Pajisjet:

• kompjuter,
• projektor multimedial,
• ekran,
• Shtojca 1(Prezantimi i rrëshqitjes në PowerPoint) "Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale"
• Shtojca 2(Zgjidhja e një ekuacioni si "Tre baza të ndryshme të fuqive" në Word)
• Shtojca 3(prospekte në Word për punë praktike).
• Shtojca 4(prospekte në Word për detyrat e shtëpisë).

Gjatë orëve të mësimit

1. Faza organizative

• mesazhi i temës së mësimit (i shkruar në tabelë),
• nevoja për një mësim të përgjithshëm në klasat 10-11:

Faza e përgatitjes së nxënësve për mësim aktiv

Përsëritje

Përkufizimi.

Një ekuacion eksponencial është një ekuacion që përmban një ndryshore me një eksponent (përgjigjet e nxënësit).

Shënim i mësuesit. Ekuacionet eksponenciale i përkasin klasës së ekuacioneve transcendentale. Ky emër i pashqiptueshëm sugjeron që ekuacione të tilla, në përgjithësi, nuk mund të zgjidhen në formën e formulave.

Ato mund të zgjidhen vetëm përafërsisht me metoda numerike në kompjuter. Por çfarë ndodh me detyrat e provimit? Truku është se ekzaminuesi e kornizon problemin në atë mënyrë që të mundësojë një zgjidhje analitike. Me fjalë të tjera, ju mund (dhe duhet!) të kryeni transformime identike që e reduktojnë këtë ekuacion eksponencial në ekuacionin më të thjeshtë eksponencial. Ky ekuacion më i thjeshtë quhet: ekuacioni më i thjeshtë eksponencial. Është duke u zgjidhur nga logaritmi.

Situata me zgjidhjen e një ekuacioni eksponencial të kujton udhëtimin nëpër një labirint, i cili u shpik posaçërisht nga autori i problemit. Nga këto argumente shumë të përgjithshme rrjedhin rekomandime shumë specifike.

Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale duhet:

1. Jo vetëm që njihni në mënyrë aktive të gjitha identitetet eksponenciale, por gjeni edhe grupet e vlerave të ndryshueshme mbi të cilat përcaktohen këto identitete, në mënyrë që kur përdorni këto identitete të mos merrni rrënjë të panevojshme dhe aq më tepër, të mos humbni zgjidhje te ekuacioni.

2. Njihni në mënyrë aktive të gjitha identitetet eksponenciale.

3. Në mënyrë të qartë, në detaje dhe pa gabime, kryeni shndërrimet matematikore të ekuacioneve (transferoni termat nga një pjesë e ekuacionit në tjetrin, duke mos harruar të ndryshoni shenjën, të sillni thyesat në një emërues të përbashkët etj.). Kjo quhet kulturë matematikore. Në të njëjtën kohë, vetë llogaritjet duhet të bëhen automatikisht me dorë, dhe kreu duhet të mendojë për fillin e përgjithshëm udhëzues të zgjidhjes. Transformimet duhet të bëhen sa më shumë me kujdes dhe në detaje. Vetëm kjo do të garantojë një vendim të saktë, pa gabime. Dhe mbani mend: një gabim i vogël aritmetik thjesht mund të krijojë një ekuacion transcendental që, në parim, nuk mund të zgjidhet në mënyrë analitike. Rezulton se ke humbur rrugën dhe ke përplasur murin e labirintit.

4. Njihni metodat për zgjidhjen e problemeve (d.m.th., njihni të gjitha shtigjet nëpër labirintin e zgjidhjes). Për të lundruar saktë në çdo fazë, do t'ju duhet (me vetëdije ose intuitive!):

• përcaktojnë lloji i ekuacionit;
• mbani mend llojin përkatës metoda e zgjidhjes detyrat.

Faza e përgjithësimit dhe sistematizimit të materialit të studiuar.

Mësuesi, së bashku me nxënësit duke përdorur një kompjuter, kryen një rishikim të të gjitha llojeve të ekuacioneve eksponenciale dhe metodave për zgjidhjen e tyre dhe harton një diagram të përgjithshëm. (Përdoret programi arsimor kompjuterik i L.Ya. Borevsky "Kursi i Matematikës - 2000", autori i prezantimit në PowerPoint është T.N. Kuptsova.)

Oriz. 1. Figura tregon një diagram të përgjithshëm të të gjitha llojeve të ekuacioneve eksponenciale.

Siç shihet nga ky diagram, strategjia për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale është reduktimi i ekuacionit të dhënë eksponencial në ekuacionin, para së gjithash, me të njëjtat baza shkallësh , dhe pastaj - dhe me tregues të njëjtë të shkallës.

Pasi të keni marrë një ekuacion me të njëjtat baza dhe eksponentë, ju zëvendësoni këtë eksponent me një ndryshore të re dhe merrni një ekuacion të thjeshtë algjebrik (zakonisht thyesor-racional ose kuadratik) në lidhje me këtë ndryshore të re.

Pasi të keni zgjidhur këtë ekuacion dhe duke bërë zëvendësimin e kundërt, përfundoni me një grup ekuacionesh të thjeshta eksponenciale që mund të zgjidhen në formë të përgjithshme duke përdorur logaritme.

Shquhen ekuacionet në të cilat gjenden vetëm prodhimet e fuqive (të pjesshme). Duke përdorur identitete eksponenciale, është e mundur që këto ekuacione të reduktohen menjëherë në një bazë, në veçanti, në ekuacionin më të thjeshtë eksponencial.

Le të shohim se si të zgjidhim një ekuacion eksponencial me tre baza të ndryshme.

(Nëse mësuesi ka një program kompjuterik mësimor nga L.Ya. Borevsky "Kursi i Matematikës - 2000", atëherë natyrisht ne punojmë me diskun, nëse jo, mund të bëni një printim të këtij lloji ekuacioni prej tij për secilën tavolinë, paraqitur më poshtë.)

Oriz. 2. Plani për zgjidhjen e ekuacionit.

Oriz. 3. Filloni të zgjidhni ekuacionin

Oriz. 4. Përfundoni zgjidhjen e ekuacionit.

Bërja e punës praktike

Përcaktoni llojin e ekuacionit dhe zgjidhni atë.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Duke përmbledhur mësimin

Notimi për mësimin.

Fundi i mësimit

Për mësuesin

Praktikoni skemën e përgjigjeve.

Ushtrimi: nga lista e ekuacioneve, zgjidhni ekuacionet e llojit të specifikuar (futni numrin e përgjigjes në tabelë):

1. Tre baza të ndryshme të shkallës
2. Dy baza të ndryshme - eksponentë të ndryshëm
3. Bazat e fuqive - fuqitë e një numri
4. Baza të njëjta - eksponentë të ndryshëm
5. Të njëjtat baza të shkallëve - të njëjtët tregues të gradave
6. Produkt i fuqive
7. Dy baza të ndryshme të shkallës - të njëjtët tregues
8. Ekuacionet më të thjeshta eksponenciale

1. (Produkt i Fuqive)

2. (të njëjtat baza - eksponentë të ndryshëm)

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale. Shembuj.

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Cfare ndodhi ekuacion eksponencial? Ky është një ekuacion në të cilin janë të panjohurat (x) dhe shprehjet me to treguesit disa gradë. Dhe vetëm atje! Është e rëndësishme.

Ja ku qenke shembuj të ekuacioneve eksponenciale:

3 x 2 x = 8 x+3

Shënim! Në bazë të shkallëve (më poshtë) - vetëm numra. NË treguesit gradë (sipër) - një shumëllojshmëri e gjerë shprehjesh me një X. Nëse, papritmas, një X shfaqet në ekuacion diku tjetër përveç një treguesi, për shembull:

ky tashmë do të jetë një ekuacion i tipit të përzier. Ekuacione të tilla nuk kanë rregulla të qarta për zgjidhjen e tyre. Ne nuk do t'i konsiderojmë ato për momentin. Këtu do të merremi me zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale në formën e tij më të pastër.

Në fakt, edhe ekuacionet e pastra eksponenciale nuk zgjidhen gjithmonë qartë. Por ka disa lloje ekuacionesh eksponenciale që mund dhe duhet të zgjidhen. Këto janë llojet që do të shqyrtojmë.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta eksponenciale.

Së pari, le të zgjidhim diçka shumë themelore. Për shembull:

Edhe pa ndonjë teori, me përzgjedhje të thjeshtë është e qartë se x = 2. Asgjë më shumë, apo jo!? Asnjë vlerë tjetër e X nuk funksionon. Tani le të shohim zgjidhjen e këtij ekuacioni të ndërlikuar eksponencial:

Çfarë kemi bërë? Ne, në fakt, thjesht hodhëm të njëjtat baza (treshe). Plotësisht i hedhur jashtë. Dhe, lajmi i mirë është se kemi goditur gozhdën në kokë!

Në të vërtetë, nëse në një ekuacion eksponencial ka majtas dhe djathtas e njëjta numra në çdo fuqi, këta numra mund të hiqen dhe eksponentët mund të barazohen. Matematika lejon. Mbetet për të zgjidhur një ekuacion shumë më të thjeshtë. E shkëlqyeshme, apo jo?)

Sidoqoftë, le të kujtojmë me vendosmëri: Ju mund të hiqni bazat vetëm kur numrat bazë majtas dhe djathtas janë në izolim të shkëlqyeshëm! Pa asnjë fqinj dhe koeficient. Le të themi në ekuacione:

2 x +2 x+1 = 2 3, ose

Twos nuk mund të hiqet!

Epo, ne kemi zotëruar gjënë më të rëndësishme. Si të kalojmë nga shprehjet e liga eksponenciale në ekuacione më të thjeshta.

"Këto janë koha!" - ti thua. "Kush do të jepte një mësim kaq primitiv për testet dhe provimet!"

Unë duhet të pajtohem. Askush nuk do. Por tani ju e dini se ku të synoni kur zgjidhni shembuj të ndërlikuar. Është e nevojshme ta sillni atë në formën ku i njëjti numër bazë është në të majtë dhe në të djathtë. Atëherë gjithçka do të jetë më e lehtë. Në fakt, ky është një klasik i matematikës. Marrim shembullin origjinal dhe e transformojmë në atë të dëshiruar ne mendjen. Sipas rregullave të matematikës, natyrisht.

Le të shohim shembuj që kërkojnë disa përpjekje shtesë për t'i reduktuar ato në më të thjeshtat. Le t'i thërrasim ata ekuacione të thjeshta eksponenciale.

Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta eksponenciale. Shembuj.

Kur zgjidhen ekuacionet eksponenciale, rregullat kryesore janë veprimet me gradë. Pa njohuri për këto veprime asgjë nuk do të funksionojë.

Veprimeve me gradë, duhet shtuar vëzhgimi dhe zgjuarsia personale. A na duhen të njëjtat numra bazë? Pra, ne i kërkojmë ato në shembull në formë të qartë ose të koduar.

Le të shohim se si bëhet kjo në praktikë?

Le të na jepet një shembull:

2 2x - 8 x+1 = 0

Vështrimi i parë i mprehtë është në bazat. Ata... Ata janë të ndryshëm! Dy dhe tetë. Por është shumë herët për t'u dekurajuar. Është koha ta kujtojmë atë

Dy dhe tetë janë të afërm në shkallë.) Është mjaft e mundur të shkruhet:

8 x+1 = (2 3) x+1

Nëse kujtojmë formulën nga operacionet me gradë:

(a n) m = a nm,

kjo funksionon shkëlqyeshëm:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Shembulli origjinal filloi të dukej kështu:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ne transferojmë 2 3 (x+1) në të djathtë (askush nuk i ka anuluar veprimet elementare të matematikës!), marrim:

2 2x = 2 3(x+1)

Kjo është praktikisht e gjitha. Heqja e bazave:

Ne e zgjidhim këtë përbindësh dhe marrim

Kjo është përgjigja e saktë.

Në këtë shembull, njohja e fuqive të dyve na ndihmoi. ne identifikuar në tetë ka një dy të koduar. Kjo teknikë (kodimi i bazave të përbashkëta nën numra të ndryshëm) është një teknikë shumë e njohur në ekuacionet eksponenciale! Po, dhe në logaritme gjithashtu. Ju duhet të jeni në gjendje të njihni fuqitë e numrave të tjerë në numra. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale.

Fakti është se ngritja e çdo numri në çdo fuqi nuk është problem. Shumëzojeni, edhe në letër, dhe kaq. Për shembull, çdokush mund të ngrejë 3 në fuqinë e pestë. 243 do të funksionojë nëse e dini tabelën e shumëzimit.) Por në ekuacionet eksponenciale, shumë më shpesh nuk është e nevojshme të ngrihet në një fuqi, por anasjelltas... Zbuloni çfarë numri në çfarë shkalle fshihet pas numrit 243, ose, le të themi, 343... Asnjë kalkulator nuk do t'ju ndihmojë këtu.

Ju duhet të dini fuqitë e disa numrave me shikim, apo jo... Le të praktikojmë?

Përcaktoni çfarë fuqie dhe çfarë numrash janë numrat:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Përgjigjet (në një rrëmujë, sigurisht!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Nëse shikoni nga afër, mund të shihni një fakt të çuditshëm. Ka shumë më shumë përgjigje sesa detyra! Epo, ndodh... Për shembull, 2 6, 4 3, 8 2 - kjo është e gjitha 64.

Le të supozojmë se keni marrë shënim informacionin për njohjen me numrat.) Më lejoni t'ju kujtoj gjithashtu se për të zgjidhur ekuacionet eksponenciale ne përdorim të gjitha stoku i njohurive matematikore. Përfshirë ata nga klasat e reja dhe të mesme. Nuk shkuat direkt në shkollën e mesme, apo jo?)

Për shembull, gjatë zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave shpesh ndihmon (përshëndetje në klasën e 7-të!). Le të shohim një shembull:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Dhe përsëri, vështrimi i parë është te themelet! Bazat e gradave janë të ndryshme... Tre dhe nëntë. Por ne duam që ata të jenë të njëjtë. Epo, në këtë rast dëshira plotësohet plotësisht!) Sepse:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Duke përdorur të njëjtat rregulla për trajtimin e diplomave:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

Kjo është e mrekullueshme, mund ta shkruani:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Ne dhamë një shembull për të njëjtat arsye. Pra, çfarë është më pas!? Nuk mund të hedhësh treshe... Rrugë pa krye?

Aspak. Mos harroni rregullin më universal dhe më të fuqishëm të vendimit të gjithë Detyrat e matematikës:

Nëse nuk e dini se çfarë keni nevojë, bëni atë që mundeni!

Shikoni, gjithçka do të funksionojë).

Çfarë është në këtë ekuacion eksponencial Mund bëj? Po, në anën e majtë thjesht lutet të nxirret nga kllapa! Shumëzuesi i përgjithshëm i 3 2x lë të kuptohet qartë për këtë. Le të provojmë, dhe pastaj do të shohim:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Shembulli vazhdon të bëhet gjithnjë e më i mirë!

Ne kujtojmë se për të eleminuar bazat na duhet një shkallë e pastër, pa asnjë koeficient. Numri 70 na shqetëson. Kështu që ne i ndajmë të dy anët e ekuacionit me 70, marrim:

Oops! Gjithçka u bë më mirë!

Kjo është përgjigja përfundimtare.

Ndodh, megjithatë, që taksimi në të njëjtat baza funksionon, por eliminimi i tyre jo. Kjo ndodh në llojet e tjera të ekuacioneve eksponenciale. Le ta zotërojmë këtë lloj.

Zëvendësimi i një ndryshoreje në zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale. Shembuj.

Le të zgjidhim ekuacionin:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Së pari - si zakonisht. Le të kalojmë në një bazë. Në një farë mase.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Ne marrim ekuacionin:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Dhe këtu rrimë. Teknikat e mëparshme nuk do të funksionojnë, pavarësisht se si e shikoni. Ne do të duhet të nxjerrim një tjetër metodë të fuqishme dhe universale nga arsenali ynë. Quhet zëvendësimi i ndryshueshëm.

Thelbi i metodës është çuditërisht i thjeshtë. Në vend të një ikonë komplekse (në rastin tonë - 2 x) ne shkruajmë një tjetër, më të thjeshtë (për shembull - t). Një zëvendësim i tillë në dukje i pakuptimtë çon në rezultate të mahnitshme!) Gjithçka thjesht bëhet e qartë dhe e kuptueshme!

Le të le

Pastaj 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2

Në ekuacionin tonë ne zëvendësojmë të gjitha fuqitë me x me t:

Epo, a ju ka gdhirë?) A i keni harruar ende ekuacionet kuadratike? Duke zgjidhur përmes diskriminuesit, marrim:

Gjëja kryesore këtu është të mos ndalemi, siç ndodh... Kjo nuk është ende përgjigja, ne kemi nevojë për një x, jo një t. Le të kthehemi te X-të, d.m.th. ne bëjmë një zëvendësim të kundërt. Së pari për t 1:

Kjo eshte,

U gjet një rrënjë. Ne jemi duke kërkuar për të dytin nga t 2:

Hm... 2 x majtas, 1 djathtas... Problem? Aspak! Mjafton të kujtojmë (nga operacionet me fuqi, po...) se një njësi është ndonjë numër në fuqinë zero. Çdo. Çfarëdo që të nevojitet, ne do ta instalojmë. Na duhen dy. Do të thotë:

Kjo është ajo tani. Ne kemi 2 rrënjë:

Kjo është përgjigja.

Në zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale në fund ndonjëherë përfundoni me një lloj shprehjeje të vështirë. Lloji:

Shtatë nuk mund të shndërrohen në dy përmes një fuqie të thjeshtë. Ata nuk janë të afërm... Si mund të jemi? Dikush mund të jetë i hutuar... Por personi që lexoi në këtë faqe temën "Çfarë është logaritmi?" , thjesht buzëqesh me masë dhe shkruan me dorë të fortë përgjigjen absolutisht të saktë:

Nuk mund të ketë një përgjigje të tillë në detyrat "B" në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Aty kërkohet një numër specifik. Por në detyrat "C" është e lehtë.

Ky mësim jep shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale më të zakonshme. Le të theksojmë pikat kryesore.

Këshilla praktike:

1. Para së gjithash, ne shikojmë bazat gradë. Ne po pyesim veten nëse është e mundur t'i bëjmë ato identike. Le të përpiqemi ta bëjmë këtë duke përdorur në mënyrë aktive veprimet me gradë. Mos harroni se edhe numrat pa x mund të shndërrohen në fuqi!

2. Mundohemi ta sjellim ekuacionin eksponencial në formë kur në të majtë dhe në të djathtë ka e njëjta numra në çdo fuqi. Ne përdorim veprimet me gradë Dhe faktorizimi.Çfarë mund të numërohet në numra, ne numërojmë.

3. Nëse maja e dytë nuk funksiononte, provoni të përdorni zëvendësimin e ndryshueshëm. Rezultati mund të jetë një ekuacion që mund të zgjidhet lehtësisht. Më shpesh - katror. Ose fraksionale, e cila gjithashtu zvogëlohet në katror.

4. Për të zgjidhur me sukses ekuacionet eksponenciale, duhet të dini fuqitë e disa numrave me shikim.

Si zakonisht, në fund të orës së mësimit jeni të ftuar të vendosni pak.) Vetë. Nga e thjeshta në komplekse.

Zgjidh ekuacionet eksponenciale:

Më i vështirë:

2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0

Gjeni produktin e rrënjëve:

2 3 + 2 x = 9

Ka ndodhur?

Epo, atëherë një shembull shumë i ndërlikuar (megjithëse mund të zgjidhet në mendje ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Çfarë është më interesante? Atëherë këtu është një shembull i keq për ju. Mjaft e denjë për vështirësi të shtuara. Më lejoni të lë të kuptohet se në këtë shembull, ajo që ju shpëton është zgjuarsia dhe rregulli më universal për zgjidhjen e të gjitha problemeve matematikore.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Një shembull më i thjeshtë, për relaksim):

9 2 x - 4 3 x = 0

Dhe për ëmbëlsirë. Gjeni shumën e rrënjëve të ekuacionit:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Po Po! Ky është një ekuacion i tipit të përzier! Të cilat nuk i morëm parasysh në këtë mësim. Pse t'i konsideroni ato, ato duhet të zgjidhen!) Ky mësim është mjaft i mjaftueshëm për të zgjidhur ekuacionin. Epo, keni nevojë për zgjuarsi... Dhe mund t'ju ndihmojë klasa e shtatë (kjo është një aluzion!).

Përgjigjet (në rrëmujë, të ndara me pikëpresje):

1; 2; 3; 4; nuk ka zgjidhje; 2; -2; -5; 4; 0.

A është gjithçka e suksesshme? E madhe.

Ka një problem? Nuk ka problem! Seksioni special 555 zgjidh të gjitha këto ekuacione eksponenciale me shpjegime të hollësishme. Çfarë, pse dhe pse. Dhe, sigurisht, ka informacion shtesë të vlefshëm për punën me të gjitha llojet e ekuacioneve eksponenciale. Jo vetëm këto.)

Një pyetje e fundit argëtuese për t'u marrë parasysh. Në këtë mësim kemi punuar me ekuacione eksponenciale. Pse nuk thashë asnjë fjalë për ODZ këtu? Në ekuacione, kjo është një gjë shumë e rëndësishme, meqë ra fjala...

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Çfarë është një ekuacion eksponencial? Shembuj.

Pra, një ekuacion eksponencial... Një ekspozitë e re unike në ekspozitën tonë të përgjithshme të një shumëllojshmërie të gjerë ekuacionesh!) Siç ndodh pothuajse gjithmonë, fjala kyçe e çdo termi të ri matematikor është mbiemri përkatës që e karakterizon atë. Pra është këtu. Fjala kryesore në termin "ekuacion eksponencial" është fjala "indikative". Çfarë do të thotë? Kjo fjalë do të thotë se ndodhet e panjohura (x). për sa i përket çdo diplome. Dhe vetëm atje! Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme.

Për shembull, këto ekuacione të thjeshta:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ose edhe këto përbindësha:

2 sin x = 0,5

Ju lutemi menjëherë kushtojini vëmendje një gjëje të rëndësishme: arsye gradë (poshtë) - vetëm numra. Por në treguesit gradë (lart) - një larmi e gjerë e shprehjeve me një X. Absolutisht çdo.) Gjithçka varet nga ekuacioni specifik. Nëse, papritmas, x shfaqet diku tjetër në ekuacion, përveç treguesit (të themi, 3 x = 18 + x 2), atëherë një ekuacion i tillë do të jetë tashmë një ekuacion lloj i përzier. Ekuacione të tilla nuk kanë rregulla të qarta për zgjidhjen e tyre. Prandaj, ne nuk do t'i shqyrtojmë ato në këtë mësim. Për kënaqësinë e nxënësve.) Këtu do të shqyrtojmë vetëm ekuacionet eksponenciale në formën e tyre “të pastër”.

Në përgjithësi, jo të gjitha dhe jo gjithmonë edhe ekuacionet e pastra eksponenciale mund të zgjidhen qartë. Por midis gjithë shumëllojshmërisë së pasur të ekuacioneve eksponenciale, ka disa lloje që mund dhe duhet të zgjidhen. Janë këto lloj ekuacionesh që do të shqyrtojmë. Dhe ne patjetër do t'i zgjidhim shembujt.) Pra, le të rehatohemi dhe të ikim! Ashtu si në "shooters" kompjuteri, udhëtimi ynë do të zhvillohet përmes niveleve.) Nga elementare në të thjeshta, nga e thjeshta në mesatare dhe nga mesatare në komplekse. Gjatë rrugës, do t'ju presë gjithashtu një nivel sekret - teknika dhe metoda për zgjidhjen e shembujve jo standardë. Ato për të cilat nuk do të lexoni në shumicën e teksteve shkollore... Epo, dhe në fund, sigurisht, një shef i fundit ju pret në formën e detyrave të shtëpisë.)

Niveli 0. Cili është ekuacioni më i thjeshtë eksponencial? Zgjidhja e ekuacioneve të thjeshta eksponenciale.

Së pari, le të shohim disa gjëra të sinqerta elementare. Duhet të filloni diku, apo jo? Për shembull, ky ekuacion:

2 x = 2 2

Edhe pa asnjë teori, me logjikë të thjeshtë dhe me sens të përbashkët është e qartë se x = 2. Nuk ka rrugë tjetër, apo jo? Asnjë kuptim tjetër i X nuk është i përshtatshëm... Dhe tani le ta kthejmë vëmendjen tonë procesverbal i vendimit ky ekuacion i lezetshëm eksponencial:

2 x = 2 2

X = 2

Çfarë ndodhi me ne? Dhe ndodhi si vijon. Ne në fakt e morëm dhe... thjesht hodhëm të njëjtat baza (dy)! Plotësisht i hedhur jashtë. Dhe, lajmi i mirë është, ne goditëm syrin e demit!

Po, me të vërtetë, nëse në një ekuacion eksponencial ka majtas dhe djathtas e njëjta numrat në çdo fuqi, atëherë këta numra mund të hidhen poshtë dhe thjesht të barazojnë eksponentët. Matematika lejon.) Dhe atëherë ju mund të punoni veçmas me treguesit dhe të zgjidhni një ekuacion shumë më të thjeshtë. E shkëlqyeshme, apo jo?

Këtu është ideja kryesore për zgjidhjen e çdo (po, saktësisht çdo!) Ekuacioni eksponencial: Duke përdorur transformime identike, është e nevojshme të sigurohet që anët e majta dhe të djathta të ekuacionit janë e njëjta numrat bazë në fuqi të ndryshme. Dhe atëherë ju mund të hiqni me siguri të njëjtat baza dhe të barazoni eksponentët. Dhe punoni me një ekuacion më të thjeshtë.

Tani le të kujtojmë rregullin e hekurt: është e mundur të hiqen bazat identike nëse dhe vetëm nëse numrat në të majtë dhe në të djathtë të ekuacionit kanë numra bazë në vetminë krenare.

Çfarë do të thotë, në një izolim të shkëlqyeshëm? Kjo do të thotë pa asnjë fqinj dhe koeficient. Më lejo të shpjegohem.

Për shembull, në barazimin.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Treshat nuk mund të hiqen! Pse? Sepse në të majtë nuk kemi vetëm një tre të vetmuar deri në shkallë, por puna 3·3 x-5 . Një tre shtesë ndërhyn: koeficienti, ju e kuptoni.)

E njëjta gjë mund të thuhet për ekuacionin

5 3 x = 5 2 x +5 x

Këtu, gjithashtu, të gjitha bazat janë të njëjta - pesë. Por në të djathtë nuk kemi një fuqi të vetme prej pesë: ka një shumë fuqish!

Shkurtimisht, ne kemi të drejtë të heqim baza identike vetëm kur ekuacioni ynë eksponencial duket kështu dhe vetëm kështu:

af (x) = një g (x)

Ky lloj ekuacioni eksponencial quhet më e thjeshta. Ose, duke folur shkencërisht, kanonike . Dhe pa marrë parasysh se çfarë ekuacioni të ndërlikuar kemi përpara, ne, në një mënyrë apo tjetër, do ta reduktojmë atë pikërisht në këtë formë më të thjeshtë (kanonike). Ose, në disa raste, për tërësia ekuacionet e këtij lloji. Atëherë ekuacioni ynë më i thjeshtë mund të rishkruhet në formë të përgjithshme si kjo:

F(x) = g(x)

Kjo eshte e gjitha. Ky do të ishte një konvertim ekuivalent. Në këtë rast, f(x) dhe g(x) mund të jenë absolutisht çdo shprehje me një x. Cfaredo.

Ndoshta një student veçanërisht kureshtar do të pyesë veten: pse në tokë i hedhim kaq lehtë dhe thjesht të njëjtat baza majtas dhe djathtas dhe barazojmë eksponentët? Intuita është intuitë, por çka nëse, në një ekuacion dhe për ndonjë arsye, kjo qasje del të jetë e gabuar? A është gjithmonë e ligjshme të hedhësh poshtë të njëjtat arsye? Fatkeqësisht, për një përgjigje rigoroze matematikore për këtë pyetje interesante, duhet të zhyteni mjaft thellë dhe seriozisht në teorinë e përgjithshme të strukturës dhe sjelljes së funksioneve. Dhe pak më konkretisht - në fenomen monotoni e rreptë. Në veçanti, monotonia e rreptë funksioni eksponencialy= një x. Meqenëse është funksioni eksponencial dhe vetitë e tij që qëndrojnë në themel të zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale, po.) Një përgjigje e detajuar për këtë pyetje do të jepet në një mësim të veçantë të veçantë kushtuar zgjidhjes së ekuacioneve komplekse jo standarde duke përdorur monotoninë e funksioneve të ndryshme.)

Shpjegimi i kësaj pike në detaje tani vetëm do t'i frynte mendjen studentit mesatar dhe do ta trembte para kohe me një teori të thatë dhe të rëndë. Nuk do ta bëj këtë.) Sepse kryesori ynë ky moment detyrë - Mësoni të zgjidhni ekuacionet eksponenciale! Më të thjeshtat! Prandaj, le të mos shqetësohemi akoma dhe të hedhim me guxim të njëjtat arsye. Kjo Mund, prano fjalën time!) Dhe pastaj zgjidhim ekuacionin ekuivalent f(x) = g(x). Si rregull, më e thjeshtë se eksponenciali origjinal.

Supozohet, sigurisht, se njerëzit tashmë dinë të zgjidhin të paktën , dhe ekuacionet, pa x në eksponentë.) Për ata që ende nuk e dinë se si, mos ngurroni ta mbyllni këtë faqe, ndiqni lidhjet përkatëse dhe plotësoni boshllëqet e vjetra. Përndryshe do ta keni të vështirë, po...

Unë nuk jam duke folur për ekuacione iracionale, trigonometrike dhe të tjera brutale që gjithashtu mund të shfaqen në procesin e eleminimit të themeleve. Por mos u shqetësoni, ne nuk do ta konsiderojmë mizorinë e plotë për sa i përket shkallëve për momentin: është shumë herët. Ne do të stërvitemi vetëm në ekuacionet më të thjeshta.)

Tani le të shohim ekuacionet që kërkojnë disa përpjekje shtesë për t'i reduktuar ato në më të thjeshtat. Për hir të dallimit, le t'i quajmë ato ekuacione të thjeshta eksponenciale. Pra, le të kalojmë në nivelin tjetër!

Niveli 1. Ekuacione të thjeshta eksponenciale. Le të njohim gradët! Treguesit natyrorë.

Rregullat kryesore në zgjidhjen e çdo ekuacioni eksponencial janë rregullat për trajtimin e diplomave. Pa këto njohuri dhe aftësi asgjë nuk do të funksionojë. Mjerisht. Pra, nëse ka probleme me gradën, atëherë së pari jeni të mirëpritur. Përveç kësaj, do të na duhet gjithashtu. Këto transformime (dy prej tyre!) janë baza për zgjidhjen e të gjitha ekuacioneve matematikore në përgjithësi. Dhe jo vetëm ato demonstrative. Pra, kush ka harruar, hidhi një sy edhe linkut: nuk i vendos vetëm aty.

Por nuk mjaftojnë vetëm operacionet me pushtete dhe transformime identiteti. Kërkohet gjithashtu vëzhgim personal dhe zgjuarsi. Ne kemi nevojë për të njëjtat arsye, apo jo? Pra, ne shqyrtojmë shembullin dhe i kërkojmë ato në një formë të qartë ose të maskuar!

Për shembull, ky ekuacion:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Shikoni së pari bazat. Ata janë të ndryshëm! Tre e njëzet e shtatë. Por është shumë herët për panik dhe dëshpërim. Është koha ta kujtojmë atë

27 = 3 3

Numrat 3 dhe 27 janë të afërm sipas shkallës! Dhe të afërmit.) Prandaj, ne kemi çdo të drejtë të shkruajmë:

27 x +2 = (3 3) x+2

Tani le të lidhim njohuritë tona rreth veprimet me gradë(dhe unë ju paralajmërova!). Ekziston një formulë shumë e dobishme:

(a m) n = a mn

Nëse tani e vini në veprim, funksionon shkëlqyeshëm:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Shembulli origjinal tani duket si ky:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

E shkëlqyeshme, bazat e gradave janë niveluar. Kjo është ajo që ne donim. Gjysma e betejës ka përfunduar.) Dhe tani ne nisim transformimin bazë të identitetit - lëvizni 3 3(x +2) djathtas. Askush nuk i ka anuluar veprimet elementare të matematikës, po.) Marrim:

3 2 x = 3 3(x +2)

Çfarë na jep ky lloj ekuacioni? Dhe fakti që tani ekuacioni ynë është reduktuar në formë kanonike: majtas dhe djathtas janë të njëjtët numra (tre) në fuqi. Për më tepër, të tre janë në një izolim të shkëlqyeshëm. Mos ngurroni të hiqni treshe dhe të merrni:

2x = 3(x+2)

Ne e zgjidhim këtë dhe marrim:

X = -6

Kjo eshte. Kjo është përgjigja e saktë.)

Tani le të mendojmë për zgjidhjen. Çfarë na shpëtoi në këtë shembull? Njohja e fuqive të tre na shpëtoi. Si saktësisht? ne identifikuar numri 27 përmban një tre të koduar! Ky truk (duke koduar të njëjtën bazë nën numra të ndryshëm) është një nga më të njohurit në ekuacionet eksponenciale! Përveç nëse është më popullorja. Po, dhe në të njëjtën mënyrë, meqë ra fjala. Kjo është arsyeja pse vëzhgimi dhe aftësia për të njohur fuqitë e numrave të tjerë në numra janë kaq të rëndësishme në ekuacionet eksponenciale!

Këshilla praktike:

Ju duhet të dini fuqitë e numrave të njohur. Në fytyrë!

Sigurisht, çdokush mund të ngrejë dy në fuqinë e shtatë ose tre në fuqinë e pestë. Jo në mendjen time, por të paktën në një draft. Por në ekuacionet eksponenciale, shumë më shpesh është e nevojshme të mos ngrihet në një fuqi, por, përkundrazi, të zbulohet se cili numër dhe në çfarë fuqie fshihet pas numrit, të themi, 128 ose 243. Dhe kjo është më e ndërlikuar se sa ngritja e thjeshtë, do të pajtoheni. Ndjeni ndryshimin, siç thonë ata!

Meqenëse aftësia për të njohur diploma personalisht do të jetë e dobishme jo vetëm në këtë nivel, por edhe në ato të ardhshme, këtu është një detyrë e vogël për ju:

Përcaktoni çfarë fuqie dhe çfarë numrash janë numrat:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Përgjigjet (në mënyrë të rastësishme, natyrisht):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Po Po! Mos u habitni që ka më shumë përgjigje sesa detyra. Për shembull, 2 8, 4 4 dhe 16 2 janë të gjitha 256.

Niveli 2. Ekuacione të thjeshta eksponenciale. Le të njohim gradët! Treguesit negativë dhe thyesorë.

Në këtë nivel ne tashmë po përdorim në maksimum njohuritë tona të diplomave. Domethënë, ne përfshijmë tregues negativë dhe të pjesshëm në këtë proces magjepsës! Po Po! Ne duhet të rrisim fuqinë tonë, apo jo?

Për shembull, ky ekuacion i tmerrshëm:

Përsëri, vështrimi i parë është te themelet. Arsyet janë të ndryshme! Dhe këtë herë ata nuk ngjajnë as nga larg me njëri-tjetrin! 5 dhe 0.04... Dhe për të eliminuar bazat duhen të njëjtat... Çfarë duhet bërë?

Është në rregull! Në fakt, gjithçka është e njëjtë, thjesht lidhja midis pesë dhe 0.04 është vizualisht e dobët. Si mund të dalim? Le të kalojmë te numri 0.04 si thyesë e zakonshme! Dhe pastaj, e shihni, gjithçka do të funksionojë.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Uau! Rezulton se 0.04 është 1/25! Epo, kush do ta mendonte!)

Pra, si? A është tani më e lehtë për të parë lidhjen midis numrave 5 dhe 1/25? Kjo eshte...

Dhe tani sipas rregullave të veprimeve me gradë me tregues negativ Ju mund të shkruani me një dorë të qëndrueshme:

Kjo është e mrekullueshme. Kështu që arritëm në të njëjtën bazë - pesë. Tani ne zëvendësojmë numrin e papërshtatshëm 0.04 në ekuacion me 5 -2 dhe marrim:

Përsëri, sipas rregullave të operacioneve me gradë, tani mund të shkruajmë:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Për çdo rast, ju kujtoj (në rast se dikush nuk e di) se rregullat bazë për trajtimin e diplomave vlejnë për ndonjë tregues! Përfshirë ato negative.) Pra, mos ngurroni të merrni dhe shumëzoni treguesit (-2) dhe (x-1) sipas rregullit përkatës. Ekuacioni ynë bëhet gjithnjë e më i mirë:

Të gjitha! Përveç pesëshave të vetmuara, nuk ka asgjë tjetër në fuqitë majtas dhe djathtas. Ekuacioni është reduktuar në formën kanonike. Dhe pastaj - përgjatë shtegut të përkulur. Ne heqim të pestat dhe barazojmë treguesit:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Shembulli është pothuajse i zgjidhur. Gjithçka që ka mbetur është matematika e shkollës së mesme fillore - hapni (saktë!) kllapat dhe mblidhni gjithçka në të majtë:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Ne e zgjidhim këtë dhe marrim dy rrënjë:

x 1 = 1; x 2 = 3

Kjo eshte e gjitha.)

Tani le të mendojmë përsëri. Në këtë shembull, ne përsëri duhej të njihnim të njëjtin numër në shkallë të ndryshme! Gjegjësisht, për të parë një pesë të koduar në numrin 0.04. Dhe këtë herë - brenda shkallë negative! Si e bëmë këtë? Menjëherë jashtë shkop - në asnjë mënyrë. Por pas kalimit nga dhjetore 0,04 ndaj thyesës së përbashkët 1/25 dhe kaq! Dhe pastaj i gjithë vendimi shkoi si orë.)

Prandaj, një tjetër këshillë praktike e gjelbër.

Nëse një ekuacion eksponencial përmban thyesa dhjetore, atëherë kalojmë nga thyesat dhjetore në thyesat e zakonshme. Është shumë më e lehtë të njohësh fuqitë e shumë numrave të njohur në thyesa! Pas njohjes, kalojmë nga thyesat në fuqi me eksponentë negativë.

Mbani në mend se ky mashtrim ndodh shumë, shumë shpesh në ekuacionet eksponenciale! Por personi nuk është në këtë temë. Ai shikon, për shembull, numrat 32 dhe 0.125 dhe mërzitet. Pa e ditur ai, kjo është një dhe e njëjta dy, vetëm në shkallë të ndryshme ... Por ju tashmë jeni në dijeni!)

Zgjidhe ekuacionin:

Në! Duket si tmerr i qetë... Megjithatë, dukja po mashtron. Ky është ekuacioni më i thjeshtë eksponencial, pavarësisht pamjes së tij frikësuese. Dhe tani do t'ju tregoj.)

Së pari, le të shohim të gjithë numrat në baza dhe koeficientë. Ata, natyrisht, janë të ndryshëm, po. Por ne ende do të rrezikojmë dhe do të përpiqemi t'i bëjmë ato identike! Le të përpiqemi të arrijmë të njëjtin numër në fuqi të ndryshme. Për më tepër, mundësisht, numrat të jenë sa më të vegjël. Pra, le të fillojmë deshifrimin!

Epo, me të katërt gjithçka është menjëherë e qartë - është 2 2. Mirë, kjo është diçka tashmë.)

Me një fraksion prej 0.25 - është ende e paqartë. Duhet kontrolluar. Le të përdorim këshilla praktike - kalojmë nga një thyesë dhjetore në një fraksion të zakonshëm:

0,25 = 25/100 = 1/4

Shumë më mirë tashmë. Sepse tani shihet qartë se 1/4 është 2 -2. E shkëlqyeshme, dhe numri 0.25 është gjithashtu i ngjashëm me dy.)

Deri këtu mirë. Por numri më i keq nga të gjithë mbetet - rrënja katrore e dy!Çfarë të bëni me këtë piper? A mund të përfaqësohet gjithashtu si një fuqi e dy? Dhe kush e di...

Epo, le të zhytemi përsëri në thesarin tonë të njohurive rreth diplomave! Këtë herë ne lidhim njohuritë tona rreth rrënjëve. Nga kursi i klasës së 9-të, unë dhe ti duhet të kishim mësuar se çdo rrënjë, nëse dëshirohet, mund të kthehet gjithmonë në diplomë. me një tregues thyesor.

Si kjo:

Në rastin tonë:

Uau! Rezulton se rrënja katrore e dy është 2 1/2. Kjo eshte!

Kjo është mirë! Të gjithë numrat tanë të papërshtatshëm në fakt rezultuan të ishin dy të koduar.) Nuk debatoj, diku të koduar në mënyrë shumë të sofistikuar. Por ne po përmirësojmë edhe profesionalizmin tonë në zgjidhjen e shifrave të tilla! Dhe atëherë gjithçka është tashmë e qartë. Në ekuacionin tonë ne zëvendësojmë numrat 4, 0.25 dhe rrënjën e dy me fuqitë e dy:

Të gjitha! Bazat e të gjitha shkallëve në shembull u bënë të njëjta - dy. Dhe tani përdoren veprime standarde me gradë:

jama n = jam + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Për anën e majtë ju merrni:

2 -2 ·(2 2) 5 x -16 = 2 -2+2 (5 x -16)

Për anën e djathtë do të jetë:

Dhe tani ekuacioni ynë i keq duket si ky:

Për ata që nuk e kanë kuptuar saktësisht se si erdhi ky ekuacion, atëherë pyetja këtu nuk ka të bëjë me ekuacionet eksponenciale. Pyetja ka të bëjë me veprimet me gradë. Ju kërkova që urgjentisht t'ua përsërisni atyre që kanë probleme!

Këtu është vija e finishit! Është marrë forma kanonike e ekuacionit eksponencial! Pra, si? A ju kam bindur se gjithçka nuk është aq e frikshme? ;) Ne heqim dyshet dhe barazojmë treguesit:

Gjithçka që mbetet është të zgjidhet ky ekuacion linear. Si? Me ndihmën e transformimeve identike, sigurisht.) Vendosni se çfarë po ndodh! Shumëzojini të dyja anët me dy (për të hequr thyesën 3/2), zhvendosni termat me X në të majtë, pa X në të djathtë, sillni të ngjashme, numëroni - dhe do të jeni të lumtur!

Gjithçka duhet të dalë bukur:

X=4

Tani le të mendojmë përsëri për zgjidhjen. Në këtë shembull, ne u ndihmuam nga kalimi nga rrenja katrore te shkallë me eksponent 1/2. Për më tepër, vetëm një transformim i tillë dinak na ndihmoi të arrijmë të njëjtën bazë (dy) kudo, gjë që e shpëtoi situatën! Dhe, nëse jo për të, atëherë do të kishim çdo shans të ngrinim përgjithmonë dhe të mos e përballonim kurrë këtë shembull, po...

Prandaj, ne nuk neglizhojmë këshillat e mëposhtme praktike:

Nëse një ekuacion eksponencial përmban rrënjë, atëherë kalojmë nga rrënjët në fuqi me eksponentë thyesorë. Shumë shpesh vetëm një transformim i tillë sqaron situatën e mëtejshme.

Sigurisht, fuqitë negative dhe të pjesshme janë tashmë shumë më komplekse se fuqitë natyrore. Të paktën nga pikëpamja e perceptimit vizual dhe, veçanërisht, e njohjes nga e djathta në të majtë!

Është e qartë se ngritja e drejtpërdrejtë, për shembull, e dy në fuqinë -3 ose katër në fuqinë e -3/2 nuk është një problem aq i madh. Për ata që e dinë.)

Por shko, për shembull, kuptoje menjëherë këtë

0,125 = 2 -3

Ose

Këtu sundon vetëm praktika dhe përvoja e pasur, po. Dhe, natyrisht, një ide e qartë, Çfarë është një shkallë negative dhe thyesore? Dhe gjithashtu këshilla praktike! Po, po, të njëjtat jeshile.) Shpresoj se ato do t'ju ndihmojnë akoma të lundroni më mirë në të gjithë larminë e gradave dhe të rrisin ndjeshëm shanset tuaja për sukses! Pra, le të mos i neglizhojmë. Nuk është për asgjë që ndonjëherë shkruaj me të gjelbër.)

Por nëse njiheni me njëri-tjetrin edhe me fuqi të tilla ekzotike si ato negative dhe të pjesshme, atëherë aftësitë tuaja në zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale do të zgjerohen jashtëzakonisht shumë dhe do të jeni në gjendje të trajtoni pothuajse çdo lloj ekuacioni eksponencial. Epo, nëse jo ndonjë, atëherë 80 përqind e të gjitha ekuacioneve eksponenciale - me siguri! Po, po, nuk po bëj shaka!

Pra, pjesa jonë e parë e hyrjes sonë në ekuacionet eksponenciale ka ardhur në përfundimin e saj logjik. Dhe, si një stërvitje e ndërmjetme, unë tradicionalisht sugjeroj të bëni një vetë-reflektim.)

Ushtrimi 1.

Që fjalët e mia për deshifrimin e fuqive negative dhe thyesore të mos shkojnë kot, ju sugjeroj të luani një lojë të vogël!

Shprehni numrat si fuqi të dy:

Përgjigjet (në rrëmujë):

Ka ndodhur? E madhe! Pastaj bëjmë një mision luftarak - zgjidhim ekuacionet më të thjeshta dhe më të thjeshta eksponenciale!

Detyra 2.

Zgjidhini ekuacionet (të gjitha përgjigjet janë rrëmujë!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Përgjigjet:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Ka ndodhur? Në fakt, është shumë më e thjeshtë!

Pastaj zgjidhim ndeshjen tjetër:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x · 7 x

Përgjigjet:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Dhe këta shembuj kanë mbetur një? E madhe! Ju jeni duke u rritur! Më pas, këtu janë disa shembuj të tjerë për të ngrënë rostiçeri:

Përgjigjet:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Dhe a është vendosur kjo? Epo, respekt! Unë heq kapelen.) Kjo do të thotë se mësimi nuk ishte i kotë dhe niveli fillestar i zgjidhjes së ekuacioneve eksponenciale mund të konsiderohet i zotëruar me sukses. Nivelet e ardhshme dhe ekuacionet më komplekse janë përpara! Dhe teknika dhe qasje të reja. Dhe shembuj jo standarde. Dhe surpriza të reja.) E gjithë kjo është në mësimin tjetër!

A shkoi diçka keq? Kjo do të thotë se me shumë mundësi problemet janë në . Ose në. Ose të dyja përnjëherë. Unë jam i pafuqishëm këtu. Unë mund të sugjeroj edhe një herë vetëm një gjë - mos u bëni dembel dhe ndiqni lidhjet.)

Vazhdon.)

Në fazën e përgatitjes për testin përfundimtar, nxënësit e shkollave të mesme duhet të përmirësojnë njohuritë e tyre në temën "Ekuacionet eksponenciale". Përvoja e viteve të kaluara tregon se detyra të tilla shkaktojnë vështirësi të caktuara për nxënësit e shkollës. Prandaj, nxënësit e shkollave të mesme, pavarësisht nga niveli i përgatitjes së tyre, duhet të zotërojnë plotësisht teorinë, të mbajnë mend formulat dhe të kuptojnë parimin e zgjidhjes së ekuacioneve të tilla. Pasi kanë mësuar të përballen me këtë lloj problemi, të diplomuarit mund të mbështeten në rezultate të larta kur kalojnë Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Bëhuni gati për testimin e provimeve me Shkolkovo!

Kur shqyrtojnë materialet që kanë trajtuar, shumë studentë përballen me problemin e gjetjes së formulave të nevojshme për zgjidhjen e ekuacioneve. Një tekst shkollor nuk është gjithmonë pranë dhe zgjedhja e informacionit të nevojshëm për një temë në internet kërkon shumë kohë.

Portali arsimor Shkolkovo fton studentët të përdorin bazën tonë të njohurive. Ne po zbatojmë një metodë krejtësisht të re të përgatitjes për testin përfundimtar. Duke studiuar në faqen tonë të internetit, do të jeni në gjendje të identifikoni boshllëqet në njohuri dhe t'i kushtoni vëmendje atyre detyrave që shkaktojnë më shumë vështirësi.

Mësuesit e Shkollkovës mblodhën, sistemuan dhe prezantuan të gjithë materialin e nevojshëm për dhënien me sukses të Provimit të Unifikuar të Shtetit në formën më të thjeshtë dhe më të aksesueshme.

Përkufizimet dhe formulat bazë janë paraqitur në seksionin "Sfondi teorik".

Për të kuptuar më mirë materialin, ju rekomandojmë që të praktikoni përfundimin e detyrave. Shqyrtoni me kujdes shembujt e ekuacioneve eksponenciale me zgjidhje të paraqitura në këtë faqe për të kuptuar algoritmin e llogaritjes. Pas kësaj, vazhdoni të kryeni detyrat në seksionin "Direktoritë". Mund të filloni me detyrat më të lehta ose të shkoni direkt në zgjidhjen e ekuacioneve komplekse eksponenciale me disa të panjohura ose . Baza e të dhënave të ushtrimeve në faqen tonë të internetit plotësohet dhe përditësohet vazhdimisht.

Ata shembuj me tregues që ju shkaktuan vështirësi mund të shtohen te "Të preferuarat". Në këtë mënyrë ju mund t'i gjeni shpejt ato dhe të diskutoni zgjidhjen me mësuesin tuaj.

Për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit, studio çdo ditë në portalin Shkolkovo!

Leksion: "Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve eksponenciale".

1 . Ekuacionet eksponenciale.

Ekuacionet që përmbajnë të panjohura në eksponentë quhen ekuacione eksponenciale. Më i thjeshti prej tyre është ekuacioni ax = b, ku a > 0, a ≠ 1.

1) Në b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Për b > 0, duke përdorur monotonitetin e funksionit dhe teoremës së rrënjës, ekuacioni ka një rrënjë unike. Për ta gjetur atë, b duhet të paraqitet në formën b = aс, аx = bс ó x = c ose x = logab.

Ekuacionet eksponenciale nga transformimet algjebrike çojnë në ekuacione standarde, të cilat zgjidhen duke përdorur metodat e mëposhtme:

1) mënyra e reduktimit në një bazë;

2) metoda e vlerësimit;

3) metoda grafike;

4) mënyra e futjes së variablave të rinj;

5) metoda e faktorizimit;

6) ekuacionet eksponenciale – fuqi;

7) demonstruese me një parametër.

2 . Mënyra e reduktimit në një bazë.

Metoda bazohet në vetinë e mëposhtme të fuqive: nëse dy fuqi janë të barabarta dhe bazat e tyre janë të barabarta, atëherë eksponentët e tyre janë të barabartë, d.m.th., duhet të përpiqemi të reduktojmë ekuacionin në formë

Shembuj. Zgjidhe ekuacionin:

1 . 3x = 81;

Le të paraqesim anën e djathtë të ekuacionit në formën 81 = 34 dhe të shkruajmë ekuacionin ekuivalent me origjinalin 3 x = 34; x = 4. Përgjigje: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49">dhe le të kalojmë te ekuacioni për eksponentët 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4 x = 0,5 Përgjigje: 0,5.

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Vini re se numrat 0.2, 0.04, √5 dhe 25 përfaqësojnë fuqitë e 5. Le të përfitojmë nga kjo dhe të transformojmë ekuacionin origjinal si më poshtë:

, prej nga 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x – 1 = - 2x – 2, nga ku gjejmë zgjidhjen x = -1. Përgjigje: -1.

5. 3x = 5. Sipas përcaktimit të logaritmit, x = log35. Përgjigje: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Le ta rishkruajmë ekuacionin në formën 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.m.th..png" width="181" height="49 src="> Prandaj x – 4 =0, x = 4. Përgjigje: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Duke përdorur vetitë e fuqive, shkruajmë ekuacionin në formën 6∙3x - 2∙3x – 3x = 9 pastaj 3∙3x = 9, 3x+1 = 32, pra x+1 = 2, x =1. Përgjigje: 1.

Banka e problemeve nr. 1.

Zgjidhe ekuacionin:

Testi nr. 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) pa rrënjë
	1) 7;1 2) pa rrënjë 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Testi nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) pa rrënjë 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metoda e vlerësimit.

Teorema e rrënjës: nëse funksioni f(x) rritet (zvogëlohet) në intervalin I, numri a është çdo vlerë e marrë nga f në këtë interval, atëherë ekuacioni f(x) = a ka një rrënjë të vetme në intervalin I.

Kur zgjidhen ekuacionet duke përdorur metodën e vlerësimit, përdoret kjo teoremë dhe vetitë e monotonitetit të funksionit.

Shembuj. Zgjidh ekuacionet: 1. 4x = 5 – x.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin si 4x +x = 5.

1. nëse x = 1, atëherë 41+1 = 5, 5 = 5 është e vërtetë, që do të thotë 1 është rrënja e ekuacionit.

Funksioni f(x) = 4x – rritet në R, dhe g(x) = x – rritet në R => h(x)= f(x)+g(x) rritet në R, si shuma e funksioneve në rritje, atëherë x = 1 është rrënja e vetme e ekuacionit 4x = 5 – x. Përgjigje: 1.

2.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë .

1. nëse x = -1, atëherë , 3 = 3 është e vërtetë, që do të thotë x = -1 është rrënja e ekuacionit.

2. vërtetojë se ai është i vetmi.

3. Funksioni f(x) = - zvogëlohet në R, dhe g(x) = - x – zvogëlohet në R=> h(x) = f(x)+g(x) – zvogëlohet në R, si shuma e funksionet në rënie. Kjo do të thotë, nga teorema e rrënjës, x = -1 është rrënja e vetme e ekuacionit. Përgjigje: -1.

Banka e problemeve nr. 2. Zgjidhe ekuacionin

a) 4x + 1 =6 – x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Metoda e prezantimit të variablave të rinj.

Metoda është përshkruar në paragrafin 2.1. Futja e një ndryshoreje të re (zëvendësimi) zakonisht kryhet pas transformimeve (thjeshtimit) të termave të ekuacionit. Le të shohim shembuj.

Shembuj. R Zgjidhe ekuacionin: 1. .

Le ta rishkruajmë ekuacionin ndryshe: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> dmth..png" width="210" lartësi = "45">

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin ndryshe:

Le të caktojmë https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - jo e përshtatshme.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> - ekuacion irracional. Vëmë re se

Zgjidhja e ekuacionit është x = 2,5 ≤ 4, që do të thotë 2,5 është rrënja e ekuacionit. Përgjigje: 2.5.

Zgjidhje. Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë dhe t'i ndajmë të dyja anët me 56x+6 ≠ 0. Marrim ekuacionin

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, t..png" width="118" height="56">

Rrënjët e ekuacionit kuadratik janë t1 = 1 dhe t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Zgjidhje . Le ta rishkruajmë ekuacionin në formë

dhe vini re se është një ekuacion homogjen i shkallës së dytë.

Pjesëtojmë ekuacionin me 42x, marrim

Le të zëvendësojmë https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Përgjigje: 0; 0.5.

Banka e problemeve nr. 3. Zgjidhe ekuacionin

b)

G)

Testi nr. 3 me një zgjedhje të përgjigjeve. Niveli minimal.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) pa rrënjë 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) pa rrënjë 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Testi nr. 4 me një zgjedhje të përgjigjeve. Niveli i përgjithshëm.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
A2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0; 1 4) pa rrënjë

5. Metoda e faktorizimit.

1. Zgjidheni ekuacionin: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Zgjidhje..png" width="169" height="69"> , nga ku

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Zgjidhje. Le të vendosim 6x nga kllapat në anën e majtë të ekuacionit dhe 2x në anën e djathtë. Marrim ekuacionin 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Meqenëse 2x >0 për të gjitha x, ne mund t'i ndajmë të dyja anët e këtij ekuacioni me 2x pa frikë se do të humbasim zgjidhjet. Ne marrim 3x = 1 x = 0.

3.

Zgjidhje. Le të zgjidhim ekuacionin duke përdorur metodën e faktorizimit.

Le të zgjedhim katrorin e binomit

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 është rrënja e ekuacionit.

Ekuacioni x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 =-19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15. x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Testi nr. 6 Niveli i përgjithshëm.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0.2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Ekuacionet eksponenciale – fuqi.

Ngjitur me ekuacionet eksponenciale janë të ashtuquajturat ekuacione të fuqisë eksponenciale, d.m.th., ekuacione të formës (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Nëse dihet se f(x)>0 dhe f(x) ≠ 1, atëherë ekuacioni, ashtu si ai eksponencial, zgjidhet duke barazuar eksponentët g(x) = f(x).

Nëse kushti nuk përjashton mundësinë e f(x)=0 dhe f(x)=1, atëherë duhet t'i marrim parasysh këto raste kur zgjidhim një ekuacion eksponencial.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Zgjidhje. x2 +2x-8 - ka kuptim për çdo x, sepse është një polinom, që do të thotë se ekuacioni është i barabartë me tërësinë

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Ekuacione eksponenciale me parametra.

1. Për cilat vlera të parametrit P a ka ekuacioni 4 (5 - 3) 2 +4p2–3p = 0 (1) një zgjidhje unike?

Zgjidhje. Le të prezantojmë zëvendësimin 2x = t, t> 0, atëherë ekuacioni (1) do të marrë formularin T2 - (5p - 3) t + 4p2 - 3p = 0. (2)

Diskriminues i ekuacionit (2) d = (5p - 3) 2 - 4 (4p2 - 3p) = 9 (p - 1) 2.

Ekuacioni (1) ka një zgjidhje unike nëse ekuacioni (2) ka një rrënjë pozitive. Kjo është e mundur në rastet e mëposhtme.

1. Nëse D = 0, domethënë p = 1, atëherë ekuacioni (2) do të marrë formën t2 – 2t + 1 = 0, pra t = 1, pra, ekuacioni (1) ka një zgjidhje unike x = 0.

2. Nëse p1, atëherë 9(p – 1)2 > 0, atëherë ekuacioni (2) ka dy rrënjë të ndryshme t1 = p, t2 = 4p – 3. Kushtet e problemit plotësohen nga një grup sistemesh

Duke zëvendësuar t1 dhe t2 në sisteme, ne kemi

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Zgjidhje. Le atëherë ekuacioni (3) do të marrë formën t2 – 6t – a = 0. (4)

Le të gjejmë vlerat e parametrit a për të cilin të paktën një rrënjë e ekuacionit (4) plotëson kushtin t > 0.

Le të prezantojmë funksionin f(t) = t2 – 6t – a. Rastet e mëposhtme janë të mundshme.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Rasti 2. Ekuacioni (4) ka një zgjidhje unike pozitive nëse

D = 0, nëse a = – 9, atëherë ekuacioni (4) do të marrë formën (t – 3) 2 = 0, t = 3, x = – 1.

Rasti 3. Ekuacioni (4) ka dy rrënjë, por njëra prej tyre nuk e plotëson pabarazinë t > 0. Kjo është e mundur nëse

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="no35_17" width="267" height="63">!}

Kështu, për A 0, ekuacioni (4) ka një rrënjë të vetme pozitive . Atëherë ekuacioni (3) ka një zgjidhje unike

Kur a< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

nese nje< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
nëse a = – 9, atëherë x = – 1;

Nëse a  0, atëherë

Le të krahasojmë metodat për zgjidhjen e ekuacioneve (1) dhe (3). Vini re se gjatë zgjidhjes së ekuacionit (1) u reduktua në një ekuacion kuadratik, diskriminuesi i të cilit është një katror i përsosur; Kështu, rrënjët e ekuacionit (2) u llogaritën menjëherë duke përdorur formulën për rrënjët e një ekuacioni kuadratik dhe më pas u nxorrën përfundime në lidhje me këto rrënjë. Ekuacioni (3) është reduktuar në një ekuacion kuadratik (4), diskriminuesi i të cilit nuk është një katror i përsosur, prandaj, kur zgjidhet ekuacioni (3), këshillohet të përdoren teorema për vendndodhjen e rrënjëve të një trinomi kuadratik. dhe një model grafik. Vini re se ekuacioni (4) mund të zgjidhet duke përdorur teoremën e Vietës.

Le të zgjidhim ekuacione më komplekse.

Problemi 3: Zgjidheni ekuacionin

Zgjidhje. ODZ: x1, x2.

Le të prezantojmë një zëvendësim. Le të jetë 2x = t, t > 0, atëherë si rezultat i transformimeve ekuacioni do të marrë formën t2 + 2t - 13 - a = 0. (*) Le të gjejmë vlerat e a për të cilat të paktën një rrënjë e ekuacioni (*) plotëson kushtin t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Përgjigje: nëse a > – 13, a  11, a  5, atëherë nëse a – 13,

a = 11, a = 5, atëherë nuk ka rrënjë.

Bibliografi.

1. Guzeev themelet e teknologjisë arsimore.

2. Teknologjia Guzeev: nga pritja në filozofi.

M. “Drejtor shkolle” Nr.4, 1996

3. Guzeev dhe format organizative të trajnimit.

4. Guzeev dhe praktika e teknologjisë arsimore integrale.

M. “Arsimi Publik”, 2001

5. Guzeev nga format e një mësimi - seminari.

Matematika në shkollën nr 2, 1987 f. 9 – 11.

6. Teknologjitë arsimore Seleuko.

M. “Arsimi Publik”, 1998

7. Nxënësit e Epishevës të studiojnë matematikë.

M. "Iluminizmi", 1990

8. Ivanova përgatit mësime - punëtori.

Matematika në shkollën nr.6, 1990 f. 37-40.

9. Modeli i Smirnovit për mësimdhënien e matematikës.

Matematika në shkollën nr.1, 1997 f. 32-36.

10. Tarasenko mënyrat e organizimit të punës praktike.

Matematika në shkollën nr.1, 1993 f. 27-28.

11. Për një nga llojet e punës individuale.

Matematika në shkollën nr.2, 1994, fq.63 – 64.

12. Aftësitë krijuese të Khazankin të nxënësve të shkollës.

Matematika në shkollën nr.2, 1989 f. 10.

13. Skanavi. Botues, 1997

14. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës. Materiale didaktike për

15. Krivonogov detyrat në matematikë.

M. “I Shtatori i Parë”, 2002

16. Çerkasov. Manual për nxënësit e shkollave të mesme dhe

duke hyrë në universitete. "A S T - shkolla e shtypit", 2002

17. Zhevnyak për ata që hyjnë në universitete.

Minsk dhe Federata Ruse "Rishikimi", 1996

18. Me shkrim D. Përgatitja për provimin në matematikë. M. Rolf, 1999

19. etj.Mësimi i zgjidhjes së ekuacioneve dhe inekuacioneve.

M. "Intelekti - Qendër", 2003

20. etj Materiale edukative dhe trajnuese për përgatitjen për EGE.

M. "Inteligjenca - Qendra", 2003 dhe 2004.

21 dhe opsionet CMM. Qendra e Testimit të Ministrisë së Mbrojtjes së Federatës Ruse, 2002, 2003.

22. Ekuacionet Goldberg. "Quantum" nr. 3, 1971

23. Volovich M. Si të mësojmë me sukses matematikën.

Matematika, 1997 nr.3.

24 Okunev për mësimin, fëmijë! M. Arsimi, 1988

25. Yakimanskaya - mësimi i orientuar në shkollë.

26. Liimet punojnë në klasë. M. Dituria, 1975

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve