Vizatoni një pikë në rrethin e njësisë që korrespondon me numrin. Rrethi trigonometrik

Nxënësit e shkollave të mesme nuk e dinë kurrë se kur mund të kenë probleme me studimet. Çdo lëndë e studiuar në shkollë, nga gjuha ruse deri te siguria e jetës, mund të shkaktojë vështirësi. Një nga disiplinat akademike që i bën nxënësit të djersiten rregullisht është algjebra. Shkenca algjebrike fillon të terrorizojë mendjet e fëmijëve që në klasën e shtatë dhe e vazhdon këtë biznes në vitet e dhjetë dhe të njëmbëdhjetë të studimit. Adoleshentët mund ta bëjnë jetën e tyre më të lehtë duke përdorur një sërë mjetesh, të cilat pa ndryshim përfshijnë zgjidhës.

Koleksioni i GDZ për klasat 10-11 në algjebër (Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva)është një shtesë e shkëlqyer për librin kryesor. Me ndihmën e informacionit bazë të dhënë, nxënësi është gati të zgjidhë çdo ushtrim. Detyrat përfshijnë analizën e temave të mëposhtme:

funksionet dhe ekuacionet trigonometrike;
logaritme;
gradë.

Përgjigjet dhe komentet e dhëna kanë shënimet e nevojshme të autorit që patjetër do ta ndihmojnë fëmijën.

Pse keni nevojë për një zgjidhës?

Publikimi u jep të gjithë nxënësve të shkollës mundësinë që të punojnë në mënyrë të pavarur materialin dhe në rast të keqkuptimit ose mungesës së një teme, ta kalojnë vetë atë pa cenuar cilësinë. Gjithashtu, të dhënat e referencës ju lejojnë të përgatiteni në mënyrë efektive për punën e ardhshme të pavarur dhe testuese. Nxënësit më kureshtarë mund të ecin përpara në kurrikulë, gjë që në të ardhmen do të ndikojë pozitivisht në përvetësimin e njohurive dhe rritjen e notës mesatare.

Përveç nxënësve të klasës së dhjetë dhe të njëmbëdhjetë Manuali i Alimov për algjebër për klasat 10-11 Prindërit dhe mësuesit mund ta përdorin lehtësisht: për të parën, do të bëhet një mjet për monitorimin e njohurive të fëmijës, dhe për të dytën, do të bëhet baza për zhvillimin e materialeve të tyre dhe detyrat e testimit për mësimet në klasë.

Si është organizuar koleksioni

Burimi ndjek plotësisht strukturën e tekstit shkollor. Brenda, përdoruesi ka mundësinë të shikojë përgjigjet e 1624 ushtrimeve, si dhe detyrat e seksionit "Testoni veten", të ndarë në trembëdhjetë kapituj. Çelësat janë të disponueshëm 24 orë në ditë, numri mund të gjendet përmes fushës së kërkimit ose përmes navigimit të përshtatshëm.

Mësim dhe prezantim me temën: "Rrethi i numrave në planin koordinativ"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Manualë dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 10 nga 1C
Probleme algjebrike me parametra, klasat 9–11
Ne zgjidhim probleme në gjeometri. Detyrat ndërvepruese të ndërtimit për klasat 7-10

Çfarë do të studiojmë:
1. Përkufizimi.
2. Koordinata të rëndësishme të rrethit numerik.
3. Si gjendet koordinata e rrethit numerik?
4. Tabela e koordinatave kryesore të rrethit numerik.
5. Shembuj të zgjidhjes së problemeve.

Përkufizimi i rrethit të numrave në planin koordinativ

Le të vendosim rrethin e numrave në planin koordinativ në mënyrë që qendra e rrethit të përputhet me origjinën e koordinatave dhe të marrim rrezen e tij si segment njësi. Pika e fillimit të rrethit numëror A kombinohet me pikën (1;0).

Çdo pikë në rrethin e numrave ka koordinatat e veta x dhe y në planin koordinativ dhe:
1) për $x > 0$, $y > 0$ - në tremujorin e parë;
2) për $x 0$ - në tremujorin e dytë;
3) për $x 4) për $x > 0$, $y
Për çdo pikë $M(x; y)$ në rrethin e numrave plotësohen pabarazitë e mëposhtme: $-1
Mbani mend ekuacionin e rrethit të numrave: $x^2 + y^2 = 1$.

Është e rëndësishme që ne të mësojmë se si të gjejmë koordinatat e pikave në rrethin numerik të paraqitur në figurë.

Le të gjejmë koordinatat e pikës $\frac(π)(4)$

Pika $M(\frac(π)(4))$ është mesi i tremujorit të parë. Le të hedhim MR pingul nga pika M në drejtëzën OA dhe të marrim parasysh trekëndëshin OMP meqenëse harku AM është gjysma e harkut AB, atëherë $∠MOP=45°$.
Kjo do të thotë se trekëndëshi OMP është një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh dhe $OP=MP$, d.m.th. në pikën M abshisa dhe ordinata janë të barabarta: $x = y$.
Meqenëse koordinatat e pikës $M(x;y)$ plotësojnë ekuacionin e rrethit të numrave, atëherë për t'i gjetur ato duhet të zgjidhni sistemin e ekuacioneve:
$\fillojnë (rastet) x^2 + y^2 = 1, \\ x = y. \fund (rastet)$
Pasi e kemi zgjidhur këtë sistem, marrim: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Kjo do të thotë që koordinatat e pikës M që i korrespondon numrit $\frac(π)(4)$ do të jenë $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Në mënyrë të ngjashme llogariten koordinatat e pikave të paraqitura në figurën e mëparshme.

Koordinatat e pikave në rrethin numerik

Le të shohim shembuj

Shembulli 1.
Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(45\frac(π)(4))$.

Zgjidhja:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Kjo do të thotë se numri $45\frac(π)(4)$ korrespondon me të njëjtën pikë në rrethin numerik si numri $\frac(5π)(4)$. Duke parë vlerën e pikës $\frac(5π)(4)$ në tabelë, marrim: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Shembulli 2.
Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(-\frac(37π)(3))$.

Zgjidhja:

Sepse numrat $t$ dhe $t+2π*k$, ku k është një numër i plotë, korrespondojnë me të njëjtën pikë në rrethin e numrave, atëherë:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Kjo do të thotë që numri $-\frac(37π)(3)$ korrespondon me të njëjtën pikë në rrethin e numrave si numri $–\frac(π)(3)$ dhe numri –$\frac(π) (3)$ korrespondon me të njëjtën pikë si $\frac(5π)(3)$. Duke parë vlerën e pikës $\frac(5π)(3)$ në tabelë, marrim:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Shembulli 3.
Gjeni pika në rrethin e numrave me ordinatë $y =\frac(1)(2)$ dhe shkruani me cilët numra $t$ korrespondojnë?

Zgjidhja:
Drejtëza $y =\frac(1)(2)$ pret rrethin numerik në pikat M dhe P. Pika M korrespondon me numrin $\frac(π)(6)$ (nga të dhënat e tabelës). Kjo do të thotë çdo numër i formës: $\frac(π)(6)+2π*k$. Pika P i korrespondon numrit $\frac(5π)(6)$, dhe rrjedhimisht çdo numri të formës $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Ne morëm, siç thuhet shpesh në raste të tilla, dy seri vlerash:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ dhe $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Përgjigje: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ dhe $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Shembulli 4.
Gjeni pika në rrethin numerik me abshisë $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ dhe shkruani se me cilët numra $t$ korrespondojnë.

Zgjidhja:

Drejtëza $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ pret rrethin numerik në pikat M dhe P. Pabarazia $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ korrespondon te pikat e harkut PM. Pika M korrespondon me numrin $3\frac(π)(4)$ (nga të dhënat e tabelës). Kjo do të thotë çdo numër i formës $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Pika P i korrespondon numrit $-\frac(3π)(4)$, dhe rrjedhimisht çdo numri të formës $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Pastaj marrim $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Përgjigje: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Probleme për t'u zgjidhur në mënyrë të pavarur

1) Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Gjeni koordinatat e një pike në rrethin numerik: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Gjeni pika në rrethin e numrave me ordinatë $y = -\frac(1)(2)$ dhe shkruani se me cilët numra korrespondojnë $t$.
4) Gjeni pika në rrethin numerik me ordinatë $y ≥ -\frac(1)(2)$ dhe shkruani se me cilët numra korrespondojnë $t$.
5) Gjeni pika në rrethin numerik me abshisën $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ dhe shkruani se me cilët numra korrespondojnë $t$.

>> Rrethi i numrave

Gjatë studimit të lëndës së algjebrës për klasat 7-9, deri tani jemi marrë me funksionet algjebrike, d.m.th. funksionet e përcaktuara në mënyrë analitike nga shprehjet në të cilat janë përdorur veprime algjebrike mbi numrat dhe ndryshoret (mbledhja, zbritja, shumëzimi, ndarje , fuqi, rrënjë katrore). Por modelet matematikore të situatave reale shpesh shoqërohen me funksione të një lloji tjetër, jo algjebrike. Me përfaqësuesit e parë të klasës së funksioneve joalgjebrike - funksionet trigonometrike - do të njihemi në këtë kapitull. Funksionet trigonometrike dhe llojet e tjera të funksioneve joalgjebrike (eksponenciale dhe logaritmike) do t'i studioni më hollësisht në shkollën e mesme.
Për të prezantuar funksionet trigonometrike na duhet një e re modeli matematik - një rreth numerik që nuk e keni hasur ende, por jeni shumë të njohur me vijën numerike. Kujtojmë se vija numerike është një vijë e drejtë në të cilën jepet pika e fillimit O, shkalla (segmenti njësi) dhe drejtimi pozitiv. Ne mund të krahasojmë çdo numër real me një pikë në një drejtëz dhe anasjelltas.

Si të gjeni pikën përkatëse M në një vijë duke përdorur numrin x? Numri 0 korrespondon me pikën fillestare O. Nëse x > 0, atëherë, duke lëvizur përgjatë një vije të drejtë nga pika 0 në drejtim pozitiv, duhet të shkoni n^ e gjatësisë x; fundi i kësaj rruge do të jetë pika e dëshiruar M(x). Nëse x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

Dhe si e zgjidhëm problemin e anasjelltë, d.m.th. Si e gjetët koordinatën x të një pike të dhënë M në drejtëzën numerike? Gjetëm gjatësinë e segmentit OM dhe e morëm me shenjën "+" ose * - "në varësi të cilës anë të pikës O pika M ndodhet në vijën e drejtë.

Por në jetën reale ju duhet të lëvizni jo vetëm në një vijë të drejtë. Shumë shpesh, lëvizja përgjatë rrethi . Ja një shembull konkret. Le ta konsiderojmë pistën e vrapimit të stadiumit si një rreth (në fakt, sigurisht që nuk është një rreth, por mbani mend, siç thonë zakonisht komentuesit e sportit: "vrapuesi ka drejtuar një rreth", "ka mbetur gjysmë rrethi për të vrapuar para përfundimit”, etj.), gjatësia e tij është 400 m. Fillimi është shënuar - pika A (Fig. 97). Një vrapues nga pika A lëviz rreth një rrethi në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Ku do të jetë ai në 200 m? në 400 m? në 800 m? në 1500 m? Ku duhet të vizatojë vijën e finishit nëse vrapon në një distancë maratonë prej 42 km 195 m?

Pas 200 m, ai do të jetë në pikën C, diametralisht e kundërt me pikën A (200 m është gjatësia e gjysmës së rutines, d.m.th. gjatësia e gjysmë rrethi). Pas vrapimit 400 m (d.m.th., "një xhiro", siç thonë atletët), ai do të kthehet në pikën A. Pas vrapimit 800 m (d.m.th. "dy xhiro"), ai do të jetë përsëri në pikën A. Çfarë është 1500 m ? Ky është "tre rrathë" (1200 m) plus 300 m të tjerë, d.m.th. 3

Treadmill - përfundimi i kësaj distance do të jetë në pikën 2) (Fig. 97).

Na mbetet vetëm të merremi me maratonën. Pas vrapimit 105 xhiro, atleti do të përshkojë një distancë prej 105-400 = 42.000 m, d.m.th. 42 km. Deri në vijën e finishit kanë mbetur edhe 195 m, që është 5 m më pak se gjysma e perimetrit. Kjo do të thotë se përfundimi i distancës së maratonës do të jetë në pikën M, që ndodhet pranë pikës C (Fig. 97).

Komentoni. Ju, sigurisht, e kuptoni konventën e shembullit të fundit. Askush nuk vrapon një distancë maratonë rreth stadiumit, maksimumi është 10.000 m, d.m.th. 25 xhiro.

Ju mund të vraponi ose të ecni në çdo gjatësi përgjatë rutines së stadiumit. Kjo do të thotë që çdo numër pozitiv korrespondon me një pikë - "mbarimin e distancës". Për më tepër, është e mundur të caktoni një pikë në një rreth për çdo numër negativ: thjesht duhet ta bëni atletin të vrapojë në drejtim të kundërt, d.m.th. filloni nga pika A jo në drejtim të kundërt të akrepave të orës, por në drejtim të akrepave të orës. Atëherë pista e vrapimit të stadiumit mund të konsiderohet si një rreth numrash.

Në parim, çdo rreth mund të konsiderohet si një rreth numerik, por në matematikë u ra dakord të përdoret një rreth njësi për këtë qëllim - një rreth me një rreze prej 1. Ky do të jetë "puna rutine". Gjatësia b e një rrethi me rreze K llogaritet me formulën Gjatësia e gjysmërrethit është n dhe gjatësia e një çerek rrethi është AB, BC, SB, DA në Fig. 98 - e barabartë Le të biem dakord të quajmë harkun AB çerekun e parë të rrethit njësi, harkun BC tremujorin e dytë, harkun CB tremujorin e tretë, harkun DA tremujorin e katërt (Fig. 98). Në këtë rast, zakonisht flasim për një hark të hapur, d.m.th. rreth një harku pa skajet e tij (diçka si një interval në një vijë numerike).

Përkufizimi. Jepet një rreth njësi dhe në të shënohet pika e fillimit A - skaji i djathtë i diametrit horizontal (Fig. 98). Le ta shoqërojmë çdo numër real I me një pikë në rreth sipas rregullit të mëposhtëm:

1) nëse x > 0, atëherë, duke lëvizur nga pika A në drejtim të kundërt të akrepave të orës (drejtimi pozitiv i lëvizjes rreth rrethit), do të përshkruajmë një shteg përgjatë rrethit me gjatësi dhe pika e fundit M e kësaj rruge do të jetë e dëshiruara. pika: M = M(x);

2) nëse x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Le ta lidhim pikën A me 0: A = A(0).

Një rreth njësi me një korrespondencë të vendosur (midis numrave realë dhe pikave në rreth) do të quhet rreth numrash.
Shembulli 1. Gjeni në rrethin e numrave
Meqenëse gjashtë numrat e parë të shtatë numrave të dhënë janë pozitivë, atëherë për të gjetur pikat përkatëse në rreth, duhet të ecni një shteg të një gjatësi të caktuar përgjatë rrethit, duke lëvizur nga pika A në drejtim pozitiv. Le ta kemi parasysh atë

Numri 2 korrespondon me pikën A, pasi, pasi ka kaluar përgjatë rrethit një shteg me gjatësi 2, d.m.th. saktësisht një rreth, do të arrijmë përsëri në pikën fillestare A Pra, A = A(2).
Cfare ndodhi Kjo do të thotë që duke lëvizur nga pika A në një drejtim pozitiv, duhet të kaloni nëpër një rreth të tërë.

Komentoni. Kur jemi në klasën e 7-të dhe të 8-të punuar me boshtin numerik, atëherë ne ramë dakord, për hir të shkurtësisë, të mos themi "pika në vijë që korrespondon me numrin x", por të themi "pika x". Ne do t'i përmbahemi saktësisht të njëjtës marrëveshje kur punojmë me rrethin e numrave: "pika f" - kjo do të thotë që po flasim për një pikë në rreth që korrespondon me numrin
Shembulli 2.
Duke e ndarë tremujorin e parë AB në tre pjesë të barabarta me pikat K dhe P, marrim:

Shembulli 3. Gjeni pikat në rrethin e numrave që u korrespondojnë numrave
Do të bëjmë konstruksione duke përdorur Fig. 99. Duke depozituar harkun AM (gjatësia e tij është -) nga pika A pesë herë në drejtim negativ, fitojmë pikën!, - mesi i harkut BC. Kështu që,

Komentoni. Vini re disa nga liritë që marrim në përdorimin e gjuhës matematikore. Është e qartë se harku AK dhe gjatësia e harkut AK janë gjëra të ndryshme (koncepti i parë është një figurë gjeometrike, dhe koncepti i dytë është një numër). Por të dy janë caktuar në të njëjtën mënyrë: AK. Për më tepër, nëse pikat A dhe K janë të lidhura me një segment, atëherë segmenti që rezulton dhe gjatësia e tij shënohen në të njëjtën mënyrë: AK. Zakonisht është e qartë nga konteksti se çfarë kuptimi synohet në përcaktimin (harku, gjatësia e harkut, segmenti ose gjatësia e segmentit).

Prandaj, dy paraqitjet e rrethit të numrave do të jenë shumë të dobishme për ne.

PARAQITJA E PARË
Secila nga katër të katërtat e rrethit të numrave ndahet në dy pjesë të barabarta dhe pranë secilës nga tetë pikat e disponueshme shkruhen "emrat" e tyre (Fig. 100).

PARAQITJA E DYTË Secila nga katër të katërtat e rrethit të numrave ndahet në tre pjesë të barabarta dhe pranë secilës prej dymbëdhjetë pikave të disponueshme janë shkruar "emrat" e tyre (Fig. 101).

Ju lutemi vini re se në të dyja paraqitjet mund t'u caktojmë "emra" të tjerë pikave të dhëna.
A e keni vënë re se në të gjithë shembujt e analizuar të gjatësisë së harkut
shprehet me disa thyesa të numrit n? Kjo nuk është për t'u habitur: në fund të fundit, gjatësia e një rrethi njësi është 2n, dhe nëse ndajmë një rreth ose çerekun e tij në pjesë të barabarta, marrim harqe, gjatësitë e të cilëve shprehen në fraksione të numrit dhe. A mendoni se është e mundur të gjendet një pikë E në rrethin njësi të tillë që gjatësia e harkut AE të jetë e barabartë me 1? Le ta kuptojmë:

Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, arrijmë në përfundimin se në rrethin e njësisë mund të gjendet pika P.sh., për të cilën AE = 1, dhe pika E2, për të cilën AEr = 2, dhe pika E3, për të cilën AE3 = 3, dhe pika E4, për e cila AE4 = 4, dhe pika Eb, për të cilën AEb = 5, dhe pika E6, për të cilën AE6 = 6. Në Fig. 102 (përafërsisht) janë shënuar pikat përkatëse (dhe për orientim, secila prej çerekëve të rrethit të njësisë ndahet me viza në tre pjesë të barabarta).

Shembulli 4. Gjeni pikën në rrethin e numrave që i përgjigjet numrit -7.

Ne kemi nevojë, duke filluar nga pika A(0) dhe duke lëvizur në një drejtim negativ (drejtimi i akrepave të orës), të ecim përgjatë një rrethi me gjatësi 7. Nëse kalojmë nëpër një rreth, marrim (afërsisht) 6.28, që do të thotë se ende duhet të kaloni nëpër (në të njëjtin drejtim) një shteg me gjatësi 0,72. Çfarë lloj harku është ky? Pak më pak se gjysmë çerek rrethi, d.m.th. gjatësia e saj është më e vogël se numri -.

Pra, në një rreth numerik, si në një vijë numerike, çdo numër real korrespondon me një pikë (vetëm, natyrisht, është më e lehtë ta gjesh atë në një vijë sesa në një rreth). Por për një vijë të drejtë është gjithashtu e kundërta: çdo pikë i korrespondon një numri të vetëm. Për një rreth numrash, një pohim i tillë nuk është i vërtetë; Deklarata e mëposhtme është e vërtetë për rrethin e numrave.
Nëse pika M e rrethit numerik korrespondon me numrin I, atëherë i përgjigjet edhe një numri të formës I + 2k, ku k është çdo numër i plotë (k e 2).

Në fakt, 2n është gjatësia e rrethit numerik (njësi), dhe numri i plotë |th| mund të konsiderohet si numri i rrotullimeve të plota të rrethit në një drejtim ose në një tjetër. Nëse, për shembull, k = 3, atëherë kjo do të thotë se ne bëjmë tre raunde të rrethit në drejtim pozitiv; nëse k = -7, atëherë kjo do të thotë se ne bëjmë shtatë (| k | = | -71 = 7) rrotullime të rrethit në drejtim negativ. Por nëse jemi në pikën M(1), atëherë, pasi kemi kryer edhe | te | raunde të plota të rrethit, ne do ta gjejmë veten përsëri në pikën M.

A.G. Mordkovich Algjebra klasa e 10-të

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për vitin; Mësime të integruara

Koordinatat x pikat që shtrihen në rreth janë të barabarta me cos(θ) dhe koordinatat y korrespondojnë me sin(θ), ku θ është madhësia e këndit.

Nëse e keni të vështirë ta mbani mend këtë rregull, thjesht mbani mend se në çift (cos; sin) "sinusi vjen i fundit".
Ky rregull mund të nxirret duke marrë parasysh trekëndëshat kënddrejtë dhe përkufizimin e këtyre funksioneve trigonometrike (sinusi i një këndi është i barabartë me raportin e gjatësisë së anës së kundërt dhe kosinusi i anës ngjitur me hipotenuzën).

Shkruani koordinatat e katër pikave në rreth. Një "rreth njësi" është një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me një. Përdoreni këtë për të përcaktuar koordinatat x Dhe y në katër pika të kryqëzimit të boshteve koordinative me rrethin. Më lart, për qartësi, ne i caktuam këto pika si "lindje", "veri", "perëndim" dhe "jug", megjithëse ato nuk kanë emra të përcaktuar.

"Lindje" korrespondon me pikën me koordinata (1; 0) .
"Veriu" korrespondon me pikën me koordinata (0; 1) .
"Perëndimi" korrespondon me pikën me koordinata (-1; 0) .
"Jug" korrespondon me pikën me koordinata (0; -1) .
Kjo është e ngjashme me një grafik të rregullt, kështu që nuk ka nevojë të mësoni përmendësh këto vlera, thjesht mbani mend parimin bazë.

Mbani mend koordinatat e pikave në kuadrantin e parë. Kuadranti i parë ndodhet në pjesën e sipërme të djathtë të rrethit, ku janë koordinatat x Dhe y marrin vlera pozitive. Këto janë të vetmet koordinata që duhet të mbani mend:

Vizatoni vija të drejta dhe përcaktoni koordinatat e pikave të kryqëzimit të tyre me rrethin. Nëse vizatoni vija të drejta horizontale dhe vertikale nga pikat e një kuadranti, pikat e dyta të kryqëzimit të këtyre vijave me rrethin do të kenë koordinatat x Dhe y me të njëjtat vlera absolute, por me shenja të ndryshme. Me fjalë të tjera, mund të vizatoni vija horizontale dhe vertikale nga pikat e kuadrantit të parë dhe të etiketoni pikat e kryqëzimit me rrethin me të njëjtat koordinata, por në të njëjtën kohë të lini hapësirë në të majtë për shenjën e saktë ("+" ose "-").

Për të përcaktuar shenjën e koordinatave, përdorni rregullat e simetrisë. Ka disa mënyra për të përcaktuar se ku të vendosni shenjën "-":

Mos harroni rregullat themelore për grafikët e rregullt. Boshti x negative në të majtë dhe pozitive në të djathtë. Boshti y negative nga poshtë dhe pozitive nga lart;
filloni me kuadrantin e parë dhe vizatoni vija në pika të tjera. Nëse vija e kalon boshtin y, koordinoj x do të ndryshojë shenjën e saj. Nëse vija e kalon boshtin x, shenja e koordinatës do të ndryshojë y;
mos harroni se në kuadrantin e parë të gjitha funksionet janë pozitive, në kuadrantin e dytë vetëm sinusi është pozitiv, në kuadrantin e tretë vetëm tangjentja është pozitive dhe në kuadrantin e katërt vetëm kosinusi është pozitiv;
Cilado metodë që përdorni, duhet të merrni (+,+) në kuadrantin e parë, (-,+) në të dytin, (-,-) në të tretën dhe (+,-) në të katërtin.

Kontrolloni nëse keni bërë një gabim. Më poshtë është një listë e plotë e koordinatave të pikave "të veçanta" (me përjashtim të katër pikave në boshtet e koordinatave), nëse lëvizni përgjatë rrethit të njësisë në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Mos harroni se për të përcaktuar të gjitha këto vlera, mjafton të mbani mend koordinatat e pikave vetëm në kuadrantin e parë:

kuadranti i pare: ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
kuadranti i dyte: ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
kuadranti i trete: ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
kuadranti i katërt: ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Karakteristikat e elementit të karbonit dhe vetitë kimike