Seritë matematikore të numrave. Vizatimi i funksioneve të shumës së një serie numrash

Në praktikë, shpesh nuk është aq e rëndësishme të gjesh shumën e një serie sa t'i përgjigjesh pyetjes së konvergjencës së serisë. Për këtë qëllim, përdoren kriteret e konvergjencës bazuar në vetitë e termit të përbashkët të serisë.

Një shenjë e nevojshme e konvergjencës së një serie

TEOREMA 1

Nëse rreshtikonvergon, pastaj termi i tij i përbashkët tenton në zero si
, ato.
.

Shkurtimisht: Nëse një seri konvergjon, atëherë termi i saj i zakonshëm tenton në zero.

Dëshmi. Lëreni serinë të konvergojë dhe shuma e saj të jetë e barabartë . Për këdo shuma e pjesshme

.

Pastaj . 

Nga kriteri i provuar i domosdoshëm për konvergjencë rrjedh një shenjë e mjaftueshme e divergjencës së një serie: nëse në
Nëse termi i zakonshëm i serisë nuk priret në zero, atëherë seria ndryshon.

Shembulli 4.

Për këtë seri termi i zakonshëm është
Dhe
.

Prandaj, këtë seri divergjent.

Shembulli 5. Shqyrtoni serinë për konvergjencë

Është e qartë se termi i përgjithshëm i kësaj serie, forma e së cilës nuk tregohet për shkak të rëndimit të shprehjes, priret në zero si
, d.m.th. kriteri i nevojshëm për konvergjencën e një serie plotësohet, por kjo seri divergjente, pasi shuma e saj priret në pafundësi.

Seritë e numrave pozitivë

Quhet një seri numrash në të cilën të gjithë termat janë pozitivë shenjë pozitive.

TEOREMA 2 (Kriteri për konvergjencën e një serie pozitive)

Që një seri me shenjë pozitive të konvergojë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të gjitha shumat e pjesshme të saj të kufizohen nga lart me të njëjtin numër.

Dëshmi. Që për këdo
, atëherë, d.m.th. pasardhës
– në rritje monotonike, prandaj për ekzistencën e kufirit është e nevojshme dhe e mjaftueshme që të kufizohet sekuenca nga lart me një numër.

Kjo teoremë në në një masë më të madhe ka rëndësi teorike dhe jo praktike. Më poshtë janë teste të tjera të konvergjencës që përdoren më gjerësisht.

Shenja të mjaftueshme të konvergjencës së serive pozitive

TEOREMA 3 (Shenja e parë e krahasimit)

Le të jepen dy seri me shenjë pozitive:

(1)

(2)

dhe, duke u nisur nga një numër i caktuar
, për këdo
pabarazia qëndron
Pastaj:

Shënimi skematik i veçorisë së parë të krahasimit:

zbritje.fmbledhje.

exp.exp.

Dëshmi. 1) Meqenëse hedhja e një numri të kufizuar termash të serisë nuk ndikon në konvergjencën e saj, ne vërtetojmë teoremën për rastin
. Le të jetë për këdo
ne kemi

, (3)

Ku
Dhe
- respektivisht shumat e pjesshme të serive (1) dhe (2).

Nëse seria (2) konvergon, atëherë ka një numër
. Meqenëse në këtë rast sekuenca
- duke u rritur, kufiri i tij është më i madh se çdo anëtar i tij, d.m.th.
për këdo . Prandaj, nga pabarazia (3) rrjedh
. Kështu, të gjitha shumat e pjesshme të serisë (1) kufizohen më sipër me numrin . Sipas Teoremës 2, kjo seri konvergon.

2) Në të vërtetë, nëse seria (2) konvergonte, atëherë, për krahasim, seria (1) gjithashtu do të konvergjonte. 

Për të aplikuar këtë veçori, shpesh përdoren seri të tilla standarde, konvergjenca ose divergjenca e të cilave dihet paraprakisht, për shembull:

3) - Seria Dirichlet (konvergon në
dhe ndryshon në
).

Për më tepër, shpesh përdoren seri që mund të merren duke përdorur pabarazitë e mëposhtme të dukshme:

,

,
,
.

Le të shohim shembuj specifikë një skemë për studimin e një serie pozitive për konvergjencë duke përdorur kriterin e parë të krahasimit.

Shembulli 6. Eksploroni rreshtin
për konvergjencë.

Hapi 1. Le të kontrollojmë shenjën pozitive të serisë:
Për

Hapi 2. Le të kontrollojmë përmbushjen e kriterit të nevojshëm për konvergjencën e një serie:
. Sepse
, Kjo

(nëse llogaritja e kufirit është e vështirë, mund ta kaloni këtë hap).

Hapi 3. Përdorni shenjën e parë të krahasimit. Për ta bërë këtë, ne do të zgjedhim një seri standarde për këtë seri. Sepse
, atëherë mund ta marrim serinë si standard
, d.m.th. Seria Dirichlet. Kjo seri konvergon sepse eksponenti
. Për rrjedhojë, sipas kriterit të parë të krahasimit, konvergjon edhe seria në studim.

Shembulli 7. Eksploroni rreshtin
për konvergjencë.

1) Kjo seri është pozitive, pasi
Për

2) Kriteri i nevojshëm për konvergjencën e një serie plotësohet, sepse

3) Le të zgjedhim një rresht standard. Sepse
, atëherë mund të marrim serinë gjeometrike si standard

. Kjo seri konvergjon, prandaj edhe seria në studim konvergon.

TEOREMA 4 (Kriteri i dytë i krahasimit)

Nëse për seri pozitive Dhe ekziston një kufi i fundëm jo zero
, Kjo rreshtat konvergojnë ose ndryshojnë njëkohësisht.

Dëshmi. Le të konvergojnë seritë (2); Le të vërtetojmë se atëherë edhe seria (1) konvergon. Le të zgjedhim një numër , më shumë se . Nga gjendja
rrjedh se një numër i tillë ekziston kjo është për të gjithë
pabarazia është e vërtetë
, ose, çfarë është e njëjta,

(4)

Pasi të keni hedhur poshtë të parët në rreshtat (1) dhe (2) terma (që nuk ndikon në konvergjencë), mund të supozojmë se pabarazia (4) është e vlefshme për të gjithë
Por një serial me një anëtar të përbashkët
konvergon për shkak të konvergjencës së serisë (2). Sipas kriterit të parë të krahasimit, pabarazia (4) nënkupton konvergjencën e serisë (1).

Tani le të konvergojnë seritë (1); Le të vërtetojmë konvergjencën e serisë (2). Për ta bërë këtë, thjesht ndërroni rolet e rreshtave të dhënë. Sepse

atëherë, sipas asaj që u vërtetua më sipër, konvergjenca e serisë (1) duhet të nënkuptojë konvergjencën e serisë (2). 

Nëse
në
(një shenjë e domosdoshme e konvergjencës), pastaj nga gjendja
, rrjedh se Dhe – infinitezimale të të njëjtit rend të vogëlsisë (ekuivalente me
). Prandaj, nëse jepet një seri , Ku
në
, atëherë për këtë seri mund të marrim serinë standarde , ku është termi i zakonshëm ka të njëjtin rend të vogëlsisë si termi i përgjithshëm i serisë së dhënë.

Kur zgjidhni një seri standarde, mund të përdorni tabelën e mëposhtme të infinitesimals ekuivalente në
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Shembulli 8. Shqyrtoni serinë për konvergjencë

.

për këdo
.

Sepse
, atëherë marrim serinë divergjente harmonike si seri standarde
. Që nga kufiri i raportit të termave të përbashkët Dhe është e fundme dhe e ndryshme nga zero (është e barabartë me 1), atëherë bazuar në kriterin e dytë të krahasimit, kjo seri divergjente.

Shembulli 9.
sipas dy kritereve të krahasimit.

Ky serial është pozitiv, pasi
, Dhe
. Që nga viti
, atëherë mund të marrim serinë harmonike si seri standarde . Kjo seri divergon dhe për rrjedhojë, sipas shenjës së parë të krahasimit, divergjentojnë edhe seritë në studim.

Meqenëse për këtë seri dhe serinë standarde kushti është i plotësuar
(këtu përdoret kufiri i parë i shquar), më pas, bazuar në kriterin e dytë të krahasimit, seria
– ndryshon.

TEOREMA 5 (testi i D'Alembert)

ka një kufi të kufizuar
, atëherë seria konvergon në
dhe ndryshon në
.

Dëshmi. Le
. Le të marrim një numër , të përfunduar ndërmjet dhe 1:
. Nga gjendja
rrjedh se duke u nisur nga ndonjë numër pabarazia qëndron

;
;
(5)

Konsideroni serinë

Sipas (5), të gjithë termat e serisë (6) nuk i kalojnë termat përkatës të progresionit të pafund gjeometrik
Që nga viti
, ky progresion është konvergjent. Prej këtu, për shkak të kriterit të parë të krahasimit, vijon konvergjenca e serisë

Po ndodh
konsideroni për veten tuaj.

Shënime :

rrjedh se pjesa e mbetur e serisë

.

Testi i D'Alembert është i përshtatshëm në praktikë kur termi i zakonshëm i serisë përmban funksioni eksponencial ose faktorial.

Shembulli 10. Shqyrtoni serinë për konvergjencë sipas shenjës së D'Alembert.

Ky serial është pozitiv dhe

.

(Këtu, në llogaritje, rregulli i L'Hopital zbatohet dy herë).

atëherë, sipas kriterit të d'Alembert, kjo seri konvergon.

Shembulli 11..

Ky serial është pozitiv dhe
. Që nga viti

atëherë kjo seri konvergjon.

TEOREMA 6 (Testi Cauchy)

Nëse për një seri pozitive ka një kufi të kufizuar
, atëherë kur
seria konvergon, dhe kur
rreshti ndryshon.

Prova është e ngjashme me Teoremën 5.

Shënime :

Shembulli 12. Shqyrtoni serinë për konvergjencë
.

Ky serial është pozitiv, pasi
për këdo
. Që nga llogaritja e limitit
shkakton disa vështirësi, atëherë ne nuk kontrollojmë realizueshmërinë e kriterit të nevojshëm për konvergjencën e një serie.

atëherë, sipas kriterit Cauchy, kjo seri divergjente.

TEOREMA 7 ( Shenjë integrale Maclaurin - Konvergjenca Cauchy)

Le të jepet një seri

kushtet e të cilit janë pozitive dhe nuk rriten:

Le, më tej
- një funksion që është përcaktuar për të gjitha realet
, është i vazhdueshëm, nuk rritet dhe

Seria, në matematikë

1. Përkufizimet. R. është një sekuencë elementësh të përbërë sipas disa ligjeve. Nëse jepet një formulë, kjo do të thotë se është treguar një ligj me ndihmën e të cilit është e mundur të përpilohen sa më shumë elementë të formulës në bazë të vetive të elementeve, formulave të numrave, formulave të funksioneve , dhe dallohen formulat e veprimeve. Le të japim disa shembuj.

1, 2, 3, 4,..., n,...

ka R. numra natyrorë;

1, 4, 9, 16,..., n 2 ...

R. katrore;

a 0, a 1 x, a 2 a 2,..., a n x n,...

R. funksionet e fuqisë ose fuqia R.

1, x, x 2 /(1.2), x 3 /(1.2.3),... x n /(1.2...n),...

0, x, x 2 /2, x 3 /3, x 4 /4... (-1) n-1 x n /n..

Për të llogaritur vlerë numerike duhet kryer disa shprehje R. veprimet. P.sh.

√[(35 - 3)/2] = √ = √16 = 4.

Me ndihmën e veprimeve të R. gjen pjesëtuesi më i madh dy numra të dhënë.

R. u 0 , u 1 , u 2 ,... u n...

emri pafund, nëse pas ndonjë elementi u k ka një element u k+1 ; ndryshe quhet R.. përfundimtar. P.sh.

1. 2, 3,... 9, 10

ka një R. përfundimtar sepse nuk ka elementë pas elementit 10.

2. Një numër i përcaktuar nga një seri.

Me rëndësi të veçantë janë seritë e pafundme të formës

(1)... A 1 /10, A 2 /10 2 , ... dhe n/10n,...,

Ku A 1 , A 2 , A 3 , ... dhe n,... numrat e plote pozitiv, a 0 aq i madh sa të doni; secilin nga numrat e tjerë A 1 , A 2 , A 3 , ... më pak se 10. Një seri e tillë mund të quhet numër, pasi është e mundur të krahasohet kjo seri me numra racionalë (shih), është e mundur të vendosen konceptet e barazisë, shumës, produktit, ndryshimit dhe herësit të tillë. seri.

Për shkurtësi, ne shënojmë R. (1) me një shkronjë A.

Ata thonë se dhe më shumë numër racional fq/q, nëse për një mjaft të madhe n ka pabarazi

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A n /10 n > fq/q

Nëse në çdo rast n

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A n /10 n jo > fq/q

por kur është mjaft e madhe n

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A n /10 n > r/s

Ku r/s një numër arbitrar më i vogël se fq/q, pastaj ata e konsiderojnë dhe e barabartë me p/q.

Mbi këtë bazë R.

9/10, 9/10 2 , 9/10 3 ,...

e barabartë me një. Kjo barazi shënohet si më poshtë: 0, 999... = 1.

Nëse A jo e barabartë me 9, por të gjithë numrat pasues

një k +1 , një k +2 , një k+3 ,... janë të barabarta me 9, pastaj numri A, e përcaktuar nga R. (1), është e barabartë me

A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + (A k + 1)/10 k .

Nëse jo të gjithë numrat A k+1, A k+2, A k+3 ...e barabartë me 9, atëherë

A = A 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + A k /10 k

Mund të ndodhë që të gjithë elementët e serisë (1), duke filluar me A k+1 , janë të barabarta me zero. Në këtë rast, në përputhje me përkufizimin e dhënë

A një 0 + A 1 /10 + A 2 /10 2 +... + (A k +1)/10 k

Ky lloj numri quhet. thyesa dhjetore përfundimtare.

Nga aritmetika dihet se kur konvertohet një thyesë e zakonshme në një dhjetore rezulton thyesa përfundimtare ose periodike të pafundme. Çdo periodik dhjetore mund të konvertohet në thyesë e zakonshme. Nga kjo rrjedh se një thyesë dhjetore e pafundme jo periodike nuk mund të jetë e barabartë numër racional dhe prandaj paraqet numrin lloj i veçantë, thirri irracionale(cm.).

3. Konvergjenca dhe divergjenca e serive. R. numrat

(2)... u 0 , u 1 , u 2 ,... u n,...

thirrur konvergjente, nëse ekziston një numër i tillë A(racionale ose irracionale), që kur rritet n vlera numerike e diferencës

A - (u 0 + u 1 + u 2 +... ju n- 1)

bëhet dhe mbetet aq i vogël sa të dëshirohet. Një numër i tillë a thirrur shuma R. Në këtë rast ata shkruajnë

(3)... A = u 0 + u 1 + u 2 +...

dhe kjo quhet barazi. dekompozimi numrat a në pafundësi R. Nëse një numër i tillë A nuk ekziston, atëherë quhet R. (2). divergjente.

Shembulli më i rëndësishëm i një r konvergjente përfaqësohet nga progresion gjeometrik(cm.).

1, q, q 2 ,...,

emëruesi i së cilës q Nga vlerë numerike më pak se një. Në këtë rast ndodh dekompozimi

1/(1 - q) = 1 + q + q 2 +...

Një shembull i një R. divergjente është

1/1, 1/2, 1/3,...

1 + 1/2 + 1/3 +...

nuk ka kuptim.

Nëse i marrim termat e ekuacionit harmonik në mënyrë alternative me shenjat + dhe -, fitojmë një ekuacion konvergjent

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...

e barabartë me logaritmin e 2 të marrë si bazë e(cm.).

Pa mundur të paraqesim në detaje shenjat e konvergjencës, vërejmë vetëm teoremat e mëposhtme.

Një R. e dhënë është konvergjente nëse R. e moduleve (shih) të anëtarëve të saj është konvergjente.

R. v 0 , -v 1 , v 2 , -v 3 ...,

në të cilat numrat v 0 , v 1 , v 2 , v 3 ... pozitive, konvergjente, nëse kur rritet n

lim v n = 0.

R. me anëtarë pozitivë

u 0 , u 1 , u 2 ,..., u n,...

konvergjente nëse

lim(u n + 1)/u n

lim(u n + 1)/u n > 1

Nëse për R. me terma pozitivë

Por, Dhe 0 , Dhe 1 , u 2 , .., dhe n...

qëndrim

lim(u n + 1)/u n = 1 - r/n+θ (n) /nα,

Ku r nuk varen nga n, α > 1 dhe θ ( n) në vlerë numerike mbetet vazhdimisht më pak se një e caktuar numër pozitiv, atëherë R. konvergon në r> 1 dhe divergjente për r më pak se ose = 1 (Tannery, "Introduction à la theory des fonctions d"une variable", f. 84).

4. Konvergjenca e kushtëzuar dhe absolute. Nëse R. (4) v 0 , v 1 , v 2 ,... vn,...

konvergjente, por R. e moduleve të anëtarëve të saj është divergjente, atëherë thonë se R. (4) konvergjent me kusht. P.sh.

1, -1/2, 1/3, -1/4,...

R. thirri absolutisht konvergjente, nëse moduli R. i anëtarëve të tij është konvergjent.

Shuma e një ekuacioni konvergjent me kusht ndryshon me ndryshimin e renditjes së anëtarëve të tij. P.sh.

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +... = log2,

por 1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 +...

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 +.... = 1/2 log 2.

Shuma e një ekuacioni absolutisht konvergjent nuk varet nga rendi i termave të tij.

Nëse numrat A Dhe b zbërthehet në R absolutisht konvergjente.

A = a 0 + a 1 + a 2 +.....,

b = b 0 + b 1 + b 2 +..... .,

a 0 b 0 , a 0 b 1 + a 1 b 0 , a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0 ,...

absolutisht konvergjente dhe, përveç kësaj,

a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0) + (a 0 b 2 + a 1 b 2 + a 2 b 0) +... = ab.

5. Konvergjenca uniforme. Supozoni se është dhënë R.

(5)... f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x), ..., fn(x), ...

anëtarët e të cilit janë funksione të një ndryshoreje x, të cilat mund të marrin vlera reale dhe imagjinare (shih). Një grup vlerash X, për të cilat kjo R. është konvergjente, formon të ashtuquajturat zona e konvergjencës.

R. 1, X, 1.2x 2 , 1.2.3x 3 ,...... .,

konvergjente vetëm në x = 0.

R. 1, X, (1/2 + 1.2x 2), (1/3 + 1.2.3x 3),...

divergjente për çdo X.

R. 1, X/ 1, (x 2 /1.2), (x 3 /1.2.3),...

mbledhjen për çdo vlerë X. Nëse fuqia R. α 0, α 1 x,α 2 x 2 ,...

mbledhjen në një farë vlere X, jo e barabartë me zero, atëherë kjo R. konvergjencë. dhe në çdo rast x, moduli i të cilit është më i vogël se një numër i caktuar R. Nëse përdorim paraqitjen gjeometrike të madhësive imagjinare (shih), atëherë mund të themi se rajoni i konvergjencës së këtij R. është një rreth me rreze R.

Një shembull do të ishte një progresion gjeometrik

1, x, x 2 , x 3 ,...., rrezja e të cilit rrethi i konvergjencës e barabartë me një.

Nëse X i përket zonës së grumbullimit. R. (5), pastaj për çdo n, më i madh se një numër T

mod [ fn(x) + fn+ 1 (x) + fn+ 2 (x) +...]

fare T varet nga X dhe nga ε, por ndoshta në raste të veçanta, Çfarë T varet vetëm nga ε nëse vlerat X i përkasin një zone (S). Në këtë rast quhet R. (5). në mënyrë uniforme konvergjente në rajon (S).

Për shembull, merrni parasysh R.

(6)... (1 - X), X (1 - X), X 2 (1 - X)....

kufizuar në reale dhe vlerat pozitive X.

Në mënyrë që të ketë pabarazi

(7)... x n(1 -x) +xn+ 1 (1 -x) +... x n

duhet ta marrësh n> Regjistri ε /Log x

Më pas, në rastin në shqyrtim

T= Regjistr ε /Log x.

Siç e shohim, T varet nga X. Sado i madh të jetë m, ka vlera të tilla X në intervalin (0, 1), ajo pabarazi (7) nuk do të plotësohet për asnjë n, më shumë T. Nëse X= 1, atëherë pabarazia (7) plotësohet kur n është më e madhe se ose = 1

Le të supozojmë se

T= Log ε /Log (1 - α) dhe n është më i madh se ose = m

Pista. R. (6) prejardhje uniforme. në intervalin (0, 1 - α).

Nëse në rajonin e konvergjencës uniforme termat e serisë

f 0 (x), f 1 (x), f 2 (x)...

janë funksione të vazhdueshme të x, atëherë shuma e këtij R. - funksion të vazhdueshëm(shih Ndërprerje).

Në ulje të barabartë. R. mund të integrohet ose të diferencohet term pas termi.

Fuqia R.

a 0 , A 1 x, a 2 X 2 ...

kanë konvergjencë uniforme brenda rrethit të konvergjencës.

6. Zgjerimi i funksioneve në seri. Në vijim do të supozojmë se ndryshorja e pavarur është reale. Duke përdorur formulën Maclaurin (shih), përftohen zgjerimet e mëposhtme:

(këto formula janë të vlefshme për çdo x).

Për të llogaritur, për shembull, cos 2° duke përdorur formulën (9), në vend të x zëvendësoni raportin me rrezen e gjatësisë së harkut që përmban 2 gradë.

Në formë. (11) logaritmi merret në bazë e. Kjo formë. është i papërshtatshëm për llogaritjen e logaritmeve, pasi është e nevojshme të merren shumë terma R për të marrë një saktësi qoftë edhe të vogël. Formula 13 është më e përshtatshme për llogaritjen, e cila rrjedh nga formula (11), duke supozuar

(1 + X)/(1 - X) = (a + z)/z

në zgjerimin e regjistrit të funksionit (1 + x) - log(l - x).

Duke besuar A = 1, z= 1, gjeni log2;

" A = 1, z= 1"log5;

a + z = 3 4 , A= 80"log3;

A + z = 7 4 , A= 2400", log7;

Duke shumëzuar të gjeturat logaritmet natyrore këto numra në

M= 1/log10 = 0,43429 44819 03251 82765...,

marrim logaritme të zakonshme (baza 10) të numrave të njëjtë (shih).

Forma. (12) vlen për X= 1 nëse m> -1 dhe kur x= -1 nëse m> 0 (Abel, "Oeuvres complètes", 1881, f. 245).

Duke përdorur ndarjen e drejtpërdrejtë, ato zbërthehen në fuqi R. funksionet racionale. Ju gjithashtu mund të përdorni metodën e koeficientëve të pacaktuar për këtë qëllim. Duke supozuar, për shembull.

1/(1 + 2t + 5t 3 + 3t 3) = y 0 + y 1 t + y 2 t 2 + y 3 t 3 +...,

y 0 = 1, y 1 + 2y 0 = 0, y 2 + 2y 1 + 5y 0 = 0,

y 3 + 2y 2 + 5 në 1 + 3 në 0 = 0,

y 4 + 2y 3 + 5 në 2 + 3 në 1 = 0, etj.

R. koeficientët y 0, në 1 , y 2 ... ka vetinë që ka katër koeficientë të njëpasnjëshëm. të lidhura nga relacioni y n +3 + 2y n +2 + 5 y n +1 + 3 y n = 0.

Ky lloj R. quhet. e kthyeshme. Nga ekuacionet e shkruara, y 0 përcaktohet në mënyrë sekuenciale, në 1, y 2...

Zgjerimi i këtij funksioni në R. mund të gjendet duke përdorur llogaritja integrale, nëse dihet zgjerimi në R. i derivatit. Në këtë mënyrë fitojmë zbërthimin

(14)... hark tg x = x - (x 3 /3) + (x 5 /5) -...

(15)... hark mëkat X = x/1 + 1/2(x 3/3) + (1.2/2.4)(x 5/5) +...

e vlefshme për vlerat X, duke plotësuar kushtet

R. (14) duke përdorur formulën e Machin-it

π /4 = 4 hark tg (1/5) - hark tg (1/239)

bën të mundur llogaritjen shumë shpejt të π me një numër i madh vende dhjetore. Në këtë mënyrë, Shanks llogariti π me 707 shifra dhjetore. Zgjerimi i funksioneve në funksione trigonometrike dhe zgjerimi i funksioneve eliptike do të paraqitet më vonë.

Fjalor Enciklopedik F. Brockhaus dhe I.A. Efron. - Shën Petersburg: Brockhaus-Efron. 1890-1907 .

Shihni se çfarë është "Seria në matematikë" në fjalorë të tjerë:

SERIA, seri e pafundme, shprehja e së cilës është a1, a2,..., an,... numra (seri numerike) ose funksione (seri funksionale). Nëse shuma e n termave të parë të serisë ( shuma private): Sn= a1+ a2+ ... + an me rritje të pakufizuar në n tenton të... ... Fjalor Enciklopedik

përmbajtja. 1) Përkufizim. 2) Një numër i përcaktuar nga një seri. 3) Konvergjenca dhe divergjenca e serive. 4) Konvergjenca e kushtëzuar dhe absolute. 5) Konvergjenca uniforme. 6) Zgjerimi i funksioneve në seri. 1. Përkufizime. R. është një sekuencë elementësh... ... Fjalor Enciklopedik F.A. Brockhaus dhe I.A. Efron

Ka disa kuptime: Një rresht është një koleksion i objekteve homogjene, të ngjashme të renditura në një rresht. Një seri është një koleksion i disa fenomeneve që pasojnë njëri pas tjetrit në në një rend të caktuar. Një numër i disa, një numër i konsiderueshëm, për shembull "një numër vendesh" ... Wikipedia

Një seri, një shumë e pafundme, për shembull të formës u1 + u2 + u3 +... + un +... ose, shkurt, . (1) Një nga shembujt më të thjeshtë të R., i gjetur tashmë në matematika elementare, është shuma e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie 1 + q + q 2 +... + q... ... Enciklopedia e Madhe Sovjetike

Zgjerimi i serisë Taylor i një funksioni në demonët shumën përfundimtare funksionet e fuqisë. Seria është emëruar sipas matematikanit anglez Brooke Taylor, megjithëse seria Taylor ishte e njohur shumë kohë përpara botimeve të Taylor-it, ajo u përdor në shekullin e 17-të nga Gregory, dhe ... ... Wikipedia

Zgjerimi i serisë Taylor të një funksioni në një shumë të pafundme funksionesh fuqie. Seria është emëruar sipas matematikanit anglez Taylor, megjithëse seria Taylor ishte e njohur shumë përpara publikimeve të Taylor-it, ajo u përdor në shekullin e 17-të nga Gregory dhe gjithashtu nga Njutoni. Rreshtat... ... Wikipedia

Zgjerimi i një funksioni në një shumë të pafundme funksionesh fuqie. Seria është emëruar sipas matematikanit anglez Taylor, megjithëse seria Taylor ishte e njohur shumë përpara publikimeve të Taylor-it, ajo u përdor në shekullin e 17-të nga Gregory dhe gjithashtu nga Njutoni. Seriali Taylor... ... Wikipedia

Seria Möbius është një seri funksionale e formës Kjo seri u studiua nga Möbius, i cili gjeti një formulë përmbysjeje për këtë seri: ku është funksioni Möbius ... Wikipedia

I m 1. Komplet sendesh homogjene të renditura në një rresht. Ott. Rreshti në një rresht; linjë. 2. Rendi linear i ndenjëseve në një teatër, kinema etj. Ott. Personat që zënë vende të tilla. 3. Tezga të vendosura në një linjë... Moderne fjalor shpjegues Gjuha ruse Efremova

libra

• Matematika vëzhguese dhe aplikimet e saj në mekanikën kuantike, relativitetin dhe matematikën klasike, B. S. Hots, D. B. Hots. Ky libër paraqet rezultatet e autorëve në lidhje me matematikën e vëzhguesve (emri i autorit Matematika e vëzhguesit). Kjo matematikë u prezantua për herë të parë nga autorët, u studiua...

Shuma e një serie mund të llogaritet vetëm nëse seria konvergjon. Nëse një seri ndryshon, atëherë shuma e serisë është e pafundme dhe nuk ka kuptim të llogaritet asgjë. Më poshtë janë shembuj nga praktika e gjetjes së shumës së një serie që u pyetën në Lvov universiteti kombëtar me emrin Ivan Frank. Detyrat për serinë janë zgjedhur në mënyrë që kushti i konvergjencës të jetë gjithmonë i kënaqur, por ne do të kryejmë një kontroll konvergjence. Ky dhe artikujt e mëposhtëm përbëjnë zgjidhjen punë testuese në analizën e serive.

Shembulli 1.4 Llogaritni shumën e rreshtave:
A)
Llogaritjet: Meqenëse kufiri i termit të përbashkët të serisë në numrin pasardhës deri në pafundësi është 0

atëherë kjo seri konvergjon. Le të llogarisim shumën e serisë. Për ta bërë këtë, ne e transformojmë termin e zakonshëm duke e zbërthyer atë në thyesa të thjeshta të tipit I dhe II. Metoda e zbërthimit në thyesa të thjeshta nuk do të jepet këtu (përshkruhet mirë kur integrohen thyesat), por ne do të shkruajmë vetëm formën përfundimtare të zbërthimit

Në përputhje me këtë, ne mund ta shkruajmë shumën përmes shumës së serisë së formuar nga thyesat e thjeshta, dhe më pas nga diferenca në shumat e serisë.

Më pas, ne shkruajmë çdo rresht në një shumë të qartë dhe theksojmë termat (nënvizimi) që do të kthehen në 0 pas mbledhjes. Kështu, shuma e serisë do të thjeshtohet në shumën e 3 termave (treguar me të zezë), që do të rezultojë në 33/40.

Gjithçka bazohet në këtë pjesa praktike gjetja e shumës për rreshta të thjeshta.
Shembujt e serive komplekse zbresin në shumën e progresioneve dhe serive pafundësisht në rënie, të cilat gjenden përmes formulave të duhura, por ne nuk do të shqyrtojmë shembuj të tillë këtu.
b)
Llogaritjet: Gjeni kufirin e mandatit të n-të të shumës

Është e barabartë me zero, prandaj seria e dhënë konvergjon dhe ka kuptim të kërkojmë shumën e saj. Nëse kufiri është i ndryshëm nga zero, atëherë shuma e serisë është e barabartë me pafundësinë me një shenjë plus ose minus.
Le të gjejmë shumën e serisë. Për ta bërë këtë, ne konvertojmë termin e zakonshëm të serisë, i cili është një thyesë, duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar në shumën e thyesave të thjeshta të tipit I.

Më pas, sipas udhëzimeve të dhëna më parë, ne shkruajmë shumën e serisë përmes shumave përkatëse të thyesave të thjeshta

I shkruajmë shumat dhe zgjedhim termat që do të bëhen të barabartë me 0 kur të mblidhen.

Si rezultat, marrim shumën e disa termave (të theksuar në të zezë) e cila është e barabartë me 17/6.

Shembulli 1.9 Gjeni shumën e serisë:
A)
Llogaritja: Llogaritja e kufijve

Sigurohemi që kjo seri konvergjon dhe ne mund të gjejmë shumën. Më pas, zgjerojmë emëruesin e funksionit nga numri n në faktorët kryesorë, dhe shndërroni të gjithë thyesën në shumën e thyesave të thjeshta të tipit I

Më pas, ne shkruajmë shumën e serisë në përputhje me orarin në dy terma të thjeshtë

Ne e shkruajmë serinë në mënyrë eksplicite dhe zgjedhim termat që, pas mbledhjes, do të mblidhen në zero. Termat e mbetur (të theksuara në të zezë) përfaqësojnë shumën përfundimtare të serisë

Kështu, për të gjetur shumën e një serie është e nevojshme në praktikë të zvogëlohet emërues i përbashkët 3 thyesat e thjeshta.
b)
Llogaritjet: Kufiri i termit të serisë në vlera të mëdha numrat priren në zero

Nga kjo rezulton se seria konvergon dhe shuma e saj është e fundme. Le të gjejmë shumën e serisë për ta bërë këtë, së pari e zbërthejmë termin e përgjithshëm të serisë në tre lloje më të thjeshta duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar;

Prandaj, shuma e serisë mund të shndërrohet në shumën e tre serive të thjeshta

Më pas, kërkojmë terma në të tre shumat, të cilat pas mbledhjes do të kthehen në zero. Në seritë që përmbajnë tre thyesa të thjeshta, njëra prej tyre bëhet e barabartë me zero(e theksuar me të kuqe). Kjo shërben si një lloj aluzion në llogaritjet

Shuma e serisë është e barabartë me shumën e 3 termave dhe është e barabartë me një.

Shembulli 1.15 Llogaritni shumën e serisë:
A)

Llogaritjet: Kur termi i përgjithshëm i serisë tenton në zero

kjo seri konvergon. Le ta transformojmë termin e zakonshëm në atë mënyrë që të kemi shumën e thyesave më të thjeshta

Më pas, seria e dhënë, sipas formulave të grafikut, shkruhet përmes shumës së dy serive

Pas shkrimit në mënyrë eksplicite, shumica e termave të serisë do të bëhen të barabarta me zero si rezultat i mbledhjes. Mbetet vetëm për të llogaritur shumën e tre termave.

Shuma e serisë së numrave është -1/30.
b)
Llogaritjet: Meqenëse kufiri i termit të përbashkët të serisë është zero,

atëherë seria konvergon. Për të gjetur shumën e një serie, ne e zbërthejmë termin e zakonshëm në thyesa të tipit më të thjeshtë.

Gjatë dekompozimit u përdor metoda e koeficientëve të papërcaktuar. Ne shkruajmë shumën e serisë nga orari i gjetur

Hapi tjetër është të zgjidhni termat që nuk kontribuojnë në shumën përfundimtare dhe ato të mbetura

Shuma e serisë është 4.5.

Shembulli 1.25 Llogaritni shumën e rreshtave:
A)


Meqenëse është e barabartë me zero, seria konvergon. Mund të gjejmë shumën e serisë. Për ta bërë këtë, sipas skemës së shembujve të mëparshëm, ne zgjerojmë termin e zakonshëm të serisë përmes thyesave të thjeshta

Kjo ju lejon të shkruani një seri përmes shumës së serive të thjeshta dhe, duke theksuar termat në të, duke thjeshtuar mbledhjen.

Në këtë rast, do të mbetet një term i cili është i barabartë me një.
b)
Llogaritjet: Gjetja e kufirit të termit të përbashkët të serisë

dhe sigurohuni që seria të konvergjojë. Më pas, ne zbërthejmë termin e përgjithshëm të serisë së numrave duke përdorur metodën e koeficientëve të pacaktuar në fraksione të llojit më të thjeshtë.

Duke përdorur të njëjtat thyesa shkruajmë shumën e serisë

Ne e shkruajmë serinë në mënyrë eksplicite dhe thjeshtojmë në shumën e 3 termave

Shuma e serisë është 1/4.
Kjo plotëson hyrjen në skemat e përmbledhjes së serive. Seritë që reduktohen në shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, që përmbajnë faktoriale, varësi nga fuqia dhe të ngjashme nuk janë marrë ende në konsideratë këtu. Megjithatë, materiali i paraqitur do të jetë i dobishëm për studentët në kuize dhe kuize.

etj. – njohuritë më minimale rreth seri numrash. Është e nevojshme të kuptoni se çfarë është një seri, të jeni në gjendje ta përshkruani atë në detaje dhe të mos zgjeroni sytë pas frazave "seriali konvergon", "seriali ndryshon", "shuma e serisë". Prandaj, nëse disponimi juaj është plotësisht në zero, ju lutemi shpenzoni 5-10 minuta në këtë artikull Rreshtat për dummies(fjalë për fjalë 2-3 faqet e para), dhe pastaj kthehuni këtu dhe mos ngurroni të filloni të zgjidhni shembuj!

Duhet të theksohet se në shumicën e rasteve gjetja e shumës së një serie nuk është e lehtë dhe kjo çështje zakonisht zgjidhet përmes seri funksionale (do të jetojmë, do të jetojmë :)). Kështu, për shembull, sasia e një artisti popullor dalje nëpërmjet Seria Furier. Në këtë drejtim, në praktikë është pothuajse gjithmonë e nevojshme të instalohet vetë fakti i konvergjencës, por jo për të gjetur një numër specifik (shumë, mendoj, e kanë vënë re tashmë këtë). Megjithatë, në mesin e shumëllojshmërisë së madhe të serive të numrave, ka disa përfaqësues që lejojnë edhe një çajnik të plotë të prekë pa problem shenjtëroren e të shenjtëve. Dhe me radhë mësimi hyrës Unë dhashë një shembull të një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie , shuma e së cilës llogaritet lehtësisht duke përdorur formulën e njohur të shkollës.

Në këtë artikull ne do të vazhdojmë të shikojmë shembuj të ngjashëm, përveç kësaj, do të mësojmë përkufizimin e rreptë të një shume dhe në të njëjtën kohë do të njihemi me disa veti të serive. Le të ngrohemi... dhe le të ngrohemi pikërisht në progresionet:

Shembulli 1

Gjeni shumën e serisë

Zgjidhje: Le ta imagjinojmë serinë tonë si shuma e dy serive:

Pse në këtë A është e mundur të bëhet kjo? Veprimet e kryera bazohen në dy pohime të thjeshta:

1) Nëse seritë konvergojnë , atëherë do të konvergojë edhe seria e përbërë nga shumat ose diferencat e termave përkatës: . Në këtë rast, i rëndësishëm është fakti për të cilin po flasim konverguese rreshtave. Në shembullin tonë ne ne e dimë paraprakisht, që të dy progresionet gjeometrike do të konvergojnë, që do të thotë, pa asnjë dyshim, ne e zbërthejmë serinë origjinale në dy rreshta.

2) Vetia e dytë është edhe më e dukshme. Konstanta mund të zhvendoset jashtë serisë: , dhe kjo nuk do të ndikojë në konvergjencën ose divergjencën e tij dhe shumën përfundimtare. Pse të nxjerrësh konstanten? Po, vetëm që ajo "të mos pengojë". Por ndonjëherë është e dobishme të mos e bëni këtë

Shembulli i pastër duket diçka si ky:

Ne e përdorim formulën dy herë për të gjetur shumën e një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie: , ku është termi i parë i progresionit dhe është baza e progresionit.

Përgjigju: shuma e serive

Fillimi i zgjidhjes mund të dizajnohet në një stil paksa të ndryshëm - shkruani direkt serinë dhe riorganizoni anëtarët e saj:

Më tej përgjatë rrugës së rrahur.

Shembulli 2

Gjeni shumën e serisë

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe përgjigja në fund të orës së mësimit.

Këtu nuk ka kënaqësi të veçanta, por një ditë hasa në një seri të pazakontë që mund të befasojë një person të papërvojë. Ky... është gjithashtu një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie! Në të vërtetë, dhe shuma llogaritet në vetëm disa momente: .

Dhe tani një gllënjkë jetëdhënëse analiza matematikore të nevojshme për zgjidhjen e problemeve të mëtejshme:

Sa është shuma e një serie?

Një përkufizim i rreptë i konvergjencës/divergjencës dhe shuma e një serie në teori jepet përmes të ashtuquajturës shumat e pjesshme rresht. I pjesshëm do të thotë i paplotë. Le të shkruajmë shumat e pjesshme të një serie numrash :

Dhe shuma e pjesshme e anëtarëve "en" të serialit luan një rol të veçantë:

Nëse kufiri i shumave të pjesshme të një serie numrash është i barabartë me final numri: , atëherë quhet një seri e tillë konvergjente, dhe vetë numri është shuma e serisë. Nëse kufiri është i pafund ose nuk ekziston, atëherë thirret seria divergjente.

Le të kthehemi në rreshtin demo dhe shkruani shumat e pjesshme të tij:

Kufiri i shumave të pjesshme është saktësisht një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie, shuma e të cilit është e barabartë me: . Ne shikuam një kufi të ngjashëm në mësim rreth sekuencave të numrave. Në fakt, formula në vetvete është pasojë e drejtpërdrejtë e llogaritjeve teorike të mësipërme (shih vëllimin e 2-të të Matan-it).

Kështu, është tërhequr algoritmi i përgjithshëm zgjidhjen e problemit tonë: është e nevojshme të hartohet shuma e n-të e pjesshme e serisë dhe të gjendet kufiri. Le të shohim se si bëhet kjo në praktikë:

Shembulli 3

Llogaritni shumën e një serie

Zgjidhje: në hapin e parë ju duhet të dekompozoni term i zakonshëm i serisë në shumën e thyesave. Ne përdorim metoda e koeficientëve të pasigurt:

Si rezultat:

MenjëherëËshtë e dobishme të bëni të kundërtën, duke kontrolluar kështu:

Termi i përgjithshëm i serisë u mor në formën e tij origjinale, prandaj, zbërthimi në një shumë fraksionesh u krye me sukses.

Tani le të bëjmë një shumë të pjesshme të serisë. Në përgjithësi, kjo bëhet me gojë, por një herë do të përshkruaj sa më hollësisht të jetë e mundur se çfarë erdhi nga:

Si ta shkruajmë është plotësisht e qartë, por me çfarë është e barabartë termi i mëparshëm? Në termin e përbashkët të serialit NË VEND TË Ne zëvendësojmë "en":

Pothuajse të gjitha termat shuma e pjesshme reduktohen me sukses:


Ne bëjmë vetëm shënime të tilla me laps në një fletore. Dreq i përshtatshëm.

Mbetet për të llogaritur kufirin elementar dhe për të gjetur shumën e serisë:

Përgjigju:

Një seri e ngjashme për një zgjidhje të pavarur:

Shembulli 4

Llogaritni shumën e një serie

Një shembull i përafërt i një zgjidhjeje përfundimtare në fund të mësimit.

Natyrisht, gjetja e shumës së një serie është në vetvete provë e konvergjencës së saj (përveç shenjat e krahasimit, D'Alembert, Cauchy etj.), e cila, në veçanti, nënkuptohet nga formulimi i detyrës së mëposhtme:

Shembulli 5

Gjeni shumën e një serie ose përcaktoni divergjencën e saj

Nga pamjen e një anëtari të përbashkët, ju mund të tregoni menjëherë se si sillet ky shok. Pa komplekse. Duke përdorur kriter kufizues për krahasimËshtë e lehtë të zbulosh (madje edhe verbalisht) se kjo seri do të konvergojë me serinë. Por para nesh rast i rrallë, kur edhe shuma llogaritet pa shumë sherr.

Zgjidhje: Të zgjerojmë emëruesin e thyesës në prodhim. Për ta bërë këtë ju duhet të vendosni ekuacioni kuadratik:

Kështu:

Është më mirë që faktorët të renditen në rend rritës: .

Le të bëjmë një kontroll të ndërmjetëm:

OK

Kështu, termi i përgjithshëm i serisë është:

Kështu:

Le të mos jemi dembelë:

Kjo është ajo që duhet të kontrollohet.

Le të shkruajmë shumën e pjesshme “en” të anëtarëve të serisë, duke i kushtuar vëmendje faktit që “counter” i serisë “fillon të punojë” nga numri . Ashtu si në shembujt e mëparshëm, është më e sigurt të shtrihet kobra në një gjatësi të mirë:

Megjithatë, nëse e shkruajmë në një ose dy rreshta, do të jetë ende mjaft e vështirë të lundrosh shkurtesat e termave (ka 3 prej tyre në secilin term). Dhe këtu... gjeometria do të na vijë në ndihmë. Le ta bëjmë gjarprin të kërcejë me melodinë tonë:

Po, ashtu e shkruajmë një term nën tjetrin në fletore dhe i kryqëzojmë ashtu. Nga rruga, shpikje e vet. Siç e kuptoni, jo detyra më e lehtë në këtë jetë =)

Si rezultat i të gjitha reduktimeve marrim:

Dhe së fundi, shuma e serisë:

Përgjigju:

Shembulli 8

Llogaritni shumën e një serie

Ky është një shembull që ju duhet ta zgjidhni vetë.

Problemi në shqyrtim, natyrisht, nuk na kënaq me diversitetin e tij - në praktikë hasim ose një progresion gjeometrik pafundësisht në rënie ose një seri me një term të përbashkët racional të pjesshëm dhe një polinom të zbërthyeshëm në emërues (nga rruga, jo çdo të tillë polinomi bën të mundur gjetjen e shumës së serisë). Por, megjithatë, ndonjëherë hasen ekzemplarë të pazakontë, dhe sipas traditës së mirë të vendosur, e mbyll mësimin me një problem interesant.

Një seri numrash është një sekuencë që konsiderohet së bashku me një sekuencë tjetër (quhet gjithashtu një sekuencë shumash të pjesshme). Koncepte të ngjashme përdoren në analizën matematikore dhe komplekse.

Shuma e një serie numrash mund të llogaritet lehtësisht në Excel duke përdorur funksionin SERIES.SUM. Le të shohim një shembull se si funksionon këtë funksion, dhe më pas do të ndërtojmë një grafik funksionesh. Le të mësojmë se si të përdorim seritë e numrave në praktikë kur llogaritim rritjen e kapitalit. Por së pari, një teori e vogël.

Shuma e serisë së numrave

Seritë e numrave mund të konsiderohen si një sistem i përafrimeve me numrat. Për ta përcaktuar atë, përdorni formulën:

Këtu është sekuenca fillestare e numrave në seri dhe rregulli i mbledhjes:

• ∑ - shenjë matematikore shumat;
• a i - argument i përgjithshëm;
• i është një variabël, një rregull për ndryshimin e çdo argumenti pasues;
• ∞ është shenja e pafundësisë, “kufiri” deri në të cilin kryhet përmbledhja.

Hyrja do të thotë: përmbledhur numrat natyrorë nga 1 në "plus pafundësi". Meqenëse i = 1, llogaritja e shumës fillon nga një. Nëse do të kishte një numër tjetër këtu (për shembull, 2, 3), atëherë do të fillonim të mbledhim prej tij (nga 2, 3).

Në përputhje me variablin i, seria mund të shkruhet e zgjeruar:

A 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... (deri në "plus pafundësi").

Përkufizimi i shumës së një serie numrash jepet përmes "shumave të pjesshme". Në matematikë shënohen Sn. Le të shkruajmë seritë tona të numrave në formën e shumave të pjesshme:

S 2 = a 1 + a 2

S 3 = a 1 + a 2 + a 3

S 4 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4

Shuma e një serie numrash është kufiri i shumave të pjesshme S n. Nëse kufiri është i kufizuar, flasim për një seri "konvergjente". Pafund - për "divergjente".

Së pari, le të gjejmë shumën e serisë së numrave:

Tani le të ndërtojmë një tabelë të vlerave të anëtarëve të serisë në Excel:

Argumentin e parë të përgjithshëm e marrim nga formula: i=3.

Ne gjejmë të gjitha vlerat e mëposhtme të i duke përdorur formulën: =B4+$B$1. Vendoseni kursorin në këndin e poshtëm të djathtë të qelizës B5 dhe shumëzoni formulën.

Le të gjejmë vlerat. Le të bëjmë qelizë aktive C4 dhe shkruani formulën: =SUM(2*B4+1). Kopjoni qelizën C4 në intervalin e specifikuar.

Vlera e shumës së argumenteve merret duke përdorur funksionin: =SUM(C4:C11). Kombinimi i tasteve kryesore ALT+“+” (plus në tastierë).



Funksioni ROW.SUM në Excel

Për të gjetur shumën e një serie numrash në Excel, përdorni funksionin matematikor SERIES.SUM. Programi përdor formulën e mëposhtme:

Argumentet e funksionit:

• x – vlera e ndryshueshme;
• n – shkalla për argumentin e parë;
• m është hapi me të cilin rritet shkalla për çdo mandat pasues;
• a janë koeficientët për fuqitë përkatëse të x.

Kushtet e rëndësishme për funksionimin e funksionit:

• kërkohen të gjitha argumentet (d.m.th., të gjitha duhet të plotësohen);
• të gjitha argumentet janë vlera NUMERIC;
• vektori i koeficientëve ka një gjatësi fikse (kufiri i "pafundësisë" nuk do të funksionojë);
• numri i “koeficientëve” = numri i argumenteve.

Llogaritja e shumës së një serie në Excel

Me të njëjtin funksion ROW.SUM funksionon seri fuqie(një nga variantet e serive funksionale). Ndryshe nga ato numerike, argumentet e tyre janë funksione.

Seritë funksionale përdoren shpesh në sferën financiare dhe ekonomike. Mund të thuash se kjo është zona e tyre e aplikimit.

Për shembull, ata vendosin një shumë të caktuar parash (a) në bankë për periudhë të caktuar(n). Ne kemi një pagesë vjetore prej x për qind. Për të llogaritur shumën e përllogaritur në fund të periudhës së parë, përdoret formula:

S 1 = a (1 + x).

Në fund të periudhës së dytë dhe të mëvonshme, forma e shprehjeve është si më poshtë:

S2 = a (1 + x) 2;

S 3 = a (1 + x) 2, etj.

Për të gjetur totalin:

S n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Shumat e pjesshme në Excel mund të gjenden duke përdorur funksionin BS().

Parametrat fillestarë për detyrën e trajnimit: Përdorimi i standardit funksioni matematik

Tani në qelizën D3 do të zgjidhim të njëjtin problem duke përdorur të integruarin funksionet e Excel: =BS(B3;B1;;-B2)

Rezultatet janë të njëjta, siç duhet.

Si të plotësoni argumentet e funksionit BS():

1. “Norma” është norma e interesit me të cilën bëhet depozitimi. Meqenëse formati i përqindjes është vendosur në qelizën B3, ne thjesht specifikuam një lidhje me këtë qelizë në fushën e argumentit. Nëse do të specifikohej një numër, atëherë ai do të shkruhej si një e qindta e tij (20/100).
2. “Nper” është numri i periudhave për pagesat e interesit. Në shembullin tonë - 4 vjet.
3. "Plt" - pagesa periodike. Në rastin tonë nuk ka asnjë. Prandaj, ne nuk e plotësojmë fushën e argumentit.
4. "Ps" - "vlera aktuale", shuma e depozitës. Meqenëse po ndahemi me këto para për një kohë, ne tregojmë parametrin me një shenjë "-".

Kështu, funksioni BS na ndihmoi të gjejmë shumën e serisë funksionale.

Excel ka funksione të tjera të integruara për gjetjen parametra të ndryshëm. Zakonisht këto janë funksione për të punuar me projekte investimi, letra me vlerë dhe pagesa të amortizimit.

Vizatimi i funksioneve të shumës së një serie numrash

Le të ndërtojmë një grafik funksioni që pasqyron rritjen e kapitalit. Për ta bërë këtë, ne duhet të ndërtojmë një grafik të një funksioni që është shuma e serisë së ndërtuar. Si shembull, le të marrim të njëjtat të dhëna për depozitën:

Rreshti i parë tregon shumën e akumuluar pas një viti. Në të dytën - në dy. Dhe kështu me radhë.

Le të krijojmë një kolonë tjetër në të cilën do të pasqyrojmë fitimin:

Siç menduam - në shiritin e formulës.

Bazuar në të dhënat e marra, ne do të ndërtojmë një grafik funksionesh.

Le të zgjedhim 2 vargje: A5:A9 dhe C5:C9. Shkoni te skeda "Fut" - mjeti "Diagramet". Zgjidhni grafikun e parë:

Le ta bëjmë problemin edhe më "të zbatueshëm". Në shembullin që kemi përdorur interesi i përbërë. Ato llogariten mbi shumën e përllogaritur në periudhën e mëparshme.

Le të marrim një interes të thjeshtë për krahasim. Formula e thjeshtë e interesit në Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Le të shtojmë vlerat e marra në grafikun "Rritja e Kapitalit".

Është e qartë se çfarë përfundimesh do të nxjerrë investitori.

Formula matematikore për shumën e pjesshme të një serie funksionale (me interes të thjeshtë): S n = a (1 + x*n), ku a është shuma fillestare e depozitës, x është interes, n është periudha.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve