazën. Lartësia e një koni është një segment i drejtë që ulet nga maja e figurës në rrafshin e bazës dhe është pingul me këtë rrafsh. Nëse lartësia kryqëzohet në qendra gjeometrike bazë (për shembull, në qendër të një rrethi), atëherë koni do të jetë i drejtë nëse segment pingul bie në çdo pikë tjetër të bazës ose përtej saj, atëherë figura do të jetë e prirur.

Emrat gjeometrikë të elementeve të konit

Më sipër u tha se koni ka një bazë. Kufizohet nga një rreth i quajtur udhëzues kon. Segmentet që lidhin udhëzuesin me një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e bazës quhen gjeneratorë. Bashkësia e të gjitha pikave të gjeneratorëve quhet sipërfaqja konike ose anësore e figurës. Për të rrumbullakët kon i drejtë të gjithë gjeneratorët kanë të njëjtën gjatësi.

Pika ku kryqëzohen gjeneratorët quhet kulm i figurës. Ndryshe nga poliedrat, një kon ka një kulm të vetëm dhe nuk ka faqe.

Vija e drejtë që kalon nga maja e figurës dhe qendra e rrethit quhet bosht. Boshti përmban lartësinë e një koni të drejtë, kështu që formon një kënd të drejtë me rrafshin e bazës. Ky informacion është i rëndësishëm kur llogaritet zona seksion boshtor kon

Kon i rrumbullakët i drejtë - figura e rrotullimit

Koni në fjalë është mjaft figura simetrike, e cila mund të merret duke rrotulluar trekëndëshin. Supozoni se kemi një trekëndësh me një kënd të drejtë. Për të marrë një kon, thjesht rrotulloni këtë trekëndësh rreth njërës prej këmbëve siç tregohet në figurën më poshtë.

Mund të shihet se boshti i rrotullimit është boshti i konit. Njëra nga këmbët do të jetë e barabartë me lartësinë figura, dhe këmba e dytë do të bëhet rrezja e bazës. Si rezultat i rrotullimit, hipotenuza e trekëndëshit do të përshkruajë një sipërfaqe konike. Do të jetë gjeneratori i konit.

Kjo metodë e marrjes së një koni të drejtë të rrumbullakët është e përshtatshme për t'u përdorur për të studiuar marrëdhënien matematikore midis parametrave linearë të figurës: lartësia h, rrezja e bazës rrethore r dhe udhëzuesi g. Formula përkatëse rrjedh nga vetitë trekëndësh kënddrejtë. Është treguar më poshtë:

Meqenëse kemi një ekuacion dhe tre variabla, kjo do të thotë që për të specifikuar në mënyrë unike parametrat e një koni të rrumbullakët, është e nevojshme të njihen çdo dy sasi.

Seksionet e një koni nga një rrafsh që nuk përmban kulmin e figurës

Çështja e ndërtimit të seksioneve të një figure nuk është e parëndësishme. Fakti është se forma e seksionit kryq të konit nga sipërfaqja varet nga pozicioni relativ figura dhe sekanti.

Supozoni se e kryqëzojmë konin me një rrafsh. Çfarë seksioni do të merret si rezultat i këtij operacioni gjeometrik? Opsionet e formës së seksionit janë paraqitur në figurën më poshtë.

Seksioni rozë është një rreth. Ajo është formuar si rezultat i kryqëzimit të një figure me një plan që është paralel me bazën e konit. Këto janë seksione pingul me boshtin e figurës. Figura e formuar mbi rrafshin e prerjes është një kon, i ngjashëm me atë origjinal, por me një rreth më të vogël në bazë.

Seksioni i gjelbër është një elips. Përftohet nëse rrafshi i prerjes nuk është paralel me bazën, por ai vetëm kryqëzohet.

Seksionet blu dhe portokalli kanë formën e një parabole dhe një hiperbole, përkatësisht. Siç shihet nga figura, ato fitohen nëse rrafshi i prerjes kryqëzohet njëkohësisht. sipërfaqe anësore dhe bazën e figurës.

Për të përcaktuar zonat e prerjes tërthore të konit që janë marrë në konsideratë, është e nevojshme të përdoren formula për figurën përkatëse në plan. Për shembull, për një rreth ky është numri Pi i shumëzuar me katrorin e rrezes, dhe për një elips është prodhimi i Pi dhe gjatësia e gjysmëboshteve të vogla dhe të mëdha:

rrethi: S = pi*r 2 ;

elips: S = pi*a*b .

Seksione që përmbajnë kulmin e një koni

Tani le të shohim opsionet për seksionet që lindin nëse rrafshi i prerjes kalon nëpër kulmin e konit. Tre raste janë të mundshme:

1. Një seksion është një pikë e vetme. Për shembull, duke kaluar nëpër kulm dhe paralel me bazën avioni jep pikërisht një seksion të tillë.
2. Seksioni është i drejtë. Kjo situatë ndodh kur rrafshi është tangjent në një sipërfaqe konike. Seksioni i drejtë në këtë rast do të jetë gjeneratori i konit.
3. Seksioni boshtor. Ajo formohet kur rrafshi përmban jo vetëm kulmin e figurës, por edhe të gjithë boshtin e saj. Në këtë rast, avioni do të jetë pingul me bazën e rrumbullakët dhe do ta ndajë konin në dy pjesë të barabarta.

Është e qartë se sipërfaqet e dy llojeve të para të seksioneve janë të barabarta me zero. Sa i përket zonës së prerjes tërthore të konit për llojin e 3-të, kjo çështje diskutohet më në detaje në paragrafin tjetër.

Seksioni boshtor

U vu re më lart se seksioni boshtor i një koni është figura e formuar kur koni kryqëzohet nga një plan që kalon nëpër boshtin e tij. Është e lehtë të merret me mend se ky seksion do të përfaqësojë figurën e treguar në figurën më poshtë.

Kjo trekëndëshi dykëndësh. Kulmi i seksionit boshtor të konit është kulmi i këtij trekëndëshi, i formuar nga kryqëzimi i brinjëve identike. Këto të fundit janë të barabarta me gjatësinë e gjeneratorit të konit. Baza e trekëndëshit është diametri i bazës së konit.

Llogaritja e zonës së prerjes boshtore të një koni zbret në gjetjen e zonës së trekëndëshit që rezulton. Nëse dihet fillimisht rrezja e bazës r dhe lartësia h e konit, atëherë sipërfaqja S e seksionit në shqyrtim do të jetë e barabartë me:

Kjo shprehje është pasojë e përdorimit formula standarde për sipërfaqen e trekëndëshit (gjysma e produktit të lartësisë dhe bazës).

Vini re se nëse është i barabartë me diametrin e bazës së tij të rrumbullakët, atëherë seksioni boshtor i konit është një trekëndësh barabrinjës.

Një seksion trekëndor formohet kur rrafshi i prerjes është pingul me bazën e konit dhe kalon nëpër boshtin e tij. Çdo plan tjetër paralel me atë të emërtuar do të japë një hiperbolë në prerje tërthore. Sidoqoftë, nëse rrafshi përmban kulmin e konit dhe nuk e kryqëzon bazën e tij përmes diametrit, atëherë seksioni që rezulton do të jetë gjithashtu një trekëndësh izosceles.

Problemi i përcaktimit të parametrave linearë të një koni

Ne do të tregojmë se si të përdorim formulën e shkruar për zonën e prerjes boshtore për të zgjidhur një problem gjeometrik.

Dihet se zona e prerjes kryq boshtore e konit është 100 cm 2. Trekëndëshi që rezulton është barabrinjës. Sa është lartësia e konit dhe rrezja e bazës së tij?

Meqenëse trekëndëshi është barabrinjës, lartësia e tij h lidhet me gjatësinë e brinjës a me lidhjen e mëposhtme:

Duke marrë parasysh që ana e trekëndëshit është dyfishi i rrezes së bazës së konit, dhe duke e zëvendësuar këtë shprehje në formulën për zonën e prerjes tërthore, marrim:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Atëherë lartësia e konit është:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Mbetet për të zëvendësuar vlerën e zonës nga kushtet e problemit dhe për të marrë përgjigjen:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 cm;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 cm.

Në cilat fusha është e rëndësishme të njihen parametrat e seksioneve të shqyrtuara?

Duke studiuar lloje të ndryshme seksionet e konit nuk janë vetëm me interes teorik, por kanë edhe aplikime praktike.

Së pari, duhet theksuar fusha e aerodinamikës, ku duke përdorur seksione konike është e mundur të krijohen forma ideale të lëmuara. të ngurta.

Së dyti, seksione konike janë trajektoret përgjatë të cilave lëvizin objektet hapësinore në fushat gravitacionale. Cila është saktësisht trajektorja e lëvizjes? trupat kozmikë sistemet përcaktohet nga raporti i masave të tyre, shpejtësi absolute dhe distancat ndërmjet tyre.

Burkovskaya Nina Dmitrievna.

mësues i matematikës

Kolegji Teknologjik Ural "Shërbimi".

Tema e programit: Trupat e rrotullimit - ora 10.

Tema e mësimit: Koni rrethor i drejtë, elementët e tij. Seksionet e një koni nga një aeroplan. Zhvillimi i konit. Sipërfaqja e një koni.

Qëllimi i mësimit: Formimi i njohurive teorike për konin si trup rrotullues, vetitë e tij, llojet e seksionit sipas planit dhe zonës sipërfaqe të plotë. Mendimi matematikor, përfaqësimi hapësinor;

Pavarësia e veprimtarive edukative dhe njohëse.

Lloji i mësimit: Mësim i kombinuar.

Metodat e menaxhimit: Leksion-mësim praktik.

Pajisjet e mësimit: Mjedisi matematikorGeoGebra.

GJATË Klasave:

Koha e organizimit– 1 – 2 min.

duke përshëndetur studentët.

Shënoni ata që mungojnë.

II . Anketa në detyre shtepie

1. Zona e sipërfaqes anësore të cilindrit;

2. Sipërfaqja e përgjithshme e cilindrit;

3. Cilindër i gdhendur në prizëm;

4. Cilindri i rrethuar rreth prizmit.

III . Shpjegimi i materialit të ri. Përmbledhje e shkurtër.

1. Koni - një trup që përbëhet nga një rreth - baza e konit, një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e këtij rrethi - kulmi i konit dhe të gjitha segmentet që lidhin kulmin e konit me pikat e bazës.

Një kon fitohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë rreth një këmbë.

2. Tani le të shohim se si është ndërtuar një kon. Së pari vizatojmë një rreth me qendërOdhe të drejtpërdrejtëOS, pingul me rrafshin e këtij rrethi. Ne e lidhim secilën pikë të rrethit me një segment në një pikëS. Sipërfaqja e formuar nga këto segmente quhet sipërfaqe konike, dhe vetë segmentet janë gjenerues të një sipërfaqeje konike.

3. t.S– maja e rrethit të konit (O, OA) – baza e konit

S.A.= S.B.– duke formuar kone. Segmenti i linjësKËSHTU QË– lartësia e konit. DrejtKËSHTU QË– boshti i konit

4. a) seksioni boshtor i konit është një trekëndësh dykëndësh

Seksioni boshtor i një koni është një pjesë e konit nga një plan që kalon nëpër boshtin e konit dhe

përmes kulmit të tij është një trekëndësh dykëndësh.

Seksioni i një koni nga një plan pingul me boshtin e simetrisë - një rreth,

AB - seksion pingul me boshtin e simetrisë dhe paralel me bazën.

Le të shprehim sipërfaqen e sipërfaqes anësore të konit përmes gjeneratorit të tij dhe rrezes së bazës.

Masa e shkallës së harkut

Gjatësia e harkut të sektorit është e barabartë me perimetrin e bazës së konit.

shpreheni atë nëpërmjet dhe, pastaj

, .

Si të gjeni sipërfaqen totale?

Sipërfaqja totale është shuma e sipërfaqes anësore dhe sipërfaqes bazë.

, .

Një rrafsh tangjent me një kon është një rrafsh që kalon përmes gjeneratorit të konit dhe pingul me rrafshin seksioni boshtor që përmban këtë gjenerator.

IV . Konsolidimi i materialit të ri:

Detyra: Rrezja e bazës së konit është 14 cm Gjeni sipërfaqen e seksionit të tërhequr pingul me boshtin e tij përmes mesit .

Zgjidhja: △ A S O - drejtkëndëshe ( S RRETH  bazë), ∠ S AO=30 0 , S O (shtrihet këndi përballë 30 0 )=, atëherë AS =2О S =2*12=24.Sipas Pitagorës O; S b. = Përgjigje: S b. =.

Detyrë shtëpie §6.1 – 6.2, Nr. 8

Letërsia

Zh Kaydasov, V. Gusev, A Kagazbaeva Gjeometria 10, klasa 11. Material didaktik në gjeometri për klasat 10 dhe 11.

Do t'ju duhet

• Vizatimi i një koni me parametra të specifikuar
• Sundimtar
• Laps
• Formulat dhe përkufizimet matematikore
• Lartësia e konit
• Rrezja e rrethit të bazës së konit
• Formula e sipërfaqes së trekëndëshit

Udhëzimet

Vizatoni një kon me parametrat e dhënë. Etiketoni qendrën e rrethit si O dhe kulmin si P. Duhet të dini rrezen dhe lartësinë e konit. Mos harroni lartësitë e konit. Është pingul nga maja e konit në bazën e tij. Pika e kryqëzimit të lartësisë së konit me bazën e një koni të drejtë përkon me qendrën e rrethit bazë. Ndërtoni një seksion boshtor të konit. Ka diametrin e bazës dhe gjeneratat e konit, të cilat kalojnë nëpër pikat e kryqëzimit të diametrit me rrethin. Etiketoni pikat që rezultojnë si A dhe B.

Seksioni boshtor formohet nga dy trekëndësha kënddrejtë të shtrirë në të njëjtin rrafsh dhe që kanë një këmbë të përbashkët. Ekzistojnë dy mënyra për të llogaritur zonën e prerjes kryq boshtore. Mënyra e parë është të gjeni zonat e trekëndëshave që rezultojnë dhe t'i shtoni ato së bashku. Kjo është metoda më vizuale, por në thelb nuk ndryshon nga llogaritja klasike e një trekëndëshi. Pra, ju keni 2 trekëndësha kënddrejtë, këmbët e përbashkëta të të cilëve janë lartësia e konit h, këmbët e dyta janë rrezet e rrethit bazë R dhe hipotenuset janë gjeneruesit e konit. Meqenëse të tre brinjët e këtyre trekëndëshave janë të barabartë me njëra-tjetrën, edhe vetë trekëndëshat rezultojnë të barabartë, sipas vetive të tretë të barazisë së trekëndëshave. Sipërfaqja e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me gjysmën e produktit të këmbëve të tij, domethënë S=1/2Rh. Sipërfaqja e dy trekëndëshave në përputhje me rrethanat do të jetë e barabartë me produktin e bazës dhe lartësisë, S=Rh.

Seksioni boshtor më së shpeshti konsiderohet si , lartësia e të cilit është lartësia e konit. NË në këtë rast Ky është një trekëndësh APB, baza e të cilit është e barabartë me diametrin e rrethit bazë të konit D, dhe lartësia është e barabartë me lartësinë e konit h. Sipërfaqja e saj llogaritet nga formula klasike zona e trekëndëshit, domethënë, në fund marrim të njëjtën formulë S = 1/2Dh = Rh, ku S është zona e trekëndëshit, R është rrezja e rrethit bazë dhe h është lartësia e trekëndëshit, e cila është edhe lartësia e konit.

Këshilla të dobishme

Zona e prerjes kryq boshtore e një koni llogaritet duke përdorur formulën për sipërfaqen e një trapezi. Në këtë rast, është e nevojshme të njihen të dy rrezet e bazave, lartësia dhe vija e mesme.

Burimet:

• Tema e mësimit “Pjese të një koni

Kon - një trup që përftohet duke kombinuar të gjitha rrezet që dalin nga një pikë, e cila quhet kulm i konit, dhe që kalojnë nëpër siperfaqe e sheshte, e cila quhet baza e konit. Zona e një koni kuptohet si zona e sipërfaqes së saj anësore dhe zona e bazës së saj, e cila është një rreth.

Do t'ju duhet

• Njohuri bazë të stereometrisë.

Udhëzimet

Sipërfaqja përfundimtare e konit është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të sipërfaqes dhe bazës së tij. Kjo është, S = P*R*R + P*R*l. Epo, ose pas transformimit, S = П*R(R + l).

Video mbi temën

shënim

Sipërfaqja është një sasi pozitive, dhe nëse merrni një vlerë negative, atëherë keni bërë një gabim diku. Kontrolloni dy herë me kujdes të gjitha llogaritjet tuaja.

Këshilla të dobishme

Duke ditur sipërfaqen e konit dhe rrezen e bazës së tij, mund të gjeni gjatësinë e udhëzuesit të tij, dhe duke ditur sipërfaqen dhe gjatësinë e udhëzuesit, mund të gjeni rrezen e bazës së tij.

Burimet:

• Si të gjeni sipërfaqen e një koni në 2019

Ndërtimi i një seksion kryq të një koni nuk është kështu detyrë e vështirë. Gjëja kryesore është të ndiqni një sekuencë të rreptë veprimesh. Atëherë kjo detyrë do të realizohet lehtësisht dhe nuk do të kërkojë shumë punë nga ju.

Do t'ju duhet

• - letër;
• - stilolaps;
• - rrethi;
• - sundimtar.

Udhëzimet

Kur t'i përgjigjeni kësaj pyetjeje, së pari duhet të vendosni se cilat parametra përcaktojnë seksionin.
Le të jetë kjo drejtëza e prerjes së rrafshit l me rrafshin dhe pika O, e cila është kryqëzimi me seksionin e tij.

Ndërtimi është ilustruar në figurën 1. Hapi i parë në ndërtimin e një seksioni është përmes qendrës së seksionit të diametrit të tij, i shtrirë në l pingul me këtë vijë. Rezultati është pika L. Më pas, vizatoni një vijë të drejtë LW përmes pikës O dhe ndërtoni dy kone udhëzuese që shtrihen në seksionin kryesor O2M dhe O2C. Në kryqëzimin e këtyre udhëzuesve shtrihet pika Q, si dhe pika e treguar tashmë W. Këto janë dy pikat e para të seksionit të dëshiruar.

Tani vizatoni një MS pingul në bazën e konit BB1 dhe ndërtoni gjenerata të seksionit pingul O2B dhe O2B1. Në këtë seksion, përmes pikës O, vizatoni një vijë të drejtë RG paralele me BB1. Т.R dhe Т.G janë dy pika të tjera të seksionit të dëshiruar. Nëse seksioni kryq i topit do të ishte i njohur, atëherë ai mund të ndërtohej tashmë në këtë fazë. Sidoqoftë, kjo nuk është aspak një elips, por diçka eliptike që ka simetri në lidhje me segmentin QW. Prandaj, duhet të ndërtoni sa më shumë pika seksioni që të jetë e mundur në mënyrë që t'i lidhni ato më vonë me një kurbë të qetë për të marrë skicën më të besueshme.

Ndërtoni një pikë të seksionit arbitrar. Për ta bërë këtë, vizatoni një diametër arbitrar AN në bazën e konit dhe ndërtoni udhëzuesit përkatës O2A dhe O2N. Nëpërmjet t.O, vizatoni një vijë të drejtë që kalon përmes PQ dhe WG derisa të kryqëzohet me udhëzuesit e sapondërtuar në pikat P dhe E. Këto janë dy pika të tjera të seksionit të dëshiruar. Duke vazhduar në të njëjtën mënyrë, mund të gjeni aq pikë sa të doni.

Vërtetë, procedura për marrjen e tyre mund të thjeshtohet pak duke përdorur simetrinë në lidhje me QW. Për ta bërë këtë, mund të vizatoni vija të drejta SS në rrafshin e seksionit të dëshiruar, paralel me RG derisa të kryqëzohen me sipërfaqen e konit. Ndërtimi përfundon duke rrumbullakosur polivinë e ndërtuar nga korda. Mjafton të ndërtohet gjysma e seksionit të dëshiruar për shkak të simetrisë së përmendur tashmë në lidhje me QW.

Video mbi temën

Këshillë 4: Si të gjeni zonën e prerjes boshtore të një koni të cunguar

Te zgjidhesh këtë detyrë, duhet të mbani mend se çfarë është një kon i cunguar dhe cilat veti ka. Sigurohuni që të bëni një vizatim. Kjo do t'ju lejojë të përcaktoni se cilat figura gjeometrike përfaqëson një seksion. Është shumë e mundur që pas kësaj, zgjidhja e problemit të mos jetë më e vështirë për ju.

Udhëzimet

Një kon i rrumbullakët është një trup që përftohet duke rrotulluar një trekëndësh rreth njërës prej këmbëve të tij. Linjat e drejta që dalin nga maja kon dhe duke e prerë bazën e saj quhen gjeneratorë. Nëse të gjithë gjeneratorët janë të barabartë, atëherë koni është i drejtë. Në bazën e raundit kon shtrihet një rreth. Perpendikularja e rënë në bazë nga kulmi është lartësia kon. Në të drejtën e rrumbullakët kon lartësia përkon me boshtin e saj. Aksi është një vijë e drejtë që lidhet me qendrën e bazës. Nëse rrafshi horizontal i prerjes së një rrethore kon, atëherë baza e sipërme e saj është një rreth.

Meqenëse në deklaratën e problemit nuk specifikohet se është koni që jepet në këtë rast, mund të konkludojmë se ky është një kon i drejtë i cunguar, seksioni horizontal i të cilit është paralel me bazën. Seksioni aksial i tij, d.m.th. rrafshi vertikal, i cili përmes boshtit të rrethit kon, është një trapez barabrinjës. Të gjitha boshtore seksionet rrumbullakët drejt kon janë të barabartë me njëri-tjetrin. Prandaj, për të gjetur katrore boshtore seksionet, ju duhet të gjeni katrore trapezoid, bazat e të cilit janë diametrat e bazave të një të cunguar kon, A anët- përbërësit e tij. Lartësia e frustumit konështë edhe lartësia e trapezit.

Sipërfaqja e një trapezi përcaktohet me formulën: S = ½(a+b) h, ku S - katrore trapezoid;a – madhësi baza e poshtme trapezoid b – madhësia e bazës së sipërme të tij;

Rrezja e bazës së konit me kulmin e tij është 6, dhe gjatësia e gjeneratës së tij është 9 Në rrethin e bazës së konit, zgjidhen pika dhe duke e ndarë rrethin në dy harqe, gjatësitë prej. të cilat janë në raport 1:3. Gjeni zonën e prerjes tërthore të konit nga aeroplani.

Zgjidhja e problemit

Ky mësim tregon se si të ndërtoni saktë një seksion të një koni duke përdorur një aeroplan dhe të gjeni zonën e këtij seksioni. Pika kryesore në zgjidhjen e këtij problemi është raporti i harqeve, i cili përcaktohet nga kushti: duke qenë se raporti është 1:3, mund të përcaktohet qartë se masë shkallë një hark do të jetë 90°. Dhe kjo e bën zgjidhjen e problemit shumë më të lehtë. Formula për sipërfaqen e një trekëndëshi: gjysma e produktit të bazës dhe lartësisë - bën të mundur përcaktimin e atyre segmenteve, gjatësitë e të cilave duhet të gjejmë. Për të gjetur gjatësinë e bazës, ne përdorim teoremën e Pitagorës (trekëndëshi nuk është vetëm drejtkëndor, por edhe dykëndësh - këmbët e trekëndëshit janë rrezet e bazës së rrethit). Ne gjithashtu do të gjejmë lartësinë e seksionit duke përdorur teoremën e Pitagorës. Ne tashmë e dimë bazën (na duhet gjysma e saj) dhe gjatësia e gjeneratorit jepet sipas kushtit. Mbetet vetëm të gjejmë produktin e segmenteve që rezultojnë dhe ta ndajmë atë me dy. Përgjigja është marrë.

Zgjidhja e këtij problemi rekomandohet për nxënësit e klasës së 8-të kur studiojnë temën "Sipërfaqja" ("Teorema e Pitagorës", "Sipërfaqja e një trekëndëshi"); për nxënësit e klasës së 11-të gjatë studimit të temës “Trupat e rrotullimit” (“Zgjidhja e problemit. Koni”). Në përgatitje për Mësimi i Provimit të Unifikuar të Shtetit rekomandohet gjatë përsëritjes së temës "Sipërfaqja", "Trupat e rrotullimit".

Zona seksionale e konit. Një artikull tjetër me kone është paraqitur për ju. Në kohën e shkrimit të këtij artikulli, të gjithë shembujt (prototipet) e detyrave me kone që janë të mundshme në provim janë zgjidhur në blog. Procesi i zgjidhjes është i thjeshtë (1-2 hapa), me pak praktikë ato zgjidhen me gojë. Ju duhet të dini konceptin e një gjeneratori ka informacion në lidhje me këtë në. Është gjithashtu e nevojshme të kuptohet se si formohen seksionet e konit.

1. Nëse një rrafsh kalon nëpër kulmin e një koni, atëherë seksioni është një trekëndësh.

*Nëse rrafshi kalon nëpër boshtin e konit, atëherë seksioni është një trekëndësh dykëndësh, lartësia e të cilit është e barabartë me lartësinë e konit, dhe baza mbi të cilën është ulur kjo lartësi është e barabartë me diametrin e bazës. e konit.

2. Nëse rrafshi është pingul me boshtin e konit, atëherë seksioni është një rreth.

Një tipar i veçantë i këtyre detyrave është se aplikohet formula për sipërfaqen e një trekëndëshi, . Përsëritni formulat në mënyrë periodike. Le të shqyrtojmë detyrat:

324453. Zona e bazës së konit është 16 Pi, lartësia është 6. Gjeni zonën e prerjes boshtore të konit.

Seksioni boshtor i konit është një trekëndësh me një bazë e barabartë me diametrin baza dhe lartësia e konit lartësi të barabartë kon Le të shënojmë diametrin si D, lartësinë si H dhe shkruajmë formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi:

Lartësia dihet, le të llogarisim diametrin. Ne përdorim formulën për sipërfaqen e një rrethi:

Kjo do të thotë se diametri do të jetë i barabartë me 8. Llogaritni sipërfaqen e prerjes tërthore:

Përgjigje: 24

324454. Sipërfaqja e bazës së konit është 18. Rrafsh, paralel me rrafshin baza e konit, e ndan lartësinë e tij në segmente me gjatësi 3 dhe 6, duke numëruar nga lart. Gjeni zonën e prerjes tërthore të konit nga ky plan.

Seksioni kryq është një rreth. Ju duhet të gjeni zonën e këtij rrethi.

Le të ndërtojmë një seksion boshtor:

Konsideroni trekëndëshat AKL dhe AOC - ato janë të ngjashme. Dihet se në shifra të ngjashme ah raportet e elementeve përkatëse janë të barabarta. Ne do të shqyrtojmë marrëdhënien midis lartësive dhe këmbëve (rrezet):

OC është rrezja e bazës, ajo mund të gjendet:

Do të thotë

Tani mund të llogarisim zonën e prerjes kryq:

*Kjo është një metodë algjebrike e llogaritjes pa përdorur vetinë e trupave të ngjashëm në lidhje me sipërfaqen e tyre. Dikush mund të mendojë kështu:

Dy kone (origjinali dhe ai i prerë) janë të ngjashëm, që do të thotë se bazat e tyre janë figura të ngjashme. Për zonat e figurave të ngjashme ekziston një lidhje:

Koeficienti i ngjashmërisë në këtë rast është i barabartë me 1/3 (lartësia e konit origjinal është 9, prerja është 3), 3/9=1/3.

Kështu, zona e bazës së konit që rezulton është e barabartë me:

Përgjigje: 2

323455. Lartësia e konit është 8, dhe gjatësia e gjeneratorit është 10. Gjeni zonën e prerjes boshtore të këtij koni.

Le të jetë gjeneratori L, lartësia të jetë H dhe rrezja e bazës të jetë R.

Gjeni diametrin e bazës dhe përdorni formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi për të llogaritur sipërfaqen. Sipas teoremës së Pitagorës:

Le të jetë gjenerata L, lartësia H dhe rrezja e bazës R. Kjo është e gjitha. Paç fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.