Ana e bazës së një prizmi të rregullt katërkëndor është abcda1b1c1d1. Seksion në një prizëm të rregullt katërkëndor

Ushtrimi.

Në një prizëm të rregullt katërkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, anët e bazës janë të barabarta me 3, dhe skajet anësore janë të barabarta me 4. Pika E është shënuar në skajin AA 1 në mënyrë që AE: EA 1 = 1: 3.

a) Ndërtoni drejtëzën e kryqëzimit të planeve ABC dhe BED 1.

b) Gjeni këndin midis planeve ABC dhe BED 1.

Zgjidhja:

a) Ndërtoni vijën e kryqëzimit të planeveABC dhekrevat 1.

Le të ndërtojmë aeroplanin BED 1. Pikat E dhe D 1 shtrihen në të njëjtin rrafsh, kështu që le të vizatojmë një vijë të drejtë ED 1.

Pikat E dhe B shtrihen në të njëjtin rrafsh, kështu që le të vizatojmë një vijë të drejtë EB. Meqenëse faqet e një prizmi të rregullt katërkëndor janë paralele, le të vizatojmë një drejtëz BF paralele me drejtëzën ED 1 në faqen BB 1 C 1 C. Pikat F dhe D 1 shtrihen në të njëjtin plan, kështu që le të vizatojmë një vijë të drejtë FD 1. Ne morëm avionin e kërkuar BED 1.

Meqenëse drejtëza ED 1 dhe drejtëza AD shtrihen në të njëjtin rrafsh ADD 1, ato kryqëzohen në pikën K, e cila shtrihet në rrafshin ABC. Pikat K dhe B shtrihen në rrafshet ABC dhe BED 1, prandaj, rrafshet ABC dhe BED 1 kryqëzohen përgjatë vijës së drejtë KB. Është ndërtuar vija e drejtë e kërkuar e kryqëzimit të planeve ABC dhe BED 1.

b) Gjeni këndin ndërmjet rrafsheveABC dhekrevat 1

Segmenti AE është pingul me rrafshin ABC nga pika E e ulim pingulën në drejtëzën KB; Pika H shtrihet në rrafshin ABC, atëherë AH është projeksioni i EH në rrafshin ABC. Një drejtëz pingul me EH të pjerrët kalon nëpër pikën H, pastaj, me teoremën e tre pingulave, segmenti AH është pingul me drejtëzën KB.

Këndi ∠EHA është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga rrafshet ABC dhe BED 1 . Këndi ∠EHA është këndi i dëshiruar ndërmjet planeve ABC dhe BED 1. Le të gjejmë vlerën e këtij këndi.

Konsideroni trekëndëshin kënddrejtë EHA (∠A = 90˚):

Sipas kushtit AE: EA 1 = 1: 3, pastaj AE: AA 1 = 1: 4.

Trekëndëshat AKE dhe A 1 D 1 E janë të ngjashëm, pra

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 – AE = 3

Konsideroni trekëndëshin kënddrejtë AKB (∠A = 90˚).

Në një prizëm të rregullt katërkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 anët e bazës janë të barabarta me 2, dhe skajet anësore janë të barabarta me 5. Pika E është shënuar në skajin AA 1 në mënyrë që AE: EA 1 = 3: 2 Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve ABC dhe BED 1 .

Zgjidhje. Lëreni drejtëzën D 1 E të presë drejtëzën AD në pikën K. Pastaj rrafshet ABC dhe BED 1 do të priten përgjatë drejtëzës KB.

Nga pika E e ulim pingulen EH në drejtëzën KB, atëherë segmenti AH (projeksioni EH) do të jetë pingul me drejtëzën KB (teorema e tre pingulave).

Këndi AHE është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga rrafshet ABC dhe BED 1 .

Meqenëse AE: EA 1 = 3: 2, marrim: .

Nga ngjashmëria e trekëndëshave A 1 D 1 E dhe AKE fitojmë: .

Në një trekëndësh kënddrejtë AKB me kënd të drejtë A: AB = 2, AK = 3, ; nga vjen lartësia?
.

Nga trekëndëshi kënddrejtë AHE me kënd të drejtë A fitojmë: dhe ∠ AHE = arctan(√13/2).

Përgjigje: arctan (√13/2).

Detyrat për zgjidhje të pavarur

1. Në një paralelipiped drejtkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. Gjeni këndin midis drejtëzës AB dhe rrafshit ABC 1.

2. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 të gjithë këndet janë të barabartë me 1. Gjeni distancën nga pika B në rrafshin DEA 1.

3. Në një paralelipiped drejtkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. Gjeni këndin midis drejtëzës AB 1 dhe rrafshit ABC 1.

Le të shqyrtojmë një problem tjetër stereometrik me dy pika nga CIM-të e trajnimit.

Detyrë.Në një prizëm të rregullt katërkëndor ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ana AB e bazës është e barabartë me 5, dhe buza anësore AA 1 është e barabartë me rrënjën katrore të pesë. Në brinjët e diellit dhe C 1 D 1 shënoi pikat K dhe L në përputhje me rrethanat, me SC = 2, dhe C 1 L = 1. Aeroplan gparalel me drejtëzën B D dhe përmban pikat K dhe L.

a) Vërtetoni se drejtëza A 1 C është pingul me rrafshing.

b) Gjeni vëllimin e një piramide, maja e së cilës është pika A 1, dhe baza është një pjesë e një prizmi të caktuar nga një rrafshg.

Zgjidhje.a) Të plotësojmë me kujdes vizatimin dhe të analizojmë të dhënat. Sepse ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - prizëm i rregullt katërkëndor, që do të thotë bazë ABCD – një katror me brinjë 5. Brinjët anësore janë pingul me bazat. Që nga avionigkalon nëpër pikën K dhe është paralel me drejtëzën B D , pastaj vija e kryqëzimit të rrafshitgdhe rrafshi ABC është paralel me drejtëzën B D (Nëse një plan tjetër vizatohet përmes një drejtëze paralele me një rrafsh të caktuar, atëherë vija e kryqëzimit të këtyre planeve do të jetë paralele me drejtëzën e dhënë.).

Nëpër pikën K vizatojmë një vijë paralele me B D tek kryqëzimi me CD në pikën M. Kjo do të thotë se CM është pingul me AC ( sepse diagonalet e një katrori BD dhe AC janë pingul ).

Trekëndëshat BCD dhe SCM janë të ngjashme (të dyja janë drejtkëndëshe dhe dykëndëshe), që do të thotë CM=KS=2. Duke përdorur teoremën e Pitagorës nga trekëndëshi SKM ne gjejmë se KM = 2√2, dhe nga trekëndëshi BCD BD =5 √2 . Diagonalet e një katrori janë të barabarta, që do të thotë AC = BD =5 √2 .

Tani, përmes pikës L vizatoni një vijë të drejtë paralele me B D tek kryqëzimi me B 1 C 1 në pikën T. Përgjatë segmentit T Aeroplani L KM L do të kryqëzojë bazën e sipërme ( Nëse dy plane paralele priten nga një rrafsh i tretë, atëherë vijat e kryqëzimit do të jenë paralele). Kështu që T C 1 = C 1 L =1. Nga trekëndëshi T LC 1 sipas teoremës së Pitagorës T L = √2.

Në një CT trapezoid isosceles L M pika H – mesi i bazës së sipërme, pika N - mesi i bazës së poshtme, që do të thotë H N – lartësia e trapezit, N N pingul me KM. Kjo do të thotë që CM është pingul me rrafshin AA 1 C, duke përfshirë drejtëzën A 1 C.

Konsideroni seksionin kryq diagonal të një prizmi drejtkëndor AA 1 C 1 C. Nga pika H ulim një pingul me AC. Pastaj N E=EC=N C 1 =0,5 √2. JO= C C 1 = √5.

Në trekëndëshat AA 1 C dhe N Këndi RS RSA – i përgjithshëm. Tangjentja e këndit AA 1 C është e barabartë me 5√2 : √5 = √10 Tangjenta e këndit Н N E nga trekëndëshi H N E është e barabartë me √5: 0,5 √2 = √10 . Pra, këndet AA 1 C dhe H N E janë të barabarta. Por pastaj këndet e mbetura A 1 AC = N RS=90 ⁰ . Kemi A 1 C pingul me drejtëzat H N dhe KM, që do të thotë A 1 C është pingul me rrafshin e trapezit KT L M. Që është ajo që duhej vërtetuar.

Për të gjetur vëllimin e piramidës A 1 CT L M, duhet të gjejmë zonën e CT trapezoid L M dhe lartësia A 1 R. Nga trekëndëshi H N E nga teorema e Pitagorës H N 2 =5.5. CT e zonës së trapezit L M është e barabartë me N N *(T L + KM)/2= √5,5 *(√2 + 2 √2)/2=1,5 √11.