Ekzistojnë format e mëposhtme numra komplekse: algjebrike(x+iy), trigonometrike(r(cos+isin )), tregues(re i ).

Çdo numër kompleks z=x+iy mund të paraqitet në aeroplan XOU në formën e një pike A(x,y).

Rrafshi në të cilin paraqiten numrat kompleks quhet rrafshi i ndryshores komplekse z (në rrafsh vendosim simbolin z).

Boshti OX është boshti real, d.m.th. përmban numra realë. OU është një bosht imagjinar me numra imagjinarë.

x+iy- forma algjebrike e shkrimit të një numri kompleks.

Le të nxjerrim formën trigonometrike të shkrimit të një numri kompleks.

Vlerat e marra i zëvendësojmë në formën fillestare: , d.m.th.

r(cos+isin) - forma trigonometrike e shkrimit të një numri kompleks.

Forma eksponenciale e shkrimit të një numri kompleks rrjedh nga formula e Euler-it:
, Pastaj

z= ri i - forma eksponenciale e shkrimit të një numri kompleks.

Veprimet me numra komplekse.

1. shtesë. z 1 +z 2 =(x1+iy1)+ (x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2);

2 . zbritje. z 1 -z 2 =(x1+iy1)- (x2+iy2)=(x1-x2)+i(y1-y2);

3. shumëzimi. z 1 z 2 =(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+i(x1y2+x2y1+iy1y2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1);

4 . ndarje. z 1 /z 2 =(x1+iy1)/(x2+iy2)=[(x1+iy1)*(x2-iy2)]/[ (x2+iy2)*(x2-iy2)]=

Dy numra komplekse që ndryshojnë vetëm në shenjën e njësisë imagjinare, d.m.th. z=x+iy (z=x-iy) quhen të konjuguara.

Puna.

z1=r(ko +isin ); z2=r(cos +isin ).

Ai prodhim z1*z2 i numrave kompleks gjendet: , d.m.th. moduli i produktit është i barabartë me produktin e modulit, dhe argumenti i produktit është i barabartë me shumën e argumenteve të faktorëve.

;
;

Privat.

Nëse jepen numra kompleksë formë trigonometrike.

Nëse numrat kompleksë jepen në formë eksponenciale.

Përhapja.

1. Numri kompleks i dhënë algjebrike formë.

z=x+iy, atëherë z n gjendet nga Formula binomiale e Njutonit:

- numri i kombinimeve të n elementeve të m (numri i mënyrave në të cilat mund të merren n elemente nga m).

; n!=1*2*…*n; 0!=1;
.

Aplikoni për numra kompleks.

Në shprehjen që rezulton, ju duhet të zëvendësoni fuqitë i me vlerat e tyre:

i 0 =1 Nga këtu, në rast i përgjithshëm marrim: i 4k =1

i 1 =i i 4k+1 =i

i 2 =-1 i 4k+2 =-1

i 3 =-i i 4k+3 =-i

Shembull.

i 31 = i 28 i 3 =-i

i 1063 = i 1062 i=i

2. trigonometrike formë.

z=r(cos +isin ), Kjo

- formula e Moivre.

Këtu n mund të jetë ose "+" ose "-" (numër i plotë).

3. Nëse jepet një numër kompleks tregues forma:

Nxjerrja e rrënjëve.

Merrni parasysh ekuacionin:
.

Zgjidhja e tij do të jetë rrënja e n-të e numrit kompleks z:
.

Rrënja e n-të e një numri kompleks z ka saktësisht n zgjidhje (vlera). Rrënja e n-të e një numri real ka vetëm një zgjidhje. Në ato komplekse ka n zgjidhje.

Nëse jepet një numër kompleks trigonometrike forma:

z=r(cos +isin ), atëherë rrënja e n-të e z gjendet me formulën:

, ku k=0.1…n-1.

Rreshtat. Seria e numrave.

Lëreni variablin a të marrë në mënyrë sekuenciale vlerat a 1, a 2, a 3,…, a n. Një grup i tillë i rinumëruar numrash quhet sekuencë. Është e pafund.

Një seri numrash është shprehja a 1 + a 2 + a 3 +…+a n +…= . Numrat a 1, a 2, a 3,... dhe n janë anëtarë të serisë.

Për shembull.

dhe 1 është termi i parë i serisë.

dhe n është termi i n-të ose i zakonshëm i serisë.

Një seri konsiderohet e dhënë nëse dihet n-të (termi i zakonshëm i serisë).

Seria e numrave ka numër i pafund anëtarët.

Numëruesit - progresion aritmetik (1,3,5,7…).

Termi i n-të gjendet me formulën a n =a 1 +d(n-1); d=a n -a n-1 .

Emëruesi - progresion gjeometrik. b n =b 1 q n-1;
.

Merrni parasysh shumën e n termave të parë të serisë dhe shënoni atë Sn.

Sn=a1+a2+…+a n.

Sn – n-të shuma e pjesshme rresht.

Merrni parasysh kufirin:

S është shuma e serisë.

Rreshti konvergjente , nëse ky kufi është i fundëm (ekziston një kufi i fundëm S).

Rreshti divergjent , nëse ky kufi është i pafund.

Në të ardhmen, detyra jonë është të vendosim cilin rresht.

Një nga seritë më të thjeshta por më të zakonshme është progresioni gjeometrik.

, C=konst.

Progresioni gjeometrik ështëkonvergjente afër, Nëse
, dhe divergjente nëse
.

Gjendet gjithashtu seri harmonike(rresht
). Ky serial divergjent .

Numrat kompleks dhe
koordinoj
aeroplan

Modeli gjeometrik i bashkësisë R të numrave realë është vija numerike. Çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme

në
vija numerike dhe çdo pikë në vijë
vetëm një ndeshje
numër real!

Duke shtuar një dimension tjetër në rreshtin numerik që korrespondon me grupin e të gjithë numrave realë - rreshtin që përmban grupin e numrave të pastër

Duke i shtuar vijës numerike që i përgjigjet grupit
e të gjithë numrave realë një dimension më shumë -
një vijë e drejtë që përmban një grup numrash thjesht imagjinarë -
marrim një plan koordinativ në të cilin secili
numri kompleks a+bi mund të shoqërohet
pika (a; b) e planit koordinativ.
i=0+1i korrespondon me pikën (0;1)
2+3i korrespondon me pikën (2;3)
-i-4 korrespondon me pikën (-4;-1)
5=5+1i korrespondon me melankolinë (5;0)

Kuptimi gjeometrik i veprimit të konjugimit

! Operacioni i çiftëzimit është boshtor
simetria rreth boshtit të abshisave.
!! Të lidhura me njëri-tjetrin
Numrat kompleksë janë të barabartë nga
origjinën.
!!! Vektorët që përshkruajnë
numrat e konjuguar, të prirur nga boshti
abshissa në të njëjtin kënd, por
të vendosura sipas anët e ndryshme nga
këtë aks.

Imazhi i numrave realë

Foto e numrave kompleks

algjebrike
mënyrë
Imazhet:
Numri kompleks
përshkruhet a+bi
pikë plani
me koordinata
(a;b)

Shembuj të paraqitjes së numrave kompleksë në planin koordinativ

(Ne jemi të interesuar
numra komplekse
z=x+yi , për të cilën
x=-4. Ky është ekuacioni
drejt,
boshti paralel
ordinate)
në
X= - 4
E vlefshme
pjesa është -4
0
X

Vizatoni në planin koordinativ bashkësinë e të gjithë numrave kompleksë për të cilët:

Pjesë imagjinare
është i barabartë
të paqarta
natyrore
numri
(Ne jemi të interesuar
numra komplekse
z=x+yi, për të cilën
y=2,4,6,8.
Imazhi gjeometrik
përbëhet nga katër
drejt, paralel
boshti x)
në
8
6
4
2
0
X

Numrat kompleks

Imagjinare Dhe numra komplekse. Abshisa dhe ordinata

numër kompleks. Lidh numrat kompleks.

Veprimet me numra kompleks. Gjeometrike

paraqitjen e numrave kompleks. Aeroplan kompleks.

Moduli dhe argumenti i një numri kompleks. Trigonometrike

forma komplekse e numrave. Operacione me komplekse

numrat në formë trigonometrike. formula e Moivre.

Informacioni fillestar O imagjinare Dhe numra komplekse jepen në rubrikën “Numrat imagjinarë dhe kompleksë”. Nevoja për këta numra të një lloji të ri lindi kur zgjidheshin ekuacionet kuadratike për rastinD< 0 (здесь D– diskriminues ekuacioni kuadratik). Për një kohë të gjatë këta numra nuk u gjetën aplikimi fizik, prandaj u quajtën numra "imagjinarë". Sidoqoftë, tani ato përdoren shumë gjerësisht në fusha të ndryshme të fizikës

dhe teknologjia: inxhinieria elektrike, hidro- dhe aerodinamika, teoria e elasticitetit, etj.

Numrat kompleks shkruhen në formën:a+bi. Këtu a Dhe b – numra realë , A i – njësi imagjinare, d.m.th. e. i 2 = –1. Numri a thirrur abshissa, a b – ordinatornumër kompleksa + bi .Dy numra kompleksa+bi Dhe a–bi quhen konjuguar numra komplekse.

Marrëveshjet kryesore:

1. Numri realAmund të shkruhet edhe në formënumri kompleks:a+ 0 i ose a – 0 i. Për shembull, regjistron 5 + 0i dhe 5-0 ido të thotë të njëjtin numër 5 .

2. Numri kompleks 0 + bithirrur thjesht imagjinare numri. Regjistrobido të thotë njësoj si 0 + bi.

3. Dy numra kompleksa+bi Dhec + dikonsiderohen të barabartë nësea = c Dhe b = d. Përndryshe numrat kompleks nuk janë të barabartë.

Shtim. Shuma e numrave kompleksa+bi Dhe c + diquhet numër kompleks (a+c ) + (b+d ) i.Kështu, kur shtohet numrat kompleksë, abshisat dhe ordinatat e tyre shtohen veçmas.

Ky përkufizim korrespondon me rregullat për veprimet me polinome të zakonshme.

Zbritja. Dallimi i dy numrave kompleksa+bi(e pakësuar) dhe c + di(nëntrup) quhet një numër kompleks (a–c ) + (b–d ) i.

Kështu, Kur zbriten dy numra kompleksë, abshisat dhe ordinatat e tyre zbriten veçmas.

Shumëzimi. Prodhimi i numrave kompleksa+bi Dhe c + di quhet numër kompleks:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Ky përkufizim rrjedh nga dy kërkesa:

1) numrat a+bi Dhe c + diduhet të shumëzohet si algjebrike binomet,

2) numri ika pronën kryesore:i 2 = – 1.

SHEMBULL ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Prandaj, puna

dy numra komplekse të konjuguar janë të barabartë me realin

një numër pozitiv.

Divizioni. Ndani një numër kompleksa+bi (i ndashëm) me një tjetërc + di(ndarëse) - do të thotë të gjesh numrin e tretëe + f i(chat), i cili kur shumëzohet me një pjesëtuesc + di, rezulton në dividenta + bi .

Nëse pjesëtuesi nuk është e barabartë me zero, ndarja është gjithmonë e mundur.

SHEMBULL Gjeni (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Zgjidhje Le ta rishkruajmë këtë raport si thyesë:

Duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin e tij me 2 + 3i

DHE Pasi kemi kryer të gjitha transformimet, marrim:

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks. Numrat realë përfaqësohen me pika në vijën numerike:

Këtu është pika Anënkupton numrin –3, pikëB- numri 2 dhe O- zero. Në të kundërt, numrat kompleks përfaqësohen me pika në planin koordinativ. Për këtë qëllim zgjedhim koordinatat drejtkëndore (karteziane) me të njëjtat shkallë në të dy boshtet. Pastaj numri kompleksa+bi do të përfaqësohet me një pikë P me abshisë a dhe ordinata b (shih foton). Ky sistem koordinativ quhet plan kompleks .

Moduli numri kompleks është gjatësia e vektoritOP, që përfaqëson një numër kompleks në koordinatë ( gjithëpërfshirëse) aeroplan. Moduli i një numri kompleksa+bi shënohet | a+bi| ose letër r

Shko) numrat.

2. Forma algjebrike e paraqitjes së numrave kompleks

Numri kompleks ose komplekse, është një numër i përbërë nga dy numra (pjesë) - reale dhe imagjinare.

Reale quhet çdo pozitiv ose një numër negativ, për shembull, + 5, - 28, etj. Le të shënojmë një numër real me shkronjën "L".

Imagjinare thirri numrin e barabartë me produktin numër real nga Rrenja katrore nga një njësi negative, për shembull, 8, - 20, etj.

Një njësi negative quhet imagjinare dhe shënohet me shkronjën "yot":

Le ta shënojmë numrin real në numrin imagjinar me shkronjën "M".

Atëherë numri imagjinar mund të shkruhet kështu: j M. Në këtë rast, numri kompleks A mund të shkruhet kështu:

A = L + j M (2).

Kjo formë e shkrimit të një numri kompleks (kompleks), i cili është shuma algjebrike pjesë reale dhe imagjinare quhet algjebrike.

Shembulli 1. Paraqisni në formë algjebrike një kompleks pjesa reale e të cilit është 6 dhe pjesa imagjinare e të cilit është 15.

Zgjidhje. A = 6 + j 15.

Përveç formës algjebrike, një numër kompleks mund të përfaqësohet nga tre të tjerë:

1. grafik;

2. trigonometrike;

3. tregues.

Një shumëllojshmëri e tillë e formave është në mënyrë dramatike thjeshton llogaritjet sasitë sinusoidale dhe të tyre imazh grafik.

Le të shohim grafikun, trigonometrik dhe eksponentin me radhë.

forma të reja të paraqitjes së numrave kompleksë.

Forma grafike e paraqitjes së numrave kompleks

Për paraqitje grafike numrat kompleks përdoren drejtpërdrejt

sistemi i koordinatave të karbonit. Në një sistem koordinativ të rregullt (shkollor), vlerat pozitive ose negative vizatohen përgjatë boshteve "x" (abshisë) dhe "y" (ordinate). reale numrat.

Në sistemin koordinativ të adoptuar në metodën simbolike, përgjatë boshtit “x”.

numrat realë vizatohen në formën e segmenteve, dhe numrat imagjinarë vizatohen përgjatë boshtit "y"

Oriz. 1. Sistemi i koordinatave për paraqitjen grafike të numrave kompleks

Prandaj, boshti x quhet boshti i sasive reale ose shkurtimisht, reale boshti.

Boshti i ordinatave quhet boshti i madhësive imagjinare ose imagjinare boshti.

Vetë rrafshi (d.m.th., rrafshi i vizatimit), në të cilin përshkruhen numra ose sasi komplekse, quhet gjithëpërfshirëse banesë.

Në këtë plan, numri kompleks A = L + j M përfaqësohet nga vektori A

(Fig. 2), projeksioni i të cilit në boshtin real është i barabartë me pjesën reale të tij Re A = A" = L, dhe projeksioni në boshtin imagjinar është i barabartë me pjesën imagjinare Im A = A" = M.

(Re - nga anglishtja real - real, real, real, Im - nga anglishtja imagjinare - joreale, imagjinare).

Oriz. 2. Paraqitja grafike e një numri kompleks

Në këtë rast, numri A mund të shkruhet si më poshtë

A = A" + A" = Re A + j Im A (3).

Duke përdorur një paraqitje grafike të numrit A në planin kompleks, ne prezantojmë përkufizime të reja dhe marrim disa marrëdhënie të rëndësishme:

1. quhet gjatësia e vektorit A modul vektor dhe shënohet me |A|.

Sipas teoremës së Pitagorës

|A| = (4) .

2. këndi α i formuar nga vektori A dhe gjysma pozitive reale

aksi quhet argument vektori A dhe përcaktohet përmes tangjentes së tij:

tg α = A" / A" = Im A / Re A (5).

Kështu, për një paraqitje grafike të një numri kompleks

A = A" + A" në formën e një vektori që ju nevojitet:

1. gjeni modulin e vektorit |A| sipas formulës (4);

2. gjeni argumentin e vektorit tan α duke përdorur formulën (5);

3. gjeni këndin α nga relacioni α = hark tan α;

4. në sistemin koordinativ j (x) vizatoni një ndihmës

vijë e drejtë dhe vizatoni një segment mbi të në një shkallë të caktuar, e barabartë me modulin vektori |A|.

Shembulli 2. Paraqitni numrin kompleks A = 3 + j 4 në formë grafike.

Imazhi gjeometrik numra komplekse. Forma trigonometrike e një numri kompleks.

2015-06-04

Bosht real dhe imagjinar
Argumenti i numrit kompleks
Argumenti kryesor numër kompleks
Forma trigonometrike e një numri kompleks

Përcaktimi i një numri kompleks $z = a+bi$ është i barabartë me specifikimin e dy numrave realë $a,b$ - pjesët reale dhe imagjinare të këtij numri kompleks. Por një çift i renditur i numrave $(a,b)$ është përshkruar në karteziane sistem drejtkëndor koordinon nga një pikë me koordinatat $(a, b)$. Kështu, kjo pikë mund të shërbejë edhe si imazh për numrin kompleks $z$: korrespondon një-për-një midis numrave kompleksë dhe pikave të planit koordinativ.

Kur përdoret plani koordinativ për të përfaqësuar numrat kompleks, boshti $Ox$ zakonisht quhet bosht real (pasi pjesë reale numri merret si abshisa e pikës), dhe boshti $Oy$ merret si bosht imagjinar (pasi pjesa imagjinare e numrit merret si ordinata e pikës).

Numri kompleks $z$ i përfaqësuar nga pika $M(a,b)$ quhet shtojcë e kësaj pike. Në këtë rast, numrat realë përfaqësohen nga pikat e shtrira bosht real dhe gjithçka është e pastër numra imagjinarë$bi$ (në $a = 0$) - pikat shtrihen në boshtin imagjinar. Numri zero përfaqësohet nga pika O.

Fig.1
Në Fig. 1, imazhet e numrave $z_(1) = 2 + 3i, z_(2)=1 =1,z_(3) = 4i, z_(4) = -4 + i, z_(5) = -2, z_( 6) = - 3 – 2i, z_(7) = -5i, z_(8) = 2 – 3i$.

Dy numra komplekse të konjuguar përfaqësohen nga pika simetrike rreth boshtit $Ox$ (pikat $z_(1)$ dhe $z_(8)$ në Fig. 1).

Oriz. 2
Shpesh i lidhur me një numër kompleks $z$ nuk është vetëm pika $M$ që përfaqëson këtë numër, por edhe vektori $\vec(OM)$ që çon nga $O$ në $M$; Paraqitja e numrit $z$ si vektor është i përshtatshëm nga pikëpamja e interpretimit gjeometrik të veprimit të mbledhjes dhe zbritjes së numrave kompleks. Në Fig. 2, dhe tregohet se vektori që përfaqëson shumën e numrave kompleks $z_(1), z_(2)$ është marrë si diagonale e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorët $\vec(OM_(1)), \vec (OM_(2)) $ që përfaqëson termat. Ky rregull për mbledhjen e vektorëve njihet si rregulli i paralelogramit (për shembull, për shtimin e forcave ose shpejtësive në një kurs fizikë). Zbritja mund të reduktohet në mbledhje me vektorin e kundërt (Fig. 2, b).

Oriz. 3
Siç dihet, pozicioni i një pike në një plan mund të specifikohet edhe nga koordinatat e saj polare $r, \phi$. Kështu, numri kompleks - shtesa e një pike - do të përcaktohet gjithashtu duke specifikuar $r$ dhe $\phi$. Nga Fig. 3 është e qartë se $r = OM = \sqrt(x^(2) + y^(2))$ është në të njëjtën kohë moduli i numrit kompleks $z$: rrezja polare e pikës që përfaqëson numrin $z$ është e barabartë me modulin e këtij numri.

Këndi polar i një pike $M$ quhet argument i numrit $z$ të përfaqësuar nga kjo pikë.

Argumenti i një numri kompleks (si këndi polar i një pike) nuk përcaktohet në mënyrë të paqartë; nëse $\phi_(0)$ është një nga vlerat e tij, atëherë të gjitha vlerat e tij shprehen me formulën
$\phi = \phi_(0) + 2k \pi (k = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$

Të gjitha vlerat e argumentit shënohen kolektivisht me simbolin $Arg \: z$.

Pra, çdo numër kompleks mund të shoqërohet me një çift numrash realë: modul dhe argument numri i dhënë, dhe argumenti përkufizohet në mënyrë të paqartë. Përkundrazi, duke pasur parasysh modulin $|z| = r$ dhe argumenti $\phi$ korrespondon njëjës$z$ që ka modulin dhe argumentin e dhënë. Karakteristikat e veçanta ka numrin zero: moduli i tij është zero dhe asnjë vlerë specifike nuk i është caktuar argumentit.

Për të arritur paqartësi në përcaktimin e argumentit të një numri kompleks, mund të bini dakord të quani një nga vlerat e argumentit kryesore. Ajo shënohet me simbolin $arg \: z$. Në mënyrë tipike, vlera kryesore e argumentit zgjidhet të jetë një vlerë që plotëson pabarazitë
$0 \leq arg \: z (në raste të tjera pabarazitë $- \pi

Le t'i kushtojmë vëmendje edhe vlerave të argumentit të numrave realë dhe thjesht imagjinarë:
$arg \: a = \begin(rastet) 0, & \text(nëse) a>0, \\
\pi, & \text(nëse) a $arg \: bi = \begin(rastet) \frac(\pi)(2), & \text(nëse) b > 0, \\
\frac(3 \pi)(2), & \tekst(nëse) b

Pjesë reale dhe imagjinare të një numri kompleks (si Koordinatat karteziane pikë) shprehen nëpërmjet modulit dhe argumentit të tij ( koordinatat polare pikë) sipas formulave:
$a = r \cos \phi, b = r \sin \phi$, (1)
dhe një numër kompleks mund të shkruhet në formën e mëposhtme trigonometrike:
$z = r(\cos \phi \phi + i \sin \phi)$ (2)
(shkrimin e një numri në formën $z = a + bi$ do ta quajmë rekord në formë algjebrike).

Kushti për barazinë e dy numrave të dhënë në formë trigonometrike është si vijon: dy numra $z_(1)$ dhe $z_(2)$ janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse modulët e tyre janë të barabartë, dhe argumentet janë të barabartë ose ndryshojnë nga një numër i plotë periodash $2 \pi $.

Kalimi nga shkrimi i një numri në formë algjebrike në shkrimin e tij në formë trigonometrike dhe anasjelltas bëhet sipas formulave (4):
$r = \sqrt(a^(2) + b^(2)), \cos \phi = \frac(a)(r)= \frac(a)(\sqrt(a^(2) + b^ (2)), \sin \phi = \frac(b)(r) = \frac(b)(\sqrt(a^(2) + b^(2))), tg \phi = \frac(b )(a)$ (3)
dhe formulat (1). Kur përcaktoni një argument (vlera e tij kryesore), mund të përdorni vlerën e njërit prej funksionet trigonometrike$\cos \phi$ ose $\sin \phi$ dhe merrni parasysh shenjën e së dytës.

Shembull. Shkruani numrat e mëposhtëm në formë trigonometrike:
a) 6$ + 6i$; b) $3i$; c) -10 dollarë.
Zgjidhje, a) Kemi
$r = \sqrt(6^(2) + (-6)^(2)) = 6 \sqrt(2)$,
$\cos \phi = \frac(6)(6 \sqrt(2)) = \frac(1)(\sqrt(2)) = \frac(\sqrt(2))(2)$,
$\sin \phi = - \frac(6)(6 \sqrt(2)) = - \frac(1)(\sqrt(2)) = - \frac(\sqrt(2))(2)$,
prej nga $\phi = \frac(7 \pi)(4)$, dhe prandaj,
$6-6i = 6 \sqrt(2) \left (\cos \frac(7 \pi)(4) + i \sin \frac(7 \pi)(4) \djathtas)$;
b) $r = 3, \cos \phi = 0, \sin \phi = 1, \phi = \pi /2$;
$3i = 3 \majtas (\cos \frac(\pi)(2) + i \sin \frac(\pi)(2) \djathtas)$
c) $r = 10, \cos \phi = -1, \sin \phi = 0, \phi = \pi$;
$-10 = 10 (\cos \pi + i \sin \pi)$

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve