Numrat e thjeshtë: historia dhe faktet. Numrat e thjeshtë

Përkthimi

Vetitë e numrave të thjeshtë u studiuan fillimisht nga matematikanët e Greqisë antike. Matematikanët e shkollës së Pitagorës (500 - 300 pes) ishin të interesuar kryesisht për vetitë mistike dhe numerologjike të numrave të thjeshtë. Ata ishin të parët që dolën me ide për numra të përsosur dhe miqësorë.

Një numër i përsosur ka një shumë të pjesëtuesve të tij të barabartë me vetveten. Për shembull, pjesëtuesit e duhur të numrit 6 janë 1, 2 dhe 3. 1 + 2 + 3 = 6. Pjesëtuesit e numrit 28 janë 1, 2, 4, 7 dhe 14. Për më tepër, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Numrat quhen miqësorë nëse shuma e pjesëtuesve të duhur të një numri është e barabartë me një tjetër, dhe anasjelltas - për shembull, 220 dhe 284. Mund të themi se një numër i përsosur është miqësor me vetveten.

Në kohën e Elementeve të Euklidit në vitin 300 p.e.s. Tashmë janë vërtetuar disa fakte të rëndësishme për numrat e thjeshtë. Në Librin IX të Elementeve, Euklidi vërtetoi se ka një numër të pafund të numrave të thjeshtë. Ky, meqë ra fjala, është një nga shembujt e parë të përdorimit të provës me kontradiktë. Ai vërteton gjithashtu Teoremën Themelore të Aritmetikës - çdo numër i plotë mund të përfaqësohet në mënyrë unike si produkt i numrave të thjeshtë.

Ai gjithashtu tregoi se nëse numri 2n-1 është i thjeshtë, atëherë numri 2n-1 * (2n-1) do të jetë i përsosur. Një tjetër matematikan, Euler, ishte në gjendje të tregonte në 1747 se të gjithë numrat madje të përsosur mund të shkruhen në këtë formë. Deri më sot nuk dihet nëse ekzistojnë numra të përsosur tek.

Në vitin 200 p.e.s. Eratosthenes grek doli me një algoritëm për gjetjen e numrave të thjeshtë të quajtur Sita e Eratosthenes.

Dhe pastaj pati një ndërprerje të madhe në historinë e studimit të numrave të thjeshtë, të lidhur me Mesjetën.

Zbulimet e mëposhtme u bënë tashmë në fillim të shekullit të 17-të nga matematikani Fermat. Ai vërtetoi hamendjen e Albert Girard se çdo numër i thjeshtë i formës 4n+1 mund të shkruhet në mënyrë unike si shuma e dy katrorëve, dhe gjithashtu formuloi teoremën se çdo numër mund të shkruhet si shuma e katër katrorëve.

Ai zhvilloi një metodë të re për faktorizimin e numrave të mëdhenj dhe e demonstroi atë në numrin 2027651281 = 44021 × 46061. Ai gjithashtu vërtetoi Teoremën e vogël të Fermatit: nëse p është një numër i thjeshtë, atëherë për çdo numër të plotë a do të jetë e vërtetë se a p = një modul fq.

Ky pohim vërteton gjysmën e asaj që njihej si "hamendja kineze" dhe daton 2000 vjet më parë: një numër i plotë n është i thjeshtë nëse dhe vetëm nëse 2 n -2 pjesëtohet me n. Pjesa e dytë e hipotezës doli të jetë e rreme - për shembull, 2,341 - 2 është i ndashëm me 341, megjithëse numri 341 është i përbërë: 341 = 31 × 11.

Teorema e vogël e Fermatit shërbeu si bazë për shumë rezultate të tjera në teorinë e numrave dhe metodat për të testuar nëse numrat janë të thjeshtë - shumë prej të cilave përdoren ende sot.

Fermat korrespondonte shumë me bashkëkohësit e tij, veçanërisht me një murg të quajtur Maren Mersenne. Në një nga letrat e tij, ai hipotezoi se numrat e formës 2 n +1 do të jenë gjithmonë të thjeshtë nëse n është një fuqi e dy. Ai e testoi këtë për n = 1, 2, 4, 8 dhe 16 dhe ishte i bindur se në rastin kur n nuk ishte një fuqi e dy, numri nuk ishte domosdoshmërisht i thjeshtë. Këta numra quhen numrat e Fermatit, dhe vetëm 100 vjet më vonë Euler tregoi se numri tjetër, 2 32 + 1 = 4294967297, është i pjesëtueshëm me 641, dhe për këtë arsye nuk është i thjeshtë.

Numrat e formës 2 n - 1 kanë qenë gjithashtu objekt studimi, pasi është e lehtë të tregohet se nëse n është i përbërë, atëherë edhe vetë numri është i përbërë. Këta numra quhen numra Mersenne sepse ai i studioi ato gjerësisht.

Por jo të gjithë numrat e formës 2 n - 1, ku n është i thjeshtë, janë të thjeshtë. Për shembull, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Kjo u zbulua për herë të parë në 1536.

Për shumë vite, numrat e këtij lloji u dhanë matematikanëve numrat kryesorë më të mëdhenj të njohur. Se M 19 u vërtetua nga Cataldi në 1588, dhe për 200 vjet ishte numri më i madh i njohur, derisa Euler vërtetoi se M 31 ishte gjithashtu i thjeshtë. Ky rekord qëndroi për njëqind vjet të tjera, dhe më pas Lucas tregoi se M 127 është kryeministër (dhe ky është tashmë një numër prej 39 shifrash), dhe pas kësaj kërkimi vazhdoi me ardhjen e kompjuterëve.

Në vitin 1952, u vërtetua parësia e numrave M 521, M 607, M 1279, M 2203 dhe M 2281.

Deri në vitin 2005, ishin gjetur 42 primare Mersenne. Më i madhi prej tyre, M 25964951, përbëhet nga 7816230 shifra.

Puna e Euler pati një ndikim të madh në teorinë e numrave, duke përfshirë numrat e thjeshtë. Ai zgjeroi Teoremën e Vogël të Fermatit dhe prezantoi funksionin φ. Faktorizoi numrin e 5-të të Fermatit 2 32 +1, gjeti 60 çifte numrash miqësorë dhe formuloi (por nuk mundi të provonte) ligjin e reciprocitetit kuadratik.

Ai ishte i pari që prezantoi metodat e analizës matematikore dhe zhvilloi teorinë analitike të numrave. Ai vërtetoi se jo vetëm seria harmonike ∑ (1/n), por edhe një seri e formës

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

Rezultati i përftuar nga shuma e reciprocaleve të numrave të thjeshtë gjithashtu ndryshon. Shuma e n termave të serisë harmonike rritet përafërsisht si log(n), dhe seria e dytë divergon më ngadalë si log[ log(n) ]. Kjo do të thotë që, për shembull, shuma e reciprokeve të të gjithë numrave të thjeshtë të gjetur deri më sot do të japë vetëm 4, megjithëse seria ende ndryshon.

Në pamje të parë, duket se numrat e thjeshtë shpërndahen në mënyrë krejt rastësore midis numrave të plotë. Për shembull, në mesin e 100 numrave menjëherë para 10000000 ka 9 numra të thjeshtë, dhe midis 100 numrave menjëherë pas kësaj vlere ka vetëm 2. Por në segmente të mëdha numrat e thjeshtë shpërndahen mjaft të barabartë. Lezhandri dhe Gausi u morën me çështjet e shpërndarjes së tyre. Gauss i tha një herë një shoku se në çdo 15 minuta të lirë ai numëron gjithmonë numrin e numrave të thjeshtë në 1000 numrat e ardhshëm. Deri në fund të jetës së tij, ai kishte numëruar të gjithë numrat e thjeshtë deri në 3 milionë. Lezhandri dhe Gauss llogaritën në mënyrë të barabartë se për n të mëdha densiteti kryesor është 1/log(n). Lezhandri vlerësoi numrin e numrave të thjeshtë në rangun nga 1 në n si

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dhe Gausi është si një integral logaritmik

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Me një interval integrimi nga 2 në n.

Deklarata për densitetin e thjeshtë 1/log(n) njihet si Teorema e Shpërndarjes së Parë. Ata u përpoqën ta vërtetonin atë gjatë shekullit të 19-të dhe përparimi u arrit nga Chebyshev dhe Riemann. Ata e lidhën atë me hipotezën e Riemann-it, një hipotezë ende e paprovuar rreth shpërndarjes së zerave të funksionit zeta të Riemann-it. Dendësia e numrave të thjeshtë u vërtetua njëkohësisht nga Hadamard dhe Vallée-Poussin në 1896.

Ka ende shumë pyetje të pazgjidhura në teorinë e numrave të thjeshtë, disa prej të cilave janë qindra vjet të vjetra:

Hipoteza e thjeshtë binjake ka të bëjë me një numër të pafund të çifteve të numrave të thjeshtë që ndryshojnë nga njëri-tjetri me 2
Hamendja e Goldbach: çdo numër çift, duke filluar me 4, mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n 2 + 1?
A është gjithmonë e mundur të gjesh një numër të thjeshtë midis n 2 dhe (n + 1) 2? (fakti që ka gjithmonë një numër të thjeshtë midis n dhe 2n u vërtetua nga Chebyshev)
A është i pafund numri i numrave të thjeshtë të Fermatit? A ka numra të thjeshtë të Fermat pas 4?
a ka një progresion aritmetik të numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm për çdo gjatësi të caktuar? për shembull, për gjatësinë 4: 251, 257, 263, 269. Gjatësia maksimale e gjetur është 26.
A ka një numër të pafund grupesh me tre numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm në një progresion aritmetik?
n 2 - n + 41 është një numër i thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 40. A ka një numër të pafund të numrave të tillë të thjeshtë? E njëjta pyetje për formulën n 2 - 79 n + 1601. Këta numra janë të thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 79.
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# + 1? (n# është rezultat i shumëzimit të të gjithë numrave të thjeshtë më të vegjël se n)
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# -1?
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? + 1?
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? – 1?
nëse p është i thjeshtë, a nuk përmban gjithmonë 2 p -1 katrorë të thjeshtë midis faktorëve të tij?
a përmban sekuenca Fibonacci një numër të pafund numrash të thjeshtë?

Numrat kryesorë binjakë më të mëdhenj janë 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ata përbëhen nga 58711 shifra dhe u zbuluan në vitin 2007.

Numri më i madh faktorial (i tipit n! ± 1) është 147855! - 1. Përbëhet nga 142891 shifra dhe është gjetur në vitin 2002.

Numri më i madh primorial (një numër i formës n# ± 1) është 1098133# + 1.

Numrat e thjeshtë janë një nga fenomenet matematikore më interesante, që kanë tërhequr vëmendjen e shkencëtarëve dhe qytetarëve të thjeshtë për më shumë se dy mijëvjeçarë. Përkundër faktit se tani jetojmë në epokën e kompjuterëve dhe programeve më moderne të informacionit, shumë gjëegjëza të numrave të thjeshtë nuk janë zgjidhur ende.

Numrat e thjeshtë janë, siç dihet nga kursi i aritmetikës elementare, ata që janë të pjesëtueshëm pa mbetje vetëm me një dhe me vetveten. Nga rruga, nëse një numër natyror është i pjesëtueshëm, përveç atyre të listuara më sipër, me ndonjë numër tjetër, atëherë ai quhet i përbërë. Një nga teoremat më të famshme thotë se çdo numër i përbërë mund të përfaqësohet si një produkt unik i mundshëm i numrave të thjeshtë.

Disa fakte interesante. Së pari, njësia është unike në kuptimin që, në fakt, nuk i përket as numrave të thjeshtë dhe as të përbërë. Në të njëjtën kohë, në komunitetin shkencor është ende zakon ta klasifikojmë atë në mënyrë specifike si pjesë e grupit të parë, pasi zyrtarisht plotëson plotësisht kërkesat e tij.

Së dyti, i vetmi numër çift i shtrydhur në grupin "numrat kryesorë" është, natyrisht, dy. Çdo numër tjetër çift thjesht nuk mund të arrijë këtu, pasi sipas përkufizimit, përveç vetes dhe një, ai është gjithashtu i pjesëtueshëm me dy.

Numrat e thjeshtë, lista e të cilëve, siç u tha më sipër, mund të fillojë me një, përfaqësojnë një seri të pafundme, aq të pafundme sa edhe seria e numrave natyrorë. Bazuar në teoremën themelore të aritmetikës, mund të arrijmë në përfundimin se numrat e thjeshtë nuk ndërpriten asnjëherë dhe nuk mbarojnë, pasi përndryshe seria e numrave natyrorë do të ndërpritet në mënyrë të pashmangshme.

Numrat kryesorë nuk shfaqen rastësisht në seritë natyrore, siç mund të duken në shikim të parë. Pasi i keni analizuar me kujdes, mund të vini re menjëherë disa veçori, më interesantet prej të cilave lidhen me të ashtuquajturit numra "binjakë". Ata quhen kështu sepse në një mënyrë të pakuptueshme përfunduan pranë njëri-tjetrit, të ndara vetëm nga një kufizues çift (pesë dhe shtatë, shtatëmbëdhjetë dhe nëntëmbëdhjetë).

Nëse i shikoni me vëmendje, do të vini re se shuma e këtyre numrave është gjithmonë shumëfish i treshit. Për më tepër, kur ndahet e majta një me tre, mbetja mbetet gjithmonë dy, dhe e djathta mbetet gjithmonë një. Për më tepër, vetë shpërndarja e këtyre numrave mbi serinë natyrore mund të parashikohet nëse e imagjinojmë të gjithë këtë seri në formën e sinusoideve oshiluese, pikat kryesore të të cilave formohen kur numrat ndahen me tre dhe dy.

Numrat e thjeshtë nuk janë vetëm objekt i shqyrtimit të ngushtë nga matematikanët në të gjithë botën, por prej kohësh janë përdorur me sukses në përpilimin e serive të ndryshme të numrave, që është baza, ndër të tjera, për kriptografinë. Duhet pranuar se një numër i madh misteresh që lidhen me këto elemente të mrekullueshme janë ende në pritje për t'u zgjidhur, shumë pyetje nuk kanë vetëm rëndësi filozofike, por edhe praktike.

Përkthimi

Dhe pastaj pati një ndërprerje të madhe në historinë e studimit të numrave të thjeshtë, të lidhur me Mesjetën.

Por jo të gjithë numrat e formës 2 n - 1, ku n është i thjeshtë, janë të thjeshtë. Për shembull, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Kjo u zbulua për herë të parë në 1536.

Në vitin 1952, u vërtetua parësia e numrave M 521, M 607, M 1279, M 2203 dhe M 2281.

Deri në vitin 2005, ishin gjetur 42 primare Mersenne. Më i madhi prej tyre, M 25964951, përbëhet nga 7816230 shifra.

Ai ishte i pari që prezantoi metodat e analizës matematikore dhe zhvilloi teorinë analitike të numrave. Ai vërtetoi se jo vetëm seria harmonike ∑ (1/n), por edhe një seri e formës

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

π(n) = n/(log(n) - 1,08366)

Dhe Gausi është si një integral logaritmik

π(n) = ∫ 1/log(t) dt

Me një interval integrimi nga 2 në n.

Ka ende shumë pyetje të pazgjidhura në teorinë e numrave të thjeshtë, disa prej të cilave janë qindra vjet të vjetra:

Hipoteza e thjeshtë binjake ka të bëjë me një numër të pafund të çifteve të numrave të thjeshtë që ndryshojnë nga njëri-tjetri me 2
Hamendja e Goldbach: çdo numër çift, duke filluar me 4, mund të përfaqësohet si shuma e dy numrave të thjeshtë
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n 2 + 1?
A është gjithmonë e mundur të gjesh një numër të thjeshtë midis n 2 dhe (n + 1) 2? (fakti që ka gjithmonë një numër të thjeshtë midis n dhe 2n u vërtetua nga Chebyshev)
A është i pafund numri i numrave të thjeshtë të Fermatit? A ka numra të thjeshtë të Fermat pas 4?
a ka një progresion aritmetik të numrave të thjeshtë të njëpasnjëshëm për çdo gjatësi të caktuar? për shembull, për gjatësinë 4: 251, 257, 263, 269. Gjatësia maksimale e gjetur është 26.
A ka një numër të pafund grupesh me tre numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm në një progresion aritmetik?
n 2 - n + 41 është një numër i thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 40. A ka një numër të pafund të numrave të tillë të thjeshtë? E njëjta pyetje për formulën n 2 - 79 n + 1601. Këta numra janë të thjeshtë për 0 ≤ n ≤ 79.
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# + 1? (n# është rezultat i shumëzimit të të gjithë numrave të thjeshtë më të vegjël se n)
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n# -1?
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? + 1?
A ka një numër të pafund numrash të thjeshtë të formës n? – 1?
nëse p është i thjeshtë, a nuk përmban gjithmonë 2 p -1 katrorë të thjeshtë midis faktorëve të tij?
a përmban sekuenca Fibonacci një numër të pafund numrash të thjeshtë?

Numrat kryesorë binjakë më të mëdhenj janë 2003663613 × 2 195000 ± 1. Ata përbëhen nga 58711 shifra dhe u zbuluan në vitin 2007.

Numri më i madh faktorial (i tipit n! ± 1) është 147855! - 1. Përbëhet nga 142891 shifra dhe është gjetur në vitin 2002.

Numri më i madh primorial (një numër i formës n# ± 1) është 1098133# + 1.

Etiketa: Shtoni etiketa

Mënyra se si u bë ky vëzhgim është përshkruar me ngjyra nga M. Gardner në "Mathematical Leisure" (M., "Mir", 1972). Këtu është kjo pjesë (f. 413417):

Në varësi të renditjes së numrave të plotë, numrat e thjeshtë mund të formojnë një model ose një tjetër. Njëherë e një kohë, matematikani Stanislaw M. Ulam duhej të merrte pjesë në një raport shumë të gjatë dhe, sipas fjalëve të tij, shumë të mërzitshëm. Për t'u argëtuar pak, ai vizatoi vija vertikale dhe horizontale në një copë letër dhe ishte gati të fillonte të bënte studime shahu, por më pas ndryshoi mendje dhe filloi të numëronte kryqëzimet, duke vendosur 1 në qendër dhe duke lëvizur në një spirale në drejtim të kundërt të akrepave të orës. Pa asnjë mendim të dytë, ai rrethoi të gjithë numrat e thjeshtë. Së shpejti, për habinë e tij, rrathët filluan të rreshtohen përgjatë vijave të drejta me këmbëngulje të mahnitshme. Në Fig. 203 tregon se si dukej një spirale me njëqind numrat e parë (nga 1 në 100). [ Ky është një version me dy kthesa i Figurës 1 më sipër, kështu që nuk po e përfshij këtu. ? E.G.A.] Për lehtësi, numrat janë të gdhendur në qeliza dhe nuk qëndrojnë në kryqëzimin e rreshtave.

Pranë qendrës, mund të pritet ende rreshtimi i numrave të thjeshtë përgjatë vijave të drejta, pasi dendësia e numrave të thjeshtë fillimisht është e madhe dhe të gjithë, përveç numrit 2, janë tek. Nëse katrorët e një dërrase shahu numërohen në një spirale, atëherë të gjithë numrat tek do të përfundojnë në katrorë me të njëjtën ngjyrë. Duke marrë 17 pione (që korrespondojnë me 17 numra të thjeshtë që nuk e kalojnë numrin 64) dhe duke i vendosur ato në mënyrë të rastësishme në katrorë me të njëjtën ngjyrë, do të zbuloni se piunët janë rreshtuar përgjatë vijave diagonale. Megjithatë, nuk kishte arsye për të pritur që në rajonin e numrave të mëdhenj, ku dendësia e numrave të thjeshtë është shumë më e vogël, ata gjithashtu do të rreshtoheshin përgjatë vijave të drejta. Ulam u interesua se si do të dukej spiralja e tij nëse do të shtrihej në disa mijëra numra të thjeshtë.

Në departamentin e informatikës së Laboratorit të Los Alamos, ku punonte Ulam, kishte një shirit magnetik në të cilin u regjistruan 90 milionë numra të thjeshtë. Ulam, së bashku me Myron L. Stein dhe Mark B. Wells, përpiluan një program për kompjuterin MANIAC që bëri të mundur vizatimin e numrave të plotë nga 1 në 65,000 në një spirale në Fig. 204. [ Dhe ky është një version i zgjeruar i figurës 2 të mësipërm, kështu që unë e paraqes atë. ? E.G.A.] Ju lutemi vini re se edhe në skajin e figurës, numrat e thjeshtë vazhdojnë të përshtaten me bindje në vijat e drejta.

Gjëja e parë që ju bie në sy janë grupet e numrave të thjeshtë në diagonale, por një tendencë tjetër që numrat e thjeshtë të rreshtohen përgjatë vijave vertikale dhe horizontale, në të cilat të gjitha qelizat pa numra të thjeshtë janë të zëna nga numra tek, është gjithashtu mjaft. e dukshme. Numrat kryesorë që bien në vija të drejta të shtrira përtej një segmenti që përmban numra të njëpasnjëshëm që shtrihen në një kthesë të spirales mund të konsiderohen si vlerat e disa shprehjeve kuadratike duke filluar me termin 4. x². Për shembull, sekuenca e numrave të thjeshtë 5, 19, 41, 71, të vendosura në një nga diagonalet në Fig. 204, këto janë vlerat e marra nga trinomi kuadratik 4 x² + 10 x+ 5 në x, e barabartë me 0, 1, 2 dhe 3. Nga Fig. 204 është e qartë se shprehjet kuadratike që marrin vlera të thjeshta mund të jenë "të varfra" (duke dhënë pak numra të thjeshtë) dhe "të pasur" dhe se në linjat "e pasur" ka "shpërndarje" të tëra numrash të thjeshtë.

Duke e nisur spiralen jo nga 1, por nga një numër tjetër, marrim shprehje të tjera kuadratike për numrat e thjeshtë të rreshtuar përgjatë vijave të drejta. Konsideroni një spirale që fillon me numrin 17 (Fig. 205, majtas). Numrat përgjatë diagonales kryesore që shkon nga "verilindja" në "jugperëndim" gjenerohen nga trinomi kuadratik 4 x² + 2 x+ 17. Zëvendësimi i vlerave pozitive x, marrim gjysmën e poshtme të diagonales duke zëvendësuar vlerat negative për gjysmën e sipërme. Nëse marrim parasysh të gjithë diagonalen dhe riorganizojmë numrat e thjeshtë në rend rritës, rezulton (dhe kjo është një surprizë e këndshme) që të gjithë numrat përshkruhen me një formulë më të thjeshtë x² + x+ 17. Kjo është një nga shumë formula "gjeneruese" për numrat e thjeshtë të zbuluara në shekullin e 18-të nga matematikani i madh Leonhard Euler. Në x, duke marrë vlera nga 0 në 15, jep vetëm numra të thjeshtë. Prandaj, nëse vazhdojmë diagonalen derisa të mbushë një katror 16 x 1 6, shohim se e gjithë diagonalja është e mbushur me numra të thjeshtë.

Trinomi kuadratik më i famshëm i Euler-it, që prodhon numra të thjeshtë, x² + x+ 41, rezulton nëse e filloni spiralen me numrin 41 (Fig. 205, djathtas). Ky trinom ju lejon të merrni 40 numra të thjeshtë të njëpasnjëshëm që mbushin të gjithë diagonalen e një katrori 40x4 0! Prej kohësh dihet se nga 2398 vlerat e para të marra nga ky trinom, saktësisht gjysma janë të thjeshta. Pasi kaluan të gjitha vlerat e trinomit të famshëm që nuk e kalonin 10,000,000, Ulam, Stein dhe Wells zbuluan se proporcioni i numrave të thjeshtë midis tyre ishte 0,475... . Matematikanët do të donin shumë të zbulonin një formulë që u lejon atyre të marrin të gjithë në përgjithësi x numra të thjeshtë të ndryshëm, por deri më tani nuk është gjetur një formulë e tillë. Ndoshta nuk ekziston.

33	32	31	30	29
34	21	20	19	28
35	22	17	18	27
36	23	24	25	26
37	38	39	40	41

57	56	55	54	53
58	45	44	43	52
59	46	41	42	51
60	47	48	49	50
61	62	63	64	65

Oriz. 205. Diagonalet e mbushura me numra të thjeshtë të krijuar nga trinomet kuadratike x² + x+ 17 (majtas) dhe x² + x+ 41 (djathtas).

Spiralja Ulam ngriti shumë pyetje të reja në lidhje me modelet dhe rastësinë në shpërndarjen e numrave të thjeshtë. A ka drejtëza që përmbajnë pafundësisht shumë numra të thjeshtë? Sa është dendësia maksimale e shpërndarjes së numrave të thjeshtë përgjatë drejtëzave? A ndryshojnë ndjeshëm shpërndarjet e dendësisë së numrave të thjeshtë në kuadrantet e mbulesës së tavolinës së Ulamit, nëse supozojmë se ajo vazhdon pafundësisht? Spiralja Ulam është argëtuese, por duhet marrë seriozisht.

Në këtë artikull ne do të shqyrtojmë numrat e thjeshtë dhe të përbërë. Së pari, ne do të japim përkufizime të numrave të thjeshtë dhe të përbërë, dhe gjithashtu do të japim shembuj. Pas kësaj do të vërtetojmë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Më pas, do të shkruajmë një tabelë të numrave të thjeshtë dhe do të shqyrtojmë metodat për përpilimin e një tabele të numrave të thjeshtë, duke i kushtuar vëmendje të veçantë metodës së quajtur sita e Eratosthenes. Si përfundim, ne do të theksojmë pikat kryesore që duhet të merren parasysh kur vërtetohet se një numër i caktuar është i thjeshtë ose i përbërë.

Navigimi i faqes.

Numrat e thjeshtë dhe të përbërë - Përkufizime dhe shembuj

Konceptet e numrave të thjeshtë dhe numrave të përbërë i referohen numrave që janë më të mëdhenj se një. Numra të tillë të plotë, në varësi të numrit të pjesëtuesve të tyre pozitivë, ndahen në numra të thjeshtë dhe të përbërë. Pra për të kuptuar përkufizimet e numrave të thjeshtë dhe të përbërë, ju duhet të kuptoni mirë se çfarë janë pjesëtuesit dhe shumëfishat.

Përkufizimi.

Numrat e thjeshtë janë numra të plotë, njësi të mëdha, që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë, përkatësisht veten dhe 1.

Përkufizimi.

Numrat e përbërë janë numra të plotë, të mëdhenj, që kanë të paktën tre pjesëtues pozitivë.

Më vete, vërejmë se numri 1 nuk zbatohet as për numrat e thjeshtë dhe as për numrat e përbërë. Njësia ka vetëm një pjesëtues pozitiv, që është vetë numri 1. Kjo e dallon numrin 1 nga të gjithë numrat e tjerë të plotë pozitivë që kanë të paktën dy pjesëtues pozitivë.

Duke marrë parasysh se numrat e plotë pozitivë janë , dhe se njëri ka vetëm një pjesëtues pozitiv, mund të japim formulime të tjera të përkufizimeve të deklaruara të numrave të thjeshtë dhe të përbërë.

Përkufizimi.

Numrat e thjeshtë janë numra natyrorë që kanë vetëm dy pjesëtues pozitivë.

Përkufizimi.

Numrat e përbërë janë numra natyrorë që kanë më shumë se dy pjesëtues pozitivë.

Vini re se çdo numër i plotë pozitiv më i madh se një është ose një numër i thjeshtë ose një numër i përbërë. Me fjalë të tjera, nuk ka asnjë numër të vetëm që nuk është as i thjeshtë as i përbërë. Kjo rrjedh nga vetia e pjesëtueshmërisë, e cila thotë se numrat 1 dhe a janë gjithmonë pjesëtues të çdo numri të plotë a.

Bazuar në informacionin në paragrafin e mëparshëm, mund të japim përkufizimin e mëposhtëm të numrave të përbërë.

Përkufizimi.

Numrat natyrorë që nuk janë të thjeshtë quhen të përbëra.

Le të japim shembuj të numrave të thjeshtë dhe të përbërë.

Shembuj të numrave të përbërë përfshijnë 6, 63, 121 dhe 6,697. Edhe kjo deklaratë ka nevojë për sqarim. Numri 6, përveç pjesëtuesve pozitivë 1 dhe 6, ka edhe pjesëtues 2 dhe 3, pasi 6 = 2 3, prandaj 6 është me të vërtetë një numër i përbërë. Faktorët pozitivë të 63 janë numrat 1, 3, 7, 9, 21 dhe 63. Numri 121 është i barabartë me prodhimin 11·11, kështu që pjesëtuesit pozitivë të tij janë 1, 11 dhe 121. Dhe numri 6,697 është i përbërë, pasi pjesëtuesit pozitivë të tij, përveç 1 dhe 6,697, janë edhe numrat 37 dhe 181.

Në përfundim të kësaj pike, do të doja gjithashtu të tërhiqja vëmendjen për faktin se numrat e thjeshtë dhe numrat e dyfishtë janë larg nga e njëjta gjë.

Tabela e numrave të thjeshtë

Numrat e thjeshtë, për lehtësinë e përdorimit të tyre të mëtejshëm, regjistrohen në një tabelë të quajtur tabelë e numrave të thjeshtë. Më poshtë është tabela e numrave të thjeshtë deri në 1000.

Lind një pyetje logjike: "Pse e plotësuam tabelën e numrave të thjeshtë vetëm deri në 1000, a nuk është e mundur të krijohet një tabelë e të gjithë numrave të thjeshtë ekzistues"?

Le t'i përgjigjemi së pari pjesës së parë të kësaj pyetjeje. Për shumicën e problemeve që kërkojnë përdorimin e numrave të thjeshtë, numrat e thjeshtë brenda një mijë do të jenë të mjaftueshëm. Në raste të tjera, ka shumë të ngjarë, do t'ju duhet të drejtoheni në disa zgjidhje të veçanta. Megjithëse sigurisht që mund të krijojmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në një numër të plotë pozitiv të fundëm arbitrarisht të madh, qoftë 10,000 ose 1,000,000,000, në paragrafin tjetër do të flasim për metodat për krijimin e tabelave të numrave të thjeshtë, në veçanti, do të shikojmë një metodë thirrur.

Tani le të shohim mundësinë (ose më mirë, pamundësinë) e përpilimit të një tabele të të gjithë numrave të thjeshtë ekzistues. Ne nuk mund të bëjmë një tabelë me të gjithë numrat e thjeshtë, sepse ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë. Pohimi i fundit është një teoremë që do ta vërtetojmë pas teoremës ndihmëse vijuese.

Teorema.

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv përveç 1 i një numri natyror më të madh se një është një numër i thjeshtë.

Dëshmi.

Le a është një numër natyror më i madh se një, dhe b është pjesëtuesi më i vogël pozitiv i një numri tjetër nga një. Le të vërtetojmë se b është një numër i thjeshtë me anë të kundërthënies.

Le të supozojmë se b është një numër i përbërë. Pastaj ka një pjesëtues të numrit b (le ta shënojmë b 1), i cili është i ndryshëm nga 1 dhe b. Nëse marrim parasysh gjithashtu se vlera absolute e pjesëtuesit nuk e kalon vlerën absolute të dividentit (këtë e dimë nga vetitë e pjesëtueshmërisë), atëherë kushti 1 duhet të plotësohet.

Meqenëse numri a është i pjesëtueshëm me b sipas kushtit, dhe ne thamë se b është i pjesëtueshëm me b 1, koncepti i pjesëtueshmërisë na lejon të flasim për ekzistencën e numrave të plotë q dhe q 1 të tillë që a=b q dhe b=b 1 q 1 , nga ku a= b 1 ·(q 1 ·q) . Nga kjo rrjedh se prodhimi i dy numrave të plotë është një numër i plotë, atëherë barazia a=b 1 ·(q 1 ·q) tregon se b 1 është pjesëtues i numrit a. Duke marrë parasysh pabarazitë e mësipërme 1

Tani mund të vërtetojmë se ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Teorema.

Ka një numër të pafund numrash të thjeshtë.

Dëshmi.

Le të supozojmë se nuk është kështu. Kjo do të thotë, supozojmë se ka vetëm n numra të thjeshtë, dhe këta numra të thjeshtë janë p 1, p 2, ..., p n. Le të tregojmë se gjithmonë mund të gjejmë një numër të thjeshtë të ndryshëm nga ata të treguar.

Konsideroni numrin p të barabartë me p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Është e qartë se ky numër është i ndryshëm nga secili prej numrave të thjeshtë p 1, p 2, ..., p n. Nëse numri p është i thjeshtë, atëherë teorema vërtetohet. Nëse ky numër është i përbërë, atëherë në bazë të teoremës së mëparshme ekziston një pjesëtues kryesor i këtij numri (e shënojmë p n+1). Le të tregojmë se ky pjesëtues nuk përkon me asnjë nga numrat p 1, p 2, ..., p n.

Nëse nuk do të ishte kështu, atëherë, sipas vetive të pjesëtueshmërisë, prodhimi p 1 ·p 2 ·…·p n do të pjesëtohet me p n+1. Por numri p është gjithashtu i pjesëtueshëm me p n+1, i barabartë me shumën p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Nga kjo rrjedh se p n+1 duhet të ndajë termin e dytë të kësaj shume, e cila është e barabartë me një, por kjo është e pamundur.

Kështu, është vërtetuar se gjithmonë mund të gjendet një numër i ri i thjeshtë që nuk përfshihet në asnjë numër numrash të thjeshtë të paracaktuar. Prandaj, ka pafundësisht shumë numra të thjeshtë.

Pra, për faktin se ka një numër të pafund numrash të thjeshtë, kur përpiloni tabela të numrave të thjeshtë, gjithmonë kufizoheni nga lart në një numër, zakonisht 100, 1.000, 10.000, etj.

Sita e Eratosthenes

Tani do të diskutojmë mënyrat për të krijuar tabela të numrave të thjeshtë. Supozoni se duhet të bëjmë një tabelë me numra të thjeshtë deri në 100.

Metoda më e dukshme për zgjidhjen e këtij problemi është të kontrolloni në mënyrë sekuenciale numrat e plotë pozitivë, duke filluar nga 2 dhe duke përfunduar me 100, për praninë e një pjesëtuesi pozitiv që është më i madh se 1 dhe më i vogël se numri që testohet (nga vetitë e pjesëtueshmërisë që dimë se vlera absolute e pjesëtuesit nuk e kalon vlerën absolute të dividentit, jo zero). Nëse një pjesëtues i tillë nuk gjendet, atëherë numri që testohet është i thjeshtë dhe ai futet në tabelën e numrave të thjeshtë. Nëse gjendet një pjesëtues i tillë, atëherë numri që testohet është i përbërë, ai NUK futet në tabelën e numrave të thjeshtë. Pas kësaj, kalimi ndodh në numrin tjetër, i cili kontrollohet në mënyrë të ngjashme për praninë e një pjesëtuesi.

Le të përshkruajmë hapat e parë.

Fillojmë me numrin 2. Numri 2 nuk ka pjesëtues pozitivë përveç 1 dhe 2. Prandaj, është e thjeshtë, prandaj e fusim në tabelën e numrave të thjeshtë. Këtu duhet thënë se 2 është numri më i vogël i thjeshtë. Le të kalojmë në numrin 3. Pjesëtuesi i tij pozitiv i mundshëm përveç 1 dhe 3 është numri 2. Por 3 nuk është i pjesëtueshëm me 2, prandaj, 3 është një numër i thjeshtë, dhe gjithashtu duhet të përfshihet në tabelën e numrave të thjeshtë. Le të kalojmë në numrin 4. Pjesëtuesit e tij pozitivë përveç 1 dhe 4 mund të jenë numrat 2 dhe 3, le t'i kontrollojmë ato. Numri 4 është i pjesëtueshëm me 2, prandaj, 4 është një numër i përbërë dhe nuk ka nevojë të përfshihet në tabelën e numrave të thjeshtë. Ju lutemi vini re se 4 është numri më i vogël i përbërë. Le të kalojmë në numrin 5. Kontrollojmë nëse të paktën njëri nga numrat 2, 3, 4 është pjesëtuesi i tij. Meqenëse 5 nuk pjesëtohet me 2, 3 ose 4, atëherë ai është i thjeshtë dhe duhet të shkruhet në tabelën e numrave të thjeshtë. Pastaj ka një kalim në numrat 6, 7 dhe kështu me radhë deri në 100.

Kjo qasje për të përpiluar një tabelë të numrave të thjeshtë është larg nga idealja. Në një mënyrë apo tjetër, ai ka të drejtë të ekzistojë. Vini re se me këtë metodë të ndërtimit të një tabele me numra të plotë, mund të përdorni kriteret e pjesëtueshmërisë, të cilat do të shpejtojnë paksa procesin e gjetjes së pjesëtuesve.

Ekziston një mënyrë më e përshtatshme për të krijuar një tabelë me numra të thjeshtë, të quajtur. Fjala "sitë" e pranishme në emër nuk është e rastësishme, pasi veprimet e kësaj metode ndihmojnë, si të thuash, për të "shoshitur" numrat e plotë dhe njësitë e mëdha përmes sitës së Eratosthenes për të ndarë ato të thjeshta nga ato të përbëra.

Le të tregojmë sitën e Eratosthenes në veprim kur përpilojmë një tabelë me numrat e thjeshtë deri në 50.

Fillimisht, shkruani me radhë numrat 2, 3, 4, ..., 50.

Numri i parë i shkruar, 2, është i thjeshtë. Tani, nga numri 2, lëvizim në mënyrë sekuenciale në të djathtë me dy numra dhe i kalojmë këta numra derisa të arrijmë në fund të tabelës së numrave që përpilohet. Kjo do të kalojë të gjithë numrat që janë shumëfish të dy.

Numri i parë pas 2 që nuk është gërmuar është 3. Ky numër është i thjeshtë. Tani, nga numri 3, ne lëvizim vazhdimisht në të djathtë me tre numra (duke marrë parasysh numrat tashmë të kryqëzuar) dhe i kalojmë ato. Kjo do të kalojë të gjithë numrat që janë shumëfish të tre.

Numri i parë pas 3 që nuk është gërmuar është 5. Ky numër është i thjeshtë. Tani nga numri 5 ne lëvizim vazhdimisht në të djathtë me 5 numra (ne marrim parasysh edhe numrat e kryqëzuar më parë) dhe i kalojmë ato. Kjo do të kalojë të gjithë numrat që janë shumëfish të pesë.

Më pas, kryqëzojmë numrat që janë shumëfish të 7-ës, pastaj shumëfisha të 11-ës, e kështu me radhë. Procesi përfundon kur nuk ka më numra për të kryqëzuar. Më poshtë është tabela e plotësuar e numrave të thjeshtë deri në 50, e marrë duke përdorur sitën e Eratosthenes. Të gjithë numrat e pakryqëzuar janë të thjeshtë dhe të gjithë numrat e kryqëzuar janë të përbërë.

Le të formulojmë dhe vërtetojmë gjithashtu një teoremë që do të përshpejtojë procesin e përpilimit të një tabele me numra të thjeshtë duke përdorur sitën e Eratosthenes.

Teorema.

Pjesëtuesi më i vogël pozitiv i një numri të përbërë a që është i ndryshëm nga një nuk e kalon , ku është nga a .

Dëshmi.

Le të shënojmë me shkronjën b pjesëtuesin më të vogël të një numri të përbërë a që është i ndryshëm nga një (numri b është i thjeshtë, siç vijon nga teorema e provuar në fillim të paragrafit të mëparshëm). Pastaj ka një numër të plotë q i tillë që a=b·q (këtu q është një numër i plotë pozitiv, i cili rrjedh nga rregullat e shumëzimit të numrave të plotë), dhe (për b>q kushti që b është pjesëtuesi më i vogël i a është shkelur , meqë q është edhe pjesëtues i numrit a për shkak të barazisë a=q·b ). Duke shumëzuar të dyja anët e pabarazisë me një pozitiv dhe një numër të plotë më të madh se një (ne lejohet ta bëjmë këtë), marrim , Nga e cila dhe .

Çfarë na jep teorema e provuar në lidhje me sitën e Eratosthenes?

Së pari, kryqëzimi i numrave të përbërë që janë shumëfish të një numri të thjeshtë b duhet të fillojë me një numër të barabartë me (kjo rrjedh nga pabarazia). Për shembull, kryqëzimi i numrave që janë shumëfish të dy duhet të fillojë me numrin 4, shumëfishat e tre me numrin 9, shumëfishat e pesë me numrin 25, e kështu me radhë.

Së dyti, përpilimi i një tabele me numra të thjeshtë deri në numrin n duke përdorur sitën e Eratosthenes mund të konsiderohet i plotë kur të gjithë numrat e përbërë që janë shumëfisha të numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë . Në shembullin tonë, n=50 (pasi po bëjmë një tabelë me numrat e thjeshtë deri në 50) dhe, për rrjedhojë, sita e Eratosthenes duhet të eliminojë të gjithë numrat e përbërë që janë shumëfish të numrave të thjeshtë 2, 3, 5 dhe 7 që bëjnë të mos kalojë rrënjën katrore aritmetike prej 50. Kjo do të thotë, ne nuk kemi më nevojë të kërkojmë dhe të kryqëzojmë numra që janë shumëfish të numrave të thjeshtë 11, 13, 17, 19, 23 e kështu me radhë deri në 47, pasi ata tashmë do të kryqëzohen si shumëfisha të numrave të thjeshtë 2. , 3, 5 dhe 7.

A është ky numër i thjeshtë apo i përbërë?

Disa detyra kërkojnë të zbulohet nëse një numër i caktuar është i thjeshtë apo i përbërë. Në përgjithësi, kjo detyrë nuk është aspak e thjeshtë, veçanërisht për numrat, shkrimi i të cilëve përbëhet nga një numër i konsiderueshëm karakteresh. Në shumicën e rasteve, duhet të kërkoni një mënyrë specifike për ta zgjidhur atë. Megjithatë, ne do të përpiqemi t'i japim drejtim trenit të mendimit për raste të thjeshta.

Sigurisht, mund të provoni të përdorni teste pjesëtueshmërie për të vërtetuar se një numër i caktuar është i përbërë. Nëse, për shembull, një test i pjesëtueshmërisë tregon se një numër i caktuar është i pjesëtueshëm me një numër të plotë pozitiv më të madh se një, atëherë numri origjinal është i përbërë.

Shembull.

Vërtetoni se 898,989,898,989,898,989 është një numër i përbërë.

Zgjidhje.

Shuma e shifrave të këtij numri është 9·8+9·9=9·17. Meqenëse numri i barabartë me 9·17 është i pjesëtueshëm me 9, atëherë me kriterin e pjesëtueshmërisë me 9 mund të argumentohet se numri origjinal është gjithashtu i pjesëtueshëm me 9. Prandaj, është i përbërë.

Një pengesë e rëndësishme e kësaj qasjeje është se kriteret e pjesëtueshmërisë nuk lejojnë që dikush të vërtetojë parësinë e një numri. Prandaj, kur kontrolloni një numër për të parë nëse është i thjeshtë apo i përbërë, duhet të vazhdoni ndryshe.

Qasja më logjike është të provoni të gjithë pjesëtuesit e mundshëm të një numri të caktuar. Nëse asnjë nga pjesëtuesit e mundshëm nuk është pjesëtues i vërtetë i një numri të caktuar, atëherë ky numër do të jetë i thjeshtë, përndryshe do të jetë i përbërë. Nga teoremat e vërtetuara në paragrafin e mëparshëm, rezulton se pjesëtuesit e një numri të caktuar a duhet të kërkohen midis numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë . Kështu, një numër i dhënë a mund të ndahet në mënyrë sekuenciale me numrat e thjeshtë (të cilët merren me lehtësi nga tabela e numrave të thjeshtë), duke u përpjekur të gjejë pjesëtuesin e numrit a. Nëse gjendet një pjesëtues, atëherë numri a është i përbërë. Nëse midis numrave të thjeshtë që nuk e kalojnë , nuk ka pjesëtues të numrit a, atëherë numri a është i thjeshtë.

Shembull.

Numri 11 723 e thjeshtë apo e përbërë?

Zgjidhje.

Le të zbulojmë deri në cilin numër të thjeshtë mund të jenë pjesëtuesit e numrit 11723. Për ta bërë këtë, le të vlerësojmë.

Është mjaft e qartë se , që nga viti 200 2 =40,000, dhe 11,723<40 000 (при необходимости смотрите статью krahasimi i numrave). Kështu, faktorët kryesorë të mundshëm prej 11,723 janë më pak se 200. Kjo tashmë e bën detyrën tonë shumë më të lehtë. Nëse nuk do ta dinim këtë, atëherë do të duhej të kalonim nëpër të gjithë numrat e thjeshtë jo deri në 200, por deri në numrin 11,723.

Nëse dëshironi, mund të vlerësoni më saktë. Meqenëse 108 2 = 11,664, dhe 109 2 = 11,881, atëherë 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Kështu, çdo nga numrat e thjeshtë më pak se 109 është potencialisht një faktor kryesor i numrit të dhënë 11,723.

Tani do ta ndajmë në mënyrë sekuenciale numrin 11,723 në numrat e thjeshtë 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Nëse numri 11.723 pjesëtohet me një nga numrat e thjeshtë të shkruar, atëherë ai do të jetë i përbërë. Nëse nuk pjesëtohet me asnjë nga numrat e thjeshtë të shkruar, atëherë numri origjinal është i thjeshtë.

Ne nuk do ta përshkruajmë gjithë këtë proces monoton dhe monoton të ndarjes. Le të themi menjëherë se 11,723

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve