Reduktimi i fraksioneve të përziera. Vetia kryesore e një thyese

Për të kuptuar se si të zvogëlojmë thyesat, le të shohim së pari një shembull.

Të zvogëlosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin me të njëjtën gjë. Të dy 360 dhe 420 përfundojnë me një shifër, kështu që ne mund ta zvogëlojmë këtë thyesë me 2. Në thyesën e re, edhe 180 dhe 210 janë të pjestueshme me 2, kështu që ne e zvogëlojmë këtë thyesë me 2. Në numrat 90 dhe 105, shuma i shifrave është i plotpjesëtueshëm me 3, pra të dy këta numra pjesëtohen me 3, ne e zvogëlojmë thyesën me 3. Në thyesën e re, 30 dhe 35 përfundojnë me 0 dhe 5, që do të thotë që të dy numrat janë të pjesëtueshëm me 5, kështu që zvogëlojmë thyesa me 5. Thyesa rezultuese e gjashtë të shtatësave është e pakalueshme. Kjo është përgjigja përfundimtare.

Mund të arrijmë në të njëjtën përgjigje në një mënyrë tjetër.

Të dy 360 dhe 420 përfundojnë me zero, që do të thotë se janë të pjesëtueshëm me 10. Ne e zvogëlojmë thyesën me 10. Në thyesën e re, edhe numëruesi 36 edhe emëruesi 42 pjesëtohen me 2. E zvogëlojmë thyesën me 2. Në thyesën e re thyesa tjetër, si numëruesi 18 ashtu edhe emëruesi 21 ndahen me 3, që do të thotë se ne e zvogëlojmë thyesën me 3. Arritëm në rezultat - gjashtë të shtatat.

Dhe një zgjidhje tjetër.

Herën tjetër do të shohim shembuj të reduktimit të thyesave.

Pa ditur si të zvogëlohet një thyesë dhe pa pasur një aftësi të qëndrueshme në zgjidhjen e shembujve të tillë, është shumë e vështirë të studiosh algjebër në shkollë. Sa më tej të shkoni, aq më shumë informacion i ri mbivendoset mbi njohuritë bazë për reduktimin e thyesave të zakonshme. Fillimisht shfaqen fuqitë, pastaj faktorët, të cilët më vonë bëhen polinom.

Si mund të shmangni ngatërrimin këtu? Konsolidoni plotësisht aftësitë në temat e mëparshme dhe përgatituni gradualisht për njohuritë se si të zvogëloni një fraksion, i cili bëhet më kompleks nga viti në vit.

Njohuri bazë

Pa to, nuk do të jeni në gjendje të përballoni detyrat e çdo niveli. Për të kuptuar, duhet të kuptoni dy pika të thjeshta. Së pari: ju mund të zvogëloni vetëm faktorët. Kjo nuancë rezulton të jetë shumë e rëndësishme kur polinomet shfaqen në numërues ose emërues. Atëherë duhet të dalloni qartë se ku është shumëzuesi dhe ku është shtesa.

Pika e dytë thotë se çdo numër mund të përfaqësohet në formën e faktorëve. Për më tepër, rezultati i reduktimit është një thyesë, numëruesi dhe emëruesi i së cilës nuk mund të reduktohen më.

Rregullat për reduktimin e thyesave të zakonshme

Së pari, duhet të kontrolloni nëse numëruesi është i pjesëtueshëm me emëruesin ose anasjelltas. Atëherë është pikërisht ky numër që duhet reduktuar. Ky është opsioni më i thjeshtë.

E dyta është analiza e paraqitjes së numrave. Nëse të dyja përfundojnë me një ose më shumë zero, ato mund të shkurtohen me 10, 100 ose një mijë. Këtu mund të vëreni nëse numrat janë çift. Nëse po, atëherë mund ta shkurtoni me siguri nga dy.

Rregulli i tretë për zvogëlimin e një thyese është faktorizimi i numëruesit dhe emëruesit në faktorë të thjeshtë. Në këtë kohë, ju duhet të përdorni në mënyrë aktive të gjitha njohuritë tuaja për shenjat e pjesëtueshmërisë së numrave. Pas këtij zbërthimi, mbetet vetëm të gjejmë të gjitha ato që përsëriten, t'i shumëzojmë dhe t'i zvogëlojmë me numrin që rezulton.

Po sikur të ketë një shprehje algjebrike në një thyesë?

Këtu shfaqen vështirësitë e para. Sepse këtu shfaqen terma që mund të jenë identikë me faktorët. Unë me të vërtetë dua t'i zvogëloj ato, por nuk mundem. Përpara se të zvogëloni një thyesë algjebrike, ajo duhet të konvertohet në mënyrë që të ketë faktorë.

Për ta bërë këtë, do t'ju duhet të kryeni disa hapa. Ju mund t'ju duhet t'i kaloni të gjitha ato, ose ndoshta i pari do të ofrojë një opsion të përshtatshëm.

Kontrolloni nëse numëruesi dhe emëruesi ose ndonjë shprehje në to ndryshojnë sipas shenjës. Në këtë rast, ju vetëm duhet të vendosni minus një nga kllapat. Kjo prodhon faktorë të barabartë që mund të reduktohen.

Shihni nëse është e mundur të hiqni faktorin e përbashkët nga polinomi jashtë kllapave. Ndoshta kjo do të rezultojë në një kllapa, e cila gjithashtu mund të shkurtohet, ose do të jetë një monom i hequr.

Përpiquni të gruponi monomët në mënyrë që t'u shtoni më pas një faktor të përbashkët. Pas kësaj, mund të rezultojë se do të ketë faktorë që mund të reduktohen, ose përsëri kllapa e elementeve të përbashkëta do të përsëritet.

Mundohuni të merrni parasysh formulat e shkurtuara të shumëzimit me shkrim. Me ndihmën e tyre, ju lehtë mund t'i konvertoni polinomet në faktorë.

Sekuenca e veprimeve me thyesat me fuqi

Për të kuptuar lehtësisht pyetjen se si të zvogëloni një fraksion me fuqi, duhet të mbani mend fort operacionet themelore me to. E para prej tyre lidhet me shumëzimin e fuqive. Në këtë rast, nëse bazat janë të njëjta, treguesit duhet të shtohen.

E dyta është ndarja. Përsëri, për ata që kanë të njëjtat arsye, treguesit do të duhet të zbriten. Për më tepër, ju duhet të zbritni nga numri që është në divident, dhe jo anasjelltas.

E treta është fuqizimi. Në këtë situatë, treguesit shumëfishohen.

Reduktimi i suksesshëm do të kërkojë gjithashtu aftësinë për të reduktuar fuqitë në baza të barabarta. Kjo do të thotë, për të parë se katër është dy në katror. Ose 27 - kubi i tre. Sepse zvogëlimi i 9 në katror dhe 3 kubik është i vështirë. Por nëse e transformojmë shprehjen e parë si (3 2) 2, atëherë reduktimi do të jetë i suksesshëm.

Zvogëlimi i thyesave është i nevojshëm për të reduktuar thyesën në një formë më të thjeshtë, për shembull, në përgjigjen e marrë si rezultat i zgjidhjes së një shprehjeje.

Reduktimi i thyesave, përkufizimi dhe formula.

Çfarë janë thyesat reduktuese? Çfarë do të thotë të reduktosh një fraksion?

Përkufizimi:
Thyesat reduktuese- ky është pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit të një thyese me të njëjtin numër pozitiv jo të barabartë me zero dhe një. Si rezultat i zvogëlimit, fitohet një thyesë me numërues dhe emërues më të vogël, e barabartë me thyesën e mëparshme sipas.

Formula për reduktimin e thyesave vetitë themelore të numrave racionalë.

\(\frac(p \herë n)(q \herë n)=\frac(p)(q)\)

Le të shohim një shembull:
Zvogëloni thyesën \(\frac(9)(15)\)

Zgjidhja:
Ne mund të faktorizojmë një pjesë në faktorët kryesorë dhe të anulojmë faktorët e zakonshëm.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \herë 3)(5 \herë 3)=\frac(3)(5) \times \ngjyrë(e kuqe) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \herë 1=\frac(3)(5)\)

Përgjigje: pas reduktimit kemi marrë thyesën \(\frac(3)(5)\). Sipas vetive themelore të numrave racionalë, thyesat origjinale dhe rezultuese janë të barabarta.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Si të zvogëloni fraksionet? Reduktimi i një fraksioni në formën e tij të pareduktueshme.

Për të marrë një fraksion të pakalueshëm si rezultat, na duhet gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët (GCD) për numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

Ka disa mënyra për të gjetur GCD në shembullin që do të përdorim zbërthimin e numrave në faktorë të thjeshtë;

Merrni thyesën e pakalueshme \(\frac(48)(136)\).

Zgjidhja:
Le të gjejmë GCD(48, 136). Le t'i shkruajmë numrat 48 dhe 136 në faktorët kryesorë.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2 \herë 2) \herë 2 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2 \herë 2) \herë 17)=\frac(\ngjyra(e kuqe) (6) \herë 2 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (6) \herë 17)=\frac(2 \herë 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Rregulli për reduktimin e një thyese në një formë të pareduktueshme.

1. Ju duhet të gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët për numëruesin dhe emëruesin.
2. Ju duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin me pjesëtuesin më të madh të përbashkët për të marrë një thyesë të pakalueshme si rezultat i pjesëtimit.

Shembull:
Zvogëloni thyesën \(\frac(152)(168)\).

Zgjidhja:
Le të gjejmë GCD(152, 168). Le t'i shkruajmë numrat 152 dhe 168 në faktorët kryesorë.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\ngjyrë(të kuqe) (6) \herë 19)(\ngjyrë(e kuqe) (6) \herë 21)=\frac(19)(21)\)

Përgjigje: \(\frac(19)(21)\) është një thyesë e pareduktueshme.

Reduktimi i fraksioneve të pahijshme.

Si të zvogëloni një fraksion të papërshtatshëm?
Rregullat për reduktimin e thyesave janë të njëjta për thyesat e duhura dhe të papërshtatshme.

Le të shohim një shembull:
Zvogëloni thyesën e papërshtatshme \(\frac(44)(32)\).

Zgjidhja:
Le të shkruajmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë. Dhe pastaj ne do të reduktojmë faktorët e përbashkët.

\(\frac(44)(32)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2) \herë 11)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 2) \herë 2 \herë 2 \herë 2 )=\frac(11)(2 \herë 2 \herë 2)=\frac(11)(8)\)

Reduktimi i fraksioneve të përziera.

Thyesat e përziera ndjekin të njëjtat rregulla si thyesat e zakonshme. I vetmi ndryshim është se ne mundemi mos e prekni të gjithë pjesën, por zvogëloni pjesën thyesore ose Shndërroje thyesën e përzier në një thyesë të papërshtatshme, zvogëloje dhe ktheje përsëri në një thyesë të duhur.

Le të shohim një shembull:
Anuloni thyesën e përzier \(2\frac(30)(45)\).

Zgjidhja:
Le ta zgjidhim në dy mënyra:
Mënyra e parë:
Le ta shkruajmë pjesën thyesore në faktorë të thjeshtë, por nuk do ta prekim të gjithë pjesën.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5 \herë 3))(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5 \herë 3))=2\ frac(2)(3)\)

Mënyra e dytë:
Le ta kthejmë fillimisht në një thyesë të papërshtatshme dhe më pas ta shkruajmë në faktorët kryesorë dhe ta zvogëlojmë. Le ta shndërrojmë thyesën e papërshtatshme që rezulton në një thyesë të duhur.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \herë 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \herë \ngjyra(e kuqe) (5 \herë 3) \herë 2 \herë 2)(3 \herë \ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 5))=\frac(2 \herë 2 \herë 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Pyetje të ngjashme:
A mund të zvogëloni thyesat kur mblidhni ose zbritni?
Përgjigje: jo, së pari duhet të shtoni ose zbrisni thyesat sipas rregullave dhe vetëm më pas t'i zvogëloni ato. Le të shohim një shembull:

Vlerësoni shprehjen \(\frac(50+20-10)(20)\) .

Zgjidhja:
Ata shpesh bëjnë gabim duke reduktuar të njëjtët numra në numërues dhe emërues, në rastin tonë numrin 20, por ato nuk mund të zvogëlohen derisa të keni përfunduar mbledhjen dhe zbritjen.

\(\frac(50+\ngjyrë(e kuqe) (20)-10)(\ngjyrë(e kuqe) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \herë 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Me çfarë numrash mund të zvogëloni një thyesë?
Përgjigje: Ju mund të zvogëloni një thyesë me faktorin më të madh të përbashkët ose me pjesëtuesin e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit. Për shembull, fraksioni \(\frac(100)(150)\).

Le t'i shkruajmë numrat 100 dhe 150 në faktorët kryesorë.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Pjesëtuesi më i madh i përbashkët do të jetë numri gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \herë 50)(3 \herë 50)=\frac(2)(3)\)

Morëm thyesën e pakalueshme \(\frac(2)(3)\).

Por nuk është e nevojshme të pjesëtohet gjithmonë me gcd një thyesë e pakalueshme nuk është gjithmonë e nevojshme; Për shembull, numri 100 dhe 150 kanë një pjesëtues të përbashkët të 2. Le të zvogëlojmë thyesën \(\frac(100)(150)\) me 2.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \herë 50)(2 \herë 75)=\frac(50)(75)\)

Morëm thyesën e reduktueshme \(\frac(50)(75)\).

Cilat fraksione mund të reduktohen?
Përgjigje: Ju mund të zvogëloni thyesat në të cilat numëruesi dhe emëruesi kanë një pjesëtues të përbashkët. Për shembull, fraksioni \(\frac(4)(8)\). Numri 4 dhe 8 kanë një numër me të cilin janë të dy pjesëtueshëm - numri 2. Prandaj, një pjesë e tillë mund të zvogëlohet me numrin 2.

Shembull:
Krahasoni dy thyesat \(\frac(2)(3)\) dhe \(\frac(8)(12)\).

Këto dy thyesa janë të barabarta. Le të hedhim një vështrim më të afërt në thyesën \(\frac(8)(12)\):

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \herë 4)(3 \herë 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\herë 1=\frac(2)(3)\)

Nga këtu marrim, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Dy thyesa janë të barabarta nëse dhe vetëm nëse njëra prej tyre fitohet duke zvogëluar thyesën tjetër me faktorin e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit.

Shembull:
Nëse është e mundur, zvogëloni thyesat e mëposhtme: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)

Zgjidhja:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \herë \ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 3 \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (5) \herë 13)=\frac (2 \herë 3 \herë 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 3) \herë 3)(\ngjyrë(e kuqe) (3 \herë 3) \herë 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) fraksion i pareduktueshëm
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\ngjyra(e kuqe) (2 \herë 5 \herë 5) \herë 2)(\ngjyrë(e kuqe) (2 \herë 5 \herë 5) \ herë 5)=\frac(2)(5)\)

Le të kuptojmë se çfarë është reduktimi i thyesave, pse dhe si të zvogëlojmë thyesat, do të japim rregullin për zvogëlimin e thyesave dhe shembuj të përdorimit të tij.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Çfarë është "thyesat reduktuese"

Të zvogëlosh një thyesë do të thotë të ndash numëruesin dhe emëruesin e saj me një faktor të përbashkët që është pozitiv dhe i ndryshëm nga një.

Si rezultat i këtij veprimi, do të fitohet një thyesë me numërues dhe emërues të ri, e barabartë me thyesën origjinale.

Për shembull, le të marrim thyesën e përbashkët 6 24 dhe ta zvogëlojmë atë. Ndani numëruesin dhe emëruesin me 2, duke rezultuar në 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. Në këtë shembull, ne reduktuam fraksionin origjinal me 2.

Reduktimi i thyesave në formë të pareduktueshme

Në shembullin e mëparshëm, ne reduktuam thyesën 6 24 me 2, duke rezultuar në fraksionin 3 12. Është e lehtë të shihet se ky fraksion mund të zvogëlohet më tej. Në mënyrë tipike, qëllimi i zvogëlimit të thyesave është që të përfundojë me një fraksion të pakalueshëm. Si të zvogëloni një fraksion në formën e tij të pakalueshme?

Kjo mund të bëhet duke reduktuar numëruesin dhe emëruesin me faktorin e tyre më të madh të përbashkët (GCD). Atëherë, nga vetia e pjesëtuesit më të madh të përbashkët, numëruesi dhe emëruesi do të kenë numra të thjeshtë reciprokisht, dhe thyesa do të jetë e pakalueshme.

a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)

Reduktimi i një thyese në një formë të pareduktueshme

Për të reduktuar një thyesë në një formë të pareduktueshme, duhet të ndani numëruesin dhe emëruesin e saj me gcd-në e tyre.

Le të kthehemi te thyesa 6 24 nga shembulli i parë dhe ta sjellim atë në formën e saj të pareduktueshme. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 6 dhe 24 është 6. Le të zvogëlojmë thyesën:

6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

Reduktimi i fraksioneve është i përshtatshëm për t'u përdorur në mënyrë që të mos punohet me numra të mëdhenj. Në përgjithësi, ekziston një rregull i pashprehur në matematikë: nëse mund të thjeshtoni ndonjë shprehje, atëherë duhet ta bëni atë. Zvogëlimi i një thyese më së shpeshti nënkupton zvogëlimin e tij në një formë të pakësueshme, dhe jo thjesht reduktimin e tij me pjesëtuesin e përbashkët të numëruesit dhe emëruesit.

Rregulla për zvogëlimin e thyesave

Për të zvogëluar thyesat, thjesht mbani mend rregullin, i cili përbëhet nga dy hapa.

Rregulla për zvogëlimin e thyesave

Për të zvogëluar një fraksion ju duhet:

1. Gjeni gcd-në e numëruesit dhe të emëruesit.
2. Ndani numëruesin dhe emëruesin me gcd-në e tyre.

Le të shohim shembuj praktikë.

Shembulli 1. Të zvogëlojmë thyesën.

Jepet thyesa 182 195. Le ta shkurtojmë.

Le të gjejmë gcd-në e numëruesit dhe të emëruesit. Për ta bërë këtë, në këtë rast është më e përshtatshme të përdoret algoritmi Euklidian.

195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13

Ndani numëruesin dhe emëruesin me 13. Ne marrim:

182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

Gati. Ne kemi marrë një thyesë të pakalueshme që është e barabartë me thyesën fillestare.

Si tjetër mund t'i zvogëloni thyesat? Në disa raste, është e përshtatshme të faktorizoni numëruesin dhe emëruesin në faktorët kryesorë, dhe më pas të hiqni të gjithë faktorët e zakonshëm nga pjesët e sipërme dhe të poshtme të fraksionit.

Shembulli 2. Zvogëloni thyesën

Jepet thyesa 360 2940. Le ta shkurtojmë.

Për ta bërë këtë, imagjinoni fraksionin origjinal në formën:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7

Le të heqim qafe faktorët e përbashkët në numërues dhe emërues, duke rezultuar në:

360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49

Së fundi, le të shohim një mënyrë tjetër për të reduktuar thyesat. Ky është i ashtuquajturi reduktim sekuencial. Duke përdorur këtë metodë, reduktimi kryhet në disa faza, në secilën prej të cilave fraksioni zvogëlohet nga një faktor i dukshëm i përbashkët.

Shembulli 3. Zvogëloni thyesën

Le të zvogëlojmë thyesën 2000 4400.

Është menjëherë e qartë se numëruesi dhe emëruesi kanë një faktor të përbashkët prej 100. Ne e zvogëlojmë thyesën me 100 dhe marrim:

2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

Ne e zvogëlojmë rezultatin që rezulton përsëri me 2 dhe marrim një fraksion të pakalueshëm:

10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Në këtë artikull do të shqyrtojmë në detaje se si duke reduktuar thyesat. Së pari, le të diskutojmë atë që quhet reduktim i një thyese. Pas kësaj, le të flasim për reduktimin e një fraksioni të reduktueshëm në një formë të pareduktueshme. Më pas do të marrim rregullin për zvogëlimin e thyesave dhe, në fund, do të shqyrtojmë shembuj të zbatimit të këtij rregulli.

Navigimi i faqes.

Çfarë do të thotë të reduktosh një fraksion?

Ne e dimë se thyesat e zakonshme ndahen në thyesa të reduktueshme dhe të pareduktueshme. Ju mund të merrni me mend nga emrat se thyesat e reduktueshme mund të reduktohen, por thyesat e pareduktueshme jo.

Çfarë do të thotë të reduktosh një fraksion? Zvogëloni një pjesë- kjo do të thotë pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit të tij me njësinë e tyre pozitive dhe të ndryshme. Është e qartë se si rezultat i zvogëlimit të një thyese, fitohet një thyesë e re me numërues dhe emërues më të vogël dhe, për shkak të vetive themelore të thyesës, thyesa që rezulton është e barabartë me atë origjinale.

Për shembull, le të zvogëlojmë thyesën e përbashkët 8/24 duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin e saj me 2. Me fjalë të tjera, le të zvogëlojmë thyesën 8/24 me 2. Meqenëse 8:2=4 dhe 24:2=12, ky reduktim rezulton në thyesën 4/12, e cila është e barabartë me thyesën fillestare 8/24 (shih thyesat e barabarta dhe të pabarabarta). Si rezultat, ne kemi.

Reduktimi i thyesave të zakonshme në formë të pareduktueshme

Në mënyrë tipike, qëllimi përfundimtar i reduktimit të një fraksioni është të përftohet një fraksion i pakalueshëm që është i barabartë me fraksionin origjinal të reduktueshëm. Ky qëllim mund të arrihet duke reduktuar thyesën origjinale të reduktueshme me numëruesin dhe emëruesin e saj. Si rezultat i një reduktimi të tillë, gjithmonë fitohet një fraksion i pakalueshëm. Në të vërtetë, një pjesë është i pakalueshëm, pasi dihet se Dhe - . Këtu do të themi se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit të një thyese është numri më i madh me të cilin mund të zvogëlohet kjo thyesë.

Pra, duke reduktuar një fraksion të zakonshëm në një formë të pakalueshme përbëhet nga pjesëtimi i numëruesit dhe emëruesit të thyesës origjinale të reduktueshme me gcd-në e tyre.

Le të shohim një shembull, për të cilin kthehemi në thyesën 8/24 dhe e zvogëlojmë atë me pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 8 dhe 24, i cili është i barabartë me 8. Meqenëse 8:8=1 dhe 24:8=3, arrijmë te thyesa e pakalueshme 1/3. Pra,.

Vini re se shprehja "zvogëlo një fraksion" shpesh nënkupton reduktimin e fraksionit origjinal në formën e tij të pareduktueshme. Me fjalë të tjera, zvogëlimi i një thyese shumë shpesh i referohet pjesëtimit të numëruesit dhe emëruesit me faktorin e tyre më të madh të përbashkët (dhe jo me ndonjë faktor të përbashkët).

Si të zvogëloni një fraksion? Rregulla dhe shembuj të reduktimit të thyesave

Mbetet vetëm të shikojmë rregullin për zvogëlimin e thyesave, i cili shpjegon se si të zvogëlohet një thyesë e caktuar.

Rregulla për zvogëlimin e thyesave përbëhet nga dy hapa:

• së pari, gjendet gcd e numëruesit dhe emëruesit të thyesës;
• së dyti, numëruesi dhe emëruesi i thyesës pjesëtohen me gcd-në e tyre, që jep një thyesë të pakalueshme të barabartë me atë origjinale.

Le ta zgjidhim shembull i zvogëlimit të një thyese sipas rregullit të deklaruar.

Shembull.

Zvogëloni thyesën 182/195.

Zgjidhje.

Le të kryejmë të dy hapat e përshkruar nga rregulli për zvogëlimin e një fraksioni.

Së pari gjejmë GCD(182, 195) . Është më i përshtatshëm të përdoret algoritmi Euklidian (shih): 195=182·1+13, 182=13·14, domethënë GCD(182, 195)=13.

Tani e ndajmë numëruesin dhe emëruesin e thyesës 182/195 me 13 dhe marrim thyesën e pakalueshme 14/15, e cila është e barabartë me thyesën origjinale. Kjo plotëson reduktimin e fraksionit.

Shkurtimisht, zgjidhja mund të shkruhet si më poshtë: .

Përgjigje:

Këtu mund të përfundojmë reduktimin e thyesave. Por për të plotësuar pamjen, le të shohim dy mënyra të tjera për të reduktuar fraksionet, të cilat zakonisht përdoren në raste të lehta.

Ndonjëherë numëruesi dhe emëruesi i thyesës që zvogëlohet nuk është i vështirë. Zvogëlimi i një fraksioni në këtë rast është shumë i thjeshtë: thjesht duhet të hiqni të gjithë faktorët e zakonshëm nga numëruesi dhe emëruesi.

Vlen të përmendet se kjo metodë rrjedh drejtpërdrejt nga rregulli i zvogëlimit të thyesave, pasi prodhimi i të gjithë faktorëve të thjeshtë të thjeshtë të numëruesit dhe emëruesit është i barabartë me pjesëtuesin e tyre më të madh të përbashkët.

Le të shohim zgjidhjen e shembullit.

Shembull.

Zvogëloni thyesën 360/2 940.

Zgjidhje.

Le të faktorizojmë numëruesin dhe emëruesin në faktorë të thjeshtë: 360=2·2·2·3·3·5 dhe 2,940=2·2·3·5·7·7. Kështu, .

Tani ne heqim qafe faktorët e zakonshëm në numërues dhe emërues, thjesht i kalojmë ato: .

Së fundi, ne shumëzojmë faktorët e mbetur: , dhe zvogëlimi i thyesës përfundon.

Këtu është një përmbledhje e shkurtër e zgjidhjes: .

Përgjigje:

Le të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të reduktuar një fraksion, e cila konsiston në reduktimin vijues. Këtu, në çdo hap, thyesa zvogëlohet nga një pjesëtues i përbashkët i numëruesit dhe emëruesit, i cili ose është i dukshëm ose përcaktohet lehtësisht duke përdorur