Nëse ndiqni përkufizimin, atëherë derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit Δ y tek rritja e argumentit Δ x:

Gjithçka duket se është e qartë. Por provoni të përdorni këtë formulë për të llogaritur, të themi, derivatin e funksionit f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x mëkat x. Nëse bëni gjithçka sipas definicionit, atëherë pas nja dy faqesh llogaritje thjesht do të bini në gjumë. Prandaj, ka mënyra më të thjeshta dhe më efektive.

Për të filluar, vërejmë se nga e gjithë shumëllojshmëria e funksioneve mund të dallojmë të ashtuquajturat funksione elementare. Këto janë shprehje relativisht të thjeshta, derivatet e të cilave janë llogaritur dhe renditur prej kohësh. Funksione të tilla janë mjaft të lehta për t'u mbajtur mend - së bashku me derivatet e tyre.

Derivatet e funksioneve elementare

Funksionet elementare janë të gjitha ato të listuara më poshtë. Derivatet e këtyre funksioneve duhet të njihen përmendësh. Për më tepër, nuk është aspak e vështirë t'i mësosh përmendësh - kjo është arsyeja pse ato janë elementare.

Pra, derivatet e funksioneve elementare:

Emri	Funksioni	Derivat
Konstante	f(x) = C, C ∈ R	0 (po, zero!)
Fuqia me eksponent racional	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinus	f(x) = mëkat x	cos x
Kosinusi	f(x) = cos x	−mëkat x(minus sinus)
Tangjente	f(x) = tg x	1/ko 2 x
Kotangjente	f(x) = ctg x	− 1/mëkat 2 x
Logaritmi natyror	f(x) = log x	1/x
Logaritmi arbitrar	f(x) = log a x	1/(x ln a)
Funksioni eksponencial	f(x) = e x	e x(asgjë nuk ka ndryshuar)

Nëse një funksion elementar shumëzohet me një konstante arbitrare, atëherë derivati ​​i funksionit të ri gjithashtu llogaritet lehtësisht:

(C · f)’ = C · f ’.

Në përgjithësi, konstantet mund të hiqen nga shenja e derivatit. Për shembull:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Natyrisht, funksionet elementare mund t'i shtohen njëri-tjetrit, të shumëzohen, të ndahen - dhe shumë më tepër. Kështu do të shfaqen funksione të reja, jo më veçanërisht elementare, por edhe të diferencuara sipas rregullave të caktuara. Këto rregulla diskutohen më poshtë.

Derivati ​​i shumës dhe diferencës

Le të jepen funksionet f(x) Dhe g(x), derivatet e të cilave janë të njohura për ne. Për shembull, mund të merrni funksionet elementare të diskutuara më sipër. Atëherë mund të gjeni derivatin e shumës dhe ndryshimit të këtyre funksioneve:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Pra, derivati ​​i shumës (diferencës) i dy funksioneve është i barabartë me shumën (diferencën) e derivateve. Mund të ketë më shumë terma. Për shembull, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Në mënyrë të rreptë, nuk ka asnjë koncept të "zbritjes" në algjebër. Ekziston një koncept i "elementit negativ". Prandaj dallimi f − g mund të rishkruhet si shumë f+ (−1) g, dhe pastaj mbetet vetëm një formulë - derivati ​​i shumës.

f(x) = x 2 + mëkat x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funksioni f(x) është shuma e dy funksioneve elementare, pra:

f ’(x) = (x 2 + mëkat x)’ = (x 2)’ + (mëkat x)’ = 2x+ cos x;

Ne arsyetojmë në mënyrë të ngjashme për funksionin g(x). Vetëm ka tashmë tre terma (nga pikëpamja e algjebrës):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Përgjigje:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivat i produktit

Matematika është një shkencë logjike, kështu që shumë njerëz besojnë se nëse derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve, atëherë derivati ​​i produktit grevë">i barabartë me produktin e derivateve. Por vidhosni! Derivati ​​i një produkti llogaritet duke përdorur një formulë krejtësisht të ndryshme. Domethënë:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula është e thjeshtë, por shpesh harrohet. Dhe jo vetëm nxënësit e shkollës, por edhe studentët. Rezultati është problemet e zgjidhura gabimisht.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funksioni f(x) është produkt i dy funksioneve elementare, kështu që gjithçka është e thjeshtë:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) 'cos x + x 3 (ko x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-mëkat x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x)

Funksioni g(x) shumëzuesi i parë është pak më i ndërlikuar, por skema e përgjithshme nuk ndryshon. Natyrisht, faktori i parë i funksionit g(x) është një polinom dhe derivati ​​i tij është derivati ​​i shumës. Ne kemi:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Përgjigje:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x mëkat x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Ju lutemi vini re se në hapin e fundit derivati ​​faktorizohet. Formalisht, kjo nuk ka nevojë të bëhet, por shumica e derivateve nuk llogariten më vete, por për të ekzaminuar funksionin. Kjo do të thotë që më tej derivati ​​do të barazohet me zero, do të përcaktohen shenjat e tij etj. Për një rast të tillë, është më mirë të faktorizohet një shprehje.

Nëse ka dy funksione f(x) Dhe g(x), dhe g(x) ≠ 0 në grupin që na intereson, mund të përcaktojmë një funksion të ri h(x) = f(x)/g(x). Për një funksion të tillë mund të gjeni edhe derivatin:

Jo i dobët, a? Nga erdhi minusi? Pse g 2? Dhe kështu! Kjo është një nga formulat më komplekse - nuk mund ta kuptoni pa një shishe. Prandaj, është më mirë ta studiojmë atë me shembuj specifik.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve:

Numëruesi dhe emëruesi i çdo thyese përmbajnë funksione elementare, kështu që gjithçka që na nevojitet është formula për derivatin e herësit:

Sipas traditës, le të faktorizojmë numëruesin - kjo do ta thjeshtojë shumë përgjigjen:

Një funksion kompleks nuk është domosdoshmërisht një formulë gjysmë kilometër e gjatë. Për shembull, mjafton të marrësh funksionin f(x) = mëkat x dhe zëvendësoni variablin x, të themi, në x 2 + ln x. Do të funksionojë f(x) = mëkat ( x 2 + ln x) - ky është një funksion kompleks. Ai gjithashtu ka një derivat, por nuk do të jetë e mundur ta gjesh atë duke përdorur rregullat e diskutuara më sipër.

Çfarë duhet të bëj? Në raste të tilla, zëvendësimi i një ndryshoreje dhe formule për derivatin e një funksioni kompleks ndihmon:

f ’(x) = f ’(t) · t', Nëse x zëvendësohet nga t(x).

Si rregull, situata me të kuptuarit e kësaj formule është edhe më e trishtuar sesa me derivatin e herësit. Prandaj, është gjithashtu më mirë të shpjegohet duke përdorur shembuj specifikë, me një përshkrim të hollësishëm të secilit hap.

Detyrë. Gjeni derivatet e funksioneve: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = mëkat ( x 2 + ln x)

Vini re se nëse në funksion f(x) në vend të shprehjes 2 x+ 3 do të jetë e lehtë x, atëherë marrim një funksion elementar f(x) = e x. Prandaj, ne bëjmë një zëvendësim: le 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Ne kërkojmë derivatin e një funksioni kompleks duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dhe tani - vëmendje! Ne kryejmë zëvendësimin e kundërt: t = 2x+ 3. Ne marrim:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Tani le të shohim funksionin g(x). Është e qartë se ajo duhet të zëvendësohet x 2 + ln x = t. Ne kemi:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (mëkat t)’ · t’ = cos t · t ’

Zëvendësimi i kundërt: t = x 2 + ln x. Pastaj:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = kosto ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Kjo është ajo! Siç shihet nga shprehja e fundit, i gjithë problemi është reduktuar në llogaritjen e shumës derivative.

Përgjigje:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) si ( x 2 + ln x).

Shumë shpesh në mësimet e mia, në vend të termit "derivativ", përdor fjalën "prim". Për shembull, goditja e shumës është e barabartë me shumën e goditjeve. A është kjo më e qartë? Epo, kjo është mirë.

Kështu, llogaritja e derivatit zbret në heqjen e të njëjtave goditje sipas rregullave të diskutuara më sipër. Si shembull i fundit, le të kthehemi te fuqia derivatore me një eksponent racional:

(x n)’ = n · x n − 1

Pak njerëz e dinë këtë në rol n mund të jetë një numër thyesor. Për shembull, rrënja është x 0.5. Po sikur të ketë diçka të zbukuruar nën rrënjë? Përsëri, rezultati do të jetë një funksion kompleks - atyre u pëlqen të japin ndërtime të tilla në teste dhe provime.

Detyrë. Gjeni derivatin e funksionit:

Së pari, le të rishkruajmë rrënjën si një fuqi me një eksponent racional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Tani bëjmë një zëvendësim: le x 2 + 8x − 7 = t. Derivatin e gjejmë duke përdorur formulën:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Le të bëjmë zëvendësimin e kundërt: t = x 2 + 8x− 7. Kemi:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Më në fund, kthehemi te rrënjët:

Zgjidhja e problemeve fizike ose shembujve në matematikë është plotësisht e pamundur pa njohuri për derivatin dhe metodat e llogaritjes së tij. Derivati ​​është një nga konceptet më të rëndësishme në analizën matematikore. Ne vendosëm t'i kushtojmë artikullin e sotëm kësaj teme themelore. Çfarë është derivati, cili është kuptimi fizik dhe gjeometrik i tij, si të llogaritet derivati ​​i një funksioni? Të gjitha këto pyetje mund të kombinohen në një: si ta kuptojmë derivatin?

Kuptimi gjeometrik dhe fizik i derivatit

Le të ketë një funksion f(x) , të specifikuara në një interval të caktuar (a, b) . Pikat x dhe x0 i përkasin këtij intervali. Kur x ndryshon, vetë funksioni ndryshon. Ndryshimi i argumentit - ndryshimi në vlerat e tij x-x0 . Ky ndryshim shkruhet si delta x dhe quhet rritje e argumentit. Një ndryshim ose rritje e një funksioni është diferenca midis vlerave të një funksioni në dy pika. Përkufizimi i derivatit:

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është kufiri i raportit të rritjes së funksionit në një pikë të caktuar me rritjen e argumentit kur ky i fundit tenton në zero.

Përndryshe mund të shkruhet kështu:

Çfarë kuptimi ka të gjesh një kufi të tillë? Dhe ja çfarë është:

derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit ndërmjet boshtit OX dhe tangjentes me grafikun e funksionit në një pikë të caktuar.

Kuptimi fizik i derivatit: derivati ​​i shtegut në lidhje me kohën është i barabartë me shpejtësinë e lëvizjes drejtvizore.

Në të vërtetë, që nga ditët e shkollës, të gjithë e dinë se shpejtësia është një rrugë e veçantë x=f(t) dhe koha t . Shpejtësia mesatare për një periudhë të caktuar kohore:

Për të gjetur shpejtësinë e lëvizjes në një moment në kohë t0 ju duhet të llogarisni kufirin:

Rregulli i parë: vendosni një konstante

Konstanta mund të hiqet nga shenja derivatore. Për më tepër, kjo duhet bërë. Kur zgjidhni shembuj në matematikë, merrni atë si rregull - Nëse mund të thjeshtoni një shprehje, sigurohuni që ta thjeshtoni atë .

Shembull. Le të llogarisim derivatin:

Rregulli i dytë: derivat i shumës së funksioneve

Derivati ​​i shumës së dy funksioneve është i barabartë me shumën e derivateve të këtyre funksioneve. E njëjta gjë vlen edhe për derivatin e diferencës së funksioneve.

Ne nuk do të japim një provë të kësaj teoreme, por do të shqyrtojmë një shembull praktik.

Gjeni derivatin e funksionit:

Rregulli i tretë: derivati ​​i produktit të funksioneve

Derivati ​​i produktit të dy funksioneve të diferencueshëm llogaritet me formulën:

Shembull: gjeni derivatin e një funksioni:

Zgjidhja:

Është e rëndësishme të flasim këtu për llogaritjen e derivateve të funksioneve komplekse. Derivati ​​i një funksioni kompleks është i barabartë me produktin e derivatit të këtij funksioni në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe derivatin e argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Në shembullin e mësipërm hasim shprehjen:

Në këtë rast, argumenti i ndërmjetëm është 8x me fuqinë e pestë. Për të llogaritur derivatin e një shprehjeje të tillë, së pari llogarisim derivatin e funksionit të jashtëm në lidhje me argumentin e ndërmjetëm dhe më pas shumëzojmë me derivatin e vetë argumentit të ndërmjetëm në lidhje me variablin e pavarur.

Rregulli i katërt: derivat i herësit të dy funksioneve

Formula për përcaktimin e derivatit të herësit të dy funksioneve:

Ne u përpoqëm të flisnim për derivatet për dummies nga e para. Kjo temë nuk është aq e thjeshtë sa duket, prandaj kini kujdes: shpesh ka kurthe në shembuj, ndaj bëni kujdes kur llogaritni derivatet.

Për çdo pyetje mbi këtë dhe tema të tjera, mund të kontaktoni shërbimin e studentëve. Në një kohë të shkurtër, ne do t'ju ndihmojmë të zgjidhni testin më të vështirë dhe të kuptoni detyrat, edhe nëse nuk keni bërë kurrë më parë llogaritjet e derivateve.

Është paraqitur një vërtetim dhe derivimi i formulës për derivatin e sinusit - sin(x). Shembuj të llogaritjes së derivateve të sin 2x, sinus në katror dhe kub. Nxjerrja e formulës për derivatin e sinusit të rendit të n-të.

Derivati ​​në lidhje me ndryshoren x nga sinusi i x është i barabartë me kosinusin e x:
(sin x)′ = cos x.

Dëshmi

Për të nxjerrë formulën për derivatin e sinusit, do të përdorim përkufizimin e derivatit:
.

Për të gjetur këtë kufi, duhet ta transformojmë shprehjen në atë mënyrë që ta reduktojmë në ligje, veti dhe rregulla të njohura. Për ta bërë këtë duhet të dimë katër veti.
1) Kuptimi i kufirit të parë të shquar:
(1) ;
2) Vazhdimësia e funksionit të kosinusit:
(2) ;
3) Formulat trigonometrike. Do të na duhet formula e mëposhtme:
(3) ;
4) Limiti i pronës:
Nëse dhe, atëherë
(4) .

Le t'i zbatojmë këto rregulla në kufirin tonë. Fillimisht transformojmë shprehjen algjebrike
.
Për ta bërë këtë ne aplikojmë formulën
(3) .
Në rastin tonë
;
;
;
;
.

.
.

Pastaj
.

Tani le të bëjmë zëvendësimin.

.

Në , . Le të zbatojmë kufirin e parë të shquar (1):

Le të bëjmë të njëjtin zëvendësim dhe të përdorim vetinë e vazhdimësisë (2):

Meqenëse kufijtë e llogaritur më sipër ekzistojnë, ne aplikojmë pronën (4):
Formula për derivatin e sinusit është vërtetuar. Shembuj Le të shohim shembuj të thjeshtë të gjetjes së derivateve të funksioneve që përmbajnë sinus. Do të gjejmë derivate të funksioneve të mëposhtme: y = mëkat 2x; y=.

mëkat 2 x

dhe y = mëkat 3 x.

Shembulli 1

Gjeni derivatin e
mëkat 2x
Zgjidhje
.
Së pari, le të gjejmë derivatin e pjesës më të thjeshtë:

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.

Ne aplikojmë.

Këtu.

Përgjigju
(mëkat 2x)′ = 2 cos 2x. Shembuj.

Shembulli 1

Shembulli 2
.
Gjeni derivatin e sinusit në katror:
.
y=

.
Së pari, le të gjejmë derivatin e pjesës më të thjeshtë:

Le të rishkruajmë funksionin origjinal në një formë më të kuptueshme:
.

(2x)′ = 2(x)′ = 2 1 = 2.

Le të gjejmë derivatin e pjesës më të thjeshtë:

Zbatojmë formulën për derivatin e një funksioni kompleks.
(mëkat 2x)′ = 2 cos 2x. y = mëkat 2x; y=.

Ju mund të aplikoni një nga formulat e trigonometrisë. Pastaj

Shembulli 3 Gjeni derivatin e sinusit në kub: Derivatet e rendit më të lartë
.

Vini re se derivati ​​i

.
Së pari, le të gjejmë derivatin e pjesës më të thjeshtë:

mëkat x Gjeni derivatin e sinusit në kub: Rendi i parë mund të shprehet përmes sinusit si më poshtë:
(5) .

Le të gjejmë derivatin e rendit të dytë duke përdorur formulën për derivatin e një funksioni kompleks:

Tani mund ta vërejmë atë diferencim

bën që argumenti i tij të rritet me .

Atëherë derivati ​​i rendit të n-të ka formën:
.
Le ta vërtetojmë këtë duke përdorur metodën e induksionit matematik.

.
Së pari, le të gjejmë derivatin e pjesës më të thjeshtë:
Ne kemi kontrolluar tashmë që për , formula (5) është e vlefshme.
.
Le të supozojmë se formula (5) është e vlefshme për një vlerë të caktuar.

Le të provojmë se nga kjo rrjedh se formula (5) është e kënaqur për .

Le të shkruajmë formulën (5) në:

Ne e dallojmë këtë ekuacion duke përdorur rregullin për diferencimin e një funksioni kompleks:

Kështu ne gjetëm:

Nëse e zëvendësojmë , atëherë kjo formulë do të marrë formën (5).

Formula është e vërtetuar.

3. Derivat i një funksioni kompleks.

Pikërisht në atë rend. Ky është një aluzion.)

Sigurisht, do të ishte mirë të kishim një ide për derivatet në përgjithësi). Çfarë është një derivat dhe si të punohet me tabelën e derivateve është shpjeguar qartë në mësimin e mëparshëm. Këtu do të merremi me rregullat e diferencimit.

Diferencimi është operacioni i gjetjes së derivatit. Nuk ka asgjë më të fshehur pas këtij termi. ato. shprehjet "gjeni derivatin e një funksioni" Dhe "diferenconi një funksion"- është e njëjta gjë.

Shprehje "rregullat e diferencimit" i referohet gjetjes së derivatit nga veprimet aritmetike. Ky kuptim ndihmon shumë për të shmangur konfuzionin në kokën tuaj.

Le të përqendrohemi dhe të kujtojmë të gjitha, të gjitha, të gjitha veprimet aritmetike. Janë katër prej tyre). Mbledhja (shuma), zbritja (ndryshimi), shumëzimi (produkti) dhe pjesëtimi (herësi). Këtu janë rregullat e diferencimit:

Pllaka tregon pesë rregullat mbi katër veprimet aritmetike. Unë nuk kam ndryshuar.) Vetëm se rregulli 4 është një pasojë elementare e rregullit 3. Por është aq popullor sa ka kuptim ta shkruajmë (dhe ta mbajmë mend!) si një formulë e pavarur.

Nën emërtimet U Dhe V nënkuptohen disa (absolutisht çdo!) funksione U(x) Dhe V(x).

Le të shohim disa shembuj. Së pari - ato më të thjeshtat.

Gjeni derivatin e funksionit y=sinx - x 2

Këtu kemi ndryshim dy funksione elementare. Ne zbatojmë rregullin 2. Do të supozojmë se sinx është një funksion U, dhe x 2 është funksioni V. Kemi çdo të drejtë të shkruajmë:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Kjo është më mirë, apo jo?) Gjithçka që mbetet është të gjejmë derivatet e sinusit dhe katrorit të x. Ekziston një tabelë e derivateve për këtë. Ne thjesht kërkojmë funksionet që na duhen në tabelë ( sinx Dhe x 2), shikoni çfarë derivatesh kanë dhe shkruani përgjigjen:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Kjo është ajo. Rregulli 1 i diferencimit të shumës funksionon saktësisht njësoj.

Po sikur të kemi disa terma? Nuk ka problem.) Ne e ndajmë funksionin në terma dhe kërkojmë derivatin e secilit term në mënyrë të pavarur nga të tjerët. Për shembull:

Gjeni derivatin e funksionit y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Ne shkruajmë me guxim:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Në fund të mësimit do të jap këshilla për ta bërë jetën më të lehtë kur dallojmë.)

Këshilla praktike:

1. Përpara diferencimit, shikoni nëse është e mundur të thjeshtoni funksionin origjinal.

2. Në shembujt e ndërlikuar, ne përshkruajmë zgjidhjen në detaje, me të gjitha kllapat dhe vizat.

3. Kur dallojmë thyesat me numër konstant në emërues, pjesëtimin e kthejmë në shumëzim dhe përdorim rregullin 4.

Problemi i gjetjes së derivatit të një funksioni të caktuar është një nga problemet kryesore në lëndët e matematikës në shkollat ​​e mesme dhe në institucionet e arsimit të lartë. Është e pamundur të eksplorosh plotësisht një funksion dhe të ndërtosh grafikun e tij pa marrë derivatin e tij. Derivati ​​i një funksioni mund të gjendet lehtësisht nëse njihni rregullat themelore të diferencimit, si dhe tabelën e derivateve të funksioneve bazë. Le të kuptojmë se si të gjejmë derivatin e një funksioni.

Derivati ​​i një funksioni është kufiri i raportit të rritjes së funksionit me rritjen e argumentit kur rritja e argumentit tenton në zero.

Kuptimi i këtij përkufizimi është mjaft i vështirë, pasi koncepti i një kufiri nuk është studiuar plotësisht në shkollë. Por për të gjetur derivatet e funksioneve të ndryshme, nuk është e nevojshme të kuptojmë përkufizimin, le t'ia lëmë atë tek matematikanët dhe të kalojmë drejt e në gjetjen e derivatit.

Procesi i gjetjes së derivatit quhet diferencim. Kur dallojmë një funksion, do të marrim një funksion të ri.

Për t'i përcaktuar ato do të përdorim shkronjat latine f, g, etj.

Ka shumë shënime të ndryshme për derivatet. Ne do të përdorim një goditje. Për shembull, të shkruajmë g" do të thotë se do të gjejmë derivatin e funksionit g.

Tabela e derivateve

Për t'iu përgjigjur pyetjes se si të gjendet derivati, është e nevojshme të sigurohet një tabelë e derivateve të funksioneve kryesore. Për të llogaritur derivatet e funksioneve elementare, nuk është e nevojshme të kryhen llogaritjet komplekse. Mjafton vetëm të shikojmë vlerën e tij në tabelën e derivateve.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/mëkat 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Shembulli 1. Gjeni derivatin e funksionit y=500.

Ne shohim se kjo është një konstante. Nga tabela e derivateve dihet se derivati ​​i një konstante është i barabartë me zero (formula 1).

Shembulli 2. Gjeni derivatin e funksionit y=x 100.

Ky është një funksion fuqie, eksponenti i të cilit është 100, dhe për të gjetur derivatin e tij duhet të shumëzoni funksionin me eksponentin dhe ta zvogëloni atë me 1 (formula 3).

(x 100)" = 100 x 99

Shembulli 3. Gjeni derivatin e funksionit y=5 x

Ky është një funksion eksponencial, le të llogarisim derivatin e tij duke përdorur formulën 4.

Shembulli 4. Gjeni derivatin e funksionit y= log 4 x

Derivatin e logaritmit e gjejmë duke përdorur formulën 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Rregullat e diferencimit

Tani le të kuptojmë se si të gjejmë derivatin e një funksioni nëse nuk është në tabelë. Shumica e funksioneve të studiuara nuk janë elementare, por janë kombinime të funksioneve elementare duke përdorur veprime të thjeshta (mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe shumëzim me një numër). Për të gjetur derivatet e tyre, duhet të dini rregullat e diferencimit. Më poshtë, shkronjat f dhe g tregojnë funksione, dhe C është një konstante.

1. Koeficienti konstant mund të nxirret nga shenja e derivatit

Shembulli 5. Gjeni derivatin e funksionit y= 6*x 8

Ne nxjerrim një faktor konstant prej 6 dhe dallojmë vetëm x 4. Ky është një funksion fuqie, derivati ​​i të cilit gjendet duke përdorur formulën 3 të tabelës së derivateve.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivati ​​i një shume është i barabartë me shumën e derivateve

(f + g)"=f" + g"

Shembulli 6. Gjeni derivatin e funksionit y= x 100 +sin x

Një funksion është shuma e dy funksioneve, derivatet e të cilëve mund t'i gjejmë nga tabela. Meqenëse (x 100)"=100 x 99 dhe (sin x)"=cos x. Derivati ​​i shumës do të jetë i barabartë me shumën e këtyre derivateve:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Derivati ​​i diferencës është i barabartë me diferencën e derivateve

(f – g)"=f" - g"

Shembulli 7. Gjeni derivatin e funksionit y= x 100 – cos x

Ky funksion është ndryshimi i dy funksioneve, derivatet e të cilëve mund t'i gjejmë edhe në tabelë. Atëherë derivati ​​i diferencës është i barabartë me diferencën e derivateve dhe mos harroni të ndryshoni shenjën, pasi (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Shembulli 8. Gjeni derivatin e funksionit y=e x +tg x– x 2.

Ky funksion ka një shumë dhe një ndryshim, le të gjejmë derivatet e secilit term:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Atëherë derivati ​​i funksionit origjinal është i barabartë me:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat i produktit

(f * g)"=f" * g + f * g"

Shembulli 9. Gjeni derivatin e funksionit y= cos x *e x

Për ta bërë këtë, së pari gjejmë derivatin e secilit faktor (cos x)"=–sin x dhe (e x)"=e x. Tani le të zëvendësojmë gjithçka në formulën e produktit. Shumëzojmë derivatin e funksionit të parë me të dytin dhe shtojmë prodhimin e funksionit të parë me derivatin e të dytit.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivati ​​i herësit

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Shembulli 10. Gjeni derivatin e funksionit y= x 50 /sin x

Për të gjetur derivatin e një herësi, fillimisht gjejmë derivatin e numëruesit dhe të emëruesit veçmas: (x 50)"=50 x 49 dhe (sin x)"= cos x. Duke zëvendësuar derivatin e herësit në formulë, marrim:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivat i një funksioni kompleks

Një funksion kompleks është një funksion i përfaqësuar nga një përbërje e disa funksioneve. Ekziston gjithashtu një rregull për gjetjen e derivatit të një funksioni kompleks:

(u (v))"=u"(v)*v"

Le të kuptojmë se si të gjejmë derivatin e një funksioni të tillë. Le të jetë y= u(v(x)) një funksion kompleks. Le ta quajmë funksionin u të jashtëm, dhe v - të brendshëm.

Për shembull:

y=sin (x 3) është një funksion kompleks.

Atëherë y=sin(t) është një funksion i jashtëm

t=x 3 - e brendshme.

Le të përpiqemi të llogarisim derivatin e këtij funksioni. Sipas formulës, ju duhet të shumëzoni derivatet e funksioneve të brendshme dhe të jashtme.

(sin t)"=cos (t) - derivat i funksionit të jashtëm (ku t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivat i funksionit të brendshëm

Atëherë (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 është derivat i një funksioni kompleks.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve