Madhësia e këndit dihedral quhet. Këndi dihedral pingul me rrafshin

9.1 Këndi dihedral

9.2 Përcaktimi i këndit ndërmjet planeve

9.3 Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Nuancat kryesore

Përgatitja për testin e provimit me Shkolkovo është çelësi i suksesit tuaj

Madhësia e këndit ndërmjet dy rrafsheve të ndryshme mund të përcaktohet për çdo pozicion relativ të planeve.

Një rast i parëndësishëm nëse aeroplanët janë paralelë. Atëherë këndi ndërmjet tyre konsiderohet i barabartë me zero.

Një rast jo i parëndësishëm nëse aeroplanët kryqëzohen. Ky rast është objekt i diskutimit të mëtejshëm. Së pari na duhet koncepti i një këndi dihedral.

Një kënd dihedral është dy gjysmërrafshe me një vijë të drejtë të përbashkët (e cila quhet skaji i këndit dihedral). Në Fig. 50 tregon një kënd dihedral të formuar nga gjysmërrafshe dhe; buza e këtij këndi dihedral është drejtëza a, e përbashkët për këto gjysmërrafshe.

Oriz. 50. Këndi dihedral

Këndi dihedral mund të matet në gradë ose radianë me një fjalë, shkruani vlerën këndore të këndit dihedral. Kjo bëhet si më poshtë.

Në buzë të këndit dihedral të formuar nga gjysmërrafshët dhe, marrim një pikë arbitrare M. Le të vizatojmë rrezet MA dhe MB, përkatësisht të shtrira në këto gjysmërrafshe dhe pingul me buzën (Fig. 51).

Oriz. 51. Këndi dykëndor linear

Këndi që rezulton AMB është këndi linear i këndit dihedral. Këndi " = \AMB është pikërisht vlera këndore e këndit tonë dihedral.

Përkufizimi. Madhësia këndore e një këndi dihedral është madhësia e këndit linear të një këndi të caktuar dihedral.

Të gjitha këndet lineare të një këndi dihedral janë të barabartë me njëri-tjetrin (në fund të fundit, ato merren nga njëri-tjetri nga një zhvendosje paralele). Prandaj, ky përkufizim është i saktë: vlera " nuk varet nga zgjedhja specifike e pikës M në skajin e këndit dihedral.

Kur dy rrafshe kryqëzohen, fitohen katër kënde dihedrale. Nëse të gjithë kanë të njëjtën madhësi (90 secila), atëherë rrafshet quhen pingul; Këndi midis avionëve është atëherë 90.

Nëse jo të gjitha këndet dihedrale janë të njëjta (d.m.th. janë dy akute dhe dy të mpirë), atëherë këndi ndërmjet rrafsheve është vlera e këndit akut dihedral (Fig. 52).

Oriz. 52. Këndi ndërmjet planeve

Le të shohim tre probleme. E para është e thjeshtë, e dyta dhe e treta janë afërsisht në nivelin C2 në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Problemi 1. Gjeni këndin midis dy faqeve të një katërkëndëshi të rregullt.

Zgjidhje. Le të jetë ABCD një katërkëndor i rregullt. Le të vizatojmë medianat AM dhe DM të faqeve përkatëse, si dhe lartësinë e katërkëndëshit DH (Fig. 53).

Oriz. 53. Në detyrën 1

Duke qenë mediana, AM dhe DM janë gjithashtu lartësi të trekëndëshave barabrinjës ABC dhe DBC. Prandaj, këndi " = \AMD është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga faqet ABC dhe DBC. E gjejmë nga trekëndëshi DHM:

Përgjigje: arccos 1 3 .

Problemi 2. Në një piramidë të rregullt katërkëndore SABCD (me kulm S), buza anësore është e barabartë me anën e bazës. Pika K është mesi i skajit SA. Gjeni këndin midis planeve

Zgjidhje. Drejtëza BC është paralele me AD dhe kështu paralele me planin ADS. Prandaj, rrafshi KBC kryqëzon rrafshin ADS përgjatë vijës së drejtë KL paralel me BC (Fig. 54).

Oriz. 54. Në detyrën 2

Në këtë rast, KL do të jetë gjithashtu paralel me vijën AD; prandaj, KL është mesi i trekëndëshit ADS, dhe pika L është mesi i DS.

Le të gjejmë lartësinë e piramidës SO. Le të jetë N mesi i DO. Atëherë LN është vija e mesme e trekëndëshit DOS, dhe për rrjedhojë LN k SO. Kjo do të thotë se LN është pingul me planin ABC.

Nga pika N e ulim NM pingul në drejtëzën BC. Vija e drejtë NM do të jetë projeksioni i LM-së së pjerrët në rrafshin ABC. Nga teorema e tre pingulave rezulton se LM është gjithashtu pingul me BC.

Kështu, këndi " = \LMN është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga gjysmërrafshet KBC dhe ABC. Këtë kënd do ta kërkojmë nga trekëndëshi kënddrejtë LMN.

Lëreni skajin e piramidës të jetë i barabartë me a. Së pari gjejmë lartësinë e piramidës:

SO=p

Zgjidhje. Le të jetë L pika e kryqëzimit të drejtëzave A1 K dhe AB. Pastaj rrafshi A1 KC pret rrafshin ABC përgjatë vijës së drejtë CL (Fig.55).

A C

Oriz. 55. Tek problemi 3

Trekëndëshat A1 B1 K dhe KBL janë të barabartë në këmbë dhe kënd akut. Prandaj, këmbët e tjera janë të barabarta: A1 B1 = BL.

Konsideroni trekëndëshin ACL. Në të BA = BC = BL. Këndi CBL është 120; prandaj, \BCL = 30 . Gjithashtu, \BCA = 60 . Prandaj \ACL = \BCA + \BCL = 90 .

Pra, LC? AC. Por linja AC shërben si një projeksion i linjës A1 C në rrafshin ABC. Nga teorema e tre pingulave arrijmë në përfundimin se LC ? A1 C.

Kështu, këndi A1 CA është këndi linear i këndit dihedral të formuar nga gjysmërrafshët A1 KC dhe ABC. Ky është këndi i dëshiruar. Nga trekëndëshi kënddrejtë dykëndësh A1 AC shohim se është i barabartë me 45.

Ky mësim ka për qëllim studimin e pavarur të temës "Këndi dihedral". Në këtë orë, nxënësit do të njihen me një nga format gjeometrike më të rëndësishme, këndin dihedral. Gjithashtu në mësim do të mësojmë se si të përcaktojmë këndin linear të figurës gjeometrike në fjalë dhe cili është këndi dihedral në bazën e figurës.

Le të përsërisim se çfarë është një kënd në një plan dhe si matet ai.

Oriz. 1. Aeroplan

Le të shqyrtojmë rrafshin α (Fig. 1). Nga pika RRETH dalin dy rreze - OB Dhe OA.

Përkufizimi. Një figurë e formuar nga dy rreze që dalin nga një pikë quhet kënd.

Këndi matet në gradë dhe radianë.

Le të kujtojmë se çfarë është një radian.

Oriz. 2. Radian

Nëse kemi një kënd qendror, gjatësia e harkut të të cilit është e barabartë me rrezen, atëherë një kënd i tillë qendror quhet kënd prej 1 radian. ,∠ AOB= 1 rad (Fig. 2).

Marrëdhënia ndërmjet radianeve dhe shkallëve.

i gëzuar.

E kuptojmë, më vjen mirë. (). Pastaj,

Përkufizimi. Këndi dihedral quhet një figurë e formuar nga një vijë e drejtë A dhe dy gjysmërrafshe me një kufi të përbashkët A, që nuk i përkasin të njëjtit aeroplan.

Oriz. 3. Gjysmë avionë

Le të shqyrtojmë dy gjysmërrafshe α dhe β (Fig. 3). Kufiri i tyre i përbashkët është A. Kjo shifër quhet një kënd dihedral.

Terminologjia

Gjysmë-rrafshët α dhe β janë faqet e një këndi dykëndor.

Drejt Aështë një skaj i një këndi dihedral.

Në një skaj të përbashkët A kënd dyhedral, zgjidhni një pikë arbitrare RRETH(Fig. 4). Në gjysmërrafshin α nga pika RRETH rivendos pingulen OA në një vijë të drejtë A. Nga e njëjta pikë RRETH në gjysmërrafshin e dytë β ndërtojmë një pingul OB deri në buzë A. Mori një kënd AOB, i cili quhet këndi linear i këndit dihedral.

Oriz. 4. Matja e këndit dihedral

Le të vërtetojmë barazinë e të gjithë këndeve lineare për një kënd të caktuar dihedral.

Le të kemi një kënd dihedral (Fig. 5). Le të zgjedhim një pikë RRETH dhe periudha O 1 në një vijë të drejtë A. Le të ndërtojmë një kënd linear që i përgjigjet pikës RRETH, pra vizatojmë dy pingule OA Dhe OB në rrafshet α dhe β përkatësisht në buzë A. Ne marrim këndin AOB- këndi linear i këndit dihedral.

Oriz. 5. Ilustrimi i provës

Nga pika O 1 le të vizatojmë dy pingule OA 1 Dhe OB 1 deri në buzë A në rrafshet α dhe β përkatësisht dhe fitojmë këndin e dytë linear A 1 O 1 B 1.

Rrezet O 1 A 1 Dhe OA bashkëdrejtues, pasi ato shtrihen në të njëjtin gjysmërrafsh dhe janë paralel me njëri-tjetrin si dy pingulë në të njëjtën drejtëz A.

Po kështu, rrezet Rreth 1 në 1 Dhe OB janë të bashkëdrejtuar, që do të thotë ∠ AOB =∠ A 1 O 1 B 1 si kënde me brinjë bashkëdrejtuese, çka duhej vërtetuar.

Rrafshi i këndit linear është pingul me skajin e këndit dihedral.

Provoj: A ⊥ AOB.

Oriz. 6. Ilustrimi i provës

Dëshmi:

OA ⊥ A nga ndërtimi, OB ⊥ A nga ndërtimi (Fig. 6).

Ne gjejmë se linja A pingul me dy drejtëza të kryqëzuara OA Dhe OB jashtë aeroplanit AOB, që do të thotë se është e drejtë A pingul me rrafshin OAV, që ishte ajo që duhej vërtetuar.

Një kënd dihedral matet me këndin e tij linear. Kjo do të thotë se sa radianë gradë përmbahen në një kënd linear, po aq radian gradë përmbahen në këndin e tij dihedral. Në përputhje me këtë, dallohen llojet e mëposhtme të këndeve dihedrale.

Akute (Fig. 6)

Një kënd dihedral është i mprehtë nëse këndi i tij linear është i mprehtë, d.m.th. .

Drejt (Fig. 7)

Një kënd dihedral është i drejtë kur këndi i tij linear është 90° - I mpirë (Fig. 8)

Një kënd dihedral është i mpirë kur këndi i tij linear është i mpirë, d.m.th. .

Oriz. 7. Këndi i drejtë

Oriz. 8. Këndi i mpirë

Shembuj të ndërtimit të këndeve lineare në figura reale

ABCD- katërkëndësh.

1. Ndërtoni një kënd linear të një këndi dykëndor me një buzë AB.

Oriz. 9. Ilustrim për problemin

Ndërtimi:

Po flasim për një kënd dihedral, i cili formohet nga buza AB dhe skajet ABD Dhe ABC(Fig. 9).

Le të bëjmë një direktivë DN pingul me rrafshin ABC, N- baza e pingules. Le të vizatojmë një të prirur DM pingul me një vijë të drejtë AB,M- baza e pjerrët. Nga teorema e tre pingulave konkludojmë se projeksioni i një të zhdrejtë NM gjithashtu pingul me vijën AB.

Kjo është, nga pika M u rivendosën dy pingule në buzë AB në dy anët ABD Dhe ABC. Ne morëm këndin linear DMN.

vini re, se AB, një skaj i një këndi dihedral, pingul me rrafshin e këndit linear, d.m.th., rrafshi DMN. Problemi është zgjidhur.

Komentoni. Këndi dihedral mund të shënohet si më poshtë: DABC, Ku

AB- buzë dhe pika D Dhe ME shtrihen në anë të ndryshme të këndit.

2. Ndërtoni një kënd linear të një këndi dykëndor me një buzë AC.

Le të vizatojmë një pingul DN tek aeroplani ABC dhe të prirur DN pingul me një vijë të drejtë AC. Nga teorema e tre pingulave gjejmë se NN- projeksion i zhdrejtë DN tek aeroplani ABC, gjithashtu pingul me vijën AC.DNH- këndi linear i një këndi dykëndor me një buzë AC.

Në një katërkëndësh DABC të gjitha skajet janë të barabarta. Pika M- mesi i brinjës AC. Vërtetoni se këndi DMV- këndi linear dihedral JUD, pra një kënd dihedral me një buzë AC. Një nga fytyrat e saj është ACD, e dyta - DIA(Fig. 10).

Oriz. 10. Ilustrim për problemin

Zgjidhje:

Trekëndëshi ADC- barabrinjës, DM- mesatare, dhe për rrjedhojë lartësia. Do të thotë, DM ⊥ AC. Po kështu, trekëndësh ANËC- barabrinjës, NËM- mesatare, dhe për rrjedhojë lartësia. Do të thotë, VM ⊥ AC.

Kështu, nga pika M brinjët AC këndi dihedral rivendosi dy pingul DM Dhe VM në këtë buzë në faqet e këndit dihedral.

Pra, ∠ DMNËështë këndi linear i këndit dihedral, që është ajo që duhej vërtetuar.

Pra, ne kemi përcaktuar këndin dihedral, këndin linear të këndit dihedral.

Në mësimin tjetër do të shikojmë pingulësinë e vijave dhe planeve, më pas do të mësojmë se çfarë është një kënd dihedral në bazën e figurave.

Lista e referencave në temën "Këndi dihedral", "Këndi dihedral në bazën e figurave gjeometrike"

Gjeometria. Klasat 10-11: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm / Sharygin I.F - M.: Bustard, 1999. - 208 f.: ill.
Gjeometria. Klasa e 10-të: Libër mësuesi për institucionet e arsimit të përgjithshëm me studim të thelluar dhe të specializuar të matematikës /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Botimi i 6-të, stereotip. - M.: Bustard, 2008. - 233 f.: ill.

Yaklass.ru ().
E-science.ru ().
Webmath.exponenta.ru ().
Tutoronline.ru ().

Detyrë shtëpie me temën "Këndi dihedral", përcaktimi i këndit dihedral në bazën e figurave

Gjeometria. Klasat 10-11: tekst shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (nivelet bazë dhe të specializuara) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Botimi i 5-të, i korrigjuar dhe i zgjeruar - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill.

Detyrat 2, 3 f. 67.

Çfarë është këndi linear dihedral? Si ta ndërtoni atë?

ABCD- katërkëndësh. Ndërtoni një kënd linear të një këndi dihedral me një buzë:

A) NËD b) DME.

ABCD.A. 1 B 1 C 1 D 1 - kubik Ndërtoni këndin linear të këndit dyhedral A 1 ABC me brinjë AB. Përcaktoni masën e shkallës së tij.

Tema e mësimit: "Këndi dihedral".

Qëllimi i mësimit: prezantimi i konceptit të këndit dihedral dhe këndit të tij linear.

Detyrat:

Edukative: të shqyrtojë detyrat për zbatimin e këtyre koncepteve, të zhvillojë aftësinë konstruktive për të gjetur këndin midis planeve;

Zhvillimore: zhvillimi i të menduarit krijues të studentëve, vetë-zhvillimi personal i studentëve, zhvillimi i të folurit të studentëve;

Edukative: edukimi i kulturës së punës mendore, kulturës komunikuese, kulturës reflektuese.

Lloji i mësimit: mësim në mësimin e njohurive të reja

Metodat e mësimdhënies: shpjeguese dhe ilustruese

Pajisjet: kompjuter, tabelë interaktive.

Literatura:

Gjeometria. Klasat 10-11: tekst shkollor. për klasat 10-11. arsimi i përgjithshëm institucionet: bazë dhe profili. nivelet / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, etj.] - botimi i 18-të. – M.: Arsimi, 2009. – 255 f.

Plani i mësimit:

Momenti organizativ (2 min)

Përditësimi i njohurive (5 min)

Mësimi i materialit të ri (12 min)

Përforcimi i materialit të mësuar (21 min)

Detyrë shtëpie (2 min)

Përmbledhje (3 min)

Gjatë orëve të mësimit:

1. Momenti organizativ.

Përfshin mësuesin që përshëndet klasën, përgatit dhomën për mësimin dhe kontrollon mungesat.

2. Përditësimi i njohurive bazë.

Mësues: Në mësimin e fundit keni shkruar një vepër të pavarur. Në përgjithësi, vepra ishte shkruar mirë. Tani le ta përsërisim pak. Si quhet këndi në rrafsh?

Studenti: Një kënd në një plan është një figurë e formuar nga dy rreze që dalin nga një pikë.

Mësues: Si quhet këndi ndërmjet vijave në hapësirë?

Studenti: Këndi ndërmjet dy drejtëzave të kryqëzuara në hapësirë është më i vogli nga këndet që formojnë rrezet e këtyre drejtëzave me kulmin në pikën e kryqëzimit të tyre.

Studenti: Këndi ndërmjet vijave kryqëzuese është këndi ndërmjet vijave kryqëzuese, përkatësisht paralel me të dhënat.

Mësues: Si quhet këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit?

Studenti: Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshitÇdo kënd midis një drejtëze dhe projeksionit të saj në këtë rrafsh quhet.

3. Studimi i materialit të ri.

Mësues: Në stereometri, së bashku me kënde të tilla, konsiderohet një lloj tjetër këndi - këndet dihedral. Me siguri e keni marrë me mend tashmë se cila është tema e mësimit të sotëm, kështu që hapni fletoret tuaja, shkruani datën e sotme dhe temën e mësimit.

Shkruani në tabelë dhe në fletore:

10.12.14.

Këndi dihedral.

Mësues : Për të prezantuar konceptin e një këndi dihedral, duhet të kujtojmë se çdo vijë e drejtë e vizatuar në një rrafsh të caktuar e ndan këtë rrafsh në dy gjysmërrafshe.(Fig. 1, a)

Mësues : Le të imagjinojmë se e kemi përkulur rrafshin përgjatë një vije të drejtë në mënyrë që dy gjysmërrafshe me një kufi të mos qëndrojnë më në të njëjtin rrafsh (Fig. 1, b). Shifra që rezulton është këndi dihedral. Një kënd dihedral është një figurë e formuar nga një vijë e drejtë dhe dy gjysmërrafshe me një kufi të përbashkët që nuk i përkasin të njëjtit rrafsh. Gjysmë-rrafshët që formojnë një kënd dihedral quhen faqet e tij. Një kënd dihedral ka dy anë, prandaj emri i këndit dihedral. Vija e drejtë - kufiri i përbashkët i gjysmërrafsheve - quhet skaji i këndit dihedral. Shkruani përkufizimin në fletoren tuaj.

Një kënd dihedral është një figurë e formuar nga një vijë e drejtë dhe dy gjysmërrafshe me një kufi të përbashkët që nuk i përkasin të njëjtit rrafsh.

Mësues : Në jetën e përditshme hasim shpesh objekte që kanë formën e një këndi dykëndor. Jep shembuj.

Studenti : Dosja gjysmë e hapur.

Studenti : Muri i dhomës është së bashku me dyshemenë.

Studenti : Çatitë e pallateve të ndërtesave.

Mësues : E drejte. Dhe ka një numër të madh shembujsh të tillë.

Mësues : Siç e dini, këndet në një rrafsh maten me gradë. Ju ndoshta keni një pyetje, si maten këndet dihedrale? Kjo bëhet si më poshtë.Le të shënojmë një pikë në skajin e këndit dihedral dhe të vizatojmë një rreze pingul me skajin nga kjo pikë në secilën faqe. Këndi i formuar nga këto rreze quhet kënd linear i këndit dihedral. Bëni një vizatim në fletoret tuaja.

Shkruani në tabelë dhe në fletore.

RRETH ∈ a, SH.A ⊥ a, VO ⊥ a, SABD- këndi dihedral,∠ AOB– këndi linear i këndit dihedral.

Mësues : Të gjitha këndet lineare të një këndi dihedral janë të barabartë. Bëni vetes një tjetër vizatim si ky.

Mësues : Le ta vërtetojmë. Konsideroni dy kënde lineare AOB dhePQR. Rrezet OA dheQPshtrihen në të njëjtën fytyrë dhe janë pingulOQ, që do të thotë se ata janë të bashkëdrejtuar. Në mënyrë të ngjashme, rrezet OB dheQRbashkëdrejtuar. Do të thotë,∠ AOB= ∠ PQR(si kënde me brinjë të rreshtuara).

Mësues : Epo, tani përgjigja në pyetjen tonë është se si matet këndi dihedral.Masa e shkallës së një këndi dihedral është masa e shkallës së këndit të tij linear. Rivizatoni imazhet e një këndi dihedral akut, të drejtë dhe të mpirë nga libri shkollor në faqen 48.

4. Konsolidimi i materialit të studiuar.

Mësues : Bëni vizatime për detyrat.

№ 1 . Jepet: ΔABC, AC = BC, AB shtrihet në rrafshα, CD ⊥ α, C∉ α. Ndërtoni këndin linear të këndit dihedralCABD.

Studenti : Zgjidhja:C.M. ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ VKM - i kërkuar.

№ 2. Jepet: ΔABC, ∠ C= 90°, BC shtrihet në aeroplanα, SH.A⊥ α, A∈ α.

Ndërtoni këndin linear të këndit dihedralABCO.

Studenti : Zgjidhja:AB ⊥ B.C., SH.A⊥ BC do të thotë OS⊥ dielli.∠ ACO - i kërkuar.

№ 3 . Jepet: ΔABC, ∠ C = 90°, AB shtrihet në rrafshα, CD⊥ α, C∉ α. Ndërtonikëndi linear dihedralDABC.

Studenti : Zgjidhja: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB do të thotë∠ DKC - i kërkuar.

№ 4 . E dhënë:DABC- katërkëndësh,BËJ⊥ ABC.Ndërtoni këndin linear të këndit dihedralABCD.

Studenti : Zgjidhja:DM ⊥ dielli,BËJ ⊥ VS do të thotë OM⊥ dielli;∠ OMD - i kërkuar.

5. Duke përmbledhur.

Mësues: Çfarë të re mësuat sot në klasë?

Studentët : Çfarë quhet kënd dyhedral, kënd linear, si matet këndi dykëndor.

Mësues : Çfarë përsëritën?

Studentët : Çfarë quhet kënd në rrafsh; këndi ndërmjet vijave të drejta.

6.Detyrat e shtëpisë.

Shkruani në tabelë dhe në ditarët tuaj: paragrafi 22, nr.167, nr.170.

TEKSTI TRANSKRIPT I MËSIMIT:

Në planimetri, objektet kryesore janë vijat, segmentet, rrezet dhe pikat. Rrezet që dalin nga një pikë formojnë një nga format e tyre gjeometrike - një kënd.

Ne e dimë se këndi linear matet në gradë dhe radianë.

Në stereometri, një aeroplan u shtohet objekteve. Figura e formuar nga një drejtëz a dhe dy gjysmërrafshe me kufi të përbashkët a që nuk i përkasin të njëjtit rrafsh në gjeometri quhet kënd dihedral. Gjysmë-rrafshët janë faqet e një këndi dihedral. Vija e drejtë a është një skaj i një këndi dykëndor.

Një kënd dihedral, si një kënd linear, mund të emërtohet, matet dhe ndërtohet. Kjo është ajo që duhet të zbulojmë në këtë mësim.

Le të gjejmë këndin dihedral në modelin ABCD tetraedrik.

Një kënd dihedral me skajin AB quhet CABD, ku pikat C dhe D u përkasin faqeve të ndryshme të këndit dhe skaji AB quhet në mes.

Rreth nesh ka mjaft objekte me elementë në formën e një këndi dihedral.

Në shumë qytete, në parqe janë instaluar stola të posaçëm për pajtim. Stoli është bërë në formën e dy planeve të pjerrëta që konvergojnë drejt qendrës.

Gjatë ndërtimit të shtëpive, shpesh përdoret e ashtuquajtura çati gable. Në këtë shtëpi çatia është bërë në formën e një këndi dihedral prej 90 gradë.

Këndi dihedral matet gjithashtu në gradë ose radianë, por si të matet.

Është interesante të theksohet se çatitë e shtëpive mbështeten në mahi. Dhe veshja e mahijeve formon dy pjerrësi të çatisë në një kënd të caktuar.

Le ta transferojmë imazhin në vizatim. Në vizatim, për të gjetur një kënd dykëndor, pika B është shënuar në skajin e saj Nga kjo pikë, dy rreze BA dhe BC janë tërhequr pingul me skajin e këndit. Këndi ABC i formuar nga këto rreze quhet kënd linear dihedral.

Masa e shkallës së një këndi dihedral është e barabartë me masën e shkallës së këndit të tij linear.

Le të matim këndin AOB.

Masa e shkallës së një këndi të caktuar dihedral është gjashtëdhjetë gradë.

Një numër i pafund këndesh lineare mund të vizatohen për një kënd dykëndor, është e rëndësishme të dini se të gjithë janë të barabartë;

Le të shqyrtojmë dy kënde lineare AOB dhe A1O1B1. Rrezet OA dhe O1A1 shtrihen në të njëjtën faqe dhe janë pingul me drejtëzën OO1, kështu që ato janë në një drejtim. Trarët OB dhe O1B1 janë gjithashtu të bashkëdrejtuar. Prandaj, këndi AOB është i barabartë me këndin A1O1B1 si kënde me brinjë bashkëdrejtuese.

Pra, një kënd dihedral karakterizohet nga një kënd linear, dhe këndet lineare janë akute, të mpirë dhe të drejtë. Le të shqyrtojmë modelet e këndeve dihedrale.

Një kënd i mpirë është nëse këndi i tij linear është midis 90 dhe 180 gradë.

Një kënd i drejtë nëse këndi i tij linear është 90 gradë.

Një kënd i mprehtë, nëse këndi i tij linear është nga 0 në 90 gradë.

Le të provojmë një nga vetitë e rëndësishme të një këndi linear.

Rrafshi i këndit linear është pingul me skajin e këndit dihedral.

Le të jetë këndi AOB këndi linear i një këndi të caktuar dihedral. Nga ndërtimi, rrezet AO dhe OB janë pingul me drejtëzën a.

Rrafshi AOB kalon nëpër dy drejtëza të kryqëzuara AO dhe OB sipas teoremës: Një rrafsh kalon nëpër dy drejtëza të kryqëzuara dhe vetëm një.

Drejtëza a është pingul me dy drejtëza prerëse që shtrihen në këtë rrafsh, që do të thotë, bazuar në pingulitetin e drejtëzës dhe rrafshit, drejtëza a është pingul me rrafshin AOB.

Për të zgjidhur problemet, është e rëndësishme të jeni në gjendje të ndërtoni një kënd linear të një këndi të caktuar dihedral. Ndërtoni një kënd linear të një këndi dykëndor me buzë AB për tetraedrin ABCD.

Bëhet fjalë për një kënd dihedral, i cili formohet, së pari, nga buza AB, njëra faqe ABD dhe faqja e dytë ABC.

Këtu është një mënyrë për ta ndërtuar atë.

Le të vizatojmë një pingul nga pika D në rrafshin ABC. Kujtoni se në një katërkëndor baza e pingulit përkon me qendrën e rrethit të brendashkruar në bazën e katërkëndëshit.

Le të vizatojmë një vijë të pjerrët nga pika D pingul në skajin AB, shënojmë pikën N si bazë të vijës së pjerrët.

Në trekëndëshin DMN, segmenti NM do të jetë projeksioni i DN-së së pjerrët në rrafshin ABC. Sipas teoremës së tre pingulave, buza AB do të jetë pingul me projeksionin NM.

Kjo do të thotë se anët e këndit DNM janë pingul me skajin AB, që do të thotë se këndi i ndërtuar DNM është këndi linear i dëshiruar.

Le të shqyrtojmë një shembull të zgjidhjes së një problemi të llogaritjes së një këndi dihedral.

Trekëndëshi dykëndësh ABC dhe trekëndëshi i rregullt ADB nuk shtrihen në të njëjtin rrafsh. Segmenti CD është pingul me planin ADB. Gjeni këndin dihedral DABC nëse AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Këndi dihedral i DABC është i barabartë me këndin e tij linear. Le të ndërtojmë këtë kënd.

Le të vizatojmë CM-në e prirur pingul me skajin AB, pasi trekëndëshi ACB është dykëndësh, atëherë pika M do të përkojë me mesin e skajit AB.

Drejtëza CD është pingul me rrafshin ADB, që do të thotë se është pingul me vijën e drejtë DM që shtrihet në këtë rrafsh. Dhe segmenti MD është një projeksion i CM-së së pjerrët në ADV të planit.

Drejtëza AB është pingul me CM-në e pjerrët nga ndërtimi, që do të thotë, me teoremën e tre pingulave, është pingul me projeksionin MD.

Pra, dy pingul CM dhe DM gjenden në skajin AB. Kjo do të thotë se ata formojnë një kënd linear CMD të këndit dihedral DABC. Dhe gjithçka që duhet të bëjmë është ta gjejmë atë nga trekëndëshi kënddrejtë CDM.

Pra, segmenti SM është mesatarja dhe lartësia e trekëndëshit izoscelular ACB, atëherë sipas teoremës së Pitagorës, kema SM është e barabartë me 4 cm.

Nga trekëndëshi kënddrejtë DMB, sipas teoremës së Pitagorës, kema DM është e barabartë me dy rrënjët e tre.

Kosinusi i një këndi nga një trekëndësh kënddrejtë është i barabartë me raportin e këmbës ngjitur MD me hipotenuzën CM dhe është i barabartë me tre rrënjë nga tre herë dy. Kjo do të thotë që këndi CMD është 30 gradë.

Përgatitja e studentëve për të marrë Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, si rregull, fillon me përsëritjen e formulave bazë, përfshirë ato që ju lejojnë të përcaktoni këndin midis planeve. Përkundër faktit se kjo pjesë e gjeometrisë është e mbuluar me hollësi të mjaftueshme brenda kurrikulës shkollore, shumë maturantë duhet të përsërisin materialin bazë. Duke kuptuar se si të gjejnë këndin midis avionëve, nxënësit e shkollave të mesme do të jenë në gjendje të llogarisin shpejt përgjigjen e saktë kur zgjidhin një problem dhe të llogarisin në marrjen e rezultateve të mira për rezultatet e kalimit të provimit të unifikuar të shtetit.

Për të siguruar që pyetja se si të gjeni një kënd dihedral nuk shkakton vështirësi, ju rekomandojmë të ndiqni një algoritëm zgjidhjeje që do t'ju ndihmojë të përballeni me detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit.

Së pari ju duhet të përcaktoni vijën e drejtë përgjatë së cilës kryqëzohen aeroplanët.

Pastaj ju duhet të zgjidhni një pikë në këtë vijë dhe të vizatoni dy pingul me të.

Hapi tjetër është gjetja e funksionit trigonometrik të këndit dihedral të formuar nga pingulët. Mënyra më e përshtatshme për ta bërë këtë është me ndihmën e trekëndëshit që rezulton, pjesë e të cilit është edhe këndi.

Përgjigja do të jetë vlera e këndit ose funksioni i tij trigonometrik.

ora 1 e mëngjesit

Gjatë orëve të mësimit në prag të dhënies së Provimit të Unifikuar të Shtetit, shumë nxënës të shkollës përballen me problemin e gjetjes së përkufizimeve dhe formulave që u lejojnë atyre të llogarisin këndin midis 2 planeve. Një tekst shkollor nuk është gjithmonë në dorë pikërisht kur nevojitet. Dhe për të gjetur formulat dhe shembujt e nevojshëm të zbatimit të tyre të saktë, përfshirë gjetjen e këndit midis avionëve në internet në internet, ndonjëherë duhet të shpenzoni shumë kohë.

Portali matematikor Shkolkovo ofron një qasje të re për përgatitjen për provimin e shtetit. Klasat në faqen tonë të internetit do t'i ndihmojnë studentët të identifikojnë seksionet më të vështira për veten e tyre dhe të plotësojnë boshllëqet në njohuri.

Ne kemi përgatitur dhe prezantuar qartë të gjithë materialin e nevojshëm. Përkufizimet dhe formulat bazë janë paraqitur në seksionin "Informacioni Teorik".

Për të kuptuar më mirë materialin, ne sugjerojmë të praktikoni edhe ushtrimet e duhura. Një përzgjedhje e madhe e detyrave me shkallë të ndryshme kompleksiteti, për shembull, në, është paraqitur në seksionin "Katalog". Të gjitha detyrat përmbajnë një algoritëm të detajuar për gjetjen e përgjigjes së saktë. Lista e ushtrimeve në faqen e internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Ndërsa praktikojnë zgjidhjen e problemeve që kërkojnë gjetjen e këndit midis dy planeve, studentët kanë mundësinë të ruajnë çdo detyrë në internet si "Të preferuarat". Falë kësaj, ata do të jenë në gjendje t'i kthehen asaj numrin e kërkuar herë dhe të diskutojnë përparimin e zgjidhjes së tij me një mësues ose mësues shkolle.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve