Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur projektin e grafikëve të funksionit. Metoda grafike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra
Zgjidhja e ekuacioneve, inekuacioneve, sistemeve duke përdorur grafikët e funksioneve. Udhëzues vizual (2019)
Shumë detyra që jemi mësuar t'i llogaritim thjesht në mënyrë algjebrike mund të zgjidhen shumë më lehtë dhe më shpejt duke përdorur grafikët e funksionit. Ju thoni "si kështu?" vizatoni diçka dhe çfarë të vizatoni? Më besoni, ndonjëherë është më e përshtatshme dhe më e lehtë. Të fillojmë? Le të fillojmë me ekuacionet!
Zgjidhja grafike e ekuacioneve
Zgjidhja grafike e ekuacioneve lineare
Siç e dini tashmë, grafiku i një ekuacioni linear është një vijë e drejtë, prandaj emri i këtij lloji. Ekuacionet lineare janë mjaft të lehta për t'u zgjidhur në mënyrë algjebrike - ne transferojmë të gjitha të panjohurat në njërën anë të ekuacionit, gjithçka që dimë në anën tjetër dhe voila! E gjetëm rrënjën. Tani do t'ju tregoj se si ta bëni atë grafikisht.
Pra, ju keni ekuacionin:
Si ta zgjidhim atë?
Opsioni 1, dhe më e zakonshmja është zhvendosja e të panjohurave në njërën anë dhe të njohurat në anën tjetër, marrim:
Tani le të ndërtojmë. Çfarë keni marrë?
Cila mendoni se është rrënja e ekuacionit tonë? Ashtu është, koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve është:
Përgjigja jonë është
Kjo është e gjithë mençuria e zgjidhjes grafike. Siç mund ta kontrolloni lehtësisht, rrënja e ekuacionit tonë është një numër!
Siç thashë më lart, ky është opsioni më i zakonshëm, afër zgjidhje algjebrike, por mund ta zgjidhni ndryshe. Për të shqyrtuar një zgjidhje alternative, le të kthehemi te ekuacioni ynë:
Këtë herë ne nuk do të lëvizim asgjë nga njëra anë në tjetrën, por do të ndërtojmë grafikët drejtpërdrejt, pasi ata tani ekzistojnë:
E ndërtuar? Le të shohim!
Cila është zgjidhja këtë herë? Kjo është e drejtë. E njëjta gjë - koordinata e pikës së kryqëzimit të grafikëve:
Dhe, përsëri, përgjigja jonë është.
Siç mund ta shihni, me ekuacionet lineare gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë. Është koha për të parë diçka më komplekse... Për shembull, zgjidhje grafike e ekuacioneve kuadratike.
Zgjidhja grafike e ekuacioneve kuadratike
Pra, tani le të fillojmë të zgjidhim ekuacionin kuadratik. Le të themi se ju duhet të gjeni rrënjët e këtij ekuacioni:
Sigurisht, tani mund të filloni të numëroni përmes diskriminuesit, ose sipas teoremës së Vietës, por shumë njerëz, nga nervat, bëjnë gabime kur shumëzojnë ose katrorojnë, veçanërisht nëse shembulli është me numra të mëdhenj, dhe, siç e dini, nuk do të keni kalkulator për provimin... Prandaj, le të përpiqemi të pushojmë pak dhe të vizatojmë gjatë zgjidhjes së këtij ekuacioni.
Gjeni zgjidhje në mënyrë grafike ekuacioni i dhënë Mund në mënyra të ndryshme. Le të shqyrtojmë opsione të ndryshme, dhe ju mund të zgjidhni atë që ju pëlqen më shumë.
Metoda 1. Direkt
Ne thjesht ndërtojmë një parabolë duke përdorur këtë ekuacion:
Për ta bërë këtë shpejt, unë do t'ju jap një sugjerim të vogël: Është i përshtatshëm për të filluar ndërtimin duke përcaktuar kulmin e parabolës. Formulat e mëposhtme do të ndihmojnë në përcaktimin e koordinatave të kulmit të një parabole:
Do të thuash “Stop! Formula për është shumë e ngjashme me formulën për gjetjen e diskriminuesit,” po, është, dhe ky është një disavantazh i madh i ndërtimit “drejtpërdrejt” të një parabole për të gjetur rrënjët e saj. Megjithatë, le të numërojmë deri në fund, dhe pastaj do t'ju tregoj se si ta bëni atë shumë (shumë!) më lehtë!
A keni numëruar? Çfarë koordinatash keni marrë për kulmin e parabolës? Le ta kuptojmë së bashku:
Saktësisht e njëjta përgjigje? bravo! Dhe tani ne tashmë i dimë koordinatat e kulmit, por për të ndërtuar një parabolë na duhen më shumë... pikë. Sa pikë minimale mendoni se na duhen? E drejta,.
Ju e dini që një parabolë është simetrike në lidhje me kulmin e saj, për shembull:
Prandaj, ne kemi nevojë për dy pika të tjera në degën e majtë ose të djathtë të parabolës, dhe në të ardhmen do t'i pasqyrojmë në mënyrë simetrike këto pika në anën e kundërt:
Le të kthehemi te parabola jonë. Për rastin tonë, pika. Ne kemi nevojë për dy pikë të tjera, kështu që mund të marrim ato pozitive, apo mund të marrim ato negative? Cilat pika janë më të përshtatshme për ju? Është më e përshtatshme për mua të punoj me pozitive, kështu që do të llogaris në dhe.
Tani kemi tre pika dhe mund ta ndërtojmë me lehtësi parabolën tonë duke reflektuar dy pikat e fundit në lidhje me majën e saj:
Cila mendoni se është zgjidhja e ekuacionit? Kjo është e drejtë, pikat në të cilat, domethënë, dhe. Sepse.
Dhe nëse themi këtë, do të thotë se duhet të jetë gjithashtu e barabartë, ose.
Vetëm? Ne kemi përfunduar zgjidhjen e ekuacionit në një mënyrë grafike komplekse, ose do të ketë më shumë!
Sigurisht, ju mund ta kontrolloni përgjigjen tonë në mënyrë algjebrike - mund të llogaritni rrënjët duke përdorur teoremën e Vieta-s ose Diskriminuesin. Çfarë keni marrë? e njëjta gjë? E shihni! Tani le të shohim një zgjidhje grafike shumë të thjeshtë, jam i sigurt se do t'ju pëlqejë shumë!
Metoda 2. Ndarë në disa funksione
Le të marrim të njëjtin ekuacion: , por do ta shkruajmë pak më ndryshe, domethënë:
A mund ta shkruajmë kështu? Ne mundemi, pasi transformimi është ekuivalent. Le të shohim më tej.
Le të ndërtojmë dy funksione veç e veç:
- - grafiku është një parabolë e thjeshtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht edhe pa përcaktuar kulmin duke përdorur formula dhe duke hartuar një tabelë për të përcaktuar pikat e tjera.
- - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni po aq lehtë duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.
E ndërtuar? Le të krahasojmë me atë që kam marrë:
A mendoni se në në këtë rast janë rrënjët e ekuacionit? E drejtë! Koordinatat e marra nga kryqëzimi i dy grafikëve dhe, domethënë:
Prandaj, zgjidhja e këtij ekuacioni është:
Çfarë thoni ju? Pajtohem, kjo metodë e zgjidhjes është shumë më e lehtë se ajo e mëparshmja dhe madje më e lehtë sesa kërkimi i rrënjëve përmes një diskriminuesi! Nëse po, provoni të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm duke përdorur këtë metodë:
Çfarë keni marrë? Le të krahasojmë grafikët tanë:
Grafikët tregojnë se përgjigjet janë:
A ia dolët? bravo! Tani le t'i shohim ekuacionet pak më të ndërlikuara, domethënë zgjidhjen ekuacione të përziera, pra ekuacione që përmbajnë funksione të llojeve të ndryshme.
Zgjidhja grafike e ekuacioneve të përziera
Tani le të përpiqemi të zgjidhim sa vijon:
Sigurisht, ne mund të sjellim gjithçka emërues i përbashkët, gjeni rrënjët e ekuacionit që rezulton, duke mos harruar të marrim parasysh ODZ, por përsëri, ne do të përpiqemi ta zgjidhim atë grafikisht, siç bëmë në të gjitha rastet e mëparshme.
Këtë herë le të ndërtojmë 2 grafikët e mëposhtëm:
- - grafiku është një hiperbolë
- - grafiku është një vijë e drejtë, të cilën mund ta ndërtoni lehtësisht duke vlerësuar vlerat në kokën tuaj pa përdorur as një kalkulator.
E kuptove? Tani filloni ndërtimin.
Ja çfarë mora:
Duke parë këtë foto, më thuaj cilat janë rrënjët e ekuacionit tonë?
Kjo është e drejtë, dhe. Ja konfirmimi:
Provoni të futni rrënjët tona në ekuacion. A funksionoi?
Kjo është e drejtë! Pajtohem, zgjidhja grafike e ekuacioneve të tilla është një kënaqësi!
Mundohuni ta zgjidhni vetë ekuacionin grafikisht:
Unë do t'ju jap një sugjerim: zhvendosni një pjesë të ekuacionit në anën e djathtë, në mënyrë që në të dyja anët të ketë funksionet më të thjeshta për t'u ndërtuar. E morët sugjerimin? Merrni masa!
Tani le të shohim se çfarë keni:
Përkatësisht:
- - parabolë kubike.
- - vijë e drejtë e zakonshme.
Epo, le të ndërtojmë:
Siç keni shkruar shumë kohë më parë, rrënja e këtij ekuacioni është - .
Pasi vendosi këtë numër i madh shembuj, jam i sigurt që e keni kuptuar se sa lehtë dhe shpejt mund t'i zgjidhni ekuacionet në mënyrë grafike. Është koha për të kuptuar se si të vendosni në mënyrë të ngjashme sistemeve.
Zgjidhja grafike e sistemeve
Zgjidhje grafike sistemet në thelb nuk ndryshojnë nga zgjidhja grafike e ekuacioneve. Ne gjithashtu do të ndërtojmë dy grafikë, dhe pikat e kryqëzimit të tyre do të jenë rrënjët e këtij sistemi. Një grafik është një ekuacion, grafiku i dytë është një ekuacion tjetër. Gjithçka është jashtëzakonisht e thjeshtë!
Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë - zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare.
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare
Le të themi se kemi sistemin e mëposhtëm:
Së pari, le ta transformojmë atë në mënyrë që në të majtë të ketë gjithçka që lidhet me të, dhe në të djathtë - gjithçka që lidhet me të. Me fjalë të tjera, le t'i shkruajmë këto ekuacione si funksion në formën tonë të zakonshme:
Tani ne ndërtojmë vetëm dy vija të drejta. Cila është zgjidhja në rastin tonë? E drejtë! Pika e kryqëzimit të tyre! Dhe këtu duhet të jeni shumë, shumë të kujdesshëm! Mendoni për këtë, pse? Më lejoni t'ju jap një sugjerim: kemi të bëjmë me një sistem: në sistem ka të dyja, dhe... E kuptuat?
Kjo është e drejtë! Kur zgjidhim një sistem, duhet të shikojmë të dyja koordinatat, dhe jo vetëm si kur zgjidhim ekuacione! Një tjetër pikë e rëndësishme- shkruajini saktë dhe mos i ngatërroni ku e kemi kuptimin dhe ku është kuptimi! E ke shkruar? Tani le të krahasojmë gjithçka në rend:
Dhe përgjigjet: dhe. Bëni një kontroll - zëvendësoni rrënjët e gjetura në sistem dhe sigurohuni nëse e kemi zgjidhur saktë grafikisht?
Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve jolineare
Po sikur, në vend të një drejtëze, të kemi një ekuacion kuadratik? është në rregull! Ju thjesht ndërtoni një parabolë në vend të një vije të drejtë! Nuk më besoni? Provoni të zgjidhni sistemin e mëposhtëm:
Cili është hapi ynë i ardhshëm? Është e drejtë, shkruajeni në mënyrë që të jetë e përshtatshme për ne të ndërtojmë grafikë:
Dhe tani gjithçka është çështje e gjërave të vogla - ndërtojeni shpejt dhe ja ku është zgjidhja juaj! Ne po ndërtojmë:
A dolën grafikët njësoj? Tani shënoni zgjidhjet e sistemit në figurë dhe shkruani saktë përgjigjet e identifikuara!
A keni bërë gjithçka? Krahasoni me shënimet e mia:
A është gjithçka në rregull? bravo! Tashmë po kryeni këto lloj detyrash si arra! Nëse po, le t'ju japim një sistem më të komplikuar:
çfarë po bëjmë? E drejtë! Ne e shkruajmë sistemin në mënyrë që të jetë i përshtatshëm për të ndërtuar:
Unë do t'ju jap një sugjerim të vogël, pasi sistemi duket shumë i ndërlikuar! Kur ndërtoni grafikë, ndërtoni ato "më shumë", dhe më e rëndësishmja, mos u habitni nga numri i pikave të kryqëzimit.
Pra, le të shkojmë! Shfryrë? Tani filloni të ndërtoni!
Pra, si? E bukur? Sa pika kryqëzimi keni marrë? Unë kam tre! Le të krahasojmë grafikët tanë:
Gjithashtu? Tani shkruani me kujdes të gjitha zgjidhjet e sistemit tonë:
Tani shikoni përsëri sistemin:
Mund ta imagjinoni se e keni zgjidhur këtë në vetëm 15 minuta? Dakord, matematika është ende e thjeshtë, veçanërisht kur shikon një shprehje nuk ke frikë të bësh një gabim, por thjesht merre dhe zgjidhe! je i madh!
Zgjidhja grafike e inekuacioneve
Zgjidhja grafike e mosbarazimeve lineare
Pas shembulli i fundit Ju mund të përballoni gjithçka! Tani merrni frymë - në krahasim me seksionet e mëparshme, kjo do të jetë shumë, shumë e lehtë!
Ne do të fillojmë, si zakonisht, me një zgjidhje grafike pabarazia lineare. Për shembull, ky:
Së pari, le të bëjmë transformimet më të thjeshta - hapni kllapat e katrorëve të përsosur dhe paraqisni terma të ngjashëm:
Pabarazia nuk është e rreptë, prandaj nuk përfshihet në interval dhe zgjidhja do të jenë të gjitha pikat që janë në të djathtë, pasi më shumë, më shumë, e kështu me radhë:
Përgjigje:
Kjo është ajo! Lehtësisht? Le të zgjidhim një pabarazi të thjeshtë me dy ndryshore:
Le të vizatojmë një funksion në sistemin e koordinatave.
A keni marrë një orar të tillë? Tani le të shohim me kujdes se çfarë pabarazie kemi atje? Më pak? Kjo do të thotë që ne pikturojmë mbi gjithçka që është në të majtë të vijës sonë të drejtë. Po sikur të kishte më shumë? Kjo është e drejtë, atëherë ne do të pikturonim mbi gjithçka që është në të djathtë të vijës sonë të drejtë. Është e thjeshtë.
Të gjitha zgjidhjet për këtë pabarazi janë "të hijëzuara" portokalli. Kaq, zgjidhet pabarazia me dy ndryshore. Kjo do të thotë se koordinatat e çdo pike nga zona e hijezuar janë zgjidhjet.
Zgjidhja grafike e mosbarazimeve kuadratike
Tani do të kuptojmë se si të zgjidhim grafikisht pabarazitë kuadratike.
Por, para se të fillojmë me biznesin, le të shqyrtojmë disa materiale në lidhje me funksionin kuadratik.
Për çfarë është përgjegjës diskriminuesi? Kjo është e drejtë, për pozicionin e grafikut në lidhje me boshtin (nëse nuk e mbani mend këtë, atëherë lexoni patjetër teorinë për funksionet kuadratike).
Në çdo rast, këtu është një kujtesë e vogël për ju:
Tani që kemi rifreskuar të gjithë materialin në kujtesën tonë, le t'i drejtohemi punës - zgjidhim pabarazinë grafikisht.
Unë do t'ju them menjëherë se ka dy mundësi për ta zgjidhur atë.
Opsioni 1
Ne shkruajmë parabolën tonë si funksion:
Duke përdorur formulat, ne përcaktojmë koordinatat e kulmit të parabolës (saktësisht njësoj si kur zgjidhim ekuacionet kuadratike):
A keni numëruar? Çfarë keni marrë?
Tani le të marrim dy të tjera pika të ndryshme dhe llogarisni për to:
Le të fillojmë të ndërtojmë një degë të parabolës:
Ne pasqyrojmë në mënyrë simetrike pikat tona në një degë tjetër të parabolës:
Tani le të kthehemi te pabarazia jonë.
Na duhet që të jetë më pak se zero, përkatësisht:
Meqenëse në pabarazinë tonë shenja është rreptësisht më e vogël se, atëherë pikat fundore ne përjashtojmë - "shpoj".
Përgjigje:
Rrugë e gjatë, apo jo? Tani do t'ju tregoj një version më të thjeshtë të zgjidhjes grafike duke përdorur shembullin e të njëjtës pabarazi:
Opsioni 2
Ne i kthehemi pabarazisë sonë dhe shënojmë intervalet që na duhen:
Dakord, është shumë më shpejt.
Le të shkruajmë tani përgjigjen:
Le të shqyrtojmë një zgjidhje tjetër që thjeshton pjesën algjebrike, por gjëja kryesore është të mos ngatërrohemi.
Shumëzoni anët e majta dhe të djathta me:
Mundohuni të zgjidhni vetë çështjet e mëposhtme pabarazia kuadratike në çdo mënyrë që ju pëlqen: .
A ia dolët?
Shikoni si doli grafiku im:
Përgjigje: .
Zgjidhja grafike e mosbarazimeve të përziera
Tani le të kalojmë te pabarazitë më komplekse!
Si ju pëlqen kjo:
Është e frikshme, apo jo? Sinqerisht, nuk e kam idenë se si ta zgjidh këtë në mënyrë algjebrike... Por nuk është e nevojshme. Grafikisht nuk ka asgjë të komplikuar për këtë! Sytë kanë frikë, por duart po bëjnë!
Gjëja e parë me të cilën do të fillojmë është duke ndërtuar dy grafikë:
Unë nuk do të shkruaj një tabelë për secilën prej tyre - jam i sigurt se mund ta bëni atë në mënyrë të përsosur vetë (wow, ka kaq shumë shembuj për të zgjidhur!).
E keni pikturuar? Tani ndërtoni dy grafikë.
Le të krahasojmë vizatimet tona?
A është e njëjta gjë me ju? E madhe! Tani le të rregullojmë pikat e kryqëzimit dhe të përdorim ngjyrën për të përcaktuar se cilin grafik duhet të kemi më të madh në teori, domethënë. Shikoni çfarë ndodhi në fund:
Tani le të shohim se ku grafiku ynë i zgjedhur është më i lartë se grafiku? Mos ngurroni të merrni një laps dhe të lyeni këtë zonë! Ajo do të jetë zgjidhja e pabarazisë sonë komplekse!
Në cilat intervale përgjatë boshtit ndodhemi më lart se? E drejta,. Kjo është përgjigja!
Epo, tani mund të trajtoni çdo ekuacion, çdo sistem dhe aq më tepër çdo pabarazi!
SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE
Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur grafikët e funksionit:
- Le ta shprehim përmes
- Le të përcaktojmë llojin e funksionit
- Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve që rezultojnë
- Le të gjejmë pikat kryqëzimet grafike
- Le ta shkruajmë saktë përgjigjen (duke marrë parasysh ODZ dhe shenjat e pabarazisë)
- Le të kontrollojmë përgjigjen (zëvendësojmë rrënjët në ekuacion ose sistem)
Për më shumë informacion rreth ndërtimit të grafikëve të funksioneve, shihni temën "".
Në këtë video-mësim ofrohet për studim tema “Funksioni y=x 2”. Zgjidhja grafike e ekuacioneve." Gjatë kësaj ore, nxënësit do të mund të njihen me një mënyrë të re të zgjidhjes së ekuacioneve - grafikisht, e cila bazohet në njohuritë e vetive të grafikëve të funksioneve. Mësuesi/ja do të tregojë se si zgjidhet grafikisht funksioni y=x 2.
Tema:Funksioni
Mësimi:Funksioni. Zgjidhja grafike e ekuacioneve
Zgjidhja grafike e ekuacioneve bazohet në njohuritë për grafikët e funksioneve dhe vetitë e tyre. Le të rendisim funksionet, grafikët e të cilëve dimë:
1), grafiku është një vijë e drejtë paralele me boshtin e abshisës, që kalon nëpër një pikë në boshtin e ordinatave. Le të shohim një shembull: y=1:
Në kuptime të ndryshme marrim një familje drejtëzash paralele me boshtin x.
2) Funksioni i proporcionalitetit të drejtë, grafiku i këtij funksioni është një vijë e drejtë që kalon nga origjina e koordinatave. Le të shohim një shembull:
Ne i kemi ndërtuar tashmë këto grafikë mësimet e mëparshme, kujtoni se për të ndërtuar çdo drejtëz, duhet të zgjidhni një pikë që e plotëson atë dhe të merrni origjinën e koordinatave si pikën e dytë.
Le të kujtojmë rolin e koeficientit k: me rritjen e funksionit, këndi ndërmjet drejtëzës dhe drejtim pozitiv akut x-aks; kur funksioni zvogëlohet, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është i mpirë. Përveç kësaj, lidhja e mëposhtme ekziston midis dy parametrave k të së njëjtës shenjë: për k pozitive, sa më i madh të jetë, aq më shpejt rritet funksioni dhe për k negativ, funksioni zvogëlohet më shpejt në vlera të mëdha k modul.
3) Funksioni linear. Kur - marrim pikën e prerjes me boshtin e ordinatave dhe të gjitha drejtëzat e këtij lloji kalojnë nëpër pikën (0; m). Përveç kësaj, me rritjen e funksionit, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është akut; kur funksioni zvogëlohet, këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe drejtimit pozitiv të boshtit x është i mpirë. Dhe sigurisht vlera e k ndikon në shpejtësinë e ndryshimit të vlerës së funksionit.
4). Grafiku i këtij funksioni është një parabolë.
Le të shohim shembuj.
Shembulli 1 - Zgjidheni ekuacionin grafikisht:
Ne nuk i njohim funksionet e këtij lloji, ndaj duhet të transformojmë ekuacioni i dhënë për të punuar me funksione të njohura:
Ne marrim funksione të njohura në të dy anët e ekuacionit:
Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve:
Grafikët kanë dy pika kryqëzimi: (-1; 1); (2; 4)
Le të kontrollojmë nëse zgjidhja është gjetur saktë dhe të zëvendësojmë koordinatat në ekuacionin:
Pika e parë u gjet saktë.
, 
, , , , ,
Pika e dytë gjithashtu u gjet saktë.
Pra, zgjidhjet e ekuacionit janë dhe
Ne vazhdojmë në mënyrë të ngjashme me shembullin e mëparshëm: transformojmë ekuacionin e dhënë në funksione të njohura për ne, ndërtojmë grafikët e tyre, gjejmë rrymat e kryqëzimit dhe prej këtu tregojmë zgjidhjet.
Ne marrim dy funksione:
Le të ndërtojmë grafikët:
Këta grafikë nuk kanë pika kryqëzimi, që do të thotë se ekuacioni i dhënë nuk ka zgjidhje
Përfundim: në këtë mësim Shqyrtuam funksionet dhe grafikët e tyre të njohur, rikujtuam vetitë e tyre dhe shikuam metodën grafike të zgjidhjes së ekuacioneve.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dhe të tjera Algjebra 7. Botimi i 6-të. M.: Iluminizmi. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algjebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dhe të tjera Algjebra 7.M.: Iluminizmi. 2006
Detyra 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dhe të tjerët Algjebra 7, Nr. 494, Art.
Detyra 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dhe të tjerët Algjebra 7, Nr. 495, Art.
Detyra 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dhe të tjerët Algjebra 7, Nr. 496, Art.
Zgjidhja grafike e ekuacioneve
Heyday, 2009
Hyrje
Nevoja për të vendosur ekuacionet kuadratike edhe në kohët e lashta shkaktohej nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që kishin të bënin me gjetjen e zonave parcelat e tokës dhe me punime tokësore të karakterit ushtarak, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me ato moderne, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull.
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Libri i tij ndihmoi në përhapjen njohuri algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane.
Por rregull i përgjithshëm zgjidhjet e ekuacioneve kuadratike për të gjitha kombinimet e mundshme të koeficientëve b dhe c u formuluan në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.
Në vitin 1591 Francois Viet prezantoi formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
NË Babilonia e lashtë mund të zgjidhë disa lloje ekuacionesh kuadratike.
Diofanti i Aleksandrisë Dhe Euklidi , Al-Kuarizmi Dhe Omar Khayyam ekuacione të zgjidhura duke përdorur metoda gjeometrike dhe grafike.
Në klasën e 7-të kemi studiuar funksionet y = C, y = kx , y = kx + m , y = x 2 ,y = - x 2 , në klasën e 8-të - y = √ x , y = |x |, y = sëpatë 2 + bx + c , y = k / x. Në tekstin e algjebrës së klasës së 9-të, pashë funksione që nuk më njihnin ende: y = x 3 , y = x 4 ,y = x 2n, y = x - 2n, y = 3 √x , ( x – a ) 2 + (y - b ) 2 = r 2 dhe të tjerët. Ekzistojnë rregulla për ndërtimin e grafikëve të këtyre funksioneve. Pyesja veten nëse kishte funksione të tjera që u binden këtyre rregullave.
Detyra ime është të studioj grafikët e funksioneve dhe të zgjidh ekuacionet në mënyrë grafike.
1. Cilat janë funksionet?
Grafiku i një funksioni është bashkësia e të gjitha pikave plan koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumenteve dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit.
Funksioni linear jepet nga ekuacioni y = kx + b, Ku k Dhe b- disa numra. Grafiku i këtij funksioni është një vijë e drejtë.
Funksioni proporcionaliteti i anasjelltë y = k / x, ku k¹ 0. Grafiku i këtij funksioni quhet hiperbolë.
Funksioni ( x – a ) 2 + (y - b ) 2 = r 2 , Ku A , b Dhe r- disa numra. Grafiku i këtij funksioni është një rreth me rreze r me qendër në pikën A ( A , b).
Funksioni kuadratik y = sëpatë 2 + bx + c Ku A, b , Me– disa numra dhe A¹ 0. Grafiku i këtij funksioni është një parabolë.
Ekuacioni y 2 ( a – x ) = x 2 ( a + x ) . Grafiku i këtij ekuacioni do të jetë një kurbë e quajtur strofoid.
Ekuacioni ( x 2 + y 2 ) 2 = a ( x 2 – y 2 ) . Grafiku i këtij ekuacioni quhet lemniskati i Bernulit.Ekuacioni. Grafiku i këtij ekuacioni quhet astroid.
Lakorja (x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2). Kjo kurbë quhet kardioide.
Funksionet: y = x 3 - parabola kubike, y = x 4 , y = 1/ x 2 .
2. Koncepti i një ekuacioni dhe zgjidhja grafike e tij
Ekuacioni– një shprehje që përmban një ndryshore.
Zgjidhe ekuacionin- kjo do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e saj, ose të provosh se ato nuk ekzistojnë.
Rrënja e ekuacionitështë një numër që, kur zëvendësohet në një ekuacion, prodhon një barazi të saktë numerike.
Zgjidhja grafike e ekuacioneve ju lejon të gjeni vlerën e saktë ose të përafërt të rrënjëve, ju lejon të gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit.
Gjatë ndërtimit të grafikëve dhe zgjidhjes së ekuacioneve, përdoren vetitë e një funksioni, për këtë arsye metoda shpesh quhet funksionale-grafike.
Për të zgjidhur ekuacionin, e "ndajmë" atë në dy pjesë, prezantojmë dy funksione, ndërtojmë grafikët e tyre dhe gjejmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikëve. Abshisat e këtyre pikave janë rrënjët e ekuacionit.
3. Algoritmi për paraqitjen e grafikut të funksionit
Njohja e grafikut të një funksioni y = f ( x ) , mund të ndërtoni grafikët e funksioneve y = f ( x + m ) ,y = f ( x )+ l Dhe y = f ( x + m )+ l. Të gjithë këta grafikë janë marrë nga grafiku i funksionit y = f ( x ) duke përdorur transformimin transferim paralel: në │ m │ njësitë e shkallës djathtas ose majtas përgjatë boshtit x dhe me radhë │ l │ njësitë e shkallës lart ose poshtë përgjatë një boshti y .
4. Zgjidhja grafike e ekuacionit kuadratik
Duke përdorur shembullin funksion kuadratik Do të shikojmë zgjidhjen grafike të një ekuacioni kuadratik. Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë.
Çfarë dinin grekët e lashtë për parabolën?
Moderne simbolika matematikore e ka origjinën në shekullin e 16-të.
Matematikanët e lashtë grekë nuk e bënin këtë metodë koordinative, nuk kishte koncept funksioni. Sidoqoftë, ata studiuan në detaje vetitë e parabolës. Zgjuarsia e matematikanëve të lashtë është thjesht e mahnitshme - në fund të fundit, ata mund të përdornin vetëm vizatime dhe përshkrimet verbale varësitë.
Më e hulumtuar plotësisht parabolën, hiperbolën dhe elipsin Apollonius i Pergës, i cili jetoi në shekullin III para Krishtit. Ai u dha emra këtyre kthesave dhe tregoi se cilat kushte plotësojnë pikat që shtrihen në këtë apo atë kurbë (në fund të fundit, nuk kishte formula!).
Ekziston një algoritëm për ndërtimin e një parabole:
Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës A (x 0 ; y 0): x 0 =- b /2 a ;
Y 0 = sëpatë o 2 + në 0 + c;
Gjeni boshtin e simetrisë së parabolës (drejtëza x = x 0);
Ne përpilojmë një tabelë vlerash për ndërtimin e pikave të kontrollit;
Ne ndërtojmë pikat që rezultojnë dhe ndërtojmë pika që janë simetrike me to në lidhje me boshtin e simetrisë.
1. Duke përdorur algoritmin, do të ndërtojmë një parabolë y = x 2 – 2 x – 3 . Abshisat e pikave të kryqëzimit me boshtin x dhe ka rrënjë të ekuacionit kuadratik x 2 – 2 x – 3 = 0.
Ka pesë mënyra për të zgjidhur këtë ekuacion grafikisht.
2. Le ta ndajmë ekuacionin në dy funksione: y = x 2 Dhe y = 2 x + 3
3. Le ta ndajmë ekuacionin në dy funksione: y = x 2 –3 Dhe y =2 x. Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit të parabolës dhe drejtëzës.
4. Transformoni ekuacionin x 2 – 2 x – 3 = 0 duke përdorur përzgjedhjen katror i plotë te funksionet: y = ( x –1) 2 Dhe y =4. Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit të parabolës dhe drejtëzës.
5. Ndani të dyja anët e ekuacionit term me term x 2 – 2 x – 3 = 0 në x, marrim x – 2 – 3/ x = 0 , le ta ndajmë këtë ekuacion në dy funksione: y = x – 2, y = 3/ x . Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit të drejtëzës dhe hiperbolës.
5. Zgjidhja grafike e ekuacioneve të shkallës n
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin x 5 = 3 – 2 x .
y = x 5 , y = 3 – 2 x .
Përgjigje: x = 1.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin 3 √ x = 10 – x .
Rrënjët e këtij ekuacioni janë abshisa e pikës së kryqëzimit të grafikëve të dy funksioneve: y = 3 √ x , y = 10 – x .
Përgjigje: x = 8.
konkluzioni
Duke parë grafikët e funksioneve: y = sëpatë 2 + bx + c , y = k / x , у = √ x , y = |x |, y = x 3 , y = x 4 ,y = 3 √x , Vura re se të gjithë këta grafikë janë ndërtuar sipas rregullit të përkthimit paralel në raport me boshtet x Dhe y .
Duke përdorur shembullin e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik, mund të konkludojmë se metoda grafike është e zbatueshme edhe për ekuacionet e shkallës n.
Metodat grafike për zgjidhjen e ekuacioneve janë të bukura dhe të kuptueshme, por nuk japin një garanci 100% për zgjidhjen e ndonjë ekuacioni. Abshisat e pikave të kryqëzimit të grafikëve mund të jenë të përafërta.
Në klasën e 9-të dhe në gjimnaz do të vazhdoj të njihem me funksione të tjera. Unë jam i interesuar të di nëse këto funksione u binden rregullave të transferimit paralel gjatë ndërtimit të grafikëve të tyre.
Aktiv vitin e ardhshëm Do të doja të shqyrtoja gjithashtu çështjet e zgjidhjes grafike të sistemeve të ekuacioneve dhe pabarazive.
Letërsia
1. Algjebër. klasa e 7-të. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. M.: Mnemosyne, 2007.
2. Algjebër. klasën e 8-të. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. M.: Mnemosyne, 2007.
3. Algjebër. klasa e 9-të. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. M.: Mnemosyne, 2007.
4. Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. Klasat VII–VIII. – M.: Arsimi, 1982.
5. Revista Matematika Nr.5 2009; Nr 8 2007; nr 23 2008.
6. Zgjidhja grafike e ekuacioneve faqet e internetit në internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; faqe 3–6.htm.
Zgjidhja grafike e ekuacioneve
Heyday, 2009
- HYRJE -
Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në kohët e lashta u shkaktua nga nevoja për të zgjidhur problemet që lidhen me gjetjen e zonave të punës së gërmimeve tokësore dhe ushtarake, si dhe me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Babilonasit ishin në gjendje të zgjidhnin ekuacionet kuadratike rreth vitit 2000 para Krishtit. Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me ato moderne, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull.
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane.
Por rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike, me të gjitha kombinimet e mundshme të koeficientëve b dhe c, u formulua në Evropë vetëm në 1544 nga M. Stiefel.
Në vitin 1591 Francois Viet prezantoi formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.
Në Babiloninë e lashtë ata mund të zgjidhnin disa lloje ekuacionesh kuadratike.
Diofanti i Aleksandrisë Dhe Euklidi, Al-Kuarizmi Dhe Omar Khayyam ekuacione të zgjidhura duke përdorur metoda gjeometrike dhe grafike.
Në klasën e 7-të kemi studiuar funksionet y = C, y =kx, y = kx+ m, y =x 2 ,y =- x 2 , në klasën e 8-të - y = vx, y =|x|, në = sëpatë 2 + bx+ c, y =k / x. Në tekstin e algjebrës së klasës së 9-të, pashë funksione që nuk më njihnin ende: y =x 3 , në = x 4 ,y =x 2n, në = x - 2n, në = 3v x, (x - a) 2 + (y -b) 2 = r 2 dhe të tjerët. Ekzistojnë rregulla për ndërtimin e grafikëve të këtyre funksioneve. Pyesja veten nëse kishte funksione të tjera që u binden këtyre rregullave.
Detyra ime është të studioj grafikët e funksioneve dhe të zgjidh ekuacionet në mënyrë grafike.
1. Cilat janë funksionet?
Grafiku i një funksioni është bashkësia e të gjitha pikave të planit koordinativ, abshisat e të cilave janë të barabarta me vlerat e argumenteve, dhe ordinatat janë të barabarta me vlerat përkatëse të funksionit.
Funksioni linear jepet nga ekuacioni y =kx + b, Ku k Dhe b- disa numra. Grafiku i këtij funksioni është një vijë e drejtë.
Funksioni proporcional i anasjelltë y =k/ x, ku k 0. Grafiku i këtij funksioni quhet gjirbola.
Funksioni (x - a) 2 + (y -b) 2 = r 2 , Ku A, b Dhe r- disa numra. Grafiku i këtij funksioni është një rreth me rreze r me qendër në pikën A ( A, b).
Funksioni kuadratik y = sëpatë 2 + bx + c Ku A,b, Me- disa numra dhe A 0. Grafiku i këtij funksioni është parabolë.
Ekuacioni në 2 (a - x) = x 2 (a+ x) . Grafiku i këtij ekuacioni do të jetë një kurbë e quajtur strofoid.
Ekuacioni (x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 - y 2 ) . Grafiku i këtij ekuacioni quhet Lemka e Bernulit.
Ekuacioni. Grafiku i këtij ekuacioni quhet astroid.
Lakorja (x 2 y 2 - 2 sëpatë) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Kjo kurbë quhet kardioide.
Funksionet: y =x 3 - parabola kubike, y =x 4 , y = 1/x 2 .
2. Koncepti i një ekuacioni dhe zgjidhja grafike e tij
Ekuacioni- një shprehje që përmban një kohë.
Zgjidhe ekuacionin- kjo do të thotë të gjesh të gjitha rrënjët e saj, ose të provosh se ato nuk ekzistojnë.
Rrënja e ekuacionit- ky është një numër që, kur zëvendësohet në një ekuacion, prodhon një barazi të saktë numerike.
Zgjidhja grafike e ekuacioneve ju lejon të gjeni vlerën e saktë ose të përafërt të rrënjëve, ju lejon të gjeni numrin e rrënjëve të ekuacionit.
Gjatë ndërtimit të grafikëve dhe zgjidhjes së ekuacioneve, përdoren vetitë e një funksioni, prandaj, metoda shpesh quhet funksionale-grafike.
Për të zgjidhur ekuacionin, ne e "ndajmë" atë në dy pjesë, prezantojmë dy funksione, ndërtojmë grafikët e tyre dhe gjejmë koordinatat e pikave të kryqëzimit të grafikëve. Abshisat e këtyre pikave janë rrënjët e ekuacionit.
3. Algoritmi për vizatimin e një funksioni
Njohja e grafikut të një funksioni y =f(x) , mund të ndërtoni grafikët e funksioneve y =f (x+ m) ,y =f(x)+ l Dhe y =f (x+ m)+ l. Të gjithë këta grafikë janë marrë nga grafiku i funksionit y =f(x) duke përdorur transformimin paralel: te ¦ m¦ njësitë e shkallës djathtas ose majtas përgjatë boshtit x dhe me radhë ¦ l¦ njësitë e shkallës lart ose poshtë përgjatë një boshti y.
4. Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik
Duke përdorur një funksion kuadratik si shembull, do të shqyrtojmë zgjidhjen grafike të një ekuacioni kuadratik. Grafiku i një funksioni kuadratik është një parabolë.
Çfarë dinin grekët e lashtë për parabolën?
Simbolika moderne matematikore filloi në shekullin e 16-të.
Matematikanët e lashtë grekë nuk kishin as metodën e koordinatave dhe as konceptin e funksionit. Sidoqoftë, ata studiuan në detaje vetitë e parabolës. Zgjuarsia e matematikanëve të lashtë thjesht mahnit imagjinatën - në fund të fundit, ata mund të përdornin vetëm vizatime dhe përshkrime verbale të varësive.
Ai eksploroi plotësisht parabolën, xhirobolën dhe elipsin Apollonius i Pergës, i cili jetoi në shekullin III para Krishtit. Ai u dha emra këtyre kthesave dhe tregoi se cilat kushte plotësojnë pikat që shtrihen në këtë apo atë kurbë (në fund të fundit, nuk kishte formula!).
Ekziston një algoritëm për ndërtimin e një parabole:
Gjeni koordinatat e kulmit të parabolës A (x 0 ; y 0): X 0 =- b/2 a;
Y 0 = sëpatë o 2 + në 0 + c;
Gjeni boshtin e simetrisë së parabolës (drejtëza x = x 0);
Ne përpilojmë një tabelë vlerash për ndërtimin e pikave të kontrollit;
Ne ndërtojmë pikat që rezultojnë dhe ndërtojmë pika që janë simetrike me to në lidhje me boshtin e simetrisë.
1. Duke përdorur algoritmin, do të ndërtojmë një parabolë y = x 2 - 2 x - 3 . Abshisat e pikave të kryqëzimit me boshtin x dhe ka rrënjë të ekuacionit kuadratik x 2 - 2 x - 3 = 0.
Ka pesë mënyra për të zgjidhur këtë ekuacion grafikisht.
2. Le ta ndajmë ekuacionin në dy funksione: y= x 2 Dhe y= 2 x + 3
3. Le ta ndajmë ekuacionin në dy funksione: y= x 2 -3 Dhe y =2 x. Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit të parabolës me drejtëzën.
4. Transformoni ekuacionin x 2 - 2 x - 3 = 0 duke izoluar një katror të plotë në funksione: y= (x -1) 2 Dhe y=4 . Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit të parabolës me drejtëzën.
5. Ndani të dyja anët e ekuacionit term me term x 2 - 2 x - 3 = 0 në x, marrim x - 2 - 3/ x = 0 , le ta ndajmë këtë ekuacion në dy funksione: y = x - 2, y = 3/ x. Rrënjët e ekuacionit janë abshisat e pikave të kryqëzimit të një vije të drejtë dhe një kurbë vertikale.
5. Zgjidhje grafikeekuacionet e muritn
Shembulli 1. Zgjidhe ekuacionin x 5 = 3 - 2 x.
y = x 5 , y = 3 - 2 x.
Përgjigje: x = 1.
Shembulli 2. Zgjidhe ekuacionin 3 vx = 10 - x.
Rrënjët e këtij ekuacioni janë abshisa e pikës së kryqëzimit të grafikëve të dy funksioneve: y = 3 vx, y = 10 - x.
Përgjigje: x = 8.
- përfundim -
Duke parë grafikët e funksioneve: në = sëpatë 2 + bx+ c, y =k / x, y = vx, y =|x|, y =x 3 , y =x 4 ,y = 3v x, Vura re se të gjithë këta grafikë janë ndërtuar sipas rregullit të mbajtjes paralele në lidhje me boshtet x Dhe y.
Duke përdorur shembullin e zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik, mund të konkludojmë se metoda grafike është e zbatueshme edhe për ekuacionet e fuqisë n.
Metodat grafike për zgjidhjen e ekuacioneve janë të bukura dhe të kuptueshme, por nuk japin një garanci 100% për zgjidhjen e ndonjë ekuacioni. Abshisat e pikave të kryqëzimit të grafikëve mund të jenë të përafërta.
Në klasën e 9-të dhe në gjimnaz do të vazhdoj të njihem me funksione të tjera. Unë jam i interesuar të di nëse këto funksione u binden rregullave të transferimit paralel gjatë ndërtimit të grafikëve të tyre.
Vitin e ardhshëm do të doja të shqyrtoja gjithashtu çështjet e zgjidhjes grafike të sistemeve të ekuacioneve dhe pabarazive.
Letërsia
1. Algjebër. klasa e 7-të. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. M.: Mnemosyne, 2007.
2. Algjebër. klasën e 8-të. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. M.: Mnemosyne, 2007.
3. Algjebër. klasa e 9-të. Pjesa 1. Libër mësuesi për institucionet arsimore / A.G. Mordkoviç. M.: Mnemosyne, 2007.
4. Glazer G.I. Historia e matematikës në shkollë. Klasat VII-VIII. - M.: Arsimi, 1982.
5. Revista Matematika Nr.5 2009; Nr 8 2007; nr 23 2008.
6. Zgjidhja grafike e ekuacioneve faqet e internetit në internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; faqe 3-6.htm.
Zgjidhja grafike e një ekuacioni kuadratik Të forcojë aftësinë për të ndërtuar grafikët e funksioneve të ndryshme; Zhvilloni aftësinë për të zgjidhur grafikisht ekuacionet kuadratike. Brdsk 2009 Komunale institucioni arsimor – Liceu Ekonomik Mësim i përgjithshëm me temën "Funksioni kuadratik", mësuesja e algjebrës së klasës së 8-të Fedoseeva T.M.
Hartimi i grafikut të një funksioni kuadratik Përcaktoni drejtimin e degëve: a>0 degëzime lart; a 0 degë lart; a"> 0 degë lart; a"> 0 degë lart; a" title=" Grafikimi i një funksioni kuadratik Përcaktoni drejtimin e degëve: a>0 degë lart; a"> title="Hartimi i grafikut të një funksioni kuadratik Përcaktoni drejtimin e degëve: a>0 degëzime lart; a"> !}
0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjejmë pikën" title=" Të ndërtojmë një grafik të funksionit y=x 2 -2x-3 duke përdorur algoritmin: 1) a=1>0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjetja e një pike" class="link_thumb"> 3 !} Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y=x 2 -2x-3 duke përdorur algoritmin: 1) a=1>0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjejmë pikat e kryqëzimit me boshtin OX: x 1 = -1; x 2 =3 1 mënyrë për të zgjidhur ekuacionin x 2 -2x-3=0 y x Zgjidhet ekuacioni x 2 +2x-3=0 0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjejmë pikën "> 0, degët janë të drejtuara lart; 2) maja y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i pikave të kontrollit të parabolës : (0: -3) , (3; 0) dhe simetrike në lidhje me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë me boshtin OX: x 1 = -1 4 23 x 2 +2x-3=0"> 0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjejmë pikën" title=" Të ndërtojmë një grafik të funksionit y=x 2 -2x-3 duke përdorur algoritmin: 1) a=1>0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjetja e një pike"> title="Le të ndërtojmë një grafik të funksionit y=x 2 -2x-3 duke përdorur algoritmin: 1) a=1>0 degë janë të drejtuara lart; 2) kulmi y o =y(1)=1-2-3=-4 A(1;-4) x=1 – boshti i parabolës Pikat e kontrollit: (0: -3), (3; 0) dhe simetrike ndaj tyre në raport me boshtin x = 1 Ndërtojmë një parabolë. Gjetja e një pike"> !}
Metoda e dytë: a). Le të thyejmë ekuacionin x 2 -2x-3=0 në pjesë x 2 = 2x+3 Le të shkruajmë dy funksione y= x 2; y=2x+3 Ndërtojmë grafikët e këtyre funksioneve në një sistem koordinativ. Abshisat e pikave të kryqëzimit janë rrënjët e ekuacionit. 0 1 x y Zgjidhe ekuacionin x 2 +2x-3=0
Metoda e tretë: x 2 -3 = 2x y = x 2 -3; y=2x Ndërtojmë grafikët e këtyre funksioneve në një sistem koordinativ. Abshisat e pikave të kryqëzimit janë rrënjët e ekuacionit. 0 1 x y Zgjidhe ekuacionin x 2 +2x-3=0
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve