Metodat për gjetjen e nok. Nod dhe nok i numrave - pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave

Por shumë numra natyrorë janë gjithashtu të pjesëtueshëm me numra të tjerë natyrorë.

Për shembull:

Numri 12 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12;

Numri 36 pjesëtohet me 1, me 2, me 3, me 4, me 6, me 12, me 18, me 36.

Numrat me të cilët numri pjesëtohet me një të tërë (për 12 këto janë 1, 2, 3, 4, 6 dhe 12) quhen pjesëtuesit e numrave. Pjesëtues i një numri natyror a- kjo është ajo që është numri natyror, e cila ndan numri i dhënë a pa lënë gjurmë. Një numër natyror që ka më shumë se dy pjesëtues quhet të përbëra .

Ju lutemi vini re se numrat 12 dhe 36 kanë faktorë të përbashkët. Këta numra janë: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pjesëtuesi më i madh i këtyre numrave është 12. Pjesëtuesi i përbashkët i këtyre dy numrave a Dhe b- ky është numri me të cilin të dy numrat e dhënë ndahen pa mbetje a Dhe b.

Shumëfisha të përbashkët disa numra është një numër që pjesëtohet me secilin prej këtyre numrave. Për shembull, numrat 9, 18 dhe 45 kanë një shumëfish të përbashkët të 180. Por 90 dhe 360 ​​janë gjithashtu shumëfishat e tyre të përbashkët. Midis të gjithë shumëfishave të përbashkët ka gjithmonë një më të vogël, in në këtë rast ky është 90. Ky numër quhet më i voglishumëfish i përbashkët (CMM).

LCM është gjithmonë një numër natyror që duhet të jetë më i madh se më i madhi i numrave për të cilët është përcaktuar.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM). Vetitë.

Komutativiteti:

Asociacioni:

Në veçanti, nëse dhe janë numra të dyfishtë, atëherë:

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave të plotë m Dhe nështë pjesëtues i të gjithë shumëfishave të tjerë të përbashkët m Dhe n. Për më tepër, grupi i shumëfishave të përbashkët m, n përkon me grupin e shumëfishave për LCM( m, n).

Asimptotika për mund të shprehet në terma të disa funksioneve teorike të numrave.

Kështu që, Funksioni i Chebyshev. Dhe:

Kjo rrjedh nga përkufizimi dhe vetitë e funksionit Landau g(n).

Çfarë rrjedh nga ligji i shpërndarjes numrat e thjeshtë.

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM).

NOC( a, b) mund të llogaritet në disa mënyra:

1. Nëse dihet pjesëtuesi më i madh i përbashkët, mund të përdorni lidhjen e tij me LCM:

2. Le të dihet zgjerim kanonik të dy numrat në faktorët kryesorë:

Ku p 1 ,...,p k- numra të thjeshtë të ndryshëm dhe d 1 ,...,d k Dhe e 1 ,...,e k- numra të plotë jo negativë (ato mund të jenë zero nëse numri i thjeshtë përkatës nuk është në zgjerim).

Pastaj NOC ( a,b) llogaritet me formulën:

Me fjalë të tjera, zbërthimi LCM përmban të gjithë faktorët kryesorë të përfshirë në të paktën një nga zbërthimet e numrave a, b, dhe merret më i madhi nga dy eksponentët e këtij shumëzuesi.

Shembull:

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të disa numrave mund të reduktohet në disa llogaritje sekuenciale të LCM të dy numrave:

Rregulli. Për të gjetur LCM-në e një serie numrash, ju nevojiten:

- të zbërthejë numrat në faktorë të thjeshtë;

- transferimi i zgjerimit më të madh (produkti i faktorëve të produktit të dëshiruar) në faktorët e produktit të dëshiruar numer i madh nga ato të dhëna), dhe më pas shtoni faktorë nga zgjerimi i numrave të tjerë që nuk figurojnë në numrin e parë ose shfaqen në të më pak herë;

- produkti që rezulton faktorët kryesorë do të jetë LCM e numrave të dhënë.

Çdo dy ose më shumë numra natyrorë kanë LCM-në e tyre. Nëse numrat nuk janë shumëfish të njëri-tjetrit ose nuk kanë faktorë të njëjtë në zgjerim, atëherë LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e këtyre numrave.

Faktorët kryesorë të numrit 28 (2, 2, 7) plotësohen me një faktor 3 (numri 21), produkti që rezulton (84) do të jetë numri më i vogël që pjesëtohet me 21 dhe 28.

Faktorët kryesorë të numrit më të madh 30 plotësohen me faktorin 5 të numrit 25, produkti që rezulton 150 është më i madh se numri më i madh 30 dhe është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë pa lënë gjurmë. Kjo më pak produkt të mundshme (150, 250, 300...), të cilave të gjithë numrat e dhënë janë shumëfish.

Numrat 2,3,11,37 janë numra të thjeshtë, kështu që LCM e tyre është e barabartë me prodhimin e numrave të dhënë.

Rregulli. Për të llogaritur LCM-në e numrave të thjeshtë, duhet të shumëzoni të gjithë këta numra së bashku.

Një tjetër opsion:

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët (LCM) të disa numrave ju nevojiten:

1) përfaqësoni çdo numër si produkt i faktorëve të tij të thjeshtë, për shembull:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) shkruani fuqitë e të gjithë faktorëve kryesorë:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) shkruani të gjithë pjesëtuesit (shumëzuesit) e thjeshtë të secilit prej këtyre numrave;

4) zgjidhni shkallën më të madhe të secilit prej tyre, që gjendet në të gjitha zgjerimet e këtyre numrave;

5) shumëzojini këto fuqi.

Shembull. Gjeni LCM-në e numrave: 168, 180 dhe 3024.

Zgjidhje. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Ne shkruajmë gradat më të mëdha të gjithë pjesëtuesit e thjeshtë dhe shumëzojini ata:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Le të vazhdojmë bisedën për shumëfishin më të vogël të përbashkët, të cilin e filluam në seksionin "LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj". Në këtë temë do të shqyrtojmë mënyrat për të gjetur LCM për tre ose më shumë numra dhe do të shqyrtojmë pyetjen se si të gjejmë LCM të një numri negativ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD

Ne kemi vendosur tashmë marrëdhënien midis shumëfishit më të vogël të përbashkët dhe pjesëtuesit më të madh të përbashkët. Tani le të mësojmë se si të përcaktojmë LCM përmes GCD. Së pari, le të kuptojmë se si ta bëjmë këtë për numrat pozitivë.

Përkufizimi 1

Mund të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët duke përdorur formulën LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Shembulli 1

Duhet të gjeni LCM-në e numrave 126 dhe 70.

Zgjidhje

Le të marrim a = 126, b = 70. Le t'i zëvendësojmë vlerat në formulën për llogaritjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët përmes pjesëtuesit më të madh të përbashkët LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Gjen gcd-në e numrave 70 dhe 126. Për këtë na duhet algoritmi Euklidian: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, pra GCD (126 , 70) = 14 .

Le të llogarisim LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Përgjigje: LCM(126, 70) = 630.

Shembulli 2

Gjeni numrin 68 dhe 34.

Zgjidhje

GCD në këtë rast nuk është e vështirë për t'u gjetur, pasi 68 është i pjesëtueshëm me 34. Le të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët duke përdorur formulën: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Përgjigje: LCM(68, 34) = 68.

Në këtë shembull, kemi përdorur rregullin për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave të plotë pozitiv a dhe b: nëse numri i parë është i pjesëtueshëm me të dytin, LCM e atyre numrave do të jetë e barabartë me numrin e parë.

Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë

Tani le të shohim një metodë për gjetjen e LCM, e cila bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë.

Përkufizimi 2

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të kryejmë një numër hapash të thjeshtë:

• ne hartojmë prodhimin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të numrave për të cilët duhet të gjejmë LCM;
• ne përjashtojmë të gjithë faktorët kryesorë nga produktet e tyre që rezultojnë;
• produkti i përftuar pas eliminimit të faktorëve të thjeshtë të zakonshëm do të jetë i barabartë me LCM të numrave të dhënë.

Kjo metodë e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët bazohet në barazinë LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Nëse shikoni formulën, do të bëhet e qartë: prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve që marrin pjesë në zbërthimin e këtyre dy numrave. Në këtë rast, gcd e dy numrave e barabartë me produktin të gjithë faktorët e thjeshtë që janë njëkohësisht të pranishëm në faktorizimet e dy numrave të dhënë.

Shembulli 3

Kemi dy numra 75 dhe 210. Ne mund t'i faktorizojmë ato në mënyrën e mëposhtme: 75 = 3 5 5 Dhe 210 = 2 3 5 7. Nëse kompozoni produktin e të gjithë faktorëve të dy numrave origjinalë, ju merrni: 2 3 3 5 5 5 7.

Nëse përjashtojmë faktorët 3 dhe 5 të përbashkët për të dy numrat, marrim produktin llojin e mëposhtëm: 2 3 5 5 7 = 1050. Ky produkt do të jetë LCM-ja jonë për numrat 75 dhe 210.

Shembulli 4

Gjeni LCM-në e numrave 441 Dhe 700 , duke faktorizuar të dy numrat në faktorë të thjeshtë.

Zgjidhje

Le të gjejmë të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë në kusht:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Marrim dy zinxhirë numrash: 441 = 3 3 7 7 dhe 700 = 2 2 5 5 7.

Produkti i të gjithë faktorëve që morën pjesë në zbërthimin e këtyre numrave do të ketë formën: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Ne do të gjejmë faktorë të përbashkët. Ky është numri 7. Le ta përjashtojmë atë nga produkti total: 2 2 3 3 5 5 7 7. Rezulton se NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Përgjigje: LOC(441, 700) = 44,100.

Le të japim një formulim tjetër të metodës për gjetjen e LCM duke zbërthyer numrat në faktorë të thjeshtë.

Përkufizimi 3

Më parë, ne përjashtuam nga numri i përgjithshëm i faktorëve të përbashkët për të dy numrat. Tani do ta bëjmë ndryshe:

• Le të faktorizojmë të dy numrat në faktorë të thjeshtë:
• shtoj në prodhimin e faktorëve të thjeshtë të numrit të parë faktorët që mungojnë të numrit të dytë;
• marrim produktin, i cili do të jetë LCM e dëshiruar e dy numrave.

Shembulli 5

Le të kthehemi te numrat 75 dhe 210, për të cilët kemi kërkuar tashmë LCM në një nga shembujt e mëparshëm. Le t'i ndajmë ato në faktorë të thjeshtë: 75 = 3 5 5 Dhe 210 = 2 3 5 7. Në produktin e faktorëve 3, 5 dhe 5 numrat 75 shtojnë faktorët që mungojnë 2 Dhe 7 numrat 210. Ne marrim: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Kjo është LCM e numrave 75 dhe 210.

Shembulli 6

Është e nevojshme të llogaritet LCM e numrave 84 dhe 648.

Zgjidhje

Le të faktorizojmë numrat nga kushti në faktorë të thjeshtë: 84 = 2 2 3 7 Dhe 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Le t'i shtojmë produktit faktorët 2, 2, 3 dhe 7 numrat 84 faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe
3 numrat 648. Ne marrim produktin 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Ky është shumëfishi më i vogël i zakonshëm i 84 dhe 648.

Përgjigje: LCM(84, 648) = 4,536.

Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave

Pavarësisht se me sa numra kemi të bëjmë, algoritmi i veprimeve tona do të jetë gjithmonë i njëjtë: ne do të gjejmë në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Ekziston një teoremë për këtë rast.

Teorema 1

Le të supozojmë se kemi numra të plotë a 1, a 2, …, a k. NOC m k këta numra gjenden duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Tani le të shohim se si mund të zbatohet teorema për të zgjidhur probleme specifike.

Shembulli 7

Ju duhet të llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët të katër numrave 140, 9, 54 dhe 250 .

Zgjidhje

Le të prezantojmë shënimin: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Le të fillojmë duke llogaritur m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Le të zbatojmë algoritmin Euklidian për të llogaritur GCD-në e numrave 140 dhe 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Ne marrim: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Prandaj, m 2 = 1,260.

Tani le të llogarisim duke përdorur të njëjtin algoritëm m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Gjatë llogaritjeve marrim m 3 = 3 780.

Thjesht duhet të llogarisim m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Ne ndjekim të njëjtin algoritëm. Ne marrim m 4 = 94 500.

LCM e katër numrave nga kushti i shembullit është 94500.

Përgjigje: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Siç mund ta shihni, llogaritjet janë të thjeshta, por mjaft intensive. Për të kursyer kohë, mund të shkoni në një mënyrë tjetër.

Përkufizimi 4

Ne ju ofrojmë algoritmin e mëposhtëm të veprimeve:

• ne i zbërthejmë të gjithë numrat në faktorë të thjeshtë;
• prodhimit të faktorëve të numrit të parë i shtojmë faktorët që mungojnë nga prodhimi i numrit të dytë;
• ndaj asaj që u mor në fazën e mëparshme prodhimit i shtojmë faktorët që mungojnë të numrit të tretë etj.;
• produkti që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i përbashkët i të gjithë numrave nga kushti.

Shembulli 8

Ju duhet të gjeni LCM-në e pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.

Zgjidhje

Le të faktorizojmë të pesë numrat në faktorë të thjeshtë: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Numrat e thjeshtë, që është numri 7, nuk mund të faktorizohen në faktorë të thjeshtë. Numra të tillë përkojnë me zbërthimin e tyre në faktorë të thjeshtë.

Tani le të marrim prodhimin e faktorëve të thjeshtë 2, 2, 3 dhe 7 të numrit 84 dhe t'u shtojmë atyre faktorët që mungojnë të numrit të dytë. Ne e zbërthejmë numrin 6 në 2 dhe 3. Këta faktorë janë tashmë në produktin e numrit të parë. Prandaj, ne i anashkalojmë ato.

Vazhdojmë të shtojmë shumëzuesit që mungojnë. Le të kalojmë te numri 48, nga prodhimi i faktorëve kryesorë të të cilit marrim 2 dhe 2. Pastaj shtojmë faktorin e thjeshtë 7 nga numri i katërt dhe faktorët 11 dhe 13 të të pestit. Ne marrim: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ky është shumëfishi më i vogël i përbashkët i pesë numrave origjinalë.

Përgjigje: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët të numrave negativë

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave negativë, këta numra duhet së pari të zëvendësohen me numra me shenjë e kundërt, dhe më pas kryeni llogaritjet duke përdorur algoritmet e mësipërme.

Shembulli 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) dhe LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Veprimet e tilla janë të lejuara për faktin se nëse e pranojmë atë a Dhe − a- numra të kundërt,
atëherë bashkësia e shumëfishave të një numri a përputhet me bashkësinë e shumëfishave të një numri − a.

Shembulli 10

Është e nevojshme të llogaritet LCM e numrave negativë − 145 Dhe − 45 .

Zgjidhje

Le të zëvendësojmë numrat − 145 Dhe − 45 me numrat e tyre të kundërt 145 Dhe 45 . Tani, duke përdorur algoritmin, ne llogarisim LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, pasi kemi përcaktuar më parë GCD duke përdorur algoritmin Euklidian.

Marrim se LCM e numrave është − 145 dhe − 45 barazohet 1 305 .

Përgjigje: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i një grupi numrash është numri më i vogël, e cila është e pjesëtueshme pa mbetje me secilin numër në grup. Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të gjeni faktorët kryesorë të numrave të dhënë. LCM gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur një numër metodash të tjera që zbatohen për grupet me dy ose më shumë numra.

Hapat

Seri shumëfishësh

Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i vogël se 10. Nëse jepet numra të mëdhenj, përdorni një metodë tjetër.

• Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5 dhe 8. Këta janë numra të vegjël, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

1. Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishat mund të gjenden në tabelën e shumëzimit.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 5-ës janë: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Shkruani një seri numrash që janë shumëfish të numrit të parë. Bëni këtë nën shumëfishat e numrit të parë për të krahasuar dy grupe numrash.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 8-ës janë: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 dhe 64.

3. Gjeni numrin më të vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave. Mund t'ju duhet të shkruani seri të gjata shumëfishash për të gjetur numri total. Numri më i vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave është shumëfishi më pak i zakonshëm.

   • Për shembull, numri më i vogël që shfaqet në serinë e shumëfishave të 5 dhe 8 është numri 40. Prandaj, 40 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i 5 dhe 8.

   Faktorizimi kryesor

   1. Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i madh se 10. Nëse jepen numra më të vegjël, përdorni një metodë tjetër.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 20 dhe 84. Secili nga numrat është më i madh se 10, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

   2. Faktoroni numrin e parë në faktorët kryesorë. Kjo do të thotë, ju duhet të gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin një numër të caktuar. Pasi të keni gjetur faktorët kryesorë, shkruajini si barazi.

      • Për shembull, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 10=20) Dhe 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë (\mathbf (5) )=10). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 20 janë numrat 2, 2 dhe 5. Shkruajini si shprehje: .

   3. Faktoroni numrin e dytë në faktorët kryesorë. Bëjeni këtë në të njëjtën mënyrë si faktorizuat numrin e parë, d.m.th. gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin numrin e dhënë.

      • Për shembull, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\herë 6=42) Dhe 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\herë (\mathbf (2) )=6). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 84 janë numrat 2, 7, 3 dhe 2. Shkruajini si shprehje: .

   4. Shkruani faktorët e përbashkët për të dy numrat. Shkruani faktorë të tillë si një veprim shumëzimi. Ndërsa shkruani secilin faktor, kryqëzojeni atë në të dy shprehjet (shprehje që përshkruajnë faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

      • Për shembull, të dy numrat kanë një faktor të përbashkët prej 2, kështu që shkruani 2 × (\shfaqja e stilit 2\herë) dhe kaloni 2 në të dyja shprehjet.
      • Ajo që të dy numrat kanë të përbashkët është një faktor tjetër prej 2, kështu që shkruani 2 × 2 (\stil ekrani 2\herë 2) dhe shënoni 2 të dytën në të dyja shprehjet.

   5. Shtoni faktorët e mbetur në veprimin e shumëzimit. Këta janë faktorë që nuk janë të kryqëzuar në të dyja shprehjet, domethënë faktorë që nuk janë të përbashkët për të dy numrat.

      • Për shembull, në shprehje 20 = 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 20=2\herë 2\herë 5) Të dy dy (2) janë të kryqëzuara sepse janë faktorë të përbashkët. Faktori 5 nuk është tejkaluar, kështu që shkruajeni operacionin e shumëzimit si kjo: 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5)
      • Në shprehje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\herë 7\herë 3\herë 2) të dyja dyshe (2) janë gjithashtu të kryqëzuara. Faktorët 7 dhe 3 nuk janë të kryqëzuar, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit kështu: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3).

   6. Llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët. Për ta bërë këtë, shumëzoni numrat në operacionin e shkrimit të shumëzimit.

      • Për shembull, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3=420). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 20 dhe 84 është 420.

   Gjetja e faktorëve të përbashkët

   1. Vizatoni një rrjet si për një lojë tik-tac-toe. Një rrjet i tillë përbëhet nga dy drejtëza paralele që kryqëzohen (në kënd të drejtë) me dy vija të tjera paralele. Kjo do t'ju japë tre rreshta dhe tre kolona (rrjeti duket shumë si ikona #). Shkruani numrin e parë në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë. Shkruani numrin e dytë në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 18 dhe 30. Shkruani numrin 18 në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë dhe shkruani numrin 30 në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

   2. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy numrat. Shkruajeni atë në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Është më mirë të kërkosh për faktorët kryesorë, por kjo nuk është një kërkesë.

      • Për shembull, 18 dhe 30 janë numra çift, pra faktori i përbashkët i tyre do të jetë 2. Pra shkruaj 2 në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë.

   3. Pjesëtoni çdo numër me pjesëtuesin e parë. Shkruani çdo herës nën numrin përkatës. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave.

      • Për shembull, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kështu që shkruani 9 nën 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kështu që shkruani 15 nën 30.

   4. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy herësit. Nëse nuk ka një pjesëtues të tillë, kaloni dy hapat e ardhshëm. NË ndryshe shkruani pjesëtuesin në rreshtin e dytë dhe në kolonën e parë.

      • Për shembull, 9 dhe 15 pjesëtohen me 3, kështu që shkruani 3 në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë.

   5. Pjestoni çdo herës me pjesëtuesin e dytë. Shkruani çdo rezultat të pjesëtimit nën herësin përkatës.

      • Për shembull, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kështu që shkruani 3 nën 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kështu që shkruani 5 nën 15.

   6. Nëse është e nevojshme, shtoni qeliza shtesë në rrjet. Përsëritni hapat e përshkruar derisa herësorët të kenë një pjesëtues të përbashkët.

   7. Rrethoni numrat në kolonën e parë dhe në rreshtin e fundit të rrjetit. Më pas shkruajini numrat e zgjedhur si një veprim shumëzimi.

      • Për shembull, numrat 2 dhe 3 janë në kolonën e parë, dhe numrat 3 dhe 5 janë në rreshtin e fundit, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit si kjo: 2 × 3 × 3 × 5 (\stil ekrani 2\herë 3\herë 3\herë 5).

   8. Gjeni rezultatin e shumëzimit të numrave. Kjo do të llogarisë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të dhënë.

      • Për shembull, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\stil ekrani 2\herë 3\herë 3\herë 5=90). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 18 dhe 30 është 90.

   Algoritmi i Euklidit

   1. Mos harroni terminologjinë e lidhur me operacionin e ndarjes. Dividenti është numri që po ndahet. Pjesëtuesi është numri me të cilin pjesëtohet. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave. Një mbetje është numri i mbetur kur ndahen dy numra.

      • Për shembull, në shprehje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 është dividenti
        6 është një pjesëtues
        2 është herësi
        3 është pjesa e mbetur.

Le të shqyrtojmë zgjidhjen e problemit të mëposhtëm. Hapi i djalit është 75 cm, dhe hapi i vajzës është 60 cm. Është e nevojshme të gjesh distancën më të vogël në të cilën ata të dy bëjnë një numër të plotë hapash.

Zgjidhje. E gjithë rruga nëpër të cilën do të kalojnë djemtë duhet të jetë e pjestueshme me 60 dhe 70, pasi secili duhet të marrë një numër të plotë hapash. Me fjalë të tjera, përgjigja duhet të jetë një shumëfish i 75 dhe 60.

Së pari, do të shkruajmë të gjitha shumëfishat e numrit 75. Marrim:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Tani le të shkruajmë numrat që do të jenë shumëfish të 60. Marrim:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Tani gjejmë numrat që janë në të dy rreshtat.

• Shumëfishat e zakonshëm të numrave do të ishin 300, 600, etj.

Më i vogli prej tyre është numri 300. Në këtë rast do të quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave 75 dhe 60.

Duke u kthyer në gjendjen e problemit, distanca më e vogël në të cilën djemtë do të bëjnë një numër të plotë hapash do të jetë 300 cm. Djali do ta mbulojë këtë rrugë në 4 hapa, dhe vajza do të duhet të bëjë 5 hapa.

Përcaktimi i shumëfishit më të vogël të përbashkët

• Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave natyrorë a dhe b është numri më i vogël natyror që është shumëfish i a dhe b.

Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave, nuk është e nevojshme të shënohen të gjitha shumëfishat e këtyre numrave me radhë.

Ju mund të përdorni metodën e mëposhtme.

Si të gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët

Së pari ju duhet t'i faktorizoni këta numra në faktorët kryesorë.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Tani le të shkruajmë të gjithë faktorët që janë në zgjerimin e numrit të parë (2,2,3,5) dhe t'i shtojmë të gjithë faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë (5).

Si rezultat, marrim një seri numrash të thjeshtë: 2,2,3,5,5. Prodhimi i këtyre numrave do të jetë faktori më pak i zakonshëm për këta numra. 2*2*3*5*5 = 300.

Skema e përgjithshme për gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët

• 1. Ndani numrat në faktorë të thjeshtë.
• 2. Shkruani faktorët kryesorë që bëjnë pjesë në njërin prej tyre.
• 3. Këtyre faktorëve shtojini të gjithë ata që janë në zgjerimin e të tjerëve, por jo në atë të përzgjedhurit.
• 4. Gjeni prodhimin e të gjithë faktorëve të shkruar.

Kjo metodë është universale. Mund të përdoret për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët të çdo numri numrash natyrorë.

Llogaritësi online ju lejon të gjeni shpejt pjesëtuesin më të madh të përbashkët dhe shumëfishin më të vogël të përbashkët për dy ose çdo numër tjetër numrash.

Llogaritësi për gjetjen e GCD dhe LCM

Gjeni GCD dhe LOC

Gjetur GCD dhe LOC: 5806

Si të përdorni kalkulatorin

• Futni numrat në fushën e hyrjes
• Nëse futni karaktere të pasakta, fusha e hyrjes do të theksohet me të kuqe
• klikoni butonin "Gjeni GCD dhe LCM".

Si të futni numra

• Numrat futen të ndarë me një hapësirë, pikë ose presje
• Gjatësia e numrave të futur nuk është e kufizuar, kështu që gjetja e GCD dhe LCM e numrave të gjatë nuk është e vështirë

Çfarë janë GCD dhe NOC?

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët disa numra është numri i plotë natyror më i madh me të cilin të gjithë numrat origjinal janë të pjesëtueshëm pa mbetje. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët është shkurtuar si GCD.
Shumëfishi më pak i zakonshëm disa numra është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin nga numrat origjinal pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i zakonshëm shkurtohet si NOC.

Si të kontrolloni nëse një numër pjesëtohet me një numër tjetër pa mbetje?

Për të zbuluar nëse një numër është i pjesëtueshëm me një tjetër pa mbetje, mund të përdorni disa veti të pjesëtueshmërisë së numrave. Më pas, duke i kombinuar, mund të kontrolloni pjesëtueshmërinë e disa prej tyre dhe kombinimet e tyre.

Disa shenja të pjesëtueshmërisë së numrave

1. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 2
Për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me dy (qoftë çift), mjafton të shikoni shifrën e fundit të këtij numri: nëse është e barabartë me 0, 2, 4, 6 ose 8, atëherë numri është çift, që do të thotë se pjesëtohet me 2.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 2.
Zgjidhja: Ne shikojmë shifrën e fundit: 8 - kjo do të thotë se numri është i pjesëtueshëm me dy.

2. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 3
Një numër pjesëtohet me 3 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me tre. Kështu, për të përcaktuar nëse një numër është i pjesëtueshëm me 3, duhet të llogarisni shumën e shifrave dhe të kontrolloni nëse është i pjesëtueshëm me 3. Edhe nëse shuma e shifrave është shumë e madhe, mund të përsërisni të njëjtin proces përsëri.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 3.
Zgjidhja: Numërojmë shumën e numrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 3, që do të thotë se numri pjesëtohet me tre.

3. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 5
Një numër pjesëtohet me 5 kur shifra e fundit e tij është zero ose pesë.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 5.
Zgjidhja: shikoni shifrën e fundit: 8 do të thotë se numri NUK ndahet me pesë.

4. Testi i pjesëtueshmërisë për një numër me 9
Kjo shenjë është shumë e ngjashme me shenjën e pjesëtueshmërisë me tre: një numër pjesëtohet me 9 kur shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.
Shembull: përcaktoni nëse numri 34938 është i pjesëtueshëm me 9.
Zgjidhja: Numërojmë shumën e numrave: 3+4+9+3+8 = 27. 27 pjesëtohet me 9, që do të thotë se numri pjesëtohet me nëntë.

Si të gjeni GCD dhe LCM të dy numrave

Si të gjeni gcd-në e dy numrave

Shumica në një mënyrë të thjeshtë Llogaritja e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave është të gjesh të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të këtyre numrave dhe të zgjedhësh më të madhin prej tyre.

Le ta shqyrtojmë këtë metodë duke përdorur shembullin e gjetjes së GCD(28, 36):

1. Ne faktorizojmë të dy numrat: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Gjejmë faktorë të përbashkët, pra ata që kanë të dy numrat: 1, 2 dhe 2.
3. Ne llogarisim produktin e këtyre faktorëve: 1 2 2 = 4 - ky është pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 28 dhe 36.

Si të gjeni LCM-në e dy numrave

Ekzistojnë dy mënyra më të zakonshme për të gjetur shumëfishin më të vogël të dy numrave. Metoda e parë është që ju mund të shkruani shumëfishat e parë të dy numrave dhe më pas të zgjidhni midis tyre një numër që do të jetë i përbashkët për të dy numrat dhe në të njëjtën kohë më i vogli. Dhe e dyta është të gjesh gcd-në e këtyre numrave. Le ta konsiderojmë vetëm atë.

Për të llogaritur LCM-në, duhet të llogaritni produktin e numrave origjinalë dhe më pas ta ndani atë me GCD-në e gjetur më parë. Le të gjejmë LCM për të njëjtët numra 28 dhe 36:

1. Gjeni prodhimin e numrave 28 dhe 36: 28·36 = 1008
2. GCD (28, 36), siç dihet tashmë, është e barabartë me 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Gjetja e GCD dhe LCM për disa numra

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët mund të gjendet për disa numra, jo vetëm për dy. Për ta bërë këtë, numrat që do të gjenden për pjesëtuesin më të madh të përbashkët zbërthehen në faktorë të thjeshtë, pastaj gjendet prodhimi i faktorëve të thjeshtë të përbashkët të këtyre numrave. Ju gjithashtu mund të përdorni lidhjen e mëposhtme për të gjetur gcd-në e disa numrave: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Një marrëdhënie e ngjashme vlen për shumëfishin më të vogël të përbashkët: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Shembull: gjeni GCD dhe LCM për numrat 12, 32 dhe 36.

1. Së pari, le të faktorizojmë numrat: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Le të gjejmë faktorët e përbashkët: 1, 2 dhe 2.
3. Produkti i tyre do të japë GCD: 1·2·2 = 4
4. Tani le të gjejmë LCM: për ta bërë këtë, së pari le të gjejmë LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Për të gjetur NOC-në e të gjithëve tre numra, ju duhet të gjeni GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3, GCD = 1·2·2·3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.