Qëllimet themelore:

• të prezantojë konceptin e varësisë proporcionale të drejtpërdrejtë dhe të anasjelltë të sasive;
• mësoni se si të zgjidhni problemet duke përdorur këto varësi;
• promovojnë zhvillimin e aftësive për zgjidhjen e problemeve;
• të konsolidojë aftësinë e zgjidhjes së ekuacioneve duke përdorur përmasa;
• përsëritni hapat me thyesa të zakonshme dhe dhjetore;
• zhvillojnë të menduarit logjik të nxënësve.

GJATË KLASËVE

I. Vetëvendosje për aktivitet(Koha e organizimit)

- Djema! Sot në mësim do të njihemi me problemet e zgjidhura duke përdorur përmasa.

II. Përditësimi i njohurive dhe regjistrimi i vështirësive në aktivitete

2.1. Punë gojore (3 min)

– Gjeni kuptimin e shprehjeve dhe gjeni fjalën e koduar në përgjigje.

14 – s; 0.1 – dhe; 7 – l; 0,2 – a; 17 – në; 25 – deri në

– Fjala që rezulton është forcë. Te lumte!
– Motoja e mësimit tonë sot: Fuqia është në dije! Unë jam duke kërkuar - kjo do të thotë se po mësoj!
– Bëni një proporcion nga numrat që rezultojnë. (14:7 = 0.2:0.1 etj.)

2.2. Le të shqyrtojmë marrëdhënien midis sasive që njohim (7 min)

– distanca që kalon makina me shpejtësi konstante dhe koha e lëvizjes së saj: S = v t ( me rritjen e shpejtësisë (kohës), distanca rritet);
– shpejtësia e automjetit dhe koha e kaluar në udhëtim: v=S:t(me rritjen e kohës për të udhëtuar shtegun, shpejtësia zvogëlohet);
– kostoja e mallrave të blera me një çmim dhe sasia e tij: C = a · n (me një rritje (ulje) të çmimit, kostoja e blerjes rritet (zvogëlohet));
– çmimi i produktit dhe sasia e tij: a = C: n (me rritjen e sasisë, çmimi ulet)
- sipërfaqja e drejtkëndëshit dhe gjatësia e tij (gjerësia): S = a · b (me rritjen e gjatësisë (gjerësisë), sipërfaqja rritet;
– gjatësia dhe gjerësia e drejtkëndëshit: a = S: b (me rritjen e gjatësisë, gjerësia zvogëlohet;
– numri i punëtorëve që kryejnë disa punë me të njëjtin produktivitet të punës dhe koha që duhet për të përfunduar këtë punë: t = A: n (me një rritje të numrit të punëtorëve, koha e shpenzuar për kryerjen e punës zvogëlohet), etj. .

Ne kemi marrë varësi në të cilat, me një rritje në një sasi disa herë, një tjetër rritet menjëherë me të njëjtën sasi (shembuj janë treguar me shigjeta) dhe varësi në të cilat, me një rritje në një sasi disa herë, sasia e dytë zvogëlohet për të njëjtin numër herë.
Varësi të tilla quhen proporcionalitet i drejtpërdrejtë dhe i anasjelltë.
Varësia drejtpërdrejt proporcionale– një marrëdhënie në të cilën kur një vlerë rritet (zvogëlohet) disa herë, vlera e dytë rritet (zvogëlohet) me të njëjtën shumë.
Marrëdhënie në proporcion të kundërt– një marrëdhënie në të cilën ndërsa një vlerë rritet (zvogëlohet) disa herë, vlera e dytë zvogëlohet (zritet) me të njëjtën shumë.

III. Vendosja e një detyre mësimore

– Çfarë problemi na has? (Mësoni të dalloni midis varësive të drejtpërdrejta dhe të kundërta)
- kjo - objektiv mësimi ynë. Tani formuloni temë mësim. (Marrëdhënia e drejtëpërdrejtë dhe proporcionale e anasjelltë).
- Te lumte! Shkruani temën e mësimit në fletoret tuaja. (Mësuesi/ja shkruan temën në tabelë.)

IV. "Zbulimi" i njohurive të reja(10 min)

Le të shohim problemet nr. 199.

1. Printeri printon 27 faqe në 4,5 minuta. Sa kohë do të duhet për të printuar 300 faqe?

27 faqe – 4,5 min.
300 faqe - x?

2. Kutia përmban 48 pako çaji, 250 g secila. Sa paketa 150g të këtij çaji do të merrni?

48 pako – 250 g.
X? – 150 g.

3. Makina ka bërë 310 km, duke përdorur 25 litra benzinë. Sa larg mund të udhëtojë një makinë me një rezervuar plot 40 litra?

310 km – 25 l
X? – 40 l

4. Njëra prej marsheve të tufës ka 32 dhëmbë, dhe tjetra ka 40. Sa rrotullime do të bëjë marshi i dytë ndërsa i pari bën 215 rrotullime?

32 dhëmbë - 315 rev.
40 dhëmbë – x?

Për të përpiluar një proporcion, një drejtim i shigjetave është i nevojshëm për këtë, në proporcion të kundërt, një raport zëvendësohet nga anasjelltas.

Në tabelë nxënësit gjejnë aty për aty kuptimin e sasive, nxënësit zgjidhin një problem sipas dëshirës së tyre.

– Formuloni një rregull për zgjidhjen e problemeve me varësi të drejtëpërdrejtë dhe të anasjelltë proporcionale.

Një tabelë shfaqet në tabelë:

V. Konsolidimi parësor në të folurit e jashtëm(10 min)

Detyrat e fletës së punës:

1. Nga 21 kg farë pambuku përftoheshin 5,1 kg vaj. Sa vaj do të merret nga 7 kg farë pambuku?
2. Për të ndërtuar stadiumin, 5 buldozerë pastruan vendin në 210 minuta. Sa kohë do të duheshin 7 buldozerë për të pastruar këtë faqe?

VI. Punë e pavarur me autotest sipas standardit(5 minuta)

Dy studentë kryejnë detyrën nr. 225 në mënyrë të pavarur në dërrasat e fshehura, dhe pjesa tjetër - në fletore. Më pas ata kontrollojnë punën e algoritmit dhe e krahasojnë atë me zgjidhjen në tabelë. Gabimet korrigjohen dhe përcaktohen shkaqet e tyre. Nëse detyra është kryer saktë, atëherë nxënësit vendosin një shenjë “+” pranë tyre.
Studentët që bëjnë gabime në punën e pavarur mund të përdorin konsulentët.

VII. Përfshirja në sistemin e njohurive dhe përsëritja№ 271, № 270.

Gjashtë persona punojnë në bord. Pas 3-4 minutash, studentët që punojnë në tabelë prezantojnë zgjidhjet e tyre dhe pjesa tjetër kontrollon detyrat dhe merr pjesë në diskutimin e tyre.

VIII. Reflektim mbi aktivitetin (përmbledhje e mësimit)

– Çfarë të re mësuat në mësim?
- Çfarë përsëritën?
– Cili është algoritmi për zgjidhjen e problemeve të proporcionit?
– A ia kemi arritur qëllimit?
– Si e vlerësoni punën tuaj?

Funksioni linear

Funksioni linearështë një funksion që mund të specifikohet me formulën y = kx + b,

ku x është ndryshorja e pavarur, k dhe b janë disa numra.

Grafiku i një funksioni linear është një vijë e drejtë.

Numri k quhet pjerrësia e një vije të drejtë– grafiku i funksionit y = kx + b.

Nëse k > 0, atëherë këndi i prirjes së drejtëzës y = kx + b ndaj boshtit X pikante; nëse k< 0, то этот угол тупой.

Nëse pjerrësitë e vijave që janë grafikë të dy funksioneve lineare janë të ndryshme, atëherë këto drejtëza kryqëzohen. Dhe nëse koeficientët këndorë janë të njëjtë, atëherë linjat janë paralele.

Grafiku i një funksioni y=kx +b, ku k ≠ 0, është një drejtëz paralele me drejtëzën y ​​= kx.

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë.

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtëështë një funksion që mund të specifikohet me formulën y = kx, ku x është një ndryshore e pavarur, k është një numër jo zero. Numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.

Grafiku i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë është një vijë e drejtë që kalon nga origjina e koordinatave (shih figurën).

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një rast i veçantë i një funksioni linear.

Karakteristikat e funksionity=kx:

Proporcionaliteti i anasjelltë

Proporcionaliteti i anasjelltë quhet një funksion që mund të specifikohet me formulën:

k
y = -
x

Ku xështë variabli i pavarur, dhe k- një numër jo zero.

Grafiku i proporcionalitetit të anasjelltë është një kurbë e quajtur hiperbolë(shih foton).

Për një kurbë që është grafiku i këtij funksioni, boshti x Dhe y veprojnë si asimptota. Asimptotë- kjo është vija e drejtë në të cilën pikat e kurbës afrohen ndërsa largohen në pafundësi.

k
Karakteristikat e funksionity = -:
x

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë dhe i anasjelltë

Nëse t është koha e lëvizjes së këmbësorit (në orë), s është distanca e përshkuar (në kilometra), dhe ai lëviz në mënyrë të njëtrajtshme me një shpejtësi prej 4 km/h, atëherë lidhja ndërmjet këtyre sasive mund të shprehet me formulën s = 4t. Meqenëse çdo vlerë t korrespondon me një vlerë të vetme s, mund të themi se një funksion përcaktohet duke përdorur formulën s = 4t. Quhet proporcionalitet i drejtpërdrejtë dhe përkufizohet si më poshtë.

Përkufizimi. Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion që mund të specifikohet duke përdorur formulën y=kx, ku k është një numër real jo zero.

Emri i funksionit y = k x është për faktin se në formulën y = k x ka variabla x dhe y, të cilat mund të jenë vlera të sasive. Dhe nëse raporti i dy sasive është i barabartë me një numër të ndryshëm nga zero, ato quhen drejtpërpjesëtimore . Në rastin tonë = k (k≠0). Ky numër quhet koeficienti i proporcionalitetit.

Funksioni y = k x është një model matematikor i shumë situatave reale të konsideruara tashmë në kursin fillestar të matematikës. Njëri prej tyre është përshkruar më sipër. Një shembull tjetër: nëse një qese me miell përmban 2 kg, dhe x thasë të tillë janë blerë, atëherë e gjithë masa e miellit të blerë (e shënuar me y) mund të përfaqësohet si formula y = 2x, d.m.th. lidhja midis numrit të thasëve dhe masës totale të miellit të blerë është në përpjesëtim të drejtë me koeficientin k=2.

Le të kujtojmë disa veti të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë që studiohen në një kurs të matematikës shkollore.

1. Fusha e përcaktimit të funksionit y = k x dhe diapazoni i vlerave të tij është bashkësia e numrave realë.

2. Grafiku i proporcionalitetit të drejtë është drejtëz që kalon nga origjina. Prandaj, për të ndërtuar një grafik të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, mjafton të gjesh vetëm një pikë që i përket dhe që nuk përkon me origjinën e koordinatave, dhe më pas të vizatosh një vijë të drejtë përmes kësaj pike dhe origjinës së koordinatave.

Për shembull, për të ndërtuar një grafik të funksionit y = 2x, mjafton të kemi një pikë me koordinata (1, 2), dhe më pas të vizatojmë një vijë të drejtë përmes saj dhe origjinën e koordinatave (Fig. 7).

3. Për k > 0, funksioni y = khx rritet në të gjithë domenin e përkufizimit; në k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Nëse funksioni f është proporcionalitet i drejtpërdrejtë dhe (x 1, y 1), (x 2, y 2) janë çifte vlerash korresponduese të ndryshoreve x dhe y, dhe x 2 ≠0 atëherë.

Në të vërtetë, nëse funksioni f është proporcionalitet i drejtpërdrejtë, atëherë ai mund të jepet me formulën y = khx, dhe pastaj y 1 = kh 1, y 2 = kh 2. Meqenëse në x 2 ≠0 dhe k≠0, atëherë y 2 ≠0. Kjo është arsyeja pse dhe kjo do të thotë.

Nëse vlerat e ndryshoreve x dhe y janë numra realë pozitivë, atëherë vetia e vërtetuar e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë mund të formulohet si më poshtë: me një rritje (ulje) të vlerës së ndryshores x disa herë, vlera përkatëse e ndryshores y rritet (zvogëlohet) me të njëjtën shumë.

Kjo veti është e natyrshme vetëm në proporcionalitetin e drejtpërdrejtë dhe mund të përdoret kur zgjidhen probleme fjalësh në të cilat merren parasysh sasitë drejtpërdrejt proporcionale.

Problemi 1. Në 8 orë, një rrotullues prodhoi 16 pjesë. Sa orë do t'i duhen një operatori torno për të prodhuar 48 pjesë nëse punon me të njëjtin produktivitet?

Zgjidhje. Problemi merr në konsideratë sasitë e mëposhtme: kohën e punës së rrotulluesit, numrin e pjesëve që ai bën dhe produktivitetin (d.m.th., numrin e pjesëve të prodhuara nga rrotulluesi në 1 orë), ku vlera e fundit është konstante dhe dy të tjerat marrin përsipër vlera të ndryshme. Për më tepër, numri i pjesëve të bëra dhe koha e punës janë sasi të drejtpërdrejta proporcionale, pasi raporti i tyre është i barabartë me një numër të caktuar që nuk është i barabartë me zero, domethënë, numri i pjesëve të bëra nga një rrotullues në 1 orë e pjesëve të bëra shënohet me shkronjën y, koha e punës është x, dhe produktiviteti është k, atëherë marrim që = k ose y = khx, d.m.th. Modeli matematikor i situatës së paraqitur në problem është proporcionaliteti i drejtpërdrejtë.

Problemi mund të zgjidhet në dy mënyra aritmetike:

Mënyra e parë: mënyra e dytë:

1) 16:8 = 2 (fëmijë) 1) 48:16 = 3 (herë)

2) 48:2 = 24 (h) 2) 8-3 = 24 (h)

Duke zgjidhur problemin në mënyrën e parë, së pari gjetëm koeficientin e proporcionalitetit k, ai është i barabartë me 2, dhe më pas, duke ditur se y = 2x, gjetëm vlerën e x me kusht që y = 48.

Kur zgjidhëm problemin në mënyrën e dytë, ne përdorëm vetinë e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë: sa herë që rritet numri i pjesëve të bëra nga një rrotullues, sasia e kohës për prodhimin e tyre rritet me të njëjtën sasi.

Le të kalojmë tani për të shqyrtuar një funksion të quajtur proporcionalitet të kundërt.

Nëse t është koha e lëvizjes së këmbësorit (në orë), v është shpejtësia e tij (në km/h) dhe ai ka ecur 12 km, atëherë lidhja ndërmjet këtyre sasive mund të shprehet me formulën v∙t = 20 ose v = .

Meqenëse çdo vlerë t (t ≠ 0) korrespondon me një vlerë të vetme shpejtësie v, mund të themi se një funksion specifikohet duke përdorur formulën v =. Quhet proporcionalitet i anasjelltë dhe përkufizohet si më poshtë.

Përkufizimi. Proporcionaliteti i anasjelltë është një funksion që mund të specifikohet duke përdorur formulën y =, ku k është një numër real që nuk është i barabartë me zero.

Emri i këtij funksioni është për faktin se y = ka variabla x dhe y, të cilat mund të jenë vlera të sasive. Dhe nëse produkti i dy sasive është i barabartë me një numër të ndryshëm nga zero, atëherë ato quhen në përpjesëtim të zhdrejtë. Në rastin tonë xy = k(k ≠0). Ky numër k quhet koeficienti i proporcionalitetit.

Funksioni y = është një model matematikor i shumë situatave reale të konsideruara tashmë në kursin fillestar të matematikës. Njëri prej tyre është përshkruar para përkufizimit të proporcionalitetit të kundërt. Një shembull tjetër: nëse keni blerë 12 kg miell dhe e keni futur në l: y kg kanaçe secila, atëherë lidhja midis këtyre sasive mund të përfaqësohet si x-y = 12, d.m.th. është në përpjesëtim të zhdrejtë me koeficientin k=12.

Le të kujtojmë disa veti të proporcionalitetit të anasjelltë, të njohura nga kursi i matematikës shkollore.

1.Përkufizimi i fushës së funksionit y = dhe diapazoni i vlerave të tij x është bashkësia e numrave realë të ndryshëm nga zero.

2. Grafiku i proporcionalitetit të anasjelltë është hiperbolë.

3. Për k > 0, degët e hiperbolës ndodhen në tremujorin e 1-rë dhe të tretë dhe funksioni y = është në rënie në të gjithë domenin e përkufizimit të x (Fig. 8).

Oriz. 8 Fig.9

Në k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y = po rritet në të gjithë domenin e përkufizimit të x (Fig. 9).

4. Nëse funksioni f është proporcionalitet i anasjelltë dhe (x 1, y 1), (x 2, y 2) janë çifte vlerash korresponduese të ndryshoreve x dhe y, atëherë.

Në të vërtetë, nëse funksioni f është proporcionalitet i zhdrejtë, atëherë ai mund të jepet me formulë y = , dhe pastaj . Meqenëse x 1 ≠0, x 2 ≠0, x 3 ≠0, atëherë

Nëse vlerat e ndryshoreve x dhe y janë numra realë pozitivë, atëherë kjo veti e proporcionalitetit të anasjelltë mund të formulohet si më poshtë: me një rritje (ulje) të vlerës së ndryshores x disa herë, vlera përkatëse e ndryshores. y zvogëlohet (rritet) me të njëjtën masë.

Kjo veti është e natyrshme vetëm në proporcionalitetin e anasjelltë dhe mund të përdoret kur zgjidhen probleme fjalësh në të cilat merren parasysh sasitë në përpjesëtim të zhdrejtë.

Problemi 2. Një çiklist, duke lëvizur me shpejtësi 10 km/orë, e kapërceu distancën nga A në B për 6 orë Sa kohë do të kalojë çiklisti në kthim nëse udhëton me shpejtësi 20 km/h?

Zgjidhje. Problemi merr në konsideratë madhësitë e mëposhtme: shpejtësinë e çiklistit, kohën e lëvizjes dhe distancën nga A në B, ku sasia e fundit është konstante, ndërsa dy të tjerat marrin vlera të ndryshme. Për më tepër, shpejtësia dhe koha e lëvizjes janë sasi në përpjesëtim të zhdrejtë, pasi produkti i tyre është i barabartë me një numër të caktuar, përkatësisht distancën e përshkuar. Nëse koha e lëvizjes së çiklistit shënohet me shkronjën y, shpejtësia me x dhe distanca AB me k, atëherë fitojmë se xy = k ose y =, d.m.th. Modeli matematikor i situatës së paraqitur në problem është proporcionaliteti i anasjelltë.

Ka dy mënyra për të zgjidhur problemin:

Mënyra e parë: mënyra e dytë:

1) 10-6 = 60 (km) 1) 20:10 = 2 (herë)

2) 60:20 = 3(4) 2) 6:2 = 3(h)

Duke zgjidhur problemin në mënyrën e parë, së pari gjetëm koeficientin e proporcionalitetit k, ai është i barabartë me 60, dhe më pas, duke ditur që y =, gjetëm vlerën e y me kusht që x = 20.

Gjatë zgjidhjes së problemit në mënyrën e dytë, ne përdorëm vetinë e proporcionalitetit të anasjelltë: sa herë rritet shpejtësia e lëvizjes, koha për të kaluar të njëjtën distancë zvogëlohet me të njëjtin numër.

Vini re se kur zgjidhen probleme specifike me sasi të kundërta ose drejtpërdrejt proporcionale, disa kufizime vendosen në x dhe y, ato mund të merren parasysh jo në të gjithë grupin e numrave realë, por në nënbashkësitë e tij.

Problemi 3. Lena bleu x lapsa, dhe Katya bleu 2 herë më shumë. Shënoni numrin e lapsave të blera nga Katya me y, shprehni y me x dhe ndërtoni një grafik të korrespondencës së vendosur me kusht që x≤5. A është kjo korrespondencë një funksion? Cila është fusha e tij e përkufizimit dhe diapazoni i vlerave?

Zgjidhje. Katya bleu = 2 lapsa. Kur vizatoni funksionin y=2x, është e nevojshme të merret parasysh se ndryshorja x tregon numrin e lapsave dhe x≤5, që do të thotë se mund të marrë vetëm vlerat 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ky do të jetë fusha e përcaktimit të këtij funksioni. Për të marrë gamën e vlerave të këtij funksioni, duhet të shumëzoni çdo vlerë x nga diapazoni i përkufizimit me 2, d.m.th. ky do të jetë grupi (0, 2, 4, 6, 8, 10). Prandaj, grafiku i funksionit y = 2x me domenin e përkufizimit (0, 1, 2, 3, 4, 5) do të jetë bashkësia e pikave të paraqitura në figurën 10. Të gjitha këto pika i përkasin drejtëzës y = 2x .

Koncepti i proporcionalitetit të drejtpërdrejtë

Imagjinoni që po planifikoni të blini ëmbëlsirat tuaja të preferuara (ose ndonjë gjë që ju pëlqen vërtet). Ëmbëlsirat në dyqan kanë çmimin e tyre. Le të themi 300 rubla për kilogram. Sa më shumë karamele të blini, aq më shumë para paguani. Kjo do të thotë, nëse doni 2 kilogramë, paguani 600 rubla, dhe nëse doni 3 kilogramë, paguani 900 rubla. Kjo duket të jetë e gjitha e qartë, apo jo?

Nëse po, atëherë tani është e qartë për ju se çfarë është proporcionaliteti i drejtpërdrejtë - ky është një koncept që përshkruan marrëdhënien e dy sasive të varura nga njëra-tjetra. Dhe raporti i këtyre sasive mbetet i pandryshuar dhe konstant: me sa pjesë rritet ose zvogëlohet njëra prej tyre, me të njëjtin numër pjesësh rritet ose zvogëlohet e dyta proporcionalisht.

Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë mund të përshkruhet me formulën e mëposhtme: f(x) = a*x, dhe a në këtë formulë është një vlerë konstante (a = konst). Në shembullin tonë për karamele, çmimi është një vlerë konstante, një konstante. Nuk rritet dhe nuk zvogëlohet, pavarësisht sa karamele vendosni të blini. Variabli i pavarur (argumenti)x është sa kilogramë karamele do të blini. Dhe ndryshorja e varur f(x) (funksioni) është sa para përfundoni duke paguar për blerjen tuaj. Kështu që ne mund t'i zëvendësojmë numrat në formulë dhe të marrim: 600 rubla. = 300 rubla. * 2 kg.

Përfundimi i ndërmjetëm është ky: nëse argumenti rritet, funksioni gjithashtu rritet, nëse argumenti zvogëlohet, funksioni gjithashtu zvogëlohet.

Funksioni dhe vetitë e tij

Funksion proporcional i drejtëështë një rast i veçantë i një funksioni linear. Nëse funksioni linear është y = k*x + b, atëherë për proporcionalitet të drejtpërdrejtë duket kështu: y = k*x, ku k quhet koeficienti i proporcionalitetit dhe është gjithmonë një numër jo zero. Është e lehtë të llogaritet k - gjendet si një herës i një funksioni dhe një argumenti: k = y/x.

Për ta bërë më të qartë, le të marrim një shembull tjetër. Imagjinoni që një makinë po lëviz nga pika A në pikën B. Shpejtësia e tij është 60 km/h. Nëse supozojmë se shpejtësia e lëvizjes mbetet konstante, atëherë ajo mund të merret si konstante. Dhe pastaj shkruajmë kushtet në formën: S = 60*t, dhe kjo formulë është e ngjashme me funksionin e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë y = k *x. Le të bëjmë një paralele më tej: nëse k = y/x, atëherë shpejtësia e makinës mund të llogaritet duke ditur distancën midis A dhe B dhe kohën e kaluar në rrugë: V = S /t.

Dhe tani, nga zbatimi i njohurive për proporcionalitetin e drejtpërdrejtë, le t'i kthehemi funksionit të tij. Karakteristikat e të cilave përfshijnë:

domeni i tij i përkufizimit është bashkësia e të gjithë numrave realë (si dhe nënbashkësive të tij);

funksioni është tek;

ndryshimi i variablave është drejtpërdrejt proporcional përgjatë gjithë gjatësisë së vijës numerike.

Proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë dhe grafiku i tij

Grafiku i një funksioni të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë është një vijë e drejtë që kryqëzon origjinën. Për ta ndërtuar, mjafton të shënoni vetëm një pikë më shumë. Dhe lidhni atë dhe origjinën e koordinatave me një vijë të drejtë.

Në rastin e një grafiku, k është pjerrësia. Nëse pjerrësia është më e vogël se zero (k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), grafiku dhe boshti x formojnë një kënd të mprehtë, dhe funksioni po rritet.

Dhe një veçori tjetër e grafikut të funksionit të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë lidhet drejtpërdrejt me pjerrësinë k. Supozoni se kemi dy funksione jo identike dhe, në përputhje me rrethanat, dy grafikë. Pra, nëse koeficientët k të këtyre funksioneve janë të barabartë, grafikët e tyre janë të vendosur paralelisht me boshtin koordinativ. Dhe nëse koeficientët k nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin, grafikët kryqëzohen.

Shembuj të problemeve

Tani le të zgjidhim një çift problemet e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë

Le të fillojmë me diçka të thjeshtë.

Problemi 1: Imagjinoni që 5 pula kanë bërë 5 vezë në 5 ditë. Dhe nëse ka 20 pula, sa vezë do të bëjnë në 20 ditë?

Zgjidhje: Të panjohurën ta shënojmë me kx. Dhe ne do të arsyetojmë si më poshtë: sa herë më shumë janë bërë pula? Ndani 20 me 5 dhe zbuloni se është 4 herë. Sa herë më shumë vezë do të bëjnë 20 pula në të njëjtat 5 ditë? Gjithashtu 4 herë më shumë. Pra, ne e gjejmë tonën kështu: 5*4*4 = 80 vezë do të bëjnë 20 pula në 20 ditë.

Tani shembulli është pak më i komplikuar, le ta parafrazojmë problemin nga "Aritmetika e Përgjithshme" e Njutonit. Problemi 2: Një shkrimtar mund të hartojë 14 faqe të një libri të ri në 8 ditë. Nëse ai do të kishte asistentë, sa njerëz do të duheshin për të shkruar 420 faqe në 12 ditë?

Zgjidhja: Ne arsyetojmë se numri i njerëzve (shkrimtar + asistent) rritet me vëllimin e punës nëse do të duhej të bëhej në të njëjtën kohë. Por sa herë? Duke pjesëtuar 420 me 14, zbulojmë se rritet me 30 herë. Por meqenëse, sipas kushteve të detyrës, i jepet më shumë kohë punës, numri i asistentëve rritet jo 30 herë, por në këtë mënyrë: x = 1 (shkrimtar) * 30 (herë): 12/8 ( ditë). Le të transformohemi dhe të zbulojmë se x = 20 njerëz do të shkruajnë 420 faqe në 12 ditë.

Le të zgjidhim një problem tjetër të ngjashëm me ato në shembujt tanë.

Problemi 3: Dy makina nisen në të njëjtin udhëtim. Njëri po lëvizte me një shpejtësi prej 70 km/h dhe përshkoi të njëjtën distancë për 2 orë, ndërsa tjetri 7 orë. Gjeni shpejtësinë e makinës së dytë.

Zgjidhja: Siç e mbani mend, rruga përcaktohet përmes shpejtësisë dhe kohës - S = V *t. Meqenëse të dyja makinat përshkuan të njëjtën distancë, ne mund të barazojmë dy shprehjet: 70*2 = V*7. Si e gjejmë se shpejtësia e makinës së dytë është V = 70*2/7 = 20 km/h.

Dhe disa shembuj të tjerë të detyrave me funksione të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë. Ndonjëherë problemet kërkojnë gjetjen e koeficientit k.

Detyra 4: Jepen funksionet y = - x/16 dhe y = 5x/2, përcaktoni koeficientët e proporcionalitetit të tyre.

Zgjidhja: Siç e mbani mend, k = y/x. Kjo do të thotë se për funksionin e parë koeficienti është i barabartë me -1/16, dhe për të dytin k = 5/2.

Ju gjithashtu mund të hasni një detyrë si Detyra 5: Shkruani proporcionalitetin e drejtpërdrejtë me një formulë. Grafiku i tij dhe grafiku i funksionit y = -5x + 3 ndodhen paralelisht.

Zgjidhje: Funksioni që na jepet në kusht është linear. Ne e dimë se proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një rast i veçantë i një funksioni linear. Dhe ne gjithashtu e dimë se nëse koeficientët e funksioneve k janë të barabartë, grafikët e tyre janë paralelë. Kjo do të thotë se gjithçka që kërkohet është të llogaritet koeficienti i një funksioni të njohur dhe të vendoset proporcionaliteti i drejtpërdrejtë duke përdorur formulën e njohur për ne: y = k *x. Koeficienti k = -5, proporcionaliteti i drejtë: y = -5*x.

konkluzioni

Tani e keni mësuar (ose e keni mbajtur mend, nëse e keni trajtuar tashmë këtë temë më parë) se çfarë quhet proporcionaliteti i drejtpërdrejtë, dhe e shikoi shembuj. Ne folëm gjithashtu për funksionin e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë dhe grafikun e tij, dhe zgjidhëm disa probleme shembujsh.

Nëse ky artikull ishte i dobishëm dhe ju ndihmoi të kuptoni temën, na tregoni për të në komente. Kështu që ne të dimë nëse mund t'ju sjellim dobi.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Trikhleb Daniil, nxënës i klasës së 7-të

njohja me proporcionalitetin e drejtë dhe koeficientin e proporcionalitetit të drejtëpërdrejtë (paraqitja e konceptit të koeficientit këndor”);

ndërtimi i grafikut të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë;

shqyrtimi i pozicionit relativ të grafikëve të proporcionalitetit të drejtë dhe funksioneve lineare me koeficientë këndorë identikë.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë dhe grafiku i tij

Cili është argumenti dhe vlera e një funksioni? Cila variabël quhet e pavarur apo e varur? Çfarë është një funksion? RISHIKIM Çfarë është domeni i një funksioni?

Metodat për përcaktimin e një funksioni. Analitike (duke përdorur një formulë) Grafike (duke përdorur një grafik) Tabelore (duke përdorur një tabelë)

Grafiku i një funksioni është bashkësia e të gjitha pikave të planit koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumentit, dhe ordinatat janë vlerat përkatëse të funksionit. ORARI I FUNKSIONIT

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

PLOTËSONI DETYRËN Ndërtoni një grafik të funksionit y = 2 x +1, ku 0 ≤ x ≤ 4. Bëni një tryezë. Duke përdorur grafikun, gjeni vlerën e funksionit në x=2.5. Në cilën vlerë të argumentit vlera e funksionit është e barabartë me 8?

Përkufizim Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion që mund të specifikohet me një formulë të formës y = k x, ku x është një ndryshore e pavarur, k është një numër jo zero. (k-koeficienti i proporcionalitetit të drejtëpërdrejtë) Proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë

8 Grafik i proporcionalitetit të drejtë - drejtëz që kalon nga origjina e koordinatave (pika O(0,0)) Për të ndërtuar një grafik të funksionit y= kx mjaftojnë dy pika, njëra prej të cilave është O (0,0) Për k > 0, grafiku ndodhet në tremujorët e koordinatave I dhe III. Në k

Grafikët e funksioneve të proporcionalitetit të drejtë y x k>0 k>0 k

Detyrë Përcaktoni se cili nga grafikët tregon funksionin e proporcionalitetit të drejtë.

Detyrë Përcaktoni se cili grafik funksioni është paraqitur në figurë. Zgjidhni një formulë nga tre të ofruara.

Punë gojore. A mund të jepet grafiku i një funksioni me formulën y = k x, ku k

Përcaktoni se cila nga pikat A(6,-2), B(-2,-10), C(1,-1), E(0,0) i përkasin grafikut të proporcionalitetit të drejtë të dhënë me formulën y = 5x. 1) A( 6;-2) -2 = 5  6 - 2 = 30 - e pasaktë. Pika A nuk i përket grafikut të funksionit y=5x. 2) B(-2;-10) -10 = 5  (-2) -10 = -10 - e saktë. Pika B i përket grafikut të funksionit y=5x. 3) C(1;-1) -1 = 5  1 -1 = 5 - e pasaktë Pika C nuk i përket grafikut të funksionit y=5x. 4) E (0;0) 0 = 5  0 0 = 0 - e vërtetë. Pika E i përket grafikut të funksionit y=5x

TEST 1 opsioni 2 opsioni nr. 1. Cilët nga funksionet e dhëna nga formula janë drejtpërdrejt proporcionale? A. y = 5x B. y = x 2 /8 C. y = 7x(x-1) D. y = x+1 A. y = 3x 2 +5 B. y = 8/x C. y = 7(x + 9) D. y = 10x

nr 2. Shkruani numrat e drejtëzave y = kx, ku k > 0 1 opsioni k

nr 3. Përcaktoni se cilat nga pikat i përkasin grafikut të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë, të dhënë me formulën Y = -1 /3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 opsion C (1, -1), E (0.0 ) Opsioni 2

y =5x y =10x III A VI dhe IV E 1 2 3 1 2 3 Nr. Përgjigja e saktë Përgjigja e saktë Nr.

Plotësoni detyrën: Tregoni në mënyrë skematike se si ndodhet grafiku i funksionit të dhënë nga formula: y =1,7 x y =-3,1 x y=0,9 x y=-2,3 x

DETYRË Nga grafikët e mëposhtëm, zgjidhni vetëm grafikët e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funksionet y = 2x + 3 2. y = 6/ x 3. y = 2x 4. y = - 1.5x 5. y = - 5/ x 6. y = 5x 7. y = 2x – 5 8. y = - 0,3x 9. y = 3/ x 10. y = - x /3 + 1 Zgjidhni funksionet e formës y = k x (proporcionaliteti i drejtëpërdrejtë) dhe shkruajini ato

Funksionet e proporcionalitetit të drejtpërdrejtë Y = 2x Y = -1,5x Y = 5x Y = -0,3x y x

y Funksionet lineare që nuk janë funksione të proporcionalitetit të drejtpërdrejtë 1) y = 2x + 3 2) y = 2x – 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y = 2x + 3 y = 2x - 5

Detyrë shtëpie: paragrafi 15 fq.65-67, nr.307; nr 308.

Le ta përsërisim përsëri. Çfarë gjërash të reja keni mësuar? Çfarë mësuat? Çfarë e patë veçanërisht të vështirë?

Më pëlqeu mësimi dhe tema kuptohet: Më pëlqeu mësimi, por ende nuk kuptoj gjithçka: Nuk më pëlqeu mësimi dhe tema nuk është e qartë.