Çfarë veti kanë faqet e kundërta të një paralelepipedi? Paralelepiped dhe kub

Një paralelipiped është figura gjeometrike, të 6 faqet e të cilave janë paralelograme.

Varësisht nga lloji i këtyre paralelogrameve ekzistojnë llojet e mëposhtme paralelipiped:

• direkt;
• i prirur;
• drejtkëndëshe.

Një paralelipiped i drejtë është një prizëm katërkëndor, skajet e të cilit bëjnë një kënd prej 90° me rrafshin e bazës.

Një paralelipiped drejtkëndor është një prizëm katërkëndësh, të gjitha fytyrat e të cilit janë drejtkëndësha. Kubi është një shumëllojshmëri prizëm katërkëndor, në të cilën të gjitha fytyrat dhe skajet janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Veçoritë e një figure paracaktojnë vetitë e saj. Këto përfshijnë 4 deklaratat e mëposhtme:

Është e thjeshtë të kujtohen të gjitha vetitë e dhëna, ato janë të lehta për t'u kuptuar dhe rrjedhin logjikisht në bazë të llojit dhe veçorive trup gjeometrik. Megjithatë, deklaratat e thjeshta mund të jenë tepër të dobishme për të vendosur detyra tipike Provimi i Unifikuar i Shtetit dhe do të kursejë kohën e nevojshme për të kaluar testin.

Formulat paralelepipedi

Për të gjetur përgjigje për problemin, nuk mjafton të njihni vetëm vetitë e figurës. Ju gjithashtu mund të keni nevojë për disa formula për të gjetur sipërfaqen dhe vëllimin e një trupi gjeometrik.

Zona e bazave gjendet në të njëjtën mënyrë si treguesi përkatës i një paralelogrami ose drejtkëndëshi. Ju mund ta zgjidhni vetë bazën e paralelogramit. Si rregull, gjatë zgjidhjes së problemeve është më e lehtë të punohet me një prizëm, baza e të cilit është një drejtkëndësh.

Formula për gjetjen e sipërfaqes anësore të një paralelipipedi mund të jetë gjithashtu e nevojshme në detyrat e provës.

Shembuj të zgjidhjes së detyrave tipike të Provimit të Unifikuar të Shtetit

Detyra 1.

E dhënë: një paralelipiped drejtkëndor me përmasa 3, 4 dhe 12 cm.
E nevojshme gjeni gjatësinë e njërës prej diagonaleve kryesore të figurës.
Zgjidhje: Çdo zgjidhje problemi gjeometrik duhet të fillojë me ndërtimin e një vizatimi të saktë dhe të qartë, në të cilin do të tregohet "i dhënë" dhe vlera e dëshiruar. Fotografia më poshtë tregon një shembull dizajn i saktë kushtet e detyrës.

Pasi kemi ekzaminuar vizatimin e bërë dhe duke kujtuar të gjitha vetitë e trupit gjeometrik, arrijmë tek e vetmja mënyrën e duhur zgjidhjet. Duke zbatuar vetinë e 4-të të një paralelipipedi, marrim shprehjen e mëposhtme:

Pas llogaritjeve të thjeshta marrim shprehjen b2=169, pra b=13. Përgjigja e detyrës është gjetur, ju duhet të shpenzoni jo më shumë se 5 minuta për ta kërkuar dhe vizatuar atë.

Në këtë mësim, të gjithë do të jenë në gjendje të studiojnë temën " Paralelepiped drejtkëndëshe" Në fillim të mësimit, ne do të përsërisim se çfarë janë paralelopipedët arbitrar dhe të drejtë, mbani mend vetitë e fytyrave të tyre të kundërta dhe diagonaleve të paralelepipedit. Pastaj do të shohim se çfarë është një kuboid dhe do të diskutojmë vetitë e tij themelore.

Tema: Perpendikulariteti i drejtëzave dhe planeve

Mësimi: Kuboid

Një sipërfaqe e përbërë nga dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 dhe katër paralelograme ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 quhet paralelipiped(Fig. 1).

Oriz. 1 Paralelepiped

Kjo është: ne kemi dy paralelogramë të barabartë ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 (baza), ato shtrihen në plane paralele Pra brinjë anësore AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 janë paralele. Kështu, një sipërfaqe e përbërë nga paralelogramë quhet paralelipiped.

Kështu, sipërfaqja e një paralelipipedi është shuma e të gjithë paralelogrameve që përbëjnë paralelopipedin.

1. Faqet e kundërta të një paralelipipedi janë paralele dhe të barabarta.

(format janë të barabarta, domethënë mund të kombinohen duke u mbivendosur)

Për shembull:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 ( paralelogramë të barabartë sipas definicionit),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (pasi AA 1 B 1 B dhe DD 1 C 1 C - fytyra të kundërta paralelipiped),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (pasi AA 1 D 1 D dhe BB 1 C 1 C janë faqe të kundërta të paralelepipedit).

2. Diagonalet e një paralelipipedi priten në një pikë dhe përgjysmohen nga kjo pikë.

Diagonalet e paralelepipedit AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B kryqëzohen në një pikë O, dhe secila diagonale ndahet përgjysmë me këtë pikë (Fig. 2).

Oriz. 2 Diagonalet e një paralelipipedi priten dhe ndahen përgjysmë me pikën e kryqëzimit.

3. Ekzistojnë tre katërfisha të skajeve të barabarta dhe paralele të një paralelipipedi: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Përkufizimi. Një paralelipiped quhet i drejtë nëse skajet anësore të tij janë pingul me bazat.

Lëreni skajin anësor AA 1 të jetë pingul me bazën (Fig. 3). Kjo do të thotë se drejtëza AA 1 është pingul me drejtëzat AD dhe AB, të cilat shtrihen në rrafshin e bazës. Kjo do të thotë që faqet anësore përmbajnë drejtkëndësha. Dhe bazat përmbajnë paralelograme arbitrare. Le të shënojmë ∠ BAD = φ, këndi φ mund të jetë cilido.

Oriz. 3 Paralelepiped djathtas

Pra, një paralelipiped i drejtë është një paralelipiped në të cilin skajet anësore janë pingul me bazat e paralelopipedit.

Përkufizimi. Paralelepipedi quhet drejtkëndor, nëse skajet anësore të tij janë pingul me bazën. Bazat janë drejtkëndëshe.

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 paralelipiped është drejtkëndëshe (Fig. 4), nëse:

1. AA 1 ⊥ ABCD (buza anësore pingul me rrafshin e bazës, pra një paralelipiped i drejtë).

2. ∠ BAD = 90°, pra baza është një drejtkëndësh.

Oriz. 4 Paralelepiped drejtkëndëshe

Një paralelipiped drejtkëndor ka të gjitha vetitë e një paralelepipedi arbitrar. Por ka prona shtesë, të cilat rrjedhin nga përkufizimi i një paralelepipedi drejtkëndor.

Pra, kuboidështë një paralelipiped, skajet anësore të të cilit janë pingul me bazën. Baza e një kuboidi është një drejtkëndësh.

1. Në një paralelipiped drejtkëndor, të gjashtë faqet janë drejtkëndësha.

ABCD dhe A 1 B 1 C 1 D 1 janë drejtkëndësha sipas përkufizimit.

2. Brinjët anësore janë pingul me bazën. Pra, kjo është ajo fytyrat anësore drejtkëndëshe paralelipiped - drejtkëndëshe.

3. Të gjitha kënde dihedrale drejtkëndëshe drejtkëndëshe paralelipipedësh.

Le të shqyrtojmë, për shembull, këndin dihedral të një paralelipipedi drejtkëndor me buzë AB, d.m.th., këndin dihedral midis planeve ABC 1 dhe ABC.

AB është një skaj, pika A 1 shtrihet në një rrafsh - në rrafshin ABB 1, dhe pika D në tjetrën - në rrafshin A 1 B 1 C 1 D 1. Atëherë mund të shënohet edhe këndi dihedral në shqyrtim si më poshtë: ∠A 1 ABD.

Le të marrim pikën A në skajin AB. AA 1 është pingul me skajin AB në rrafshin АВВ-1, AD është pingul me skajin AB në rrafshin ABC. Pra, ∠A 1 pas Krishtit - kënd linear jepet këndi dykëndor. ∠A 1 AD = 90°, që do të thotë se këndi dihedral në skajin AB është 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

Në mënyrë të ngjashme, është vërtetuar se çdo kënd dihedral i një paralelepipedi drejtkëndor është i drejtë.

Diagonalja katrore e një kuboidi e barabartë me shumën katrorët e tre dimensioneve të tij.

Shënim. Gjatësitë e tre skajeve që dalin nga një kulm i një kuboidi janë matjet e kuboidit. Ndonjëherë ato quhen gjatësi, gjerësi, lartësi.

Jepet: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - paralelipiped drejtkëndor (Fig. 5).

Vërtetoni: .

Oriz. 5 Paralelepiped drejtkëndëshe

Dëshmi:

Drejtëza CC 1 është pingul me rrafshin ABC, dhe rrjedhimisht me drejtëzën AC. Kjo do të thotë se trekëndëshi CC 1 A është kënddrejtë. Sipas teoremës së Pitagorës:

Konsideroni trekëndëshin kënddrejtë ABC. Sipas teoremës së Pitagorës:

Por para Krishtit dhe pas Krishtit - anët e kundërta drejtkëndësh. Pra para Krishtit = pas Krishtit. Pastaj:

Sepse , A , Kjo. Meqenëse CC 1 = AA 1, kjo është ajo që duhej vërtetuar.

Diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor janë të barabarta.

Le të shënojmë dimensionet e ABC paralelipiped si a, b, c (shih Fig. 6), pastaj AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar person të caktuar apo lidhje me të.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Mbledhur nga ne informacion personal na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarjet e ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Përkufizimi

Polyedron do të quajmë një sipërfaqe të mbyllur të përbërë nga shumëkëndësha dhe që kufizon një pjesë të caktuar të hapësirës.

Quhen segmentet që janë brinjët e këtyre shumëkëndëshave brinjët shumëkëndësh, dhe vetë shumëkëndëshat janë skajet. Kulmet e shumëkëndëshave quhen kulme shumëkëndëshe.

Ne vetëm do të konsiderojmë poliedra konvekse(ky është një poliedron që ndodhet në njërën anë të çdo rrafshi që përmban fytyrën e tij).

Shumëkëndëshat që përbëjnë një shumëkëndësh formojnë sipërfaqen e tij. Pjesa e hapësirës që kufizohet nga një shumëfaqësh i caktuar quhet brendësi e saj.

Përkufizimi: prizëm

Le të shqyrtojmë dy shumëkëndësh i barabartë\(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\) të vendosura në plane paralele në mënyrë që segmentet \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) paralele. Një shumëfaqësh i formuar nga poligonet \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\), si dhe nga paralelogramet \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), quhet (\(n\)-gonal) prizëm.

Shumëkëndëshat \(A_1A_2A_3...A_n\) dhe \(B_1B_2B_3...B_n\) quhen bazat e prizmit, paralelogramet \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– faqet anësore, segmentet \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- brinjë anësore.
Kështu, skajet anësore të prizmit janë paralele dhe të barabarta me njëra-tjetrën.

Le të shohim një shembull - një prizëm \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), në bazën e të cilit shtrihet një pesëkëndësh konveks.

Lartësia prizmat janë një pingul i rënë nga çdo pikë e një baze në rrafshin e një baze tjetër.

Nëse skajet anësore nuk janë pingul me bazën, atëherë një prizëm i tillë quhet të prirur(Fig. 1), në ndryshe – e drejtpërdrejtë. Në një prizëm të drejtë, skajet anësore janë lartësi, dhe faqet anësore janë drejtkëndësha të barabartë.

Nëse baza e një prizmi të drejtë qëndron shumëkëndëshi i rregullt, atëherë quhet prizmi e saktë.

Përkufizimi: koncepti i vëllimit

Njësia e matjes së vëllimit është një kub njësi (një kub që mat \(1\times1\times1\) njësi\(^3\), ku njësia është një njësi e caktuar matëse).

Mund të themi se vëllimi i një poliedri është sasia e hapësirës që kufizon ky shumëfaqësh. Përndryshe: kjo është sasia vlerë numerike e cila tregon se sa herë një kub njësi dhe pjesët e tij përshtaten në një shumëfaqësh të caktuar.

Vëllimi ka të njëjtat veti si zona:

1. Vëllimet shifra të barabarta janë të barabartë.

2. Nëse një shumëfaqësh përbëhet nga disa poliedra që nuk kryqëzohen, atëherë vëllimi i tij është i barabartë me shumën e vëllimeve të këtyre poliedrave.

3. Vëllimi është një sasi jo negative.

4. Vëllimi matet në cm\(^3\) ( centimetra kub), m\(^3\) (metra kub), etj.

Teorema

1. Sipërfaqja e sipërfaqes anësore të prizmit është e barabartë me produktin e perimetrit të bazës dhe lartësisë së prizmit.
Sipërfaqja anësore është shuma e sipërfaqeve të faqeve anësore të prizmit.

2. Vëllimi i prizmit e barabartë me produktin zona e bazës për lartësinë e prizmit: \

Përkufizimi: paralelipiped

Paralelepipedështë një prizëm me një paralelogram në bazën e tij.

Të gjitha faqet e paralelopipedit (ka \(6\) : \(4\) faqe anësore dhe \(2\) baza) janë paralelograme, dhe faqet e kundërta (paralele me njëra-tjetrën) janë paralelograme të barabarta (Fig. 2) .

Diagonalja e një paralelepipediështë një segment që lidh dy kulme të një paralelipipedi që nuk shtrihen në të njëjtën faqe (ka \(8\) prej tyre: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etj.).

Paralelepiped drejtkëndësheështë një paralelipiped i drejtë me një drejtkëndësh në bazën e tij.
Sepse Meqenëse ky është një paralelipiped i drejtë, faqet anësore janë drejtkëndëshe. Kjo do të thotë që në përgjithësi të gjitha faqet e një paralelipipedi drejtkëndor janë drejtkëndësha.

Të gjitha diagonalet e një paralelipipedi drejtkëndor janë të barabarta (kjo rrjedh nga barazia e trekëndëshave \(\trekëndësh ACC_1=\trekëndësh AA_1C=\trekëndësh BDD_1=\trekëndësh BB_1D\) etj.).

Komentoni

Kështu, një paralelipiped ka të gjitha vetitë e një prizmi.

Teorema

Sipërfaqja anësore e një paralelepipedi drejtkëndor është \

Sheshi sipërfaqe të plotë paralelipiped drejtkëndor është i barabartë me \

Teorema

Vëllimi i një kuboidi është i barabartë me produktin e tre skajeve të tij që dalin nga një kulm (tre dimensionet e kuboidit): \

Dëshmi

Sepse Në një paralelipiped drejtkëndor, skajet anësore janë pingul me bazën, pastaj janë edhe lartësitë e saj, pra \(h=AA_1=c\) sepse atëherë baza është një drejtkëndësh \(S_(\tekst(kryesore))=AB\cdot AD=ab\). Nga këtu vjen kjo formulë.

Teorema

Diagonalja \(d\) e një paralelipipedi drejtkëndor gjendet duke përdorur formulën (ku \(a,b,c\) janë dimensionet e paralelopipedit) \

Dëshmi

Le të shohim Fig. 3. Sepse baza është një drejtkëndësh, atëherë \(\trekëndëshi ABD\) është drejtkëndësh, prandaj, nga teorema e Pitagorës \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Sepse të gjitha skajet anësore janë pingul me bazat, atëherë \(BB_1\perp (ABC) \Djathtas BB_1\) pingul me çdo drejtëz në këtë rrafsh, d.m.th. \(BB_1\perp BD\) . Kjo do të thotë se \(\trekëndëshi BB_1D\) është drejtkëndor. Pastaj, nga teorema e Pitagorës \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Përkufizimi: kub

Kubështë një paralelipiped drejtkëndor, të gjitha faqet e të cilit janë katrorë të barabartë.

Kështu, tre dimensionet janë të barabarta me njëra-tjetrën: \(a=b=c\) . Pra, sa vijon janë të vërteta

Teorema

1. Vëllimi i një kubi me buzë \(a\) është i barabartë me \(V_(\tekst(kub))=a^3\) .

2. Diagonalja e kubit gjendet duke përdorur formulën \(d=a\sqrt3\) .

3. Sipërfaqja totale e një kubi \(S_(\tekst(kubik i plotë))=6a^2\).

Udhëzimet

Metoda 2. Le të supozojmë se paralelepipedi drejtkëndor është një kub. Një kub është një paralelipiped drejtkëndor, çdo faqe përfaqësohet nga një katror. Prandaj, të gjitha anët e tij janë të barabarta. Pastaj për të llogaritur gjatësinë e diagonales së saj do të shprehet si më poshtë:

Burimet:

• formula diagonale drejtkëndëshe

Paralelepiped - rast i veçantë një prizëm në të cilin të gjashtë faqet janë paralelograme ose drejtkëndësha. Paralelepiped me skajet drejtkëndëshe quhet edhe drejtkëndëshe. Një paralelipiped ka katër diagonale të kryqëzuara. Nëse jepen tre skajet a, b, c, mund të gjeni të gjitha diagonalet e një paralelepipedi drejtkëndor duke kryer ndërtime shtesë.

Udhëzimet

Gjeni diagonalen e paralelipipedit m. Për ta bërë këtë, gjeni hipotenuzën e panjohur në a, n, m: m² = n² + a². Zëvendësues vlerat e njohura, pastaj llogarisni rrënjën katrore. Rezultati i fituar do të jetë diagonalja e parë e paralelipipedit m.

Në të njëjtën mënyrë, vizatoni në mënyrë sekuenciale të tre diagonalet e tjera të paralelopipedit. Gjithashtu, për secilën prej tyre, kryeni ndërtim shtesë të diagonaleve të fytyrave ngjitur. Duke marrë parasysh të formuarit trekëndëshat kënddrejtë dhe duke përdorur teoremën e Pitagorës, gjeni vlerat e diagonaleve të mbetura.

Video mbi temën

Burimet:

• gjetja e një paralelipipedi

Hipotenuza është ana e kundërt kënd i drejtë. Këmbët janë anët e një trekëndëshi ngjitur me një kënd të drejtë. Në lidhje me trekëndëshat ABC dhe ACD: AB dhe BC, AD dhe DC–, AC është hipotenuza e zakonshme për të dy trekëndëshat (e dëshiruara diagonale). Prandaj, AC = katror AB + katror BC ose AC b = katror AD + katror DC. Zëvendësoni gjatësitë anësore drejtkëndësh në formulën e mësipërme dhe llogaritni gjatësinë e hipotenuzës (diagonale drejtkëndësh).

Për shembull, palët drejtkëndësh ABCD janë të barabarta me vlerat e mëposhtme: AB = 5 cm dhe BC = 7 cm. Katrori i diagonales AC të një të dhënë drejtkëndësh sipas teoremës së Pitagorës: AC në katror = katror AB + katror BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 sq.cm. Përdorni një kalkulator për të llogaritur vlerën rrënjë katrore 74. Duhet të merrni 8.6 cm (vlera e rrumbullakosur). Ju lutemi vini re se sipas një prej pronave drejtkëndësh, diagonalet e tij janë të barabarta. Pra, gjatësia e diagonales së dytë BD drejtkëndësh ABCD është e barabartë me gjatësinë e diagonales AC. Për shembullin e mësipërm, kjo vlerë