Një sferë e gdhendur në një prizëm trekëndësh. Sferë e gdhendur në një prizëm të rregullt trekëndor

“Sfera e politikës” - Marrëdhëniet e aktorëve shoqërorë në lidhje me pushtetin shtetëror. Shkencor dhe teorik. Procesi i ndërveprimit ndërmjet politikës dhe ekonomisë. Së bashku me shtetin. Rregullimi i marrëdhënieve shoqërore kushtëzohet nga interesat shoqërore. Procesi i ndërveprimit ndërmjet politikës dhe moralit. Fuqia e shtetit, bindja, stimulimi.

"Gjeometria e prizmit" - Jepet një prizëm katërkëndor i drejtë ABCDA1B1C1D1. Euklidi ndoshta e konsideroi atë një çështje të udhëzimeve praktike mbi gjeometrinë. Një prizëm i drejtë është një prizëm, skaji anësor i të cilit është pingul me bazën. Prizma në gjeometri. Sipas vetive të 2 vëllimeve, V=V1+V2, pra V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Pra, trekëndëshat A1B1C1 dhe ABC janë të barabartë në tre brinjë.

"Vëllimi i një prizmi" - Si të gjeni vëllimin e një prizmi të drejtë? Vëllimi i prizmit origjinal është i barabartë me produktin S · h. Hapat bazë në vërtetimin e teoremës së prizmit të drejtpërdrejtë? Zona S e bazës së prizmit origjinal. Vizatimi i lartësisë së trekëndëshit ABC. Detyrë. Prizma e drejtë. Objektivat e mësimit. Koncepti i një prizmi. Vëllimi i një prizmi të drejtë. Zgjidhja e problemit. Prizma mund të ndahet në prizma të drejta trekëndore me lartësi h.

"Sipërfaqja e sferës" - Marsi. A është topi një top? Topi dhe sfera. Toka. Enciklopedi. Ne mbështesim ekipin tonë të bejsbollit të shkollës. Venusi. Urani. A ka një top në foto? Pak histori. Atmosfera. Vendosa të bëj një kërkim të vogël……. Saturni. A jeni gati për t'iu përgjigjur pyetjeve?

Tema “Probleme të ndryshme mbi poliedrin, cilindrin, konin dhe topin” është një nga më të vështirat në lëndën e gjeometrisë në klasën e 11-të. Para se të zgjidhin probleme gjeometrike, ata zakonisht studiojnë seksionet përkatëse të teorisë që përmenden kur zgjidhin probleme. Në librin shkollor të S. Atanasyan dhe të tjerëve për këtë temë (fq. 138) mund të gjenden vetëm përkufizime të një poliedri të përshkruar rreth një sfere, një poliedri të gdhendur në një sferë, një sferë të gdhendur në një shumëfaqësh dhe një sferë të përshkruar rreth një shumëkëndësh. Rekomandimet metodologjike për këtë tekst shkollor (shih librin "Studimi i gjeometrisë në klasat 10-11" nga S.M. Sahakyan dhe V.F. Butuzov, f. 159) thonë se cilat kombinime trupash merren parasysh gjatë zgjidhjes së problemeve Nr. 629-646 dhe tërhiqet vëmendja. për faktin se "kur zgjidhet një problem i caktuar, para së gjithash, është e nevojshme të sigurohet që studentët të kenë një kuptim të mirë të pozicioneve relative të trupave të treguar në gjendje". Më poshtë është zgjidhja e problemeve nr. 638 (a) dhe nr. 640.

Duke marrë parasysh të gjitha sa më sipër dhe faktin se problemet më të vështira për nxënësit janë kombinimi i topit me trupa të tjerë, është e nevojshme të sistemohen parimet përkatëse teorike dhe t'u komunikohen nxënësve.

Përkufizimet.

1. Një top quhet i gdhendur në një shumëfaqësh, dhe një shumëfaqësh i përshkruar rreth një topi nëse sipërfaqja e topit prek të gjitha faqet e shumëfaqëshit.

2. Një top thuhet se është i rrethuar rreth një shumëkëndëshi, dhe një shumëfaqësh thuhet se është i gdhendur në një top, nëse sipërfaqja e topit kalon nëpër të gjitha kulmet e shumëkëndëshit.

3. Një top thuhet se është i gdhendur në një cilindër, kon i cunguar (kon), dhe një cilindër, kon i cunguar (kon) thuhet se është i gdhendur rreth topit nëse sipërfaqja e topit prek bazat (bazën) dhe të gjitha. gjeneratat e cilindrit, koni i cunguar (koni).

(Nga ky përkufizim del se rrethi i madh i një topi mund të futet në çdo seksion boshtor të këtyre trupave).

4. Një top thuhet se është i rrethuar rreth një cilindri, një kon të cunguar (kon), nëse rrathët e bazave (rrethi bazë dhe kulmi) i përkasin sipërfaqes së topit.

(Nga ky përkufizim del se rreth çdo seksioni boshtor të këtyre trupave mund të përshkruhet rrethi i një rrethi më të madh të topit).

Shënime të përgjithshme për pozicionin e qendrës së topit.

1. Qendra e një topi të gdhendur në një shumëfaqësh shtrihet në pikën e kryqëzimit të rrafsheve përgjysmuese të të gjitha këndeve dykëndore të shumëkëndëshit. Ndodhet vetëm brenda poliedrit.

2. Qendra e një topi të rrethuar rreth një shumëfaqëshi shtrihet në pikën e kryqëzimit të rrafsheve pingul me të gjitha skajet e shumëfaqëshit dhe që kalon nëpër pikat e mesit të tyre. Mund të vendoset brenda, në sipërfaqe ose jashtë poliedrit.

Kombinimi i një sfere dhe një prizmi.

1. Një top i gdhendur në një prizëm të drejtë.

Teorema 1. Një sferë mund të futet në një prizëm të drejtë nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të brendashkruhet në bazën e prizmit, dhe lartësia e prizmit është e barabartë me diametrin e këtij rrethi.

Përfundimi 1. Qendra e një sfere të gdhendur në një prizëm të drejtë shtrihet në mes të lartësisë së prizmit që kalon nga qendra e rrethit të gdhendur në bazë.

Përfundimi 2. Një top, në veçanti, mund të mbishkruhet në vija të drejta: trekëndësh, i rregullt, katërkëndor (në të cilin shumat e anëve të kundërta të bazës janë të barabarta me njëra-tjetrën) nën kushtin H = 2r, ku H është lartësia e prizmi, r është rrezja e rrethit të gdhendur në bazë.

2. Sferë e rrethuar rreth një prizmi.

Teorema 2. Një sferë mund të përshkruhet rreth një prizmi nëse dhe vetëm nëse prizmi është i drejtë dhe një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së tij.

Përfundimi 1. Qendra e një sfere të rrethuar rreth një prizmi të drejtë shtrihet në mes të lartësisë së prizmit të tërhequr përmes qendrës së një rrethi të rrethuar rreth bazës.

Përfundimi 2. Një top, në veçanti, mund të përshkruhet: afër një prizmi trekëndor të drejtë, pranë një prizmi të rregullt, pranë një paralelipipedi drejtkëndor, pranë një prizmi të drejtë katërkëndor, në të cilin shuma e këndeve të kundërta të bazës është e barabartë me 180 gradë.

Nga libri shkollor i L.S. Atanasyan, problemet Nr. 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) mund të sugjerohen për kombinimin e një topi dhe një prizmi.

Kombinimi i një topi me një piramidë.

1. Një top i përshkruar pranë një piramide.

Teorema 3. Një top mund të përshkruhet rreth një piramide nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të përshkruhet rreth bazës së saj.

Përfundimi 1. Qendra e një sfere të rrethuar rreth një piramide shtrihet në pikën e kryqëzimit të një vije të drejtë pingul me bazën e piramidës që kalon përmes qendrës së një rrethi të rrethuar rreth kësaj baze dhe një rrafshi pingul me çdo skaj anësor të tërhequr në mes të këtë skaj.

Përfundimi 2. Nëse skajet anësore të piramidës janë të barabarta me njëra-tjetrën (ose të prirur në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës), atëherë një top mund të përshkruhet rreth një piramide të tillë Qendra e këtij topi në këtë rast shtrihet në pikën e kryqëzimit të lartësia e piramidës (ose shtrirja e saj) me boshtin e simetrisë së skajit anësor që shtrihet në rrafshin e skajit dhe lartësisë anësore.

Përfundimi 3. Një top, në veçanti, mund të përshkruhet: afër një piramide trekëndore, afër një piramide të rregullt, afër një piramide katërkëndore në të cilën shuma e këndeve të kundërta është 180 gradë.

2. Një top i gdhendur në një piramidë.

Teorema 4. Nëse faqet anësore të piramidës janë të prirura në mënyrë të barabartë me bazën, atëherë një top mund të futet në një piramidë të tillë.

Përfundimi 1. Qendra e një topi të gdhendur në një piramidë, faqet anësore të së cilës janë të prirura njëlloj me bazën, shtrihet në pikën e kryqëzimit të lartësisë së piramidës me përgjysmuesin e këndit linear të çdo këndi dihedral në bazën e piramidës, ana prej të cilave është lartësia e faqes anësore të tërhequr nga maja e piramidës.

Përfundimi 2. Ju mund të vendosni një top në një piramidë të rregullt.

Nga libri shkollor i L.S. Atanasyan, problemet Nr. 635, 637 (b), 638, 639 (c), 640, 641 mund të sugjerohen për kombinimin e një topi me një piramidë.

Kombinimi i një topi me një piramidë të cunguar.

1. Një top i rrethuar rreth një piramide të rregullt të cunguar.

Teorema 5. Një sferë mund të përshkruhet rreth çdo piramide të rregullt të cunguar. (Ky kusht është i mjaftueshëm, por jo i nevojshëm)

2. Një top i gdhendur në një piramidë të rregullt të cunguar.

Teorema 6. Një top mund të futet në një piramidë të prerë të rregullt nëse dhe vetëm nëse apotema e piramidës është e barabartë me shumën e apotemave të bazave.

Ekziston vetëm një problem për kombinimin e një topi me një piramidë të cunguar në librin shkollor të L.S. Atanasyan (Nr. 636).

Kombinimi i topit me trupat e rrumbullakët.

Teorema 7. Një sferë mund të përshkruhet rreth një cilindri, një koni të cunguar (rrethor i drejtë) ose një kon.

Teorema 8. Një top mund të futet në një cilindër (rrethor të drejtë) nëse dhe vetëm nëse cilindri është barabrinjës.

Teorema 9. Ju mund të vendosni një top në çdo kon (rrethor i drejtë).

Teorema 10. Një top mund të futet në një kon të cunguar (rrethor i drejtë) nëse dhe vetëm nëse gjenerata e tij është e barabartë me shumën e rrezeve të bazave.

Nga libri shkollor i L.S. Atanasyan mund të sugjerohen problemet Nr.642, 643, 645, 646 për kombinimin e një topi me trupa të rrumbullakët.

Për të studiuar më me sukses materialin për këtë temë, është e nevojshme të përfshihen detyra me gojë në mësime:

1. Buza e kubit është e barabartë me a. Gjeni rrezet e topave: të gdhendura në kub dhe të rrethuar rreth tij. (r = a/2, R = a3).

2. A është e mundur të përshkruhet një sferë (top) rreth: a) një kubi; b) paralelipiped drejtkëndor; c) një paralelipiped i pjerrët me një drejtkëndësh në bazën e tij; d) paralelipiped i drejtë; e) një paralelipiped i prirur? (a) po; b) po; c) jo; d) jo; d) jo)

3. A është e vërtetë që një sferë mund të përshkruhet rreth çdo piramide trekëndore? (Po)

4. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth ndonjë piramide katërkëndore? (Jo, jo pranë ndonjë piramide katërkëndore)

5. Çfarë veti duhet të ketë një piramidë për të përshkruar një sferë rreth saj? (Në bazën e tij duhet të ketë një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth)

6. Një piramidë është e gdhendur në një sferë, buza anësore e së cilës është pingul me bazën. Si të gjeni qendrën e një sfere? (Qendra e sferës është pika e kryqëzimit të dy lokacioneve gjeometrike të pikave në hapësirë. E para është një pingul e tërhequr në rrafshin e bazës së piramidës, përmes qendrës së një rrethi të rrethuar rreth saj. E dyta është një plan pingul me një skaj të caktuar anësor dhe të tërhequr nga mesi i tij)

7. Në çfarë kushtesh mund të përshkruani një sferë rreth një prizmi, në bazën e së cilës është një trapez? (Së pari, prizmi duhet të jetë i drejtë, dhe së dyti, trapezi duhet të jetë dykëndor në mënyrë që të mund të përshkruhet një rreth rreth tij)

8. Çfarë kushtesh duhet të plotësojë një prizëm që të përshkruhet një sferë rreth tij? (Prizmi duhet të jetë i drejtë dhe baza e tij duhet të jetë një shumëkëndësh rreth të cilit mund të përshkruhet një rreth)

9. Një sferë përshkruhet rreth një prizmi trekëndor, qendra e të cilit shtrihet jashtë prizmit. Cili trekëndësh është baza e prizmit? (Trekëndësh i trashë)

10. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një prizmi të pjerrët? (Jo, nuk mundesh)

11. Në çfarë kushti do të vendoset qendra e një sfere të rrethuar rreth një prizmi trekëndor të drejtë në njërën nga faqet anësore të prizmit? (Baza është një trekëndësh kënddrejtë)

12. Baza e piramidës është një trapezoid izoscelular. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një trapezi të tillë? (Po, mundeni. Fakti që projeksioni ortogonal i majës së piramidës ndodhet jashtë bazës së saj nuk ka rëndësi. Është e rëndësishme që në bazën e piramidës të shtrihet një trapezoid dykëndor - një shumëkëndësh rreth të cilit mund të jetë një rreth. përshkruar)

13. Një sferë përshkruhet pranë një piramide të rregullt. Si ndodhet qendra e saj në raport me elementët e piramidës? (Qendra e sferës është në një pingul të tërhequr në rrafshin e bazës përmes qendrës së saj)

14. Në çfarë gjendje qëndron qendra e një sfere të përshkruar rreth një prizmi trekëndor kënddrejtë: a) brenda prizmit; b) jashtë prizmit? (Në bazën e prizmit: a) një trekëndësh i mprehtë; b) trekëndëshi i mpirë)

15. Një sferë përshkruhet rreth një paralelipipedi drejtkëndor, skajet e të cilit janë 1 dm, 2 dm dhe 2 dm. Llogaritni rrezen e sferës. (1,5 dm)

16. Në cilin kon të cunguar mund të futet një sferë? (Në një kon të cunguar, në pjesën boshtore të të cilit mund të futet një rreth. Seksioni boshtor i konit është një trapez izoscelular, shuma e bazave të tij duhet të jetë e barabartë me shumën e anëve të tij anësore. Me fjalë të tjera, shuma e rrezeve të bazave të konit duhet të jetë e barabartë me gjeneratorin)

17. Një sferë është e gdhendur në një kon të cunguar. Në çfarë këndi është e dukshme gjenerata e konit nga qendra e sferës? (90 gradë)

18. Çfarë vetie duhet të ketë një prizëm i drejtë që të futet në të një sferë? (Së pari, në bazën e një prizmi të drejtë duhet të ketë një shumëkëndësh në të cilin mund të futet një rreth dhe, së dyti, lartësia e prizmit duhet të jetë e barabartë me diametrin e rrethit të gdhendur në bazë)

19. Jepni një shembull të një piramide që nuk mund të përshtatet me një sferë? (Për shembull, një piramidë katërkëndore me një drejtkëndësh ose paralelogram në bazën e saj)

20. Në bazën e një prizmi të drejtë ndodhet një romb. A është e mundur të futet një sferë në këtë prizëm? (Jo, është e pamundur, pasi në përgjithësi është e pamundur të përshkruash një rreth rreth një rombi)

21. Në çfarë kushti një sferë mund të futet në një prizëm trekëndësh të drejtë? (Nëse lartësia e prizmit është dyfishi i rrezes së rrethit të gdhendur në bazë)

22. Në çfarë kushti mund të futet një sferë në një piramidë të rregullt katërkëndore të cunguar? (Nëse seksioni kryq i një piramide të caktuar është një rrafsh që kalon nga mesi i anës së bazës pingul me të, ai është një trapez izoscelular në të cilin mund të brendashkruhet një rreth)

23. Një sferë është e gdhendur në një piramidë të cunguar trekëndore. Cila pikë e piramidës është qendra e sferës? (Qendra e sferës së gdhendur në këtë piramidë është në kryqëzimin e tre rrafsheve dysektrale të këndeve të formuara nga faqet anësore të piramidës me bazën)

24. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një cilindri (rrethor djathtas)? (Po, mundesh)

25. A është e mundur të përshkruhet një sferë rreth një koni, një kon i cunguar (rrethor i drejtë)? (Po, mundeni, në të dyja rastet)

26. A mund të futet një sferë në ndonjë cilindër? Çfarë veti duhet të ketë një cilindër që të vendosë një sferë në të? (Jo, jo çdo herë: pjesa boshtore e cilindrit duhet të jetë katror)

27. A mund të futet një sferë në ndonjë kon? Si të përcaktohet pozicioni i qendrës së një sfere të gdhendur në një kon? (Po, absolutisht. Qendra e sferës së brendashkruar është në kryqëzimin e lartësisë së konit dhe përgjysmuesit të këndit të prirjes së gjeneratrit në rrafshin e bazës)

Autori beson se nga tre mësimet e planifikimit me temën "Probleme të ndryshme në poliedra, cilindër, kon dhe top", këshillohet që dy mësime t'i kushtohen zgjidhjes së problemeve për kombinimin e një topi me trupa të tjerë. Nuk rekomandohet vërtetimi i teoremave të dhëna më sipër për shkak të kohës së pamjaftueshme në klasë. Ju mund t'i ftoni studentët që kanë aftësi të mjaftueshme për këtë për t'i provuar ato duke treguar (sipas gjykimit të mësuesit) kursin ose planin e provës.

Polyedra e rrethuar rreth një sfere Një shumëkëndësh thuhet se është i rrethuar rreth një sfere nëse rrafshet e të gjitha faqeve të tij prekin sferën. Thuhet se vetë sfera është e gdhendur në poliedrin. Teorema. Një sferë mund të futet në një prizëm nëse dhe vetëm nëse një rreth mund të brendashkruhet në bazën e tij, dhe lartësia e prizmit është e barabartë me diametrin e këtij rrethi. Teorema. Ju mund të vendosni një sferë në çdo piramidë trekëndore, dhe vetëm një.

Ushtrimi 1 Fshini katrorin dhe vizatoni dy paralelogramë që përfaqësojnë faqet e sipërme dhe të poshtme të kubit. Lidhni kulmet e tyre me segmente. Merrni një imazh të një sfere të gdhendur në një kub. Vizatoni një sferë të gdhendur në një kub, si në rrëshqitjen e mëparshme. Për ta bërë këtë, vizatoni një elips të gdhendur në një paralelogram të marrë duke ngjeshur një rreth dhe një katror me 4 herë. Shënoni polet e sferës dhe pikat tangjente të elipsit dhe paralelogramit.

Ushtrimi 1 Një sferë është brendashkruar në një prizëm të drejtë katërkëndësh, në bazën e së cilës është një romb me brinjë 1 dhe një kënd të mprehtë 60 gradë. Gjeni rrezen e sferës dhe lartësinë e prizmit. Zgjidhje. Rrezja e sferës është e barabartë me gjysmën e lartësisë së bazës DG, d.m.th. Lartësia e prizmit është e barabartë me diametrin e sferës, d.m.th.

Ushtrimi 4 Një sferë është brendashkruar në një prizëm të drejtë katërkëndësh, në bazën e së cilës është një katërkëndësh, perimetri 4 dhe zona 2. Gjeni rrezen r të sferës së brendashkruar. Zgjidhje. Vini re se rrezja e sferës është e barabartë me rrezen e rrethit të gdhendur në bazën e prizmit. Le të përfitojmë nga fakti se rrezja e një rrethi të gdhendur në një shumëkëndësh është e barabartë me sipërfaqen e këtij shumëkëndëshi të ndarë me gjysmëperimetrin e tij. marrim,

Ushtrimi 3 Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një piramidë të rregullt trekëndore, brinja e bazës është 2 dhe këndet dyhedrale në bazë janë 60°. Zgjidhje. Le të përfitojmë nga fakti se qendra e sferës së brendashkruar është pika e kryqëzimit të rrafsheve përgjysmuese të këndeve dihedrale në bazën e piramidës. Për rrezen e sferës OE vlen barazia e mëposhtme: Prandaj,

Ushtrimi 4 Gjeni rrezen e një sfere të gdhendur në një piramidë të rregullt trekëndore, skajet anësore të së cilës janë të barabarta me 1 dhe këndet e rrafshët në kulm janë të barabartë me 90°. Përgjigje: Zgjidhje. Në tetraedrin SABC kemi: SD = DE = SE = Nga ngjashmëria e trekëndëshave SOF dhe SDE fitojmë një ekuacion duke zgjidhur të cilin gjejmë

Ushtrimi 1 Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një piramidë të rregullt katërkëndëshe, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1. Le të përdorim faktin që për rrezen r të një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh, vlen formula: r = S/ p, ku S është sipërfaqja, p është gjysmëperimetri i trekëndëshit. Në rastin tonë, S = p = Zgjidhje. Rrezja e sferës është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar në trekëndëshin SEF, në të cilin SE = SF = EF=1, SG = Prandaj,

Ushtrimi 2 Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një piramidë të rregullt katërkëndëshe, brinja bazë e së cilës është 1 dhe buza anësore 2. Le të përdorim faktin që për rrezen r të një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh, formula vlen: r = S/p, ku S – zona, p – gjysmëperimetri i trekëndëshit. Në rastin tonë, S = p = Zgjidhje. Rrezja e sferës është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar në trekëndëshin SEF, në të cilin SE = SF = EF=1, SG = Prandaj,

Ushtrimi 3 Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një piramidë të rregullt katërkëndore, brinja e bazës është 2 dhe këndet dykëndore në bazë janë 60°. Zgjidhje. Le të përfitojmë nga fakti se qendra e sferës së brendashkruar është pika e kryqëzimit të rrafsheve përgjysmuese të këndeve dihedrale në bazën e piramidës. Për rrezen e sferës OG, barazia e mëposhtme vlen:

Ushtrimi 4 Sfera njësi është e brendashkruar në një piramidë të rregullt katërkëndore, brinja e bazës është 4. Gjeni lartësinë e piramidës. Le të përdorim faktin se për rrezen r të një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh, vlen formula: r = S/p, ku S është sipërfaqja, p është gjysmëperimetri i trekëndëshit. Në rastin tonë, S = 2h, p = Zgjidhje. Le ta shënojmë lartësinë SG të piramidës si h. Rrezja e sferës është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar në trekëndëshin SEF, në të cilin SE = SF = EF=4. Për rrjedhojë, ne kemi një barazi nga e cila gjejmë

Ushtrimi 1 Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, skajet bazë të së cilës janë të barabarta me 1 dhe skajet anësore janë të barabarta me 2. Le të përdorim faktin se për rrezen r të një rrethi të brendashkruar në një trekëndësh, vlen formula: r = S/p, ku S – zona, p – gjysmëperimetri i trekëndëshit. Në rastin tonë, S = p = Prandaj, Zgjidhja. Rrezja e sferës është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar në trekëndëshin SPQ, në të cilin SP = SQ = PQ = SH =

Ushtrimi 2 Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, skajet e bazës së së cilës janë të barabarta me 1 dhe këndet dihedrale në bazë janë të barabarta me 60°. Zgjidhje. Le të përfitojmë nga fakti se qendra e sferës së brendashkruar është pika e kryqëzimit të rrafsheve përgjysmuese të këndeve dihedrale në bazën e piramidës. Për rrezen e sferës OH, barazia vlen: Prandaj,
Ushtrim Gjeni rrezen e një sfere të brendashkruar në një tetëkëndësh njësi. Përgjigje: Zgjidhje. Rrezja e sferës është e barabartë me rrezen e rrethit të brendashkruar në romb SESF, në të cilin SE = SF = EF=1, SO = Atëherë lartësia e rombit, e ulur nga kulmi E, do të jetë e barabartë me rrezja është e barabartë me gjysmën e lartësisë dhe është e barabartë me O

Ushtrim Gjeni rrezen e një sfere të gdhendur në një ikozaedron njësi. Zgjidhje. Le të përdorim faktin që rrezja OA e sferës së rrethuar është e barabartë me dhe rrezja AQ e rrethit të rrethuar rreth një trekëndëshi barabrinjës me brinjën 1 është e barabartë me duke përdorur teoremën e Pitagorës të aplikuar në trekëndëshin kënddrejtë OAQ, ne marrim ushtrimin Gjeni. rrezja e sferës së brendashkruar në njësinë dodekahedron. Zgjidhje. Le të përfitojmë nga fakti se rrezja e sferës së rrethuar është e barabartë me dhe rrezja FQ e rrethit të rrethuar rreth një pesëkëndëshi barabrinjës me brinjën 1 është e barabartë me Teorema e Pitagorës e aplikuar në trekëndëshin kënddrejtë OFQ

Ushtrimi 1 A është e mundur të vendoset një sferë në një katërkëndësh të cunguar? Zgjidhje. Vini re se qendra O e një sfere të gdhendur në një katërkëndor të cunguar duhet të përkojë me qendrën e një sfere të gdhendur në një katërkëndësh, e cila përkon me qendrën e një sfere gjysmë të gdhendur në një katërkëndor të cunguar. Distancat d 1, d 2 nga pika O në faqet gjashtëkëndore dhe trekëndore llogariten duke përdorur teoremën e Pitagorës: ku R është rrezja e një sfere gjysmë të brendashkruar, r 1, r 2 janë rrezet e rrathëve të gdhendur në një gjashtëkëndësh dhe trekëndësh, përkatësisht. Meqenëse r 1 > r 2, atëherë d 1 r 2, pastaj d 1