Vetitë e numrave. Formulat për pabarazitë universale

Fusha e numrave real ka vetinë e renditjes (Seksioni 6, f. 35): për çdo numër a, b, një dhe vlen vetëm një nga tre marrëdhëniet: ose . Në këtë rast, hyrja a > b do të thotë se diferenca është pozitive dhe diferenca e hyrjes është negative. Ndryshe nga fusha e numrave realë, fusha numra komplekse jo i renditur: për numrat kompleks nuk përcaktohen konceptet "më shumë" dhe "më pak"; Prandaj, ky kapitull mbulon vetëm numra realë.

Marrëdhëniet i quajmë pabarazi, numrat a dhe b janë terma (ose pjesë) të pabarazisë, shenjat > (më e madhe se) dhe pabarazitë a > b dhe c > d quhen pabarazi të së njëjtës (ose një e të njëjtës) kuptimi; pabarazitë a > b dhe c Nga përkufizimi i pabarazisë rrjedh menjëherë se

1) çdo numër pozitiv më i madh se zero;

2) çdo një numër negativ më pak se zero;

3) çdo numër pozitiv është më i madh se çdo numër negativ;

4) prej dy numrave negativë, ai vlera absolute e të cilit është më i vogël është më i madh.

Të gjitha këto deklarata pranojnë një interpretim të thjeshtë gjeometrik. Le drejtim pozitiv boshti numerik shkon djathtas nga pikënisje; atëherë, pavarësisht nga shenjat e numrave, më i madhi prej tyre përfaqësohet nga një pikë që shtrihet në të djathtë të pikës që përfaqëson numrin më të vogël.

Pabarazitë kanë këto veti themelore.

1. Asimetria (pakthyeshmëria): nëse , atëherë , dhe anasjelltas.

Në të vërtetë, nëse ndryshimi është pozitiv, atëherë ndryshimi është negativ. Ata thonë se kur riorganizohen termat e një pabarazie, kuptimi i pabarazisë duhet të ndryshohet në të kundërtën.

2. Transitiviteti: nëse , atëherë . Në të vërtetë, nga pozitiviteti i dallimeve rrjedh se

Përveç shenjave të pabarazisë, përdoren edhe shenjat e pabarazisë në mënyrën e mëposhtme: shënimi do të thotë që ose ose Prandaj, për shembull, mund të shkruani , dhe gjithashtu . Në mënyrë tipike, pabarazitë e shkruara duke përdorur shenja quhen pabarazi strikte, dhe ato që shkruhen duke përdorur shenja quhen pabarazi jo të rrepta. Prandaj, vetë shenjat quhen shenja të rrepta ose jo pabarazi e rreptë. Vetitë 1 dhe 2 të diskutuara më sipër janë gjithashtu të vërteta për pabarazitë jo strikte.

Le të shqyrtojmë tani veprimet që mund të kryhen në një ose më shumë pabarazi.

3. Shtimi i të njëjtit numër në termat e një inekuacioni nuk e ndryshon kuptimin e mosbarazimit.

Dëshmi. Le të pabarazisë dhe numër arbitrar. Sipas përkufizimit, ndryshimi është pozitiv. Le t'i shtojmë këtij numri dy numra të kundërt, të cilët nuk do ta ndryshojnë atë, d.m.th.

Kjo barazi mund të rishkruhet si më poshtë:

Nga kjo rezulton se ndryshimi është pozitiv, d.m.th

dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.

Kjo është baza për mundësinë që çdo anëtar i pabarazisë të anohet nga një pjesë në tjetrën me shenjën e kundërt. Për shembull, nga pabarazia

vijon se

4. Kur shumëzohen termat e një pabarazie me të njëjtin numër pozitiv, kuptimi i mosbarazimit nuk ndryshon; Kur termat e një pabarazie shumëzohen me të njëjtin numër negativ, kuptimi i pabarazisë ndryshon në të kundërtën.

Dëshmi. Le atëherë Nëse atëherë meqë prodhimi i numrave pozitivë është pozitiv. Duke hapur kllapat në anën e majtë të pabarazisë së fundit, marrim , d.m.th. Çështja konsiderohet në të njëjtën mënyrë.

Pikërisht i njëjti përfundim mund të nxirret në lidhje me pjesëtimin e pjesëve të mosbarazimit me çdo numër tjetër përveç zeros, pasi pjesëtimi me një numër është i barabartë me shumëzimin me një numër dhe numrat kanë të njëjtat shenja.

5. Termat e pabarazisë le të jenë pozitive. Pastaj, kur i rrit anëtarët e saj në të njëjtën gjë shkallë pozitive kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon.

Dëshmi. Le në këtë rast, nga vetia kalimtare, dhe . Pastaj, për shkak të rritjes monotonike funksioni i fuqisë për dhe pozitive do të kemi

Në veçanti, nëse ku është një numër natyror, atëherë marrim

dmth, kur nxjerrim rrënjën nga të dyja anët e një pabarazie me terma pozitivë, kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon.

Le të jenë termat e pabarazisë negative. Atëherë nuk është e vështirë të vërtetohet se kur termat e tij janë ngritur në tek shkallë natyrore kuptimi i pabarazisë nuk do të ndryshojë, por kur të ngrihet në një fuqi të barabartë natyrore, ai do të ndryshojë në të kundërtën. Nga pabarazitë me terma negativë mund të nxirret edhe rrënja e shkallës tek.

Le të kenë, më tej, termat e pabarazisë shenja të ndryshme. Pastaj, kur e ngrit atë në jo madje shkallë kuptimi i pabarazisë nuk do të ndryshojë, dhe kur ngrihet në një fuqi të barabartë, asgjë nuk është e sigurt për kuptimin e pabarazisë që rezulton rast i përgjithshëmËshtë e pamundur të thuhet. Në fakt, kur ngrihet një numër në shkallë tek shenja e numrit ruhet dhe për këtë arsye kuptimi i pabarazisë nuk ndryshon. Kur ngrihet një pabarazi në një fuqi të barabartë, formohet një pabarazi me terma pozitivë dhe kuptimi i saj do të varet nga vlerat absolute termat e pabarazisë origjinale, rezultati mund të jetë një pabarazi me të njëjtin kuptim si ai origjinal, një pabarazi me kuptimin e kundërt, madje edhe barazi!

Është e dobishme të kontrolloni gjithçka që është thënë për ngritjen e pabarazive në fuqi duke përdorur shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 1. Ngrini pabarazitë e mëposhtme në fuqinë e treguar, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në shenjën e kundërt ose të barabartë, nëse është e nevojshme.

a) 3 > 2 në fuqinë 4; b) deri në shkallën 3;

c) deri në shkallën 3; d) deri në shkallën 2;

e) në fuqinë 5; e) deri në shkallën 4;

g) 2 > -3 në fuqinë 2; h) në fuqinë 2,

6. Nga një pabarazi mund të kalojmë në një pabarazi ndërmjet nëse termat e pabarazisë janë të dyja pozitive ose të dyja negative, atëherë midis reciprokeve të tyre ekziston një pabarazi me kuptim të kundërt:

Dëshmi. Nëse a dhe b janë të së njëjtës shenjë, atëherë produkti i tyre është pozitiv. Pjestojeni me pabarazi

d.m.th., ajo që kërkohej të merrej.

Nëse termat e një pabarazie kanë shenja të kundërta, atëherë pabarazia midis reciprokeve të tyre ka të njëjtin kuptim, pasi shenjat e një pabarazie janë të njëjta me shenjat e vetë sasive.

Shembulli 2. Kontrolloni veçorinë e fundit 6 duke përdorur pabarazitë e mëposhtme:

7. Logaritmi i inekuacioneve mund të bëhet vetëm në rastin kur termat e mosbarazimeve janë pozitive (numrat negativë dhe logaritmet zero nuk kanë).

Le . Pastaj do të ketë

dhe kur do të ketë

Korrektësia e këtyre pohimeve bazohet në monotoninë funksioni logaritmik, e cila rritet nëse baza dhe zvogëlohet me

Pra, kur marrim logaritmin e një pabarazie të përbërë nga terma pozitivë në bazë, më i madh se një, formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim me atë të dhënë dhe kur merret në mënyrë logaritmike në një bazë pozitive më të vogël se një, formohet një pabarazi me kuptim të kundërt.

8. Nëse, atëherë nëse, por, atëherë.

Kjo rrjedh menjëherë nga vetitë e monotonitetit funksioni eksponencial(fq. 42), i cili rritet në rast dhe zvogëlohet nëse

Kur shtohen pabarazitë termike me të njëjtin kuptim, formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim si të dhënat.

Dëshmi. Le ta vërtetojmë këtë pohim për dy pabarazi, megjithëse është e vërtetë për çdo numër pabarazish të shtuara. Le të jepen pabarazitë

Sipas përkufizimit, numrat do të jenë pozitivë; atëherë edhe shuma e tyre del pozitive, d.m.th.

Duke grupuar termat ndryshe, marrim

dhe për këtë arsye

dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.

Është e pamundur të thuash ndonjë gjë të caktuar në rastin e përgjithshëm për kuptimin e një pabarazie të përftuar duke shtuar dy ose më shumë pabarazi me kuptime të ndryshme.

10. Nëse nga një pabarazi zbresim, term për term, një pabarazi tjetër me kuptim të kundërt, atëherë formohet një pabarazi me të njëjtin kuptim si i pari.

Dëshmi. Le të jepen dy pabarazi me kuptime të ndryshme. E dyta prej tyre, sipas vetive të pakthyeshmërisë, mund të rishkruhet si më poshtë: d > c. Le të mbledhim tani dy pabarazitë i njejti kuptim dhe marrim pabarazinë

të njëjtin kuptim. Nga kjo e fundit gjejmë

dhe kjo ishte ajo që duhej vërtetuar.

Është e pamundur të thuash ndonjë gjë të caktuar në rastin e përgjithshëm për kuptimin e një pabarazie të përftuar duke zbritur nga një pabarazi një pabarazi tjetër me të njëjtin kuptim.

Ne mësuam për pabarazitë në shkollë, ku përdorim pabarazitë numerike. Në këtë artikull do të shqyrtojmë pronat pabarazitë numerike, nga i cili bazohen parimet e punës me ta.

Vetitë e pabarazive janë të ngjashme me vetitë e pabarazive numerike. Do të merren parasysh pronat, arsyetimi i saj dhe do të jepen shembuj.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Me rastin e prezantimit të konceptit të pabarazive, kemi se përkufizimi i tyre bëhet sipas llojit të regjistrimit. Në dispozicion shprehjet algjebrike, të cilat kanë shenja ≠,< , >, ≤ , ≥ . Le të japim një përkufizim.

Përkufizimi 1

Pabarazia numerike quhet pabarazi në të cilën të dyja palët kanë numra dhe shprehje numerike.

Ne konsiderojmë pabarazitë numerike në shkollë pas studimit numrat natyrorë. Operacione të tilla krahasimi studiohen hap pas hapi. Ato fillestare duken si 1< 5 , 5 + 7 >3. Pas së cilës rregullat plotësohen, dhe pabarazitë bëhen më të ndërlikuara, atëherë marrim pabarazitë e formës 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73 - 17 2< 0 .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Për të punuar saktë me pabarazitë, duhet të përdorni vetitë e pabarazive numerike. Ato vijnë nga koncepti i pabarazisë. Ky koncept përcaktohet duke përdorur një deklaratë, e cila përcaktohet si "më shumë" ose "më pak".

Përkufizimi 2

• numri a është më i madh se b kur ndryshimi a - b është numër pozitiv;
• numri a është më i vogël se b kur ndryshimi a - b është numër negativ;
• numri a është i barabartë me b kur ndryshimi a - b është zero.

Përkufizimi përdoret kur zgjidhen pabarazitë me marrëdhëniet "më pak se ose e barabartë me", "më e madhe se ose e barabartë me". Ne e kuptojmë atë

Përkufizimi 3

• a është më i madh ose i barabartë me b kur a - b është një numër jo negativ;
• a është më e vogël ose e barabartë me b kur a - b është një numër jo pozitiv.

Përkufizimet do të përdoren për të vërtetuar vetitë e pabarazive numerike.

Vetitë themelore

Le të shohim 3 pabarazitë kryesore. Përdorimi i shenjave< и >karakteristikë e vetive të mëposhtme:

Përkufizimi 4

• antirefleksiviteti, që thotë se çdo numër a nga pabarazitë a< a и a >a konsiderohet e pasaktë. Dihet se për çdo a vlen barazia a − a = 0, pra marrim se a = a. Pra a< a и a >a është e pasaktë. Për shembull, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 janë të pasakta.
• asimetri. Kur numrat a dhe b janë të tillë që a< b , то b >a, dhe nëse a > b, atëherë b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Pjesa e dytë e tij vërtetohet në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 1

Për shembull, duke pasur parasysh pabarazinë 5< 11 имеем, что 11 >5, që do të thotë pabarazia e tij numerike − 0, 27 > − 1, 3 do të rishkruhet si − 1, 3< − 0 , 27 .

Para se të kaloni në për pronën e mëposhtme, vini re se me ndihmën e asimetrisë mund të lexoni pabarazinë nga e djathta në të majtë dhe anasjelltas. Në këtë mënyrë, pabarazitë numerike mund të modifikohen dhe shkëmbehen.

Përkufizimi 5

• kalimtare. Kur numrat a, b, c plotësojnë kushtin a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b dhe b > c , pastaj a > c .

Dëshmia 1

Deklarata e parë mund të vërtetohet. Kushti a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Në mënyrë të ngjashme vërtetohet pjesa e dytë me vetinë kalimtare.

Shembulli 2

Ne e konsiderojmë vetinë e analizuar duke përdorur shembullin e pabarazive − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 dhe 1 8 > 1 32 rrjedh se 1 2 > 1 32.

Pabarazitë numerike, të cilat shkruhen duke përdorur shenja të dobëta të pabarazisë, kanë vetinë e refleksivitetit, sepse a ≤ a dhe a ≥ a mund të kenë rastin e barazisë a = a. Ato karakterizohen nga asimetria dhe kalueshmëria.

Përkufizimi 6

Pabarazitë që kanë shenjat ≤ dhe ≥ në shkrimin e tyre kanë këto veti:

• refleksiviteti a ≥ a dhe a ≤ a konsiderohen pabarazi të vërteta;
• antisimetria, kur a ≤ b, atëherë b ≥ a, dhe nëse a ≥ b, atëherë b ≤ a.
• kalueshmëria, kur a ≤ b dhe b ≤ c, atëherë a ≤ c, dhe gjithashtu, nëse a ≥ b dhe b ≥ c, atëherë a ≥ c.

Prova kryhet në të njëjtën mënyrë.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Për të plotësuar vetitë themelore të pabarazive, përdoren rezultatet që kanë rëndësi praktike. Parimi i metodës përdoret për të vlerësuar vlerat e shprehjeve, mbi të cilat bazohen parimet e zgjidhjes së pabarazive.

Ky paragraf zbulon vetitë e pabarazive për një shenjë të pabarazisë strikte. E njëjta gjë bëhet për ato jo strikte. Le të shohim një shembull, duke formuluar pabarazinë nëse a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• nëse a > b, atëherë a + c > b + c;
• nëse a ≤ b, atëherë a + c ≤ b + c;
• nëse a ≥ b, atëherë a + c ≥ b + c.

Për një prezantim të përshtatshëm, ne japim deklaratën përkatëse, e cila shkruhet dhe jepen prova, tregohen shembuj të përdorimit.

Përkufizimi 7

Shtimi ose llogaritja e një numri në të dy anët. Me fjalë të tjera, kur a dhe b korrespondojnë me pabarazinë a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Dëshmia 2

Për ta vërtetuar këtë, ekuacioni duhet të plotësojë kushtin a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления numër i kundërt- Me.

Shembulli 3

Për shembull, nëse rrisim të dy anët e pabarazisë 7 > 3 me 15, atëherë marrim atë 7 + 15 > 3 + 15. Kjo është e barabartë me 22 > 18.

Përkufizimi 8

Kur të dy anët e pabarazisë shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër c, marrim një pabarazi të vërtetë. Nëse merrni një numër negativ, shenja do të ndryshojë në të kundërtën. Përndryshe duket kështu: për a dhe b pabarazia vlen kur a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b·c.

Dëshmia 3

Kur ka një rast c > 0, është e nevojshme të bëhet dallimi midis të majtës dhe pjesët e duhura pabarazitë. Atëherë marrim se a · c − b · c = (a − b) · c . Nga kushti a< b , то a − b < 0 , а c >0, atëherë prodhimi (a − b) · c do të jetë negativ. Nga kjo rrjedh se a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Kur provoni, pjesëtimi me një numër të plotë mund të zëvendësohet me shumëzim me inversin e atij të dhënë, domethënë 1 c. Le të shohim një shembull të një prone në numra të caktuar.

Shembulli 4

Të dyja anët e pabarazisë 4 janë të lejuara< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Tani le të formulojmë dy rezultatet e mëposhtme, të cilat përdoren në zgjidhjen e pabarazive:

• Përfundimi 1. Kur ndryshohen shenjat e pjesëve të një pabarazie numerike, vetë shenja e pabarazisë ndryshon në të kundërtën, si një< b , как − a >− b. Kjo ndjek rregullin e shumëzimit të të dy anëve me - 1. Është e aplikueshme për tranzicion. Për shembull, - 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Përfundimi 2. Kur zëvendësohen pjesët e një pabarazie numerike me numra reciprokë, shenja e tij gjithashtu ndryshon dhe pabarazia mbetet e vërtetë. Nga kjo kemi se a dhe b janë numra pozitivë, a< b , 1 a >1 b .

Kur pjesëtohen të dyja anët e pabarazisë a< b разрешается на число a · b . Kjo pronë përdoret kur pabarazia 5 > 3 2 është e vërtetë, kemi atë 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b mund të jetë i pasaktë.

Shembulli 5

Për shembull, - 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 janë një ekuacion i pasaktë.

Të gjitha pikat bashkohen nga fakti se veprimet në pjesë të pabarazisë japin pabarazinë e saktë në dalje. Le të shqyrtojmë vetitë ku fillimisht ka disa pabarazi numerike dhe rezultati i tij merret duke shtuar ose shumëzuar pjesët e tij.

Përkufizimi 9

Kur numrat a, b, c, d janë të vlefshëm për pabarazitë a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Prova 4

Le të vërtetojmë se (a + c) − (b + d) është një numër negativ, atëherë marrim se a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям të njëjtin numër. Pastaj rrisim pabarazinë a< b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Vetia përdoret për mbledhjen term pas termi të tre, katër ose më shumë pabarazive numerike. Numrat a 1, a 2, …, a n dhe b 1, b 2, …, b n plotësojnë pabarazitë a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод induksioni matematik, pasi ka marrë një 1 + a 2 + … + a n< b 1 + b 2 + … + b n .

Shembulli 6

Për shembull, jepen tre pabarazi numerike të së njëjtës shenjë − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Përkufizimi 10

Shumëzimi termik i të dy anëve rezulton në një numër pozitiv. Kur a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Dëshmia 5

Për ta vërtetuar këtë, na duhen të dyja anët e pabarazisë a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Kjo veti konsiderohet e vlefshme për numrin e numrave me të cilët duhet të shumëzohen të dyja anët e pabarazisë. Pastaj a 1, a 2, …, a n Dhe b 1, b 2, …, b n janë numra pozitivë, ku një 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Vini re se kur shkruani pabarazi ka numra jo pozitivë, atëherë shumëzimi i tyre term pas termi çon në pabarazi të pasakta.

Shembulli 7

Për shembull, pabarazia 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Pasoja: Shumëzimi termik i pabarazive a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Le të shqyrtojmë vetitë e mëposhtme të pabarazive numerike.

1. a< a , a >a - jo pabarazitë e vërteta,
   a ≤ a, a ≥ a janë pabarazi të vërteta.
2. Nese nje< b , то b >a - antisimetria.
3. Nese nje< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Nese nje< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Nese nje< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Nese nje< b и c - отрицательное число, то a · c >b·c.

Përfundimi 1: nese nje< b , то - a >-b.

Përfundimi 2: nëse a dhe b janë numra pozitivë dhe a< b , то 1 a >1 b .

1. Nëse një 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Nëse një 1, një 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n janë numra pozitivë dhe a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Përfundimi 1: Nëse a< b , a Dhe b janë numra pozitivë, atëherë a n< b n .

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Pabarazitë luajnë një rol të rëndësishëm në matematikë. Në shkollë kryesisht merremi me pabarazitë numerike, me përkufizimin e të cilit do të fillojmë këtë artikull. Dhe pastaj do të rendisim dhe justifikojmë vetitë e inekuacioneve numerike, mbi të cilin bazohen të gjitha parimet e punës me pabarazitë.

Le të vërejmë menjëherë se shumë veti të pabarazive numerike janë të ngjashme. Prandaj, materialin do ta paraqesim sipas të njëjtës skemë: formulojmë një veti, japim arsyetimin dhe shembujt e saj, pas së cilës kalojmë në vetinë tjetër.

Navigimi i faqes.

Pabarazitë numerike: përkufizimi, shembuj

Kur prezantuam konceptin e pabarazisë, vumë re se pabarazitë shpesh përcaktohen nga mënyra se si janë shkruar. Pra, ne i quajtëm pabarazi shprehje algjebrike kuptimplote që përmbajnë shenja jo të barabarta me ≠, më pak<, больше >, më e vogël ose e barabartë me ≤ ose më e madhe se ose e barabartë me ≥. Bazuar në përkufizimin e mësipërm, është e përshtatshme të jepet një përkufizim i një pabarazie numerike:

Takimi me inekuacionet numerike ndodh në mësimet e matematikës në klasën e parë menjëherë pas njohjes me numrat e parë natyrorë nga 1 deri në 9 dhe njohjes me veprimin e krahasimit. Vërtetë, atje ato quhen thjesht pabarazi, duke lënë jashtë përkufizimin e "numerike". Për qartësi, nuk do të dëmtonte të jepnim disa shembuj të pabarazive numerike më të thjeshta nga ajo fazë e studimit të tyre: 1<2 , 5+2>3 .

Dhe më tej nga numrat natyrorë, njohuritë shtrihen në llojet e tjera të numrave (numrat e plotë, racionalë, realë), studiohen rregullat për krahasimin e tyre, dhe kjo zgjeron ndjeshëm shumëllojshmërinë e llojeve të pabarazive numerike: -5>-72, 3> −0,275 (7−5, 6) , .

Vetitë e mosbarazimeve numerike

Në praktikë, puna me pabarazi lejon një numër të vetitë e inekuacioneve numerike. Ato rrjedhin nga koncepti i pabarazisë që ne prezantuam. Në lidhje me numrat jepet ky koncept deklaratën e mëposhtme, i cili mund të konsiderohet një përkufizim i marrëdhënieve "më pak se" dhe "më shumë se" në një grup numrash (shpesh quhet përkufizimi i ndryshimit të pabarazisë):

Përkufizimi.

• numri a më shumë numër b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është një numër pozitiv;
• numri a më pak numër b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është numër negativ;
• numri a është i barabartë me numrin b nëse dhe vetëm nëse ndryshimi a−b është zero.

Ky përkufizim mund të ripërpunohet në përkufizimin e marrëdhënieve "më pak se ose e barabartë me" dhe "më e madhe se ose e barabartë me". Ja formulimi i tij:

Përkufizimi.

• numri a është më i madh ose i barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b – numër jo negativ;
• a është më e vogël ose e barabartë me b nëse dhe vetëm nëse a−b është një numër jo pozitiv.

Ne do t'i përdorim këto përkufizime për të vërtetuar vetitë e pabarazive numerike, në një rishikim të të cilave ne vazhdojmë.

Vetitë themelore

Ne e fillojmë rishikimin me tre vetitë kryesore të pabarazive. Pse janë ato themelore? Sepse ato janë një pasqyrim i vetive të pabarazive në në një kuptim të përgjithshëm, dhe jo vetëm në lidhje me pabarazitë numerike.

Pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenja< и >, karakteristike:

Për sa u përket pabarazive numerike të shkruara duke përdorur shenjat e dobëta të pabarazisë ≤ dhe ≥, ato kanë vetinë e refleksivitetit (dhe jo antirefleksivitetit), pasi pabarazitë a≤a dhe a≥a përfshijnë rastin e barazisë a=a. Ato karakterizohen gjithashtu nga antisimetria dhe kalueshmëria.

Pra, pabarazitë numerike të shkruara duke përdorur shenjat ≤ dhe ≥ kanë vetitë e mëposhtme:

• refleksiviteti a≥a dhe a≤a janë pabarazi të vërteta;
• antisimetria, nëse a≤b, atëherë b≥a, dhe nëse a≥b, atëherë b≤a.
• kalueshmëria, nëse a≤b dhe b≤c, atëherë a≤c, dhe gjithashtu, nëse a≥b dhe b≥c, atëherë a≥c.

Prova e tyre është shumë e ngjashme me ato të dhëna tashmë, kështu që ne nuk do të ndalemi në to, por do të kalojmë në vetitë e tjera të rëndësishme të pabarazive numerike.

Veti të tjera të rëndësishme të pabarazive numerike

Le të plotësojmë vetitë themelore të pabarazive numerike me një sërë rezultatesh që kanë një rëndësi të madhe praktike. Metodat për vlerësimin e vlerave të shprehjeve bazohen në to zgjidhjet e pabarazive e kështu me radhë. Prandaj, këshillohet që t'i kuptoni mirë.

Në këtë pjesë, ne do të formulojmë vetitë e pabarazive vetëm për një shenjë të pabarazisë strikte, por vlen të kihet parasysh se vetitë e ngjashme do të vlejnë për shenjën e kundërt, si dhe për shenjat e pabarazive jo të rrepta. Le ta shpjegojmë këtë me një shembull. Më poshtë formulojmë dhe vërtetojmë vetinë e mëposhtme të pabarazive: nëse a

• nëse a>b atëherë a+c>b+c ;
• nëse a≤b, atëherë a+c≤b+c;
• nëse a≥b, atëherë a+c≥b+c.

Për lehtësi, ne do t'i paraqesim vetitë e pabarazive numerike në formën e një liste, ndërsa do të japim deklaratën përkatëse, do ta shkruajmë zyrtarisht duke përdorur shkronja, do të japim një provë dhe më pas do të tregojmë shembuj të përdorimit. Dhe në fund të artikullit do të përmbledhim të gjitha vetitë e pabarazive numerike në një tabelë. Shkoni!