Si të gjeni zonën e një formule të fytyrës anësore. Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri

Cilindri është një trup gjeometrik i kufizuar nga dy plane paralele dhe një sipërfaqe cilindrike. Në artikull do të flasim se si të gjejmë sipërfaqen e një cilindri dhe, duke përdorur formulën, do të zgjidhim disa probleme si shembull.

Një cilindër ka tre sipërfaqe: maja, baza dhe sipërfaqe anësore.

Pjesa e sipërme dhe baza e një cilindri janë rrathë dhe janë të lehtë për t'u identifikuar.

Dihet që sipërfaqja e një rrethi është e barabartë me πr 2. Prandaj, formula për sipërfaqen e dy rrathëve (maja dhe baza e cilindrit) do të jetë πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Sipërfaqja e tretë, anësore e cilindrit, është muri i lakuar i cilindrit. Për ta imagjinuar më mirë këtë sipërfaqe, le të përpiqemi ta transformojmë atë për të marrë një formë të dallueshme. Imagjinoni që cilindri është i zakonshëm kallaj, e cila nuk ka një mbulesë të sipërme ose të poshtme. Le të bëjmë një prerje vertikale në murin anësor nga lart në bazën e kanaçes (Hapi 1 në figurë) dhe të përpiqemi të hapim (drejtojmë) figurën që rezulton sa më shumë që të jetë e mundur (Hapi 2).

Pasi kavanoza që rezulton të jetë hapur plotësisht, do të shohim një figurë të njohur (Hapi 3), ky është një drejtkëndësh. Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e lehtë për t'u llogaritur. Por para kësaj, le të kthehemi për një moment në cilindrin origjinal. Kulmi i cilindrit origjinal është një rreth, dhe ne e dimë se perimetri llogaritet me formulën: L = 2πr. Në figurë është shënuar me të kuqe.

Kur muri anësor i cilindrit hapet plotësisht, shohim se perimetri bëhet gjatësia e drejtkëndëshit që rezulton. Brinjët e këtij drejtkëndëshi do të jenë perimetri (L = 2πr) dhe lartësia e cilindrit (h). Sipërfaqja e një drejtkëndëshi është e barabartë me produktin e anëve të tij - S = gjatësia x gjerësia = L x h = 2πr x h = 2πrh. Si rezultat, ne morëm një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së sipërfaqes anësore të cilindrit.

Formula për sipërfaqen anësore të një cilindri
Ana S = 2πrh

Sipërfaqja totale e një cilindri

Në fund, nëse shtojmë sipërfaqen e të tre sipërfaqeve, marrim formulën e sipërfaqes sipërfaqe të plotë cilindër. Sipërfaqja e një cilindri është e barabartë me sipërfaqen e pjesës së sipërme të cilindrit + sipërfaqen e bazës së cilindrit + sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit ose S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ndonjëherë kjo shprehje shkruhet identike me formulën 2πr (r + h).

Formula për sipërfaqen totale të një cilindri
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – rrezja e cilindrit, h – lartësia e cilindrit

Shembuj të llogaritjes së sipërfaqes së një cilindri

Për të kuptuar formulat e mësipërme, le të përpiqemi të llogarisim sipërfaqen e një cilindri duke përdorur shembuj.

1. Rrezja e bazës së cilindrit është 2, lartësia është 3. Përcaktoni sipërfaqen e sipërfaqes anësore të cilindrit.

Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: ana S. = 2πrh

Ana S = 2 * 3,14 * 2 * 3

Ana S = 6,28 * 6

Ana S = 37,68

Sipërfaqja anësore e cilindrit është 37.68.

2. Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri nëse lartësia është 4 dhe rrezja është 6?

Sipërfaqja totale llogaritet duke përdorur formulën: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

Sipërfaqja e piramidës. Në këtë artikull do të shqyrtojmë problemet me piramidat e rregullta. Më lejoni t'ju kujtoj se piramida e rregulltështë një piramidë baza e së cilës është shumëkëndëshi i rregullt, kulmi i piramidës është projektuar në qendër të këtij shumëkëndëshi.

Faqja anësore e një piramide të tillë është një trekëndësh dykëndësh.Lartësia e këtij trekëndëshi i nxjerrë nga kulmi i një piramide të rregullt quhet apotemë, SF - apotemë:

Në llojin e problemit të paraqitur më poshtë, duhet të gjeni sipërfaqen e të gjithë piramidës ose sipërfaqen e sipërfaqes së saj anësore. Blogu ka diskutuar tashmë disa probleme me piramidat e rregullta, ku u ngrit çështja e gjetjes së elementeve (lartësia, skaji i bazës, skaji anësor).

NË Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit Si rregull, merren parasysh piramidat e rregullta trekëndore, katërkëndore dhe gjashtëkëndore. Unë nuk kam parë ndonjë problem me piramidat e rregullta pesëkëndëshe dhe shtatëkëndore.

Formula për sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes është e thjeshtë - ju duhet të gjeni shumën e sipërfaqes së bazës së piramidës dhe sipërfaqes së sipërfaqes së saj anësore:

Le të shqyrtojmë detyrat:

Anët e bazës janë të sakta piramidë katërkëndore e barabartë me 72, brinjë anësore janë të barabarta me 164. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.

Sipërfaqja e piramidës është e barabartë me shumën e sipërfaqeve të sipërfaqes anësore dhe bazës:

*Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër trekëndësha me sipërfaqe të barabartë. Baza e piramidës është një katror.

Ne mund të llogarisim sipërfaqen e anës së piramidës duke përdorur:

Kështu, sipërfaqja e piramidës është:

Përgjigje: 28224

Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 22, skajet anësore janë të barabarta me 61. Gjeni sipërfaqen anësore të kësaj piramide.

Baza e një piramide të rregullt gjashtëkëndore është një gjashtëkëndësh i rregullt.

Sipërfaqja anësore e kësaj piramide përbëhet nga gjashtë zona me trekëndësha të barabartë me brinjë 61,61 dhe 22:

Le të gjejmë sipërfaqen e trekëndëshit duke përdorur formulën e Heronit:

Kështu, sipërfaqja anësore është:

Përgjigje: 3240

*Në problemet e paraqitura më sipër, zona e faqes anësore mund të gjendet duke përdorur një formulë tjetër trekëndëshi, por për këtë ju duhet të llogaritni apotemën.

27155. Gjeni sipërfaqen e një piramide të rregullt katërkëndore, anët e bazës së së cilës janë 6 dhe lartësia e së cilës është 4.

Për të gjetur sipërfaqen e piramidës, duhet të dimë sipërfaqen e bazës dhe sipërfaqen e sipërfaqes anësore:

Sipërfaqja e bazës është 36 pasi është një katror me anën 6.

Sipërfaqja anësore përbëhet nga katër faqe, të cilat janë trekëndësha të barabartë. Për të gjetur zonën e një trekëndëshi të tillë, duhet të dini bazën dhe lartësinë e tij (apotem):

*Sipërfaqja e një trekëndëshi është e barabartë me gjysmën e prodhimit të bazës dhe lartësisë së tërhequr në këtë bazë.

Baza dihet, është e barabartë me gjashtë. Le të gjejmë lartësinë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë (të theksuar me të verdhë):

Njëra këmbë është e barabartë me 4, pasi kjo është lartësia e piramidës, tjetra është e barabartë me 3, pasi është e barabartë me gjysmën brinjët bazë. Ne mund ta gjejmë hipotenuzën duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Kjo do të thotë se sipërfaqja e sipërfaqes anësore të piramidës është:

Kështu, sipërfaqja e të gjithë piramidës është:

Përgjigje: 96

27069. Anët e bazës së një piramide të rregullt katërkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen e kësaj piramide.

27070. Anët e bazës së një piramide të rregullt gjashtëkëndore janë të barabarta me 10, skajet anësore janë të barabarta me 13. Gjeni sipërfaqen anësore të kësaj piramide.

Ekzistojnë gjithashtu formula për sipërfaqen anësore të një piramide të rregullt. Në një piramidë të rregullt, baza është projeksion ortogonal sipërfaqja anësore, pra:

P- perimetri i bazës, l- apotema e piramidës

*Kjo formulë bazohet në formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi.

Nëse dëshironi të mësoni më shumë se si rrjedhin këto formula, mos e humbisni, ndiqni publikimin e artikujve.Kjo është e gjitha. Ju uroj fat!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Piramida- një nga varietetet e një poliedri të formuar nga shumëkëndëshat dhe trekëndëshat që shtrihen në bazë dhe janë faqet e tij.

Për më tepër, në majë të piramidës (d.m.th. në një pikë) të gjitha fytyrat janë të bashkuara.

Për të llogaritur sipërfaqen e një piramide, vlen të përcaktohet se sipërfaqja e saj anësore përbëhet nga disa trekëndësha. Dhe ne mund t'i gjejmë lehtësisht zonat e tyre duke përdorur

formula të ndryshme. Në varësi të të dhënave që dimë për trekëndëshat, ne kërkojmë zonën e tyre.

Ne listojmë disa formula që mund të përdoren për të gjetur sipërfaqen e trekëndëshave:

1. S = (a*h)/2 . NË në këtë rast ne e dimë lartësinë e trekëndëshit h , e cila ulet anash a .
2. S = a*b*sinβ . Këtu janë anët e trekëndëshit a , b , dhe këndi ndërmjet tyre është β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Këtu janë anët e trekëndëshit a, b, c . Rrezja e një rrethi që është brendashkruar në një trekëndësh është r .
4. S = (a*b*c)/4*R . Rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një trekëndëshi është R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Kjo formulë duhet të zbatohet vetëm kur trekëndëshi është kënddrejtë.
6. S = (a²*√3)/4 . Ne e zbatojmë këtë formulë në një trekëndësh barabrinjës.

Vetëm pasi të llogarisim sipërfaqet e të gjithë trekëndëshave që janë faqet e piramidës sonë, mund të llogarisim sipërfaqen e sipërfaqes anësore të saj. Për ta bërë këtë, ne do të përdorim formulat e mësipërme.

Për të llogaritur sipërfaqen e sipërfaqes anësore të një piramide, nuk lindin vështirësi: duhet të zbuloni shumën e sipërfaqeve të të gjithë trekëndëshave. Le ta shprehim këtë me formulën:

Sp = ΣSi

Këtu Si është zona e trekëndëshit të parë dhe S n - zona e sipërfaqes anësore të piramidës.

Le të shohim një shembull. Duke pasur parasysh një piramidë të rregullt, është fytyrat anësore i formuar nga disa trekëndësha barabrinjës,

« Gjeometria është mjeti më i fuqishëm për të mprehur aftësitë tona mendore».

Galileo Galilei.

dhe katrori është baza e piramidës. Për më tepër, skaji i piramidës ka një gjatësi prej 17 cm, le të gjejmë sipërfaqen anësore të kësaj piramide.

Ne arsyetojmë kështu: ne e dimë se faqet e piramidës janë trekëndësha, ato janë barabrinjës. Ne gjithashtu e dimë se sa është gjatësia e skajit të kësaj piramide. Nga kjo rrjedh se të gjithë trekëndëshat janë të barabartë anët, gjatësia e tyre është 17 cm.

Për të llogaritur sipërfaqen e secilit prej këtyre trekëndëshave, mund të përdorni formulën e mëposhtme:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Pra, duke qenë se ne e dimë se katrori shtrihet në bazën e piramidës, rezulton se kemi katër trekëndësh barabrinjës. Kjo do të thotë që sipërfaqja anësore e piramidës mund të llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën e mëposhtme: 125,137 cm² * 4 = 500,548 cm²

Përgjigja jonë është si më poshtë: 500.548 cm² - kjo është zona e sipërfaqes anësore të kësaj piramide.

Kur përgatiten për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, studentët duhet të sistemojnë njohuritë e tyre për algjebrën dhe gjeometrinë. Unë dua të kombinoj gjithçka informacione të njohura, për shembull, se si të llogarisni sipërfaqen e një piramide. Për më tepër, duke filluar nga baza dhe skajet anësore deri në të gjithë sipërfaqen. Nëse situata me faqet anësore është e qartë, pasi ato janë trekëndësha, atëherë baza është gjithmonë e ndryshme.

Si të gjeni sipërfaqen e bazës së piramidës?

Mund të jetë absolutisht çdo figurë: nga trekëndësh arbitrar te n-gon. Dhe kjo bazë, përveç ndryshimit në numrin e këndeve, mund të jetë një figurë e rregullt ose e parregullt. Në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit që u interesojnë nxënësve të shkollës, në bazë ka vetëm detyra me shifra të sakta. Prandaj, ne do të flasim vetëm për to.

Trekëndësh i rregullt

Domethënë barabrinjës. Ai në të cilin të gjitha anët janë të barabarta dhe përcaktohen me shkronjën "a". Në këtë rast, sipërfaqja e bazës së piramidës llogaritet me formulën:

S = (a 2 * √3) / 4.

Sheshi

Formula për llogaritjen e sipërfaqes së saj është më e thjeshta, këtu "a" është përsëri ana:

N-gon i rregullt arbitrar

Ana e një shumëkëndëshi ka të njëjtin shënim. Për numrin e këndeve të përdorura shkronja latine n.

S = (n * a 2) / (4 * tg (180º/n)).

Çfarë duhet bërë kur llogaritet sipërfaqja anësore dhe totale?

Sepse në bazë qëndron figura e saktë, atëherë të gjitha fytyrat e piramidës rezultojnë të jenë të barabarta. Për më tepër, secila prej tyre është një trekëndësh izosceles, pasi skajet anësore janë të barabarta. Pastaj për të llogaritur zona anësore piramidale, do t'ju duhet një formulë e përbërë nga shuma e monomëve identikë. Numri i termave përcaktohet nga numri i anëve të bazës.

Sheshi trekëndëshi dykëndësh llogaritet duke përdorur një formulë në të cilën gjysma e produktit të bazës shumëzohet me lartësinë. Kjo lartësi në piramidë quhet apotemë. Emërtimi i tij është "A". Formula e përgjithshme për sipërfaqen anësore duket kështu:

S = ½ P*A, ku P është perimetri i bazës së piramidës.

Ka situata kur anët e bazës nuk dihen, por jepen skajet anësore (c) dhe këndi i sheshtë në kulmin e saj (α). Pastaj ju duhet të përdorni formulën e mëposhtme për të llogaritur zonën anësore të piramidës:

S = n/2 * në 2 sin α .

Detyra nr. 1

gjendja. Gjeni sipërfaqe totale piramida, nëse baza e saj ka një anë 4 cm, dhe apotema ka vlerën √3 cm.

Zgjidhje. Ju duhet të filloni duke llogaritur perimetrin e bazës. Sepse kjo trekëndëshi i rregullt, atëherë P = 3*4 = 12 cm Meqenëse apotema është e njohur, ne mund të llogarisim menjëherë sipërfaqen e të gjithë sipërfaqes anësore: ½*12*√3 = 6√3 cm 2.

Për trekëndëshin në bazë, ju merrni vlerën e mëposhtme të zonës: (4 2 *√3) / 4 = 4√3 cm 2.

Për të përcaktuar të gjithë zonën, do t'ju duhet të shtoni dy vlerat që rezultojnë: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm 2.

Përgjigju. 10√3 cm 2.

Problemi nr. 2

gjendja. Ekziston një piramidë e rregullt katërkëndore. Gjatësia e anës së bazës është 7 mm, buza anësore është 16 mm. Është e nevojshme të zbulohet sipërfaqja e saj.

Zgjidhje. Meqenëse poliedri është katërkëndor dhe i rregullt, baza e tij është një katror. Pasi të dini sipërfaqen e bazës dhe faqeve anësore, do të jeni në gjendje të llogarisni sipërfaqen e piramidës. Formula për katrorin është dhënë më sipër. Dhe për faqet anësore, të gjitha anët e trekëndëshit janë të njohura. Prandaj, mund të përdorni formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqet e tyre.

Llogaritjet e para janë të thjeshta dhe çojnë në numrin e mëposhtëm: 49 mm 2. Për vlerën e dytë, do t'ju duhet të llogarisni gjysmë-perimetrin: (7 + 16*2): 2 = 19.5 mm. Tani mund të llogarisni sipërfaqen e një trekëndëshi dykëndësh: √(19.5*(19.5-7)*(19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 mm 2. Ekzistojnë vetëm katër trekëndësha të tillë, kështu që kur llogaritni numrin përfundimtar do t'ju duhet ta shumëzoni atë me 4.

Rezulton: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm 2.

Përgjigju. Vlera e dëshiruar është 267.576 mm 2.

Problemi nr. 3

gjendja. Për një piramidë të rregullt katërkëndore, duhet të llogaritni sipërfaqen. Brinja e katrorit dihet të jetë 6 cm dhe lartësia është 4 cm.

Zgjidhje. Mënyra më e lehtë është përdorimi i formulës me produktin e perimetrit dhe apotemës. Vlera e parë është e lehtë për t'u gjetur. E dyta është pak më e ndërlikuar.

Ne do të duhet të kujtojmë teoremën e Pitagorës dhe të konsiderojmë se ajo është formuar nga lartësia e piramidës dhe apotema, e cila është hipotenuza. Këmba e dytë është e barabartë me gjysmën e anës së katrorit, pasi lartësia e poliedrit bie në mes të tij.

Apotema e kërkuar (hipotenuzë trekëndësh kënddrejtë) është e barabartë me √(3 2 + 4 2) = 5 (cm).

Tani mund të llogarisni vlerën e kërkuar: ½*(4*6)*5+6 2 = 96 (cm 2).

Përgjigju. 96 cm 2.

Problemi nr. 4

gjendja. Dana anën e duhur bazat e tij janë 22 mm, brinjët anësore janë 61 mm. Sa është sipërfaqja anësore e këtij poliedri?

Zgjidhje. Arsyetimi në të është i njëjtë me atë të përshkruar në detyrën nr. 2. Vetëm aty iu dha një piramidë me një katror në bazë, dhe tani ajo është një gjashtëkëndësh.

Para së gjithash, sipërfaqja bazë llogaritet duke përdorur formulën e mësipërme: (6*22 2) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 cm 2.

Tani ju duhet të zbuloni gjysmë-perimetrin e një trekëndëshi izosceles, që është faqja anësore. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm e vetmja gjë që mbetet është të përdorim formulën e Heronit për të llogaritur sipërfaqen e secilit trekëndësh të tillë, dhe më pas ta shumëzojmë atë me gjashtë dhe t'i shtojmë asaj që është marrë për bazën.

Llogaritjet duke përdorur formulën e Heronit: √(72*(72-22)*(72-61) 2)=√435600=660 cm 2. Llogaritjet që do të japin sipërfaqen anësore: 660 * 6 = 3960 cm 2. Mbetet t'i mbledhim për të gjetur të gjithë sipërfaqen: 5217,47≈5217 cm 2.

Përgjigju. Baza është 726√3 cm 2, sipërfaqja anësore është 3960 cm 2, e gjithë sipërfaqja është 5217 cm 2.

Një cilindër është një figurë e përbërë nga sipërfaqe cilindrike dhe dy rrathë të vendosur paralel. Llogaritja e sipërfaqes së një cilindri është një problem në degën gjeometrike të matematikës, i cili mund të zgjidhet mjaft thjesht. Ka disa metoda për zgjidhjen e tij, të cilat në fund gjithmonë zbresin në një formulë.

Si të gjeni sipërfaqen e një cilindri - rregullat e llogaritjes

• Për të zbuluar zonën e cilindrit, duhet të shtoni dy zonat e bazës me sipërfaqen e sipërfaqes anësore: S = Side + 2Sbase. Në një version më të zgjeruar këtë formulë duket kështu: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Sipërfaqja anësore e një të dhënë trup gjeometrik mund të llogaritet nëse dihet lartësia e tij dhe rrezja e rrethit që shtrihet në bazën e tij. Në këtë rast, ju mund të shprehni rrezen nga perimetri, nëse jepet. Lartësia mund të gjendet nëse vlera e gjeneratorit është e specifikuar në kusht. Në këtë rast, gjenerata do të jetë e barabartë me lartësinë. Formula e sipërfaqes anësore trupi i dhënë duket kështu: S= 2 π rh.
• Sipërfaqja e bazës llogaritet duke përdorur formulën për gjetjen e sipërfaqes së një rrethi: S osn= π r 2. Në disa probleme mund të mos jepet rrezja, por mund të jepet perimetri. Me këtë formulë, rrezja shprehet mjaft lehtë. С=2π r, r= С/2π. Ju gjithashtu duhet të mbani mend se rrezja është gjysma e diametrit.
• Gjatë kryerjes së të gjitha këtyre llogaritjeve, numri π zakonisht nuk përkthehet në 3.14159... Thjesht duhet të shtohet pranë vlerë numerike, e cila është marrë si rezultat i llogaritjeve.
• Tjetra, ju vetëm duhet të shumëzoni zonën e gjetur të bazës me 2 dhe të shtoni në numrin që rezulton zonën e llogaritur të sipërfaqes anësore të figurës.
• Nëse problemi tregon se cilindri përmban seksion boshtor dhe ky është një drejtkëndësh, atëherë zgjidhja do të jetë paksa e ndryshme. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit do të jetë diametri i rrethit që shtrihet në bazën e trupit. Gjatësia e figurës do të jetë e barabartë me gjeneratën ose lartësinë e cilindrit. Nevoja për të llogaritur vlerat e kërkuara dhe zëvendësojeni tashmë formula e njohur. Në këtë rast, gjerësia e drejtkëndëshit duhet të ndahet me dy për të gjetur zonën e bazës. Për të gjetur sipërfaqen anësore, gjatësia shumëzohet me dy rreze dhe numrin π.
• Ju mund të llogarisni sipërfaqen e një trupi të caktuar gjeometrik përmes vëllimit të tij. Për ta bërë këtë, ju duhet të nxirrni vlerën që mungon nga formula V=π r 2 h.
• Nuk ka asgjë të komplikuar në llogaritjen e sipërfaqes së një cilindri. Thjesht duhet të dini formulat dhe të jeni në gjendje të nxirrni prej tyre sasitë e nevojshme për të kryer llogaritjet.