Në praktikë, shpesh është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti që një ngjarje me interes të ndodhë me një nga ngjarjet që formojnë një grup të plotë. Teorema e mëposhtme, e cila është pasojë e teoremave të mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit, të çon në përfundimin formulë e rëndësishme për të llogaritur probabilitetin e ngjarjeve të tilla. Kjo formulë quhet formulë probabilitet të plotë.

Le H 1 , H 2 , … , H n është ni papajtueshëm në çift Ngjarjet që formojnë një grup të plotë:

1) të gjitha ngjarjet janë të papajtueshme në çift: H i ∩ Hj= ; i, j= 1,2, … , n; ij;

2) kombinimi i tyre formon hapësirë rezultatet elementare W:

Ngjarje të tilla quhen ndonjëherë hipoteza. Le të ndodhë ngjarja A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet H une ( i = 1, 2, … , n). Atëherë teorema është e vërtetë.

Dëshmi. Në të vërtetë, me kusht ngjarja A mund të ndodhë nëse ndodh një nga sa vijon ngjarje të papajtueshme H 1 , H 2 … H n, d.m.th. ndodhja e një ngjarjeje A nënkupton ndodhjen e njërës prej ngjarjeve H 1 ∙ A, H 2 ∙ A, … , H n∙ A. Ngjarjet e fundit janë gjithashtu të papajtueshme, sepse nga H unë∙ H j = ( i j) rrjedh se ( A ∙ H i) ∙ ( A ∙ H j) = ( i j). Tani e vërejmë atë

Kjo barazi është ilustruar mirë në Fig. 1.19. Nga teorema e mbledhjes rrjedh . Por sipas teoremës së shumëzimit, barazia është e vërtetë për çdo unë, 1 ≤ i ≤ n. Prandaj, formula e probabilitetit total (1.14) është e vlefshme. Teorema është vërtetuar.

Komentoni. Probabilitetet e ngjarjeve (hipoteza) H 1 , H 2 , … , H n , të cilat përfshihen në formulën (1.14) gjatë zgjidhjes detyra specifike ose të dhëna ose ato duhet të llogariten gjatë procesit të zgjidhjes. NË rastin e fundit korrektësia e llogaritjes R(H i) ( i = 1, 2, … , n) kontrollohet nga relacioni = 1 dhe llogaritja R(H i) kryhet në fazën e parë të zgjidhjes së problemit. Në fazën e dytë llogaritet R(A).

Kur zgjidhni probleme duke përdorur formulën e probabilitetit total, është e përshtatshme t'i përmbaheni teknikës së mëposhtme.

Metodologjia për zbatimin e formulës së probabilitetit total

A). Prezantoni një ngjarje në konsideratë (e shënojmë atë A), probabiliteti i të cilit duhet të përcaktohet në bazë të kushteve të problemit.

b). Prezantoni ngjarjet (hipotezat) në konsideratë H 1 , H 2 , … , H n , të cilat formojnë një grup të plotë.

V). Shkruani ose llogaritni probabilitetet e hipotezave R(H 1), R(H 2), … , R(H n). Kontrollimi i korrektësisë së llogaritjes R(H i) kontrolluar sipas kushteve NË më shumë problemet e probabilitetit R(H i) janë specifikuar drejtpërdrejt në deklaratën e problemit. Ndonjëherë këto probabilitete, si dhe probabilitete fq(A/H 1), fq(A/H 2), …, fq(A/H n) shumëzuar me 100 (numrat janë dhënë në përqindje). Në këtë rast, numrat e dhënë duhet të ndahen me 100.

G). Llogaritni probabilitetin e kërkuar R(A) sipas formulës (1.14).

Shembull. Ekonomisti llogariti se probabiliteti i një rritje të çmimit të aksioneve të kompanisë së tij në vitin tjeter do të jetë 0.75 nëse ekonomia e vendit është në rritje dhe 0.30 nëse ka krizë financiare. Sipas ekspertëve, probabiliteti i rimëkëmbjes ekonomike është 0.6. Vlerësoni gjasat që aksionet e kompanisë të rriten në çmim vitin e ardhshëm.

Zgjidhje. Në fillim, gjendja e problemit zyrtarizohet në aspektin e probabilitetit. Le A– ngjarja “aksionet do të rriten në çmim” (në lidhje me problemin). Sipas kushteve të problemit dallohen hipotezat: H 1 – “Ekonomia do të jetë në rritje”, H 2 – “Ekonomia do të hyjë në një periudhë krize”. H 1 , H 2 – formoni një grup të plotë, d.m.th. H 1 ∙ H 2 = , H 1 + H 2 = . Probabiliteti fq(H 1) = 0.6, pra, fq(H 2) = 1 – 0,6 = 0,4. Probabilitetet e kushtëzuara fq(A/H 1) = 0,75, fq(A/H 2) = 0,3. Duke përdorur formulën (1.14), marrim:

fq(A) = fq(H 1) ∙ fq(A/H 1) + fq(H 2) ∙ fq(A/H 2) = 0,75 ∙ 0,6 + 0,3 ∙ 0,4 = 0,57.

Përpiluar nga mësuesi i departamentit matematikë e lartë Ishchanov T.R. Mësimi nr. 4. Formula e probabilitetit total. Probabiliteti i hipotezave. Formulat e Bayes.

Materiali teorik
Formula e probabilitetit total
Teorema. Probabiliteti i ngjarjes A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme që formojnë një grup të plotë, është e barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej këtyre ngjarjeve me probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes A:

.
Kjo formulë quhet "formula e probabilitetit total".

Dëshmi. Sipas kushtit, ngjarja A mund të ndodhë nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme. Me fjalë të tjera, ndodhja e ngjarjes A nënkupton ndodhjen e njërës prej ngjarjeve të papajtueshme, pavarësisht se cilës. Duke përdorur teoremën e mbledhjes për të llogaritur probabilitetin e ngjarjes A, marrim
. (*)
Mbetet për të llogaritur secilin prej termave. Nga teorema e shumëzimit të probabilitetit ngjarje të varura ne kemi
.
Duke zëvendësuar anët e djathta të këtyre barazive në relacionin (*), marrim formulën për probabilitetin total

Shembulli 1. Ka dy grupe pjesësh. Probabiliteti që pjesa e grupit të parë të jetë standard është 0.8, dhe e dyta është 0.9. Gjeni probabilitetin që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme (nga një grup i marrë rastësisht) është standarde.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen "pjesa e nxjerrë është standarde".
Pjesa mund të merret ose nga grupi i parë (ngjarja) ose nga i dyti (ngjarja).
Probabiliteti që një pjesë të merret nga grupi i parë është .
Probabiliteti që një pjesë të merret nga grupi i dytë është .
Probabiliteti i kushtëzuar që një pjesë standarde të nxirret nga grupi i parë është .
Probabiliteti i kushtëzuar që një pjesë standarde do të nxirret nga grupi i dytë .
Probabiliteti i dëshiruar që një pjesë e nxjerrë në mënyrë të rastësishme të jetë standarde, sipas formulës së probabilitetit total, është e barabartë me

Shembulli 2. Kutia e parë përmban 20 tuba radio, nga të cilat 18 janë standarde; në kutinë e dytë ka 10 llamba, nga të cilat 9 janë standarde. Një llambë merret rastësisht nga kutia e dytë dhe vendoset në të parën. Gjeni probabilitetin që një llambë e nxjerrë në mënyrë të rastësishme nga kutia e parë të jetë standarde.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen "një llambë standarde hiqet nga kutia e parë".
Nga kutia e dytë, mund të hiqet ose një llambë standarde (ngjarje) ose një llambë (ngjarje) jo standarde.
Probabiliteti që një llambë standarde të hiqet nga kutia e dytë është .
Probabiliteti që një llambë jo standarde të hiqet nga kutia e dytë është
Probabiliteti i kushtëzuar që një llambë standarde të hiqet nga kutia e parë, me kusht që një llambë standarde të jetë transferuar nga kutia e dytë në të parën, është e barabartë me .
Probabiliteti i kushtëzuar që një llambë standarde të hiqet nga kutia e parë, me kusht që një llambë jo standarde të jetë transferuar nga kutia e dytë në të parën, është e barabartë me .
Probabiliteti i kërkuar që një llambë standarde të hiqet nga kutia e parë, sipas formulës së probabilitetit total, është e barabartë me

Probabiliteti i hipotezave. Formulat e Bayes

Supozoni se ngjarja A mund të ndodhë në varësi të shfaqjes së një prej ngjarjeve të papajtueshme që formojnë një grup të plotë. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A përcaktohet nga formula e probabilitetit total:

Le të supozojmë se u krye një test, si rezultat i së cilës u shfaq ngjarja A, le të vendosim detyrën tonë për të përcaktuar se si kanë ndryshuar probabilitetet e hipotezave (për shkak të faktit se ngjarja A ka ndodhur tashmë). Me fjalë të tjera, ne do të kërkojmë probabilitete të kushtëzuara

Le të gjejmë fillimisht probabilitetin e kushtëzuar. Nga teorema e shumëzimit kemi

Duke zëvendësuar P(A) këtu duke përdorur formulën (*), marrim

Në mënyrë të ngjashme, janë nxjerrë formula që përcaktojnë probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave të mbetura, d.m.th. probabiliteti i kushtëzuar i çdo hipoteze mund të llogaritet duke përdorur formulën

Formulat që rezultojnë quhen Formulat e Bayes(emërtuar sipas matematikanit anglez që i nxori ato; botuar në 1764). Formulat e Bayes lejojnë që dikush të rivlerësojë probabilitetet e hipotezave pasi të bëhet rezultat i njohur provë, si rezultat i së cilës u shfaq ngjarja A.

Shembull. Pjesët e prodhuara nga punishtja e fabrikës i dërgohen njërit nga dy inspektorët për të kontrolluar standardin e tyre. Probabiliteti që pjesa t'i shkojë inspektorit të parë është 0.6, dhe tek i dyti - 0.4. Probabiliteti që një pjesë e përshtatshme të njihet si standard nga inspektori i parë është 0.94, dhe nga i dyti - 0.98. Pjesa e vlefshme u zbulua se ishte standarde gjatë inspektimit. Gjeni probabilitetin që inspektori i parë të ketë kontrolluar këtë pjesë.
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen që një pjesë e përshtatshme njihet si standard. Mund të bëhen dy supozime:
1) pjesa është kontrolluar nga inspektori i parë (hipoteza);
2) pjesa është kontrolluar nga inspektori i dytë (hipoteza). Ne gjejmë probabilitetin e dëshiruar që pjesa është kontrolluar nga inspektori i parë duke përdorur formulën Bayes:

Sipas kushteve të problemit kemi:
(probabiliteti që pjesa të arrijë tek inspektori i parë);
(probabiliteti që pjesa të arrijë tek inspektori i dytë);
(probabiliteti që një pjesë e përshtatshme të njihet si standard nga inspektori i parë);
(probabiliteti që një pjesë e përshtatshme do të njihet si standard nga inspektori i dytë).
Probabiliteti i kërkuar

Siç mund ta shihni, para testit probabiliteti i hipotezës ishte 0.6 pasi rezultati i testit u bë i njohur, probabiliteti i kësaj hipoteze (më saktë, probabiliteti i kushtëzuar) ndryshoi dhe u bë i barabartë me 0.59. Kështu, përdorimi i formulës së Bayes bëri të mundur mbivlerësimin e probabilitetit të hipotezës në shqyrtim.

Material praktik.
1. (4) Montuesi mori 3 kuti me pjesë të prodhuara nga uzina nr. 1 dhe 2 kuti me pjesë të prodhuara nga uzina nr. 2. Probabiliteti që një pjesë nga uzina nr. 1 të jetë standarde është 0,8 dhe ajo nga uzina nr. 2 është 0.9, Assembler rastësisht mori pjesën nga një kuti e zgjedhur rastësisht. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të hiqet.
Reps. 0,84.
2. (5) Kutia e parë përmban 20 pjesë, nga të cilat 15 janë standarde; në të dytën ka 30 pjesë, nga të cilat 24 janë standarde; në të tretën ka 10 pjesë, nga të cilat 6 janë standarde. Gjeni probabilitetin që një pjesë e marrë në mënyrë të rastësishme nga një kuti e marrë në mënyrë të rastësishme është standarde.
Reps. 43/60.
3. (6) Ka 4 kineskopë në studion televizive. Probabilitetet që kineskopi të përballojë jetëgjatësinë e shërbimit të garancisë janë përkatësisht të barabarta me 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Gjeni probabilitetin që një kineskop i marrë në mënyrë të rastësishme t'i rezistojë periudhës së garancisë.
Reps. 0,875.
4. (3) Grupi i sportistëve përbëhet nga 20 skiatorë, 6 çiklistë dhe 4 vrapues. Probabiliteti i përmbushjes së standardit të kualifikimit është si më poshtë: për një skiator - 0.9, për një çiklist - 0.8. dhe për vrapuesin - 0,75. Gjeni probabilitetin që një atlet i zgjedhur rastësisht të përmbushë normën.
Reps. 0,86.
5. (C) Ka 12 topa të kuq dhe 6 blu në një kuti të bardhë. Në të zezë ka 15 topa të kuq dhe 10 blu. Hedhja zare. Nëse një numër pikësh është shumëfish i 3, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e bardhë. Nëse rrotullohet ndonjë numër tjetër pikësh, një top merret rastësisht nga kutia e zezë. Sa është probabiliteti që të shfaqet një top i kuq?
Zgjidhje:
Dy hipoteza janë të mundshme:
– gjatë hedhjes së zarit do të shfaqet numri i pikëve që është shumëfish i 3, d.m.th. ose 3 ose 6;
– gjatë hedhjes së zarit do të shfaqet një numër i ndryshëm pikësh, d.m.th. ose 1 ose 2 ose 4 ose 5.
Nga përkufizimi klasik probabilitetet e hipotezave janë të barabarta:

Meqenëse hipotezat përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh, barazia duhet të plotësohet

Lëreni që ngjarja A të përbëhet nga pamja e një topi të kuq. Probabilitetet e kushtëzuara të kësaj ngjarje varen nga cila hipotezë është realizuar dhe në përputhje me rrethanat janë:

Atëherë, sipas formulës së probabilitetit total, probabiliteti i ngjarjes A do të jetë i barabartë me:

6. (7) Dy kuti përmbajnë radio tuba. Kutia e parë përmban 12 llamba, 1 prej të cilave është jo standarde; në të dytën ka 10 llamba, nga të cilat 1 është jo standarde. Një llambë merret rastësisht nga kutia e parë dhe vendoset në të dytën. Gjeni probabilitetin që një llambë e marrë rastësisht nga kutia e dytë të jetë jo standarde.
Reps. 13/132.

7. (89 G) U hodh në një urnë që përmban dy topa top i bardhë, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht prej tij. Gjeni probabilitetin që topi i tërhequr të jetë i bardhë nëse janë të gjitha supozimet e mundshme përbërje origjinale topa (sipas ngjyrës).
Zgjidhje. Le të shënojmë me A ngjarjen - vizatohet një top i bardhë. Supozimet (hipotezat) e mëposhtme për përbërjen fillestare të topave janë të mundshme: - nuk ka topa të bardhë, - një top të bardhë, - dy topa të bardhë.
Meqenëse janë gjithsej tre hipoteza, dhe sipas kushtit ato janë njësoj të mundshme, dhe shuma e probabiliteteve të hipotezave është e barabartë me një (pasi ato formojnë një grup të plotë ngjarjesh), atëherë probabiliteti i secilës prej hipotezave është e barabartë me 1/3, d.m.th. .
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh që fillimisht nuk kishte topa të bardhë në urnë, .
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë, duke pasur parasysh që fillimisht kishte një top të bardhë në urnë, .
Probabiliteti i kushtëzuar që të vizatohet një top i bardhë duke pasur parasysh se fillimisht kishte dy topa të bardhë në urnë.
Ne gjejmë probabilitetin e kërkuar që një top i bardhë të vizatohet duke përdorur formulën e probabilitetit total:

8. (10) Një pjesë standarde hidhet në një kuti që përmban 3 pjesë identike, dhe më pas një pjesë vizatohet në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të hiqet nëse të gjitha supozimet e mundshme për numrin janë njësoj të mundshme pjesë standarde, e vendosur fillimisht në kuti.
Reps. 0,625.

9. (6.5.2L) Për të përmirësuar cilësinë e komunikimeve radio, përdoren dy radio marrës. Probabiliteti për të marrë një sinjal nga çdo marrës është 0.8, dhe këto ngjarje (marrja e sinjalit nga marrësi) janë të pavarura. Përcaktoni probabilitetin e marrjes së sinjalit nëse probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë një sesioni radio komunikimi për çdo marrës është 0.9.
Zgjidhje.
Lëreni ngjarjen A = (sinjali do të merret). Le të shqyrtojmë katër hipoteza:

=(marrësi i parë po punon, i dyti jo);

=(i dyti funksionon, i pari jo);

=(të dy marrës janë duke punuar);

=(të dy marrësit nuk funksionojnë).

Ngjarja A mund të ndodhë vetëm në një nga këto hipoteza. Le të gjejmë probabilitetin e këtyre hipotezave duke marrë parasysh ngjarjet e mëposhtme:

= (Marrësi i parë është duke punuar),

=(marrësi i dytë është duke punuar).

Kontrolli:

Probabilitetet e kushtëzuara janë përkatësisht të barabarta me:

;

Tani, duke përdorur formulën e probabilitetit total, gjejmë probabilitetin e dëshiruar

10. (11) Nëse makina devijon nga mënyra normale e funksionimit, alarmi C-1 aktivizohet me një probabilitet prej 0,8 dhe alarmi C-11 aktivizohet me një probabilitet prej 1. Probabilitetet që makina të jetë e pajisur me një C Alarmi -1 ose C-11 janë përkatësisht të barabartë me 0, 6 dhe 0.4. Është marrë një sinjal për prerjen e automatikut. Çfarë ka më shumë gjasa: makina është e pajisur me një pajisje sinjalizimi S-1 ose S-11?
Reps. Probabiliteti që makina të jetë e pajisur me një pajisje sinjalizuese S-1 është 6/11, dhe S-11 është 5/11

11. (12) Për pjesëmarrje në garat sportive kualifikuese të studentëve, nga grupi i parë i lëndës janë ndarë 4 studentë, nga i dyti 6 dhe nga grupi i tretë 5. Probabilitetet që një student i grupit të parë, të dytë dhe të tretë të futet në ekipin e institutit janë përkatësisht të barabarta me 0,9; 0.7 dhe 0.8. Një nxënës i përzgjedhur rastësisht përfundoi në ekipin kombëtar si rezultat i konkursit. Cilit grup i përkiste më shumë gjasa ky student?
Reps. Probabilitetet që të zgjidhet një nxënës i grupit të parë, të dytë, të tretë janë përkatësisht: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34K) Një kompani tregtare mori televizorë nga tre furnitorë në një raport 1:4:5. Praktika ka treguar se televizorët që vijnë nga furnizuesit e parë, të dytë dhe të tretë nuk do të kërkojnë riparime gjatë periudhës së garancisë në 98, 88 dhe 92% të rasteve, respektivisht.
1) Gjeni probabilitetin që një televizor i marrë nga një kompani tregtare të mos kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë.
2) Televizori i shitur kërkonte riparime gjatë periudhës së garancisë. Nga cili furnizues ka ardhur më shumë ky TV?
Zgjidhje.
Le të shënojmë ngjarjet: - TV mbërriti në kompaninë tregtare nga furnizuesi i i-të (i=1,2,3);
A – TV nuk do të kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë.
Sipas kushteve

Sipas formulës së probabilitetit total

TV Event do të kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë; .
Sipas kushteve

Sipas formulës së Bayes

;

Kështu, pas ndodhjes së ngjarjes, probabiliteti i hipotezës u rrit me në maksimum, dhe hipoteza u ul nga maksimumi në; nëse më parë (para ndodhjes së ngjarjes A) hipoteza më e mundshme ishte, tani, në dritën e informacione të reja(ndodhja e ngjarjes A), hipoteza më e mundshme është se ky TV do të vijë nga furnizuesi i dytë.

13. (1.35K) Dihet se mesatarisht 95% e produkteve të prodhuara plotësojnë standardin. Një skemë e thjeshtuar kontrolli njeh një produkt si të përshtatshëm me një probabilitet prej 0.98 nëse është standard dhe me një probabilitet prej 0.06 nëse është jo standard. Përcaktoni probabilitetin që:
1) një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme do t'i nënshtrohet kontrollit të thjeshtuar;
2) një produkt standard nëse: a) ka kaluar kontroll të thjeshtuar; b) kaloi dy herë kontrollin e thjeshtuar.
Zgjidhje.
1). Le të shënojmë ngjarjet:
- një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme, standarde ose jo standarde, përkatësisht;
- produkti ka kaluar kontroll të thjeshtuar.

Sipas kushteve

Probabiliteti që një produkt i marrë në mënyrë të rastësishme të kalojë kontrollin e thjeshtuar, sipas formulës së probabilitetit total:

2, a). Probabiliteti që një produkt që ka kaluar kontrollin e thjeshtuar është standard, sipas formulës Bayes:

2, b). Lëreni ngjarjen - produkti të kalojë dy herë në kontroll të thjeshtuar. Pastaj, nga teorema e shumëzimit të probabilitetit:

Sipas formulës së Bayes

është shumë i vogël, atëherë hipoteza se një produkt që ka kaluar kontrollin e thjeshtuar dy herë është jo standard duhet të hidhet poshtë si një ngjarje praktikisht e pamundur.

14. (1,36 K) Dy gjuajtës qëllojnë në një objektiv të pavarur nga njëri-tjetri, secili duke gjuajtur një të shtënë. Probabiliteti për të goditur objektivin për gjuajtësin e parë është 0.8; për të dytën - 0.4. Pas të shtënave, në objektiv është gjetur një vrimë. Sa është probabiliteti që i përket:
a) gjuajtës i parë;
b) gjuajtës i dytë?
Zgjidhje.
Le të shënojmë ngjarjet:

Të dy gjuajtësit humbën objektivin;

Të dy gjuajtësit goditën objektivin;

Gjuajtësi i parë goditi objektivin, i dyti jo;

Gjuajtësi i parë humbi objektivin, i dyti humbi;

Ka një vrimë në objektiv (një goditje).

Qëllimi i punës: zhvillojnë aftësi në zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit duke përdorur formulën e probabilitetit total dhe formulën e Bayes.

Formula e probabilitetit total

Probabiliteti i ngjarjes A, e cila mund të ndodhë vetëm nëse ndodh një nga ngjarjet e papajtueshme B x, B 2,..., B p, formimi i një grupi të plotë është i barabartë me shumën e produkteve të probabiliteteve të secilës prej këtyre ngjarjeve me probabilitetin përkatës të kushtëzuar të ngjarjes A:

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Probabiliteti i hipotezave. Formula e Bayes

Lëreni ngjarjen A mund të ndodhë në varësi të shfaqjes së një prej ngjarjeve të papajtueshme V b 2 ,..., V p, duke formuar një grup të plotë. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza. Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A përcaktohet nga formula e probabilitetit total:

Le të supozojmë se është kryer një test, si rezultat i të cilit ka ndodhur një ngjarje A. Është e nevojshme të përcaktohet se si ndryshon (për shkak të faktit se ngjarja A tashmë ka mbërritur) probabiliteti i hipotezave. Probabilitetet e kushtëzuara të hipotezave gjenden duke përdorur formulën

Në këtë formulë, indeksi / = 1.2

Kjo formulë quhet formula e Bayes (e quajtur sipas matematikanit anglez që e nxori atë; botuar në 1764). Formula e Bayes na lejon të rivlerësojmë probabilitetet e hipotezave pasi të dihet rezultati i testit që rezultoi në ngjarje. A.

Detyra 1. Fabrika prodhon një lloj të caktuar të pjesës, secila pjesë ka një defekt me probabilitet 0.05. Pjesa kontrollohet nga një inspektor; zbulon një defekt me një probabilitet prej 0.97, dhe nëse nuk zbulohet defekt, ai e kalon pjesën në produktin e përfunduar. Përveç kësaj, inspektori mund të refuzojë gabimisht një pjesë që nuk ka defekt; probabiliteti për këtë është 0.01. Gjeni probabilitetet e ngjarjeve të mëposhtme: A - pjesa do të refuzohet; B - pjesa do të refuzohet, por gabimisht; C - pjesa do të kalojë në produktin e përfunduar me një defekt.

Zgjidhje

Le të tregojmë hipotezat:

N= (një pjesë standarde do të dërgohet për inspektim);

N=(një pjesë jo standarde do të dërgohet për inspektim).

Ngjarje A =(pjesa do të refuzohet).

Nga kushtet problemore gjejmë probabilitetet

R N (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

Duke përdorur formulën e probabilitetit total marrim

Probabiliteti që një pjesë të refuzohet gabimisht është

Le të gjejmë probabilitetin që një pjesë të përfshihet në produktin e përfunduar me një defekt:

Përgjigje:

Detyra 2. Produkti kontrollohet për standarditet nga një nga tre ekspertët e mallrave. Probabiliteti që produkti të arrijë te tregtari i parë është 0,25, i dyti - 0,26 dhe i treti - 0,49. Probabiliteti që produkti të njihet si standard nga tregtari i parë është 0.95, nga i dyti - 0.98 dhe nga i treti - 0.97. Gjeni probabilitetin që një produkt standard të kontrollohet nga një inspektor i dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

L. =(produkti do të shkojë te tregtari/të për inspektim); / = 1, 2, 3;

B =(produkti do të konsiderohet standard).

Sipas kushteve të problemit, probabilitetet janë të njohura:

Njihen edhe probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që një produkt standard të kontrollohet nga një inspektor i dytë:

Përgjigje:“0.263.

Detyrë 3. Dy makina prodhojnë pjesë që shkojnë në një transportues të përbashkët. Probabiliteti për të marrë një pjesë jo standarde në makinën e parë është 0.06, dhe në të dytën - 0.09. Produktiviteti i makinës së dytë është dyfishi i të parës. Një pjesë jo standarde është marrë nga linja e montimit. Gjeni probabilitetin që kjo pjesë të jetë prodhuar nga makina e dytë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

A. =(një pjesë e marrë nga transportuesi është prodhuar nga makina /th); / = 1,2;

NË= (pjesa e marrë do të jetë jo standarde).

Njihen edhe probabilitetet e kushtëzuara

Duke përdorur formulën e probabilitetit total gjejmë

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pjesa e zgjedhur jo standarde të jetë prodhuar nga makina e dytë:

Përgjigje: 0,75.

Detyra 4. Ne po testojmë një pajisje të përbërë nga dy njësi, besueshmëria e të cilave është përkatësisht 0.8 dhe 0.9. Nyjet dështojnë në mënyrë të pavarur nga njëra-tjetra. Pajisja dështoi. Duke marrë parasysh këtë, gjeni probabilitetin e hipotezave:

a) vetëm nyja e parë është e gabuar;
b) vetëm nyja e dytë është e gabuar;
c) të dy nyjet janë të gabuara.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = (nyja e 7-të nuk do të dështojë); i = 1,2;

D - ngjarjet përkatëse të kundërta;

A= (gjatë testimit do të ketë një dështim të pajisjes).

Nga kushtet e problemës fitojmë: P(D) = 0,8; R(L 2) = 0,9.

Nga vetia e probabiliteteve ngjarje të kundërta

Ngjarje A e barabartë me shumën e produkteve ngjarje të pavarura

Duke përdorur teoremën për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme dhe teoremën për shumëzimin e probabiliteteve të ngjarjeve të pavarura, marrim

Tani gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Përgjigje:

Detyra 5. Në fabrikë, bulonat prodhohen në tre makina, të cilat prodhojnë përkatësisht 25%, 30% dhe 45% të numrit të përgjithshëm të bulonave. Në produktet e veglave të makinerisë, defektet janë përkatësisht 4%, 3% dhe 2%. Sa është probabiliteti që një bulon i marrë rastësisht nga një produkt në hyrje të jetë me defekt?

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (një rrufe i marrë në mënyrë të rastësishme është bërë në makinën e i-të); i = 1, 2, 3;

NË= (një rrufe i marrë rastësisht do të jetë me defekt).

Nga kushtet problemore sipas formulës probabiliteti klasik gjejmë probabilitetet e hipotezave:

Gjithashtu, duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, gjejmë probabilitete të kushtëzuara:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total gjejmë

Përgjigje: 0,028.

Detyra 6. Qarku elektronik i përket njërës nga tre palët me probabilitet 0.25; 0,5 dhe 0,25. Probabiliteti që qarku të funksionojë përtej afatit të shërbimit të garancisë për çdo grup është 0.1; 0.2 dhe 0.4. Gjeni probabilitetin që një qark i zgjedhur rastësisht të funksionojë përtej periudhës së tij të garancisë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

4 = (diagrami i marrë rastësisht nga partisë); i = 1, 2, 3;

NË= (një qark i zgjedhur rastësisht do të funksionojë përtej periudhës së garancisë).

Sipas kushteve të problemit, probabilitetet e hipotezave janë të njohura:

Probabilitetet e kushtëzuara janë gjithashtu të njohura:

Duke përdorur formulën e probabilitetit total gjejmë

Përgjigje: 0,225.

Detyra 7. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja ka dështuar. Përcaktoni probabilitetin që të dy njësitë të dështojnë.

Zgjidhje

Le të shënojmë ngjarjet:

D = ( z-blloku do të dështojë); i = 1,2;

A= (pajisja do të dështojë).

Nga kushtet e problemës, sipas vetive të probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, fitojmë: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Ngjarje A ndodh vetëm kur të paktën një nga ngjarjet D ose A 2. Prandaj kjo ngjarje është e barabartë me shumën e ngjarjeve A= D + A 2 .

Nga teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta marrim

Duke përdorur formulën Bayes, gjejmë probabilitetin që pajisja të dështojë për shkak të dështimit të të dy njësive.

Përgjigje:

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur Detyra 1. Në magazinën e studios televizive ka 70% të tubave të fotove të prodhuara nga uzina nr. 1; tubat e fotove të mbetura janë prodhuar nga fabrika nr. 2. Probabiliteti që tubi i fotografisë të mos dështojë gjatë jetëgjatësisë së garancisë është 0,8 për tubat e fotove nga fabrika nr. 1 dhe 0,7 për tubat e fotove nga fabrika nr. 2. Tubi i fotografisë i mbijetoi jetës së shërbimit të garancisë. Gjeni probabilitetin që të jetë prodhuar nga fabrika nr. 2.

Detyra 2. Pjesët merren për montim nga tre makina. Dihet që makina e parë jep 0,3% të defekteve, e dyta - 0,2%, e 3-ta - 0,4%. Gjeni probabilitetin e marrjes së një pjese të dëmtuar për montim nëse janë marrë 1000 pjesë nga makina e parë, 2000 nga makina e dytë dhe 2500 nga makina e tretë.

Detyra 3. Dy makina prodhojnë pjesë identike. Probabiliteti që një pjesë e prodhuar në makinën e parë të jetë standarde është 0.8, dhe në të dytën - 0.9. Produktiviteti i makinës së dytë është tre herë më i madh se produktiviteti i të parës. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të merret në mënyrë të rastësishme nga një transportues që merr pjesë nga të dy makinat.

Detyra 4. Kreu i kompanisë vendosi të përdorë shërbimet e dy prej tre kompanive të transportit. Probabilitetet e dorëzimit të parakohshëm të ngarkesave për firmat e para, të dyta dhe të treta janë përkatësisht të barabarta me 0.05; 0.1 dhe 0.07. Pasi i krahasoi këto të dhëna me të dhënat për sigurinë e transportit të mallrave, menaxheri arriti në përfundimin se zgjedhja ishte ekuivalente dhe vendosi ta bënte atë me short. Gjeni mundësinë që ngarkesa e dërguar të dorëzohet në kohë.

Detyra 5. Pajisja përmban dy blloqe, shërbimi i secilit prej të cilave është i nevojshëm për funksionimin e pajisjes. Probabilitetet e funksionimit pa dështim për këto blloqe janë përkatësisht 0.99 dhe 0.97. Pajisja ka dështuar. Përcaktoni probabilitetin që njësia e dytë të dështojë.

Detyrë 6. Dyqani i montimit merr pjesë nga tre makina. Makina e parë jep 3% të defekteve, e dyta - 1% dhe e treta - 2%. Përcaktoni probabilitetin që një pjesë jo e dëmtuar të hyjë në montim nëse janë marrë përkatësisht 500, 200, 300 pjesë nga secila makinë.

Detyra 7. Magazina pranon produkte nga tre kompani. Për më tepër, prodhimi i kompanisë së parë është 20%, e dyta - 46% dhe e treta - 34%. Dihet gjithashtu se përqindja mesatare e produkteve jo standarde për kompaninë e parë është 5%, për të dytën - 2% dhe për të tretën - 1%. Gjeni probabilitetin që një produkt i zgjedhur rastësisht të prodhohet nga një kompani e dytë nëse rezulton të jetë standard.

Detyra 8. Defekte në produktet e fabrikës për shkak të një defekti Aështë 5%, dhe ndër të refuzuarit në bazë të A produktet janë me defekt në 10% të rasteve R. Dhe në produkte pa defekte A, defekt R ndodh në 1% të rasteve. Gjeni probabilitetin për të hasur në një defekt R në të gjitha produktet.

Detyra 9. Kompania ka 10 makina të reja dhe 5 të vjetra të cilat më parë ishin në riparim. Probabiliteti i funksionimit të duhur për një makinë të re është 0.94, për një të vjetër - 0.91. Gjeni probabilitetin që një makinë e zgjedhur rastësisht të funksionojë siç duhet.

Problemi 10. Dy sensorë dërgojnë sinjale në një kanal të përbashkët komunikimi, ku i pari dërgon dy herë më shumë sinjale se i dyti. Probabiliteti i marrjes së një sinjali të shtrembëruar nga sensori i parë është 0.01, nga i dyti - 0.03. Sa është probabiliteti për të marrë një sinjal të shtrembëruar në një kanal të përbashkët komunikimi?

Problemi 11. Janë pesë tufa produktesh: tre tufa me 8 copë, nga të cilat 6 janë standarde dhe 2 jo standarde, dhe dy grupe me 10 copë, nga të cilat 7 janë standarde dhe 3 janë jo standarde. Një nga grupet zgjidhet në mënyrë të rastësishme dhe një pjesë merret nga kjo grumbull. Përcaktoni probabilitetin që pjesa e marrë të jetë standarde.

Problemi 12. Montuesi merr mesatarisht 50% të pjesëve nga impianti i parë, 30% nga impianti i dytë dhe 20% nga impianti i tretë. Probabiliteti që një pjesë nga impianti i parë të jetë me cilësi të shkëlqyer është 0,7; për pjesët nga fabrika e dytë dhe e tretë, përkatësisht 0.8 dhe 0.9. Pjesa e marrë në mënyrë të rastësishme doli të ishte e cilësisë së shkëlqyer. Gjeni probabilitetin që pjesa të jetë prodhuar nga fabrika e parë.

Problemi 13. Kontrolli doganor i automjeteve kryhet nga dy inspektorë. Mesatarisht, nga 100 makina, 45 kalojnë nga inspektori i parë. Probabiliteti që gjatë inspektimit të korrespondojë një makinë rregulloret doganore, nuk do të ndalohet, është 0.95 për inspektorin e parë dhe 0.85 për të dytin. Gjeni probabilitetin që një makinë që përputhet me rregullat doganore nuk do të ndalohet.

Problemi 14. Pjesët e nevojshme për montimin e pajisjes vijnë nga dy makina, performanca e të cilave është e njëjtë. Llogaritni probabilitetin e marrjes së një pjese standarde për montim nëse njëra nga makinat jep një shkelje mesatare prej 3% të standardit, dhe e dyta - 2%.

Problemi 15. Trajneri i peshëngritjes llogariti se për të marrë pikë ekipore në një kategori të caktuar peshe, një atlet duhet të shtyjë një shtangë prej 200 kg. Ivanov, Petrov dhe Sidorov janë në garë për një vend në ekip. Gjatë stërvitjes, Ivanov u përpoq të ngrejë një peshë të tillë në 7 raste dhe e ngriti atë në 3 prej tyre. Petrov ngriti në 6 nga 13 raste, dhe Sidorov ka një shans 35% për të trajtuar me sukses shtangën. Trajneri zgjedh rastësisht një atlet për ekipin.

a) Gjeni probabilitetin që atleti i përzgjedhur t'i sjellë pikë skuadrës.
b) Skuadra nuk ka marrë asnjë pikë. Gjeni probabilitetin që ka kryer Sidorov.

Problemi 16. Ka 12 topa të kuq dhe 6 blu në një kuti të bardhë. Në të zezë ka 15 topa të kuq dhe 10 blu. Hedhja e një zare. Nëse një numër pikësh është shumëfish i 3, atëherë një top merret rastësisht nga kutia e bardhë. Nëse rrotullohet ndonjë numër tjetër pikësh, një top merret rastësisht nga kutia e zezë. Sa është probabiliteti që të shfaqet një top i kuq?

Problemi 17. Dy kuti përmbajnë tuba radio. Kutia e parë përmban 12 llamba, 1 prej të cilave është jo standarde; në të dytën ka 10 llamba, nga të cilat 1 është jo standarde. Një llambë merret rastësisht nga kutia e parë dhe vendoset në të dytën. Gjeni probabilitetin që një llambë e marrë rastësisht nga kutia e dytë të jetë jo standarde.

Problemi 18. Një top i bardhë hidhet në një urnë që përmban dy topa, pas së cilës një top tërhiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që topi i nxjerrë të jetë i bardhë nëse të gjitha supozimet e mundshme për përbërjen fillestare të topave (bazuar në ngjyrë) janë po aq të mundshme.

Problemi 19. Një pjesë standarde hidhet në një kuti që përmban 3 pjesë identike dhe më pas një pjesë hiqet rastësisht. Gjeni probabilitetin që një pjesë standarde të hiqet nëse të gjitha supozimet e mundshme për numrin e pjesëve standarde fillimisht në kuti janë po aq të mundshme.

Problemi 20. Për të përmirësuar cilësinë e komunikimeve radio, përdoren dy marrës radio. Probabiliteti që çdo marrës të marrë një sinjal është 0.8, dhe këto ngjarje (marrja e sinjalit nga marrësi) janë të pavarura. Përcaktoni probabilitetin e marrjes së sinjalit nëse probabiliteti i funksionimit pa dështim gjatë një sesioni radio komunikimi për çdo marrës është 0.9.

Formula e probabilitetit total.

Pasojë e të dyjave kryesore teorema - teorema mbledhja e probabiliteteve dhe teorema e shumëzimit të probabiliteteve është e ashtuquajtura formula e probabilitetit total.

Le të jetë e nevojshme të përcaktohet probabiliteti i një ngjarje A që mund të ndodhë me një nga ngjarjet
, duke formuar një grup të plotë të ngjarjeve të papajtueshme Ne do t'i quajmë këto ngjarje hipoteza.

Le ta vërtetojmë këtë në këtë rast

Probabiliteti i ngjarjes A llogaritet si shuma e produkteve të probabilitetit të secilës hipotezë dhe probabilitetit të kushtëzuar të ngjarjes kur kjo hipotezë realizohet.

Kjo formulë quhet formula e probabilitetit total.

Dëshmi

Meqenëse hipotezat H1, H2..., Hn, formojnë një grup të plotë, ngjarja A mund të shfaqet në kombinim me ndonjë nga këto hipoteza

A=AH1+AH2+…+Ahn.

Meqenëse hipotezat H1, H2,…,Hn janë të papajtueshme, atëherë kombinimet H1A, H2A,…,HnA janë gjithashtu të papajtueshme; Duke zbatuar teoremën e mbledhjes në të, marrim:

Duke zbatuar teoremën e shumëzimit në ngjarjen HiA, marrim

Q.E.D.

Ka tre urna me pamje identike: urna e parë përmban dy topa të bardhë dhe një të zi; në të dytën ka tre top të bardhë dhe një të zi; në të tretën ka dy topa të bardhë dhe dy të zinj.

Dikush zgjedh njërën nga urnat në mënyrë të rastësishme dhe merr një top prej saj Gjeni probabilitetin që ky top të jetë i bardhë.

Le të shqyrtojmë tre hipoteza:

H1-zgjedhja e urnës së parë,

H2-zgjedhja e urnës së dytë,

H3-zgjedhja e urnës së tretë

Dhe ngjarja A është shfaqja e një topi të bardhë.

Meqenëse hipotezat sipas kushteve të problemit janë po aq të mundshme, atëherë

Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A sipas këtyre hipotezave janë përkatësisht të barabarta

Problemi 3.5.

Fabrika prodhon produkte, secila prej të cilave ka një defekt me probabilitet p.

Ka tre mbikëqyrës në punëtori; konsiderohet nga vetëm një inspektor, me probabilitet të barabartë i pari, i dyti ose i treti Probabiliteti i zbulimit të një defekti (nëse ka) për inspektorin e i-të është i barabartë me Pi (i = 1,2,3). Nëse produkti nuk është refuzuar në punishte, atëherë ai shkon në departamentin e kontrollit të cilësisë së fabrikës, ku defekti, nëse ka, zbulohet me probabilitetin P0.

Përcaktoni probabilitetin që produkti të refuzohet.

A - produkti do të refuzohet

B - produkti do të refuzohet në punëtori

C- produkti do të refuzohet nga departamenti i kontrollit të cilësisë së fabrikës.

Meqenëse ngjarjet B dhe C janë të papajtueshme dhe

P(A)=P(B)+P(C)

Ne gjejmë P(B) Që një produkt të refuzohet në punishte, së pari duhet të ketë një defekt dhe së dyti, të zbulohet defekti.

Probabiliteti që një defekt të zbulohet në punishte është i barabartë me

Vërtet,

Formulimi i hipotezave

Defekti H1 i konstatuar nga inspektori i parë

Defekti H2 i konstatuar nga inspektori i dytë

Defekti H3 i konstatuar nga inspektori i tretë

Nga këtu

Po kështu

Teorema e hipotezës (formula e Bayes)

Një pasojë e teoremës së shumëzimit dhe formulës së probabilitetit total është e ashtuquajtura teorema e hipotezës ose formula e Bayes.

Le të parashtrojmë problemin e mëposhtëm.

Ekziston një grup i plotë hipotezash jokonsistente H1,H2,…Hn Probabilitetet e këtyre hipotezave janë të njohura përpara eksperimentit dhe janë të barabarta me P(H1),P(H2),…,P(Hn) të prodhuara përvojë, si rezultat e cila vërehet ndodhja e ndonjë ngjarjeje A Shtrohet pyetja se si duhet të ndryshohen probabilitetet e hipotezave në lidhje me ndodhjen e kësaj ngjarjeje?

Në thelb këtu, ne po flasim për rreth gjetjes së probabilitetit të kushtëzuar P (Hi/A) për secilën hipotezë.

Nga teorema e shumëzimit kemi:

P(AHi)=P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*H(A/Hi),

Ose hidhni ana e majte

P(A)*P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi), i=1,2,…,n prej nga

Ose duke shprehur P(A) duke përdorur formulën e probabilitetit total, kemi

Kjo formulë quhet formula e Bayes ose teorema e hipotezës.

Pajisja mund të montohet nga pjesë të cilësisë së lartë dhe nga pjesë të cilësisë së zakonshme në përgjithësi, rreth 40% e pajisjeve janë montuar nga pjesë të cilësisë së lartë. Nëse pajisja është montuar nga pjesë me cilësi të lartë, besueshmëria e saj (probabiliteti i funksionimit pa dështim) me kalimin e kohës është i barabartë me 0.05; nëse pjesët janë të cilësisë normale, besueshmëria e tij është 0.7. Pajisja është testuar për kohën t dhe ka punuar pa të meta Gjeni probabilitetin që të jetë montuar nga pjesë të cilësisë së lartë.

Dy hipoteza janë të mundshme:

Pajisja H1 është montuar nga pjesë me cilësi të lartë,

Pajisja H2 është mbledhur nga pjesë të cilësisë së zakonshme.

Probabiliteti i këtyre hipotezave para eksperimentit

P(H1)=0.4; P(H2)=0.6.

Si rezultat i eksperimentit, u vu re ngjarja A - pajisja është pa defekte

Punoi për kohën t. Probabilitetet e kushtëzuara të kësaj ngjarje në

Hipotezat H1 dhe H2 janë të barabarta:

P(A/H1) = 0,95; P(A/H2) = 0,7.

Duke përdorur formulën Weiss, gjejmë probabilitetin e hipotezës H1 pas

Probleme të kombinatorikës.

Ne shume hulumtim statistikor Ekzistojnë probleme kombinuese, veçantia e të cilave është e dobishme për t'u demonstruar me shembuj:

Në sa mënyra mund të vendosen 10 libra të ndryshëm në një raft?

Në turne marrin pjesë 8 skuadra. Sa shume pikëpamje të ndryshme A mund të bëni diçka për tre vendet e para (bazuar në rezultatet e konkursit)?

Sa fjalë të ndryshme me tre shkronja mund të formohen nga 32 shkronjat e alfabetit, pavarësisht nëse fjalët e përbëra nga shkronja kanë kuptim apo jo?

Në sa mënyra mund të zgjidhen r elementë nga një grup k elementësh (të ndryshëm)?

Sa i madh është numri i rezultateve të ndryshme të hedhjes së dy zarave?

Shembujt e dhënë tregojnë se në problemet e kombinatorikës në përgjithësi interesohet për numrin e mostrave të ndryshme të objekteve të caktuara dhe, në varësi të llojit të kërkesave shtesë, duhet të dallohet se cilat mostra konsiderohen të njëjta dhe cilat janë të ndryshme.

Në teorinë e probabilitetit dhe statistika matematikore Ata kryesisht përdorin tre koncepte të kombinatorikës:

Vendosjet

Rirregullimet

Kombinimet

Rregullimet e n elementeve sipas m janë ato lidhje që ndryshojnë nga njëra-tjetra nga vetë elementët ose renditja e tyre. Për shembull: vendosjet e 3 elementeve a, b, c nga 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb elemente të ndryshme nga m A

Për shembull: vendosjet e 3 elementeve a, b, c me 2: ab,ac,bc, ba, ca,cb Numri i të gjitha vendosjeve të n elementeve të ndryshëm nga m A

Gjithsej m shumëzues

Permutacionet e n elementeve janë ato lidhje që ndryshojnë nga njëra-tjetra vetëm sipas renditjes së elementeve të përfshira në to elementet a,b dhe c: abc, bca, taksi, cba, bac, acb. Numri i të gjitha permutacioneve të n elementeve të ndryshëm Pn

Pn= 1*2*3* …*n=n!=An

Në sa mënyra mund të vendosen 10 libra në një raft?

P10=10!=3628800.

Kombinimet e n elementeve të m quhen përbërje të tyre, që ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm nga vetë elementët. Për shembull: kombinime të tre elementeve a, b dhe c, nga dy: ab, ac, bc. Numri i të gjitha kombinimeve të n elementeve të ndryshëm me m shënohet me Cn

Mund të shkruajmë

Përsëritja e eksperimenteve

Në aplikim praktik Teoria e probabilitetit shpesh has probleme në të cilat i njëjti eksperiment ose eksperimente të ngjashme përsëriten në mënyrë të përsëritur. Si rezultat i çdo eksperimenti, një ngjarje A mund të shfaqet ose jo si rezultat i një serie eksperimentesh.

Probleme të tilla zgjidhen shumë lehtë në rastin kur eksperimentet janë të pavarura.

Disa eksperimente quhen të pavarura nëse probabiliteti i një ose një tjetër rezultati të secilit eksperiment nuk varet nga rezultatet e eksperimenteve të tjera. Disa heqje të njëpasnjëshme të një karte nga kuverta përbëjnë eksperimente të pavarura, me kusht që karta e hequr të kthehet në kuvertë çdo herë dhe letrat të përzihen; V ndryshe- përvojat e varura.

Eksperimentet e pavarura mund të kryhen në kushte të njëjta ose të ndryshme.

Teorema e përgjithshme mbi përsëritjen e eksperimenteve.

Një teoremë e veçantë për përsëritjen e eksperimenteve ka të bëjë me rastin kur probabiliteti i ngjarjes A është i njëjtë në të gjitha eksperimentet. Në praktikë, shpesh haset më shumë rast i vështirë, kur eksperimentet kryhen në kushte të ndryshme, dhe probabiliteti i një ngjarjeje ndryshon nga eksperimenti në eksperiment. Metoda për llogaritjen e probabilitetit numri i dhënë ndodhja e ngjarjeve në kushte të tilla jepet nga teorema e përgjithshme mbi përsëritjen e eksperimenteve.

Lëreni numrin e eksperimenteve u=2, pastaj grupin e plotë të ngjarjeve:

P1P2+P1q2+q1P2+q1q2

Lëreni numrin e eksperimenteve u=3, pastaj grupin e plotë të ngjarjeve:

P1P2P3+P1P2q3+P1q2P3+q1P2P3+P1q2q3+q1P2q3+q1q2P+q1q2q3

Në mënyrë të ngjashme, për numrin e eksperimenteve n, grupi i plotë i ngjarjeve është:

P1P2*…*Pn+P1P2*…*qn+…+q1P2*…*Pn+…+q1*q2*…qn, dhe në secilin prej produkteve ngjarja A shfaqet m herë, dhe ngjarja A shfaqet n-m herë kombinimet janë ende

ose më të shkurtër

ku z është një parametër arbitrar.

Funksioni jn(z), zgjerimi i të cilit në fuqi të parametrit z jep pm,n si koeficientë probabiliteti, quhet funksion gjenerues i probabilitetit pm,n ose thjesht funksion gjenerues.

Duke përdorur konceptin e gjenerimit të funksioneve, ne mund të formulojmë teorema e përgjithshme rreth përsëritjes së eksperimenteve në formën e mëposhtme:

Probabiliteti që ngjarja A të shfaqet saktësisht m herë në n eksperimente të pavarura është e barabartë me koeficientin e zm në shprehjen e funksionit gjenerues

jn(z)=(qi+piz) ku pi është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në eksperimentin e i-të

Formulimi i mësipërm i teoremës së përgjithshme për përsëritjen e eksperimenteve, në ndryshim nga teorema e veçantë, nuk ofron një shprehje të qartë për probabilitetin pm,n.

Në parim, një shprehje e tillë mund të shkruhet, por është shumë komplekse, dhe ne nuk do ta paraqesim atë.

Sidoqoftë, pa përdorur një shprehje kaq të qartë, është ende e mundur të shkruhet teorema e përgjithshme mbi përsëritjen e eksperimenteve në formën e një formule të vetme.

vlerë e rastësishme.

Një nga konceptet bazë më të rëndësishme të teorisë së probabilitetit është koncepti i një ndryshoreje të rastësishme.

Një ndryshore e rastësishme është një sasi që, si rezultat i eksperimentit, mund të marrë një ose një vlerë tjetër dhe nuk dihet paraprakisht se cili emër.

Shembuj të variablave të rastësishëm:

Numri i thirrjeve të marra në centralin telefonik në ditë;

Numri i djemve të lindur në maternitet në muaj;

Numri i vajzave të lindura në maternitet në muaj;

Në të tre shembujt, variablat e rastësishëm mund të marrin vlera individuale, të izoluara që mund të numërohen paraprakisht.

Në shembullin 1;

Variabla të tilla të rastësishme që marrin vetëm vlera individuale të ndara nga njëra-tjetra quhen variabla diskrete.

Ekzistojnë lloje të tjera të ndryshoreve të rastësishme.

Për shembull, temperatura e ajrit, lagështia e ajrit, voltazhi në rrjetin e rrymës elektrike.

Funksioni i shpërndarjes.

Seritë e shpërndarjes, poligonin e shpërndarjes jo

janë karakteristika universale ndryshore e rastësishme: ato ekzistojnë vetëm për variabla të rastësishme diskrete Është e lehtë të shihet se një karakteristikë e tillë nuk mund të ndërtohet për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme. Në të vërtetë, një ndryshore e rastësishme e vazhdueshme ka një numër të pafund vlerash të mundshme, ???? duke zënë një interval të caktuar (i ashtuquajturi "bashkësi i panumërueshëm"). Është e pamundur të krijohet një tabelë që liston të gjitha vlerat e mundshme të një ndryshoreje të tillë të rastësishme. Rrjedhimisht, për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme nuk ka seri shpërndarjeje në kuptimin në të cilin ekziston për një ndryshore të ndërprerë. Megjithatë fusha të ndryshme vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme nuk janë ende njësoj të mundshme, dhe për vlerë e vazhdueshme ekziston një shpërndarje probabiliteti, megjithëse jo në të njëjtin kuptim si për një të ndërprerë (ose diskrete).

Për karakteristikat sasiore e kësaj shpërndarjeje probabiliteti është e përshtatshme të përdoret jo probabiliteti i ngjarjes x=x, por probabiliteti i ngjarjes x

Funksioni i shpërndarjes F(x) nganjëherë quhet edhe funksioni i shpërndarjes kumulative ose ligji i shpërndarjes kumulative.

Funksioni i shpërndarjes është një karakteristikë universale e një ndryshoreje të rastësishme

Karakterizon plotësisht një ndryshore të rastësishme nga një këndvështrim i mundshëm, d.m.th. është një nga format e shpërndarjes.

Le të formulojmë disa veti të përgjithshme të funksionit të shpërndarjes:

Funksioni i shpërndarjes F(x) është një funksion jo-zvogëlues i argumentit të tij, d.m.th. për x2>x1 F(x2)>F(x1).

Në minus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është zero

3. Në plus pafundësi, funksioni i shpërndarjes është i barabartë me 1.

Një funksion tipik i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme ka formën

Probabiliteti i leximit të një ndryshoreje të rastësishme për një zonë të caktuar.

Kur vendoset probleme praktike lidhur me variabla të rastësishme, shpesh është e nevojshme të llogaritet probabiliteti që ndryshorja e rastësishme të marrë një vlerë të përmbajtur brenda një diapazoni, për shembull nga a në b.

Për saktësi, le të biem dakord që të përfshijmë skajin e majtë të a në seksionin (a,b) dhe të mos përfshijmë skajin e djathtë, atëherë shfaqja e një ndryshoreje të rastësishme x në seksionin (a,b) është e barabartë me pabarazinë e mëposhtme. :

Le të shprehim probabilitetin e asaj ngjarjeje përmes funksionit të shpërndarjes së vlerës x. Për ta bërë këtë, merrni parasysh tre ngjarje:

ngjarja A, që konsiston në faktin se C

ngjarja B, që konsiston në faktin se C

ngjarja C, që konsiston në faktin se a

Duke marrë parasysh se A=B+C, me teoremën e mbledhjes së probabiliteteve kemi

R(C

F(b)=F(a)+R(a£C

P(a £ C

Ato. probabiliteti për të treguar një variabël të rastësishëm në një kufi të caktuar është i barabartë me rritjen e funksionit të shpërndarjes në këtë zonë.

Dendësia e shpërndarjes.

Le të jetë një ndryshore e vazhdueshme e rastësishme x me një funksion shpërndarjeje F(x), e cila do të propozojmë të jetë e vazhdueshme dhe e diferencueshme.

Le të llogarisim probabilitetin që kjo vlerë të bjerë në zonën nga x në x + DC:

R(C£C

dmth rritja e funksionit në këtë zonë. Le të shqyrtojmë raportin e kësaj probabiliteti me gjatësinë e seksionit, d.m.th. probabiliteti mesatar për njësi gjatësi në këtë seksion, dhe ne do ta afrojmë DC me 0. Në rresht do të marrim derivatin e funksionit të shpërndarjes.

Le të prezantojmë shënimin:

Funksioni f (x) - derivati i funksionit të shpërndarjes - karakterizon, si të thuash, densitetin me të cilin shpërndahen vlerat e një ndryshoreje të rastësishme në një pikë të caktuar. Ky funksion quhet dendësia e shpërndarjes

(i njohur ndryshe si "densiteti i probabilitetit") i një ndryshoreje të rastësishme të vazhdueshme X. Ndonjëherë funksioni f (x) quhet "funksioni i shpërndarjes diferenciale" ose "ligji i shpërndarjes diferenciale" të ndryshores X.

Një kurbë që përshkruan densitetin e shpërndarjes së një ndryshoreje të rastësishme quhet kurbë e shpërndarjes.

Dendësia e shpërndarjes, si funksioni i shpërndarjes, është një nga format e ligjit të shpërndarjes.

Le të shqyrtojmë një vlerë të vazhdueshme X me densitet të shpërndarjes f (x) dhe një seksion elementar DX,

ngjitur me pikën X.

Probabiliteti për të gjetur një ndryshore të rastësishme X në këtë seksion elementar (deri në infinitezimale të rendit më të lartë) është e barabartë me f (x)dx. Madhësia f (x)dx quhet element probabiliteti. Gjeometrikisht, kjo është zona e një drejtkëndëshi elementar që mbështetet në segmentin dx.

Le të shprehim probabilitetin e rënies së vlerës X në segmentin nga a në b përmes densitetit të shpërndarjes:

Natyrisht, është e barabartë me shumën e elementeve të probabilitetit në të gjithë këtë seksion, domethënë integralin:

Gjeometrikisht, probabiliteti i futjes së vlerës X në seksionin (a, b) është i barabartë me sipërfaqen e kurbës së shpërndarjes bazuar në këtë seksion.

shpreh dendësinë e shpërndarjes nëpërmjet funksionit të shpërndarjes. Le të pyesim veten problemin e anasjelltë: të shprehim funksionin e shpërndarjes në terma të densitetit

F(x)=P(X

Nga ku, sipas formulës (3), kemi:

F(x)=

Gjeometrikisht, F(x) nuk është asgjë më shumë se zona e kurbës së shpërndarjes që shtrihet në të majtë të pikës: X

Le të tregojmë vetitë kryesore të densitetit të shpërndarjes:

1. Dendësia e shpërndarjes është një funksion jo negativ

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga fakti se funksioni i shpërndarjes F(x) është një funksion jozvogëlues.

2. Integrali mbi kufijtë e pafundëm të densitetit të shpërndarjes është i barabartë me 1

Kjo rrjedh nga fakti se F(+¥)=1

Gjeometrikisht, vetitë kryesore të densitetit të shpërndarjes nënkuptojnë:

1. E gjithë kurba e shpërndarjes nuk qëndron nën boshtin x.

2. Sipërfaqja totale e kufizuar nga kurba e shpërndarjes dhe boshti x është e barabartë me 1.

KARAKTERISTIKAT NUMERIKE TË NDRYSHOREVE TË RASTËSISHME. ROLI DHE QËLLIMI I TYRE.

Ne u njohëm me një sërë karakteristikash të plota të variablave të rastësishëm - të ashtuquajturat ligje të shpërndarjes Këto karakteristika ishin:

Për një ndryshore të rastësishme diskrete

a) funksioni i shpërndarjes;

b) seritë e shpërndarjes (grafikisht – kurba e shpërndarjes).

Çdo ligj i shpërndarjes përfaqëson një funksion të caktuar, dhe treguesi i këtij funksioni është plotësisht

Përshkruan një variabël të rastësishëm nga një këndvështrim probabilistik.

Megjithatë, në shumë pyetje praktike nuk ka nevojë të karakterizohet një ndryshore e rastësishme sipas densitetit në një mënyrë shteruese.

Shpesh mjafton të tregohen vetëm parametra numerikë individualë që në një farë mase karakterizojnë tiparet thelbësore të shpërndarjes

vlera e çajit: për shembull, një vlerë mesatare, rreth së cilës grupohen vlerat e mundshme të një ndryshoreje të rastësishme; disa numra që karakterizojnë shkallën e shpërndarjes së këtyre vlerave në raport me mesataren, etj.

Duke përdorur karakteristika të tilla, ne mund të shprehim në mënyrën më kompakte të gjithë informacionin thelbësor për një ndryshore të rastësishme, duke përdorur parametra numerikë. një ndryshore e rastësishme.

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikave matematikore, përdoren një numër i madh i karakteristikave të ndryshme numerike, të cilat kanë qëllime të ndryshme dhe fusha të ndryshme aplikimi, por të gjitha ato ndahen në dy klasa:

1.Karakteristikat e pozicionit.

2. Karakteristikat e shpërndarjes.

Karakteristikat e pozicionit.

Vlera e pritshme. mesatare. Moda. Momenti i fillimit.

Ndër karakteristikat numerike të ndryshoreve të rastit, para së gjithash duhet të vëmë re ato që karakterizojnë pozicionet e ndryshores së rastit në boshtin numerik, d.m.th. e. Ata tregojnë një vlerë mesatare, të përafërt rreth së cilës grupohen të gjitha vlerat e mundshme të ndryshores së rastësishme.

Nga karakteristikat e një pozicioni në teorinë e probabilitetit, rolin më të rëndësishëm e luan pritshmëria matematikore e një ndryshoreje të rastësishme, e cila nganjëherë quhet vlera mesatare e një ndryshoreje të rastësishme.

Le të shqyrtojmë një ndryshore diskrete të rastësishme X që ka vlera të mundshme X1, X2,…Xn me probabilitete P1, P2,…Pn.

Duhet të karakterizojmë me një numër pozicionin e vlerave të një ndryshoreje të rastësishme në boshtin e abshisës. Për këtë qëllim, është e natyrshme të përdoret e ashtuquajtura "mesatare e ponderuar" e vlerave të Xi, me çdo vlerë të Xi në ?????????? duhet të merret parasysh me një “peshë” në përpjesëtim me probabilitetin e kësaj vlere. Se. Do të llogarisim vlerën mesatare të ndryshores së rastësishme x, të cilën do ta shënojmë me M[x]

Ose duke pasur parasysh këtë

Kjo mesatare e ponderuar quhet pritshmëri matematikore e ndryshores së rastit.

Pritja matematikore e një ndryshoreje të rastësishme është shuma e produkteve të të gjitha vlerave të mundshme të c. V. mbi probabilitetin e këtyre vlerave.

Vini re se në formulimin e mësipërm, përkufizimi i pritshmërisë matematikore është i vlefshëm vetëm për variabla diskrete të rastit.

Për një vlerë të vazhdueshme x, pritshmëria matematikore shprehet natyrshëm jo si një shumë, por si një integral:

Ku f(x) është dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X.

F(x)dx-element probabiliteti.

Përveç karakteristikave më të rëndësishme të pozicionit - pritshmërisë matematikore - në praktikë, ndonjëherë përdoren karakteristika të tjera të pozicionit, në veçanti mënyra dhe mesatarja.

Modaliteti i një ndryshoreje të rastësishme është vlera e tij më e mundshme, në mënyrë strikte, ne aplikojmë vetëm x për variablat diskrete

Për një ndryshore të rastësishme të vazhdueshme, modaliteti është vlera në të cilën densiteti i probabilitetit është maksimal

Median s. V. X quhet vlera e tij Me, pra është po aq e mundshme nëse ndryshorja e rastësishme rezulton të jetë më e vogël ose më e madhe se unë

Gjeometrikisht, mediana është abshisa e pikës në të cilën zona e kufizuar nga kurba e shpërndarjes ndahet në pjesë.

' P Grafiku i funksionit të shpërndarjes duket si

Problemi 5.50

Në kryqëzim ka një semafor automatik, në të cilin

Drita jeshile ndizet për 1 minutë dhe drita e kuqe ndizet për 0,5 minuta, pastaj drita jeshile ndizet për 1 minutë, drita e kuqe ndizet për 0,5 minuta, etj.

dikush i afrohet një kryqëzimi në një makinë në një moment të rastësishëm që nuk lidhet me punën

semafori

a) gjeni probabilitetin që ai të kalojë kryqëzimin pa u ndalur

b) gjeni kohën mesatare të pritjes në kryqëzim

Momenti kur një makinë kalon nëpër kryqëzim shpërndahet në mënyrë uniforme në një interval të barabartë me

Periudha e ndryshimit të ngjyrave në semaforë

Kjo periudhë është 1+0,5=1,5 minuta

Që një makinë të kalojë në një kryqëzim pa u ndalur, mjafton që

Momenti i kalimit të kryqëzimit ka ndodhur gjatë intervalit kohor (0.1)

Për një vlerë të rastësishme, subjekt i ligjit të densitetit konstant në intervalin (0,1,5)

Probabiliteti që të bjerë në intervalin (0.1) është i barabartë me Koha e pritjes është një variabël e rastësishme e përzier, me probabilitet është e barabartë me 0, dhe me probabilitet merr me të njëjtën densitet probabiliteti çdo vlerë ndërmjet 0 dhe 0.5 minuta.

Koha mesatare e pritjes në një kryqëzim

Ligji i shpërndarjes Poisson

Në shumë probleme praktike duhet të merret me variabla të rastësishme të shpërndara sipas një ligji të veçantë të quajtur ligji i Poisson-it. Le të shqyrtojmë

Një sasi diskrete që mund të marrë vetëm vlera të plota jo negative

0,1,2,..., m,...,

dhe sekuenca e këtyre vlerave është praktikisht e pakufizuar.

Një ndryshore e rastësishme X thuhet se shpërndahet sipas ligjit Poison nëse ekziston probabiliteti që

Do të marrë disa vlera m të shprehura me formulë

ku a është një vlerë pozitive e quajtur parametri Poisson Seria e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme X, e shpërndarë sipas ligjit të Poisson-it, ka formën;

Xm				...	m	...
pm

Varianca e vlerës X është e barabartë me

Probabiliteti që një ndryshore e rastësishme që i nënshtrohet ligjit normal të bjerë në një zonë të caktuar.

Në shumë probleme që lidhen me ndryshore të rastësishme të shpërndara normalisht, është e nevojshme të përcaktohet probabiliteti i shfaqjes së një ndryshoreje të rastësishme X, që i nënshtrohet një ligji normal me parametra.

m, s, në zonën nga a në b.

Për të llogaritur këtë probabilitet, ne përdorim formulën e përgjithshme.

R(a< C< b) = F(b) – F(a) (1)

ku F(b) është funksioni i shpërndarjes së vlerës X në pikën b

F(a) - funksioni i shpërndarjes së vlerës X në pikën a

Le të gjejmë funksionin e shpërndarjes F(x) të një ndryshoreje të rastësishme të shpërndarë sipas ligjit normal me parametrat m, s. Dendësia

shpërndarja e vlerës X është e barabartë me:

Nga këtu gjejmë funksionin e shpërndarjes:

Le të bëjmë një ndryshim të ndryshores në integral:

Dhe le ta vendosim në këtë formë:

Ky integral nuk shprehet me funksione elementare, por për të

janë përpiluar tabela.

Funksioni i shpërndarjes tabelare (e ashtuquajtura tabela integrale e probabilitetit) shënohet me:

Është e lehtë të shihet se ky funksion nuk është gjë tjetër veçse një funksion shpërndarjeje për një rastësi të shpërndarë normalisht

sasi me parametra m=0; s=1

Funksioni i shpërndarjes Ф*(х) quhet edhe funksioni i shpërndarjes normale.

Le të shprehim funksionin e shpërndarjes së vlerës X me parametrat m, s përmes funksionit të shpërndarjes normale:

Tani le të gjejmë probabilitetin që një ndryshore e rastësishme X të bjerë në seksionin nga a në b.

Sipas formulës (1):

Kështu, ne shprehim probabilitetin e goditjes së zonës nga një në

B i një ndryshoreje të rastësishme e shpërndarë sipas ligjit të shpërndarjes normale me çdo parametër, nëpërmjet funksionit standard të shpërndarjes Ф*(x), që i përgjigjet ligjit të shpërndarjes normale me parametrat m=0 dhe s=1. Vini re se argumentet e funksionit Ф* në formulën e fundit kanë një kuptim të thjeshtë:

Ekziston një distancë nga skaji i djathtë i seksionit b deri në qendrën e shpërndarjes, e shprehur në devijime standarde;

Ekziston e njëjta distancë për skajin e majtë të seksionit, dhe distanca konsiderohet pozitive nëse fundi ndodhet në të djathtë të qendrës së shpërndarjes dhe negative nëse në të majtë.

Ashtu si çdo funksion i shpërndarjes, funksioni Ф*(х) ka këto karakteristika:

3.Ф*(х) - funksion jo-zvogëlues.

Përveç kësaj, nga simetria e shpërndarjes normale me parametrat m=0 dhe s=1 në raport me origjinën, rezulton se

4.Ф*(-х)=1-Ф*(х).

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Një ndryshore e rastësishme X, e shpërndarë sipas një ligji normal, përfaqëson gabimin në matjen e një distance të caktuar.

Gjatë matjes, lejohet një gabim sistematik në drejtim të mbivlerësimit me 1.2 (m); Devijimi standard i gabimit të matjes është 0.8 (m).

Gjeni probabilitetin që devijimi i vlerës së matur nga vlera e vërtetë të mos kalojë 1.6 (m) në vlerë absolute.

Gabimi i matjes është një ndryshore e rastësishme X, që i nënshtrohet ligjit normal me parametrat m=12, s=0.8.

Duhet të gjejmë probabilitetin që kjo sasi të bjerë në zonën nga

a=--1, b në b= +1,6.

Sipas formulës kemi:

Duke përdorur tabelat e funksioneve Ф*(0.5)=0.6915 dhe Ф*(-3.5)=0.0002

P(-1.6<х<1,6)=0,6915-0,0002=0,6913

Problemi 5.48.

Refuzimi i topave për kushinetat kryhet si më poshtë:

nëse topi nuk kalon nëpër një vrimë me diametër d2>d1, atëherë madhësia e tij konsiderohet e pranueshme. Nëse ndonjë nga këto kushte nuk plotësohet, topi refuzohet. Dihet se diametri i topit D është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë normalisht me karakteristikat

Përcaktoni probabilitetin q që topi të refuzohet.

q= 1- p(d1< d < d2);

Dihet se madhësia D e një topi për një kushinetë është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit normal. Topi refuzohet në të njëjtën mënyrë siç tregohet në problemin e mëparshëm. Dihet se madhësia mesatare e topit është e barabartë me

Dhe defektet përbëjnë 10% të prodhimit total Përcaktoni devijimin standard të diametrit të topit sd.

Ngjashëm me problemin e mëparshëm, probabiliteti i martesës

Problemi 5-54

Ndryshorja e rastësishme x i nënshtrohet ligjit normal me mx = 0 matematikor. Probabiliteti i leximit të kësaj ndryshoreje të rastësishme në seksionet nga -1 në 1 është 0,5.

Gjeni devijimin standard dhe shkruani shprehjen e ligjit normal

Nga vjen barazia e shpërndarjes?

Le të paraqesim funksionin e barazisë së shpërndarjes

x	-5	-4	-3	-2	-1

	-5,68	-3,64	-2,05	-0,91	-0,22		-0,22	-0,91	-2,05	-3,64	-5,68
	0,003	0,026	0,129	0,403	0,803		0,803	0,403	0,129	0,026	0,003
	0,001	0,01	0,03	0,11	0,22	0,3	0,22	0,11	0,03	0,01	0,001

Këtu duhet të ketë një grafik

Problemi 5-58.

Ekziston një ndryshore e rastësishme x, e cila i nënshtrohet ligjit normal e nga pritshmëria matematikore mx, dhe nga sigma e devijimit standard nga x. Kërkohet afërsisht

Zëvendësoni ligjin normal me ligjin e densitetit konstant në intervalin alfa, beta; kufijtë alfa dhe beta duhet të zgjidhen në mënyrë që të mbahen të pandryshuara karakteristikat kryesore të ndryshores së rastësishme x: pritshmëria matematikore dhe dispersioni.

-2 -1 -5,68 -3,64 -2,05 -0,91 -0,22 -0,22 -0,91 -2,05 -3,64 -5,68 0,0033 0,0262 0,1287 0,4025 0,8025 0,8025 0,4025 0,1287 0,0262 0,033 0,001 0,01 0,03 0,11 0,22 0,270 0,22 0,11 0,03 0,01 0,001

Opsioni 2

Ndryshorja e rastësishme X i nënshtrohet ligjit normal me pritshmëri matematikore Mx=6. Probabiliteti që kjo ndryshore e rastësishme të bjerë në zonën nga 4 në 8 është 0.6. Gjeni devijimin standard dhe shkruani shprehjen për ligjin normal. Ndërtoni një grafik të densitetit të shpërndarjes.

Nga vjen dendësia e shpërndarjes?

Le të paraqesim densitetin e shpërndarjes.

X	-1

	-4,36	-3,04	-2,20	-1,35	-0,76	-0,34	-0,08	-0,08	-0,34	-0,76	-1,35	-2,20	-3,04	-4,36

RREGULLI I TRE s

Vlera normale X le të shpërndahet sipas ligjit normal me parametrat M dhe s. Do të tregojmë se, me një saktësi prej 03%, ndodh që një sasi që i nënshtrohet ligjit të marrë vlera të mundshme që nuk devijojnë nga qendra e shpërndarjes me ± 3s.

Ne duam të gjejmë diçka

Nuk do të kalojë 0003

Rregulli 3 në statistika është shumë i rëndësishëm.

Një nga rregullat më të zakonshme të 3s është eksperimenti i shqyrtimit. Në një eksperiment të shqyrtimit, pikat e jashtme ekzaminohen.

Problemet kryesore të statistikave matematikore

Shembulli nr. 1. Një kompani prodhuese kompjuterash merr komponentë identikë nga tre furnizues. E para furnizon 50% të të gjithë komponentëve, e dyta - 20%, e treta - 30% të pjesëve.
Dihet se cilësia e pjesëve të furnizuara ndryshon, dhe në produktet e furnizuesit të parë përqindja e defekteve është 4%, e dyta - 5%, dhe e treta - 2%. Përcaktoni probabilitetin që një pjesë e zgjedhur rastësisht nga të gjitha ato të marra të jetë me defekt.

Zgjidhje. Le të shënojmë ngjarjet: A - "pjesa e zgjedhur është e dëmtuar", H i - "pjesa e zgjedhur është marrë nga furnizuesi i-të", i = 1, 2, 3 Hipoteza H 1, H 2, H 3 forma një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme. Sipas kushteve
P(H1) = 0,5; P(H2) = 0,2; P(H 3) = 0.3
P(A|H1) = 0,04; P(A|H2) = 0,05; P(A|H 3) = 0,02

Sipas formulës së probabilitetit total (1.11), probabiliteti i ngjarjes A është i barabartë me
P(A) = P(H 1) P(A|H 1) + P(H 2) P(A|H 2) + P(H 3) P(A|H 3) = 0.5 0.04 + 0.2 · 0.05 + 0,3 · 0,02=0,036
Probabiliteti që një pjesë e zgjedhur rastësisht të jetë me defekt është 0.036.

Supozoni se në kushtet e shembullit të mëparshëm, ngjarja A ka ndodhur tashmë: pjesa e zgjedhur doli të jetë e dëmtuar. Sa është probabiliteti që ka ardhur nga furnizuesi i parë? Përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula e Bayes.
Ne filluam analizën e probabiliteteve vetëm me vlera paraprake, a priori të probabiliteteve të ngjarjeve. Më pas u krye një eksperiment (u përzgjodh një pjesë) dhe morëm informacion shtesë për ngjarjen me interes për ne. Me këtë informacion të ri, ne mund të përsosim probabilitetet tona të mëparshme. Vlerat e reja të probabiliteteve të të njëjtave ngjarje do të jenë tashmë probabilitete posteriori (post-eksperimentale) të hipotezave (Fig. 1.5).

Skema e rivlerësimit të hipotezës
Le të realizohet ngjarja A vetëm së bashku me një nga hipotezat H 1 , H 2 , …, H n (një grup i plotë ngjarjesh të papajtueshme). Probabilitetet e mëparshme të hipotezave i shënuam si P(H i) dhe probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A - P(A|H i), i = 1, 2,…, n. Nëse eksperimenti tashmë është kryer dhe si rezultat i tij ka ndodhur ngjarja A, atëherë probabilitetet e pasme të hipotezave do të jenë probabilitetet e kushtëzuara P(H i |A), i = 1, 2,…, n. Në shënimin e shembullit të mëparshëm, P(H 1 |A) është probabiliteti që pjesa e zgjedhur që rezultoi e dëmtuar të jetë marrë nga furnizuesi i parë.
Ne jemi të interesuar në probabilitetin e ngjarjes H k |A Konsideroni shfaqjen e përbashkët të ngjarjeve H k dhe A, domethënë ngjarjen AH k. Probabiliteti i tij mund të gjendet në dy mënyra, duke përdorur formulat e shumëzimit (1.5) dhe (1.6):
P(AH k) = P(H k)P(A|H k);
P(AH k) = P(A)P(H k |A).

Le të barazojmë anët e djathta të këtyre formulave
P(H k) P(A|H k) = P(A) P(H k |A),

prandaj probabiliteti i pasëm i hipotezës H k është i barabartë me

Emëruesi përmban probabilitetin total të ngjarjes A. Duke zëvendësuar vlerën e saj në vend të P(A) sipas formulës së probabilitetit total (1.11), marrim:
(1.12)
Formula (1.12) quhet Formula e Bayes dhe përdoret për të rivlerësuar probabilitetet e hipotezave.
Në kushtet e shembullit të mëparshëm, do të gjejmë probabilitetin që pjesa me defekt të jetë marrë nga furnizuesi i parë. Le të përmbledhim në një tabelë probabilitetet a priori të hipotezave P(H i) të njohura për ne, probabilitetet e kushtëzuara P(A|H i) dhe probabilitetet e përbashkëta të llogaritura gjatë procesit të zgjidhjes P(AH i) = P(H i) P(A|H i) dhe probabilitetet e pasme P(H k |A), i,k = 1, 2,…, n llogaritur me formulën (1.12) (Tabela 1.3).

Tabela 1.3 - Rivlerësimi i hipotezave

Hipotezat H i	Probabilitetet
Hipotezat H i	A priori P(H i)	E kushtëzuar P(A\|H i)	Përbashkët P(AH i)	A posteriori P(H i \|A)
1	2	3	4	5
H 1 - pjesa e marrë nga furnizuesi i parë	0.5	0.04	0.02
H 2 - pjesa e marrë nga një furnizues i dytë	0.2	0.05	0.01
H 3 - pjesa e marrë nga një furnizues i tretë	0.3	0.02	0.006
Shuma	1.0	-	0.036	1

Le të shohim rreshtin e fundit të kësaj tabele. Kolona e dytë përmban shumën e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme H1, H2, H3, duke formuar një grup të plotë:
P(Ω) = P(H 1 + H 2 + H 3) = P(H 1) + P(H 2) + P(H 3) = 0,5 + 0,2 + 0,3 = 1
Në kolonën e katërt, vlera në çdo rresht (probabilitete të përbashkëta) merret me rregullin e shumëzimit të probabiliteteve duke shumëzuar vlerat përkatëse në kolonën e dytë dhe të tretë, dhe në rreshtin e fundit 0.036 është probabiliteti total i ngjarjes A ( duke përdorur formulën e probabilitetit total).
Kolona 5 llogarit probabilitetet e pasme të hipotezave duke përdorur formulën Bayes (1.12):

Probabilitetet e pasme P(H 2 |A) dhe P(H 3 |A) llogariten në mënyrë të ngjashme, ku numëruesi i thyesës është probabiliteti i përbashkët i shkruar në rreshtat përkatës të kolonës 4, dhe emëruesi është probabiliteti i përgjithshëm i ngjarjes. A shkruhet në rreshtin e fundit të kolonës 4.
Shuma e probabiliteteve të hipotezave pas eksperimentit është e barabartë me 1 dhe shkruhet në rreshtin e fundit të kolonës së pestë.
Pra, probabiliteti që pjesa me defekt të jetë marrë nga furnizuesi i parë është 0.555. Probabiliteti pas-eksperimental është më i madh se ai apriori (për shkak të vëllimit të madh të furnizimit). Probabiliteti pas eksperimentit që pjesa me defekt është marrë nga furnizuesi i dytë është 0.278 dhe është gjithashtu më i madh se probabiliteti i para-eksperimentit (për shkak të numrit të madh të defekteve). Probabiliteti pas testimit që pjesa me defekt është marrë nga një furnizues i tretë është 0.167.

Shembulli nr. 3. Ka tre urna identike; urna e parë përmban dy topa të bardhë dhe një të zi; në të dytën - tre të bardha dhe një të zezë; në të tretën ka dy topa të bardhë dhe dy të zinj. Për eksperimentin, një urnë zgjidhet rastësisht dhe nga ajo nxirret një top. Gjeni probabilitetin që ky top të jetë i bardhë.
Zgjidhje. Le të shqyrtojmë tre hipoteza: H 1 - zgjidhet urna e parë, H 2 - zgjidhet urna e dytë, H 3 - zgjidhet urna e tretë dhe ngjarja A - vizatohet topi i bardhë.
Meqenëse hipotezat sipas kushteve të problemit janë po aq të mundshme, atëherë

Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes A sipas këtyre hipotezave janë përkatësisht të barabarta:
Sipas formulës së probabilitetit total

Shembulli nr. 4. Në piramidë ka 19 pushkë, 3 prej tyre me pamje optike. Një gjuajtës, duke gjuajtur nga një pushkë me një pamje optike, mund të godasë objektivin me një probabilitet prej 0.81, dhe të gjuajë nga një pushkë pa një pamje optike, me një probabilitet prej 0.46. Gjeni probabilitetin që një revole të godasë një objektiv duke përdorur një pushkë të rastësishme.
Zgjidhje. Këtu testi i parë është zgjedhja rastësore e një pushke, e dyta është gjuajtja në një objektiv. Merrni parasysh ngjarjet e mëposhtme: A - gjuajtësi godet objektivin; H 1 - qitësi do të marrë një pushkë me një pamje optike; H 2 - qitësi do të marrë një pushkë pa një pamje optike. Ne përdorim formulën e probabilitetit total. Ne kemi

Duke marrë parasysh që pushkët zgjidhen një nga një dhe duke përdorur formulën klasike të probabilitetit, marrim: P(H 1) = 3/19, P(H 2) = 16/19.
Probabilitetet e kushtëzuara janë specifikuar në deklaratën e problemit: P(A|H 1) = 0,81 dhe P(A|H 2) = 0,46. Prandaj,

Shembulli nr. 5. Nga një urnë që përmban 2 topa të bardhë dhe 3 të zinj, dy topa tërhiqen në mënyrë të rastësishme dhe 1 top i bardhë i shtohet urnës. Gjeni probabilitetin që një top i zgjedhur rastësisht të jetë i bardhë.
Zgjidhje. Shënojmë ngjarjen “tërheqet një top i bardhë” nga A. Ngjarja H 1 - dy topa të bardhë vizatohen në mënyrë të rastësishme; H 2 - dy topa të zinj janë tërhequr rastësisht; H 3 - janë tërhequr një top i bardhë dhe një top i zi. Pastaj probabilitetet e hipotezave të parashtruara

Probabilitetet e kushtëzuara sipas këtyre hipotezave janë përkatësisht të barabarta: P(A|H 1) = 1/4 - probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë nëse urna aktualisht përmban një top të bardhë dhe tre të zinj, P(A|H 2) = 3 / 4 - probabiliteti për të vizatuar një top të bardhë nëse aktualisht ka tre topa të bardhë dhe një të zi në urnë, P(A|H 3) = 2/4 = 1/2 - probabiliteti për të nxjerrë një top të bardhë nëse aktualisht ka dy topa të bardhë dhe një të zi në urnë dy topa të zinj. Sipas formulës së probabilitetit total

Shembulli nr. 6. Janë dy të shtëna në objektiv. Probabiliteti i një goditjeje në goditjen e parë është 0.2, në të dytën - 0.6. Probabiliteti i shkatërrimit të objektivit me një goditje është 0.3, me dy - 0.9. Gjeni mundësinë që objektivi të shkatërrohet.
Zgjidhje. Lëreni ngjarjen A - objektivi është shkatërruar. Për ta bërë këtë, mjafton të godisni me një goditje nga dy ose të godisni objektivin me dy të shtëna rresht pa munguar. Le të parashtrojmë hipoteza: H 1 - të dyja goditjet goditën objektivin. Pastaj P(H 1) = 0,2 · 0,6 = 0; 12. H 2 - herën e parë ose herën e dytë u bë një gabim. Pastaj P(H 2) = 0,2 · 0,4 + 0,8 · 0,6 = 0,56. Hipoteza H 3 - të dy goditjet ishin të humbura - nuk merret parasysh, pasi probabiliteti i shkatërrimit të objektivit është zero. Atëherë probabilitetet e kushtëzuara janë përkatësisht të barabarta: probabiliteti i shkatërrimit të objektivit, me kusht që të bëhen të dy goditjet e suksesshme, është P(A|H 1) = 0.9, dhe probabiliteti i shkatërrimit të objektivit, me kusht që vetëm një goditje e suksesshme të jetë P(A|H). 2) = 0,3. Atëherë probabiliteti i shkatërrimit të objektivit sipas formulës së probabilitetit total është i barabartë.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve

Nxjerrja e formulës së probabilitetit total. Formula e probabilitetit total: teoria dhe shembuj të zgjidhjes së problemit

Formula e probabilitetit total.