në shtëpi » Halucinogjene » Vijat paralele presin segmente të barabarta. Teorema e Talesit

Vijat paralele presin segmente të barabarta. Teorema e Talesit

Tema e mësimit

Objektivat e mësimit

  • Njihuni me përkufizimet e reja dhe mbani mend disa të studiuara tashmë.
  • Formuloni dhe vërtetoni vetitë e një katrori, provoni vetitë e tij.
  • Mësoni të zbatoni vetitë e formave gjatë zgjidhjes së problemeve.
  • Zhvillimore - për të zhvilluar vëmendjen e studentëve, këmbënguljen, këmbënguljen, të menduarit logjik, të folurit matematikor.
  • Edukative - përmes mësimit, kultivoni një qëndrim të vëmendshëm ndaj njëri-tjetrit, rrënjosni aftësinë për të dëgjuar shokët, ndihmën e ndërsjellë dhe pavarësinë.

Objektivat e mësimit

  • Testoni aftësitë e nxënësve për zgjidhjen e problemeve.

Plani i mësimit

  1. Referencë historike.
  2. Thales si matematikan dhe veprat e tij.
  3. Është e dobishme të mbani mend.

Referencë historike

  • Teorema e Talesit përdoret ende në lundrimin detar si rregull që një përplasje midis anijeve që lëvizin me një shpejtësi konstante është e pashmangshme nëse anijet vazhdojnë të shkojnë drejt njëra-tjetrës.


  • Jashtë literaturës në gjuhën ruse, teorema e Talesit nganjëherë quhet një tjetër teoremë e planimetrisë, domethënë, pohimi se këndi i gdhendur bazuar në diametrin e një rrethi është i drejtë. Zbulimi i kësaj teoreme me të vërtetë i atribuohet Talesit, siç dëshmohet nga Proclus.
  • Thales mësoi bazat e gjeometrisë në Egjipt.

Zbulimet dhe meritat e autorit të saj

A e dini se Thales i Miletit ishte një nga shtatë më të famshmit në atë kohë, i urti i Greqisë. Ai themeloi shkollën Joniane. Ideja që Thales promovoi në këtë shkollë ishte uniteti i të gjitha gjërave. I urti besonte se ekzistonte një fillim i vetëm nga i cili lindën të gjitha gjërat.

Merita e madhe e Talesit të Miletit është krijimi i gjeometrisë shkencore. Ky mësim i madh ishte në gjendje të krijonte nga arti egjiptian i matjes një gjeometri deduktive, baza e së cilës është baza e përbashkët.

Përveç njohurive të tij të mëdha për gjeometrinë, Thales ishte gjithashtu i përgatitur mirë në astronomi. Ai ishte i pari që parashikoi një eklips total të Diellit. Por kjo nuk ndodhi në botën moderne, por në vitin 585, madje edhe para erës sonë.

Thales i Miletit ishte njeriu që kuptoi se veriu mund të përcaktohej me saktësi nga yjësia Arusha e Vogël. Por ky nuk ishte zbulimi i tij i fundit, pasi ai ishte në gjendje të përcaktonte me saktësi gjatësinë e vitit, ta ndante atë në treqind e gjashtëdhjetë e pesë ditë, dhe gjithashtu caktoi kohën e ekuinokseve.

Thales ishte në fakt një njeri i zhvilluar dhe i mençur plotësisht. Përveç faktit se ai ishte i famshëm si një matematikan, fizikan dhe astronom i shkëlqyer, ai ishte gjithashtu një meteorolog i vërtetë dhe ishte në gjendje të parashikonte me mjaft saktësi të korrat e ullirit.

Por gjëja më e shquar është se Thales nuk i kufizoi kurrë njohuritë e tij vetëm në fushën shkencore dhe teorike, por gjithmonë u përpoq të konsolidonte provat e teorive të tij në praktikë. Dhe gjëja më interesante është se i urti i madh nuk u përqendrua në asnjë fushë të njohurive të tij, interesi i tij kishte drejtime të ndryshme.

Emri Thales u bë një emër i njohur për të urtë edhe atëherë. Rëndësia dhe rëndësia e tij për Greqinë ishte po aq e madhe sa emri i Lomonosov për Rusinë. Sigurisht, mençuria e tij mund të interpretohet në mënyra të ndryshme. Por definitivisht mund të themi se ai karakterizohej nga zgjuarsia, zgjuarsia praktike dhe, deri diku, shkëputja.

Thales i Miletit ishte një matematikan, filozof, astronom i shkëlqyer, i pëlqente të udhëtonte, ishte tregtar dhe sipërmarrës, ishte i angazhuar në tregti dhe ishte gjithashtu një inxhinier, diplomat, shikues i mirë dhe mori pjesë aktive në jetën politike.

Ai madje arriti të përcaktojë lartësinë e piramidës duke përdorur një shkop dhe një hije. Dhe kështu ishte. Një ditë të bukur me diell, Thales vendosi shkopin e tij në kufirin ku mbaronte hija e piramidës. Më pas, ai priti derisa gjatësia e hijes së shkopit të tij të ishte e barabartë me lartësinë e saj dhe mati gjatësinë e hijes së piramidës. Pra, duket se Thales thjesht përcaktoi lartësinë e piramidës dhe vërtetoi se gjatësia e një hije lidhet me gjatësinë e një hije tjetër, ashtu si lartësia e piramidës lidhet me lartësinë e shkopit. Kjo është ajo që goditi vetë faraonin Amasis.

Falë Thales, të gjitha njohuritë e njohura në atë kohë u transferuan në fushën e interesit shkencor. Ai ishte në gjendje të përçonte rezultatet në një nivel të përshtatshëm për konsum shkencor, duke theksuar një grup të caktuar konceptesh. Dhe ndoshta me ndihmën e Thales filloi zhvillimi i mëvonshëm i filozofisë antike.

Teorema e Talesit luan një rol të rëndësishëm në matematikë. Ishte i njohur jo vetëm në Egjiptin e Lashtë dhe Babiloninë, por edhe në vende të tjera dhe ishte baza për zhvillimin e matematikës. Dhe në jetën e përditshme, gjatë ndërtimit të ndërtesave, strukturave, rrugëve, etj., Nuk mund të bëhet pa teoremën e Talesit.

Teorema e Talesit në kulturë

Teorema e Talesit u bë e famshme jo vetëm në matematikë, por u fut edhe në kulturë. Një ditë, grupi muzikor argjentinas Les Luthiers (spanjoll) prezantoi një këngë para audiencës, të cilën ia kushtoi një teoreme të famshme. Anëtarët e Les Luthiers, në videoklipin e tyre posaçërisht për këtë këngë, dhanë prova për teoremën e drejtpërdrejtë për segmentet proporcionale.

Pyetje

  1. Cilat drejtëza quhen paralele?
  2. Ku zbatohet praktikisht teorema e Talesit?
  3. Çfarë thotë teorema e Talesit?

Lista e burimeve të përdorura

  1. Enciklopedi për fëmijë. T.11. Matematikë / Kryeredaktor M.D.Aksenova.-m.: Avanta+, 2001.
  2. “Provimi i Unifikuar i Shtetit 2006. Matematikë. Materiale edukative dhe trajnuese për përgatitjen e studentëve / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
  3. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "Gjeometria, 7 - 9: tekst shkollor për institucionet arsimore"
Lëndët > Matematikë > Matematikë klasa e 8-të

Teorema 6.6 (teorema e Talesit).Nëse vijat paralele që kryqëzojnë anët e një këndi presin segmente të barabarta nga njëra anë, atëherë ato presin segmente të barabarta nga ana tjetër.(Fig. 131).

Dëshmi. Le të jenë A 1, A 2, A 3 pikat e kryqëzimit të drejtëzave paralele me njërën nga anët e këndit dhe A 2 shtrihet midis A 1 dhe A 3 (Fig. 131). Le të jenë B 1, B 2, B 3 pikat përkatëse të kryqëzimit të këtyre drejtëzave me anën tjetër të këndit. Le të vërtetojmë se nëse A 1 A 2 = A 2 Az, atëherë B 1 B 2 = B 2 B 3.

Le të vizatojmë një drejtëz EF përmes pikës B 2, paralel me drejtëzën A 1 A 3. Nga vetia e një paralelogrami, A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E. Dhe meqenëse A 1 A 2 = A 2 A 3, atëherë FB 2 = B 2 E.

Trekëndëshat B 2 B 1 F dhe B 2 B 3 E janë të barabartë sipas kriterit të dytë. Kanë B 2 F=B 2 E sipas asaj që është vërtetuar. Këndet në kulmin B 2 janë të barabarta si vertikale, dhe këndet B 2 FB 1 dhe B 2 EB 3 janë të barabarta si të brendshme të shtrira në mënyrë tërthore me paralele A 1 B 1 dhe A 3 B 3 dhe sekantin EF.


Nga barazia e trekëndëshave rrjedh barazia e brinjëve: B 1 B 2 = B 2 B 3. Teorema është vërtetuar.

Komentoni. Në kushtet e teoremës së Talesit, në vend të anëve të një këndi, mund të merrni çdo dy drejtëza, dhe përfundimi i teoremës do të jetë i njëjtë:

Drejtëza paralele që ndërpresin dy drejtëza të dhëna dhe presin segmente të barabarta në një drejtëz, gjithashtu presin segmente të barabarta në vijën tjetër.

Ndonjëherë teorema e Talesit do të zbatohet në këtë formë.

Problemi (48). Ndajeni këtë segment AB në n pjesë të barabarta.

Zgjidhje. Le të nxjerrim nga pika A një gjysmëdrejtëzë a që nuk shtrihet në drejtëzën AB (Fig. 132). Le të vizatojmë segmente të barabarta në gjysmëdrejtëzën a: AA 1, A 1 A 2, A 2 A 3, .... A n - 1 A n. Le t'i lidhim pikat A n dhe B. Vizatoni përmes pikave A 1, A 2, .... A n -1 drejtëza paralele me drejtëzën A n B. Ata e presin segmentin AB në pikat B 1, B 2, B n- 1, të cilat e ndajnë segmentin AB në n segmente të barabarta (sipas teoremës së Talesit).


A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore

Ky varr është i vogël, por lavdia mbi të është e pamasë.
Thales multi-inteligjent është i fshehur në të para jush.

Mbishkrim mbi varrin e Thales të Miletit

Imagjinoni këtë foto. 600 para Krishtit Egjipti. Para jush është një piramidë e madhe egjiptiane. Për të befasuar faraonin dhe për të mbetur ndër të preferuarit e tij, duhet të matni lartësinë e kësaj piramide. Nuk keni asgjë në dispozicionin tuaj. Ju mund të bini në dëshpërim, ose mund të veproni si Tales i Miletit: Përdorni teoremën e ngjashmërisë së trekëndëshit. Po, rezulton se gjithçka është mjaft e thjeshtë. Thales i Miletit priti derisa gjatësia e hijes së tij dhe lartësia e tij të përputheshin, dhe më pas, duke përdorur teoremën mbi ngjashmërinë e trekëndëshave, ai gjeti gjatësinë e hijes së piramidës, e cila, në përputhje me rrethanat, ishte e barabartë me hijen e hedhur nga piramidale.

Kush është ky djalë? Tales i Miletit? Njeriu që fitoi famë si një nga "shtatë të mençurit" e lashtësisë? Thales i Miletit është një filozof i lashtë grek, i cili u dallua me sukses në fushën e astronomisë, si dhe në matematikë dhe fizikë. Vitet e jetës së tij janë përcaktuar vetëm afërsisht: 625-645 para Krishtit

Ndër dëshmitë e njohurive të Talesit për astronominë, mund të jepet shembulli i mëposhtëm. 28 maj 585 p.e.s Parashikimi i Miletit për një eklips diellor ndihmoi në përfundimin e luftës midis Lidias dhe Medias që kishte zgjatur për 6 vjet. Kjo dukuri i trembi aq shumë medët, saqë ata ranë dakord me kushte të pafavorshme për të lidhur paqen me lidianët.

Ekziston një legjendë mjaft e njohur që e karakterizon Thalesin si një person të shkathët. Thales shpesh dëgjonte komente jo të këndshme për varfërinë e tij. Një ditë ai vendosi të provojë se filozofët, nëse dëshirojnë, mund të jetojnë me bollëk. Edhe në dimër, Thales vendosi nga vëzhgimi i yjeve se do të kishte një korrje të mirë të ullinjve në verë. Në të njëjtën kohë ai punësoi presa vaji në Milet dhe Kios. Kjo i kushtoi mjaft pak, pasi në dimër praktikisht nuk ka kërkesë për to. Kur ullinjtë dhanë një korrje të pasur, Thales filloi të jepte me qira presat e tij të vajit. Shuma e madhe e parave të mbledhura me këtë metodë u konsiderua si provë se filozofët mund të fitojnë para me mendjen e tyre, por thirrja e tyre është më e lartë se probleme të tilla tokësore. Kjo legjendë, meqë ra fjala, u përsërit nga vetë Aristoteli.

Sa i përket gjeometrisë, shumë nga "zbulimet" e tij u huazuan nga egjiptianët. E megjithatë ky transferim i njohurive në Greqi konsiderohet si një nga meritat kryesore të Talesit të Miletit.

Arritjet e Talesit konsiderohen të jenë formulimi dhe prova e sa vijon teorema:

  • këndet vertikale janë të barabarta;
  • Trekëndësha të barabartë janë ata, brinja dhe dy këndet fqinjë të të cilëve janë përkatësisht të barabartë;
  • këndet në bazën e një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë;
  • diametri ndan rrethin në gjysmë;
  • këndi i brendashkruar i nënshtruar nga diametri është një kënd i drejtë.

Një tjetër teoremë është emëruar pas Thales, e cila është e dobishme në zgjidhjen e problemeve gjeometrike. Ekziston forma e saj e përgjithësuar dhe e veçantë, teorema e anasjelltë, formulimet gjithashtu mund të ndryshojnë pak në varësi të burimit, por kuptimi i të gjithëve mbetet i njëjtë. Le të shqyrtojmë këtë teoremë.

Nëse vijat paralele kryqëzojnë anët e një këndi dhe presin segmente të barabarta nga njëra anë, atëherë ato presin segmente të barabarta nga ana tjetër.

Le të themi se pikat A 1, A 2, A 3 janë pikat e prerjes së drejtëzave paralele me njërën anë të këndit, dhe B 1, B 2, B 3 janë pikat e prerjes së drejtëzave paralele me anën tjetër të këndit. . Është e nevojshme të vërtetohet se nëse A 1 A 2 = A 2 A 3, atëherë B 1 B 2 = B 2 B 3.

Nëpër pikën B 2 vizatojmë një vijë paralele me drejtëzën A 1 A 2. Le të shënojmë rreshtin e ri C 1 C 2. Shqyrtoni paralelogramet A 1 C 1 B 2 A 2 dhe A 2 B 2 C 2 A 3 .

Vetitë e një paralelogrami na lejojnë të deklarojmë se A1A2 = C 1 B 2 dhe A 2 A 3 = B 2 C 2. Dhe meqenëse, sipas gjendjes sonë, A 1 A 2 = A 2 A 3, atëherë C 1 B 2 = B 2 C 2.

Dhe së fundi, merrni parasysh trekëndëshat Δ C 1 B 2 B 1 dhe Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (e vërtetuar më lart).

Kjo do të thotë se Δ C 1 B 2 B 1 dhe Δ C 2 B 2 B 3 do të jenë të barabarta sipas shenjës së dytë të barazisë së trekëndëshave (nga ana dhe këndet ngjitur).

Kështu, vërtetohet teorema e Talesit.

Përdorimi i kësaj teoreme do të lehtësojë dhe shpejtojë shumë zgjidhjen e problemeve gjeometrike. Fat i mirë në zotërimin e kësaj shkence argëtuese të matematikës!

në faqen e internetit, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.


          1. Formulimi;

          2. Dëshmi;

  1. Teorema mbi segmentet proporcionale;

  2. teorema e Cevës;

          1. Formulimi;

          2. Dëshmi;

  1. Teorema e Menelaut;

          1. Formulimi;

          2. Dëshmi;

  1. Problemet dhe zgjidhjet e tyre;

  2. konkluzioni;

  3. Lista e burimeve dhe literaturës së përdorur.

Prezantimi.

Gjithçka pak është e nevojshme

Për të qenë domethënës...

I. Severyanin
Kjo ese i kushtohet aplikimit të metodës së vijës paralele për vërtetimin e teoremave dhe zgjidhjen e problemeve. Pse i drejtohemi kësaj metode? Këtë vit shkollor në olimpiadën shkollore të matematikës u propozua një problem gjeometrik që na dukej shumë i vështirë. Ishte ky problem që i dha shtysë fillimit të punës për studimin dhe zotërimin e metodës së linjave paralele gjatë zgjidhjes së problemeve të gjetjes së raportit të gjatësive të segmenteve.

Ideja e vetë metodës bazohet në përdorimin e teoremës së përgjithësuar të Talesit. Teorema e Talesit studiohet në klasën e tetë, përgjithësimi i saj dhe tema “Ngjashmëria e figurave” në klasën e nëntë dhe vetëm në klasën e dhjetë, në një plan hyrës studiohen dy teorema të rëndësishme të Cheva dhe Menelaus, me ndihmën e të cilave. një numër problemesh për gjetjen e raportit të gjatësive të segmenteve zgjidhen relativisht lehtë. Prandaj, në nivelin e arsimit bazë, ne mund të zgjidhim një gamë mjaft të ngushtë problemesh duke përdorur këtë material edukativ. Megjithëse në certifikimin përfundimtar për një kurs të shkollës bazë dhe në Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, problema mbi këtë temë (Teorema e Talesit. Ngjashmëria e trekëndëshave, koeficienti i ngjashmërisë. Shenjat e ngjashmërisë së trekëndëshave) ofrohen në pjesën e dytë të fletën e provimit dhe lidhen me një nivel të lartë kompleksiteti.

Në procesin e punës për abstraktin, u bë e mundur të thellojmë njohuritë tona për këtë temë. Vërtetimi i teoremës për segmentet proporcionale në një trekëndësh (teorema nuk përfshihet në kurrikulën e shkollës) bazohet në metodën e drejtëzave paralele. Nga ana tjetër, kjo teoremë bëri të mundur që të propozohej një mënyrë tjetër për të vërtetuar teoremat e Ceva dhe Menelaus. Dhe si rezultat, ne ishim në gjendje të mësojmë se si të zgjidhim një gamë më të gjerë problemesh që përfshijnë krahasimin e gjatësisë së segmenteve. Kjo është rëndësia e punës sonë.

Teorema e përgjithësuar e Talesit.

Formulimi:

Vijat paralele që kryqëzojnë dy drejtëza të dhëna ndërpresin segmentet proporcionale në këto drejtëza.
E dhënë:

Drejt A prerë me vija paralele ( A 1 NË 1 , A 2 NË 2 , A 3 NË 3 ,…, A n B n) në segmente A 1 A 2 , A 2 A 3 , …, A n -1 A n, dhe vija e drejtë b- në segmente NË 1 NË 2 , NË 2 NË 3 , …, NË n -1 NË n .


Provoj:

Dëshmi:

Le ta vërtetojmë, për shembull, këtë

Le të shqyrtojmë dy raste:

1 rast (Fig. b)

Direkt a Dhe b paralele. Pastaj katërkëndëshat

A 1 A 2 NË 2 NË 1 Dhe A 2 A 3 NË 3 NË 2 - paralelogramet. Kjo është arsyeja pse

A 1 A 2 =NË 1 NË 2 Dhe A 2 A 3 =NË 2 NË 3 , nga ku rrjedh se


Rasti 2 (Fig. c)

Drejtëzat a dhe b nuk janë paralele. Përmes pikës A 1 le të bëjmë një direktivë Me, paralel me vijën b. Ajo do të kalojë linjat A 2 NË 2 Dhe A 3 NË 3 në disa pika ME 2 Dhe ME 3 . Trekëndëshat A 1 A 2 ME 2 Dhe A 1 A 3 ME 3 të ngjashme në dy kënde (kënd A 1 – e përgjithshme, kënde A 1 A 2 ME 2 Dhe A 1 A 3 ME 3 të barabartë si korresponduese kur drejtëza paralele A 2 NË 2 Dhe A 3 NË 3 sekant A 2 A 3 ), Kjo është arsyeja pse

1+

Ose nga vetia e përmasave

Nga ana tjetër, sipas asaj që u vërtetua në rastin e parë, kemi A 1 ME 2 =NË 1 NË 2 , ME 2 ME 3 =NË 2 NË 3 . Zëvendësimi në proporcion (1) A 1 ME 2 në NË 1 NË 2 Dhe ME 2 ME 3 në NË 2 NË 3 , arrijmë në barazi

Q.E.D.
Teorema mbi segmentet proporcionale në një trekëndësh.

Në anët AC Dhe dielli trekëndëshi ABC pikat e shënuara TE Dhe M Kështu që AK:KS=m: n, B.M.: M.C.= fq: q. Segmentet JAM Dhe QV kryqëzohen në një pikë RRETH(Fig. 124b).


Provoj:

Dëshmi:
Përmes pikës M le të bëjmë një direktivë M.D.(Fig. 124a), paralele QV. Ajo kalon anash AC në pikën D, dhe sipas një përgjithësimi të teoremës së Talesit

Le AK=mx. Pastaj, në përputhje me gjendjen e problemit KS=nx, dhe që nga ajo kohë KD: DC= fq: q, atëherë përsëri përdorim një përgjithësim të teoremës së Talesit:

Në mënyrë të ngjashme, vërtetohet se .

Teorema e Cevës.
Teorema mban emrin e matematikanit italian Giovanni Ceva, i cili e vërtetoi atë në 1678.

Formulimi:

Nëse pikat C merren përkatësisht në brinjët AB, BC dhe CA të trekëndëshit ABC 1 , A 1 dhe B 1 , pastaj segmentet AA 1 , BB 1 dhe SS 1 kryqëzohen në një pikë nëse dhe vetëm nëse


E dhënë:

Trekëndëshi ABC dhe në anët e saj AB, dielli Dhe AC pikat e shënuara ME 1 ,A 1 Dhe NË 1 .


Provoj:

2.segmentet A A 1 , BB 1 Dhe SS 1 kryqëzohen në një pikë.


Dëshmi:
1. Lërini segmentet AA 1 , BB 1 Dhe SS 1 kryqëzohen në një pikë RRETH. Le të vërtetojmë se barazia (3) është e plotësuar. Nga teorema mbi segmentet proporcionale në trekëndëshin 1 kemi:

Anët e majta të këtyre barazive janë të barabarta, që do të thotë se edhe anët e djathta janë të barabarta. Duke i barazuar ato, ne marrim


Duke i ndarë të dyja anët nga ana e djathtë, arrijmë në barazinë (3).

2. Le të vërtetojmë pohimin e kundërt. Lërini pikat ME 1 ,A 1 Dhe NË 1 marrë në anët AB, dielli Dhe SA në mënyrë që barazia (3) të plotësohet. Le të vërtetojmë se segmentet AA 1 , BB 1 Dhe SS 1 kryqëzohen në një pikë. Le ta shënojmë me shkronjë RRETH pika e kryqëzimit të segmenteve A A 1 Dhe BB 1 dhe le të bëjmë një direkte CO. Ajo kalon anash AB në një moment, të cilin e shënojmë ME 2 . Që nga segmentet AA 1 , BB 1 Dhe SS 1 kryqëzohen në një pikë, pastaj nga ajo që u vërtetua në pikën e parë

Pra, barazitë (3) dhe (4) vlejnë.

Duke i krahasuar ato, arrijmë në barazinë = , që tregon se pikat C 1 Dhe C 2 ndajnë anët AB C 1 Dhe C 2 përkojnë, dhe, për rrjedhojë, segmentet AA 1 , BB 1 Dhe SS 1 kryqëzohen në një pikë O.

Q.E.D.
Teorema e Menelaut.

Formulimi:

Nëse në brinjët AB dhe BC dhe vazhdimi i anës AC (ose në vazhdimin e brinjëve AB, BC dhe AC) merren përkatësisht pika C. 1 , A 1 , NË 1 , atëherë këto pika shtrihen në të njëjtën vijë nëse dhe vetëm nëse

E dhënë:

Trekëndëshi ABC dhe në anët e saj AB, dielli Dhe AC pikat e shënuara ME 1 ,A 1 Dhe NË 1 .


Provoj:


2. pikë A 1 ,ME 1 Dhe NË 1 shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë
Dëshmi:
1. Lërini pikat A 1 ,ME 1 Dhe NË 1 shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë. Le të vërtetojmë se barazia (5) është e plotësuar. Le të kryejmë pas Krishtit,BËHET Dhe CF paralel me vijën NË 1 A 1 (pika D shtrihet në një vijë të drejtë dielli). Sipas teoremës së përgjithësuar të Talesit kemi:


Duke shumëzuar anën e majtë dhe të djathtë të këtyre barazive, marrim


ato. barazia (5) plotësohet.
2. Le të vërtetojmë pohimin e kundërt. Lëreni pikën NË 1 marrë në anën e vazhdimit AC, dhe pikat ME 1 Dhe A 1 - në anët AB Dhe dielli, dhe në mënyrë të tillë që barazia (5) të plotësohet. Le të vërtetojmë se pikat A 1 ,ME 1 Dhe NË 1 shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë. Lëreni drejtëzën A 1 C 1 të presë vazhdimin e anës AC në pikën B 2, më pas me atë që u vërtetua në pikën e parë

Duke krahasuar (5) dhe (6), arrijmë në barazinë = , që tregon se pikat NË 1 Dhe NË 2 ndajnë anët AC në të njëjtin aspekt. Prandaj, pikat NË 1 Dhe NË 2 përkojnë, dhe, për rrjedhojë, pikat A 1 ,ME 1 Dhe NË 1 shtrihuni në të njëjtën vijë të drejtë. Pohimi i kundërt vërtetohet në mënyrë të ngjashme në rastin kur të tri pikat A 1 ,ME 1 Dhe NË 1 shtrihen në vazhdimet e anëve përkatëse.

Q.E.D.

Zgjidhja e problemeve.

Propozohet të shqyrtohen një sërë problemesh në ndarjen proporcionale të segmenteve në një trekëndësh. Siç u përmend më lart, ekzistojnë disa metoda për përcaktimin e vendndodhjes së pikave të nevojshme në problem. Në punën tonë, ne u vendosëm në metodën e vijave paralele. Baza teorike e kësaj metode është teorema e përgjithësuar e Talesit, e cila lejon, duke përdorur vija të drejta paralele, të transferojë marrëdhëniet e njohura të proporcionit nga njëra anë e një këndi në anën e dytë të tij, kështu që ju duhet vetëm të vizatoni këto drejtëza paralele në një mënyrë. i përshtatshëm për zgjidhjen e problemit.
Le të shqyrtojmë detyrat specifike:
Problemi nr. 1 Në trekëndëshin ABC, pika M merret në brinjën BC në mënyrë që BM:MC = 3:2. Pika P ndan segmentin AM në një raport 2:1. Vija e drejtë BP kryqëzon anën AC në pikën B 1 . Në çfarë aspekti është pika B 1 ndan anën AC?

Zgjidhje: Duhet të gjeni raportin AB 1:B 1 C, AC është segmenti i dëshiruar në të cilin shtrihet pika B 1.

Metoda paralele është si më poshtë:


  1. prerë segmentin e kërkuar me vija paralele. Një BB 1 tashmë ekziston, dhe ne do ta tërheqim MN-në e dytë përmes pikës M, paralel me BB 1.

  2. Transferoni një raport të njohur nga njëra anë e këndit në anën tjetër të tij, d.m.th. merrni parasysh këndet e anëve, të cilat priten nga këto vija të drejta.
Brinjët e këndit C shpërndahen nga drejtëza BB 1 dhe MN dhe, duke përdorur teoremën e përgjithësuar të Talesit, arrijmë në përfundimin NË 1 N= 3r, NC=2р. Brinjët e këndit MAC kryqëzojnë drejtëzat PB 1 dhe MN dhe i ndajnë brinjët e tij në një raport 2:1, pra AB 1:B 1 N=2:1 dhe për rrjedhojë AB 1 =2n, NË 1 N= n. Sepse NË 1 N= 3r, Dhe NË 1 N= n, Kjo 3р=n.

Le të kalojmë te marrëdhënia që na intereson AB 1:B 1 C= AB 1:(B 1 N+ NC)= 2n:(3p+2p)=(2*3p):(5p)=6:5.

Përgjigje: AB 1:B 1 C = 6:5.

Komentoni: Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Menelaut. Duke e aplikuar atë në trekëndëshin AMC. Pastaj drejtëza BB 1 pret dy anët e trekëndëshit në pikat B 1 dhe P, dhe vazhdimi i të tretës në pikën B. Kjo do të thotë se barazia vlen: , prandaj
Problemi nr. 2 Në trekëndëshin ABC AN është mediana. Në anën AC, merret një pikë M në mënyrë që AM: MC = 1: 3. Segmentet AN dhe BM priten në pikën O, dhe rrezja CO pret AB në pikën K. Në çfarë raporti pika K e ndan segmentin AB .

Zgjidhja: Duhet të gjejmë raportin e AK ndaj HF.

1) Le të vizatojmë një drejtëz NN 1 paralel me drejtëzën SK dhe një drejtëz NN 2 paralel me drejtëzën VM.

2) Brinjët e këndit ABC priten nga drejtëza SC dhe NN 1 dhe, sipas teoremës së përgjithësuar të Talesit, përfundojmë BN 1:N 1 K=1:1 ose BN 1 = N 1 K= y.

3) Brinjët e këndit ВСМ priten me drejtëza BM dhe NN 2 dhe sipas teoremës së përgjithësuar të Talesit përfundojmë CN 2:N 2 M=1:1 ose CN 2 = N 2 M=3:2=1.5.

4) Brinjët e këndit NAC priten me drejtëza BM dhe NN 2 dhe, sipas teoremës së përgjithësuar të Talesit, përfundojmë AO: ON=1:1.5 ose AO=m ON=1.5m.

5) Brinjët e këndit BAN priten me drejtëza SK dhe NN 1 dhe, sipas teoremës së përgjithësuar të Talesit, përfundojmë AK: KN 1 = 1: 1,5 ose AK = n KN 1 =1,5 n.

6) KN 1 =y=1,5n.

Përgjigje: AK:KV=1:3.

Komentoni: Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Ceva-s, duke e zbatuar atë në trekëndëshin ABC. Sipas kushtit, pikat N, M, K shtrihen në anët e trekëndëshit ABC dhe segmentet AN, CK dhe BM kryqëzohen në një pikë, që do të thotë se barazia është e vërtetë: , le të zëvendësojmë raportet e njohura, kemi , AK:KV=1:3.

Problemi nr. 3 Në anën BC të trekëndëshit ABC, pika D merret e tillë që VD: DC = 2:5, dhe në anën AC pika E është e tillë që . Në çfarë raporti pjesëtohen segmentet BE dhe AD me pikën K të kryqëzimit të tyre?
Zgjidhja: Duhet të gjejmë 1) AK:KD=? 2) VK:KE=?

1) Vizatoni një drejtëz DD 1 paralel me drejtëzën BE.

2) Brinjët e këndit ALL priten me drejtëza BE dhe DD 1 dhe duke përdorur teoremën e përgjithësuar të Talesit përfundojmë CD 1:D 1 E=5:2 ose CD 1 = 5z, D 1 E=2z.

3) Sipas kushtit AE:EC = 1:2, d.m.th. AE=x, EC=2x, por EC= CD 1 + D 1 E, që do të thotë 2u=5z+2 z=7 z, z=

4) Brinjët e këndit DСA priten nga drejtëza BE dhe DD 1 dhe, sipas teoremës së përgjithësuar të Talesit, konkludojmë

5) Për të përcaktuar raportin VC:KE, vizatojmë vijën e drejtë EE 1 dhe, duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, marrim


Përgjigje: AK:KD=7:4; VK:KE=6:5.
Koment: Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Menelausit. Duke e aplikuar atë në trekëndëshin PESHA. Pastaj drejtëza DA pret dy brinjë të trekëndëshit në pikat D dhe K, dhe vazhdimin e të tretës në pikën A. Kjo do të thotë se barazia vlen: , pra VK:KE=6:5. Duke argumentuar në mënyrë të ngjashme për trekëndëshin ADC, marrim , AK:KD=7:4.
Problemi nr. 4 Në ∆ ABC, përgjysmuesja AD ndan anën BC në raportin 2: 1. Në çfarë raporti e ndan medianaja CE këtë përgjysmues?

Zgjidhja: Le të jetë O pika kryqëzimi i përgjysmuesit AD dhe mesatarja CE. Duhet të gjejmë raportin AO:OD.

1) Vizatoni një drejtëz DD 1 paralel me drejtëzën CE.

2) Brinjët e këndit ABC priten me drejtëza CE dhe DD 1 dhe, duke përdorur teoremën e përgjithësuar të Talesit, përfundojmë ВD 1:D 1 E=2:1 ose ВD 1 = 2p, D 1 E=p.

3) Sipas kushtit AE:EB=1:1, d.m.th. AE=y, EB=y, por EB= BD 1 + D 1 E, që do të thotë y=2fq+ fq=3 fq, fq =
4) Brinjët e këndit BAD priten nga drejtëza OE dhe DD 1 dhe, duke përdorur teoremën e përgjithësuar të Talesit, arrijmë në përfundimin .

Përgjigje: AO:OD=3:1.


Problemi numër 5 Në anët AB dhe AC ∆ABC janë dhënë përkatësisht pikat M dhe N, të tilla që plotësohen barazitë e mëposhtme AM:MB=CN: N.A.=1:2. Në çfarë raporti pika e kryqëzimit S të segmenteve BN dhe CM e ndan secilin prej këtyre segmenteve?.

Problemi nr. 6 Në medianën AM të trekëndëshit ABC merret pika K dhe AK: KM = 1:3. Gjeni raportin në të cilin një drejtëz që kalon në pikën K paralel me anën AC ndan anën BC.


Zgjidhje: Le të jetë M 1 pikë kryqëzimi i një drejtëze që kalon nëpër pikën K paralel me anën AC dhe anën BC. Duhet të gjejmë raportin VM 1:M 1C.

1) Brinjët e këndit AMC priten nga drejtëza KM 1 dhe AC dhe, duke përdorur teoremën e përgjithësuar të Talesit, përfundojmë MM 1:M 1 C=3:1 ose MM 1 = 3z, M 1 C=z.

2) Sipas kushtit VM:MS = 1:1, d.m.th. VM=y, MS=y, por MS= MM 1 + M 1 C, që do të thotë y=3z+ z=4 z,

3) .

Përgjigje: VM 1:M 1 C =7:1.


Problemi nr. 7 Jepet një trekëndësh ABC. Në vazhdim të anës AC, pika C merret si pikëN, dhe CN=AC; pika K është mesi i anës AB. Në çfarë raporti është drejtëza KNndan anën e diellit.

Koment: Ky problem mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Menelausit. Duke e aplikuar atë në trekëndëshin ABC. Pastaj drejtëza KN pret dy brinjë të trekëndëshit në pikat K dhe K 1, dhe vazhdimin e të tretës në pikën N. Kjo do të thotë se barazia vlen: , pra VK 1:K 1 C=2:1.

Problemi nr. 8

Faqet e internetit:

http://www.problems.ru

http://interneturok.ru/

Provimi i Unifikuar i Shtetit 2011 Problemi i Matematikës C4 R.K.: MCNMO, 2011, - 148 s

konkluzioni:

Zgjidhja e problemeve dhe teoremave për gjetjen e raportit të gjatësive të segmenteve bazohet në teoremën e përgjithësuar të Talesit. Ne kemi formuluar një metodë që lejon, pa zbatuar teoremën e Talesit, të përdorim drejtëza paralele, të transferojmë proporcione të njohura nga njëra anë e këndit në anën tjetër dhe, kështu, të gjejmë vendndodhjen e pikave që na duhen dhe të krahasojmë gjatësitë. Puna në abstrakt na ndihmoi të mësojmë të zgjidhim probleme gjeometrike të një niveli të lartë kompleksiteti. Ne kuptuam vërtetësinë e fjalëve të poetit të famshëm rus Igor Severyanin: "Gjithçka e parëndësishme nevojitet për të qenë domethënëse..." dhe kemi besim se në Provimin e Bashkuar të Shtetit do të jemi në gjendje të gjejmë një zgjidhje për problemet e propozuara duke përdorur metoda e drejtëzave paralele.


1 Teorema mbi segmentet proporcionale në një trekëndësh - teorema e përshkruar më sipër.

Rreth paraleleve dhe sekanteve.

Jashtë literaturës në gjuhën ruse, teorema e Talesit nganjëherë quhet një tjetër teoremë e planimetrisë, domethënë, pohimi se këndi i brendashkruar i nënshtruar nga diametri i një rrethi është një kënd i drejtë. Zbulimi i kësaj teoreme me të vërtetë i atribuohet Talesit, siç dëshmohet nga Proclus.

Formulimet

Nëse disa segmente të barabarta vendosen në vazhdimësi në njërën nga dy rreshtat dhe vijat paralele vizatohen nëpër skajet e tyre që kryqëzojnë vijën e dytë, atëherë ato do të presin segmente të barabarta në vijën e dytë.

Një formulim më i përgjithshëm, i quajtur gjithashtu teorema e segmentit proporcional

Linjat paralele presin segmentet proporcionale në sekante:

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Shënime

  • Teorema nuk ka kufizime në pozicionin relativ të sekanteve (është e vërtetë si për drejtëzat ndërprerëse ashtu edhe për ato paralele). Gjithashtu nuk ka rëndësi se ku ndodhen segmentet në sekante.
  • Teorema e Talesit është një rast i veçantë i teoremës së segmenteve proporcionale, pasi segmente të barabarta mund të konsiderohen segmente proporcionale me një koeficient proporcionaliteti të barabartë me 1.

Dëshmi në rastin e sekanteve

Le të shqyrtojmë opsionin me çifte segmentesh të palidhura: le të ndërpritet këndi me vija të drejta A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) dhe ku A B = C D (\displaystyle AB=CD).

  1. Le të tërheqim pikat A (\displaystyle A) Dhe C (\displaystyle C) vija të drejta paralele me anën tjetër të këndit. A B 2 B 1 A 1 (\style ekrani AB_(2)B_(1)A_(1)) Dhe C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Sipas vetive të paralelogramit: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) Dhe C D 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
  2. Trekëndëshat △ A B B 2 (\displaystyle \trekëndëshi i madh ABB_(2)) Dhe △ C D D 2 (\displaystyle \bigtrekëndësh CDD_(2)) janë të barabarta bazuar në shenjën e dytë të barazisë së trekëndëshave

Vërtetim në rastin e drejtëzave paralele

Le të bëjmë një direktivë B.C.. Kënde ABC Dhe BCD e barabartë me shtrirjen e brendshme tërthore me vija paralele AB Dhe CD dhe sekant B.C., dhe këndet ACB Dhe CBD e barabartë me shtrirjen e brendshme tërthore me vija paralele A.C. Dhe BD dhe sekant B.C.. Pastaj, sipas kriterit të dytë për barazinë e trekëndëshave, trekëndëshat ABC Dhe DCB janë të barabartë. Nga kjo rrjedh se A.C. = BD Dhe AB = CD. ■

Variacione dhe përgjithësime

Teorema e bashkëbisedimit

Nëse në teoremën e Talesit segmente të barabarta nisin nga kulmi (ky formulim përdoret shpesh në literaturën shkollore), atëherë edhe teorema e kundërt do të jetë e vërtetë. Për sekantet e kryqëzuara formulohet si më poshtë:

Kështu (shih figurën) nga fakti se C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots), vijon se A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldpiks ).

Nëse sekantet janë paralele, atëherë është e nevojshme të kërkohet që segmentet në të dy sekantet të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, përndryshe ky pohim bëhet i rremë (një kundërshembull është një trapezoid i prerë nga një vijë që kalon nëpër pikat e mesit të bazave).

Kjo teoremë përdoret në lundrim: një përplasje midis anijeve që lëvizin me një shpejtësi konstante është e pashmangshme nëse drejtimi nga një anije në tjetrën ruhet.

Lema e Sollertinsky

Deklarata e mëposhtme është e dyfishtë me lemën e Sollertinsky:

Le f (\displaystyle f)- korrespodencë projektive midis pikave në një vijë l (\displaystyle l) dhe drejt m (\displaystyle m). Pastaj grupi i linjave X f (X) (\displaystyle Xf(X)) do të jetë një grup tangjentesh për disa



Artikulli i mëparshëm: Artikulli vijues:

© 2015 .
Rreth sajtit | Kontaktet | Harta e faqes