Në disa probleme të fizikës, nuk është e mundur të vendoset një lidhje e drejtpërdrejtë midis sasive që përshkruajnë procesin. Por është e mundur të merret një barazi që përmban derivatet e funksioneve në studim. Kështu lindin ekuacionet diferenciale dhe nevoja për t'i zgjidhur ato për të gjetur një funksion të panjohur.

Ky artikull është menduar për ata që përballen me problemin e zgjidhjes së një ekuacioni diferencial në të cilin funksioni i panjohur është funksion i një ndryshoreje. Teoria është e strukturuar në atë mënyrë që me njohuri zero të ekuacioneve diferenciale, të mund të përballeni me detyrën tuaj.

Çdo lloj ekuacionet diferenciale metoda e zgjidhjes është përafruar me shpjegime dhe zgjidhje të detajuara shembuj tipikë dhe detyrat. E tëra çfarë ju duhet të bëni është të përcaktoni llojin e ekuacionit diferencial të problemit tuaj, të gjeni një shembull të ngjashëm të analizuar dhe të kryeni veprime të ngjashme.

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet diferenciale, do t'ju duhet gjithashtu aftësia për të gjetur grupe antiderivativësh ( integrale të pacaktuara) funksione të ndryshme. Nëse është e nevojshme, ju rekomandojmë t'i referoheni seksionit.

Së pari, ne do të shqyrtojmë llojet e ekuacioneve diferenciale të zakonshme të rendit të parë që mund të zgjidhen në lidhje me derivatin, më pas do të kalojmë në ODE të rendit të dytë, pastaj do të ndalemi në ekuacionet e rendit më të lartë dhe do të përfundojmë me sistemet e ekuacionet diferenciale.

Kujtojmë se nëse y është funksion i argumentit x.

Ekuacionet diferenciale të rendit të parë.

Ekuacionet diferenciale më të thjeshta të rendit të parë të formës.

Le të shkruajmë disa shembuj të telekomandës së tillë .

Ekuacionet diferenciale mund të zgjidhet në lidhje me derivatin duke pjesëtuar të dyja anët e barazisë me f(x) . Në këtë rast, arrijmë në një ekuacion që do të jetë ekuivalent me atë origjinal për f(x) ≠ 0. Shembuj të ODE-ve të tilla janë .

Nëse ka vlera të argumentit x në të cilat funksionet f(x) dhe g(x) zhduken njëkohësisht, atëherë shfaqen zgjidhje shtesë. Zgjidhje shtesë ekuacionet dhënë x janë çdo funksion të përcaktuar për këto vlera argumenti. Shembuj të ekuacioneve të tilla diferenciale përfshijnë:

Ekuacionet diferenciale të rendit të dytë.

Ekuacionet diferenciale homogjene lineare të rendit të dytë me koeficientët konstant.

LDE me koeficientë konstante është një lloj shumë i zakonshëm i ekuacionit diferencial. Zgjidhja e tyre nuk është veçanërisht e vështirë. Së pari gjenden rrënjët ekuacioni karakteristik . Për p dhe q të ndryshme, tre raste janë të mundshme: rrënjët e ekuacionit karakteristik mund të jenë reale dhe të ndryshme, reale dhe përkuese. ose konjugate komplekse. Në varësi të vlerave të rrënjëve të ekuacionit karakteristik, shkruhet zgjidhje e përgjithshme ekuacioni diferencial si , ose , ose përkatësisht.

Për shembull, merrni parasysh një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante. Rrënjët e ekuacionit të tij karakteristik janë k 1 = -3 dhe k 2 = 0. Rrënjët janë reale dhe të ndryshme, prandaj zgjidhja e përgjithshme e LOD me koeficientë konstante ka formën


Ekuacione diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e një LDDE të rendit të dytë me koeficientë konstante y kërkohet në formën e shumës së zgjidhjes së përgjithshme të LDDE përkatëse. dhe një zgjidhje të veçantë për ekuacionin origjinal johomogjen, që është, . Paragrafi i mëparshëm i kushtohet gjetjes së një zgjidhjeje të përgjithshme për një ekuacion diferencial homogjen me koeficientë konstante. Dhe një zgjidhje e veçantë përcaktohet ose me metodën e koeficientëve të pacaktuar me një formë të caktuar funksioni f(x) në anën e djathtë të ekuacionit origjinal, ose me metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Si shembuj të LDDE-ve të rendit të dytë me koeficientë konstante, ne japim


Kuptoni teorinë dhe njihuni me të zgjidhje të detajuara Ne ju ofrojmë shembuj në faqen e ekuacioneve diferenciale johomogjene lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante.

Ekuacionet lineare homogjene diferenciale (LODE) dhe ekuacionet diferenciale johomogjene lineare (LNDEs) të rendit të dytë.

Një rast i veçantë i ekuacioneve diferenciale të këtij lloji janë LODE dhe LDDE me koeficientë konstante.

Zgjidhja e përgjithshme e LODE në një segment të caktuar përfaqësohet nga një kombinim linear i dy zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura y 1 dhe y 2 të këtij ekuacioni, d.m.th. .

Vështirësia kryesore qëndron pikërisht në gjetjen e zgjidhjeve të pjesshme lineare të pavarura për një ekuacion diferencial të këtij lloji. Në mënyrë tipike, zgjidhje të veçanta zgjidhen nga sistemet e mëposhtme lineare funksione të pavarura:


Megjithatë, zgjidhjet private nuk paraqiten gjithmonë në këtë formë.

Një shembull i një LOD është .

Zgjidhja e përgjithshme e LDDE kërkohet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e LDDE-së përkatëse dhe është zgjidhja e veçantë e ekuacionit diferencial origjinal. Ne sapo folëm për gjetjen e tij, por mund të përcaktohet duke përdorur metodën e ndryshimit të konstantave arbitrare.

Mund të jepet një shembull i LNDU .

Ekuacionet diferenciale të rendit më të lartë.

Ekuacionet diferenciale që lejojnë një reduktim sipas rendit.

Rendi i ekuacionit diferencial , i cili nuk përmban funksionin e dëshiruar dhe derivatet e tij deri në rendin k-1, mund të reduktohet në n-k duke zëvendësuar .

Në këtë rast, ekuacioni diferencial origjinal do të reduktohet në . Pas gjetjes së zgjidhjes së tij p(x), mbetet të kthehemi në zëvendësim dhe të përcaktojmë funksionin e panjohur y.

Për shembull, ekuacioni diferencial pas zëvendësimit, ai do të bëhet një ekuacion me ndryshore të ndashme dhe rendi i tij do të reduktohet nga e treta në të parën.

Ndalo! Le të përpiqemi të kuptojmë këtë formulë të rëndë.

Ndryshorja e parë në fuqi me një koeficient duhet të vijë e para. Në rastin tonë është

Në rastin tonë është. Siç zbuluam, kjo do të thotë se shkalla në variablin e parë konvergon. Dhe ndryshorja e dytë në shkallën e parë është në vend. Koeficienti.

ne e kemi atë.

Ndryshorja e parë është një fuqi, dhe ndryshorja e dytë është në katror, ​​me një koeficient. Ky është termi i fundit në ekuacion.

Siç mund ta shihni, ekuacioni ynë i përshtatet përkufizimit në formën e një formule.

Le të shohim pjesën e dytë (verbale) të përkufizimit.

Kemi dy të panjohura dhe. Ajo konvergon këtu.

Le të shqyrtojmë të gjitha kushtet. Në to, shuma e shkallëve të të panjohurave duhet të jetë e njëjtë.

Shuma e shkallëve është e barabartë.

Shuma e fuqive është e barabartë me (at dhe at).

Shuma e shkallëve është e barabartë.

Siç mund ta shihni, gjithçka përshtatet!!!

Tani le të praktikojmë përcaktimin ekuacionet homogjene.

Përcaktoni se cilat nga ekuacionet janë homogjene:

Ekuacione homogjene - ekuacione me numra:

Le të shqyrtojmë ekuacionin veçmas.

Nëse e ndajmë çdo term duke faktorizuar secilin term, marrim

Dhe ky ekuacion bie plotësisht nën përkufizimin e ekuacioneve homogjene.

Si të zgjidhen ekuacionet homogjene?

Shembulli 2.

Le ta ndajmë ekuacionin me.

Sipas kushtit tonë, y nuk mund të jetë i barabartë. Prandaj, ne mund të ndajmë me siguri

Duke bërë një zëvendësim, ne marrim një të thjeshtë ekuacioni kuadratik:

Meqenëse ky është një ekuacion kuadratik i reduktuar, ne përdorim teoremën e Vieta:

Pasi kemi bërë zëvendësimin e kundërt, marrim përgjigjen

Përgjigje:

Shembulli 3.

Le ta ndajmë ekuacionin me (me kusht).

Përgjigje:

Shembulli 4.

Gjeni nëse.

Këtu ju nuk duhet të ndani, por të shumëzoni. Le të shumëzojmë të gjithë ekuacionin me:

Le të bëjmë një zëvendësim dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Pasi kemi bërë zëvendësimin e kundërt, marrim përgjigjen:

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike homogjene.

Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike homogjene nuk ndryshon nga metodat e zgjidhjes të përshkruara më sipër. Vetëm këtu, ndër të tjera, duhet të dini pak trigonometri. Dhe të jetë në gjendje të vendosë ekuacionet trigonometrike(për këtë ju mund të lexoni seksionin).

Le të shohim ekuacione të tilla duke përdorur shembuj.

Shembulli 5.

Zgjidhe ekuacionin.

Ne shohim një ekuacion tipik homogjen: dhe janë të panjohura, dhe shuma e fuqive të tyre në çdo term është e barabartë.

Ekuacione të tilla homogjene nuk janë të vështira për t'u zgjidhur, por përpara se t'i ndani ekuacionet në, merrni parasysh rastin kur

Në këtë rast, ekuacioni do të marrë formën: , pra. Por sinusi dhe kosinusi nuk mund të jenë të barabartë në të njëjtën kohë, sepse sipas identitetit bazë trigonometrik. Prandaj, ne mund ta ndajmë me siguri në:

Meqenëse ekuacioni është dhënë, atëherë sipas teoremës së Vieta:

Përgjigje:

Shembulli 6.

Zgjidhe ekuacionin.

Si në shembull, ju duhet ta ndani ekuacionin me. Le të shqyrtojmë rastin kur:

Por sinusi dhe kosinusi nuk mund të jenë të barabartë në të njëjtën kohë, sepse sipas identitetit bazë trigonometrik. Kjo është arsyeja pse.

Le të bëjmë një zëvendësim dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt dhe të gjejmë dhe:

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale homogjene.

Ekuacionet homogjene zgjidhen në të njëjtën mënyrë si ato të diskutuara më sipër. Nëse keni harruar se si të vendosni ekuacionet eksponenciale- shikoni seksionin përkatës ()!

Le të shohim disa shembuj.

Shembulli 7.

Zgjidhe ekuacionin

Le ta imagjinojmë kështu:

Ne shohim një ekuacion tipik homogjen, me dy ndryshore dhe një shumë fuqish. Le ta ndajmë ekuacionin në:

Siç mund ta shihni, duke bërë zëvendësimin, marrim ekuacionin kuadratik më poshtë (nuk ka nevojë të kesh frikë nga pjesëtimi me zero - është gjithmonë rreptësisht më i madh se zero):

Sipas teoremës së Vieta:

Përgjigje: .

Shembulli 8.

Zgjidhe ekuacionin

Le ta imagjinojmë kështu:

Le ta ndajmë ekuacionin në:

Le të bëjmë një zëvendësim dhe të zgjidhim ekuacionin kuadratik:

Rrënja nuk e plotëson kushtin. Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt dhe të gjejmë:

Përgjigje:

EKUACIONET HOMOGJENE. NIVELI I MESËM

Së pari, duke përdorur shembullin e një problemi, më lejoni t'ju kujtoj cilat janë ekuacionet homogjene dhe cila është zgjidhja e ekuacioneve homogjene.

Zgjidheni problemin:

Gjeni nëse.

Këtu mund të vini re një gjë interesante: nëse e ndajmë çdo term me, marrim:

Kjo do të thotë, tani nuk ka të veçanta dhe, - tani ndryshorja në ekuacion është vlera e dëshiruar. Dhe ky është një ekuacion i zakonshëm kuadratik që mund të zgjidhet lehtësisht duke përdorur teoremën e Vieta: produkti i rrënjëve është i barabartë, dhe shuma është numrat dhe.

Përgjigje:

Ekuacionet e formës

quhet homogjen. Kjo do të thotë, ky është një ekuacion me dy të panjohura, secili term i të cilit ka të njëjtën shumë të fuqive të këtyre të panjohurave. Për shembull, në shembullin e mësipërm kjo shumë është e barabartë me. Zgjidhja e ekuacioneve homogjene kryhet duke pjestuar me një nga të panjohurat në këtë shkallë:

Dhe zëvendësimi i mëpasshëm i variablave: . Kështu marrim një ekuacion të fuqisë me një të panjohur:

Më shpesh do të hasim ekuacione të shkallës së dytë (d.m.th., kuadratike) dhe ne dimë t'i zgjidhim ato:

Vini re se ne mund të pjesëtojmë (dhe të shumëzojmë) të gjithë ekuacionin me një ndryshore vetëm nëse jemi të bindur se kjo ndryshore nuk mund të jetë e barabartë me zero! Për shembull, nëse na kërkohet të gjejmë, ne e kuptojmë menjëherë se pasi është e pamundur të ndahet. Në rastet kur kjo nuk është aq e dukshme, është e nevojshme të kontrollohet veçmas rasti kur kjo ndryshore është e barabartë me zero. Për shembull:

Zgjidhe ekuacionin.

Zgjidhja:

Ne shohim këtu një ekuacion tipik homogjen: dhe janë të panjohura, dhe shuma e fuqive të tyre në çdo term është e barabartë.

Por, përpara se të pjesëtojmë me dhe të marrim një relativ të ekuacionit kuadratik, duhet të shqyrtojmë rastin kur. Në këtë rast, ekuacioni do të marrë formën: , që do të thotë . Por sinusi dhe kosinusi nuk mund të jenë njëkohësisht të barabartë me zero, sepse sipas identitetit bazë trigonometrik: . Prandaj, ne mund ta ndajmë me siguri në:

Shpresoj se kjo zgjidhje është plotësisht e qartë? Nëse jo, lexoni seksionin. Nëse nuk është e qartë se nga erdhi, duhet të ktheheni edhe më herët - në seksion.

Vendosni vetë:

1. Gjeni nëse.
2. Gjeni nëse.
3. Zgjidhe ekuacionin.

Këtu do të shkruaj shkurtimisht drejtpërdrejt zgjidhjen e ekuacioneve homogjene:

Zgjidhjet:

Përgjigje:.

Por këtu ne duhet të shumëzojmë në vend që të pjesëtojmë:

Përgjigje:

Nëse nuk keni marrë ende ekuacione trigonometrike, mund ta kaloni këtë shembull.

Meqenëse këtu duhet të ndajmë me, së pari le të sigurohemi që nuk është njëqind e barabartë me zero:

Dhe kjo është e pamundur.

Përgjigje:.

EKUACIONET HOMOGJENE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

Zgjidhja e të gjitha ekuacioneve homogjene reduktohet në pjesëtim me një nga të panjohurat për fuqinë dhe ndryshimin e mëtejshëm të ndryshoreve.

Algoritmi:

Aktualisht, sipas nivelit bazë të studimit të matematikës, parashikohen vetëm 4 orë për studimin e matematikës në shkollë të mesme (2 orë algjebër, 2 orë gjeometri). Në shkollat ​​e vogla rurale po përpiqen të rrisin numrin e orëve për shkak të komponentit shkollor. Por nëse klasa është humanitare, atëherë komponenti i shkollës i shtohet studimit të lëndëve të shkencave humane. Në një fshat të vogël, një nxënës shpesh nuk ka mundësi të zgjedhë në atë klasë; që është në dispozicion në shkollë. Nuk ka ndërmend të bëhet jurist, historian apo gazetar (ka raste të tilla), por dëshiron të bëhet inxhinier apo ekonomist, ndaj duhet të kalojë Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me rezultate të larta. Në rrethana të tilla, mësuesi i matematikës duhet të gjejë rrugën e tij për të dalë nga situata aktuale, për më tepër, sipas librit shkollor të Kolmogorov, studimi i temës "ekuacionet homogjene" nuk ofrohet. Në vitet e kaluara, m'u deshën dy mësime të dyfishta për ta prezantuar këtë temë dhe për ta përforcuar atë. Fatkeqësisht, inspektimi ynë i mbikëqyrjes arsimore ndaloi mësimet e dyfishta në shkollë, kështu që numri i ushtrimeve duhej të reduktohej në 45 minuta, dhe për rrjedhojë, niveli i vështirësisë së ushtrimeve u reduktua në mesatare. Unë sjell në vëmendjen tuaj një plan mësimi për këtë temë në klasën e 10-të me niveli bazë duke studiuar matematikën në një shkollë të vogël rurale.

Lloji i mësimit: tradicionale.

Synimi: mësojnë të zgjidhin ekuacione tipike homogjene.

Detyrat:

Njohës:

Zhvillimore:

arsimore:

• Nxitja e punës së palodhur përmes përfundimit të detyrave me durim, ndjenjës së miqësisë përmes punës në çifte dhe grupe.

Përparimi i mësimit

I. Organizative skenë(3 min.)

II. Testimi i njohurive të nevojshme për të zotëruar materialin e ri (10 min.)

Identifikoni vështirësitë kryesore me analizën e mëtejshme të detyrave të përfunduara. Djemtë zgjedhin 3 opsione. Detyrat e diferencuara sipas shkallës së vështirësisë dhe nivelit të gatishmërisë së fëmijëve, të ndjekura nga shpjegimi në tabelë.

Niveli 1. Zgjidh ekuacionet:

1. 3(x+4)=12,
2. 2 (x-15) = 2x-30
3. 5(2x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Përgjigje: 7;3

Niveli 2. Zgjidh ekuacionet e thjeshta trigonometrike dhe ekuacionet bikuadratike:

përgjigjet:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Përgjigje: -2; 2; -3; 3

Niveli 3. Zgjidhja e ekuacioneve duke ndryshuar variablat:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Përgjigje:

III. Komunikimi i temës, përcaktimi i qëllimeve dhe objektivave.

Tema: Ekuacionet homogjene

Synimi: mësojnë të zgjidhin ekuacione tipike homogjene

Detyrat:

Njohës:

• njihuni me ekuacionet homogjene, mësoni të zgjidhni llojet më të zakonshme të ekuacioneve të tilla.

Zhvillimore:

• Zhvillimi i të menduarit analitik.
• Zhvillimi i aftësive matematikore: mësoni të identifikoni tiparet kryesore me të cilat ekuacionet homogjene ndryshojnë nga ekuacionet e tjera, të jeni në gjendje të vendosni ngjashmërinë e ekuacioneve homogjene në manifestimet e tyre të ndryshme.

IV. Mësimi i njohurive të reja (15 min.)

1. Momenti i ligjëratës.

Përkufizimi 1(Shkruajini në një fletore). Një ekuacion i formës P(x;y)=0 quhet homogjen nëse P(x;y) është një polinom homogjen.

Një polinom në dy ndryshore x dhe y quhet homogjen nëse shkalla e secilit prej termave të tij është e barabartë me të njëjtin numër k.

Përkufizimi 2(Vetëm një hyrje). Ekuacionet e formës

quhet ekuacion homogjen i shkallës n në lidhje me u(x) dhe v(x). Duke pjesëtuar të dyja anët e ekuacionit me (v(x))n, mund të përdorim një zëvendësim për të marrë ekuacionin

Që e bën më të lehtë ekuacioni origjinal. Rasti v(x)=0 duhet të konsiderohet veçmas, pasi është e pamundur të pjesëtohet me 0.

2. Shembuj të ekuacioneve homogjene:

Shpjegoni: pse ato janë homogjene, jepni shembujt tuaj të ekuacioneve të tilla.

3. Detyrë për të përcaktuar ekuacionet homogjene:

Ndër ekuacionet e dhëna Përcaktoni ekuacione homogjene dhe shpjegoni zgjedhjen tuaj:

Pasi të keni shpjeguar zgjedhjen tuaj, përdorni një nga shembujt për të treguar se si të zgjidhni një ekuacion homogjen:

4. Vendosni vetë:

Përgjigje:

b) 2sin x – 3 cos x =0

Pjesëtojmë të dyja anët e ekuacionit me cos x, marrim 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Trego zgjidhjen e një shembulli nga broshura“P.V. Çulkov. Ekuacionet dhe pabarazitë në kursi shkollor matematikë. Moska Universiteti Pedagogjik“I pari i shtatorit” 2006 f.22.” Si një nga të mundshmet Shembuj të Provimit të Unifikuar të Shtetit niveli C.

V. Zgjidheni për konsolidim duke përdorur tekstin shkollor të Bashmakov

faqe 183 Nr. 59 (1.5) ose sipas tekstit shkollor të redaktuar nga Kolmogorov: faqe 81 nr. 169 (a, c)

përgjigjet:

VI. Test, punë e pavarur (7 min.)

1 opsion	Opsioni 2
Zgjidh ekuacionet:
a) sin 2 x-5sinxcosx+6cos 2 x=0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 =0	b)

Përgjigjet për detyrat:

Opsioni 1 a) Përgjigje: arctan2+πn,n € Z; b) Përgjigje: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Opsioni 2 a) Përgjigje: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Përgjigje: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5;-2); (5; 2)

VII. Detyrë shtëpie

Nr 169 sipas Kolmogorov, nr 59 sipas Bashmakov.

2) 3sin 2 x+2sin x cos x =2 Shënim: në anën e djathtë përdorni bazën identiteti trigonometrik 2 (mëkat 2 x + cos 2 x)

Përgjigje: arctan(-1±√3) +πn,

Literatura e përdorur:

1. P.V. Çulkov. Ekuacionet dhe pabarazitë në lëndën e matematikës shkollore. – M.: Universiteti Pedagogjik “I Shtatori i Parë”, 2006. fq
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometria. – M.: “AST-PRESS”, 1998, f
3. Algjebra për klasën e 8-të, redaktuar nga N.Ya. Vilenkina. – M.: “Iluminizmi”, 1997.
4. Algjebra për klasën 9, redaktuar nga N.Ya. Vilenkina. Moskë "Iluminizmi", 2001.
5. M.I. Bashmakov. Algjebra dhe fillimet e analizës. Për klasat 10-11 - M.: "Iluminizmi" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algjebra dhe fillimet e analizës. Për klasat 10-11. – M.: “Iluminizmi”, 1990.
7. A.G. Mordkoviç. Algjebra dhe fillimet e analizës. Pjesa 1 Libër mësuesi për klasat 10-11. – M.: “Mnemosyne”, 2004.

Përgjigje të gatshme për shembuj të ekuacioneve diferenciale homogjene Shumë studentë janë në kërkim të rendit të parë (kontrolluesit e rendit të parë janë më të zakonshëm në mësimdhënie), atëherë mund t'i analizoni ato në detaje. Por, përpara se të kaloni te shembujt, ju rekomandojmë që të lexoni me kujdes përmbledhjen material teorik.
Ekuacionet e formës P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, ku funksionet P(x,y) dhe Q(x,y) janë funksionet homogjene të të njëjtit rend quhen ekuacioni diferencial homogjen(ODR).

Skema për zgjidhjen e një ekuacioni diferencial homogjen

1. Së pari ju duhet të aplikoni zëvendësimin y=z*x, ku z=z(x) është një funksion i ri i panjohur (kështu ekuacioni origjinal reduktohet në një ekuacion diferencial me variabla të ndashëm.
2. Derivati ​​i produktit është i barabartë me y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z ose në diferenciale dy=d(zx)=z*dx+ x*dz.
3. Më pas, ne zëvendësojmë funksionin e ri y dhe derivatin e tij y" (ose dy). DE me variabla të ndashëm në raport me x dhe z.
4. Pasi kemi zgjidhur ekuacionin diferencial me ndryshore të ndashme, bëjmë ndryshimin e kundërt y=z*x, pra z= y/x, dhe marrim zgjidhje e përgjithshme (integrali i përgjithshëm) i një ekuacioni diferencial.
5. Nëse kushti fillestar y(x 0)=y 0 është dhënë, atëherë gjejmë një zgjidhje të veçantë për problemin Cauchy. Tingëllon e lehtë në teori, por në praktikë, jo të gjithë e kanë aq shumë argëtim duke zgjidhur ekuacione diferenciale. Prandaj, për të thelluar njohuritë tona, le të shohim shembuj të zakonshëm. Nuk ka shumë për t'ju mësuar për detyrat e lehta, kështu që le të kalojmë në ato më komplekse.

Llogaritjet e ekuacioneve diferenciale homogjene të rendit të parë

Shembulli 1.

Zgjidhja: Ndani anën e djathtë ekuacionet për një ndryshore që është një faktor afër derivatit. Si rezultat, arrijmë në ekuacioni diferencial homogjen i rendit 0

Dhe këtu, ndoshta, shumë njerëz u interesuan, si të përcaktohet rendi i një funksioni të një ekuacioni homogjen?
Pyetja është mjaft e rëndësishme, dhe përgjigja për të është si më poshtë:
në anën e djathtë zëvendësojmë vlerën t*x, t*y në vend të funksionit dhe argumentit. Gjatë thjeshtimit, parametri "t" fitohet në një shkallë të caktuar k, e cila quhet rendi i ekuacionit. Në rastin tonë, "t" do të reduktohet, e cila është e barabartë me fuqinë 0 ose rendi zero i një ekuacioni homogjen.
Më pas, në anën e djathtë mund të kalojmë te ndryshorja e re y=zx; z=y/x.
Në të njëjtën kohë, mos harroni të shprehni derivatin e "y" përmes derivatit të ndryshores së re. Me rregullin e pjesëve gjejmë

Ekuacionet në diferenciale do të marrë formën

Ne anulojmë termat e zakonshëm në anën e djathtë dhe të majtë dhe vazhdojmë te ekuacioni diferencial me variabla të ndara.

Le të integrojmë të dyja anët e DE

Për lehtësinë e transformimeve të mëtejshme, ne futim menjëherë konstantën nën logaritëm

Bazuar në vetitë e logaritmeve, rezulton ekuacioni logaritmik ekuivalente me sa vijon

Kjo hyrje nuk është ende një zgjidhje (përgjigje) është e nevojshme të ktheheni te zëvendësimi i kryer i variablave

Në këtë mënyrë ata gjejnë zgjidhje e përgjithshme e ekuacioneve diferenciale. Nëse lexoni me kujdes mësimet e mëparshme, atëherë thamë se duhet të jeni në gjendje të përdorni lirisht skemën për llogaritjen e ekuacioneve me variabla të ndara dhe ky lloj ekuacionesh do të duhet të llogariten për më shumë lloje komplekse DU.

Shembulli 2. Gjeni integralin e një ekuacioni diferencial

Zgjidhja: Skema për llogaritjen e sistemeve të kontrollit homogjen dhe të kombinuar është tashmë e njohur për ju. Ne e zhvendosim ndryshoren në anën e djathtë të ekuacionit, dhe gjithashtu nxjerrim x 2 në numërues dhe emërues, si shumëzues i përbashkët

Kështu, marrim një ekuacion diferencial homogjen të rendit zero.
Hapi tjetër është futja e zëvendësimit të variablave z=y/x, y=z*x, të cilat do t'ju kujtojmë vazhdimisht në mënyrë që ta mësoni përmendësh.

Pas kësaj shkruajmë telekomandën në diferenciale

Më pas e transformojmë varësinë në ekuacioni diferencial me variabla të ndara

dhe e zgjidhim me integrim.

Integralet janë të thjeshta, transformimet e mbetura kryhen në bazë të vetive të logaritmit. Veprimi i fundit përfshin eksponentë të logaritmit. Në fund kthehemi te zëvendësimi origjinal dhe e shkruajmë në formë

Konstanta "C" mund të marrë çdo vlerë. Të gjithë ata që studiojnë me korrespondencë kanë probleme me këtë lloj ekuacionesh në provime, ndaj ju lutemi shikoni me kujdes dhe mbani mend diagramin e llogaritjes.

Shembulli 3. Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhje: Siç del nga metodologjia e mësipërme, zgjidhen ekuacionet diferenciale të këtij lloji duke futur një ndryshore të re. Le ta rishkruajmë varësinë në mënyrë që derivati ​​të jetë pa ndryshore

Më tej, duke analizuar anën e djathtë, shohim se fragmenti -ee është i pranishëm kudo dhe e shënojmë atë si një të panjohur të re.
z=y/x, y=z*x.
Gjetja e derivatit të y

Duke marrë parasysh zëvendësimin, ne rishkruajmë origjinalin DE në formular

Ne thjeshtojmë termat identikë dhe reduktojmë të gjitha ato që rezultojnë në DE me variabla të ndara

Duke integruar të dyja anët e barazisë

arrijmë në një zgjidhje në formën e logaritmeve

Duke ekspozuar varësitë që gjejmë zgjidhje e përgjithshme e ekuacionit diferencial

e cila pasi zëvendëson ndryshimin fillestar të variablave në të, merr formën

Këtu C është një konstante që mund të përcaktohet më tej nga kushti Cauchy. Nëse problemi Cauchy nuk specifikohet, atëherë ai merr një vlerë reale arbitrare.
Kjo është e gjithë mençuria në llogaritjen e ekuacioneve diferenciale homogjene.

Homogjene

Aktiv këtë mësim do të shqyrtojmë të ashtuquajturat ekuacionet diferenciale homogjene të rendit të parë. Së bashku me ekuacionet e ndashme Dhe ekuacionet lineare johomogjene ky lloj i telekomandës gjendet pothuajse në çdo punë testuese në temën e difuzorëve. Nëse keni ardhur në faqe nga një motor kërkimi ose nuk jeni shumë të sigurt në kuptimin e ekuacioneve diferenciale, atëherë së pari ju rekomandoj fuqimisht të punoni përmes një mësimi hyrës mbi temën - Ekuacionet diferenciale të rendit të parë. Fakti është se shumë nga parimet për zgjidhjen e ekuacioneve homogjene dhe teknikat e përdorura do të jenë saktësisht të njëjta si për ekuacionet më të thjeshta me ndryshore të ndashme.

Cili është ndryshimi midis ekuacioneve diferenciale homogjene dhe llojeve të tjera të ekuacioneve diferenciale? Mënyra më e lehtë për ta shpjeguar menjëherë këtë është me një shembull specifik.

Shembulli 1

Zgjidhja:
Çfarë para së gjithash duhet analizuar kur vendoset ndonjë ekuacioni diferencial rendit të parë? Para së gjithash, është e nevojshme të kontrollohet nëse është e mundur të ndahen menjëherë variablat duke përdorur veprimet "shkollë"? Zakonisht kjo analizë bëhet mendërisht ose duke u përpjekur për të ndarë variablat në një draft.

NË në këtë shembull variablat nuk mund të ndahen(mund të përpiqeni të hidhni terma nga pjesa në pjesë, të ngrini faktorë jashtë kllapave, etj.). Nga rruga, në këtë shembull, fakti që variablat nuk mund të ndahen është mjaft i dukshëm për shkak të pranisë së shumëzuesit.

Shtrohet pyetja: si ta zgjidhim këtë problem të përhapur?

Duhet të kontrollohet dhe A nuk është homogjen ky ekuacion?? Verifikimi është i thjeshtë dhe vetë algoritmi i verifikimit mund të formulohet si më poshtë:

Tek ekuacioni origjinal:

në vend të ne zëvendësojmë, në vend të ne zëvendësojmë, ne nuk e prekim derivatin:

Shkronja lambda është një parametër i kushtëzuar dhe këtu luan rolin e mëposhtëm: nëse, si rezultat i transformimeve, është e mundur të "shkatërrohen" TË GJITHA lambdat dhe të merret ekuacioni origjinal, atëherë ky ekuacion diferencial është homogjen.

Është e qartë se lambdat reduktohen menjëherë nga eksponenti:

Tani në anën e djathtë nxjerrim lambdën nga kllapat:

dhe ndajini të dyja pjesët me të njëjtën lambda:

Si rezultat Të gjitha Lambdas u zhdukën si një ëndërr, si një mjegull mëngjesi, dhe ne morëm ekuacionin origjinal.

konkluzioni: Ky ekuacionështë homogjen

Si të zgjidhim një ekuacion diferencial homogjen?

Unë kam shumë lajme të mira. Absolutisht të gjitha ekuacionet homogjene mund të zgjidhen duke përdorur një zëvendësim të vetëm (!) standard.

Funksioni "lojë" duhet të jetë zëvendësojnë puna disa funksione (e varur gjithashtu nga "x") dhe "x":

Ata pothuajse gjithmonë shkruajnë shkurt:

Ne zbulojmë se në çfarë do të kthehet derivati ​​me një zëvendësim të tillë, ne përdorim rregullin e diferencimit të produktit. Nëse, atëherë:

Ne zëvendësojmë në ekuacionin origjinal:

Çfarë do të japë një zëvendësim i tillë? Pas këtij zëvendësimi dhe thjeshtimeve, ne e garantuar marrim një ekuacion me ndryshore të ndashme. KUJTOJE si dashuria e parë :) dhe, në përputhje me rrethanat, .

Pas zëvendësimit, ne kryejmë thjeshtimet maksimale:

Meqenëse është një funksion në varësi të "x", derivati ​​i tij mund të shkruhet si thyesë standarde: .
Kështu:

Ne i ndajmë variablat, ndërsa në anën e majtë ju duhet të mbledhni vetëm "te", dhe në anën e djathtë - vetëm "x":

Variablat janë të ndara, le të integrojmë:


Sipas këshillës time të parë teknike nga artikulli Ekuacionet diferenciale të rendit të parë Në shumë raste është e këshillueshme që të "formulohet" një konstante në formën e një logaritmi.

Pasi të jetë integruar ekuacioni, duhet të kryejmë zëvendësim i kundërt, është gjithashtu standard dhe unik:
Nëse, atëherë
NË në këtë rast:

Në 18-19 raste nga 20, zgjidhja e një ekuacioni homogjen shkruhet si një integral i përgjithshëm.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Pse përgjigja e një ekuacioni homogjen jepet pothuajse gjithmonë në formën e një integrali të përgjithshëm?
Në shumicën e rasteve, është e pamundur të shprehet "loja" në mënyrë eksplicite (për të marrë një zgjidhje të përgjithshme), dhe nëse është e mundur, atëherë më shpesh zgjidhja e përgjithshme rezulton të jetë e rëndë dhe e ngathët.

Kështu, për shembull, në shembullin e konsideruar, një zgjidhje e përgjithshme mund të merret duke peshuar logaritmet në të dy anët e integralit të përgjithshëm:

- Epo, në rregull. Edhe pse, duhet ta pranoni, është ende pak e shtrembër.

Nga rruga, në këtë shembull unë nuk e shkrova integralin e përgjithshëm mjaft "mirë". Nuk është gabim, por në një stil "të mirë", ju kujtoj se integrali i përgjithshëm zakonisht shkruhet në formën . Për ta bërë këtë, menjëherë pas integrimit të ekuacionit, konstanta duhet të shkruhet pa asnjë logaritëm (këtu është një përjashtim nga rregulli!):

Dhe pas zëvendësimit të kundërt, merrni integralin e përgjithshëm në formën "klasike":

Përgjigja e marrë mund të kontrollohet. Për ta bërë këtë, ju duhet të dalloni integralin e përgjithshëm, domethënë të gjeni derivat i një funksioni të specifikuar në mënyrë implicite:

Ne shpëtojmë nga thyesat duke shumëzuar secilën anë të ekuacionit me:

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Këshillohet që gjithmonë të kontrolloni. Por ekuacionet homogjene janë të pakëndshme në atë që zakonisht është e vështirë të kontrollohen integralet e tyre të përgjithshme - kjo kërkon një teknikë shumë, shumë të mirë diferencimi. Në shembullin e shqyrtuar, gjatë verifikimit ishte tashmë e nevojshme të gjendeshin jo derivatet më të thjeshtë (megjithëse vetë shembulli është mjaft i thjeshtë). Nëse mund ta kontrolloni, kontrollojeni!

Shembulli 2

Kontrolloni ekuacionin për homogjenitet dhe gjeni integralin e tij të përgjithshëm.

Shkruani përgjigjen në formular

Ky është një shembull për vendim i pavarur– në mënyrë që të ndiheni rehat me vetë algoritmin e veprimeve. Ju mund ta kryeni kontrollin në kohën e lirë, sepse... këtu është mjaft e ndërlikuar, dhe as që u mundova ta prezantoj, përndryshe nuk do të vini më në një maniak të tillë :)

Dhe tani ai i premtuari pikë e rëndësishme, përmendur në shumë fillimi i temës,
Do të theksoj me shkronja të zeza të zeza:

Nëse gjatë transformimeve “rivendosim” shumëzuesin (jo konstante)në emërues, atëherë rrezikojmë të humbasim zgjidhjet!

Dhe në fakt, këtë e kemi hasur në shembullin e parë mësimi hyrës për ekuacionet diferenciale. Në procesin e zgjidhjes së ekuacionit, "y" doli të jetë në emërues: , por, padyshim, është një zgjidhje për DE dhe si rezultat i një transformimi (ndarjeje) të pabarabartë ka çdo shans për ta humbur atë! Një tjetër gjë është se ajo u përfshi në zgjidhjen e përgjithshme kur vlerë zero konstante. Rivendosja e "X" në emërues gjithashtu mund të injorohet, sepse nuk e kënaq difuzorin origjinal.

Një histori e ngjashme me ekuacionin e tretë të të njëjtit mësim, gjatë zgjidhjes së të cilit "u hodhëm" në emërues. Në mënyrë të rreptë, këtu ishte e nevojshme të kontrollohej nëse ky shpërndarës është zgjidhja? Në fund të fundit, është! Por edhe këtu "gjithçka doli mirë", pasi ky funksion u përfshi në integralin e përgjithshëm në .

Dhe nëse kjo shpesh funksionon me ekuacione "të ndashme", atëherë me shpërndarës homogjenë dhe disa të tjerë mund të mos funksionojë. Me shumë mundësi.

Le të analizojmë problemet e zgjidhura tashmë në këtë mësim: në Shembulli 1 ka pasur një "rivendosje" të X, por nuk mund të jetë një zgjidhje për ekuacionin. Por në Shembulli 2 u ndamë në , por edhe “ia doli”: meqë , zgjidhjet nuk mund të kishin humbur, thjesht nuk janë këtu. Por, sigurisht, kam krijuar "raste të lumtura" me qëllim, dhe nuk është fakt që në praktikë do të ndeshen këto:

Shembulli 3

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

A nuk është një shembull i thjeshtë? ;-)

Zgjidhja: homogjeniteti i këtij ekuacioni është i dukshëm, por ende - në hapin e parë Ne GJITHMONË kontrollojmë nëse është e mundur të ndahen variablat. Sepse ekuacioni është gjithashtu homogjen, por variablat në të ndahen lehtësisht. Po, ka disa!

Pas kontrollit për "ndashmëri", ne bëjmë një zëvendësim dhe thjeshtojmë ekuacionin sa më shumë që të jetë e mundur:

Ne i ndajmë variablat, mbledhim "te" në të majtë dhe "x" në të djathtë:

Dhe këtu STOP. Kur e ndajmë me, rrezikojmë të humbasim dy funksione njëherësh. Meqenëse, këto janë funksionet:

Funksioni i parë është padyshim një zgjidhje e ekuacionit . Ne kontrollojmë të dytin - ne gjithashtu zëvendësojmë derivatin e tij në difuzuesin tonë:

– marrë barazi e vërtetë, që do të thotë se funksioni është një zgjidhje.

DHE rrezikojmë t'i humbim këto vendime.

Për më tepër, emëruesi doli të ishte "X", megjithatë, zëvendësimi nënkupton që nuk është zero. Mbani mend këtë fakt. Por! Sigurohuni që të kontrolloni, është zgjidhja e ekuacionit diferencial ORIGJINAL. Jo, nuk është.

Le të marrim parasysh të gjitha këto dhe të vazhdojmë:

Duhet të them, kam qenë me fat me integralin e anës së majtë, mund të jetë shumë më keq.

Ne mbledhim një logaritëm të vetëm në anën e djathtë dhe hedhim prangat:

Dhe tani vetëm zëvendësimi i kundërt:

Le të shumëzojmë të gjithë termat me:

Tani duhet të kontrolloni - nëse zgjidhjet “të rrezikshme” përfshiheshin në integralin e përgjithshëm. Po, të dyja zgjidhjet u përfshinë në integralin e përgjithshëm me vlerën zero të konstantës: , kështu që ato nuk kanë nevojë të tregohen shtesë në përgjigje:

integrali i përgjithshëm:

Ekzaminimi. As një provë, por kënaqësi e pastër :)

Është marrë ekuacioni diferencial origjinal, që do të thotë se zgjidhja është gjetur saktë.

Për ta zgjidhur vetë:

Shembulli 4

Kryeni testin e homogjenitetit dhe zgjidhni ekuacionin diferencial

Kontrolloni integralin e përgjithshëm me diferencim.

Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Le të shqyrtojmë disa shembuj kur jepet një ekuacion homogjen me diferencialë të gatshëm.

Shembulli 5

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Kjo është shumë shembull interesant, vetëm një thriller i tërë!

Zgjidhje Ne do të mësohemi ta dizajnojmë atë në mënyrë më kompakte. Së pari, mendërisht ose në një draft, ne sigurohemi që variablat këtu nuk mund të ndahet, pas së cilës kontrollojmë për homogjenitet - zakonisht nuk kryhet në një pjesë përfundimtare (përveç nëse kërkohet në mënyrë specifike). Kështu, zgjidhja pothuajse gjithmonë fillon me hyrjen: " Ky ekuacion është homogjen, le të bëjmë zëvendësimin: ...».

Nëse një ekuacion homogjen përmban diferenciale të gatshme, atëherë ai mund të zgjidhet me një zëvendësim të modifikuar:

Por unë nuk rekomandoj përdorimin e një zëvendësimi të tillë, pasi do të rezultojë në një të shkëlqyer Muri kinez diferenciale ku keni nevojë për një sy dhe një sy. Nga pikëpamja teknike, është më e dobishme të kaloni në përcaktimin "të ndërprerë" të derivatit për ta bërë këtë, ne ndajmë të gjitha kushtet e ekuacionit me:

Dhe këtu ne kemi bërë tashmë një transformim "të rrezikshëm"! Diferenciali zero korrespondon me një familje vijash të drejta paralele me boshtin. A janë ato rrënjët e DU-së sonë? Le të zëvendësojmë në ekuacionin origjinal:

Kjo barazi është e vlefshme nëse, domethënë, kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbim zgjidhjen, dhe ne e humbëm atë- që nga ajo nuk kënaq më ekuacioni që rezulton .

Duhet theksuar se nëse ne fillimisht u dha ekuacioni , atëherë nuk do të flitej për rrënjën. Por ne e kemi dhe e kapëm me kohë.

Ne vazhdojmë zgjidhjen me një zëvendësim standard:
:

Pas zëvendësimit, ne thjeshtojmë ekuacionin sa më shumë që të jetë e mundur:

I ndajmë variablat:

Dhe këtu përsëri STOP: kur pjesëtojmë me rrezikojmë të humbasim dy funksione. Meqenëse, këto janë funksionet:

Natyrisht, funksioni i parë është një zgjidhje e ekuacionit . Ne kontrollojmë të dytën - ne gjithashtu zëvendësojmë derivatin e tij:

– marrë barazi e vërtetë, që do të thotë se funksioni është gjithashtu një zgjidhje e ekuacionit diferencial.

Dhe kur e ndajmë me rrezikojmë t'i humbim këto zgjidhje. Sidoqoftë, ato mund të hyjnë në integralin e përgjithshëm. Por ata mund të mos hyjnë

Le të marrim parasysh këtë dhe të integrojmë të dyja pjesët:

Integrali i anës së majtë zgjidhet në mënyrë standarde duke përdorur duke nxjerrë në pah një katror të plotë, por është shumë më i përshtatshëm për t'u përdorur në shpërndarës metoda e koeficientëve të pasigurt:

Duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar, ne zgjerojmë integrandin në një shumë të thyesave elementare:


Kështu:

Gjetja e integraleve:

– meqenëse kemi vizatuar vetëm logaritme, e shtyjmë edhe konstanten nën logaritëm.

Përpara zëvendësimit përsëri duke thjeshtuar gjithçka që mund të thjeshtohet:

Rivendosja e zinxhirëve:

Dhe zëvendësimi i kundërt:

Tani le të kujtojmë për "gjërat e humbura": zgjidhja u përfshi në integralin e përgjithshëm në , por "kaloi para kasës", sepse doli të jetë emëruesi. Prandaj, në përgjigje i jepet një frazë e veçantë, dhe po - mos harroni për zgjidhjen e humbur, e cila, nga rruga, gjithashtu doli të ishte më poshtë.

Përgjigje: integrali i përgjithshëm: . Më shumë zgjidhje:

Nuk është aq e vështirë të shprehësh zgjidhjen e përgjithshme këtu:
, por kjo tashmë është një shfaqje.

Megjithatë, i përshtatshëm për kontroll. Le të gjejmë derivatin:

dhe zëvendësues V anën e majtë ekuacionet:

– si rezultat i marrë anën e djathtë ekuacionet, që është ajo që duhet të kontrollohet.

Difuzori i mëposhtëm është më vete:

Shembulli 6

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhje e plotë dhe përgjigje në fund të mësimit. Përpiquni të shprehni zgjidhjen e përgjithshme këtu në të njëjtën kohë për praktikë.

Në pjesën e fundit të mësimit do të shohim disa të tjera detyrat karakteristike në temë:

Shembulli 7

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Zgjidhja: Le të ecim përgjatë rrugës së rrahur. Ky ekuacion është homogjen, le të bëjmë zëvendësimin:

Gjithçka është në rregull me "X", por ja çfarë nuk shkon me trinom kuadratik? Meqenëse nuk është i zbërthyeshëm në faktorë: , atëherë definitivisht nuk i humbim zgjidhjet. Do të ishte gjithmonë kështu! Zgjidhni katrorin e plotë në anën e majtë dhe integroni:

Nuk ka asgjë për të thjeshtuar këtu, dhe për këtë arsye zëvendësimi i kundërt:

Përgjigje: integrali i përgjithshëm:

Shembulli 8

Zgjidhja e ekuacionit diferencial

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Pra:

Për konvertime të pabarabarta, kontrolloni GJITHMONË (të paktën verbalisht), Po i humbisni zgjidhjet tuaja? Cilat janë këto transformime? Zakonisht shkurton ose ndan diçka. Kështu, për shembull, kur pjesëtoni me, duhet të kontrolloni nëse funksionet janë zgjidhje për ekuacionin diferencial. Në të njëjtën kohë, kur pjesëtohet me, nuk ka më nevojë për një kontroll të tillë - për faktin se ky pjesëtues nuk shkon në zero.

Këtu është një situatë tjetër e rrezikshme:

Këtu, duke hequr qafe , duhet të kontrolloni nëse DE është një zgjidhje. Shpesh, "x" dhe "y" përdoren si një shumëzues i tillë dhe duke i reduktuar ato, ne humbasim funksione që mund të rezultojnë të jenë zgjidhje.

Nga ana tjetër, nëse diçka është fillimisht në emërues, atëherë nuk ka arsye për një shqetësim të tillë. Kështu, në një ekuacion homogjen, nuk duhet të shqetësoheni për funksionin pasi ai "deklarohet" në emërues.

Hollësitë e listuara nuk e humbasin rëndësinë e tyre, edhe nëse problemi kërkon gjetjen e vetëm një zgjidhjeje të veçantë. Ekziston, megjithëse një shans i vogël, që të humbasim pikërisht zgjidhjen e veçantë të kërkuar. A është e vërtetë Problem cauchy V detyra praktike me ekuacione homogjene kërkohet mjaft rrallë. Sidoqoftë, ka shembuj të tillë në artikull Ekuacionet që reduktohen në homogjene, të cilën unë rekomandoj ta studioni "të nxehtë në thembra" për të forcuar aftësitë tuaja në zgjidhje.

Ekzistojnë gjithashtu ekuacione homogjene më komplekse. Vështirësia nuk qëndron në ndryshimet apo thjeshtimet e variablave, por në integralet mjaft të vështira ose të rralla që lindin si rezultat i ndarjes së variablave. Unë kam shembuj zgjidhjesh për ekuacione të tilla homogjene - integrale të frikshme dhe përgjigje të frikshme. Por ne nuk do të flasim për to, sepse në mësimet e ardhshme (shih më poshtë) Kam ende kohë të të torturoj, dua të të shoh të freskët dhe optimist!

Gëzuar promovimin!

Zgjidhje dhe përgjigje:

Shembulli 2: Zgjidhja: Le të kontrollojmë ekuacionin për homogjenitet, për këtë qëllim në ekuacionin origjinal në vend të le të zëvendësojmë , dhe në vend të le të zëvendësojmë:

Si rezultat, fitohet ekuacioni origjinal, që do të thotë se kjo DE është homogjene.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve