Kalimi i vijave të drejta. Shembuj të problemeve me dhe pa zgjidhje

Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC me majë S këndi ndërmjet skajit anësor dhe
rrafshi bazë është i barabartë me 60°, ana e bazës është e barabartë 1 , SH- lartësia e piramidës.
Gjeni zonën e prerjes tërthore të piramidës nga një aeroplan që kalon nëpër pikë N
paralel me brinjët S.A. Dhe B.C..

Baza e lartësisë së një piramide të rregullt është qendra e trekëndëshit ABC. Së pari ne do të kryejmë
përmes pikës N segment RT, paralel me skajin dielli. Pikat P dhe T i përkasin seksionit.

Në rrafshin e fytyrës ACS përmes pikës T le të vizatojmë një segment TK paralel me skajin AS.

Në rrafshin e fytyrës ABC përmes pikës R le të vizatojmë një segment P.L. paralel me skajin AS.

Lidhja e pikave TE Dhe L, marrim seksionin e dëshiruar. Le të vërtetojmë se ky është një drejtkëndësh.

Segmentet TK Dhe P.L. jo vetëm paralele (secila është paralele AS), por edhe të barabartë.

Pra, është një katërkëndësh KLPT- paralelogram në bazë të një paralelogrami.
Përveç kësaj, TK ⊥ TR, sepse AS⊥CB, dhe anët TK Dhe TR paralele AS Dhe C.B..
Le ta vërtetojmë këtë AS⊥CB. Ju mund të përdorni teoremën tre pingule.
AS- i prirur, pas Krishtit projeksioni i kësaj të zhdrejtë mbi ABC, AD⊥CB, Do të thotë, AS⊥CB.

Për të gjetur sipërfaqen e një drejtkëndëshi, duhet të gjeni dhe shumëzoni anët e tij.
Vini re se ana TRështë dy të tretat e faqes së bazës BC = 1.
Ana e dytë e drejtkëndëshit TK një e treta e brinjës anësore AS.
Ne mund të gjejmë skajin anësor nga trekëndëshi SAH, në të cilën ∠SAH = 60°
(këndi ndërmjet skajit anësor dhe bazës) dhe ∠ASH = 30°, që do të thotë AS = 2·AN.

Gjeni gjatësinë e segmentit AN, duke ditur anën e bazës, mund ta bëni në mënyra të ndryshme.
Është më mirë të bëni pa formula dhe të merrni parasysh trekëndësh kënddrejtë ANF.

Le të kthehemi te trekëndëshi SAH dhe ne do të gjejmë brinjë anësore piramidat:

Mbetet për të shumëzuar anët e gjetura dhe për të marrë zonën e prerjes kryq.

Stereometria

Punë e pavarur N 1

Opsioni 1

1. Vizatoni një vijë të drejtë a dhe pika A,B Dhe C, që nuk i përket kësaj linje. Bëni shënimet e nevojshme.

2. Vizatoni rrafshin b, pika E,F që i përkasin asaj, dhe periudha G, e cila nuk i përket asaj. Bëni shënimet e nevojshme.

3. Vizatoni një vijë të drejtë a, i shtrirë në aeroplan a. Bëni hyrjen e nevojshme.

4. Vizatoni dy rrafshe të kryqëzuara a dhe b. Bëni hyrjen e nevojshme.

Opsioni 2

1. Vizatoni dy që kryqëzohen në një pikë O drejt a Dhe b dhe pika A,B,C, dhe pika A i përket linjës a, B i përket linjës b, pikë C nuk i përket rreshtave të dhëna.

2. Vizatoni rrafshin g dhe pikat që nuk i përkasin K,L dhe pika që i përket M. Bëni shënimet e nevojshme.

3. Vizatoni një vijë të drejtë b, duke prerë rrafshin b në pikë O. Bëni hyrjen e nevojshme.

4. Vizatoni tre vija të kryqëzuara a aeroplanët a, b dhe g. Bëni hyrjen e nevojshme.

Punë e pavarur N 2

Opsioni 1

1) Këndet në bazën e një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë.

2) Një vijë e vetme e drejtë kalon nëpër dy pika në hapësirë.

3) Kënde vertikale janë të barabartë.

4) Një paralelogram është një katërkëndësh i të cilit anët e kundërta paralele në çift.

2. Përcaktoni pozicioni relativ rrafshit a dhe b, nëse në to shtrihet një trekëndësh ABC. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

3. Sa rrafshe mund të kalojnë nëpër tri pika?

4. Gjeni numri më i madh vijat e drejta që kalojnë çifte të ndryshme prej katër pikësh.

Opsioni 2

1. Nga propozimet e mëposhtme tregoni aksioma, përkufizime, teorema:

1) Nëse dy plane kanë pikë e përbashkët, atëherë ato kryqëzohen në vijë të drejtë.

2) Vija e mesme i një trekëndëshi është segmenti që lidh mesin e dy brinjëve të tij.

3) Për drejtëzat dhe rrafshet në hapësirë ​​plotësohen aksiomat e planimetrisë.

4) Diagonalet e një paralelogrami ndahen në gjysmë me pikën e kryqëzimit.

2. Përcaktoni pozicionin relativ të dy rrafsheve b dhe g nëse përmbajnë pika B Dhe C. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

3. Gjeni numrin më të madh të drejtëzave që kalojnë nëpër çifte të ndryshme prej 5 pikash.

4. Gjeni numrin më të madh të planeve që kalojnë nëpër treshe të ndryshme me katër pika.

2. Pasojat nga aksiomat e stereometrisë

Opsioni 1

1. Në rrafshin e dy drejtëzave të kryqëzuara a Dhe b pikë e dhënë C, që nuk i përket këtyre rreshtave. Drejt c, i shtrirë në një plan të caktuar, kalon nëpër pikë C c në lidhje me këto vija të drejta?

2. Jepen tri pika që nuk i përkasin të njëjtës drejtëz. Vërtetoni se të gjitha drejtëzat që kryqëzojnë dy nga tre segmentet që lidhin këto pika shtrihen në të njëjtin rrafsh.

3. Aeroplani jepet me vijë të drejtë c dhe një pikë që nuk i përket C a, i ndryshëm nga vija e dhënë dhe nuk kalon këtë pikë.

4. Një plan përcaktohet nga dy që kryqëzohen në një pikë O drejt a Dhe b. Vizatoni një vijë të drejtë c, e cila i pret këto drejtëza dhe nuk shtrihet në rrafshin e dhënë.

Opsioni 2

1. Drejtpërdrejt d, i shtrirë në rrafshin e trekëndëshit ABC, kalon anën e tij AB. Cili mund të jetë pozicioni relativ i vijave? d Dhe B.C.?

2. Në rrafshin a vizatohen dy drejtëza paralele a Dhe b. Vërtetoni se të gjitha drejtëzat që kryqëzojnë këto drejtëza shtrihen në të njëjtin rrafsh.

3. Një rrafsh përcaktohet nga dy që kryqëzohen në një pikë O drejt m Dhe n. Ndërtoni një vijë të drejtë në këtë rrafsh k, të ndryshme nga vijat e dhëna dhe duke mos kaluar nëpër pikë O.

4. Aeroplani përcaktohet nga tre pika D,E,F, që nuk i përkasin të njëjtës linjë. Vizatoni një vijë të drejtë a, që kryqëzon anët DE Dhe DF trekëndëshi DEF dhe nuk shtrihet në këtë aeroplan.

3. Figurat hapësinore

Opsioni 1

1. Vizatoni një prizëm pesëkëndësh dhe ndajeni në katërkëndëshe.

2. Përcaktoni numrin e kulmeve, brinjëve dhe faqeve: a) kubike; b) prizëm 7-gonal; V) n-piramida e qymyrit.

3. Përcaktoni llojin e prizmit nëse ka: a) 10 kulme; b) 21 brinjë; c) 5 fytyra.

4. Si mund të ngjyrosen faqet e një prizmi 4-gonal në mënyrë që faqet ngjitur (që kanë një skaj të përbashkët) të ngjyrosen në ngjyra të ndryshme? E cila numri më i vogël Do të keni nevojë për lule?

Opsioni 2

1. Vizatoni një piramidë pesëkëndëshe dhe ndajeni në katërkëndëshe.

2. Përcaktoni numrin e kulmeve, brinjëve dhe faqeve: a) paralelipiped drejtkëndor; b) Piramida me 6 anë; V) n- prizmi i karbonit.

3. Përcaktoni llojin e piramidës nëse ajo ka: a) 5 kulme; b) 14 brinjë; c) 9 fytyra.

4. Si mund të ngjyrosen faqet e një oktaedri në mënyrë që faqet fqinje (që ndajnë një skaj të përbashkët) të pikturohen me ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i ngjyrave që nevojiten?

4. Modelimi i poliedrave

Opsioni 1

1. Vizatoni disa rrjeta të kubit.

2. Vizatoni një figurë të përbërë nga katër trekëndësha barabrinjës të barabartë, e cila nuk është një rrjetë e një katërkëndëshi të rregullt.

3. Vizatoni zhvillimin e një piramide të rregullt katërkëndore dhe ngjyrosni atë në mënyrë të tillë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

4. Vizatoni një zhvillim të një paralelipipedi drejtkëndor dhe ngjyrosni atë në mënyrë të tillë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

Opsioni 2

1. Vizatoni disa rrjeta të një katërkëndëshi të rregullt.

2. Vizatoni një figurë të përbërë nga gjashtë katrorë që nuk është një rrjet kub.

3. Vizatoni një zhvillim kubi dhe ngjyrosni atë në atë mënyrë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

4. Vizatoni zhvillimin e një piramide të rregullt 6-gonale dhe ngjyrosni atë në mënyrë të tillë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

5. Paralelizmi i drejtëzave në hapësirë

Opsioni 1

1. Shkruani në një piramidë të rregullt 4 këndore SABCD të gjitha çiftet e skajeve paralele.

2. Në rrafshin e dy drejtëzave paralele a Dhe b pikë e dhënë C, që nuk i përket këtyre rreshtave. Përmes pikës C u hoq një vijë e drejtpërdrejtë c. Si mund të pozicionohet një vijë e drejtë? c në raport me vijat e drejta a Dhe b.

3. Nëpër një pikë që nuk i përket një drejtëze të caktuar, vizatoni një vijë paralele me këtë.

4. Gjeni vendndodhja drejtëza që kryqëzojnë dy drejtëza të dhëna paralele.

Opsioni 2

1. Shkruani katër palë skaje paralele të kubit Një...D 1.

2. Jepen tre rreshta a,b Dhe Me. Si mund të pozicionohen këto vija të drejta në mënyrë që të vizatohet një rrafsh që përmban të gjitha këto vija të drejta?

3. Jepen dy drejtëza paralele a Dhe b. Vërtetoni se çdo rrafsh që kryqëzon njërën prej tyre do të presë edhe tjetrin.

4. Gjeni vendndodhjen e drejtëzave paralele me një drejtëz të dhënë dhe që prenë një drejtëz tjetër që pret të parën.

6. Linjat e kryqëzimit

Opsioni 1

1. Në një kub Një...D 1 shkruani skajet që kalojnë buzën AB.

2. Shkruani çiftet e skajeve të kryqëzuara të një piramide me 4 kënde SABCD.

3. Si janë të vendosura vijat në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b në figurën 1? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

4. Jepen dy vija anore a Dhe b dhe një pikë që nuk u përket atyre C. Ndërtoni një vijë të drejtë c, duke kaluar nëpër pikë C dhe prerja e vijave a Dhe b.

Opsioni 2

1. Shkruani skajet që kryqëzohen me skajin S.A. piramida e rregullt 4-gonale SABCD.

2. Shkruani skajet që kryqëzojnë diagonalen B 1D Kuba Një...D 1.

c(Fig. 1). Drejt a shtrihet në rrafshin a dhe pret drejtëzën c. A është e mundur të vizatohet një drejtëz paralele me drejtëzën në planin b? a? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

4. A ka dy drejtëza paralele, secila prej të cilave kryqëzon dy drejtëza të dhëna anore? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

7. Paralelizmi i drejtëzës dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Shkruani skajet paralelisht me rrafshin e fytyrës CC 1D 1D prizmi i saktë ABCDEFA 1B 1C 1D 1E 1F 1.

2. Drejtpërdrejt a paralel me rrafshin a; drejt b kryqëzon rrafshin a në pikë B; drejt c, duke prerë vijat a Dhe b përkatësisht në pika E Dhe F, kryqëzon rrafshin a në pikë C a Dhe b?

3. Planet a dhe b priten në drejtëz c. Pika A i përket rrafshit a, pikë B– avioni b. Ndërtoni: a) një vijë të drejtë a, i shtrirë në rrafshin a, duke kaluar nëpër pikë A dhe paralel me planin b; b) drejt b, i shtrirë në rrafshin b që kalon nëpër pikë B dhe paralel me rrafshin a. Si do të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b?

4. Pikat A Dhe B i përkasin faqeve anësore fqinje të piramidës. Vizatoni dy segmente paralel me njëri-tjetrin përmes këtyre pikave në këto faqe.

Opsioni 2

1. Shkruani rrafshet e fytyrave, paralel me skajin CC 1 paralelipiped Një...D 1.

2. Drejtpërdrejt a paralel me rrafshin a; drejt b Dhe c, duke prerë vijën a përkatësisht në pika B Dhe C, prerë rrafshin a përkatësisht në pikat D Dhe E. Bëni një vizatim. Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b?

3. Planet a dhe b priten në drejtëz c. Drejt a shtrihet në rrafshin a. Vërtetoni se nëse: a) a kryqëzon rrafshin b në pikën A, Kjo A i përket linjës c; b) aështë paralel me rrafshin b, atëherë është paralel me drejtëzën c.

4. Pikat A Dhe B i përkasin faqeve anësore fqinje të prizmit. Vizatoni dy segmente paralel me njëri-tjetrin përmes këtyre pikave në këto faqe.

8. Paralelizmi i dy rrafsheve

Opsioni 1

1. Shkruani rrafshet paralele të paralelopipedit Një...D 1.

2. A janë të vërteta pohimet:

1) Kalon nëpër një pikë që nuk i përket një rrafshi të caktuar aeroplan i vetëm, paralel me këtë.

2) Nëse dy drejtëza të shtrira në një rrafsh janë përkatësisht paralele me dy drejtëza që shtrihen në një rrafsh tjetër, atëherë këto rrafshe janë paralele.

3) Ka pafundësisht shumë drejtëza paralele me një plan të caktuar dhe që kalojnë nëpër një pikë që nuk i përket këtij rrafshi.

4) Nëse njëri nga dy rrafshet e dhëna është paralel me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në rrafshin tjetër, atëherë këto rrafshe janë paralele.

3. Vërtetoni se dy rrafshe paralele me të njëjtin rrafsh të tretë janë paralel me njëri-tjetrin.

4. Segmentet AB Dhe CD shtrihen në rrafshet paralele a dhe b, përkatësisht (Fig. 2). Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? A.C. Dhe BD? A mund të jenë paralele?

Opsioni 2

1. Në një piramidë trekëndore SABC vizatoni një rrafsh paralel me bazën e tij ABC.

2. A janë të vërteta pohimet:

1) Nëse një drejtëz që shtrihet në një rrafsh është paralel me një drejtëz që shtrihet në një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë paralele.

2) Nëse një rrafsh kryqëzon dy rrafshe të dhëna përgjatë drejtëzave paralele, atëherë këto plane janë paralele.

3) Ka pafundësisht shumë plane paralele me një drejtëz të caktuar dhe që kalojnë nëpër një pikë që nuk i përket kësaj drejtëze.

4) Nëse dy rrafshe janë paralele me të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë paralele.

3. Vërtetoni se nëse një rrafsh pret një nga dy rrafshet paralele, atëherë ai pret edhe tjetrin.

4. Segmentet AB Dhe CD shtrihen në rrafshin paralel a dhe b, përkatësisht (Fig. 3). Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? pas Krishtit Dhe B.C.? A mund të kryqëzohen?

9. Vektorët në hapësirë

Opsioni 1

1. Për vektor i dhënë ndërto vektorët: a) -; b) 2; V) -.

2. Sa vektorë përcaktohen nga të gjitha çiftet e mundshme të pikave të përbëra nga kulmet e një piramide të rregullt katërkëndore?

ABCD .

4. Jepet një paralelipiped Një...D 1..gif" width="128" height="29 src=">.gif" width="15" height="19 src="> ndërto vektorët: a) 3; b) -2; V) .

2. Sa vektorë përcaktohen nga të gjitha çiftet e mundshme të pikave të përbëra nga kulmet e një prizmi trekëndor?

3. Vizatoni tetraedron i rregullt ABCD dhe vizatoni një vektor: a) ; b) ; V) .

4. Jepet një paralelipiped Një...D 1..gif" width="133" height="29 src=">.gif" width="15" height="17 src="> për të marrë një vektor në të njëjtin drejtim me dhe ||=1.

2. Janë dhënë dy vektorë me drejtim të kundërt dhe , dhe || > ||..gif" width="15" height="19 src=">.

3. Jepet një katërkëndësh ABCD. Shkruani tre çifte të kulmeve të tij që përcaktojnë vektorët koplanarë.

4. Jepet një kub Një...D 1. Shkruani treshe vektorësh joplanarë me fillim dhe mbarim në kulmet e tij.

Opsioni 2

1..gif" width="15" height="21">, me drejtim të kundërt me dhe ||=2.

2..gif" width="15" height="21 src=">.gif" width="15" height="21 src=">|. Gjeni drejtimin dhe gjatësinë e vektorit +.

3. Jepet një katërkëndësh ABCD. Shkruani tre çifte të kulmeve të tij që përcaktojnë vektorët jokoplanarë.

4. Jepet një kub Një...D 1. Shkruani treshe vektorësh koplanarë me fillim dhe mbarim në kulmet e tij.

11. Transferimi paralel

Opsioni 1

1. Ndërtoni figurën që rezulton transferim paralel e drejtpërdrejtë a në vektor nëse: a) E i takon a, F nuk i takon a; b) pikë E Dhe F nuk bëjnë pjesë a.

2. Përcaktoni një përkthim paralel, i cili është mesi i segmentit G.H. përkthehet në një pikë M.

3. Ndërtoni një figurë që fitohet nga një katror ABCD transferimi paralel në një vektor: a) https://pandia.ru/text/78/221/images/image025_45.gif" width="28" height="24 src=">.

4. Ndërtoni një figurë që përftohet nga një katërkëndor ABCD transferimi paralel në një vektor.

Opsioni 2

1. Ndërtoni një figurë që fitohet nga përkthimi paralel i një rrethi me qendër në një pikë O te vektori https://pandia.ru/text/78/221/images/image024_45.gif" width="29" height="24 src=">.gif" width="29" height="24"> .

12. Inxhinieri paralele

Opsioni 1

1. Me sa pikë do të fitohen dizajn paralel dy pika të ndryshme hapësirë? Bëni vizatimet dhe arsyetimin e duhur.

2. Listoni vetitë e një drejtkëndëshi që ruhen gjatë projektimit paralel.

3. Si duhet të pozicionohen dy drejtëza në mënyrë që ato të projektohen në një rrafsh në një vijë të drejtë dhe në një pikë që nuk i përket kësaj drejtëze?

4. Vijat paralele a Dhe b A,B Dhe C janë paraqitur në figurën 4. Vizatoni pikën e katërt D. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

Opsioni 2

1. Sa pikë do të merrni kur dizajnoni tre pika të ndryshme në hapësirë? Bëni vizatimet dhe arsyetimin e duhur.

2. Listoni vetitë e rombit që ruhen gjatë projektimit paralel.

3. Si duhet të vendosen një drejtëz dhe një pikë në mënyrë që ato të projektohen në një rrafsh në një vijë dhe një pikë që i përket kësaj drejtëze?

4. Vijat prerëse a Dhe b kryqëzojnë rrafshet paralele a dhe b në katër pika. Tre prej tyre A,B Dhe C janë paraqitur në figurën 5. Vizatoni pikën e katërt D. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

13. Projeksionet paralele të figurave të rrafshët

Opsioni 1

1. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi dykëndësh kënddrejtë të shtrirë në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksionit.

2. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi barabrinjës ABC dhe mbi të ndërto imazhe pingulësh të rënë nga pika M– mesi i anës AB në anët A.C. Dhe B.C..

ABCDEF, duke marrë një drejtkëndësh si figurë origjinale ABDE.

4. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi barabrinjës ABC dhe ndërtoni mbi të një imazh të një pingule të tërhequr nga pika K– mesi i segmentit B.O.(O– qendra e trekëndëshit) në anën AB.

Opsioni 2

1. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi barabrinjës që shtrihet në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksionit.

2. Vizatoni një projeksion paralel të një katrori ABCD dhe mbi të ndërtoni një imazh pingulësh të tërhequr nga pika E– mesi i anës B.C. te vijat e drejta BD Dhe AC.

3. Vizatoni një projeksion paralel gjashtëkëndësh i rregullt ABCDEF, duke marrë si figurë origjinale trekëndësh barabrinjës ACE.

4. Vizatoni një projeksion paralel të një drejtkëndëshi ABCD, kush ka AD= 2AB. Ndërtoni një imazh të një pingule të rënë nga një kulm C në diagonale BD.

14. Imazhi i figurave hapësinore

Opsioni 1

1. Vizatoni një piramidë të rregullt katërkëndëshe dhe lartësinë e saj.

2. Vizatoni një kub, dy faqet e të cilit janë paralele me rrafshin e projektimit.

3. Figura 6 tregon një projeksion paralel të një kubi Një...D

4. Jepet një katërkëndësh ABCD. Zona e fytyrës së saj ADC e barabartë me S BDC në aeroplan ADC në drejtim të një vije të drejtë AB.

Opsioni 2

1. Vizatoni të saktën piramidë trekëndore dhe lartësinë e saj.

2. Vizatoni një kub, faqet e të cilit nuk janë paralele me rrafshin e projektimit.

3. Figura 7 tregon një projeksion paralel të një kubi Një...D 1. Si ndodhet kubi në raport me planin e projektimit?

4. Jepet një katërkëndësh ABCD. Zona e fytyrës së saj ABD e barabartë me P. Gjeni zonën e projeksionit të fytyrës së saj BDC në aeroplan A.D.B. në drejtim të një vije të drejtë C.M., Ku M– mesi i brinjës AB.

15. Seksionet e poliedrave

Opsioni 1

1. Në një prizëm gjashtëkëndor Një...F 1 (Fig. 8) ndërtoni pikën e kryqëzimit të vijës PQ me avion ABC, ku pikat P Dhe P i përkasin përkatësisht skajeve anësore të prizmit BB 1 dhe DD 1.

2. Në brinjët anësore prizëm katërkëndor Një...D Jepen 1 tre pikë K,L,M(Fig. 9). Ndërtoni një vijë të kryqëzimit të rrafshët KLM me avion ABC.

3. Ndërtoni një pjesë të kubit me një plan që kalon nëpër pika X,Y,Z A.D.A.A. 1, BB 1 dhe e tillë që sëpata:XD= 1:2, A 1Y:YA= 2:1, B 1Z:ZB = 1:2.

4. Në piramidën e djathtë SABCD ndërtoni një seksion që kalon nga ana e bazës pas Krishtit dhe periudha M, që i përket buzës anësore S.B..

Opsioni 2

1. Në brinjët anësore BB 1 dhe E.E. 1 prizëm ABCDEA 1B 1C 1D 1E 1 pikë jepen në përputhje me rrethanat F Dhe G(Fig. 10). Ndërtoni pikën e kryqëzimit të vijës FG me avion ABC.

2. Jepet një kub Një...D 1. Në brinjët e tij A.A. 1, CC 1 dhe DD Janë dhënë respektivisht 1 tre pikë X,Y,Z(Fig. 11). Ndërtoni një vijë të kryqëzimit të planeve XYZ Dhe ABC.

3. Në një prizëm të rregullt trekëndor Një...C 1 ndërtoni një seksion që kalon nëpër pika K,L Dhe M, që i përkasin përkatësisht skajeve A.A. 1, A.C. Dhe BB 1 dhe e tillë që: AK =K.A. 1; AL:LC= 1:2 dhe BM =M.B. 1.

4. Në piramidën e djathtë SABCD ndërtoni një seksion që kalon nëpër diagonale A.C. bazë dhe paralel me buzën anësore SD.

16. Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë. Perpendikulariteti i vijave

Opsioni 1

1. Në një kub Një...D AB Dhe BB 1; b) BD Dhe BB 1; V) AB 1 dhe CC 1; G) AB 1 dhe CD 1.

Një...C 1 segment CD pingul me skajin AB CD Dhe A.A. 1; b) CD Dhe A 1B 1.

3. Në mënyrën e duhur piramidë katërkëndore SABCD Me skajet e barabarta gjeni këndin midis diagonales A.C. baza dhe buza anësore S.C..

4. Gjeni këndin ndërmjet skajeve të kryqëzimit të një katërkëndëshi të rregullt.

Opsioni 2

1. Në një kub Një...D 1 gjeni këndin midis drejtëzave: a) B.C. Dhe BB 1; b) A 1C 1 dhe pas Krishtit; V) BB 1 dhe BD; G) A 1D Dhe B.C. 1.

2. Në një prizëm të rregullt trekëndor Një...C 1 A.M.– mediana e bazës ABC. Gjeni këndin midis drejtëzave: a) A.M. Dhe C 1B 1; b) A.M. Dhe A 1C 1.

3. Në një katërkëndor të rregullt ABCD pika M– mesi i brinjës C.B.. Gjeni këndin midis vijave A.M. Dhe DC.

4. Gjeni këndin midis brinjëve jo të kryqëzuara të një piramide të rregullt trekëndore.

17. Perpendikulariteti i drejtëzës dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Vërtetoni se rreshti pingul me rrafshin, kryqëzon këtë rrafsh.

2. Përmes qendrës O katrore ABCD u hoq një vijë e drejtpërdrejtë OK, pingul me rrafshin e këtij katrori. Vërtetoni se linja A.K. pingul me një vijë të drejtë BD.

3. Gjeni vendndodhjen e pikave që u përkasin drejtëzave që kalojnë nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me një drejtëz të caktuar.

4. Pika M i përket faqes anësore ABD piramidë trekëndore ABCD, e cila AB =BD Dhe AC =CD. Ndërtoni një pjesë të kësaj piramide me një rrafsh që kalon nëpër pikë M dhe pingul me drejtëzën pas Krishtit.

Opsioni 2

1. Drejtpërdrejt a, pingul me rrafshin a, e pret këtë rrafsh në pikë A. Vërtetoni se linja b, duke kaluar nëpër pikë A dhe pingul me drejtëzën a, shtrihet në rrafshin a.

2. Përmes pikës M– mesi i anës AB trekëndësh barabrinjës ABC u hoq një vijë e drejtpërdrejtë M.H., pingul me rrafshin e këtij trekëndëshi. Vërtetoni pingulitetin e drejtëzave AB Dhe H.C..

3. Jepet një vijë e drejtë a dhe një pikë që nuk i përket A. Gjeni vendndodhjen e drejtëzave që kalojnë nëpër një pikë A dhe pingul me drejtëzën a.

4. Në një paralelipiped drejtkëndor Një...D 1 ndërtoni një seksion që kalon nga një pikë K, pikë e brendshme seksion diagonal A.A. 1C 1C, dhe pingul me vijën BB 1.

18. Perpendikulare dhe e zhdrejtë

Opsioni 1

1. Jepet një aeroplan a. Nga pika A dy të prirur AB= 20 cm dhe A.C.= 15 cm Projeksioni i planit të parë të pjerrët në këtë rrafsh është 16 cm.

2. Nga një pikë M, që nuk i përket rrafshit g, tërhiqen drejt tij pjerrësi të barabarta të pjerrëta MA,M.B. Dhe M.C.. Vërtetoni se bazat e atyre të pjerrëta i përkasin të njëjtit rreth. Gjeni qendrën e saj.

3. Nga një pikë B dy plane të barabarta të pjerrëta 2 cm tërhiqen në planin b. Këndi ndërmjet tyre është 600, dhe midis projeksioneve të tyre është 900. Gjeni pingulën e rënë nga pika B në aeroplan b.

4. Jepet një trekëndësh me brinjë 13 cm, 14 cm dhe 15 cm M, që nuk i përket rrafshit të këtij trekëndëshi, është 5 cm larg brinjëve të trekëndëshit Gjeni pingulën e rënë nga pika M në rrafshin e trekëndëshit të dhënë.

Opsioni 2

1. Nga një pikë A i tërhequr në rrafsh a i prirur AB= 9 cm dhe pingul A.O.= 6 cm Gjeni projeksionin e kësaj pingule mbi atë të pjerrët.

2. Gjeni vendndodhjen e pikave në hapësirë ​​të barabarta nga të gjitha pikat në një rreth të caktuar.

3. Nga një pikë e caktuar, dy pjerrësi të barabarta të pjerrëta tërhiqen në një plan të caktuar, duke formuar një kënd prej 600 midis tyre. Këndi midis projeksioneve të tyre është një vijë e drejtë. Gjeni këndin midis secilës zhdrejtë dhe projeksionit të saj.

4. Pika M largohet nga çdo kulm i një trekëndëshi të rregullt me ​​cm, dhe nga secila anë me 2 cm Gjeni pingulën e rënë nga pika M në rrafshin e trekëndëshit.

19. Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Në një piramidë, brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës. Në cilën pikë është parashikuar maja e piramidës?

2. Në një kub Një...D A.A. 1 dhe aeroplan AB 1D 1.

3. Vizatohet një vijë e pjerrët në planin a M.H. (H i përket rrafshit a). Vërtetoni se nëse projeksioni është i zhdrejtë M.H. formon kënde të barabarta me kënde të drejta A.H. Dhe B.H., i shtrirë në aeroplan a, pastaj i prirur M.H. formon kënde të barabarta me to.

4. Vizatoni një vijë të drejtë në një plan të caktuar përmes një pike të caktuar në të, duke formuar një kënd prej 900 me rrafshin.

Opsioni 2

1. Vërtetoni se në një piramidë të rregullt skajet anësore janë të prirur njësoj me rrafshin e bazës.

2. Në një kub Një...D 1 gjeni kosinusin e këndit midis skajit A 1D 1 dhe aeroplan AB 1D 1.

3. Vizatohet një vijë e pjerrët në planin b B.P. (P i përket rrafshit b), i cili formon kënde të barabarta me kënde të drejta P.E. Dhe PF, i shtrirë në aeroplan b. Vërtetoni se këndet formohen nga drejtëza P.E. Dhe PF me projeksion të zhdrejtë B.P. në rrafshin b janë të barabarta.

4. Nëpër një pikë që nuk i përket një rrafshi të caktuar, vizatoni një vijë të drejtë duke formuar një kënd 900 me rrafshin.

20. Largësia ndërmjet pikave, vijave dhe planeve

Opsioni 1

1. Në një trekëndësh kënddrejtë ABC(DIV_ADBLOCK16">

4. Në një kub Një...D 1 me brinjë a AB Dhe B 1C 1.

Opsioni 2

1. Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë ABC(C= 900) janë të barabarta me 15 cm dhe 20 cm nga lart C vizatohet një pingul me rrafshin e trekëndëshit CD e barabartë me 5 cm Gjeni distancën nga pika D te hipotenuza AB.

2. Në një kub njësi Një...D 1 gjeni distancën midis kulmit D 1 dhe: a) krye B; b) buzë AB; c) buzë BB 1C 1C.

3. Nga një pikë K një pingul me gjatësi d dhe vizatohen dy të pjerrëta, këndet e të cilave me pingulën janë 300. Këndi ndërmjet të pjerrëve është 600. Gjeni distancën ndërmjet bazave të të pjerrët.

4. Në një kub Një...D 1 me brinjë a gjeni distancën midis skajeve të kryqëzuara DC Dhe BB 1.

21. Këndi dihedral

Opsioni 1

a. Gjeni projeksion ortogonal ky rrafsh i pjerrët në rrafsh nëse këndi midis pjerrësisë dhe rrafshit është 300.

2. Dy pika janë marrë në një faqe të një këndi dihedral A Dhe B. Perpendikularët janë hequr prej tyre A.A. 1, BB 1 në anën tjetër dhe A.A. 2, BB 2 për buzë të këndit dihedral. Gjeni BB 2 nëse A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. Dy drejtkëndësha të barabartë kanë anën e përbashkët dhe rrafshet e tyre formojnë një kënd 450. Gjeni raportin e sipërfaqeve të dy figurave në të cilat projeksioni ortogonal i brinjës së njërit drejtkëndësh ndan tjetrin.

4. Vërtetoni se pingulët e tërhequr nga pikat e një drejtëze të caktuar në një rrafsh shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe vendndodhja gjeometrike e bazave të këtyre pingulave është drejtëza e kryqëzimit të këtyre rrafsheve.

Opsioni 2

1. Vija e pjerrët e tërhequr në rrafsh është e barabartë me a. Gjeni projeksionin ortogonal të këtij plani të pjerrët në rrafsh nëse këndi midis planit të pjerrët dhe rrafshit është 600.

2. Janë marrë dy pika në njërën faqe të një këndi dykëndor, të vendosura në një distancë prej 9 cm dhe 12 cm nga skaji i tij pika e dytë.

3. Dy trekëndëshi dykëndësh kanë terren të përbashkët, dhe planet e tyre formojnë një kënd prej 600. Baza e përbashkët është 16 cm, anësor njëri trekëndësh është 17 cm, dhe brinjët e tjetrit janë pingul. Gjeni distancën midis kulmeve të trekëndëshave që shtrihen përballë një baze të përbashkët.

4. Vërtetoni se pika e prerjes së projeksioneve ortogonale të dy drejtëzave në një rrafsh është projeksioni ortogonal i pikës së prerjes së këtyre drejtëzave në të njëjtin rrafsh.

22. Perpendikulariteti i planeve

Opsioni 1

1. Jepet një kub Një...D 1. Vërtetoni pingulitetin e rrafsheve: a) ABD Dhe DCC 1; b) AB 1C 1 dhe ABB 1.

2. Nëpër një vijë të caktuar që shtrihet në një rrafsh të caktuar, vizatoni një rrafsh pingul me këtë rrafsh.

§ 2. PUNË E PAVARUR

1. Konceptet bazë dhe aksiomat e stereometrisë

Punë e pavarur N 1

Opsioni 1

1. Vizatoni një vijë të drejtë a dhe pika A, B Dhe C, që nuk i përket kësaj linje. Bëni shënimet e nevojshme.

2. Vizatoni rrafshin b, pika E, F, që i përkasin asaj, pikë G, e cila nuk i përket asaj. Bëni shënimet e nevojshme.

3. Vizatoni një vijë të drejtë a, i shtrirë në aeroplan a. Bëni hyrjen e nevojshme.

4. Vizatoni dy rrafshe të kryqëzuara a dhe b. Bëni hyrjen e nevojshme.

Opsioni 2

1. Vizatoni dy që kryqëzohen në një pikë O drejt a Dhe b dhe pika A, B, C, dhe pika A i përket linjës a, B i përket linjës b, pikë C nuk i përket rreshtave të dhëna.

2. Vizatoni rrafshin g dhe pikat që nuk i përkasin K, L dhe pika që i përket M. Bëni shënimet e nevojshme.

3. Vizatoni një vijë të drejtë b, duke prerë rrafshin b në pikë O. Bëni hyrjen e nevojshme.

4. Vizatoni tre vija të kryqëzuara a aeroplanët a, b dhe g. Bëni hyrjen e nevojshme.

Punë e pavarur N 2

Opsioni 1

1) Këndet në bazën e një trekëndëshi dykëndësh janë të barabartë.

2) Një vijë e vetme e drejtë kalon nëpër dy pika në hapësirë.

3) Këndet vertikale janë të barabarta.

4) Një paralelogram është një katërkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele në çifte.

2. Përcaktoni pozicionin relativ të rrafsheve a dhe b nëse ato përmbajnë një trekëndësh ABC. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

3. Sa rrafshe mund të kalojnë nëpër tri pika?

4. Gjeni numrin më të madh të drejtëzave që kalojnë nëpër çifte të ndryshme me katër pika.

Opsioni 2

1. Nga fjalitë e mëposhtme, tregoni aksiomat, përkufizimet, teoremat:

1) Nëse dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato kryqëzohen në një vijë të drejtë.

2) Vija e mesit të një trekëndëshi është segmenti që lidh mesin e dy brinjëve të tij.

3) Për drejtëzat dhe rrafshet në hapësirë ​​plotësohen aksiomat e planimetrisë.

4) Diagonalet e një paralelogrami ndahen në gjysmë me pikën e kryqëzimit.

2. Përcaktoni pozicionin relativ të dy rrafsheve b dhe g nëse përmbajnë pika B Dhe C. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

3. Gjeni numrin më të madh të drejtëzave që kalojnë nëpër çifte të ndryshme prej 5 pikash.

4. Gjeni numrin më të madh të planeve që kalojnë nëpër treshe të ndryshme me katër pika.

2. Pasojat nga aksiomat e stereometrisë

Opsioni 1

1. Në rrafshin e dy drejtëzave të kryqëzuara a Dhe b pikë e dhënë C, që nuk i përket këtyre rreshtave. Drejt c, i shtrirë në një aeroplan të caktuar, kalon nëpër një pikë C. Si mund të pozicionohet një vijë e drejtë? c në lidhje me këto vija të drejta?

2. Jepen tri pika që nuk i përkasin të njëjtës drejtëz. Vërtetoni se të gjitha drejtëzat që kryqëzojnë dy nga tre segmentet që lidhin këto pika shtrihen në të njëjtin rrafsh.

3. Aeroplani jepet me vijë të drejtë c dhe një pikë që nuk i përket C a, i ndryshëm nga drejtëza e dhënë dhe nuk kalon në pikën e dhënë.

4. Një plan përcaktohet nga dy që kryqëzohen në një pikë O drejt a Dhe b. Vizatoni një vijë të drejtë c, e cila i pret këto drejtëza dhe nuk shtrihet në rrafshin e dhënë.

Opsioni 2

1. Drejtpërdrejt d, i shtrirë në rrafshin e trekëndëshit ABC, kalon anën e tij AB. Cili mund të jetë pozicioni relativ i vijave? d Dhe B.C.?

2. Në rrafshin a vizatohen dy drejtëza paralele a Dhe b. Vërtetoni se të gjitha drejtëzat që kryqëzojnë këto drejtëza shtrihen në të njëjtin rrafsh.

3. Një rrafsh përcaktohet nga dy që kryqëzohen në një pikë O drejt m Dhe n. Ndërtoni një vijë të drejtë në këtë rrafsh k, të ndryshme nga vijat e dhëna dhe duke mos kaluar nëpër pikë O.

4. Aeroplani përcaktohet nga tre pika D, E, F, që nuk i përkasin të njëjtës linjë. Vizatoni një vijë të drejtë a, që kryqëzon anët DE Dhe DF trekëndëshi DEF dhe nuk shtrihet në këtë aeroplan.

3. Figurat hapësinore

Opsioni 1

1. Vizatoni një prizëm pesëkëndësh dhe ndajeni në katërkëndëshe.

2. Përcaktoni numrin e kulmeve, brinjëve dhe faqeve: a) kubike; b) prizëm 7-gonal; V) n-piramida e qymyrit.

3. Përcaktoni llojin e prizmit nëse ka: a) 10 kulme; b) 21 brinjë; c) 5 fytyra.

4. Si mund të ngjyrosen faqet e një prizmi 4-gonal në mënyrë që fytyrat fqinje (që ndajnë një skaj të përbashkët) të pikturohen me ngjyra të ndryshme? Cili është numri më i vogël i ngjyrave që nevojiten?

Opsioni 2

1. Vizatoni një piramidë pesëkëndëshe dhe ndajeni në katërkëndëshe.

2. Përcaktoni numrin e kulmeve, brinjëve dhe faqeve: a) paralelipiped drejtkëndor; b) Piramida me 6 anë; V) n- prizmi i karbonit.

3. Përcaktoni llojin e piramidës nëse ajo ka: a) 5 kulme; b) 14 brinjë; c) 9 fytyra.

4. Si mund të ngjyrosen faqet e një oktaedri në mënyrë që faqet fqinje (që ndajnë një skaj të përbashkët) të pikturohen me ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i ngjyrave që nevojiten?

4. Modelimi i poliedrave

Opsioni 1

1. Vizatoni disa rrjeta të kubit.

2. Vizatoni një figurë të përbërë nga katër trekëndësha barabrinjës të barabartë, e cila nuk është një rrjetë e një katërkëndëshi të rregullt.

3. Vizatoni zhvillimin e një piramide të rregullt katërkëndore dhe ngjyrosni atë në mënyrë të tillë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

4. Vizatoni një zhvillim të një paralelipipedi drejtkëndor dhe ngjyrosni atë në mënyrë të tillë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

Opsioni 2

1. Vizatoni disa rrjeta të një katërkëndëshi të rregullt.

2. Vizatoni një figurë të përbërë nga gjashtë katrorë që nuk është një rrjet kub.

3. Vizatoni një zhvillim kubi dhe ngjyrosni atë në atë mënyrë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

4. Vizatoni zhvillimin e një piramide të rregullt 6-gonale dhe ngjyrosni atë në mënyrë të tillë që kur ngjitni fytyrat ngjitur të kenë ngjyra të ndryshme. Cili është numri më i vogël i luleve që duhet të merrni?

5. Paralelizmi i drejtëzave në hapësirë

Opsioni 1

1. Shkruani në një piramidë të rregullt 4 këndore SABCD të gjitha çiftet e skajeve paralele.

2. Në rrafshin e dy drejtëzave paralele a Dhe b pikë e dhënë C, që nuk i përket këtyre rreshtave. Përmes pikës C u hoq një vijë e drejtpërdrejtë c. Si mund të pozicionohet një vijë e drejtë? c në raport me vijat e drejta a Dhe b.

3. Nëpër një pikë që nuk i përket një drejtëze të caktuar, vizatoni një vijë paralele me këtë.

4. Gjeni vendndodhjen e drejtëzave që kryqëzojnë dy drejtëza të dhëna paralele.

Opsioni 2

1. Shkruani katër palë skaje paralele të kubit A… D 1 .

2. Jepen tre rreshta a, b Dhe Me. Si mund të pozicionohen këto vija të drejta në mënyrë që të vizatohet një rrafsh që përmban të gjitha këto vija të drejta?

3. Jepen dy drejtëza paralele a Dhe b. Vërtetoni se çdo rrafsh që kryqëzon njërën prej tyre do të presë edhe tjetrin.

4. Gjeni vendndodhjen e drejtëzave paralele me një drejtëz të dhënë dhe që prenë një drejtëz tjetër që pret të parën.

6. Linjat e kryqëzimit

Opsioni 1

1. Në një kub A… D 1 shkruani skajet që kalojnë buzën AB.

2. Shkruani çiftet e skajeve të kryqëzuara të një piramide me 4 kënde SABCD.

3. Si janë të vendosura vijat në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b në figurën 1? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

4. Jepen dy vija anore a Dhe b dhe një pikë që nuk u përket atyre C. Ndërtoni një vijë të drejtë c, duke kaluar nëpër pikë C dhe prerja e vijave a Dhe b.

Opsioni 2

1. Shkruani skajet që kryqëzohen me skajin S.A. piramida e rregullt 4-gonale SABCD.

2. Shkruani skajet që kryqëzojnë diagonalen B 1 D Kuba A…D 1 .

c(Fig. 1). Drejt a shtrihet në rrafshin a dhe pret drejtëzën c. A është e mundur të vizatohet një drejtëz paralele me drejtëzën në planin b? a? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

4. A ka dy drejtëza paralele, secila prej të cilave kryqëzon dy drejtëza të dhëna anore? Arsyetoni përgjigjen tuaj.

7. Paralelizmi i drejtëzës dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Shkruani skajet paralelisht me rrafshin e fytyrës CC 1 D 1 D prizmi i saktë ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Drejtpërdrejt a paralel me rrafshin a; drejt b kryqëzon rrafshin a në pikë B; drejt c, duke prerë vijat a Dhe b përkatësisht në pika E Dhe F, kryqëzon rrafshin a në pikë C. Bëni një vizatim. Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b?

3. Planet a dhe b priten në drejtëz c. Pika A i përket rrafshit a, pikë B– avioni b. Ndërtoni: a) një vijë të drejtë a, i shtrirë në rrafshin a, duke kaluar nëpër pikë A dhe paralel me planin b; b) drejt b, i shtrirë në rrafshin b që kalon nëpër pikë B dhe paralel me rrafshin a. Si do të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b?

4. Pikat A Dhe B i përkasin faqeve anësore fqinje të piramidës. Vizatoni dy segmente paralel me njëri-tjetrin përmes këtyre pikave në këto faqe.

Opsioni 2

1. Shkruani rrafshet e faqeve paralele me skajin CC 1 paralelipiped A… D 1 .

2. Drejtpërdrejt a paralel me rrafshin a; drejt b Dhe c, duke prerë vijën a përkatësisht në pika B Dhe C, prerë rrafshin a përkatësisht në pikat D Dhe E. Bëni një vizatim. Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? a Dhe b?

3. Planet a dhe b priten në drejtëz c. Drejt a shtrihet në rrafshin a. Vërtetoni se nëse: a) a kryqëzon rrafshin b në pikën A, Kjo A i përket linjës c; b) aështë paralel me rrafshin b, atëherë është paralel me drejtëzën c.

4. Pikat A Dhe B i përkasin faqeve anësore fqinje të prizmit. Vizatoni dy segmente paralel me njëri-tjetrin përmes këtyre pikave në këto faqe.

8. Paralelizmi i dy rrafsheve

Opsioni 1

1. Shkruani rrafshet paralele të paralelopipedit A… D 1 .

2. A janë të vërteta pohimet:

1) Nëpër një pikë që nuk i përket një rrafshi të caktuar, kalon një rrafsh i vetëm paralel me atë të dhënë.

2) Nëse dy drejtëza të shtrira në një rrafsh janë përkatësisht paralele me dy drejtëza që shtrihen në një rrafsh tjetër, atëherë këto rrafshe janë paralele.

3) Ka pafundësisht shumë drejtëza paralele me një plan të caktuar dhe që kalojnë nëpër një pikë që nuk i përket këtij rrafshi.

4) Nëse njëri nga dy rrafshet e dhëna është paralel me dy drejtëza të kryqëzuara që shtrihen në rrafshin tjetër, atëherë këto rrafshe janë paralele.

3. Vërtetoni se dy rrafshe paralele me të njëjtin rrafsh të tretë janë paralel me njëri-tjetrin.

4. Segmentet AB Dhe CD shtrihen në rrafshet paralele a dhe b, përkatësisht (Fig. 2). Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? A.C. Dhe BD? A mund të jenë paralele?

Opsioni 2

1. Në një piramidë trekëndore SABC vizatoni një rrafsh paralel me bazën e tij ABC.

2. A janë të vërteta pohimet:

1) Nëse një drejtëz që shtrihet në një rrafsh është paralel me një drejtëz që shtrihet në një rrafsh tjetër, atëherë këto plane janë paralele.

2) Nëse një rrafsh kryqëzon dy rrafshe të dhëna përgjatë drejtëzave paralele, atëherë këto plane janë paralele.

3) Ka pafundësisht shumë plane paralele me një drejtëz të caktuar dhe që kalojnë nëpër një pikë që nuk i përket kësaj drejtëze.

4) Nëse dy rrafshe janë paralele me të njëjtën drejtëz, atëherë ato janë paralele.

3. Vërtetoni se nëse një rrafsh pret një nga dy rrafshet paralele, atëherë ai pret edhe tjetrin.

4. Segmentet AB Dhe CD shtrihen në rrafshin paralel a dhe b, përkatësisht (Fig. 3). Si mund të pozicionohen vijat e drejta në raport me njëra-tjetrën? pas Krishtit Dhe B.C.? A mund të kryqëzohen?

9. Vektorët në hapësirë

Opsioni 1

1. Për një vektor të caktuar
ndërto vektorët: a) - ; b) 2; V) -.

2. Sa vektorë përcaktohen nga të gjitha çiftet e mundshme të pikave të përbëra nga kulmet e një piramide të rregullt katërkëndore?

ABCD dhe vizatoni një vektor: a)
; b)
; V)
.

4. Jepet një paralelipiped A… D
; b)
; V)
.

Opsioni 2

1. Për një vektor të caktuar ndërto vektorët: a) 3 ; b) -2; V) .

2. Sa vektorë përcaktohen nga të gjitha çiftet e mundshme të pikave të përbëra nga kulmet e një prizmi trekëndor?

3. Vizatoni një katërkëndor të rregullt ABCD dhe vizatoni një vektor: a)
; b) ; V)
.

4. Jepet një paralelipiped A… D 1. Gjeni shumën e vektorëve: a)
; b) ; V) .

10. Vektorët kolinearë dhe koplanarë

Opsioni 1

për të marrë vektorin , i drejtuar në mënyrë identike me dhe | |=1.

2. Janë dhënë dy vektorë me drejtim të kundërt dhe , dhe | | > | |. Gjeni drejtimin dhe gjatësinë e vektorit +.

3. Jepet një katërkëndësh ABCD. Shkruani tre çifte të kulmeve të tij që përcaktojnë vektorët koplanarë.

4. Jepet një kub A… D 1. Shkruani treshe vektorësh joplanarë me fillim dhe mbarim në kulmet e tij.

Opsioni 2

1. Me çfarë numri duhet të shumëzohet një vektor jozero? për të marrë vektorin , drejtuar kundert me dhe | |=2.

2. Janë dhënë dy vektorë me drejtim të kundërt dhe , dhe | |

3. Jepet një katërkëndësh ABCD|. Gjeni drejtimin dhe gjatësinë e vektorit +.

4. Jepet një kub A… D. Shkruani tre çifte të kulmeve të tij që përcaktojnë vektorët jokoplanarë.

11. Transferimi paralel

Opsioni 1

1. Shkruani treshe vektorësh bashkëplanarë me fillim dhe mbarim në kulmet e tij. a 1. Ndërtoni një figurë që fitohet nga përkthimi paralel i një drejtëze
te vektori E, nëse: a) a, F i takon a nuk i takon E Dhe F; b) pikë a.

nuk bëjnë pjesë G.H. përkthehet në një pikë M.

2. Përcaktoni një përkthim paralel, i cili është mesi i segmentit ABCD 3. Ndërtoni një figurë që fitohet nga një katror
; b)
.

ABCD transferimi paralel në një vektor: a)

Opsioni 2

transferimi paralel në një vektor. O 1. Ndërtoni një figurë që fitohet nga përkthimi paralel i një drejtëze
1. Ndërtoni një figurë që fitohet nga përkthimi paralel i një rrethi me qendër në një pikë K i përket rrethit; b) pikë K nuk i përket rrethit.

2. Specifikoni përkthimin paralel, i cili është pika e kryqëzimit O dy vija të drejta a Dhe b përkthehet në një pikë N.

3. Ndërtoni një figurë që fitohet nga një trekëndësh i rregullt ABC transferim paralel në një vektor: a) ; b)
, ku eshte thelbi M– mesi i anës B.C..

4. Ndërtoni një figurë që përftohet nga një katërkëndor ABCD transferimi paralel në një vektor
.

12. Inxhinieri paralele

Opsioni 1

1. Sa pika do të fitohen nga projeksioni paralel i dy pikave të ndryshme në hapësirë? Bëni vizatimet dhe arsyetimin e duhur.

2. Listoni vetitë e një drejtkëndëshi që ruhen gjatë projektimit paralel.

3. Si duhet të pozicionohen dy drejtëza në mënyrë që ato të projektohen në një rrafsh në një vijë të drejtë dhe në një pikë që nuk i përket kësaj drejtëze?

4. Vijat paralele a Dhe b A, B Dhe C janë paraqitur në figurën 4. Vizatoni pikën e katërt D. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

Opsioni 2

1. Sa pikë do të merrni kur dizajnoni tre pika të ndryshme në hapësirë? Bëni vizatimet dhe arsyetimin e duhur.

2. Listoni vetitë e rombit që ruhen gjatë projektimit paralel.

3. Si duhet të vendosen një drejtëz dhe një pikë në mënyrë që ato të projektohen në një rrafsh në një vijë dhe një pikë që i përket kësaj drejtëze?

4. Vijat prerëse a Dhe b kryqëzojnë rrafshet paralele a dhe b në katër pika. Tre prej tyre A, B Dhe C janë paraqitur në figurën 5. Vizatoni pikën e katërt D. Arsyetoni përgjigjen tuaj.

13. Projeksionet paralele të figurave të rrafshët

Opsioni 1

1. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi dykëndësh kënddrejtë të shtrirë në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksionit.

2. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi barabrinjës ABC dhe mbi të ndërto imazhe pingulësh të rënë nga pika M– mesi i anës AB në anët A.C. Dhe B.C..

ABCDEF, duke marrë një drejtkëndësh si figurë origjinale ABDE.

4. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi barabrinjës ABC dhe ndërtoni mbi të një imazh të një pingule të tërhequr nga pika K– mesi i segmentit B.O.(O– qendra e trekëndëshit) në anën AB.

Opsioni 2

1. Vizatoni një projeksion paralel të një trekëndëshi barabrinjës që shtrihet në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksionit.

2. Vizatoni një projeksion paralel të një katrori ABCD dhe mbi të ndërtoni një imazh pingulësh të tërhequr nga pika E– mesi i anës B.C. te vijat e drejta BD Dhe A.C..

3. Vizatoni një projeksion paralel të një gjashtëkëndëshi të rregullt ABCDEF, duke marrë si figurë fillestare një trekëndësh barabrinjës ACE.

4. Vizatoni një projeksion paralel të një drejtkëndëshi ABCD, kush ka pas Krishtit = 2AB. Ndërtoni një imazh të një pingule të rënë nga një kulm C në diagonale BD.

14. Imazhi i figurave hapësinore

Opsioni 1

1. Vizatoni një piramidë të rregullt katërkëndëshe dhe lartësinë e saj.

2. Vizatoni një kub, dy faqet e të cilit janë paralele me rrafshin e projektimit.

3. Figura 6 tregon një projeksion paralel të një kubi A… D

4. Jepet një katërkëndësh ABCD. Zona e fytyrës së saj ADC e barabartë me S BDC në aeroplan ADC në drejtim të një vije të drejtë AB.

Opsioni 2

1. Vizatoni një piramidë të rregullt trekëndore dhe lartësinë e saj.

2. Vizatoni një kub, faqet e të cilit nuk janë paralele me rrafshin e projektimit.

3. Figura 7 tregon një projeksion paralel të një kubi A… D 1. Si ndodhet kubi në raport me planin e projektimit?

4. Jepet një katërkëndësh ABCD. Zona e fytyrës së saj ABD e barabartë me P. Gjeni zonën e projeksionit të fytyrës së saj BDC në aeroplan A.D.B. në drejtim të një vije të drejtë C.M., Ku M– mesi i brinjës AB.

15. Seksionet e poliedrave

Opsioni 1

1. Në një prizëm gjashtëkëndor A… F 1 (Fig. 8) ndërtoni pikën e kryqëzimit të vijës PQ me avion ABC, ku pikat P Dhe P i përkasin përkatësisht skajeve anësore të prizmit BB 1 dhe DD 1 .

2. Në skajet anësore të një prizmi katërkëndor A… D Jepen 1 tre pikë K, L, M(Fig. 9). Ndërtoni një vijë të kryqëzimit të rrafshët KLM me avion ABC.

3. Ndërtoni një pjesë të kubit me një plan që kalon nëpër pika X, Y, Z, që i përkasin përkatësisht skajeve pas Krishtit, A.A. 1 , BB 1 dhe e tillë që sëpata:XD = 1:2, A 1 Y:YA= 2:1, B 1 Z:ZB = 1:2.

4. Në piramidën e djathtë SABCD ndërtoni një seksion që kalon nga ana e bazës pas Krishtit dhe periudha M, që i përket buzës anësore S.B..

Opsioni 2

1. Në brinjët anësore BB 1 dhe E.E. 1 prizëm ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 pikë jepen në përputhje me rrethanat F Dhe G(Fig. 10). Ndërtoni pikën e kryqëzimit të vijës FG me avion ABC.

2. Jepet një kub A… D 1. Në brinjët e tij A.A. 1 , CC 1 dhe DD Janë dhënë respektivisht 1 tre pikë X, Y, Z(Fig. 11). Ndërtoni një vijë të kryqëzimit të planeve XYZ Dhe ABC.

3. Në një prizëm të rregullt trekëndor A… C 1 ndërtoni një seksion që kalon nëpër pika K, L Dhe M, që i përkasin përkatësisht skajeve A.A. 1 , A.C. Dhe BB 1 dhe e tillë që: A.K. = K.A. 1 ; AL:L.C. = 1:2 dhe B.M. = M.B. 1 .

4. Në piramidën e djathtë SABCD ndërtoni një seksion që kalon nëpër diagonale A.C. bazë dhe paralel me buzën anësore SD.

16. Këndi ndërmjet vijave të drejta në hapësirë. Perpendikulariteti i vijave

Opsioni 1

1. Në një kub A… D AB Dhe BB 1 ; b) BD Dhe BB 1 ; V) AB 1 dhe CC 1 ; G) AB 1 dhe CD 1 .

A… C 1 segment CD pingul me skajin AB. Gjeni këndin midis drejtëzave: a) CD Dhe A.A. 1 ; b) CD Dhe A 1 B 1 .

SABCD me brinjë të barabarta gjeni këndin ndërmjet diagonales A.C. baza dhe buza anësore S.C..

4. Gjeni këndin ndërmjet skajeve të kryqëzimit të një katërkëndëshi të rregullt.

Opsioni 2

1. Në një kub A… D 1 gjeni këndin midis drejtëzave: a) B.C. Dhe BB 1 ; b) A 1 C 1 Dhe pas Krishtit; V) BB 1 dhe BD; G) A 1 D Dhe B.C. 1 .

2. Në një prizëm të rregullt trekëndor A… C 1 A.M.– mediana e bazës ABC. Gjeni këndin midis drejtëzave: a) A.M. Dhe C 1 B 1 ; b) A.M. Dhe A 1 C 1 .

3. Në një katërkëndor të rregullt ABCD pika M– mesi i brinjës C.B.. Gjeni këndin midis vijave A.M. Dhe DC.

4. Gjeni këndin midis brinjëve jo të kryqëzuara të një piramide të rregullt trekëndore.

17. Perpendikulariteti i drejtëzës dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Vërtetoni se një drejtëz pingul me një plan e pret këtë rrafsh.

2. Përmes qendrës O katrore ABCD u hoq një vijë e drejtpërdrejtë OK, pingul me rrafshin e këtij katrori. Vërtetoni se linja A.K. pingul me një vijë të drejtë BD.

3. Gjeni vendndodhjen e pikave që u përkasin drejtëzave që kalojnë nëpër një pikë të caktuar dhe pingul me një drejtëz të caktuar.

4. Pika M i përket faqes anësore ABD piramidë trekëndore ABCD, e cila AB = BD Dhe A.C. = CD. Ndërtoni një pjesë të kësaj piramide me një rrafsh që kalon nëpër pikë M dhe pingul me drejtëzën pas Krishtit.

Opsioni 2

1. Drejtpërdrejt a, pingul me rrafshin a, e pret këtë rrafsh në pikë A. Vërtetoni se linja b, duke kaluar nëpër pikë A dhe pingul me drejtëzën a, shtrihet në rrafshin a.

2. Përmes pikës M– mesi i anës AB trekëndësh barabrinjës ABC u hoq një vijë e drejtpërdrejtë M.H., pingul me rrafshin e këtij trekëndëshi. Vërtetoni pingulitetin e drejtëzave AB Dhe H.C..

3. Jepet një vijë e drejtë a dhe një pikë që nuk i përket A. Gjeni vendndodhjen e drejtëzave që kalojnë nëpër një pikë A dhe pingul me drejtëzën a.

4. Në një paralelipiped drejtkëndor A… D 1 ndërtoni një seksion që kalon nga një pikë K, pika e brendshme e seksionit diagonal A.A. 1 C 1 C, dhe pingul me vijën BB 1 .

18. Perpendikulare dhe e zhdrejtë

Opsioni 1

1. Jepet një aeroplan a. Nga pika A dy të prirur AB= 20 cm dhe A.C.= 15 cm Projeksioni i planit të parë të pjerrët në këtë rrafsh është 16 cm.

2. Nga një pikë M, që nuk i përket rrafshit g, tërhiqen drejt tij pjerrësi të barabarta të pjerrëta M.A., M.B. Dhe M.C.. Vërtetoni se bazat e atyre të pjerrëta i përkasin të njëjtit rreth. Gjeni qendrën e saj.

3. Nga një pikë B dy plane të barabarta të pjerrëta 2 cm tërhiqen në planin b. Këndi midis tyre është 60 0, dhe midis projeksioneve të tyre - 90 0. Gjeni pingulën e rënë nga pika B në aeroplan b.

4. Jepet një trekëndësh me brinjë 13 cm, 14 cm dhe 15 cm M, që nuk i përket rrafshit të këtij trekëndëshi, është 5 cm larg brinjëve të trekëndëshit Gjeni pingulën e rënë nga pika M në rrafshin e trekëndëshit të dhënë.

Opsioni 2

1. Nga një pikë A i tërhequr në rrafsh a i prirur AB= 9 cm dhe pingul A.O.= 6 cm Gjeni projeksionin e kësaj pingule mbi atë të pjerrët.

2. Gjeni vendndodhjen e pikave në hapësirë ​​të barabarta nga të gjitha pikat në një rreth të caktuar.

3. Nga një pikë e caktuar, dy pjerrësi të barabarta të pjerrëta tërhiqen në një plan të caktuar, duke formuar një kënd prej 60 0 ndërmjet tyre. Këndi midis projeksioneve të tyre është i drejtë. Gjeni këndin midis secilës zhdrejtë dhe projeksionit të saj.

4. Pika M largësia nga çdo kulm i një trekëndëshi të rregullt nga
cm, dhe nga secila anë - 2 cm Gjeni pingulin e rënë nga pika M në rrafshin e trekëndëshit.

19. Këndi ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Në një piramidë, brinjët anësore janë të prirura në mënyrë të barabartë me rrafshin e bazës. Në cilën pikë është parashikuar maja e piramidës?

2. Në një kub A… D A.A. 1 dhe aeroplan AB 1 D 1 .

3. Vizatohet një vijë e pjerrët në planin a M.H. (H i përket rrafshit a). Vërtetoni se nëse projeksioni është i zhdrejtë M.H. formon kënde të barabarta me kënde të drejta A.H. Dhe B.H., i shtrirë në aeroplan a, pastaj i prirur M.H. formon kënde të barabarta me to.

4. Vizatoni një vijë të drejtë në një plan të caktuar përmes një pike të caktuar në të, duke formuar një kënd prej 90 0 me rrafshin.

Opsioni 2

1. Vërtetoni se në një piramidë të rregullt skajet anësore janë të prirur njësoj me rrafshin e bazës.

2. Në një kub A… D 1 gjeni kosinusin e këndit midis skajit A 1 D 1 dhe aeroplan AB 1 D 1 .

3. Vizatohet një vijë e pjerrët në planin b B.P. (P i përket rrafshit b), i cili formon kënde të barabarta me kënde të drejta P.E. Dhe PF, i shtrirë në aeroplan b. Vërtetoni se këndet formohen nga drejtëza P.E. Dhe PF me projeksion të zhdrejtë B.P. në rrafshin b janë të barabarta.

4. Nëpër një pikë që nuk i përket këtij rrafshi, vizatoni një vijë të drejtë duke formuar një kënd prej 90 0 me rrafshin.

20. Largësia ndërmjet pikave, vijave dhe planeve

Opsioni 1

1. Në një trekëndësh kënddrejtë ABC(
C= 90 0) këmbë A.C. e barabartë me 8 cm nga lart B në rrafshin e këtij trekëndëshi vizatohet një pingul BD. Distanca midis pikave A Dhe Dështë e barabartë me 10 cm D tek këmba A.C..

2. Në një kub njësi A… D A dhe: a) maja C 1 ; b) buzë CC 1 ; c) buzë BB 1 C 1 C.

3. Pika M largësia nga të gjitha kulmet e një trekëndëshi kënddrejtë a. Hipotenuza e një trekëndëshi është e barabartë me c. Gjeni distancën nga pika M në rrafshin e trekëndëshit të dhënë.

4. Në një kub A… D 1 me brinjë a AB Dhe B 1 C 1 .

Opsioni 2

1. Këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë ABC(C= 90 0) janë të barabarta me 15 cm dhe 20 cm nga lart C vizatohet një pingul me rrafshin e trekëndëshit CD e barabartë me 5 cm Gjeni distancën nga pika D te hipotenuza AB.

2. Në një kub njësi A… D 1 gjeni distancën midis kulmit D 1 dhe: a) maja B; b) buzë AB; c) buzë BB 1 C 1 C.

3. Nga një pikë K një pingul me gjatësi d dhe vizatohen dy të pjerrëta, këndet e të cilave me pingulen janë 30 0. Këndi midis atyre të pjerrëta është 60 0. Gjeni distancën midis bazave të atyre të pjerrëta.

4. Në një kub A… D 1 me brinjë a gjeni distancën midis skajeve të kryqëzuara DC Dhe BB 1 .

21. Këndi dihedral

Opsioni 1

a. Gjeni projeksionin ortogonal të këtij rrafshi të pjerrët në rrafsh nëse këndi midis planit të pjerrët dhe rrafshit është 30 0.

2. Dy pika janë marrë në një faqe të një këndi dihedral A Dhe B. Perpendikularët janë hequr prej tyre A.A. 1 , BB 1 në anën tjetër dhe A.A. 2 , BB 2 për buzë të këndit dihedral. Gjeni BB 2 nëse A.A. 1 = 6 cm, BB 1 = 3 cm, A.A. 2 = 24 cm.

3. Dy drejtkëndësha të barabartë kanë një brinjë të përbashkët dhe rrafshet e tyre formojnë një kënd prej 45 0. Gjeni raportin e sipërfaqeve të dy figurave në të cilat projeksioni ortogonal i brinjës së njërit drejtkëndësh ndan tjetrin.

4. Vërtetoni se pingulët e tërhequr nga pikat e një drejtëze të caktuar në një rrafsh shtrihen në të njëjtin rrafsh dhe vendndodhja gjeometrike e bazave të këtyre pingulave është drejtëza e kryqëzimit të këtyre rrafsheve.

Opsioni 2

1. Vija e pjerrët e tërhequr në rrafsh është e barabartë me a. Gjeni projeksionin ortogonal të këtij rrafshi të pjerrët në rrafsh nëse këndi midis planit të pjerrët dhe rrafshit është 60 0.

2. Janë marrë dy pika në njërën faqe të një këndi dykëndor, të vendosura në një distancë prej 9 cm dhe 12 cm nga skaji i tij pika e dytë.

3. Dy trekëndësha dykëndësh kanë një bazë të përbashkët dhe rrafshet e tyre formojnë një kënd prej 60 0. Baza e përbashkët është 16 cm, brinja e njërit trekëndësh është 17 cm dhe brinjët e tjetrit janë pingul. Gjeni distancën midis kulmeve të trekëndëshave që shtrihen përballë një baze të përbashkët.

4. Vërtetoni se pika e prerjes së projeksioneve ortogonale të dy drejtëzave në një rrafsh është projeksioni ortogonal i pikës së prerjes së këtyre drejtëzave në të njëjtin rrafsh.

22. Perpendikulariteti i planeve

Opsioni 1

1. Jepet një kub A… D ABD Dhe DCC 1 ; b) AB 1 C 1 dhe ABB 1 .

2. Nëpër një vijë të caktuar që shtrihet në një rrafsh të caktuar, vizatoni një rrafsh pingul me këtë rrafsh.

3. Dy rrafshe pingul a dhe b priten drejtvizore AB. Drejt CD shtrihet në rrafshin a, paralel AB dhe ndodhet në një distancë prej 60 cm nga ajo. Pika E i përket rrafshit b dhe ndodhet në një distancë prej 91 cm nga AB. Gjeni distancën nga pika E në një vijë të drejtë CD.

4. Vërtetoni se vija a dhe plani a, pingul me të njëjtin rrafsh b, janë paralel nëse drejtëza a nuk shtrihet në rrafshin a.

Opsioni 2

1. Jepet një kub A… D 1. Vërtetoni pingulitetin e rrafsheve: a) A.A. 1 D 1 Dhe D 1 B 1 C 1 ; b) A 1 B 1 D Dhe BB 1 C 1 .

2. Nëpër planin e pjerrët, vizatoni një rrafsh pingul me këtë rrafsh.

3. Segmenti MN ka skaje në dy rrafshe pingul dhe bën kënde të barabarta me to. Vërtetoni se pikat M Dhe N po aq larg nga vija e kryqëzimit të këtyre planeve.

4. Vërtetoni se dy rrafshe a dhe b janë paralele nëse janë pingul me rrafshin g dhe e presin atë përgjatë drejtëzave paralele.

23*. Dizajn qendror

Punë e pavarur N 1

Opsioni 1

1. Gjatë projektimit qendror, ku shkon vija e drejtë paralele me rrafshin e projektimit?

2. Figura e sheshtë shtrihet në një rrafsh paralel me rrafshin e projektimit dhe është midis qendrës dhe planit të projektimit. Si përcaktohet koeficienti i ngjashmërisë ndërmjet një figure dhe projeksionit të saj?

R. Një rrafsh paralel me bazën është tërhequr përmes mesit të lartësisë. Gjeni zonën e prerjes tërthore.

4. Në një piramidë trekëndore ABCD(Fig. 12) përmes pikave M Dhe N, që i përkasin përkatësisht fytyrave ABD Dhe BCD, vizatoni një seksion paralel me skajin A.C..

Opsioni 2

1. Në cilin rast projeksioni qendror i dy drejtëzave do të jetë dy drejtëza paralele?

2. Një figurë e rrafshët shtrihet në një rrafsh paralel me rrafshin e projeksionit. Rrafshi i projektimit ndodhet ndërmjet qendrës së projektimit dhe rrafshit të figurës së dhënë. Si përcaktohet koeficienti i ngjashmërisë midis një figure dhe projeksionit të saj?

3. Rrezja e bazës së konit është e barabartë me R. Ai është i prerë nga një rrafsh paralel me bazën dhe duke ndarë lartësinë e konit në lidhje m:n, duke numëruar nga lart. Gjeni zonën e prerjes tërthore.

4. Në një piramidë trekëndore ABCD(Fig. 13) përmes një pike M, që i përket lartësisë së piramidës BËJ, vizatoni një seksion paralel me fytyrën BCD.

Punë e pavarur N 2

Opsioni 1

1. Drejtpërdrejt mS. Vizatoni projeksionin qendror të një pjese të një vije të caktuar që ndodhet në të njëjtën gjysmëhapësirë ​​me një pikë S në lidhje me planin p.

A… D A.A. 1 C 1 .

3. Vizatoni projeksionin qendror të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor në një rrafsh paralel me bazat e tij.

4. Jepet një piramidë e rregullt katërkëndore SABCD, këndi dihedral i të cilit në bazë është i barabartë me 60 0. Gjeni distancën midis vijave AB Dhe S.C., Nëse AB= 1.

Opsioni 2

1. Drejtpërdrejt m kryqëzon rrafshin projektues p dhe nuk kalon nëpër qendrën e projektimit S. Vizatoni projeksionin qendror të një pjese të një drejtëze të caktuar që ndodhet në gjysmëhapësira të ndryshme me një pikë S në lidhje me planin p.

2. Vizatoni projeksionin qendror të kubit A… D 1 në një rrafsh paralel me rrafshin AB 1 C 1 .

3. Vizatoni projeksionin qendror të një prizmi të rregullt gjashtëkëndor në një rrafsh jo paralel me bazat e tij.

4. Jepet një prizëm i rregullt trekëndor A… C 1, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta me 1. Gjeni distancën midis vijave A.A. 1 dhe B.C. 1 .

24. Kënde poliedrike

Opsioni 1

1. Shkruani në çfarë kushtesh këndet a, b dhe g mund të jenë kënde të rrafshët të një këndi trekëndor.

2. B këndi trekëndor të gjitha këndet e rrafshët janë kënde të drejta. Në skajet e saj, segmente prej 2 cm, 4 cm, 6 cm janë hedhur nga lart dhe një aeroplan është tërhequr nëpër skajet e tyre. Gjeni zonën e seksionit që rezulton.

3. Përgjatë sa vijave kryqëzohen në çifte rrafshet e të gjitha faqeve të një këndi katërkëndor?

Opsioni 2

1. Dy kënde të rrafshët të një këndi trekëndor janë të barabartë me a dhe b, dhe a > b. Shkruani kufijtë brenda të cilëve janë të mundshme vlerat e këndit të planit të tretë g të një këndi të caktuar trekëndor.

2. Në një kënd trekëndor gjithçka kënde dihedrale– drejt. Nga kulmi i këtij këndi në rajonin e tij të brendshëm është tërhequr një segment, projeksionet e të cilit në skajet janë të barabarta. a, b Dhe c. Gjeni këtë segment.

3. Përgjatë sa vijave kryqëzohen në çift rrafshet e të gjitha faqeve të një këndi pesëkëndor?

25*. Polyedra konvekse

Opsioni 1

n-prizmi i qymyrit: a) konveks; b) jokonveks.

2. Vizatoni një shumëfaqësh konveks me 5 kulme.

3. Në një poliedron konveks, numri i fytyrave Г është i njohur dhe secila faqe ka të njëjtin numër brinjësh n. Gjeni numrin e: a) këndeve të rrafshët (
); b) skajet (P) të një poliedri të caktuar. Si lidhen numrat dhe P?

4. Polyedron konveks ka kulme B, skaje P dhe faqe G. E prenë m-këndi i faqeve. Gjeni numrin e kulmeve, skajeve dhe faqeve të shumëkëndëshit që rezulton.

Opsioni 2

1. Përcaktoni numrin e kulmeve (V), skajeve (P) dhe faqeve (D) n-piramida e qymyrit: a) konveks; b) jokonveks.

2. Vizatoni një shumëfaqësh konveks me 6 kulme.

3. Në një shumëfaqësh konveks, numri i kulmeve B është i njohur dhe i njëjti numër skajesh konvergojnë në secilën kulm. m. Gjeni numrin e: a) këndeve të rrafshët (); b) skajet e një poliedri të caktuar (P). Si lidhen numrat dhe P?

4. Një shumëfaqësh konveks ka kulme B, skaje P dhe faqe T. Tek e tija n- një piramidë u ndërtua në faqen e qymyrit. Gjeni numrin e kulmeve, skajeve dhe faqeve të shumëkëndëshit të ri.

26*. Teorema e Euler-it

Opsioni 1

1. Vizatoni një shumëkëndësh jo konveks për të cilin vlen teorema e Euler-it.

3. Vërtetoni se në çdo shumëfaqësh konveks me kulme B, P tehe dhe G faqe vlen pabarazia e mëposhtme: 3B – 6 R.

4. Gjeni faqen e bazës së një piramide të rregullt trekëndore me lartësi h dhe buzë anësore b.

Opsioni 2

1. Vizatoni një shumëfaqësh jo konveks për të cilin nuk vlen teorema e Euler-it.

2. Vërtetoni se për çdo shumëfaqësh konveks relacioni është i vërtetë

3. Vërtetoni se në çdo shumëfaqësh konveks me kulme B, skajet P dhe G faqe vlen pabarazia e mëposhtme: 3G – 6 P.

4. Gjeni lartësinë e një piramide të rregullt trekëndore me anën e bazës a dhe lartësia e skajit anësor h.

27. Polyedra të rregullta

Opsioni 1

1. Vizatoni: a) zhvillimin e një katërkëndëshi; b) një shumëfaqësh i dyfishtë në një gjashtëkëndor.

2. Ndërtoni një seksion të tetëkëndëshit me një rrafsh që kalon në njërën nga kulmet e tij dhe mes pikave të dy skajeve paralele të cilave kjo kulm nuk i përket. Përcaktoni llojin e seksionit.

3. Në një katërkëndësh ABCD një prizëm i rregullt trekëndor me skaje të barabarta është i gdhendur në atë mënyrë që kulmet e njërës prej bazave të tij të jenë në skajet anësore pas Krishtit, BD, CD, dhe tjetra - në aeroplan ABC. Buza e një tetraedri është a. Gjeni skajin e prizmit.

4. Në një katërkëndësh ABCD M- lartësia e mesme BËJ katërkëndësh, paralel me rrafshin e fytyrës ADC. Përcaktoni llojin e seksionit.

Opsioni 2

1. Vizatoni: a) zhvillimin e një kubi; b) një shumëfaqësh i dyfishtë me një katërkëndor.

2. Ndërtoni një seksion të tetëkëndëshit me një rrafsh që kalon nëpër dy nga skajet e tij paralele. Përcaktoni llojin e seksionit.

3. Një kub është i gdhendur në një tetëkëndësh në mënyrë të tillë që kulmet e tij të jenë në skajet e tetëkëndëshit. Buza e oktaedrit është a. Gjeni skajin e kubit.

4. Në një katërkëndësh ABCD vizatoni një seksion me një rrafsh që kalon nëpër pikë M, që i përket fytyrës ABC paralel me rrafshin e fytyrës BCD. Përcaktoni llojin e seksionit.

28*. Polyedra gjysmë të rregullta

Opsioni 1

1. Gjeni numrin e kulmeve (B), skajeve (P) dhe faqeve (D) të një gjashtëkëndëshi të cunguar.

2. Si mund të merret një antiprizëm 5-gonal?

3. Vizatoni një shumëfaqësh të dyfishtë në një prizëm të rregullt gjashtëkëndor.

4. Trekëndësh i rregullt ABC dhe një trekëndësh tjetër ADC kanë një anë të përbashkët A.C. dhe janë të vendosura në plane të ndryshme, këndi ndërmjet të cilëve është 30 0. Kulmi D projektuar në mënyrë ortogonale në rrafshin e trekëndëshit ABC në qendër të saj. Lartësia e një trekëndëshi të rregullt është h. Gjeni anën pas Krishtit trekëndëshi ADC.

Opsioni 2

1. Gjeni numrin e kulmeve (B), brinjëve (P) dhe faqeve (D) të oktaedrit të cunguar.

2. Si mund të merret një antiprizëm tetëkëndor?

3. Vizatoni një shumëfaqësh të dyfishtë në antiprizmin 6-gonal.

4. Sheshi ABCD dhe trekëndësh ABE kanë një anë të përbashkët AB dhe janë të vendosura në plane të ndryshme, këndi ndërmjet të cilëve është 45 0. Kulmi E trekëndëshi është projektuar në mënyrë ortogonale në rrafshin e katrorit në qendër të tij O. Lartësia E.H. trekëndëshi është i barabartë h. Gjeni sipërfaqen e projeksionit ortogonal të trekëndëshit në rrafshin e katrorit dhe projeksionin ortogonal të segmentit O.E. në rrafshin e trekëndëshit.

29*. poliedra yjesh

Opsioni 1

1. Si të merrni një yll Kepleri nga një oktaedron?

2. Gjeni numrin e kulmeve (B), brinjëve (P) dhe faqeve (D) të dodekaedrit të vogël yjor.

3. Si fitohet një kub i cunguar nga një kub? Me sa është skaji i tij nëse buza e kubit është e barabartë me a?

4. Vërtetoni se nëse një rrafsh pret një piramidë trekëndore dhe është paralel me dy skajet e saj të kryqëzuara, atëherë seksioni do të jetë një paralelogram.

Opsioni 2

1. Si të merrni një yll Kepleri nga një gjashtëkëndor?

2. Gjeni numrin e kulmeve (B), brinjëve (P) dhe faqeve (D) të dodekaedrit të madh.

3. Si fitohet një kuboktaedron nga një kub? Me sa është skaji i tij nëse buza e kubit është e barabartë me a?

4. Vërtetoni se një katërkëndor i rregullt mund të pritet nga një rrafsh në mënyrë të tillë që seksioni kryq të rezultojë në një katror.

30*. Kristalet - poliedrone natyrore

Opsioni 1

1. Vizatoni një kristal guri.

2. Vizatoni një dodekaedron rombik. Sa është numri i kulmeve, skajeve dhe faqeve të tij?

3. Gjeni shumën e të gjitha këndeve planare të një kristali spar të Islandës.

4. Gjeni shumën e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të një kristali diamanti (në formën e një kuboktaedri), nëse skaji i tij është i barabartë me a.

Opsioni 2

1. Vizatoni një kristal spar të Islandës.

2. Vizatoni një dodekaedron rombik. Përcaktoni numrin e këndeve të tij të rrafshët, këndeve dykëndore; këndet poliedrike dhe llojet e tyre.

3. Gjeni shumën e të gjitha këndeve planare të një kristali granati.

4. Gjeni shumën e sipërfaqeve të të gjitha faqeve të një kristali diamanti (në formën e një oktaedri të cunguar), nëse skaji i tij është i barabartë me a.

31. Sferë dhe top. Pozicioni relativ i sferës dhe rrafshit

Opsioni 1

1. Një sferë rrezja e së cilës është 10 cm, pritet nga një rrafsh i vendosur në një distancë prej 9 cm nga qendra. Gjeni zonën e prerjes tërthore.

2. Seksione të një topi me rreze R r 1 dhe r 2. Gjeni distancën midis këtyre avionëve nëse ndodhen përgjatë anët e ndryshme nga qendra.

3. Brinjët e trekëndëshit prekin sferën. Gjeni distancën nga qendra e sferës në rrafshin e trekëndëshit nëse rrezja e sferës është 5 cm dhe brinjët e trekëndëshit janë 12 cm, 10 cm, 10 cm.

4. Secila anë e rombit prek një sferë me rreze 10 cm Rrafshi i rombit është 8 cm larg qendrës së sferës.

Opsioni 2

1. Një rrafsh vizatohet pingul me të përmes mesit të rrezes së topit. Si lidhet zona e rrethit të madh të një topi të caktuar me zonën e seksionit që rezulton?

2. Seksione të një topi me rreze R dy plane paralele kanë rreze r 1 dhe r 2. Gjeni distancën midis këtyre planeve nëse ndodhen në të njëjtën anë të qendrës.

3. Anët e rombit prekin një sferë me rreze 13 cm Gjeni distancën nga rrafshi i rombit deri në qendrën e sferës nëse diagonalet e rombit janë 30 cm dhe 40 cm.

4. Një rrafsh vizatohet në fund të rrezes së topit, duke bërë 30 0 me të. Gjeni zonën e prerjes tërthore të sferës me këtë plan nëse rrezja e sferës është 6 cm.

32. Polyedra e gdhendur në një sferë

Opsioni 1

1. Rendisni vetitë që duhet të plotësojë një prizëm për të përshkruar një sferë rreth tij.

2. Figura 14 tregon një piramidë trekëndore ABCD, e cila ka një avantazh D.B. pingul me rrafshin ABC dhe këndi ACBështë e barabartë me 90 0. Gjeni qendrën e sferës së përshkruar rreth kësaj piramide.

3. Në një piramidë të rregullt katërkëndëshe SABCD ana e bazës ABCD e barabartë me 4 cm, këndi dihedral në bazën 45 0. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar. Ku do të jetë qendra e saj?

4. Rrezja e një sfere të rrethuar rreth një prizmi të rregullt katërkëndor është e barabartë me R. Gjeni lartësinë e këtij prizmi, duke ditur se diagonalja e tij formon një kënd a me faqen e tij anësore.

Opsioni 2

1. Rendisni vetitë që duhet të plotësojë një piramidë për të përshkruar një sferë rreth saj.

2. Figura 15 tregon një piramidë ABCD, këndet e të cilit A.D.B., ADC Dhe BDC drejt. Gjeni qendrën e sferës së përshkruar rreth kësaj piramide.

3. Në një piramidë të rregullt trekëndore SABC qendra e sferës së rrethuar e ndan lartësinë në pjesë të barabarta me 6 cm dhe 3 cm Gjeni anën e bazës ABC piramidat.

4. Në një prizëm të rregullt me ​​4 kënd, diagonalja e bazës dhe diagonalja e faqes anësore janë përkatësisht 16 cm dhe 14 cm Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.

33. Polyedra e përshkruar rreth një sfere

Opsioni 1

1. A është e mundur të futet një sferë në një piramidë, këndet dykëndëshe të së cilës në bazë janë të barabarta? Shpjegoni përgjigjen tuaj.

2. Pranë sferës përshkruhet një prizëm i drejtë, baza e së cilës është një romb me diagonale 6 cm dhe 8 cm Gjeni sipërfaqen e bazës dhe lartësinë e prizmit.

3. Ana e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore është e barabartë me a, këndi dihedral në bazë është 60 0. Gjeni rrezen e sferës së brendashkruar.

4. Anët e bazave të një piramide të rregullt 4-këndore janë 1 cm dhe 7 cm. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.

Opsioni 2

1. Çfarë vetish duhet të ketë një drejtëz? prizëm trekëndor, në mënyrë që një sferë të mund të brendashkruhet në të?

2. Në bazën e piramidës shtrihet një trekëndësh dykëndësh, secili kënd i barabartë i të cilit është i barabartë me a dhe baza e të cilit është e barabartë me a. Faqet anësore të piramidës janë të prirura në rrafshin e bazës në një kënd b. Gjeni rrezen e sferës së gdhendur në këtë piramidë.

3. Gjeni rrezen e topit të gdhendur në piramida e saktë, lartësia e të cilit është e barabartë h, dhe këndi dihedral në bazë është 45 0.

4. Në një piramidë të rregullt trekëndore të cunguar, lartësia është 17 cm, rrezet e rrathëve të rrethuar rreth bazave janë 5 cm dhe 12 cm Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.

34. Cilindri. Koni

Opsioni 1

1. Në një cilindër, rrezja e bazës së të cilit është 4 cm dhe lartësia 6 cm, vizatohet një seksion paralel me boshtin. Distanca ndërmjet diagonales së prerjes tërthore dhe boshtit të cilindrit është 2 cm.

2. Një seksion është tërhequr përmes majës së konit në një kënd prej 60 0 me bazën e tij. Gjeni distancën nga qendra e bazës së konit në rrafshin e seksionit nëse lartësia e konit është 12 cm.

3. Pika M i përket lartësisë së konit. Pika N i përket rrafshit të bazës së konit, por ndodhet jashtë kësaj baze. Ndërtoni pikën e kryqëzimit të vijës MN me sipërfaqen e një koni.

4. Diagonalet seksioni boshtor koni i cunguar janë pingul, lartësia është 2 cm Gjeni zonën e prerjes tërthore të një koni të cunguar të tërhequr në mes të lartësisë paralele me bazat.

Opsioni 2

1. Lartësia e cilindrit është 15 cm, rrezja e bazës është 10 cm. Jepet një segment, skajet e të cilit i përkasin rrathëve të të dy bazave dhe gjatësia e tij është 3
cm Gjeni distancën ndërmjet këtij segmenti dhe boshtit të cilindrit.

2. Një seksion është tërhequr përmes majës së konit në një kënd prej 30 0 ndaj lartësisë së tij. Gjeni zonën e prerjes tërthore nëse lartësia e konit është 3
cm, dhe rrezja e bazës është 5 cm.

3. Seksioni boshtor është i specifikuar në kon. Pikat K Dhe L i përkasin dy gjeneratorëve të konit që nuk shtrihen në këtë seksion. Ndërtoni pikën e kryqëzimit të vijës KL me rrafshin e një seksioni boshtor të dhënë.

4. Rrezet e bazave të një koni të cunguar janë në raport 1:3, gjeneratori bën një kënd 45 0 me rrafshin e bazës, lartësia është h. Gjeni sipërfaqen e bazave.

35. Kthesë. Shifrat e rrotullimit

Opsioni 1

1. Vizatoni formën që fitohet duke rrotulluar katrorin ABCD rreth një vije të drejtë a, duke kaluar nëpër kulm B BD.

2. Vizatoni një figurë që fitohet duke rrotulluar një rreth rreth një tangjente.

3. Lakorja jepet nga ekuacioni y = mëkat x, 0 x fq. Vizatoni formën që do të rezultojë kur kjo kurbë rrotullohet rreth një boshti Oy.

4. Aeroplani kalon nëpër boshtin e cilindrit, dhe zona e seksionit boshtor të cilindrit lidhet me zonën e bazës së tij si 4: p. Gjeni këndin midis diagonaleve të seksionit boshtor.

Opsioni 2

1. Vizatoni formën që fitohet duke rrotulluar rombin ABCD rreth një vije të drejtë a, duke kaluar nëpër kulm C Dhe diagonale pingul A.C..

2. Vizatoni një figurë që fitohet duke rrotulluar një rreth rreth një korde që nuk është diametër.

3. Lakorja jepet nga ekuacioni y =
, 0 x 4. Vizatoni formën që do të fitohet duke e rrotulluar këtë kurbë rreth boshtit kau.

4. Lartësia e konit është 20 cm, këndi midis tij dhe gjeneratorit është 60 0. Gjeni sipërfaqen e prerjes tërthore të tërhequr përmes dy gjeneratorëve reciprokisht pingulë të konit.

36. Cilindra të brendashkruar dhe të rrethuar

Opsioni 1

1. Një cilindër është i gdhendur në një sferë me rreze 10 cm, diagonalja e seksionit boshtor të së cilës është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 30 0 . Gjeni lartësinë e cilindrit dhe rrezen e bazës së tij.

2. Gjeni rrezen e bazës së cilindrit të rrethuar rreth një sfere me rreze R.

r, brendashkrohet një prizëm i rregullt trekëndor. Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit që kalon përmes boshtit të cilindrit dhe buzës anësore të prizmit.

r, përshkruhet një prizëm i rregullt katërkëndor. Gjeni zonën e fytyrave të saj.

Opsioni 2

1. Një cilindër është i gdhendur në një sferë, gjenerata e së cilës është 8 cm dhe diagonalja e seksionit boshtor është e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 0. Gjeni rrezet e sferës dhe bazën e cilindrit.

2. Gjeni gjeneratën e një cilindri të rrethuar rreth një sfere me rreze R.

3. Në një cilindër barabrinjës (lartësia e barabartë me diametrin e bazës), rrezja e të cilit është e barabartë me r, brendashkrohet një prizëm i rregullt katërkëndor. Gjeni zonën e prerjes tërthore të prizmit që kalon përmes boshtit të cilindrit dhe buzës anësore të prizmit.

4. Pranë një cilindri barabrinjës, rrezja e bazës së të cilit është r, përshkruhet një prizëm i rregullt trekëndor. Gjeni zonën e fytyrave të saj.

37*. Seksionet e një cilindri nga një aeroplan. Elipsa

Opsioni 1

1. Vizatoni një cilindër dhe një elipsë, që është pikëprerja e sipërfaqes anësore të cilindrit me një rrafsh që formon një kënd prej 45 0 me bazën e cilindrit.

2. Sipërfaqja anësore cilindri është i prerë nga një rrafsh që formon një kënd prej 30 0 me boshtin e cilindrit. Gjeni boshtin kryesor të elipsit të marrë në prerje tërthore nëse rrezja e bazës së cilindrit është e barabartë me R.

3. Rrafshi pret sipërfaqen anësore të cilindrit dhe formon një kënd prej 30 0 me rrafshin e bazës. Gjeni distancën ndërmjet vatrave të elipsës të fituar në prerje tërthore nëse rrezja e bazës së cilindrit është 3 cm.

R, prehet nga një rrafsh që formon një kënd prej 45 0 me bazën e cilindrit. Gjeni shumën e distancave nga pikat e elipsës të marra në seksionin deri te vatra.

Opsioni 2

1. Vizatoni një cilindër dhe një elipsë, që është pikëprerja e sipërfaqes anësore të cilindrit me një rrafsh që formon një kënd prej 60 0 me bazën e cilindrit.

2. Në cilin kënd me rrafshin e bazës së cilindrit duhet të vizatohet rrafshi për të fituar një elipsë në pjesën e sipërfaqes anësore, boshti kryesor i së cilës është dy herë më i madh se ai i vogël?

3. Rrafshi pret sipërfaqen anësore të cilindrit dhe formon një kënd prej 45 0 me rrafshin e bazës. Gjeni distancën ndërmjet vatrave të elipsës të fituar në prerje tërthore nëse rrezja e bazës së cilindrit është 2 cm.

4. Cilindri rrezja e bazës së të cilit është R, prehet nga një rrafsh që formon një kënd prej 30 0 me bazën e cilindrit. Gjeni shumën e distancave nga pikat e elipsës të marra në seksion në vatra.

38. Kone të brendashkruara dhe të rrethuara

Opsioni 1

1. Një kon është brendashkruar në një sferë me rreze 4 cm. Gjeni lartësinë e këtij koni dhe rrezen e bazës së tij nëse këndi në majë të seksionit boshtor është 60 0 .

2. Rrezja e bazës së konit është e barabartë me r, gjeneratori është i prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 0. Gjeni rrezen e sferës së gdhendur në kon.

3. A është e mundur të vendoset në një kon një piramidë 4-gonale, këndet e bazës së së cilës janë të lidhura vazhdimisht si: a) 1:5:9:7; b) 4:2:5:7?

4. Baza e piramidës është një trapez izoscelular me baza 8 cm dhe 18 cm; Këndet dihedrale në bazën e piramidës janë të barabarta. Një kon është gdhendur në piramidë. Gjeni rrezen e bazës së konit dhe lartësinë e tij nëse buza anësore më e vogël e piramidës bën një kënd prej 60 0 me anën më të vogël të trapezit.

Opsioni 2

1. Në një kon, gjeneratori është 15 cm dhe bën një kënd prej 60 0 me bazën. Gjeni rrezen e sferës së rrethuar.

2. Një sferë është e gdhendur në një kon, rrezja e së cilës është R. Gjeni rrezen e bazës së konit nëse këndi në majë të seksionit boshtor është 60 0 .

3. A është e mundur të përshkruhet një piramidë 4-gonale pranë një koni, në të cilën anët e bazës janë të lidhura vazhdimisht si: a) 5: 6: 8: 7; b) 3:10:15:7?

4. Baza e piramidës është një trekëndësh kënddrejtë; brinjët anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën, dhe fytyrat anësore, duke kaluar nëpër këmbë, bëni kënde 30 0 dhe 60 0 me bazën. Një kon përshkruhet rreth piramidës në atë mënyrë që ata të kenë një lartësi të përbashkët. Gjeni rrezen e bazës së konit nëse lartësia e piramidës është h.

39*. Seksione konike

Opsioni 1

1. Gjenerata e konit është e prirur në rrafshin e bazës së tij në një kënd prej 60 0. Rrezja e bazës së konit është e barabartë me R. Një rrafsh tërhiqet përmes qendrës së bazës në një kënd prej 60 0 me rrafshin e bazës. Gjeni rrezen e një sfere të gdhendur në një sipërfaqe konike dhe tangjente me këtë rrafsh.

2. Vizatoni një kon dhe një plan që kryqëzojnë sipërfaqen konike përgjatë një elipsi.

3. Këndi në kulmin e seksionit boshtor të konit është 90 0. Në cilin kënd me rrafshin e bazës së konit duhet të vizatohet rrafshi për të përftuar në prerjen e sipërfaqes konike: a) një elips; b) parabolë; c) hiperbolë?

4. Këndi midis boshtit të konit dhe gjeneratorit të tij është 45 0. Përmes një pike të gjeneratorit, të ndarë nga kulmi i konit në një distancë a, një plan vizatohet pingul me këtë gjeneratë. Gjeni distancën midis fokusit dhe drejtimit të parabolës që rezulton nga seksioni i sipërfaqes konike nga ky plan.

Opsioni 2

1. Këndi në kulmin e seksionit boshtor të konit është 90 0. Përmes pikës së gjeneratorit, të ndarë nga kulmi i konit në një distancë a, një plan vizatohet pingul me këtë gjeneratë. Gjeni rrezen e një sfere të gdhendur në një sipërfaqe konike tangente me këtë rrafsh.

2. Vizatoni një kon dhe një rrafsh që kryqëzojnë sipërfaqen konike përgjatë një parabole.

3. Gjenerata e konit është e prirur në rrafshin e bazës së tij në një kënd prej 60 0. Në cilin kënd me rrafshin e bazës duhet të vizatohet rrafshi që në prerjen e sipërfaqes konike të fitohet: a) një elips; b) parabolë; c) hiperbolë?

4. Këndi në kulmin e seksionit boshtor të konit është 30 0. Përmes një pike të gjeneratorit, të ndarë nga kulmi në një distancë b, një plan vizatohet pingul me këtë gjeneratë. Gjeni boshtin kryesor të elipsës që rezulton nga seksioni i sipërfaqes konike nga ky plan.

40. Simetria e figurave hapësinore

Opsioni 1

1. Për dy pika në hapësirë, gjeni pikën rreth së cilës ato janë simetrike qendrore.

2. Ndërtoni një drejtëz që është pasqyrë-simetrike me drejtëzën e dhënë në lidhje me rrafshin e dhënë a. Konsideroni raste të ndryshme.

3. Vërtetoni se me simetri boshtore, një rrafsh pingul me boshtin shndërrohet në vetvete.

4. Gjeni elementet e simetrisë së një prizmi të rregullt trekëndor.

Opsioni 2

1. Për dy pika në hapësirë, gjeni një drejtëz në lidhje me të cilën ato janë simetrike.

2. Ndërtoni një rrafsh qendror simetrik me rrafshin e dhënë në lidhje me pikën O. Konsideroni raste të ndryshme.

3. Vërtetoni se me simetri boshtore, drejtëzat pingul me boshtin shndërrohen në drejtëza edhe pingul me boshtin.

4. Gjeni elementet e simetrisë së një piramide të rregullt me ​​6 pika.

41. Lëvizjet

Opsioni 1

1. Vërtetoni se përbërja e dy lëvizjeve (ekzekutimi i tyre vijues) është lëvizje.

A Kuba A… D 1 deri në majë C 1 .

A tetraedron i rregullt ABCD deri në majë C.

4. Çfarë lloj lëvizjeje është përbërja (ekzekutimi sekuencial) i dy simetritë boshtore me boshte paralele?

Opsioni 2

1. Vërtetoni se një shndërrim i kundërt ndaj lëvizjes është gjithashtu lëvizje.

2. Gjeni lëvizjet që lëvizin majën B 1 kub A… D 1 deri në majë D.

3. Gjeni lëvizjet që lëvizin majën D tetraedron i rregullt ABCD deri në majë B.

4. Çfarë lloj lëvizjeje është përbërja (ekzekutimi sekuencial) i dy simetrive qendrore?

42*. Orientimi i sipërfaqes. Shirit Mobius

Opsioni 1

1. Sa brinjë ka sipërfaqja: a) piramida; b) prizmat; c) një shirit Möbius i përdredhur dy herë?

2. Vizatoni një shirit Mobius.

a, b(a b) duke ngjitur anët e gjatësisë a. Sa është sipërfaqja e një shiriti Mobius?

4. A është e mundur të ngjisni një sipërfaqe të njëanshme nga një gjashtëkëndësh?

Opsioni 2

1. Sa brinjë ka sipërfaqja: a) kon; b) cilindër; c) Shirit Mobius?

2. Vizatoni një shirit Möbius të përdredhur dy herë.

3. Shiriti Mobius është marrë nga një drejtkëndësh me brinjë a, b(a b) duke ngjitur anët e gjatësisë a. Sa është gjatësia e skajit të një shiriti Mobius?

4. A është e mundur të ngjisni një sipërfaqe të njëanshme nga një tetëkëndësh?

43. Vëllimi i figurave në hapësirë. Vëllimi i cilindrit

Opsioni 1

1. Seksioni boshtor i cilindrit rrethor djathtas është një katror me brinjë 3 cm Gjeni vëllimin e cilindrit.

2. Nga kubi A… D 1, buza e të cilit është e barabartë me 1, 4 prizma trekëndore priten nga rrafshet që kalojnë nëpër mes pikave të anëve ngjitur të fytyrës ABCD, paralel me skajin A.A. 1. Gjeni vëllimin e pjesës së mbetur të kubit.

3. Një prizëm trekëndor i drejtë kryqëzohet nga një rrafsh që kalon nëpër skajin anësor dhe ndan zonën e faqes anësore përballë tij në lidhje m:n. Në çfarë raporti ndahet vëllimi i prizmit?

4. Baza e paralelepipedit të drejtë është një romb, diagonalet e të cilit janë në raport 5:2. Duke ditur që diagonalet e paralelopipedit janë 17 dm dhe 10 dm, gjeni vëllimin e paralelopipedit.

Opsioni 2

1. Diagonalja e seksionit boshtor të cilindrit është 2 cm dhe e prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 0. Gjeni vëllimin e cilindrit.

2. Vëllimi i saktë prizëm gjashtëkëndor barazohet V. Përcaktoni vëllimin e një prizmi, kulmet e të cilit janë mesi i brinjëve të bazave të këtij prizmi.

3. Në çfarë raporti ndahet vëllimi i prizmit trekëndor kënddrejtë me një rrafsh që kalon nga mesi i bazave?

4. Baza e paralelepipedit të drejtë është një romb, diagonalet e të cilit janë 1 dm dhe 7 dm. Duke ditur që diagonalet e një paralelepipedi janë në raportin 13:17, gjeni vëllimin e paralelepipedit.

44. Parimi i kavalierëve

Opsioni 1

1. A është e vërtetë që dy kone që kanë baza dhe lartësi të barabarta janë të barabarta në madhësi?

1. Gjeni vëllimin e një prizmi të pjerrët sipërfaqja bazë e të cilit është e barabartë me S, dhe buza anësore b i prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 0.

3. Në një paralelipiped të pjerrët, dy faqe anësore kanë zona S 1 dhe S 2, buza e tyre e përbashkët është e barabartë a, dhe ato formojnë një kënd dihedral prej 150 0 ndërmjet tyre. Gjeni vëllimin e paralelopipedit.

4. Në një prizëm trekëndor të prirur, sipërfaqja e njërës nga faqet anësore është e barabartë me P, dhe distanca prej saj në skajin e kundërt është d. Gjeni vëllimin e prizmit.

Opsioni 2

1. A është e vërtetë që dy piramida me baza të barabarta dhe lartësi të barabarta janë të barabarta në madhësi?

2. Gjeni vëllimin e një cilindri të pjerrët, rrezja bazë e të cilit është R, dhe buza anësore b i prirur në rrafshin e bazës në një kënd prej 45 0.

3. Në një paralelipiped të pjerrët, baza dhe faqja anësore janë drejtkëndëshe dhe sipërfaqet e tyre janë përkatësisht 20 cm 2 dhe 24 cm 2. Këndi midis planeve të tyre është 30 0. Një faqe tjetër e paralelepipedit ka një sipërfaqe prej 15 cm 2. Gjeni vëllimin e paralelopipedit.

4. Në një prizëm trekëndor të pjerrët, dy faqe anësore janë pingul dhe kanë një skaj të përbashkët të barabartë me a. Zonat e këtyre fytyrave janë të barabarta S 1 dhe S 2. Gjeni vëllimin e prizmit.

45. Vëllimi i piramidës

Opsioni 1

1. Një piramidë vëllimi i së cilës është i barabartë me V, dhe në bazë shtrihet një drejtkëndësh, i prerë nga katër rrafshe, secila prej të cilave kalon nëpër majën e piramidës dhe mes pikave të anëve ngjitur të bazës. Gjeni vëllimin e pjesës së mbetur të piramidës.

2. Baza e piramidës është një trekëndësh barabrinjës me brinjë të barabartë me 1. Dy faqet anësore të saj janë pingul me rrafshin e bazës dhe e treta formon një kënd prej 60 0 me bazën. Gjeni vëllimin e piramidës.

3. Në bazën e primordiumit shtrihet një trekëndësh kënddrejtë, njëra nga këmbët e të cilit është 3 cm dhe ajo ngjitur. kënd akutështë e barabartë me 30 0. Të gjitha skajet anësore të piramidës janë të prirura në rrafshin e bazës në një kënd prej 60 0. Gjeni vëllimin e piramidës.

4. Qendrat e faqeve të një kubi, skaji i të cilit është i barabartë me 2 a, shërbejnë si kulme të oktaedrit. Gjeni vëllimin e tij.

Opsioni 2

1. Gjeni vëllimin e një piramide të rregullt katërkëndëshe nëse seksioni i saj diagonal është trekëndëshi i rregullt me anë të barabartë me 1.

2. Baza e piramidës është një drejtkëndësh, njëra faqe anësore është pingul me rrafshin bazë, dhe tre faqet e tjera anësore janë të prirura nga rrafshi bazë në një kënd prej 60 0. Lartësia e piramidës është 3 cm.

3. Faqet anësore të piramidës, në bazën e së cilës shtrihet një romb, janë të prirura nga rrafshi i bazës në një kënd prej 30 0. Diagonalet e një rombi janë 10 cm dhe 24 cm Gjeni vëllimin e piramidës.

4. Në një kub me një buzë të barabartë me a, një katërkëndor i rregullt është i gdhendur në mënyrë të tillë që kulmet e tij përkojnë me katër kulmet e kubit. Gjeni vëllimin e katërkëndëshit.

46. ​​Vëllimi i një koni

Opsioni 1

1. Diametri i bazës së konit është 12 cm, dhe këndi në kulmin e seksionit boshtor është 90 0. Gjeni vëllimin e konit.

2. Dy kone kanë një lartësi të përbashkët dhe bazat paralele. Gjeni vëllimin e pjesës së tyre të përbashkët nëse vëllimi i secilit kon është i barabartë me V.

3. Në një kon vëllimi i të cilit është i barabartë me V, mbishkruhet një cilindër. Gjeni vëllimin e cilindrit nëse raporti i diametrave të bazave të konit dhe cilindrit është 10:9.

4. Çdo buzë e një piramide të rregullt 4-gonale është e barabartë me a. Një rrafsh paralel me rrafshin e bazës së piramidës e pret piramidën e cunguar prej saj. Gjeni vëllimin e një piramide të cunguar nëse ana e seksionit është e barabartë me b.

Opsioni 2

1. Seksioni boshtor i konit është një trekëndësh kënddrejtë dykëndësh me sipërfaqe 9 cm 2. Gjeni vëllimin e konit.

2. Një kon tjetër futet në një kon në atë mënyrë që qendra e bazës së konit të brendashkruar e ndan lartësinë e këtij koni në raportin 3:2, duke llogaritur nga kulmi i konit dhe kulmi i konit të brendashkruar. koni ndodhet në qendër të bazës së këtij koni. Gjeni raportin e vëllimeve të koneve të dhëna dhe të brendashkruara.

3. Vërtetoni se nëse dy kone të barabarta kanë lartësi të përbashkët dhe plane bazë paralele, atëherë vëllimi i pjesës së tyre të përbashkët është i barabartë me vëllimin e secilit prej tyre.

4. Rrezet e bazave të konit të cunguar janë 3 cm dhe 5 cm Gjeni raportin e vëllimeve të pjesëve të konit të cunguar në të cilat ai ndahet me pjesën e mesme.

47. Vëllimi i topit dhe pjesëve të tij

Opsioni 1

1. Gjeni raportin e vëllimit të sferës me vëllimin e kubit të gdhendur në të.

2. Gjeni raportin e vëllimit të sferës me vëllimin e oktaedrit të përshkruar rreth saj.

3. Një rrafsh vizatohet në top, pingul me diametrin dhe duke e ndarë atë në pjesë të barabarta me 3 cm dhe 9 cm Gjeni vëllimet e pjesëve të topit.

4. Rrezja e sektorit sferik R, këndi në pjesën boshtore është 120 0. Gjeni vëllimin e sektorit sferik.

Opsioni 2

1. Gjeni raportin e vëllimit të sferës me vëllimin e oktaedrit të gdhendur në të.

2. Gjeni raportin e vëllimit të sferës me vëllimin e kubit të rrethuar rreth saj.

3. Në një top me rreze 13 cm, vizatohen dy seksione të barabarta paralele me rreze 5 cm në anët e kundërta të qendrës Gjeni vëllimin e shtresës sferike.

4. Gjeni vëllimin e një sektori sferik nëse rrezja e rrethit bazë të tij është 60 cm dhe rrezja e sferës është 75 cm.

48. Sipërfaqja

Opsioni 1

1. Një rrafsh që kalon nga ana e bazës së një prizmi të rregullt trekëndor dhe nga mesi i skajit të kundërt formon një kënd prej 45 0 me bazën dhe ana e bazës është e barabartë me a. Gjeni sipërfaqen anësore dhe të përgjithshme të prizmit.

2. Baza e piramidës është një katror, ​​brinja e të cilit është e barabartë me a. Dy faqet e piramidës janë pingul me bazën, dhe dy faqet anësore të mbetura janë të prirura drejt saj në një kënd prej 60 0. Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës.

3. Në një prizëm të rregullt katërkëndor, ana e bazës është e barabartë me b; seksioni i tërhequr nëpër anët e kundërta të bazave bën një kënd j me rrafshin e bazës. Gjeni sipërfaqen anësore të cilindrit të rrethuar rreth prizmit të dhënë.

4. Këndi në majë të seksionit boshtor të konit është 60 0; katrore rreth i madh, i gdhendur në këtë kon të topit, është i barabartë me P

Opsioni 2

1. Në një prizëm të rregullt me ​​4 kënd, ana e bazës është e barabartë me a. Një rrafsh i tërhequr nëpër anët e kundërta të bazave krijon një kënd prej 60 0 me njërën prej tyre. Gjeni sipërfaqen anësore dhe të përgjithshme të prizmit.

2. Dy faqet anësore të një piramide trekëndore janë pingul me bazën e saj; lartësia e piramidës është h; Këndet e planit në kulm janë 60 0, 60 0 dhe 90 0. Gjeni sipërfaqen anësore të piramidës.

3. Në një prizëm të rregullt trekëndor, buza anësore është e barabartë me b; segmenti që lidh mesin e buzës anësore me qendrën e bazës bën një kënd j me bazën. Gjeni sipërfaqen anësore të cilindrit të gdhendur në këtë prizëm.

4. Në një kon, gjeneratori bën një kënd prej 60 0 me bazën; Zona e rrethit të madh të një topi të kufizuar është P. Gjeni sipërfaqen totale të konit.

49. Sipërfaqja e topit dhe pjesëve të tij

Opsioni 1

1. Vërtetoni se sipërfaqja totale e një koni barabrinjës (seksioni boshtor është një trekëndësh barabrinjës) është i barabartë me sipërfaqen e një topi me një diametër të lartësisë së konit.

2. Gjeni sipërfaqen e një topi të gdhendur në një cilindër barabrinjës (seksioni boshtor është një katror), diagonalja e seksionit boshtor të të cilit është e barabartë me a.

3. Rrezet e bazave të rripit sferik janë 10 cm dhe 12 cm, dhe lartësia e tij është 11 cm. Gjeni sipërfaqen e brezit sferik.

4. Rrezja e segmentit të topit është e barabartë me R, harku i seksionit boshtor është 90 0. Gjeni sipërfaqen totale të segmentit.

Opsioni 2

1. Vërtetoni se nëse një kon barabrinjës (seksioni boshtor është një trekëndësh barabrinjës) dhe një hemisferë kanë një bazë të përbashkët, atëherë sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit është e barabartë me sipërfaqen e hemisferës.

2. Gjeni raportin e sipërfaqeve të dy sferave, njëra prej të cilave është e brendashkruar dhe e dyta është e rrethuar rreth një cilindri barabrinjës (seksioni boshtor është katror).

3. Rrezja e topit është 25 cm Gjeni sipërfaqet e pjesëve në të cilat ndahet sipërfaqja e topit me një seksion sipërfaqja e së cilës është 49p cm 2.

4. Lartësia e segmentit të topit është h, harku i seksionit boshtor është i barabartë me 120 0. Gjeni sipërfaqen totale të segmentit.

50. Sistemi koordinativ drejtkëndor në hapësirë

Opsioni 1

1. Ndërtoni pika duke përdorur koordinatat: A(1,2,3); B(-2,0,3); C(0,0,-4); D(3,-1,0).

2. Ndër këto pika K(-6,0,0), L(10,-5,0), M(0,6,0), N(7,-8,0), P(0,0,-20), P(0,11,-2) gjeni ato që i përkasin: a) boshtit Oy; b) sëpata Oz; c) aeroplan Oksi; d) aeroplanët Oyz.

3. Gjeni koordinatat e bazave të pinguleve të hequra nga pikat e dhëna E(6,-2,8) dhe F(-3,2,-5) në: a) bosht kau; b) aeroplan.

G.H., Nëse G(2,-3,5), H(4,1,-3).

Oxz(8,0,6), V U Oyz(20.-14.0) në lidhje me: a) rrafsh kau.

Opsioni 2

; b) sëpata E(-1,2,0); F(1,0,-4); G(2,3,-1); H(0,-2,0).

1. 1. Ndërtoni pika duke përdorur koordinatat: A(0,-1,0), B(0,1,-3), C(4,0,0), D(0,0,-5), E(-1,0,7), F 2. Ndër pikat kau; b) sëpata Oy; c) aeroplan Oyz; d) aeroplanët b) aeroplan.

(0,10,10) gjeni ato që i përkasin: a) boshtit M 3. Gjeni koordinatat e bazave të pingulëve të rënë nga pikat N(9,-1,-6) dhe Oz; Oksi.

(-12,5,8) në: a) bosht G.H., Nëse G(3,-2,4), H(5,2,-6).

4. Gjeni koordinatat e mesit të segmentit P(0,0,5), V 5. Gjeni koordinatat e pikave simetrike me pikat Oksi(20.-14.0) në lidhje me: a) rrafsh Oy.

(0,-1,-2) në lidhje me: a) rrafsh

Opsioni 1

A(2,3,4), B(1,2,3), C 51. Largësia ndërmjet pikave në hapësirë

Oz M(3,4,5) nga kulmet e trekëndëshit. N(3,0,4).

C(-1,-2,0) dhe K(1,-4,3).

x 2 + 8y + y 2 + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 2 – 6x =0.

z x 2 + y 2 + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 2 +4x – 2y 5. Sferë Oyz

Opsioni 2

=0 e prerë nga një rrafsh E(-4,-5,-6), F(-1,-2,-3), G 1. Përcaktoni nëse pikat janë

(-2,-3,-4) nga kulmet e trekëndëshit. Oy 2. Gjeni koordinatat e një pike që i përket boshtit K dhe po aq larg nga pikat L(4,-1,3).

(1,3,0) dhe C 3. Shkruani ekuacionin e një sfere me qendër në pikë H(2,-3,5).

(0,-5,6) dhe: a) rrezja 10; b) duke kaluar nëpër një pikë x 2 + y 2 + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 2 – 8(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë - 20 =0.

z x 2 + y 2 + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 2 +2x – 6(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 5. Sferë Oksi 4. Gjeni koordinatat e qendrës dhe rrezes së sferës të dhëna nga ekuacioni

. Gjeni koordinatat e qendrës dhe rrezen e rrethit që shtrihet në seksion.

Opsioni 1

52. Koordinatat vektoriale + 3 - 4 1. Gjeni koordinatat e vektorit: a) 2

; b) -5 + 10; c) - + . A(0,-5,1), B 2. Gjeni gjatësinë e vektorit: a) (1,-2,10); b) nëse

(2,0,-8); c) + nëse (6,2,-6), (2,-2,0). C 3. Gjeni koordinatat e pikës
(-5,6,8), D, nëse: a) D(-13, ,6),
(-5,0,0).

(0,-1,2); b) x, y, (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 4. Gjeni numrat =
, në mënyrë që barazia të mbahet (-5,2,-4).

Opsioni 2

, nëse (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8),

1. Gjeni koordinatat e vektorit: a) 3 - 4 + 2 ; b) -2 - ; V) -. M(0,-5,1), N 2. Gjeni gjatësinë e vektorit: a) (0,-3,2); b) nëse

(2,0,-8); c) + nëse (6,2,-6), (2,-2,0). E(2,0,-8); c) - nëse (0,-2,6), (-5,0,3). F, nëse: a) (0,-3,11), F(5,0,-9),
(-2,4,-6).

(0,-1,2); b) (5,-1,0); b), u, v w
, në mënyrë që barazia = (10,-3,2), (0,1,2).

, nëse (-30.6,-12), (5,-6.0),

Opsioni 1

53. Prodhimi pikash i vektorëve 1. Identifikoni shenjën produkt me pika vektorët dhe nëse këndi

ndërmjet tyre plotëson mosbarazimet: a) 0 0 2. Këndi ndërmjet vektorëve dhe është i barabartë me 90 0. Pse e barabartë me këndin

+
+
= 0.

ndërmjet vektorëve: a) - dhe ; b) - dhe ? ABCD 4. Në një katërkëndor të rregullt
; b)
; V)
me buzë të barabartë me 1, gjeni produktin skalar: a) H Dhe PA.C. Dhe BD.

Opsioni 2

, Ku

1. Përcaktoni se në çfarë intervali ndodhet këndi ndërmjet vektorëve dhe nëse: a) > 0.
2. Këndi ndërmjet vektorëve dhe

është e barabartë me 90 0. Sa është këndi ndërmjet vektorëve: a) dhe - ; b) - dhe - ?
=
.

ndërmjet vektorëve: a) - dhe ; b) - dhe ? ABCD 3. Vërtetoni barazinë: a) ; b) a me një buzë të barabartë me
; b)
; V)
me buzë të barabartë me 1, gjeni produktin skalar: a) E Dhe F, gjeni produktin skalar: a) B.C. Dhe pas Krishtit.

– përkatësisht mesi i brinjëve

Opsioni 1

H 54. Ekuacioni i një rrafshi në hapësirë

(-3,0,7) dhe pingul me vektorin me koordinata (1,-1,3). x – y + 3(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 2. Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të planit 2

B(3,-2,2) dhe: a) paralel me rrafshin Oyz; b) pingul me boshtin kau.

M(5,-1,3) dhe pingul me vektorin nëse N(0,-2,1).

Opsioni 2

1. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikë P(5,-1,0) dhe pingul me vektorin me koordinata (0,-6,10).

2. Gjeni koordinatat e pikës së kryqëzimit të rrafshit x + 4y - 6(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë– 7 = 0 me boshtin: a) ordinata; b) aplikoni.

3. Shkruani ekuacionin e rrafshit nëse kalon nëpër pikë C(2,-4,-3) dhe: a) paralel me rrafshin b) aeroplan; b) pingul me boshtin Oy.

4. Shkruani ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pikë E dhe pingul me vektorin (4,-5,0), nëse F(3,-1,6).

55*. Ekuacioni i një drejtëze në hapësirë

Opsioni 1

1. Gjeni vlerën d, për të cilat vija e drejtë

kalon boshtin Oz.

në mënyrë që drejtëza: a) të jetë paralele me boshtin kau; b) shtrihu në një avion b) aeroplan; c) kaloi aksin Oy.

me plane koordinative.

Opsioni 2

1. Gjeni vlerat b Dhe d, për të cilat vija e drejtë

kryqëzon rrafshin Oksi.

2. Gjeni kushtet që duhet të plotësojnë koeficientët në ekuacionet e drejtëzës

me qëllim që drejtëza: a) të përputhet me boshtin Oz; b) ishte paralel me rrafshin Oyz; c) kaloi përmes origjinës.

3. Gjeni koordinatat e pikave të prerjes së drejtëzës

me plane koordinative.

4. Shkruani ekuacionet parametrike të drejtëzës

56. Caktimi analitik i figurave hapësinore

Opsioni 1

x 2 + y 2 +(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë 2 = 1; b) x 2 = 1; V) xyz = 0.

A)
b)

3. Janë dhënë pikët A(2,5,12), B(1,0,0), C(-1,-5,4) dhe aeroplanët
Dhe , të dhëna përkatësisht nga ekuacionet 2 x – y + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë+1 = 0 dhe x – 5y –13(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë+1 = 0. Për secilin nga këto rrafshe, gjeni midis pikave të dhëna ato që shtrihen në të njëjtën anë të rrafshit me origjinën.

4. Është dhënë rrafshi 3 x – y +4(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë O(0,0,0) dhe D(2,1,0); b) E(1,2,1) dhe F(5,15,-1)?

Opsioni 2

1. Zbuloni se cilat figura gjeometrike vendos ekuacionin: a) x 2 + y 2 +(z+1) 2 = 1; b) x 2 – y 2 = 0; V) x 2 = 0.

2. Gjeni se çfarë figure gjeometrike përcakton sistemi:

A)
b)

3. Janë dhënë pikët E(-14,22,0), F(1,-5,12), G(0,0,5) dhe aeroplanët Dhe , të dhëna përkatësisht nga ekuacionet x – 2(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë+12 = 0 dhe x + 5y + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë+25 = 0. Për secilin nga këto rrafshe, gjeni midis pikave të dhëna ato që shtrihen në të njëjtën anë të rrafshit me origjinën.

4. Është dhënë rrafshi 3 x – y +4(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë+1 = 0. A janë pikat në të njëjtën anë të saj: a) A(-1,2,-5) dhe B(-15,1,0); b) K(1,
,5) dhe L(1,15,-15)?

57*. Polyedra në problemet e optimizimit

Opsioni 1

1. Kulmet e tetraedrit kanë këto koordinata: O(0,0,0), A(1,1,0), B(0,2,0),C(1,5,7). Shkruani pabarazitë që karakterizojnë rajonin e brendshëm të këtij katërkëndëshi.

2. Gjeni sipërfaqen e përcaktuar nga sistemi i mëposhtëm i pabarazive:

A)
b)

Imagjinoni atë.

3. Shkruani një sistem pabarazish që përcakton rajonin e brendshëm të një prizmi trekëndor kënddrejtë OABO 1 A 1 B 1 nëse O(0,0,0), A(0,2,0), B(0,0,2), O 1 (5,0,0). Vizatoni dhe gjeni vëllimin e tij.

(5,-1,0); b) = x + y – 2(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë + 1 në prizmin trekëndor nga problema e mëparshme.

Opsioni 2

1. Jepen kulmet e një katërkëndëshi A(-1,1,0), B(-2,2,0), C(-2,0,0), D(-1,5,7). Cila nga pikat M(2,3,-1), N(- , , ), P(0,0,1), H(- , , ) i përkasin rajonit të brendshëm të këtij katërkëndëshi?

2. Gjeni sipërfaqen e përcaktuar nga sistemi i mëposhtëm i pabarazive: a)
b)

3. Shkruani sistemin e pabarazive që përcaktojnë rajonin e brendshëm të katërkëndëshit OABC, Nëse O(0,0,0), A(5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6). Vizatoni dhe gjeni vëllimin e tij.

4. Gjeni vlerat më të mëdha dhe më të vogla të funksionit linear (5,-1,0); b)= x – y + (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë – 1 në tetraedrin nga problemi i mëparshëm.

58*. Koordinatat polare në një aeroplan

Opsioni 1

A(2, ), B(1, ), C( , ), D(3, ), E(4, ), F( , ).

2. Shkruani koordinatat karteziane të pikave G(2, ), H( , ), P(5, ), P(3,- ).

3. Gjeni koordinatat polare të kulmeve dhe pikat e kryqëzimit të diagonaleve të një katrori njësi, duke marrë njërën nga kulmet e tij si origjinë të koordinatave dhe anën që kalon nëpër kulmin e zgjedhur si bosht polar.

M(1, ), N(3, ), P( ,- ), P(, ) në lidhje me: a) boshtin polar; b) origjinën e koordinatave.

Opsioni 2

1. Vizatoni sistemi polar koordinatat e pikave A(3, ), B(5, ), C( , ), D(6, ), E(2, ), F( , ).

2. Shkruani koordinatat polare të pikave K(0,6), L(-2,0), M(-1,1), N( ,1).

3. Gjeni koordinatat polare të kulmeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt, brinja e të cilit është e barabartë me 1, duke marrë si origjinë njërën nga kulmet e tij dhe si bosht polar anën që kalon nëpër kulmin e zgjedhur.

4. Gjeni koordinatat polare të pikave simetrike me pikat G(2, ), H(3, ), R(3,- ), S( , ) në lidhje me: a) origjinën e koordinatave; b) boshti polar.

59*. Koordinatat sferike në hapësirë

Opsioni 1

1. Gjeni koordinatat karteziane të pikave të mëposhtme në hapësirë, të përcaktuara me koordinata sferike: (1,45 0 ,60 0), (2,30 0 ,90 0), (1,90 0 , 20 0).

2. Gjeni koordinatat sferike të pikave të mëposhtme në hapësirë, të dhëna me koordinatat karteziane: A(1,1, ), B(1,0,1), C(0,0,1).

3. Gjeni vendndodhjen gjeometrike të pikave në hapësirë, koordinatat sferike të të cilave plotësojnë kushtet: a) y = 45 0 ; b) j= 60 0 .

r 2; b) r 1, y 0?

Opsioni 2

1. Gjeni koordinatat karteziane të pikave të mëposhtme në hapësirë, të specifikuara me koordinata sferike: (1,-45 0,60 0), (2,30 0,-90 0), (3,-90 0, 50 0) .

2. Gjeni koordinatat sferike pikat e mëposhtme në hapësirë, të specifikuara nga koordinatat karteziane: A(2,2 ), B(-1,0,1), C(0,0,-1).

3. Gjeni vendndodhjen gjeometrike të pikave në hapësirë, koordinatat sferike të të cilave plotësojnë kushtet: a) y= 30 0 ; b) j = 90 0 .

4. Cila shifër në hapësirë ​​jepet nga mosbarazimet: a) r 1; b) r 1, - j 0?

60*. Përdorimi i programit kompjuterik "Matematika" për paraqitjen e figurave hapësinore

Opsioni 1

1. Merrni një imazh të një katërkëndëshi.

2. Kryeni veprimin e shkurtimit të katërkëndëshit dhe merrni një tetëkëndësh.

3. Si të merrni një yll Kepleri nga një tetëedron?

(-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë = xy.

Opsioni 2

1. Merrni një imazh të një kubi.

2. Kryeni operacionin e prerjes së kubit dhe merrni një kuboktaedron.

3. Si të nxjerrim një dodekaedron rombik nga një kub?

4. Merrni një imazh të sipërfaqes (-2,0,3) dhe: a) rreze; b) duke kaluar nëpër një pikë = cos x cos y.

PËRGJIGJE

Punë e pavarur N 2

B1. 4. 6. B2. 3. 10. 4. 4.

B1. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) H=14, P=21, D=9; c) B= n+1, Р=2 n, Г= n+1. 3. a) 5-gonale; b) 7-gonale; c) 3-gonale. 4. Tre ngjyra. B2. 2. a) B=8, P=12, D=6; b) B=7, P=12, G=7; c) B=2 n, Р=3 n, Г= n+2. 3. a) katërkëndësh; b) 7-gonale; c) tetëkëndësh. 4. Dy ngjyra.

B1. 3. 3. 4. 3. B2. 3. 3. 4. 3.

B1. 3. Ata kryqëzohen. B2. 3. Nr. 4. Nr.

B1. 3. Paralele.

B1. 2. Deklaratat 1), 3), 4) janë të vërteta. 4. Nëse AB || CD, Kjo A.C.|| BD; Nëse AB kryqe me CD, Kjo A.C. kryqe me BD. B2. 2. Pohimi 3) është i vërtetë. 4. Nëse AB || CD, Kjo pas Krishtit Dhe B.C. kryqëzoj; Nëse AB Dhe CD kryqëzohu, atëherë pas Krishtit Dhe B.C. kryqëzohen.

B1. 2. 26. 3. a) ; b)
; V)
me buzë të barabartë me 1, gjeni produktin skalar: a) M– mes B.C.. 4. a)
; b) ; V) . B2. 2. 24. 3. a)
; b)
; V)
me buzë të barabartë me 1, gjeni produktin skalar: a) M– mes B.A.. 4. a)
; b) ; V) .

B1. 1.
. 2. Vektori + ka të njëjtin drejtim si vektori ;
| + | = | | - | |. B2. 1.

. 2. Vektori + ka të njëjtin drejtim si vektori ; | + |=| | - | |. B1. 1. Një, nëse vija e drejtë që kalon nëpër to është paralele me drejtimin e projektimit; dy në ndryshe

. 2. Paralelizmi dhe barazia e anëve të kundërta; duke përgjysmuar diagonalet në pikën e kryqëzimit. 3. Vijat e drejta kryqëzohen dhe njëra prej tyre është paralele me drejtimin e projektimit. B2. 1. Një, nëse të gjitha pikat i përkasin një vije të drejtë paralele me drejtimin e projektimit; dy, nëse vija që kalon nëpër çdo dy nga këto pika është paralele me drejtimin e projektimit, dhe pika e tretë nuk i përket kësaj linje; tre në raste të tjera. 2. Paralelizmi dhe barazia e anëve të kundërta; duke përgjysmuar diagonalet në pikën e kryqëzimit. 3. Vija e drejtë nuk është paralele me drejtimin e projektimit dhe pika i përket vijës ose rrafshit që kalon në këtë pikë dhe vija është paralele me drejtimin e projektimit. B1. 3. Faqet e kubit nuk janë paralele me planin e projektimit dhe drejtimi i projektimit është paralel me diagonalen B.D. 4. . B2. 1. H=24, P=36, D=14. 4. . 3. Rb; b) y B Oyz. 4. a) Po; b) nr. B2. 1. a) Sferë me qendër në pikën (0,0,-1) dhe rreze 1; b) dy plane të kryqëzuara; c) aeroplan . 2. a) Paralelepiped drejtkëndëshe Oksi; b) dy drejtëza të kryqëzuara të shtrira në një rrafsh F. 3. Për : pikë E, F, G. ; për: pikë

4. a) Po; b) nr.

B1. 1. 2. a) Rajoni i brendshëm i një tetraedri me kulme (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); b) zona e brendshme

3.
V = paralelipiped drejtkëndor me kulme (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10), (5,3,10 ), (7,3,10), (7,5,10).

20. 4. 8 – më i madhi; 3 është më i vogli. N Dhe H B2. 1. Pikët

(); (); (0, stereometri. Jepni shembuj të objekteve reale... poliedra. Zhvillimi. Lista bazë konceptet Dhe aksiomat stereometria. Jepni shembuj të objekteve reale...

Rekomandime metodike

46 - 2 Hyrje. Artikulli stereometria. bazë konceptet Dhe aksiomat stereometria. Pasojat e para nga aksiomat 2 2 ... dhe ikozaedroni) 1 § 3*. Aksiomat, ligjet, rregullat 2 9. Aksiomat stereometria bazë konceptet stereometria(pika, vija e drejtë, plani, ...

Programi i punës së kursit të trajnimit "Gjeometria"

Programi i punës

... stereometria. Aksiomat stereometria. Disa përfundime nga aksiomat. Kryesor Qëllimi është të formohen idetë e nxënësve për kryesore konceptet Dhe aksiomat stereometria, e tyre...

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve