Njehsoni logaritmin e shprehjes. Logaritmet: shembuj dhe zgjidhje

Sot do të flasim për formula logaritmike dhe ne do të japim tregues shembuj zgjidhjesh.

Ata vetë nënkuptojnë modele zgjidhjeje sipas vetive themelore të logaritmeve. Përpara se të aplikoni formula logaritmike për zgjidhje, le t'ju kujtojmë të gjitha vetitë:

Tani, bazuar në këto formula (veti), do të tregojmë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve bazuar në formula.

Logaritmi një numër pozitiv b për bazën a (i shënuar me log a b) është një eksponent tek i cili duhet të rritet a për të marrë b, me b > 0, a > 0 dhe 1.

Sipas përkufizimit, log a b = x, që është ekuivalente me a x = b, pra log a a x = x.

Logaritmet, shembuj:

log 2 8 = 3, sepse 2 3 = 8

log 7 49 = 2, sepse 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, sepse 5 -1 = 1/5

Logaritmi dhjetor- ky është një logaritëm i zakonshëm, baza e të cilit është 10. Shënohet si lg.

log 10 100 = 2, sepse 10 2 = 100

Logaritmi natyror- gjithashtu një logaritëm i zakonshëm, një logaritëm, por me bazën e (e = 2,71828... - një numër irracional). Shënuar si ln.

Këshillohet që formulat ose vetitë e logaritmeve të mësohen përmendësh, sepse ato do të na duhen më vonë gjatë zgjidhjes së logaritmeve, ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive. Le të shqyrtojmë secilën formulë përsëri me shembuj.

• Identiteti bazë logaritmik
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmi i produktit është i barabartë me shumën e logaritmeve
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritmi i herësit është i barabartë me diferencën e logaritmeve
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Vetitë e fuqisë së një numri logaritmik dhe bazës së logaritmit

  Eksponenti i numrit logaritmik log a b m = mlog a b

  Eksponenti i bazës së logaritmit log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  nëse m = n, marrim log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Kalimi në një themel të ri
  log a b = log c b/log c a,

  nëse c = b, marrim log b b = 1

  atëherë log a b = 1/log b a

  log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Siç mund ta shihni, formulat për logaritmet nuk janë aq të komplikuara sa duken. Tani, pasi kemi parë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve, mund të kalojmë te ekuacionet logaritmike. Ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike në mënyrë më të detajuar në artikullin: "". Mos e humbisni!

Nëse keni ende pyetje në lidhje me zgjidhjen, shkruajini ato në komentet e artikullit.

Shënim: ne vendosëm të merrnim një klasë tjetër arsimimi dhe të studionim jashtë vendit si opsion.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga organet qeveritare në Federatën Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Janë dhënë vetitë themelore të logaritmit natyror, grafiku, fusha e përkufizimit, bashkësia e vlerave, formulat bazë, derivati, integrali, zgjerimi i serisë së fuqisë dhe paraqitja e funksionit ln x duke përdorur numra kompleks.

Përkufizimi

Logaritmi natyrorështë funksioni y = në x, inversi i eksponencialit, x = e y, dhe është logaritmi me bazën e numrit e: ln x = log e x.

Logaritmi natyror përdoret gjerësisht në matematikë, sepse derivati ​​i tij ka formën më të thjeshtë: (ln x)′ = 1/ x.

Bazuar në përkufizimet, baza e logaritmit natyror është numri e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Grafiku i funksionit y = në x.

Grafiku i logaritmit natyror (funksionet y = në x) përftohet nga grafiku eksponencial me reflektim pasqyre në raport me drejtëzën y ​​= x.

Logaritmi natyror përcaktohet për vlerat pozitive të ndryshores x.

Ajo rritet në mënyrë monotonike në fushën e saj të përkufizimit. 0 Në x →

kufiri i logaritmit natyror është minus pafundësia (-∞).

Si x → + ∞, kufiri i logaritmit natyror është plus pafundësi (+ ∞). Për x të madh, logaritmi rritet mjaft ngadalë. Çdo funksion i fuqisë x a me një eksponent pozitiv a rritet më shpejt se logaritmi.

Vetitë e logaritmit natyror

Domeni i përkufizimit, grupi i vlerave, ekstremet, rritja, zvogëlimi

Logaritmi natyror është një funksion në rritje monotonike, kështu që nuk ka ekstreme. Karakteristikat kryesore të logaritmit natyror janë paraqitur në tabelë.

ln x vlerat

ln 1 = 0

Formulat bazë për logaritmet natyrore

Formulat që vijnë nga përkufizimi i funksionit të anasjelltë:

Vetia kryesore e logaritmeve dhe pasojat e saj

Formula e zëvendësimit të bazës

Vërtetimet e këtyre formulave janë paraqitur në seksionin "Logaritmi".

Funksioni i anasjelltë

Anasjellta e logaritmit natyror është eksponenti.

Nëse, atëherë

Nëse, atëherë.

Derivati ​​ln x

Derivati ​​i logaritmit natyror:
.
Derivati ​​i logaritmit natyror të modulit x:
.
Derivat i rendit të n-të:
.
Nxjerrja e formulave > > >

Integrale

Integrali llogaritet me integrim sipas pjesëve:
.
Pra,

Shprehje duke përdorur numra kompleks

Merrni parasysh funksionin e ndryshores komplekse z:
.
Le të shprehim ndryshoren komplekse z nëpërmjet modulit r dhe argumenti φ :
.
Duke përdorur vetitë e logaritmit, kemi:
.
Ose
.
Argumenti φ nuk është i përcaktuar në mënyrë unike. Nëse vendosni
, ku n është një numër i plotë,
do të jetë i njëjti numër për n të ndryshëm.

Prandaj, logaritmi natyror, si funksion i një ndryshoreje komplekse, nuk është një funksion me një vlerë të vetme.

Zgjerimi i serisë së energjisë

Kur bëhet zgjerimi:

Literatura e përdorur:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.

Detyrat zgjidhja e të cilave është konvertimin e shprehjeve logaritmike, mjaft shpesh gjendet në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Për t'i përballuar me sukses me kohë minimale, përveç identiteteve bazë logaritmike, duhet të njihni dhe të përdorni saktë disa formula të tjera.

Kjo është: a log a b = b, ku a, b > 0, a ≠ 1 (Rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi i logaritmit).

log a b = log c b / log c a ose log a b = 1/log b a
ku a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
ku a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
ku a, b, c > 0 dhe a, b, c ≠ 1

Për të treguar vlefshmërinë e barazisë së katërt, le të marrim logaritmin e anës së majtë dhe të djathtë në bazën a. Marrim log a (a log me b) = log a (b log me a) ose log me b = log me a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log c a); log me b = log me b.

Ne kemi vërtetuar barazinë e logaritmeve, që do të thotë se edhe shprehjet nën logaritme janë të barabarta. Formula 4 është vërtetuar.

Shembulli 1.

Llogarit 81 log 27 5 log 5 4 .

Zgjidhje.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Prandaj,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Pastaj 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Ju mund ta kryeni vetë detyrën e mëposhtme.

Llogaritni (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.

Si një aluzion, 0.2 = 1/5 = 5 -1; log 0,2 5 = -1.

Përgjigje: 5.

Shembulli 2.

Llogarit (√11) log √3 9- log 121 81 .

Zgjidhje.

Le të ndryshojmë shprehjet: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (është përdorur formula 3).

Pastaj (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Shembulli 3.

Llogarit log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Zgjidhje.

Ne zëvendësojmë logaritmet e përfshira në shembull me logaritmet me bazën 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Pastaj log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Pasi hapim kllapat dhe sjellim terma të ngjashëm, marrim numrin 3. (Kur thjeshtojmë shprehjen, mund të shënojmë log 2 3 me n dhe të thjeshtojmë shprehjen

(3 + n) · (5 + n) - (6 + n) (2 + n)).

Përgjigje: 3.

Ju mund ta kryeni vetë detyrën e mëposhtme:

Llogarit (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Këtu është e nevojshme të bëhet kalimi në logaritmet bazë 3 dhe faktorizimi i numrave të mëdhenj në faktorë të thjeshtë.

Përgjigje: 1/2

Shembulli 4.

Jepen tre numra A = 1/(log 3 0.5), B = 1/(log 0.5 3), C = log 0.5 12 – log 0.5 3. Radhiti në rend rritës.

Zgjidhje.

Le të transformojmë numrat A = 1/(log 3 0.5) = log 0.5 3; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.

Le t'i krahasojmë ato

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 dhe log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Ose -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Përgjigju. Prandaj, radha e vendosjes së numrave është: C; A; NË.

Shembulli 5.

Sa numra të plotë janë në interval (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Zgjidhje.

Le të përcaktojmë midis cilat fuqi të numrit 3 ndodhet numri 1/16. Ne marrim 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Meqenëse funksioni y = log 3 x po rritet, atëherë log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Le të krahasojmë regjistrin 6 (4/3) dhe 1/5. Dhe për këtë krahasojmë numrat 4/3 dhe 6 1/5. Le t'i ngremë të dy numrat në fuqinë e 5-të. Ne marrim (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

regjistri 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Prandaj, intervali (log 3 1 / 16; log 6 48) përfshin intervalin [-2; 4] dhe mbi të vendosen numrat e plotë -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Përgjigje: 7 numra të plotë.

Shembulli 6.

Llogarit 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Zgjidhje.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Pastaj 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.

Përgjigje: -1.

Shembulli 7.

Dihet se log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A. Gjeni log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2).

Zgjidhje.

Numrat (√3 + 1) dhe (√3 – 1); (√6 – 2) dhe (√6 + 2) janë të konjuguara.

Le të bëjmë transformimin e mëposhtëm të shprehjeve

√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).

Pastaj log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Regjistri 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.

Përgjigje: 2 - A.

Shembulli 8.

Thjeshtoni dhe gjeni vlerën e përafërt të shprehjes (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Zgjidhje.

Le të reduktojmë të gjitha logaritmet në një bazë të përbashkët 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (Vlera e përafërt e lg 2 mund të gjendet duke përdorur një tabelë, rregull rrëshqitës ose kalkulator).

Përgjigje: 0.3010.

Shembulli 9.

Llogarit log a 2 b 3 √(a 11 b -3) nëse log √ a b 3 = 1. (Në këtë shembull, a 2 b 3 është baza e logaritmit).

Zgjidhje.

Nëse log √ a b 3 = 1, atëherë 3/(0.5 log a b = 1. Dhe log a b = 1/6.

Pastaj log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) Duke marrë parasysh se ai log a b = 1/ 6 marrim (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1.

Përgjigje: 2.1.

Ju mund ta kryeni vetë detyrën e mëposhtme:

Llogarit login √3 6 √2.1 nëse log 0.7 27 = a.

Përgjigje: (3 + a) / (3a).

Shembulli 10.

Njehsoni 6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125.

Zgjidhje.

6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 ​​log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 regjistër 13 2 (formula 4))

Marrim 9 + 6 = 15.

Përgjigje: 15.

Ende keni pyetje? Nuk jeni i sigurt se si të gjeni vlerën e një shprehje logaritmike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Shprehje logaritmike, zgjidhje shembujsh. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet që lidhen me zgjidhjen e logaritmeve. Detyrat shtrojnë pyetjen e gjetjes së kuptimit të një shprehjeje. Duhet të theksohet se koncepti i logaritmit përdoret në shumë detyra dhe kuptimi i kuptimit të tij është jashtëzakonisht i rëndësishëm. Sa i përket Provimit të Unifikuar të Shtetit, logaritmi përdoret në zgjidhjen e ekuacioneve, në problemet e aplikuara, si dhe në detyrat që lidhen me studimin e funksioneve.

Le të japim shembuj për të kuptuar vetë kuptimin e logaritmit:

Identiteti bazë logaritmik:

Vetitë e logaritmeve që duhen mbajtur mend gjithmonë:

*Logaritmi i prodhimit është i barabartë me shumën e logaritmeve të faktorëve.

* * *

*Logaritmi i një herësi (fraksioni) është i barabartë me diferencën midis logaritmeve të faktorëve.

* * *

*Logaritmi i një eksponenti është i barabartë me prodhimin e eksponentit dhe logaritmit të bazës së tij.

* * *

*Tranzicioni në një themel të ri

* * *

Më shumë prona:

* * *

Llogaritja e logaritmeve është e lidhur ngushtë me përdorimin e vetive të eksponentëve.

Le të rendisim disa prej tyre:

Thelbi i kësaj vetie është se kur numëruesi transferohet në emërues dhe anasjelltas, shenja e eksponentit ndryshon në të kundërtën. Për shembull:

Një përfundim nga kjo pronë:

* * *

Kur rritet një fuqi në një fuqi, baza mbetet e njëjtë, por eksponentët shumëzohen.

* * *

Siç e keni parë, vetë koncepti i një logaritmi është i thjeshtë. Gjëja kryesore është se keni nevojë për praktikë të mirë, e cila ju jep një aftësi të caktuar. Sigurisht që kërkohet njohja e formulave. Nëse aftësia në konvertimin e logaritmeve elementare nuk është zhvilluar, atëherë kur zgjidhni detyra të thjeshta, lehtë mund të bëni një gabim.

Praktikoni, zgjidhni fillimisht shembujt më të thjeshtë nga kursi i matematikës dhe më pas kaloni në ato më komplekse. Në të ardhmen, do të tregoj patjetër se sa logaritme "të shëmtuara" nuk do të shfaqen në Provimin e Unifikuar të Shtetit, por janë me interes, mos i humbisni!

Kjo është e gjitha! Ju uroj fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.