Dy zare hidhen në mënyrë të rastësishme. Probabiliteti i zareve

Në të gjitha detyrat B6 në teoria e probabilitetit, të cilat janë paraqitur në Hap bankën e detyrave për, ju duhet të gjeni probabilitetiçdo ngjarje.

Duhet të dini vetëm një formulë, e cila përdoret për të llogaritur probabiliteti:

Në këtë formulë p - probabiliteti i ngjarjes,

k- numri i ngjarjeve që na “kënaqin”, në gjuhë teoria e probabilitetit ato quhen rezultate të favorshme.

n- numri i të gjitha ngjarjeve të mundshme, ose numri i të gjitha rezultateve të mundshme.

Natyrisht, numri i të gjitha ngjarjeve të mundshme është më i madh se numri rezultate të favorshme, prandaj probabilitetiështë një vlerë që është më e vogël ose e barabartë me 1.

Nëse probabiliteti vlera e ngjarjes është 1, që do të thotë se kjo ngjarje do të ndodhë patjetër. Një ngjarje e tillë quhet të besueshme. Për shembull, fakti që pas të dielës do të ketë të hënë është, për fat të keq, një ngjarje e besueshme dhe probabiliteti i saj është i barabartë me 1.

Vështirësitë më të mëdha në zgjidhjen e problemeve lindin pikërisht me gjetjen e numrave k dhe n.

Natyrisht, si kur zgjidhni ndonjë problem, kur zgjidhni problemet teoria e probabilitetit Ju duhet të lexoni me kujdes gjendjen në mënyrë që të kuptoni saktë se çfarë është dhënë dhe çfarë duhet të gjeni.

Le të shohim disa shembuj të zgjidhjes së problemeve nga nga Banka e hapur detyrat për .

Shembulli 1. Në një eksperiment të rastësishëm, hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që totali të jetë 8 pikë. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtat.

Lëreni veprën e parë të rrokulliset me një pikë, më pas e dyta mund të rrokulliset një pikë 6 opsione të ndryshme. Pra, meqenëse dieta e parë ka 6 anë të ndryshme, numri total opsione të ndryshme është 6x6=36.

Por ne nuk jemi të kënaqur me gjithçka. Sipas kushteve të problemit, shuma e pikëve të tërhequra duhet të jetë e barabartë me 8. Le të krijojmë një tabelë me rezultate të favorshme:

Ne shohim se numri i rezultateve që na përshtaten është 5.

Kështu, probabiliteti që të shfaqen gjithsej 8 pikë është 5/36=0.13(8).

Edhe një herë lexojmë pyetjen e problemit: duhet ta rrumbullakojmë rezultatin në të qindtat.

Le të kujtojmë rregulli i rrumbullakosjes.

Duhet të rrumbullakohemi në të qindtën më të afërt. Nëse në vendin pasardhës pas të qindtave (d.m.th., në vendin e njëmijtë) ka një numër që është më i madh ose i barabartë me 5, atëherë i shtojmë 1 numrit në vendin e qindëshave, nëse ky numër është më i vogël se 5; atëherë numri në vendin e qindtave lihet i pandryshuar.

Në rastin tonë, numri në vendin e njëmijtë është 8, kështu që ne e rrisim numrin 3, i cili është në vendin e qindtave, me 1.

Pra, p=5/36 ≈0.14

Përgjigje: 0.14

Shembulli 2. Në kampionatin e gjimnastikës marrin pjesë 20 sportistë: 8 nga Rusia, 7 nga SHBA, pjesa tjetër nga Kina. Radha në të cilën performojnë gjimnastët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti që konkurron i pari të jetë nga Kina.

Në këtë problem, numri i rezultateve të mundshme është 20 - ky është numri i të gjithë atletëve.

Le të gjejmë numrin e rezultateve të favorshme. Është e barabartë me numrin e sportisteve nga Kina.

Kështu,

Përgjigje: 0.25

Shembulli 3: Mesatarisht, nga 1000 pompa kopshtesh të shitura, 5 rrjedhin. Gjeni probabilitetin që një pompë e zgjedhur rastësisht për kontroll të mos rrjedhë.

Në këtë problem n=1000.

Ne jemi të interesuar për pompa që nuk rrjedhin. Numri i tyre është 1000-5=995. Ato.

Detyrat për probabiliteti zare jo më pak popullor se problemet e hedhjes së monedhave. Gjendja e një problemi të tillë zakonisht tingëllon kështu: kur hedhim një ose më shumë zare (2 ose 3), sa është probabiliteti që shuma e pikëve të jetë e barabartë me 10, ose numri i pikëve të jetë 4, ose prodhimi i numrit të pikëve, ose prodhimi i numrit të pikëve pjesëtuar me 2 e kështu me radhë.

Zbatimi i formulës probabiliteti klasikështë metoda kryesore për zgjidhjen e problemeve të këtij lloji.

Një i vdekur, probabilitet.

Është mjaft e thjeshtë të përballesh me një të tillë zare.

përcaktohet me formulën: P=m/n, ku m është numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen dhe n është numri i të gjitha rezultateve elementare po aq të mundshme të eksperimentit me hedhjen e një kocke ose kubi.

Problemi 1. Bishta hidhet një herë. Sa është probabiliteti për të marrë një numër çift pikësh?

Meqenëse kërpudha është një kub (ose quhet edhe një kërpudhë e rregullt, kërpudha do të ulet në të gjitha anët me probabilitet të barabartë, pasi është e balancuar), magazina ka 6 anë (numri i pikëve nga 1 në 6, të cilat janë zakonisht tregohet me pika), kjo do të thotë se në problem numri i përgjithshëm i rezultateve është: n=6. Ngjarja favorizohet vetëm nga rezultatet në të cilat paraqitet pala me pika çift 2,4 dhe 6: m=3; Tani mund të përcaktojmë probabilitetin e dëshiruar të zarit: P=3/6=1/2=0.5.

Detyra 2. Zari hidhet një herë. Sa është probabiliteti që të merrni të paktën 5 pikë? Ky problem zgjidhet me analogji me shembullin e dhënë më sipër. Gjatë hedhjes zare

numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme është: n=6, dhe vetëm 2 rezultate plotësojnë kushtin e problemit (të paktën 5 pikë të mbështjella, pra 5 ose 6 pikë të hedhura), që do të thotë m=2. Më pas, gjejmë probabilitetin e kërkuar: P=2/6=1/3=0,333.

Kur zgjidhni problemet që përfshijnë hedhjen e 2 zareve, është shumë e përshtatshme të përdorni një tabelë të veçantë pikësh. Në të, numri i pikëve që ranë në zarin e parë shfaqet horizontalisht, dhe numri i pikëve që ranë në zarin e dytë shfaqet vertikalisht. Pjesa e punës duket si kjo:

Por lind pyetja, çfarë do të jetë në qelizat boshe të tabelës? Varet nga problemi që duhet zgjidhur. Nëse në problem po flasim për në lidhje me shumën e pikëve, atëherë shuma shkruhet atje, dhe nëse për diferencën, atëherë diferenca shkruhet, e kështu me radhë.

Problemi 3. Hidhen 2 zare në të njëjtën kohë. Sa është probabiliteti për të marrë më pak se 5 pikë?

Së pari, duhet të kuptoni se cili do të jetë numri i përgjithshëm i rezultateve të eksperimentit. Gjithçka ishte e qartë kur hidhej një kërpudhë, 6 anët e kapelës - 6 rezultatet e eksperimentit. Por kur tashmë ka dy kocka, atëherë rezultatet e mundshme mund të paraqitet si çifte të renditura numrash të formës (x, y), ku x tregon se sa pika janë rrokullisur në veprën e parë (nga 1 në 6), dhe y - sa pikë janë rrokullisur në veprën e dytë (nga 1 deri në 6). Do të ketë gjithsej çifte numrash të tillë: n=6*6=36 (në tabelën e rezultateve ato korrespondojnë saktësisht me 36 qeliza).

Tani mund të plotësoni tabelën për ta bërë këtë, numri i pikëve që ranë në zarin e parë dhe të dytë futet në secilën qelizë. Tabela e plotësuar duket si kjo:

Duke përdorur tabelën, ne do të përcaktojmë numrin e rezultateve që favorizojnë ngjarjen "do të shfaqen gjithsej më pak se 5 pikë". Le të numërojmë numrin e qelizave, vlerën e shumës në të cilën do të jetë më pak numër 5 (këto janë 2, 3 dhe 4). Për lehtësi, ne pikturojmë mbi qeliza të tilla do të ketë m=6:

Duke marrë parasysh të dhënat e tabelës, probabiliteti i zareve barazohet: P=6/36=1/6.

Problemi 4. U hodhën dy zare. Përcaktoni probabilitetin që produkti i numrit të pikave të pjesëtohet me 3.

Për të zgjidhur problemin, le të bëjmë një tabelë të produkteve të pikave që ranë në zarin e parë dhe të dytë. Në të, ne theksojmë menjëherë numrat që janë shumëfish të 3:

Shkruajmë numrin total të rezultateve të eksperimentit n=36 (arsyetimi është i njëjtë si në problemin e mëparshëm) dhe numrin e rezultateve të favorshme (numri i qelizave që janë të hijezuara në tabelë) m=20. Probabiliteti i ngjarjes është: P=20/36=5/9.

Problemi 5. Blloku hidhet dy herë. Sa është probabiliteti që diferenca në numrin e pikëve në zarin e parë dhe të dytë të jetë nga 2 në 5?

Për të përcaktuar probabiliteti i zareve Le të shkruajmë një tabelë të dallimeve të pikave dhe të zgjedhim në të ato qeliza, vlera e ndryshimit të të cilave do të jetë midis 2 dhe 5:

Numri i rezultateve të favorshme (numri i qelizave të hijezuara në tabelë) është m=10, numri i përgjithshëm i njësoj të mundshme rezultatet elementare do të jetë n=36. Përcakton probabilitetin e ngjarjes: P=10/36=5/18.

Në rastin e një ngjarjeje të thjeshtë dhe kur hidhni 2 zare, duhet të ndërtoni një tabelë, më pas të zgjidhni qelizat e nevojshme në të dhe të ndani numrin e tyre me 36, kjo do të konsiderohet një probabilitet.

Lënë një përgjigje I ftuar

Me një zare situata është jashtëzakonisht e thjeshtë. Më lejoni t'ju kujtoj se probabiliteti gjendet me formulën P=m/n
P
=
m
n
, ku n
n
është numri i të gjitha rezultateve elementare po aq të mundshme të një eksperimenti që përfshin hedhjen e një kubi ose zar, dhe m
m
- numri i rezultateve që favorizojnë ngjarjen.

Shembulli 1: Bedina hidhet një herë. Sa është probabiliteti që të ketë ndodhur numër çift syze?

Meqenëse një vegël është një kub (ata thonë gjithashtu një die të rregullt, d.m.th., një vdekje e ekuilibruar në mënyrë që të zbresë në të gjitha anët me probabilitet të barabartë), kubi ka 6 fytyra (me një numër pikash nga 1 në 6, zakonisht të treguara me pikë), pastaj dhe numri i përgjithshëm i rezultateve në problemin n=6
n
=
6
. Të vetmet rezultate që favorizojnë ngjarjen janë ato ku shfaqet një anë me 2, 4 ose 6 pikë (vetëm numra çift) ka m=3 anë të tilla
m
=
3
. Atëherë probabiliteti i kërkuar është P=3/6=1/2=0.5
P
=
3
6
=
1
2
=
0.5
.

Shembulli 2. Hidhet një pjatë. Gjeni probabilitetin e rrotullimit të paktën 5 pikë.

Ne arsyetojmë në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëparshëm. Numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme kur hidhet një n=6
n
=
6
, dhe kushti “të paktën 5 pikë të rrotulluara”, pra “ose 5 ose 6 pikë të rrotulluara” plotësohet nga 2 rezultate, m=2
m
=
2
. Probabiliteti i kërkuar është P=2/6=1/3=0,333
P
=
2
6
=
1
3
=
0.333
.

Nuk e shoh as kuptimin të jap më shumë shembuj, le të kalojmë te dy zare, ku gjithçka bëhet më interesante dhe e ndërlikuar.

Dy zare

Kur bëhet fjalë për problemet që përfshijnë hedhjen e 2 zareve, është shumë e përshtatshme të përdorni një tabelë pikësh. Le të vizatojmë horizontalisht numrin e pikave që ranë në zarin e parë dhe vertikalisht numrin e pikave që ranë në zarin e dytë. Le të marrim diçka të tillë (zakonisht e bëj në Excel, mund ta shkarkoni skedarin më poshtë):

tabela e pikëve për hedhjen e 2 zarave
Çfarë ka në qelizat e tabelës, ju pyesni? Dhe kjo varet se çfarë problemi do të zgjidhim. Do të ketë një detyrë për shumën e pikëve - do të shkruajmë shumën atje, për ndryshimin - do të shkruajmë ndryshimin e kështu me radhë. Le të fillojmë?

Shembulli 3. 2 zare hidhen në të njëjtën kohë. Gjeni probabilitetin që totali të jetë më pak se 5 pikë.

Së pari, le të shohim numrin total të rezultateve të eksperimentit. kur hodhëm një kërdi, gjithçka ishte e qartë, 6 anë - 6 rezultate. Këtu tashmë ka dy zare, kështu që rezultatet mund të përfaqësohen si çifte të renditura numrash të formës (x,y)
x
,
y
, ku x
x
- sa pikë janë rrokullisur në veprën e parë (nga 1 në 6), y
y
- sa pikë u hodhën në zarin e dytë (nga 1 në 6). Natyrisht, do të ketë n=6⋅6=36 çifte të tilla numrash
n
=
6
⋅
6
=
36
(dhe saktësisht 36 qeliza në tabelën e rezultateve korrespondojnë me to).

Tani është koha për të plotësuar tabelën. Në secilën qelizë futim shumën e numrit të pikëve të hedhura në zarin e parë dhe të dytë dhe marrim figurën e mëposhtme:

tabela e shumës së pikëve kur hidhen 2 zare
Tani kjo tabelë do të na ndihmojë të gjejmë numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen "gjithsej do të shfaqen më pak se 5 pikë". Për ta bërë këtë, ne numërojmë numrin e qelizave në të cilat vlera e shumës është më e vogël se 5 (d.m.th., 2, 3 ose 4). Për qartësi, le t'i ngjyrosim këto qeliza, do të ketë m=6
m
=
6
:

tabela e pikëve totale më pak se 5 kur hidhen 2 zare
Atëherë probabiliteti është: P=6/36=1/6
P
=
6
36
=
1
6
.

Shembulli 4. Hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që prodhimi i numrit të pikave të pjesëtohet me 3.

Ne krijojmë një tabelë të produkteve të pikave të hedhura në zarin e parë dhe të dytë. Ne theksojmë menjëherë ato numra që janë shumëfish të 3:

Tabela e produktit të pikëve kur hidhen 2 zare
Mbetet vetëm të shënohet se numri i përgjithshëm i rezultateve është n=36
n
=
36
(shih shembullin e mëparshëm, arsyetimi është i njëjtë), dhe numri i rezultateve të favorshme (numri i qelizave me hije në tabelën e mësipërme) m=20
m
=
20
. Atëherë probabiliteti i ngjarjes do të jetë i barabartë me P=20/36=5/9
P
=
20
36
=
5
9
.

Siç mund ta shihni, ky lloj problemi, me përgatitjen e duhur (le të shohim disa probleme të tjera), mund të zgjidhet shpejt dhe thjesht. Për shumëllojshmëri, le të bëjmë një detyrë më shumë me një tabelë tjetër (të gjitha tabelat mund të shkarkohen në fund të faqes).

Shembulli 5: Një kupë hidhet dy herë. Gjeni probabilitetin që diferenca në numrin e pikëve në zarin e parë dhe të dytë të jetë nga 2 në 5.

Le të shkruajmë një tabelë të dallimeve të pikave, të theksojmë qelizat në të në të cilat vlera e ndryshimit do të jetë midis 2 dhe 5:

Tabela e diferencës së pikëve kur hidhen 2 zare
Pra, numri i përgjithshëm i rezultateve elementare po aq të mundshme është n=36
n
=
36
, dhe numri i rezultateve të favorshme (numri i qelizave me hije në tabelën e mësipërme) m=10
m
=
10
. Atëherë probabiliteti i ngjarjes do të jetë i barabartë me P=10/36=5/18
P
=
10
36
=
5
18
.

Pra, në rastin kur po flasim për hedhjen e 2 zareve dhe një ngjarje të thjeshtë, duhet të ndërtoni një tabelë, të zgjidhni qelizat e nevojshme në të dhe të ndani numrin e tyre me 36, kjo do të jetë probabiliteti. Përveç problemeve në shumën, produktin dhe ndryshimin e numrit të pikëve, ka edhe probleme në modulin e diferencës, numrin më të vogël dhe më të madh të pikëve të tërhequra (tabelat e përshtatshme do t'i gjeni në skedarin Excel).

Detyrat 1.4 - 1.6

Gjendja problemore 1.4

Tregoni gabimin në “zgjidhjen” e problemit: hidhen dy zare; gjeni probabilitetin që shuma e pikave të tërhequra të jetë 3 (ngjarja A). "Zgjidhja". Ekzistojnë dy rezultate të mundshme të testit: shuma e pikëve të tërhequra është 3, shuma e pikëve të tërhequra nuk është e barabartë me 3. Ngjarja A favorizohet nga një rezultat, numri i përgjithshëm i rezultateve është dy. Prandaj, probabiliteti i dëshiruar është i barabartë me P(A) = 1/2.

Zgjidhja e problemit 1.4

Gabimi në këtë "zgjidhje" është se rezultatet në fjalë nuk janë njësoj të mundshme. Vendimi i duhur: Numri i përgjithshëm i rezultateve po aq të mundshme është i barabartë (çdo numër pikësh të mbështjellë në një kapelë mund të kombinohet me të gjithë numrin e pikave të mbështjellë në një kësulë tjetër). Ndër këto rezultate, vetëm dy rezultate favorizojnë ngjarjen: (1; 2) dhe (2; 1). Kjo do të thotë se probabiliteti i kërkuar

Përgjigje:

Gjendja e problemit 1.5

Hidhen dy zare. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve të mëposhtme: a) shuma e pikave të tërhequra është shtatë; b) shuma e pikëve të tërhequra është tetë, dhe diferenca është katër; c) shuma e pikëve të tërhequra është tetë, nëse dihet se diferenca e tyre është katër; d) shuma e pikëve të rrotulluara është pesë, dhe prodhimi është katër.

Zgjidhja e problemit 1.5

a) Gjashtë opsione në të parën, gjashtë në të dytën. Opsionet totale: (sipas rregullit të produktit). Opsione për një shumë të barabartë me 7: (1.6), (6.1), (2.5), (5.2), (3.4), (4.3) - gjithsej gjashtë opsione. Mjetet,

b) Ekzistojnë vetëm dy opsione të përshtatshme: (6,2) dhe (2,6). Mjetet,

c) Ekzistojnë vetëm dy opsione të përshtatshme: (2,6), (6,2). Por në total opsionet e mundshme 4: (2.6), (6.2), (1.5), (5.1). Mjetet,.

d) Për një shumë të barabartë me 5, opsionet e mëposhtme janë të përshtatshme: (1.4), (4.1), (2.3), (3.2). Produkti është 4 për vetëm dy opsione. Pastaj

Përgjigje: a) 1/6; b) 1/18; c) 1/2; d) 1/18

Gjendja problemore 1.6

Një kub, të gjitha skajet e të cilit janë me ngjyrë, sharrohet në një mijë kube të së njëjtës madhësi, të cilat më pas përzihen plotësisht. Gjeni probabilitetin që kubi i tërhequr nga fati të ketë faqe me ngjyrë: a) një; b) dy; c) tre.

Zgjidhja e problemit 1.6

U formuan gjithsej 1000 kube. Kube me tre fytyra me ngjyra: 8 (këto janë kube qoshe). Me dy fytyra me ngjyra: 96 (pasi ka 12 skaje të një kubi me 8 kube në secilën skaj). Zare me skaje të ngjyrosura: 384 (pasi ka 6 fytyra dhe ka 64 kube në secilën faqe). Mbetet vetëm që çdo sasi e gjetur të ndahet me 1000.

Përgjigje: a) 0,384; b) 0,096 c) 0,008