Paraqitja e numrave natyrorë me pika në vijën numerike. Numrat realë, imazhi në boshtin e numrave

Tashmë e dimë se bashkësia e numrave realë $R$ formohet nga numra racionalë dhe irracionalë.

Numrat racional gjithmonë mund të paraqiten si thyesa dhjetore (periodike të fundme ose të pafundme).

Numrat irracionalë shkruhen si thyesa dhjetore të pafundme, por jo periodike.

Bashkësia e numrave realë $R$ përfshin gjithashtu elementet $-\infty $ dhe $+\infty $, për të cilët vlejnë pabarazitë $-\infty

Le të shohim mënyrat për të paraqitur numrat realë.

Thyesat e zakonshme

Thyesat e zakonshme shkruhen duke përdorur dy numra natyrorë dhe një vijë thyese horizontale. Shiriti i fraksionit në fakt zëvendëson shenjën e ndarjes. Numri poshtë vijës është emëruesi i thyesës (pjesëtuesi), numri mbi vijën është numëruesi (dividend).

Përkufizimi

Një thyesë quhet e duhur nëse numëruesi i saj është më i vogël se emëruesi i saj. Anasjelltas, një thyesë quhet një thyesë e papërshtatshme nëse numëruesi i saj është më i madh ose i barabartë me emëruesin.

Për thyesat e zakonshme, ekzistojnë rregulla të thjeshta, pothuajse të dukshme, krahasimi ($m$,$n$,$p$ - numra natyrorë):

1. nga dy thyesa me emërues të njëjtë, ajo me numërues më të madh është më e madhe, pra $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ për $m>n$;
2. nga dy thyesa me numërues të njëjtë, ajo me emërues më të vogël është më e madhe, domethënë $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ për $ m
3. një thyesë e duhur është gjithmonë më e vogël se një; një thyesë e papërshtatshme është gjithmonë më e madhe se një; një thyesë në të cilën numëruesi është i barabartë me emëruesin është i barabartë me një;
4. Çdo thyesë e papërshtatshme është më e madhe se çdo thyesë e duhur.

Numrat dhjetorë

Shënimi i një numri dhjetor (thyesë dhjetore) ka formën: pjesë e plotë, presje dhjetore, pjesë thyesore. Shënimi dhjetor i një thyese të përbashkët mund të merret duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin me "këndin". Kjo mund të rezultojë në një thyesë dhjetore të fundme ose në një thyesë dhjetore periodike të pafundme.

Përkufizimi

Shifrat e pjesës thyesore quhen dhjetore. Në këtë rast, shifra e parë pas pikës dhjetore quhet shifra e dhjetave, e dyta - shifra e qindtave, e treta - shifra e njëmijtë, etj.

Shembulli 1

Përcaktoni vlerën e numrit dhjetor 3.74. Ne marrim: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Numri dhjetor mund të rrumbullakoset. Në këtë rast, duhet të tregoni shifrën në të cilën kryhet rrumbullakimi.

Rregulli i rrumbullakosjes është si më poshtë:

1. të gjitha shifrat në të djathtë të kësaj shifre zëvendësohen me zero (nëse këto shifra janë para presjes dhjetore) ose hidhen (nëse këto shifra janë pas presjes dhjetore);
2. nëse shifra e parë pas një shifre të caktuar është më e vogël se 5, atëherë shifra e kësaj shifre nuk ndryshohet;
3. nëse shifra e parë pas një shifre të caktuar është 5 ose më shumë, atëherë shifra e kësaj shifre rritet me një.

Shembulli 2

1. Le ta rrumbullakojmë numrin 17302 në mijëra: 17000.
2. Le ta rrumbullakojmë numrin 17378 në qindra: 17400.
3. Le ta rrumbullakojmë numrin 17378,45 në dhjetëshe: 17380.
4. Le të rrumbullakojmë numrin 378,91434 në të qindtën më të afërt: 378,91.
5. Le të rrumbullakojmë numrin 378,91534 në të qindtën më të afërt: 378,92.

Shndërroni një numër dhjetor në një thyesë.

Rasti 1

Një numër dhjetor përfaqëson një thyesë dhjetore përfundimtare.

Shembulli i mëposhtëm tregon metodën e konvertimit.

Shembulli 2

Kemi: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Ne e zvogëlojmë atë në një emërues të përbashkët dhe marrim:

Fraksioni mund të reduktohet: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Rasti 2

Një dhjetore përfaqëson një thyesë dhjetore periodike të pafundme.

Metoda e konvertimit bazohet në faktin se pjesa periodike e një thyese dhjetore periodike mund të konsiderohet si shuma e termave të një progresioni gjeometrik të pafundmë në rënie.

Shembulli 4

$0,\left(74\djathtas)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. Termi i parë i progresionit është $a=0.74$, emëruesi i progresionit është $q=0.01$.

Shembulli 5

$0,5\majtas(8\djathtas)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Termi i parë i progresionit është $a=0.08$, emëruesi i progresionit është $q=0.1$.

Shuma e termave të një progresioni gjeometrik të pafundmë në rënie llogaritet me formulën $s=\frac(a)(1-q) $, ku $a$ është termi i parë dhe $q$ është emëruesi i progresionit $. \ majtas (0

Shembulli 6

Le ta kthejmë thyesën dhjetore periodike të pafundme $0,\left(72\djathtas)$ në një të rregullt.

Termi i parë i progresionit është $a=0.72$, emëruesi i progresionit është $q=0.01$. Ne marrim: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.72)(1-0.01) =\frac(0.72)(0.99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 ) (11) $. Kështu, $0,\left(72\djathtas)=\frac(8)(11) $.

Shembulli 7

Le ta shndërrojmë thyesën dhjetore periodike të pafundme $0.5\left(3\djathtas)$ në një të rregullt.

Termi i parë i progresionit është $a=0.03$, emëruesi i progresionit është $q=0.1$. Ne marrim: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0.03)(1-0.1) =\frac(0.03)(0.9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 ) (30) $.

Kështu, $0,5\majtas(3\djathtas)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Numrat real mund të përfaqësohen me pika në boshtin e numrave.

Në këtë rast, ne e quajmë boshtin e numrave një vijë të drejtë të pafundme në të cilën zgjidhen origjina (pika $O$), drejtimi pozitiv (i treguar me një shigjetë) dhe shkalla (për shfaqjen e vlerave).

Ekziston një korrespondencë një-për-një midis të gjithë numrave realë dhe të gjitha pikave në boshtin e numrave: çdo pikë i korrespondon një numri të vetëm dhe, anasjelltas, çdo numër korrespondon me një pikë të vetme. Për rrjedhojë, bashkësia e numrave realë është e vazhdueshme dhe e pafundme, ashtu si vija numerike është e vazhdueshme dhe e pafundme.

Disa nënbashkësi të bashkësisë së numrave realë quhen intervale numerike. Elementet e një intervali numerik janë numrat $x\në R$ që plotësojnë një pabarazi të caktuar. Le të $a\in R$, $b\në R$ dhe $a\le b$. Në këtë rast, llojet e intervaleve mund të jenë si më poshtë:

1. Intervali $\majtas(a,\; b\djathtas)$. Në të njëjtën kohë $a
2. Segmenti $\majtas$. Për më tepër, $a\le x\le b$.
3. Gjysmë segmente ose gjysmë-intervale $\left$. Për më tepër $ a \le x
4. Intervale të pafundme, për shembull $a

Një lloj intervali i quajtur lagje e një pike është gjithashtu i rëndësishëm. Lagjja e një pike të caktuar $x_(0) \në R$ është një interval arbitrar $\left(a,\; b\right)$ që përmban këtë pikë brenda vetes, domethënë $a 0$ është rrezja e saj.

Vlera absolute e një numri

Vlera absolute (ose moduli) i një numri real $x$ është një numër real jo-negativ $\majtë|x\djathtas|$, i përcaktuar nga formula: $\majtë|x\djathtas|=\majtas\(\ start(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm at)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm at)\; \; x

Gjeometrikisht, $\majtas|x\djathtas|$ nënkupton distancën midis pikave $x$ dhe 0 në vijën numerike.

Vetitë e vlerave absolute:

1. nga përkufizimi del se $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\djathtas|=\majtas|-x\djathtas|$;
2. për modulin e shumës dhe për modulin e ndryshimit të dy numrave vlejnë pabarazitë e mëposhtme: $\majtas|x+y\djathtas|\le \left|x\djathtas|+\majtas|y\djathtas| $, $\majtas|x-y\djathtas|\le \left|x\djathtas|+\majtas|y\djathtas|$, si dhe $\majtas|x+y\djathtas|\ge \majtas|x\djathtas |-\majtas|y\djathtas|$,$\ majtas|x-y\djathtas|\ge \majtas|x\djathtas|-\majtas|y\djathtas|$;
3. për modulin e produktit dhe modulin e herësit të dy numrave, barazitë e mëposhtme janë të vërteta: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ dhe $\left|\frac(x)(y) \right|=\frac(\majtas|x\djathtas|)(\majtas|y\djathtas|) $.

Bazuar në përkufizimin e vlerës absolute për një numër arbitrar $a>0$, mund të përcaktohet gjithashtu ekuivalenca e çifteve të pabarazive të mëposhtme:

1. nëse $\majtas|x\djathtas|
2. nëse $\majtas|x\djathtas|\le a$, atëherë $-a\le x\le a$;
3. nëse $\majtas|x\djathtas|>a$, atëherë ose $xa$;
4. nëse $\majtas|x\djathtas|\ge a$, atëherë ose $x\le -a$ ose $x\ge a$.

Shembulli 8

Zgjidh pabarazinë $\left|2\cdot x+1\djathtas|

Kjo pabarazi është e barabartë me pabarazitë -7 $

Nga këtu marrim: -8 dollarë

§1.1. Numrat realë
Njohja e parë me numrat real ndodh në një kurs të matematikës shkollore. Çdo numër real përfaqësohet nga një thyesë dhjetore e fundme ose e pafundme.

Numrat realë ndahen në dy klasa: klasa e numrave racionalë dhe klasa e numrave irracionalë. Racionale janë numra që kanë formën , ku m Dhe n janë numra të plotë coprime, por
. (Bashkimi i numrave racionalë shënohet me shkronjë P). Numrat realë të mbetur thirren irracionale. Numrat racional përfaqësohen nga një thyesë periodike e fundme ose e pafundme (njëlloj si thyesat e zakonshme), atëherë ata dhe vetëm ata numra realë që mund të përfaqësohen nga thyesat e pafundme jo periodike do të jenë iracionalë.

Për shembull, numri
- racionale, dhe
,
,
etj. – numrat irracionalë.

Numrat realë mund të ndahen gjithashtu në algjebrikë - rrënjët e një polinomi me koeficientë racionalë (këta përfshijnë, në veçanti, të gjithë numrat racionalë - rrënjët e ekuacionit
) - dhe për ato transcendenciale - të gjitha të tjerat (për shembull, numrat
dhe të tjerët).

Bashkësitë e të gjithë numrave natyrorë, të plotë dhe realë shënohen në përputhje me rrethanat si më poshtë: NZ, R
(gërmat fillestare të fjalëve Naturel, Zahl, Reel).

§1.2. Imazhi i numrave realë në vijën numerike. Intervalet

Gjeometrikisht (për qartësi), numrat realë përfaqësohen me pika në një drejtëz të pafundme (në të dy drejtimet) e quajtur numerike boshti. Për këtë qëllim, merret një pikë në vijën në shqyrtim (origjina është pika 0), tregohet një drejtim pozitiv, përshkruhet me një shigjetë (zakonisht në të djathtë) dhe zgjidhet një njësi e shkallës, e cila lihet mënjanë për një kohë të pacaktuar. në të dy anët e pikës 0. Kështu paraqiten numrat e plotë. Për të paraqitur një numër me një numër dhjetor, duhet të ndani çdo segment në dhjetë pjesë, etj. Kështu, çdo numër real përfaqësohet nga një pikë në vijën numerike. Kthehu në çdo pikë
korrespondon me një numër real të barabartë me gjatësinë e segmentit
dhe merret me shenjën “+” ose “–”, në varësi të faktit nëse pika ndodhet në të djathtë apo në të majtë të origjinës. Në këtë mënyrë, krijohet një korrespodencë një-për-një midis bashkësisë së të gjithë numrave realë dhe bashkësisë së të gjitha pikave në boshtin e numrave. Termat "numër real" dhe "pika e boshtit të numrave" përdoren si sinonime.

Simboli Ne do të shënojmë një numër real dhe pikën që i korrespondon atij. Numrat pozitivë janë të vendosur në të djathtë të pikës 0, numrat negativë janë të vendosur në të majtë. Nëse
, pastaj në boshtin numerik pika shtrihet në të majtë të pikës . Lëreni pikën
korrespondon me numrin, atëherë numri quhet koordinata e pikës, shkruani
; Më shpesh, vetë pika shënohet me të njëjtën shkronjë si numri. Pika 0 është origjina e koordinatave. Boshti shënohet gjithashtu me shkronjë (Fig. 1.1).

Oriz. 1.1. Boshti i numrave.
Grupi i të gjithë numrave të gënjyer ndërmjet jepen numra dhe quhet interval ose interval; skajet mund t'i përkasin ose jo. Le ta sqarojmë këtë. Le
. Një grup numrash që plotësojnë kushtin
, i quajtur një interval (në kuptimin e ngushtë) ose një interval i hapur, i shënuar me simbolin
(Fig. 1.2).

Oriz. 1.2. Intervali
Një grup numrash të tillë që
quhet interval i mbyllur (segment, segment) dhe shënohet me
; në boshtin e numrave shënohet si më poshtë:

Oriz. 1.3. Interval i mbyllur
Ai ndryshon nga boshllëku i hapur vetëm me dy pika (skajet) dhe . Por ky ndryshim është thelbësor, domethënës, siç do ta shohim më vonë, për shembull, kur studiojmë vetitë e funksioneve.

Heqja e fjalëve "bashkësia e të gjithë numrave (pikave) x të tillë që”, etj., vërejmë më tej:

Dhe
, shënohet
Dhe
intervale gjysmë të hapura ose gjysmë të mbyllura (ndonjëherë: gjysmë intervale);

ose
do të thotë:
ose
dhe është caktuar
ose
;

ose
do të thotë
ose
dhe është caktuar
ose
;

, shënohet
bashkësia e të gjithë numrave realë. Shenjat
simbolet e "pafundësisë"; quhen numra të papërshtatshëm ose idealë.

§1.3. Vlera absolute (ose moduli) i një numri real
Përkufizimi. Vlera absolute (ose moduli) numër quhet vetë numri nëse
ose
Nëse
. Vlera absolute tregohet nga simboli . Pra,

Për shembull,
,
,
.

Gjeometrikisht nënkupton distancën e pikës a tek origjina. Nëse kemi dy pika dhe , atëherë distanca ndërmjet tyre mund të përfaqësohet si
(ose
). Për shembull,
pastaj distanca
.

Vetitë e sasive absolute.

1. Nga përkufizimi del se

,
, pra
.

2. Vlera absolute e shumës dhe diferencës nuk e kalon shumën e vlerave absolute:
.

1) Nëse
, Kjo
. 2) Nëse
, Kjo . ▲

3.
.

, pastaj nga vetia 2:
, d.m.th.
. Po kështu, nëse imagjinoni
, atëherë arrijmë te pabarazia
▲

4.
– rrjedh nga përkufizimi: shqyrtoni rastet
Dhe
.

5.
, me kusht që
E njëjta gjë rrjedh nga përkufizimi.

6. Pabarazia
,
, do të thotë
. Kjo pabarazi plotësohet nga pikat që shtrihen ndërmjet
Dhe
.

7. Pabarazia
baraz me pabarazi
, d.m.th. . Ky është një interval i përqendruar në një pikë gjatësie
. Është quajtur
fqinjësia e një pike (numri). Nëse
, atëherë lagjja quhet e shpuar: kjo është ose
. (Fig.1.4).

8.
prej nga del se pabarazia
(
) është ekuivalente me pabarazinë
ose
; dhe pabarazia
përcakton një grup pikash për të cilat
, d.m.th. këto janë pika që shtrihen jashtë segmentit
, saktësisht:
Dhe
.

§1.4. Disa koncepte dhe shënime
Le të paraqesim disa koncepte dhe shënime të përdorura gjerësisht nga teoria e grupeve, logjika matematikore dhe degë të tjera të matematikës moderne.

1 . Koncepti grupeështë një nga themelorët në matematikë, fillestare, universale - dhe për këtë arsye nuk mund të përcaktohet. Mund të përshkruhet vetëm (zëvendësohet me sinonime): është një koleksion, një koleksion i disa objekteve, gjërave, të bashkuara nga disa karakteristika. Këto objekte quhen elementet turmave. Shembuj: shumë kokrra rëre në breg, yje në Univers, nxënësit në klasë, rrënjët e një ekuacioni, pikat e një segmenti. Quhen bashkësitë, elementët e të cilave janë numra grupe numerike. Për disa grupe standarde, futet një shënim i veçantë, për shembull, N,Z,R- shih § 1.1.

Le A- shumë dhe xështë elementi i tij, atëherë ata shkruajnë:
; lexon " x i takon A» (
Shenja e përfshirjes për elementet). Nëse objekti x nuk përfshihet në A, pastaj shkruajnë
; lexon: " x nuk i takon A" Për shembull,
N; 8,51N; por 8.51 R.

Nëse xështë një emërtim i përgjithshëm për elementet e një grupi A, pastaj shkruajnë
. Nëse është e mundur të shkruani përcaktimin e të gjithë elementëve, atëherë shkruani
,
etj Një bashkësi që nuk përmban një element të vetëm quhet bashkësi boshe dhe shënohet me simbolin ; për shembull, bashkësia e rrënjëve (reale) e ekuacionit
ka bosh.

Kompleti quhet final, nëse përbëhet nga një numër i kufizuar elementesh. Nëse, pavarësisht se cili numër natyror N merret, në bashkësinë A atëherë ka më shumë elementë se N A thirrur pafund grup: ka pafundësisht shumë elementë në të.

Nëse çdo element i grupit ^A i takon shumë B, Kjo quhet një pjesë ose nëngrup i një bashkësie B dhe shkruani
; lexon " A të përfshira në B» (
ka një shenjë përfshirjeje për grupe). Për shembull, NZR. Nëse dhe
, pastaj thonë se kompletet A Dhe B janë të barabartë dhe shkruajnë
. Ndryshe shkruajnë
. Për shembull, nëse
, A
grupi i rrënjëve të ekuacionit
, Kjo .

Bashkësia e elementeve të të dy grupeve A Dhe B thirrur unifikimin vendos dhe shënohet
(Ndonjëherë
). Një grup elementësh që i përkasin dhe A Dhe B, thirri kryqëzim vendos dhe shënohet
. Bashkësia e të gjithë elementëve të një grupi ^A, të cilat nuk përfshihen në B, thirri ndryshim vendos dhe shënohet
. Këto operacione mund të paraqiten skematikisht si më poshtë:

Nëse mund të krijohet një korrespondencë një-për-një midis elementeve të grupeve, atëherë ata thonë se këto grupe janë ekuivalente dhe shkruajnë
. Çdo grup A, ekuivalente me bashkësinë e numrave natyrorë N= thirrur të numërueshme ose të numërueshme. Me fjalë të tjera, një grup quhet i numërueshëm nëse elementët e tij mund të numërohen dhe renditen në një pafundësi pasues
, të gjithë anëtarët e së cilës janë të ndryshëm:
në
, dhe mund të shkruhet në formën . Quhen grupe të tjera të pafundme të panumërta. I numërueshëm, me përjashtim të vetë grupit N, do të ketë, për shembull, grupe
, Z. Rezulton se bashkësitë e të gjithë numrave racionalë dhe algjebrikë janë të numërueshëm, dhe bashkësitë ekuivalente të të gjithë numrave dhe pikave iracionale, transcendentale, reale të çdo intervali janë të panumërueshme. Ata thonë se këto të fundit kanë fuqinë e vazhdimësisë (fuqia është një përgjithësim i konceptit të numrit (numrit) të elementeve për një grup të pafund).

2 . Le të jenë dy deklarata, dy fakte: dhe
. Simboli
do të thotë: "nëse është e vërtetë, atëherë e vërtetë dhe" ose "pason", "do të thotë që rrënja e ekuacionit ka vetinë nga anglishtja ekzistojnë- ekzistojnë.

Hyrja:

, ose
, do të thotë: ka (të paktën një) objekt që ka pronën . Dhe regjistrimi
, ose
, do të thotë: të gjithë e kanë pronën. Në veçanti, mund të shkruajmë:
Dhe .

Në këtë artikull do të shqyrtojmë në detaje moduli i numrit. Ne do të japim përkufizime të ndryshme të modulit të një numri, do të prezantojmë shënimin dhe do të ofrojmë ilustrime grafike. Në të njëjtën kohë, le të shohim shembuj të ndryshëm të gjetjes së modulit të një numri sipas përkufizimit. Pas kësaj, ne do të rendisim dhe justifikojmë vetitë kryesore të modulit. Në fund të artikullit, ne do të flasim se si përcaktohet dhe gjendet moduli i një numri kompleks.

Navigimi i faqes.

Moduli i numrave - përkufizimi, shënimi dhe shembuj

Fillimisht prezantojmë përcaktimi i modulit të numrit. Modulin e numrit a do ta shkruajmë si , pra majtas dhe djathtas numrit do të vendosim viza vertikale për të formuar shenjën e modulit. Le të japim disa shembuj. Për shembull, moduli −7 mund të shkruhet si ; moduli 4.125 shkruhet si dhe moduli ka një shënim të formës.

Përkufizimi i mëposhtëm i modulit i referohet , dhe për rrjedhojë , dhe numrave të plotë, dhe numrave racionalë dhe irracionalë, si pjesë përbërëse të grupit të numrave realë. Do të flasim për modulin e një numri kompleks në.

Përkufizimi.

Moduli i numrit a– ky është ose vetë numri a, nëse a është numër pozitiv, ose numri −a, e kundërta e numrit a, nëse a është numër negativ, ose 0, nëse a=0.

Përkufizimi i shprehur i modulit të një numri shpesh shkruhet në formën e mëposhtme , kjo hyrje do të thotë se nëse a>0, nëse a=0, dhe nëse a<0 .

Regjistrimi mund të paraqitet në një formë më kompakte . Ky shënim do të thotë se nëse (a është më e madhe ose e barabartë me 0), dhe nëse a<0 .

Ekziston edhe hyrja . Këtu duhet të shpjegojmë veçmas rastin kur a=0. Në këtë rast kemi , por −0=0, pasi zero konsiderohet një numër që është i kundërt me vetveten.

Le të japim shembuj të gjetjes së modulit të një numri duke përdorur një përkufizim të deklaruar. Për shembull, le të gjejmë modulet e numrave 15 dhe . Le të fillojmë duke gjetur. Meqenëse numri 15 është pozitiv, moduli i tij, sipas përkufizimit, është i barabartë me vetë këtë numër, domethënë . Cili është moduli i një numri? Meqenëse është një numër negativ, moduli i tij është i barabartë me numrin e kundërt me numrin, domethënë numrin . Kështu,.

Për të përfunduar këtë pikë, ne paraqesim një përfundim që është shumë i përshtatshëm për t'u përdorur në praktikë kur gjejmë modulin e një numri. Nga përkufizimi i modulit të një numri rezulton se moduli i një numri është i barabartë me numrin nën shenjën e modulit pa marrë parasysh shenjën e tij, dhe nga shembujt e diskutuar më sipër kjo është shumë qartë e dukshme. Deklarata e deklaruar shpjegon pse quhet edhe moduli i një numri vlera absolute e numrit. Pra, moduli i një numri dhe vlera absolute e një numri janë një dhe e njëjta.

Moduli i një numri si distancë

Gjeometrikisht, moduli i një numri mund të interpretohet si distancë. Le të japim përcaktimi i modulit të një numri në distancë.

Përkufizimi.

Moduli i numrit a– kjo është distanca nga origjina në vijën koordinative deri në pikën që i përgjigjet numrit a.

Ky përkufizim është në përputhje me përkufizimin e modulit të një numri të dhënë në paragrafin e parë. Le ta sqarojmë këtë pikë. Distanca nga origjina në pikën që i korrespondon një numri pozitiv është e barabartë me këtë numër. Zero korrespondon me origjinën, prandaj distanca nga origjina në pikën me koordinatë 0 është e barabartë me zero (nuk keni nevojë të lini mënjanë një segment të vetëm njësi dhe asnjë segment të vetëm që përbën ndonjë fraksion të një segmenti njësi në mënyrë për të arritur nga pika O në një pikë me koordinatë 0). Distanca nga origjina në një pikë me një koordinatë negative është e barabartë me numrin e kundërt të koordinatës së kësaj pike, pasi është e barabartë me distancën nga origjina në pikën koordinata e së cilës është numri i kundërt.

Për shembull, moduli i numrit 9 është i barabartë me 9, pasi distanca nga origjina në pikën me koordinatë 9 është e barabartë me nëntë. Le të japim një shembull tjetër. Pika me koordinatë −3.25 ndodhet në një distancë prej 3.25 nga pika O, pra .

Përkufizimi i deklaruar i modulit të një numri është një rast i veçantë i përcaktimit të modulit të ndryshimit të dy numrave.

Përkufizimi.

Moduli i diferencës së dy numrave a dhe b është e barabartë me distancën ndërmjet pikave të drejtëzës koordinative me koordinatat a dhe b.

Kjo do të thotë, nëse jepen pikat në vijën koordinative A(a) dhe B(b), atëherë distanca nga pika A në pikën B është e barabartë me modulin e ndryshimit midis numrave a dhe b. Nëse marrim pikën O (origjina) si pikën B, atëherë marrim përkufizimin e modulit të një numri të dhënë në fillim të këtij paragrafi.

Përcaktimi i modulit të një numri duke përdorur rrënjën katrore aritmetike

Herë pas here ndodh përcaktimi i modulit nëpërmjet rrënjës katrore aritmetike.

Për shembull, le të llogarisim modulin e numrave −30 dhe bazuar në këtë përkufizim. ne kemi. Në mënyrë të ngjashme, ne llogarisim modulin e dy të tretave: .

Përkufizimi i modulit të një numri përmes rrënjës katrore aritmetike është gjithashtu në përputhje me përkufizimin e dhënë në paragrafin e parë të këtij neni. Le ta tregojmë. Le të jetë a një numër pozitiv, dhe le të jetë −a një numër negativ. Pastaj Dhe , nëse a=0 , atëherë .

Karakteristikat e modulit

Moduli ka një numër rezultatesh karakteristike - vetitë e modulit. Tani do të paraqesim kryesoret dhe më të përdorurat prej tyre. Kur justifikojmë këto veti, ne do të mbështetemi në përkufizimin e modulit të një numri për sa i përket distancës.

Le të fillojmë me vetinë më të dukshme të modulit - Moduli i një numri nuk mund të jetë një numër negativ. Në formë literale, kjo veti ka formën për çdo numër a. Kjo veti është shumë e lehtë për t'u justifikuar: moduli i një numri është një distancë, dhe distanca nuk mund të shprehet si një numër negativ.

Le të kalojmë te vetia e modulit tjetër. Moduli i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse ky numër është zero. Moduli i zeros është zero sipas definicionit. Zero korrespondon me origjinën, asnjë pikë tjetër në vijën koordinative nuk korrespondon me zero, pasi çdo numër real shoqërohet me një pikë të vetme në vijën koordinative. Për të njëjtën arsye, çdo numër tjetër përveç zeros korrespondon me një pikë të ndryshme nga origjina. Dhe distanca nga origjina në çdo pikë tjetër përveç pikës O nuk është zero, pasi distanca midis dy pikave është zero nëse dhe vetëm nëse këto pika përkojnë. Arsyetimi i mësipërm vërteton se vetëm moduli i zeros është i barabartë me zero.

Le të vazhdojmë. Numrat e kundërt kanë module të barabarta, domethënë për çdo numër a. Në të vërtetë, dy pika në vijën koordinative, koordinatat e të cilave janë numra të kundërt, janë në të njëjtën distancë nga origjina, që do të thotë se modulet e numrave të kundërt janë të barabarta.

Vetia e mëposhtme e modulit është: Moduli i prodhimit të dy numrave është i barabartë me produktin e modulit të këtyre numrave, domethënë, . Sipas përkufizimit, moduli i prodhimit të numrave a dhe b është i barabartë ose me a·b nëse , ose me −(a·b) nëse . Nga rregullat e shumëzimit të numrave real del se prodhimi i moduleve të numrave a dhe b është i barabartë ose me a·b, , ose me −(a·b) nëse , që vërteton vetinë në fjalë.

Moduli i herësit të një pjesëtuar me b është i barabartë me herësin e modulit të një numri të pjesëtuar me modulin e b, domethënë, . Le të justifikojmë këtë veti të modulit. Meqenëse herësi është i barabartë me produktin, atëherë. Në bazë të pasurisë së mëparshme që kemi . Gjithçka që mbetet është të përdoret barazia , e cila është e vlefshme në bazë të përcaktimit të modulit të një numri.

Vetia e mëposhtme e një moduli shkruhet si një pabarazi: , a , b dhe c janë numra realë arbitrarë. Pabarazia e shkruar nuk është gjë tjetër veçse pabarazia e trekëndëshit. Për ta bërë këtë të qartë, le të marrim pikat A(a), B(b), C(c) në vijën e koordinatave dhe të shqyrtojmë një trekëndësh të degjeneruar ABC, kulmet e të cilit shtrihen në të njëjtën drejtëz. Sipas definicionit, moduli i diferencës është i barabartë me gjatësinë e segmentit AB, - gjatësinë e segmentit AC dhe - gjatësinë e segmentit CB. Meqenëse gjatësia e çdo brinjë të trekëndëshit nuk e kalon shumën e gjatësive të dy brinjëve të tjera, atëherë pabarazia është e vërtetë Prandaj, pabarazia është gjithashtu e vërtetë.

Pabarazia e sapo provuar është shumë më e zakonshme në formë . Pabarazia e shkruar zakonisht konsiderohet si një veti e veçantë e modulit me formulimin: " Moduli i shumës së dy numrave nuk e kalon shumën e moduleve të këtyre numrave" Por pabarazia vjen drejtpërdrejt nga mosbarazimi nëse vendosim −b në vend të b dhe marrim c=0.

Moduli i një numri kompleks

Le të japim përcaktimi i modulit të një numri kompleks. Të na jepet numër kompleks, i shkruar në formë algjebrike, ku x dhe y janë disa numra realë, që përfaqësojnë, përkatësisht, pjesët reale dhe imagjinare të një numri kompleks të dhënë z, dhe është njësia imagjinare.

Përkufizimi.

Moduli i një numri kompleks z=x+i·y është rrënja katrore aritmetike e shumës së katrorëve të pjesëve reale dhe imagjinare të një numri kompleks të dhënë.

Moduli i një numri kompleks z shënohet si , atëherë përkufizimi i deklaruar i modulit të një numri kompleks mund të shkruhet si .

Ky përkufizim ju lejon të llogaritni modulin e çdo numri kompleks në shënimin algjebrik. Për shembull, le të llogarisim modulin e një numri kompleks. Në këtë shembull, pjesa reale e një numri kompleks është e barabartë me , dhe pjesa imagjinare është e barabartë me minus katër. Pastaj, me përcaktimin e modulit të një numri kompleks, kemi .

Interpretimi gjeometrik i modulit të një numri kompleks mund të jepet përmes distancës, në analogji me interpretimin gjeometrik të modulit të një numri real.

Përkufizimi.

Moduli i një numri kompleks z është distanca nga fillimi i planit kompleks deri në pikën që i përgjigjet numrit z në këtë rrafsh.

Sipas teoremës së Pitagorës, distanca nga pika O në një pikë me koordinata (x, y) gjendet si, pra, , ku . Prandaj, përkufizimi i fundit i modulit të një numri kompleks përputhet me të parën.

Ky përkufizim gjithashtu ju lejon të tregoni menjëherë se me çfarë është e barabartë moduli i një numri kompleks z, nëse ai shkruhet në formë trigonometrike si ose në formë dëftore. Këtu. Për shembull, moduli i një numri kompleks është e barabartë me 5, dhe moduli i një numri kompleks është i barabartë me .

Mund të vëreni gjithashtu se prodhimi i një numri kompleks dhe numri i tij kompleks i konjuguar jep shumën e katrorëve të pjesëve reale dhe imagjinare. Vërtet,. Barazia që rezulton na lejon të japim një përkufizim tjetër të modulit të një numri kompleks.

Përkufizimi.

Moduli i një numri kompleks z është rrënja katrore aritmetike e prodhimit të këtij numri dhe numri kompleks i konjuguar i tij, pra .

Si përfundim, vërejmë se të gjitha vetitë e një moduli të formuluar në paragrafin përkatës janë gjithashtu të vlefshme për numrat kompleks.

Referencat.

• Vilenkin N.Ya. dhe të tjerët. Klasa e 6-të: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
• Luntz G.L., Elsgolts L.E. Funksionet e një ndryshoreje komplekse: një tekst shkollor për universitetet.
• Privalov I.I. Hyrje në teorinë e funksioneve të një ndryshoreje komplekse.

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar për këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Qëllimet:

Pajisjet: projektor, ekran, kompjuter personal, prezantim multimedial

Përparimi i mësimit

1. Momenti organizativ.

2. Përditësimi i njohurive të nxënësve.

2.1. Përgjigjuni pyetjeve të nxënësve për detyrat e shtëpisë.

2.2. Zgjidhja e fjalëkryqit (përsëritje e materialit teorik) (Rrëshqitja 2):

(E vlefshme – Pas zgjidhjes së fjalëkryqit, lexoni emrin e temës së mësimit të sotëm në kolonën vertikale të theksuar.

(Slides 3, 4)

3. Shpjegimi i një teme të re. a 3.1. – Djema, ju e keni takuar tashmë konceptin e një moduli, keni përdorur shënimin |

| . Më parë, ne po flisnim vetëm për numra racionalë. Tani duhet të prezantojmë konceptin e modulit për çdo numër real.

Çdo numër real korrespondon me një pikë të vetme në vijën numerike dhe, anasjelltas, çdo pikë në rreshtin numerik korrespondon me një numër të vetëm real. Të gjitha vetitë themelore të veprimeve në numrat racionalë ruhen për numrat realë. Prezantohet koncepti i modulit të një numri real.

(Rrëshqitje 5). x Përkufizimi. Moduli i një numri real jo negativ x| = x telefononi vetë këtë numër: | ; moduli i një numri real negativ X x| = – x .

– telefononi në numrin e kundërt: |

Shkruani temën e mësimit dhe përkufizimin e modulit në fletoret tuaja: Në praktikë, të ndryshme vetitë e modulit , Për shembull. :

(Rrëshqitja 6) Plotësoni me gojë nr. 16.3 (a, b) – 16.5 (a, b) për të zbatuar përkufizimin, vetitë e modulit. .

(Rrëshqitja 7) ; moduli i një numri real negativ 3.4. Për çdo numër real x mund të llogaritet | | = |x| .

, d.m.th. mund të flasim për funksionin y = |x| Detyra 1. Ndërtoni një grafik dhe listoni vetitë e funksionit

y

(Slides 8, 9)..

Një nxënës në tabelë po paraqet grafikisht një funksion Fig 1

Pronat janë të listuara nga studentët.

(Rrëshqitja 10)< 0 и x > 0.

1) Domeni i përkufizimit – (– ∞; + ∞) .

2) y = 0 në x = 0; y > 0 në x

3) Funksioni është i vazhdueshëm.

4) y naim = 0 për x = 0, y naib nuk ekziston.

Artikulli i mëparshëm: 5) Funksioni është i kufizuar nga poshtë, jo i kufizuar nga lart. Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve