Një nga bazat e gjeometrisë është gjetja e përgjysmuesit, rrezes që përgjysmon një kënd. Përgjysmuesja e një trekëndëshi është pjesa e përgjysmuesit të çdo këndi. Ky është një segment nga kulmi i këndit në kryqëzimin me anën e kundërt të trekëndëshit.

Nëse vizatoni përgjysmues nga të gjitha këndet, ato do të kryqëzohen në një pikë, e cila quhet qendra e trekëndëshit të brendashkruar.

Ju mund të llogarisni përgjysmuesin nëse e dini gjatësinë e brinjës që përgjysmon, ose madhësinë e këndeve të trekëndëshit.

Përgjysmues i një trekëndëshi dykëndësh

Meqenëse në një trekëndësh dykëndësh dy brinjë janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë përgjysmuesit e këndeve ngjitur do të jenë të barabartë. Sepse Këndet e trekëndëshit janë gjithashtu të barabartë.

Kur vizatoni një përgjysmues nga një nga këndet, do të merret parasysh lartësia e trekëndëshit të dhënë dhe mesatarja e tij.

Problemet se si të gjendet përgjysmuesja e një trekëndëshi zgjidhen duke përdorur formula.

Për të zgjidhur këto formula, kushtet duhet të tregojnë vlerat e gjatësisë së brinjëve, ose vlerat e këndeve të trekëndëshit. Duke i ditur ato, ju mund të llogarisni përgjysmuesin duke përdorur kosinus ose perimetër.

Për shembull, merrni një trekëndësh dykëndësh ABC dhe vizatoni përgjysmuesin AE në bazën BC. Trekëndëshi që rezulton AEB është kënddrejtë. Përgjysmuesja është lartësia e saj, brinja AB është hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë dhe BE dhe AE janë këmbët.

Zbatohet teorema e Pitagorës - katrori i hipotenuzës është i barabartë me shumën e katrorëve të këmbëve. Në bazë të tij BE = v (AB - AE). Meqenëse AE është mediana e trekëndëshit ABC, atëherë brinja BE = BC/2. Kështu BE = v(AB - (BC/4)).

Nëse jepet këndi bazë ABC, atëherë përgjysmuesja e trekëndëshit është AEB, AE = AB/sin(ABC). Këndi bazë AEB, BAE = BAC/2. Prandaj, përgjysmuesi AE = AB/cos (BAC/2).

Si të gjeni përgjysmuesin e një trekëndëshi të gdhendur në një trekëndësh tjetër?

Në një trekëndësh dykëndësh ABC, vizatoni anën BC në anën AC. Ky segment nuk do të jetë as përgjysmuesja e trekëndëshit dhe as mediana e tij. Këtu zbatohet formula Stewart.

Përdoret për të llogaritur perimetrin e një trekëndëshi - shuma e gjatësive të të gjitha anëve të tij. Për ABC llogarisim gjysmëperimetrin. Ky është perimetri i trekëndëshit të ndarë në gjysmë.

P = (AB+ BC+ AC)/2. Duke përdorur këtë formulë, ne llogarisim përgjysmuesin e tërhequr në anën. VK = v(4*VS*AS*P (R-AV)/ (VS+AS).

Nga teorema e Stewart, ju gjithashtu mund të shihni se përgjysmuesja e tërhequr në anën tjetër të trekëndëshit do të jetë e barabartë me VC, sepse këto dy brinjë të trekëndëshit janë të barabarta me njëra-tjetrën.

Përgjysmues i një trekëndëshi kënddrejtë

Për të ditur se si të gjeni përgjysmuesin në një trekëndësh kënddrejtë, duhet të përdorni edhe formula. Mos harroni se në një trekëndësh kënddrejtë një kënd është domosdoshmërisht i drejtë, d.m.th. e barabartë me 90 gradë. Kështu, nëse përgjysmuesi fillon nga një kënd i drejtë, edhe nëse kushti nuk tregon sinusin ose kosinusin e këndit, ju mund t'i njihni ato nga madhësia e këndit.

• Përgjysmuesja gjendet duke përdorur formulën e Stewart. Nëse ekziston një trekëndësh ABC, dhe gjysmëperimetri i tij llogaritet si P = (AB+ BC+ AK)/2. Në bazë të kësaj llogarisim përgjysmuesin AE = v(4*VK*AK*P (P-AB)/ (VK+AK).
• Gjatësia e përgjysmuesit përcaktohet në këtë mënyrë. AE = v (BK*AK) – (EB*EK), ku EB dhe EK janë segmentet në të cilat përgjysmuesi AE ndan anën BK.
• Ose mund të përdorni kosinuset e këndeve të një trekëndëshi kënddrejtë, nëse ato janë të njohura. Përgjysmuesja do të jetë e barabartë me (2*аb*(cos c/2))/(a+b).
• Ose gjeni përgjysmuesin si ky. Duke përdorur formulën (cos a) – (cos b)/2, gjeni pjesëtuesin që ju nevojitet në të ardhmen. Më pas, lartësia e tërhequr në anën c ndahet me vlerën që rezulton. Për të marrë kosinus, duhet të dini madhësinë e këndeve. Ose llogaritni ato bazuar në madhësinë e këndit të vetëm të njohur - një kënd i drejtë, 90 gradë.

Trekëndësh barabrinjës

Në një trekëndësh të tillë, të gjitha anët janë të barabarta me njëra-tjetrën, e po ashtu edhe këndet. Prandaj, të gjithë përgjysmuesit dhe medianat do të jenë gjithashtu të barabarta. Nëse disa nga vlerat anësore janë të panjohura, atëherë do të nevojitet vlera e njërës anë. Sepse anët janë të barabarta. Dhe madhësitë e këndeve gjithashtu. Prandaj, për të gjetur përgjysmuesin duke përdorur formulën e kosinusit, duhet të dini ose të llogaritni vlerën e vetëm njërit prej këndeve.

Gjatësia e mesores dhe përgjysmuesit të një trekëndëshi është e barabartë me - L.

Brinjët e trekëndëshit janë të barabarta - a.

Në trekëndëshin ABC, përgjysmues AE = (ABCv3)/2.

E njëjta formulë përdoret për të llogaritur lartësinë dhe mesataren e një trekëndëshi barabrinjës.

Scalene trekëndësh

Në një trekëndësh të tillë, të gjitha anët kanë vlera të ndryshme, prandaj përgjysmuesit nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin.

Merrni një trekëndësh me vlera arbitrare të anës. Nëse disa vlera të anëve janë të panjohura, atëherë ato llogariten duke përdorur formulën për perimetrin e një trekëndëshi.

Pasi të jenë vizatuar përgjysmorët e këndit, ia vlen të shtoni një nënshkrim1 në emërtimet e tyre. Segmentet në të cilat përgjysmuesi ndan anën e kundërt janë caktuar gjithashtu me nënshkrimin 1.

Gjatësitë e këtyre segmenteve llogariten duke përdorur teoremën e sinusit.

Gjatësia e përgjysmuesit llogaritet si L = v ab – a1b1, ku ab janë anët ngjitur me segmentet, dhe a1b1 është prodhimi i segmenteve. Formula vlen për të gjitha anët e një trekëndëshi të shkallëzuar. Gjëja kryesore është të njihni gjatësinë e anëve, ose t'i llogaritni ato, duke ditur vlerat e këndeve ngjitur.

Përgjysmuesja e një trekëndëshi është një koncept gjeometrik i zakonshëm që nuk shkakton shumë vështirësi në të mësuar. Duke pasur njohuri për vetitë e tij, ju mund të zgjidhni shumë probleme pa shumë vështirësi. Çfarë është një përgjysmues? Ne do të përpiqemi ta njohim lexuesin me të gjitha sekretet e kësaj linje matematikore.

Në kontakt me

Thelbi i konceptit

Emri i konceptit vjen nga përdorimi i fjalëve në latinisht, kuptimi i të cilave është "bi" - dy, "sectio" - prerë. Ata tregojnë në mënyrë specifike kuptimin gjeometrik të konceptit - ndarja e hapësirës midis rrezeve në dy pjesë të barabarta.

Përgjysmuesja e trekëndëshit është një segment që buron nga kulmi i figurës dhe skaji tjetër vendoset në anën që ndodhet përballë tij, duke e ndarë hapësirën në dy pjesë identike.

Shumë mësues përdorin terminologji të ndryshme, e cila pasqyrohet në poezi ose shoqata, për të mësuar përmendësh shpejt në mënyrë asociative konceptet matematikore nga nxënësit. Sigurisht, përdorimi i këtij përkufizimi rekomandohet për fëmijët më të rritur.

Si është caktuar kjo linjë? Këtu ne mbështetemi në rregullat për përcaktimin e segmenteve ose rrezeve. Nëse po flasim për përcaktimin e përgjysmuesit të një këndi të një figure trekëndore, atëherë zakonisht shkruhet si një segment, skajet e të cilit janë kulmin dhe pikën e prerjes me anën përballë kulmit. Për më tepër, fillimi i shënimit shkruhet pikërisht nga kulmi.

Kujdes! Sa përgjysmues ka një trekëndësh? Përgjigja është e qartë: aq sa ka kulme - tre.

Vetitë

Përveç përkufizimit, jo shumë veti të këtij koncepti gjeometrik mund të gjenden në një tekst shkollor. Vetia e parë e përgjysmuesit të një trekëndëshi, me të cilën njihen nxënësit e shkollës, është qendra e mbishkruar, dhe e dyta, e lidhur drejtpërdrejt me të, është proporcionaliteti i segmenteve. Përfundimi është ky:

1. Cilado qoftë vija ndarëse, ka pika në të që janë në të njëjtën distancë nga anët, të cilat përbëjnë hapësirën ndërmjet rrezeve.
2. Për të vendosur një rreth në një figurë trekëndore, është e nevojshme të përcaktohet pika në të cilën këto segmente do të kryqëzohen. Kjo është pika qendrore e rrethit.
3. Janë të vendosura pjesët e faqes së një figure gjeometrike trekëndore në të cilën e ndan vija ndarëse në proporcion me anët që formojnë këndin.

Ne do të përpiqemi të sjellim veçoritë e mbetura në sistem dhe të paraqesim fakte shtesë që do të ndihmojnë për të kuptuar më mirë avantazhet e këtij koncepti gjeometrik.

Gjatësia

Një nga llojet e problemeve që shkakton vështirësi për nxënësit e shkollës është gjetja e gjatësisë së përgjysmuesit të një këndi të një trekëndëshi. Opsioni i parë, i cili përmban gjatësinë e tij, përmban të dhënat e mëposhtme:

• sasia e hapësirës ndërmjet rrezeve nga kulmi i së cilës del një segment i caktuar;
• gjatësitë e brinjëve që formojnë këtë kënd.

Për të zgjidhur problemin formula e përdorur, kuptimi i të cilit është gjetja e raportit të prodhimit të vlerave të brinjëve që përbëjnë këndin, i rritur me 2 herë, me kosinusin e gjysmës së tij me shumën e brinjëve.

Le të shohim një shembull specifik. Supozoni se na është dhënë një figurë ABC, në të cilën një segment është tërhequr nga këndi A dhe pret anën BC në pikën K. Vlerën e A-së e shënojmë si Y. Bazuar në këtë, AK = (2*AB*AC*cos(Y /2))/(AB+ AC).

Versioni i dytë i problemit, në të cilin përcaktohet gjatësia e përgjysmuesit të një trekëndëshi, përmban të dhënat e mëposhtme:

• janë të njohura kuptimet e të gjitha anëve të figurës.

Kur zgjidhni një problem të këtij lloji, fillimisht përcaktoni gjysmëperimetrin. Për ta bërë këtë, duhet të shtoni vlerat e të gjitha anëve dhe të ndani në gjysmë: p=(AB+BC+AC)/2. Më pas, ne aplikojmë formulën llogaritëse që është përdorur për të përcaktuar gjatësinë e këtij segmenti në problemin e mëparshëm. Është e nevojshme vetëm të bëhen disa ndryshime në thelbin e formulës në përputhje me parametrat e rinj. Pra, është e nevojshme të gjendet raporti i rrënjës së dyfishuar të shkallës së dytë të produktit të gjatësive të anëve që janë ngjitur me kulmin me gjysmëperimetrin dhe ndryshimin midis gjysmëperimetrit dhe gjatësisë së anën përballë saj me shumën e brinjëve që përbëjnë këndin. Kjo është, AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Kujdes! Për ta bërë më të lehtë zotërimin e materialit, mund t'i drejtoheni tregimeve komike të disponueshme në internet që tregojnë për "aventurat" e kësaj linje.

Përgjysmuesja e një trekëndëshi është një segment që ndan një kënd të një trekëndëshi në dy kënde të barabarta. Për shembull, nëse këndi i një trekëndëshi është 120 0, atëherë duke vizatuar një përgjysmues, do të ndërtojmë dy kënde me nga 60 0 secili.

Dhe duke qenë se ka tre kënde në një trekëndësh, mund të vizatohen tre përgjysmues. Ata të gjithë kanë një pikë ndërprerjeje. Kjo pikë është qendra e rrethit të gdhendur në trekëndësh. Në një mënyrë tjetër, kjo pikë kryqëzimi quhet qendra e trekëndëshit.

Kur kryqëzohen dy përgjysmues të një këndi të brendshëm dhe të jashtëm, fitohet një kënd prej 90 0. Një kënd i jashtëm në një trekëndësh është këndi ngjitur me këndin e brendshëm të një trekëndëshi.

Oriz. 1. Një trekëndësh që përmban 3 përgjysmues

Përgjysmuesja ndan anën e kundërt në dy segmente që lidhen me anët:

$$(CL\mbi(LB)) = (AC\mbi(AB))$$

Pikat përgjysmuese janë të barabarta nga anët e këndit, që do të thotë se ato janë në të njëjtën distancë nga anët e këndit. Kjo do të thotë, nëse nga ndonjë pikë e përgjysmuesit ne hedhim pingul në secilën nga brinjët e këndit të trekëndëshit, atëherë këto pingule do të jenë të barabarta.

Nëse vizatoni një mesatare, përgjysmues dhe lartësi nga një kulm, atëherë mediana do të jetë segmenti më i gjatë dhe lartësia do të jetë më e shkurtra.

Disa veti të përgjysmuesit

Në disa lloje trekëndëshash, përgjysmuesi ka veti të veçanta. Kjo vlen kryesisht për një trekëndësh izosceles. Kjo figurë ka dy anë identike, dhe e treta quhet bazë.

Nëse vizatoni një përgjysmues nga kulmi i një këndi të një trekëndëshi dykëndësh në bazë, atëherë ai do të ketë vetitë e lartësisë dhe mesatares. Prandaj, gjatësia e përgjysmuesit përkon me gjatësinë e mesatares dhe lartësisë.

Përkufizimet:

• Lartësia- një pingul i tërhequr nga kulmi i një trekëndëshi në anën e kundërt.
• mesatare– segment që lidh kulmin e trekëndëshit dhe mesin e anës së kundërt.

Oriz. 2. Përgjysmues në një trekëndësh dykëndësh

Kjo vlen edhe për një trekëndësh barabrinjës, domethënë një trekëndësh në të cilin të tre anët janë të barabarta.

Shembull i detyrës

Në trekëndëshin ABC: BR është një përgjysmues, me AB = 6 cm, BC = 4 cm dhe RC = 2 cm.

Oriz. 3. Përgjysmues në një trekëndësh

Zgjidhja:

Përgjysmuesja ndan brinjën e trekëndëshit në një proporcion të caktuar. Le të përdorim këtë proporcion dhe të shprehim AR. Pastaj gjejmë gjatësinë e brinjës së tretë si shumën e segmenteve në të cilat ndahej kjo anë me përgjysmues.

• $(AB\mbi(BC)) = (AR\mbi(RC))$
• $RC=(6\mbi(4))*2=3 cm$

Pastaj i gjithë segmenti AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Gjithsej vlerësimet e marra: 108.

Niveli mesatar

Përgjysmues i një trekëndëshi. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Përgjysmues i një trekëndëshi dhe vetitë e tij

A e dini se cila është mesi i një segmenti? Sigurisht që po. Po qendra e rrethit? Njësoj. Sa është mesi i një këndi? Mund të thuash që kjo nuk ndodh. Por pse një segment mund të ndahet në gjysmë, por një kënd jo? Është mjaft e mundur - jo vetëm një pikë, por…. linjë.

A ju kujtohet shakaja: një përgjysmues është një mi që vrapon nëpër qoshe dhe ndan këndin në gjysmë. Pra, përkufizimi i vërtetë i një përgjysmues është shumë i ngjashëm me këtë shaka:

Përgjysmues i një trekëndëshi- ky është segmenti përgjysmues i një këndi të një trekëndëshi që lidh kulmin e këtij këndi me një pikë në anën e kundërt.

Njëherë e një kohë, astronomët dhe matematikanët e lashtë zbuluan shumë veti interesante të përgjysmuesit. Kjo njohuri e ka thjeshtuar shumë jetën e njerëzve. Është bërë më e lehtë ndërtimi, numërimi i distancave, madje rregullimi i shkrepjes së topave... Njohja e këtyre vetive do të na ndihmojë të zgjidhim disa detyra GIA dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!

Njohuria e parë që do të ndihmojë me këtë është përgjysmues i një trekëndëshi dykëndësh.

Nga rruga, i mbani mend të gjitha këto terma? Ju kujtohet se si ndryshojnë nga njëri-tjetri? Jo? Jo e frikshme. Le ta kuptojmë tani.

Kështu që, baza e një trekëndëshi dykëndësh- kjo është ana që nuk është e barabartë me asnjë tjetër. Shikoni foton, cila anë mendoni se është? Kjo është e drejtë - kjo është ana.

Medianaja është një vijë e tërhequr nga kulmi i një trekëndëshi dhe që ndan anën e kundërt (kjo është përsëri) në gjysmë.

Vini re se nuk themi, "Mesatarja e një trekëndëshi izosceles". A e dini pse? Sepse një mesatare e tërhequr nga një kulm i një trekëndëshi përgjysmon anën e kundërt në CDO trekëndësh.

Epo, lartësia është një vijë e tërhequr nga lart dhe pingul me bazën. E keni vënë re? Po flasim sërish për çdo trekëndësh, jo vetëm për një dykëndësh. Lartësia në CDO trekëndësh është gjithmonë pingul me bazën.

Pra, e keni kuptuar? Pothuajse. Për të kuptuar edhe më mirë dhe për të kujtuar përgjithmonë se çfarë është një përgjysmues, mesatarja dhe lartësia, duhet t'i krahasoni ato me njëri-tjetrin dhe të kuptoni se si janë të ngjashëm dhe si ndryshojnë nga njëri-tjetri. Në të njëjtën kohë, për të mbajtur mend më mirë, është më mirë të përshkruani gjithçka në "gjuhën njerëzore". Atëherë do të veproni lehtësisht në gjuhën e matematikës, por në fillim nuk e kuptoni këtë gjuhë dhe duhet të kuptoni gjithçka në gjuhën tuaj.

Pra, si janë të ngjashme? Përgjysmuesja, mediana dhe lartësia - të gjithë "dalin" nga kulmi i trekëndëshit dhe qëndrojnë në anën e kundërt dhe "bëjnë diçka" ose me këndin nga i cili dalin, ose me anën e kundërt. Mendoj se është e thjeshtë, apo jo?

Si janë të ndryshëm?

• Përgjysmuesja e ndan këndin nga i cili del në gjysmë.
• Mesatarja e ndan anën e kundërt në gjysmë.
• Lartësia është gjithmonë pingul me anën e kundërt.

Kjo eshte. Është e lehtë për t'u kuptuar. Dhe sapo të kuptoni, mund të mbani mend.

Tani pyetja tjetër. Pse, në rastin e një trekëndëshi dykëndësh, përgjysmuesi duket të jetë edhe mesatarja edhe lartësia?

Ju thjesht mund të shikoni figurën dhe të siguroheni që mesatarja ndahet në dy trekëndësha absolutisht të barabartë. Kjo eshte e gjitha! Por matematikanët nuk u pëlqen t'u besojnë syve të tyre. Ata duhet të provojnë gjithçka. Fjalë e frikshme? Asgjë e tillë - është e thjeshtë! Shikoni: të dyja kanë anë të barabarta dhe, në përgjithësi kanë një anë të përbashkët dhe. (- përgjysmues!) Dhe kështu rezulton se dy trekëndësha kanë dy brinjë të barabarta dhe një kënd midis tyre. Ne kujtojmë shenjën e parë të barazisë së trekëndëshave (nëse nuk ju kujtohet, shikoni në temë) dhe konkludojmë se, dhe për këtë arsye = dhe.

Kjo tashmë është mirë - do të thotë se doli të ishte mesatarja.

Por çfarë është ajo?

Le të shohim foton - . Dhe ne e morëm atë. Kështu, gjithashtu! Më në fund, shpejt! Dhe.

A ju duk pak e rëndë kjo provë? Shikoni foton - dy trekëndësha identikë flasin vetë.

Në çdo rast, mbani mend me vendosmëri:

Tani është më e vështirë: do të numërojmë këndi ndërmjet përgjysmuesve në çdo trekëndësh! Mos kini frikë, nuk është aq e ndërlikuar. Shikoni foton:

Le ta numërojmë. A ju kujtohet kjo shuma e këndeve të një trekëndëshi është?

Le të zbatojmë këtë fakt mahnitës.

Nga njëra anë, nga:

Kjo eshte.

Tani le të shohim:

Por përgjysmues, përgjysmues!

Le të kujtojmë për:

Tani përmes letrave

\kënd AOC=90()^\circ +\frac(\këndi B)(2)

A nuk është e habitshme? Doli që këndi ndërmjet përgjysmuesve të dy këndeve varet vetëm nga këndi i tretë!

Epo, ne shikuam dy përgjysmues. Po sikur te jene tre??!! A do të kryqëzohen të gjithë në një pikë?

Apo do të jetë kështu?

Si mendoni? Pra, matematikanët menduan, menduan dhe vërtetuan:

A nuk është e mrekullueshme?

Dëshironi të dini pse ndodh kjo?

Pra...dy trekëndësha kënddrejtë: dhe. Ata kane:

• Hipotenuzë e përgjithshme.
• (sepse është një përgjysmues!)

Kjo do të thotë - nga këndi dhe hipotenuza. Prandaj, këmbët përkatëse të këtyre trekëndëshave janë të barabarta! Kjo eshte.

Ne vërtetuam se pika është njësoj (ose njësoj) e largët nga anët e këndit. Pika 1 trajtohet. Tani le të kalojmë në pikën 2.

Pse 2 është e vërtetë?

Dhe le të lidhim pikat dhe.

Kjo do të thotë se shtrihet në përgjysmues!

Kjo eshte e gjitha!

Si mund të zbatohet e gjithë kjo gjatë zgjidhjes së problemeve? Për shembull, në problemet shpesh ekziston fraza e mëposhtme: "Një rreth prek brinjët e një këndi...". Epo, duhet të gjesh diçka.

Atëherë e kuptoni shpejt këtë

Dhe ju mund të përdorni barazinë.

3. Tre përgjysmues në një trekëndësh priten në një pikë

Nga vetia e përgjysmuesit që të jetë vendndodhja e pikave të barabarta nga anët e një këndi, vijon pohimi i mëposhtëm:

Si del saktësisht? Por shikoni: dy përgjysmues patjetër do të kryqëzohen, apo jo?

Dhe përgjysmuesja e tretë mund të shkojë kështu:

Por në realitet, gjithçka është shumë më mirë!

Le të shohim pikën e kryqëzimit të dy përgjysmuesve. Le ta quajmë atë.

Çfarë kemi përdorur këtu të dyja herët? po paragrafi 1, sigurisht! Nëse një pikë shtrihet në një përgjysmues, atëherë ajo është po aq e largët nga anët e këndit.

Dhe kështu ndodhi.

Por shikoni me kujdes këto dy barazi! Në fund të fundit, prej tyre rrjedh se dhe, për rrjedhojë, .

Dhe tani do të hyjë në lojë pika 2: nëse largësitë me brinjët e një këndi janë të barabarta, atëherë pika qëndron në përgjysmues...çfarë këndi? Shikoni sërish foton:

dhe janë distancat me brinjët e këndit, dhe ato janë të barabarta, që do të thotë se pika shtrihet në përgjysmuesin e këndit. Përgjysmuesja e tretë kaloi në të njëjtën pikë! Të tre përgjysmuesit kryqëzohen në një pikë! Dhe si një dhuratë shtesë -

Rrezet të mbishkruara rrathët.

(Për t'u siguruar, shikoni një temë tjetër).

Epo, tani nuk do ta harroni kurrë:

Pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të një trekëndëshi është qendra e rrethit të gdhendur në të.

Le të kalojmë në pronën tjetër... Uau, përgjysmuesja ka shumë prona, apo jo? Dhe kjo është e mrekullueshme, sepse sa më shumë veti, aq më shumë mjete për zgjidhjen e problemeve të përgjysmimit.

4. Përgjysmues dhe paralelizëm, përgjysmues të këndeve fqinjë

Fakti që përgjysmuesi e ndan këndin në gjysmë në disa raste çon në rezultate krejtësisht të papritura. Për shembull,

Rasti 1

E shkëlqyeshme, apo jo? Le të kuptojmë pse është kështu.

Nga njëra anë, ne vizatojmë një përgjysmues!

Por, nga ana tjetër, ka kënde që shtrihen në mënyrë tërthore (kujtoni temën).

Dhe tani rezulton se; hidhe nga mesi: ! - izosceles!

Rasti 2

Imagjinoni një trekëndësh (ose shikoni foton)

Le të vazhdojmë anën përtej pikës. Tani kemi dy kënde:

• - këndi i brendshëm
• - këndi i jashtëm është jashtë, apo jo?

Pra, tani dikush donte të vizatonte jo një, por dy përgjysmues menjëherë: si për ashtu edhe për. Çfarë do të ndodhë?

A do të funksionojë? drejtkëndëshe!

Çuditërisht, ky është pikërisht rasti.

Le ta kuptojmë.

Sa mendoni se është shuma?

Sigurisht, - në fund të fundit, të gjithë së bashku bëjnë një kënd të tillë që rezulton të jetë një vijë e drejtë.

Tani mbani mend se dhe janë përgjysmues dhe shikoni se brenda këndit ka saktësisht gjysma nga shuma e të katër këndeve: dhe - - domethënë saktësisht. Mund ta shkruani edhe si ekuacion:

Pra, e pabesueshme por e vërtetë:

Këndi ndërmjet përgjysmuesve të këndit të brendshëm dhe të jashtëm të një trekëndëshi është i barabartë.

Rasti 3

A e shihni se këtu gjithçka është e njëjtë si për qoshet e brendshme dhe të jashtme?

Apo le të mendojmë përsëri pse ndodh kjo?

Përsëri, si për qoshet ngjitur,

(si korrespondues me bazat paralele).

Dhe përsëri, ata përbëjnë saktësisht gjysma nga shuma

konkluzioni: Nëse problemi përmban përgjysmues ngjitur kënde ose përgjysmues relevante këndet e një paralelogrami ose trapezi, atëherë në këtë problem sigurisht përfshihet një trekëndësh kënddrejtë, ose ndoshta edhe një drejtkëndësh i tërë.

5. Përgjysmues dhe ana e kundërt

Rezulton se përgjysmuesi i një këndi të një trekëndëshi ndan anën e kundërt jo vetëm në një farë mënyre, por në një mënyrë të veçantë dhe shumë interesante:

Kjo eshte:

Një fakt i mahnitshëm, apo jo?

Tani do ta vërtetojmë këtë fakt, por bëhuni gati: do të jetë pak më e vështirë se më parë.

Përsëri - dalje në "hapësirë" - formacion shtesë!

Le të shkojmë drejt.

Per cfare? Do të shohim tani.

Le të vazhdojmë përgjysmuesin derisa të kryqëzohet me vijën.

A është kjo një foto e njohur? Po, po, po, saktësisht njësoj si në pikën 4, rasti 1 - rezulton se (- përgjysmues)

Shtrirë në mënyrë tërthore

Pra, edhe atë.

Tani le të shohim trekëndëshat dhe.

Çfarë mund të thoni për to?

Ata janë të ngjashëm. Epo, po, këndet e tyre janë të barabarta me ato vertikale. Pra, në dy qoshe.

Tani kemi të drejtë të shkruajmë marrëdhëniet e palëve përkatëse.

Dhe tani me një shënim të shkurtër:

Oh! Më kujton diçka, apo jo? A nuk është kjo ajo që ne donim të vërtetonim? Po, po, pikërisht kështu!

E shihni sa e mrekullueshme doli të ishte "shëtitja hapësinore" - ndërtimi i një vije të drejtë shtesë - pa të asgjë nuk do të kishte ndodhur! Dhe kështu, ne e kemi vërtetuar këtë

Tani mund ta përdorni me siguri! Le të shohim një veçori tjetër të përgjysmuesve të këndeve të një trekëndëshi - mos u shqetësoni, tani pjesa më e vështirë ka mbaruar - do të jetë më e lehtë.

Ne e kuptojmë atë

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Matematika, siç e dimë, është mbretëresha e shkencave. Nuk është rastësi që mësuesit, veçanërisht ata të brezit të vjetër, e duan kaq shumë këtë shprehje. Matematika u hapet ekskluzivisht atyre që dinë, së pari, të mendojnë logjikisht dhe së dyti, atyre që pëlqejnë gjithmonë të arrijnë një përgjigje, duke vepruar me kushtet fillestare, pa mashtruar, por duke i bazuar vendimet në analizë, duke ndërtuar përsëri lidhje logjike. Këto cilësi, të mësuara nga shkolla, mund të modifikohen në jetën serioze të të rriturve, si në punë ashtu edhe në momente të tjera të vështira.

Sot, shumë njerëz përballen me probleme në zgjidhjen e problemeve matematikore edhe në shkollën fillore.

Megjithatë, edhe ata nxënës që zotërojnë me sukses programin fillor matematikor, duke kaluar në një fazë të re shkollore dhe të jetës, ku algjebra është e ndarë nga gjeometria, ndonjëherë hasin në vështirësi serioze. Ndërkohë, pasi mësova një herë dhe, më e rëndësishmja, kuptova, si të gjejmë përgjysmuesin e një trekëndëshi, studenti do ta kujtojë përgjithmonë këtë formulë. Konsideroni trekëndëshin ABC me tre përgjysmues. Siç shihet nga figura, të gjitha konvergojnë në një pikë.

Së pari, le të përcaktojmë se përgjysmuesja e një trekëndëshi, dhe kjo është një nga vetitë e tij më të rëndësishme, e ndan këndin nga i cili buron një segment i tillë në gjysmë. Kjo do të thotë, në shembullin e mësipërm, këndi BAD është i barabartë me këndin DAC.

Vetitë

1. Përgjysmuesja e një trekëndëshi e ndan brinjën në të cilën është tërhequr në dy segmente që kanë vetitë e proporcionalitetit me brinjët që janë përkatësisht ngjitur me secilin segment. Kështu, BD/CD = AB/AC.
2. Çdo trekëndësh mund të ketë tre segmente të dhëna. Veti të tjera domethënëse kanë të bëjnë si me rastet e veçanta ashtu edhe ato të përgjithshme të trekëndëshave specifikë në shqyrtim.

Vetitë në trekëndëshat dykëndësh

Përcaktimi i përgjysmuesit të një trekëndëshi

Le të supozojmë se në trekëndëshin ABC në shqyrtim, brinja AB = 5 cm, AC = 4 cm. Seksioni CD = 3 cm.

Përcaktimi i gjatësisë

Gjatësia mund të përcaktohet duke përdorur formulën e mëposhtme. AD = rrënja katrore e ndryshimit midis prodhimit të brinjëve dhe prodhimit të segmenteve proporcionale.

Gjeni gjatësinë e brinjës BC.

• Nga vetitë dihet se BD/CD = AB/AC.
• Pra BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Pra BD = 3.75.
• ABxAC = 5×4=20.
• CDxBD = 3x3.75 = 11.25.

Ky shembull synon gjithashtu të tregojë në mënyrë eksplicite një situatë ku vlerat e gjatësisë së përgjysmuesit, si të gjitha vlerat e tjera në matematikë, nuk do të shprehen në numra natyrorë, por nuk duhet të keni frikë nga kjo.

Gjetja e këndit

Për të gjetur këndet e formuara nga një përgjysmues, është e rëndësishme, para së gjithash, mbani mend shumën e këndeve, gjithmonë 180 gradë. Le të supozojmë se këndi ABC është 70 gradë dhe këndi BCA është 50 gradë. Kjo do të thotë se përmes llogaritjeve të thjeshta gjejmë se CAB = 180 – (70+50) = 60 gradë.

Nëse përdorim vetinë kryesore, sipas së cilës këndi nga i cili ajo del, ndahet përgjysmë, marrim vlera të barabarta të këndeve BAD dhe CAD, secila prej të cilave do të jetë 60/2 = 30 gradë.

Nëse nevojitet një shembull ilustrues shtesë, merrni parasysh një situatë ku dihet vetëm këndi BAD i barabartë me 28 gradë dhe këndi ABC është i barabartë me 70 gradë. Duke përdorur vetinë e përgjysmuesit, gjejmë menjëherë këndin CAB duke shumëzuar vlerën e këndit BAD me dy. CAB = 28×2 =56. Pra, BAC = 180 – (70+56) ose 180 – (70+28×2) = 180 – 126 = 54 gradë.

Situata kur ky segment vepron si mesatare apo lartësi nuk u mor në konsideratë konkretisht, duke lënë artikuj të tjerë të specializuar për këtë.

Kështu, ne e konsideruam një koncept të tillë si përgjysmues trekëndësh, formula për gjetjen e gjatësisë dhe këndeve të së cilës është parashtruar dhe zbatuar në shembujt e dhënë, të cilët synojnë të tregojnë qartë se si mund të përdoret për zgjidhjen e problemeve të caktuara në gjeometri. Gjithashtu, të lidhura me këtë temë janë koncepte të tilla si mediana dhe lartësia. Nëse kjo çështje është bërë e qartë, duhet t'i drejtohemi studimit të mëtejshëm të veçorive të tjera të ndryshme të trekëndëshit, pa të cilat studimi i mëtejshëm i gjeometrisë është i paimagjinueshëm.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve