Shumëfishi më i vogël i përbashkët i dy numrave. Nod dhe nok i numrave - pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave

Numri i dytë: b=

Ndarës i mijërave Pa ndarës hapësinor "'

Rezultati:

Më i madhi pjesëtues i përbashkët GCD( a,b)=6

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i LCM( a,b)=468

Më i madhi numri natyror, me të cilin pjesëtohen numrat a dhe b pa mbetje, quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët(GCD) të këtyre numrave. Shënohet me gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ose hcf(a,b).

Shumëfishi më pak i zakonshëm LCM e dy numrave të plotë a dhe b është numri natyror më i vogël që pjesëtohet me a dhe b pa mbetje. Shënohet LCM(a,b), ose lcm(a,b).

Quhen numrat e plotë a dhe b kryeministër reciprok, nëse nuk kanë pjesëtues të përbashkët përveç +1 dhe −1.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Le të jepen dy numra pozitiv a 1 dhe a 2 1). Kërkohet të gjendet pjesëtuesi i përbashkët i këtyre numrave, d.m.th. gjeni një numër të tillë λ , e cila ndan numrat a 1 dhe a 2 në të njëjtën kohë. Le të përshkruajmë algoritmin.

1) Në këtë artikull, fjala numër do të kuptohet si një numër i plotë.

Le a 1 ≥ a 2 dhe le

Ku m 1 , a 3 janë disa numra të plotë, a 3 <a 2 (mbetja e ndarjes a 1 për a 2 duhet të jetë më pak a 2).

Le të pretendojmë se λ ndan a 1 dhe a 2 pastaj λ ndan m 1 a 2 dhe λ ndan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pohimi 2 i nenit “Pjestueshmëria e numrave. Testi i pjesëtueshmërisë”). Nga kjo rrjedh se çdo pjesëtues i përbashkët a 1 dhe a 2 është pjesëtuesi i përbashkët a 2 dhe a 3. E kundërta është gjithashtu e vërtetë nëse λ pjesëtues i përbashkët a 2 dhe a 3 pastaj m 1 a 2 dhe a 1 =m 1 a 2 +a 3 gjithashtu pjesëtohet me λ . Prandaj pjesëtuesi i përbashkët a 2 dhe a 3 është gjithashtu një pjesëtues i përbashkët a 1 dhe a 2. Sepse a 3 <a 2 ≤a 1, atëherë mund të themi se zgjidhja e problemit të gjetjes së pjesëtuesit të përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 reduktohet në problemin më të thjeshtë të gjetjes së pjesëtuesit të përbashkët të numrave a 2 dhe a 3 .

Nëse a 3 ≠0, atëherë mund të pjesëtojmë a 2 për a 3. Pastaj

,

Ku m 1 dhe a 4 janë disa numra të plotë, ( a 4 mbetur nga ndarja a 2 për a 3 (a 4 <a 3)). Me arsyetim të ngjashëm arrijmë në përfundimin se pjesëtuesit e përbashkët të numrave a 3 dhe a 4 përkon me pjesëtuesit e përbashkët të numrave a 2 dhe a 3, dhe gjithashtu me pjesëtues të përbashkët a 1 dhe a 2. Sepse a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... janë numra që janë vazhdimisht në rënie, dhe meqenëse ekziston një numër i kufizuar numrash të plotë midis a 2 dhe 0, pastaj në një hap n, pjesa e mbetur e ndarjes a n në a n+1 do të jetë e barabartë me zero ( a n+2 =0).

.

Çdo pjesëtues i përbashkët λ numrat a 1 dhe a 2 është gjithashtu një pjesëtues i numrave a 2 dhe a 3 , a 3 dhe a 4 , .... a n dhe a n+1 . E kundërta është gjithashtu e vërtetë, pjesëtues të përbashkët të numrave a n dhe a n+1 janë gjithashtu pjesëtues të numrave a n−1 dhe a n , .... , a 2 dhe a 3 , a 1 dhe a 2. Por pjesëtuesi i përbashkët i numrave a n dhe a n+1 është një numër a n+1, sepse a n dhe a n+1 pjesëtohen me a n+1 (mos harroni se a n+2 =0). Prandaj a n+1 është gjithashtu pjesëtues i numrave a 1 dhe a 2 .

Vini re se numri a n+1 është pjesëtuesi më i madh i numrave a n dhe a n+1 , pasi pjesëtuesi më i madh a n+1 është vetvetja a n+1 . Nëse a n+1 mund të paraqitet si prodhim i numrave të plotë, atëherë këta numra janë gjithashtu pjesëtues të zakonshëm të numrave a 1 dhe a 2. Numri a n+1 quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët numrat a 1 dhe a 2 .

Numrat a 1 dhe a 2 mund të jetë ose pozitiv ose negativ. Nëse njëri prej numrave është i barabartë me zero, atëherë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre numrave do të jetë i barabartë me vlerën absolute të numrit tjetër. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave zero është i papërcaktuar.

Algoritmi i mësipërm quhet Algoritmi Euklidian për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave të plotë.

Një shembull i gjetjes së pjesëtuesit më të madh të përbashkët të dy numrave

Gjeni pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave 630 dhe 434.

• Hapi 1. Ndani numrin 630 me 434. Pjesa e mbetur është 196.
• Hapi 2. Ndani numrin 434 me 196. Pjesa e mbetur është 42.
• Hapi 3. Ndani numrin 196 me 42. Pjesa e mbetur është 28.
• Hapi 4. Ndani numrin 42 me 28. Pjesa e mbetur është 14.
• Hapi 5. Ndani numrin 28 me 14. Pjesa e mbetur është 0.

Në hapin 5, pjesa e mbetur e pjesëtimit është 0. Prandaj, pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave 630 dhe 434 është 14. Vini re se edhe numrat 2 dhe 7 janë pjesëtues të numrave 630 dhe 434.

Numrat e dyfishtë

Përkufizimi 1. Le të pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 është e barabartë me një. Atëherë thirren këta numra numrat koprim, duke mos pasur pjesëtues të përbashkët.

Teorema 1. Nëse a 1 dhe a 2 numra të përbashkët, dhe λ një numër, pastaj ndonjë pjesëtues i përbashkët i numrave λa 1 dhe a 2 është gjithashtu një pjesëtues i përbashkët i numrave λ Dhe a 2 .

Dëshmi. Merrni parasysh algoritmin Euklidian për gjetjen e pjesëtuesit më të madh të përbashkët të numrave a 1 dhe a 2 (shih më lart).

.

Nga kushtet e teoremës del se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a 1 dhe a 2 dhe prandaj a n dhe a n+1 është 1. Kjo është a n+1 =1.

Le t'i shumëzojmë të gjitha këto barazi me λ , Pastaj

.

Le të pjesëtuesin e përbashkët a 1 λ Dhe a 2 po δ . Pastaj δ përfshihet si shumëzues në a 1 λ , m 1 a 2 λ dhe ne a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (shih "Pjestueshmëria e numrave", Deklarata 2). Me tutje δ përfshihet si shumëzues në a 2 λ Dhe m 2 a 3 λ , dhe, për rrjedhojë, përfshihet si faktor në a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Duke arsyetuar në këtë mënyrë, ne jemi të bindur se δ përfshihet si shumëzues në a n−1 λ Dhe m n−1 a n λ , dhe për këtë arsye në a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Sepse a n+1 =1, atëherë δ përfshihet si shumëzues në λ . Prandaj numri δ është pjesëtues i përbashkët i numrave λ Dhe a 2 .

Le të shqyrtojmë raste të veçanta të Teoremës 1.

Pasoja 1. Le a Dhe c Numrat e thjeshtë janë relativisht b. Pastaj produkti i tyre acështë një numër i thjeshtë në lidhje me b.

Vërtet. Nga teorema 1 ac Dhe b kanë të njëjtët pjesëtues të përbashkët si c Dhe b. Por numrat c Dhe b relativisht e thjeshtë, d.m.th. kanë një pjesëtues të vetëm të përbashkët 1. Pastaj ac Dhe b kanë edhe një pjesëtues të vetëm të përbashkët 1. Prandaj ac Dhe b e thjeshtë reciprokisht.

Pasoja 2. Le a Dhe b numrat koprim dhe le b ndan ak. Pastaj b ndan dhe k.

Vërtet. Nga kushti i miratimit ak Dhe b kanë një pjesëtues të përbashkët b. Në bazë të teoremës 1, b duhet të jetë pjesëtues i përbashkët b Dhe k. Prandaj b ndan k.

Përfundimi 1 mund të përgjithësohet.

Pasoja 3. 1. Lërini numrat a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m janë të thjeshtë në raport me numrin b. Pastaj a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, prodhimi i këtyre numrave është i thjeshtë në raport me numrin b.

2. Le të kemi dy rreshta numrash

të tillë që çdo numër në serinë e parë është i thjeshtë në raportin e çdo numri në serinë e dytë. Pastaj produkti

Ju duhet të gjeni numra që janë të pjesëtueshëm me secilin prej këtyre numrave.

Nëse një numër pjesëtohet me a 1, atëherë ka formën sa 1 ku s disa numra. Nëse qështë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave a 1 dhe a 2, atëherë

Ku s 1 është një numër i plotë. Pastaj

është shumëfishat më pak të zakonshëm të numrave a 1 dhe a 2 .

a 1 dhe a 2 janë relativisht të thjeshtë, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1 dhe a 2:

Duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.

Nga sa më sipër rezulton se çdo shumëfish i numrave a 1 , a 2 , a 3 duhet të jetë një shumëfish i numrave ε Dhe a 3 dhe mbrapa. Lëreni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave ε Dhe a 3 po ε 1 . Më pas, shumëfisha numrash a 1 , a 2 , a 3 , a 4 duhet të jetë një shumëfish i numrave ε 1 dhe a 4 . Lëreni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave ε 1 dhe a 4 po ε 2. Kështu, ne zbuluam se të gjitha shumëfishat e numrave a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m përkojnë me shumëfishat e një numri të caktuar ε n, i cili quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të dhënë.

Në rastin e veçantë kur numrat a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m janë relativisht të thjeshtë, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1 , a 2, siç tregohet më sipër, ka formën (3). Më tej, që nga a 3 i thjeshtë në lidhje me numrat a 1 , a 2 pastaj a 3 numër kryesor a 1 · a 2 (Përfundimi 1). Do të thotë shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave a 1 ,a 2 ,a 3 është një numër a 1 · a 2 · a 3. Duke arsyetuar në mënyrë të ngjashme, arrijmë në pohimet e mëposhtme.

deklaratë 1. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i numrave të përbashkët a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m është e barabartë me produktin e tyre a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

deklaratë 2. Çdo numër që është i pjesëtueshëm me secilin nga numrat e dyfishtë a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m është gjithashtu i pjesëtueshëm me produktin e tyre a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Materiali i paraqitur më poshtë është një vazhdim logjik i teorisë nga artikulli me titull LCM - shumëfishi më pak i zakonshëm, përkufizimi, shembuj, lidhja midis LCM dhe GCD. Këtu do të flasim për gjetja e shumëfishit më të vogël të përbashkët (LCM), dhe vëmendje të veçantë do t'i kushtojmë zgjidhjes së shembujve. Së pari, ne do të tregojmë se si llogaritet LCM e dy numrave duke përdorur GCD të këtyre numrave. Më pas, do të shqyrtojmë gjetjen e shumëfishit më të vogël të përbashkët duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë. Pas kësaj, ne do të fokusohemi në gjetjen e LCM të tre ose më shumë numrave, dhe gjithashtu do t'i kushtojmë vëmendje llogaritjes së LCM të numrave negativë.

Navigimi i faqes.

Llogaritja e shumëfishit më të vogël të zakonshëm (LCM) nëpërmjet GCD

Një mënyrë për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në marrëdhënien midis LCM dhe GCD. Lidhja ekzistuese midis LCM dhe GCD na lejon të llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të plotë pozitivë përmes një pjesëtuesi të përbashkët më të madh të njohur. Formula përkatëse është LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Le të shohim shembuj të gjetjes së LCM duke përdorur formulën e dhënë.

Shembull.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave 126 dhe 70.

Zgjidhje.

Në këtë shembull a=126 , b=70 . Le të përdorim lidhjen midis LCM dhe GCD, të shprehur me formulë LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Kjo do të thotë, së pari duhet të gjejmë pjesëtuesin më të madh të përbashkët të numrave 70 dhe 126, pas së cilës mund të llogarisim LCM-në e këtyre numrave duke përdorur formulën e shkruar.

Le të gjejmë GCD(126, 70) duke përdorur algoritmin Euklidian: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, pra, GCD(126, 70)=14.

Tani gjejmë shumëfishin më të vogël të zakonshëm të kërkuar: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Përgjigje:

LCM(126, 70)=630 .

Shembull.

Me çfarë është e barabartë LCM(68, 34)?

Zgjidhje.

Sepse 68 pjesëtohet me 34, pastaj GCD(68, 34)=34. Tani ne llogarisim shumëfishin më të vogël të përbashkët: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Përgjigje:

LCM(68, 34)=68 .

Vini re se shembulli i mëparshëm i përshtatet rregullit të mëposhtëm për gjetjen e LCM për numrat e plotë pozitivë a dhe b: nëse numri a është i pjesëtueshëm me b, atëherë shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre numrave është a.

Gjetja e LCM duke faktorizuar numrat në faktorë të thjeshtë

Një mënyrë tjetër për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët bazohet në faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë. Nëse kompozoni një produkt nga të gjithë faktorët kryesorë të numrave të dhënë, dhe më pas përjashtoni nga ky produkt të gjithë faktorët e thjeshtë të zakonshëm të pranishëm në zbërthimin e numrave të dhënë, atëherë produkti që rezulton do të jetë i barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave të dhënë. .

Rregulli i deklaruar për gjetjen e LCM rrjedh nga barazia LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Në të vërtetë, prodhimi i numrave a dhe b është i barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të përfshirë në zgjerimin e numrave a dhe b. Nga ana tjetër, GCD(a, b) është e barabartë me produktin e të gjithë faktorëve të thjeshtë të pranishëm në të njëjtën kohë në zgjerimet e numrave a dhe b (siç përshkruhet në seksionin për gjetjen e GCD duke përdorur zgjerimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

Le të japim një shembull. Na tregoni se 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Të përpilojmë prodhimin nga të gjithë faktorët e këtyre zgjerimeve: 2·3·3·5·5·5·7 . Tani nga ky produkt përjashtojmë të gjithë faktorët e pranishëm si në zgjerimin e numrit 75 ashtu edhe në zgjerimin e numrit 210 (faktorë të tillë janë 3 dhe 5), atëherë prodhimi do të marrë formën 2·3·5·5·7. . Vlera e këtij produkti është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të 75 dhe 210, d.m.th. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050.

Shembull.

Faktoroni numrat 441 dhe 700 në faktorë të thjeshtë dhe gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të këtyre numrave.

Zgjidhje.

Le të faktorizojmë numrat 441 dhe 700 në faktorët kryesorë:

Marrim 441=3·3·7·7 dhe 700=2·2·5·5·7.

Tani le të krijojmë një produkt nga të gjithë faktorët e përfshirë në zgjerimin e këtyre numrave: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Le të përjashtojmë nga ky produkt të gjithë faktorët që janë njëkohësisht të pranishëm në të dy zgjerimet (ka vetëm një faktor i tillë - ky është numri 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. Kështu, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Përgjigje:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Rregulli për gjetjen e LCM duke përdorur faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë mund të formulohet pak më ndryshe. Nëse faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit b u shtohen faktorëve nga zgjerimi i numrit a, atëherë vlera e produktit që rezulton do të jetë e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave a dhe b..

Për shembull, le të marrim të njëjtët numra 75 dhe 210, zbërthimet e tyre në faktorë të thjeshtë janë si më poshtë: 75=3·5·5 dhe 210=2·3·5·7. Faktorëve 3, 5 dhe 5 nga zgjerimi i numrit 75 u shtojmë faktorët 2 dhe 7 që mungojnë nga zgjerimi i numrit 210, fitojmë prodhimin 2·3·5·5·7, vlera e të cilit është e barabartë me LCM(75, 210).

Shembull.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 84 dhe 648.

Zgjidhje.

Fillimisht marrim zbërthimin e numrave 84 dhe 648 në faktorë të thjeshtë. Ato duken si 84=2·2·3·7 dhe 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 nga zgjerimi i numrit 84 u shtojmë faktorët që mungojnë 2, 3, 3 dhe 3 nga zgjerimi i numrit 648, fitojmë prodhimin 2 2 2 3 3 3 3 7, që është e barabartë me 4 536 . Kështu, shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar i 84 dhe 648 është 4,536.

Përgjigje:

LCM(84, 648)=4,536.

Gjetja e LCM-së së tre ose më shumë numrave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i tre ose më shumë numrave mund të gjendet duke gjetur në mënyrë sekuenciale LCM-në e dy numrave. Le të kujtojmë teoremën përkatëse, e cila jep një mënyrë për të gjetur LCM të tre ose më shumë numrave.

Teorema.

Le të jepen numrat e plotë pozitiv a 1 , a 2 , …, a k, shumëfishi më i vogël i përbashkët m k i këtyre numrave gjendet duke llogaritur në mënyrë sekuenciale m 2 = LCM(a 1 , a 2), m 3 = LCM(m 2, a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Le të shqyrtojmë zbatimin e kësaj teoreme duke përdorur shembullin e gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët të katër numrave.

Shembull.

Gjeni LCM-në e katër numrave 140, 9, 54 dhe 250.

Zgjidhje.

Në këtë shembull, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Së pari ne gjejmë m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Për ta bërë këtë, duke përdorur algoritmin Euklidian, përcaktojmë GCD(140, 9), kemi 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, prandaj, GCD(140, 9)=1, nga ku GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1260. Kjo do të thotë, m 2 = 1 260.

Tani ne gjejmë m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Le ta llogarisim atë përmes GCD(1 260, 54), të cilin e përcaktojmë gjithashtu duke përdorur algoritmin Euklidian: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Pastaj gcd(1,260, 54)=18, nga e cila gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Kjo do të thotë, m 3 = 3 780.

Gjithçka që mbetet është të gjendet m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Për ta bërë këtë, gjejmë GCD(3,780, 250) duke përdorur algoritmin Euklidian: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Prandaj, GCM(3,780, 250)=10, prej nga GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3780·250:10=94500. Domethënë m 4 =94.500.

Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i katër numrave origjinalë është 94,500.

Përgjigje:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Në shumë raste, është e përshtatshme të gjesh shumëfishin më të vogël të përbashkët të tre ose më shumë numrave duke përdorur faktorizimin e thjeshtë të numrave të dhënë. Në këtë rast, duhet t'i përmbaheni rregullit të mëposhtëm. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i disa numrave është i barabartë me produktin, i cili përbëhet si më poshtë: faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë u shtohen të gjithë faktorëve nga zgjerimi i numrit të parë, faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numri i tretë i shtohen faktorëve që rezultojnë, e kështu me radhë.

Le të shohim një shembull të gjetjes së shumëfishit më të vogël të përbashkët duke përdorur faktorizimin e thjeshtë.

Shembull.

Gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të pesë numrave 84, 6, 48, 7, 143.

Zgjidhje.

Së pari, marrim zbërthimin e këtyre numrave në faktorë të thjeshtë: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 është numër i thjeshtë, përkon me zbërthimin e tij në faktorë të thjeshtë) dhe 143=11·13.

Për të gjetur LCM-në e këtyre numrave, në faktorët e numrit të parë 84 (ata janë 2, 2, 3 dhe 7), duhet të shtoni faktorët që mungojnë nga zgjerimi i numrit të dytë 6. Zbërthimi i numrit 6 nuk përmban faktorë që mungojnë, pasi edhe 2 edhe 3 janë tashmë të pranishëm në zbërthimin e numrit të parë 84. Më tej, faktorëve 2, 2, 3 dhe 7 shtojmë faktorët 2 dhe 2 që mungojnë nga zgjerimi i numrit të tretë 48, marrim një grup faktorësh 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7. Nuk do të ketë nevojë të shtoni shumëzues në këtë grup në hapin tjetër, pasi 7 është tashmë i përfshirë në të. Së fundi, faktorëve 2, 2, 2, 2, 3 dhe 7 u shtojmë faktorët që mungojnë 11 dhe 13 nga zgjerimi i numrit 143. Marrim produktin 2·2·2·2·3·7·11·13, i cili është i barabartë me 48,048.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët

Përkufizimi 2

Nëse një numër natyror a është i pjesëtueshëm me një numër natyror $b$, atëherë $b$ quhet pjesëtues i $a$ dhe $a$ quhet shumëfish i $b$.

Le të jenë numra natyrorë $a$ dhe $b$. Numri $c$ quhet pjesëtues i përbashkët i $a$ dhe $b$.

Bashkësia e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $a$ dhe $b$ është e fundme, pasi asnjë nga këta pjesëtues nuk mund të jetë më i madh se $a$. Kjo do të thotë se midis këtyre pjesëtuesve ekziston një më i madhi, i cili quhet pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ dhe shënohet me shënimet e mëposhtme:

$GCD\(a;b)\ ose \D\(a;b)$

Për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët të dy numrave ju nevojiten:

1. Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

Shembulli 1

Gjeni gcd-në e numrave $121$ dhe $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Zgjidhni numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=2\cdot 11=22$

Shembulli 2

Gjeni gcd-në e monomëve $63$ dhe $81$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë:

Le të faktorizojmë numrat në faktorë të thjeshtë

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Ne zgjedhim numrat që përfshihen në zgjerimin e këtyre numrave

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

Le të gjejmë prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar.

$GCD=3\cdot 3=9$

Ju mund ta gjeni gcd-në e dy numrave në një mënyrë tjetër, duke përdorur një grup pjesëtuesish numrash.

Shembulli 3

Gjeni gcd-në e numrave $48$ dhe $60$.

Zgjidhja:

Le të gjejmë bashkësinë e pjesëtuesve të numrit $48$: $\majtas\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\djathtas\)$

Tani le të gjejmë grupin e pjesëtuesve të numrit $60$:$\ \majtas\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\djathtas\) $

Le të gjejmë kryqëzimin e këtyre grupeve: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ky grup do të përcaktojë grupin e pjesëtuesve të përbashkët të numrave $48$ dhe $60 $. Elementi më i madh në këtë grup do të jetë numri $12$. Kjo do të thotë se pjesëtuesi më i madh i përbashkët i numrave $48$ dhe $60$ është $12$.

Përkufizimi i NPL

Përkufizimi 3

Shumëfisha të përbashkët të numrave natyrorë$a$ dhe $b$ është një numër natyror që është shumëfish i $a$ dhe $b$.

Shumëfishat e përbashkët të numrave janë numra që janë të pjesëtueshëm me numrat origjinalë pa mbetje Për shembull, për numrat 25$ dhe 50$, shumëfishat e përbashkët do të jenë numrat 50,100,150,200$, etj.

Shumëfishi më i vogël i përbashkët do të quhet shumëfishi më i vogël i përbashkët dhe do të shënohet LCM$(a;b)$ ose K$(a;b).$

Për të gjetur LCM-në e dy numrave, duhet:

1. Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë
2. Shkruani faktorët që janë pjesë e numrit të parë dhe shtoni atyre faktorët që janë pjesë e të dytit dhe nuk janë pjesë e të parit.

Shembulli 4

Gjeni LCM-në e numrave $99$ dhe $77$.

Do të gjejmë sipas algoritmit të paraqitur. Për këtë

Faktori i numrave në faktorë të thjeshtë

$99=3\cdot 3\cdot 11$

Shkruani faktorët e përfshirë në të parën

shtoni atyre shumëzues që janë pjesë e së dytës dhe jo pjesë e së parës

Gjeni prodhimin e numrave të gjetur në hapin 2. Numri që rezulton do të jetë shumëfishi më i vogël i zakonshëm i dëshiruar

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

Përpilimi i listave të pjesëtuesve të numrave është shpesh një detyrë shumë e vështirë. Ekziston një mënyrë për të gjetur GCD që quhet algoritmi Euklidian.

Deklaratat në të cilat bazohet algoritmi Euklidian:

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë, dhe $a\vdots b$, atëherë $D(a;b)=b$

Nëse $a$ dhe $b$ janë numra natyrorë të tillë që $b

Duke përdorur $D(a;b)= D(a-b;b)$, ne mund t'i zvogëlojmë në mënyrë të njëpasnjëshme numrat në shqyrtim derisa të arrijmë një çift numrash të tillë që njëri prej tyre të jetë i pjesëtueshëm me tjetrin. Atëherë, më i vogli nga këta numra do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i dëshiruar për numrat $a$ dhe $b$.

Vetitë e GCD dhe LCM

1. Çdo shumëfish i përbashkët i $a$ dhe $b$ është i pjesëtueshëm me K$(a;b)$
2. Nëse $a\vdots b$ , atëherë К$(a;b)=a$

Nëse K$(a;b)=k$ dhe $m$ është një numër natyror, atëherë K$(am;bm)=km$

Nëse $d$ është një pjesëtues i zakonshëm për $a$ dhe $b$, atëherë K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

Nëse $a\vdots c$ dhe $b\vdots c$, atëherë $\frac(ab)(c)$ është shumëfishi i përbashkët i $a$ dhe $b$

Për çdo numër natyror $a$ dhe $b$ barazia vlen

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

Çdo pjesëtues i përbashkët i numrave $a$ dhe $b$ është pjesëtues i numrit $D(a;b)$

Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishi më i vogël i përbashkët (LCM) i një grupi numrash është numri më i vogël që pjesëtohet me secilin numër në grup pa lënë mbetje. Për të gjetur shumëfishin më të vogël të përbashkët, duhet të gjeni faktorët kryesorë të numrave të dhënë. LCM gjithashtu mund të llogaritet duke përdorur një numër metodash të tjera që zbatohen për grupet me dy ose më shumë numra.

Hapat

Seri shumëfishësh

Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i vogël se 10. Nëse jepen numra më të mëdhenj, përdorni një metodë tjetër.

• Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të 5 dhe 8. Këta janë numra të vegjël, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

1. Një shumëfish është një numër që pjesëtohet me një numër të caktuar pa mbetje. Shumëfishat mund të gjenden në tabelën e shumëzimit.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 5-ës janë: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Shkruani një seri numrash që janë shumëfish të numrit të parë. Bëni këtë nën shumëfishat e numrit të parë për të krahasuar dy grupe numrash.

   • Për shembull, numrat që janë shumëfish të 8-ës janë: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 dhe 64.

3. Gjeni numrin më të vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave. Mund t'ju duhet të shkruani seri të gjata shumëfishash për të gjetur numrin total. Numri më i vogël që është i pranishëm në të dy grupet e shumëfishave është shumëfishi më pak i zakonshëm.

   • Për shembull, numri më i vogël që shfaqet në serinë e shumëfishave të 5 dhe 8 është numri 40. Prandaj, 40 është shumëfishi më i vogël i përbashkët i 5 dhe 8.

   Faktorizimi kryesor

   1. Shikoni këto numra. Metoda e përshkruar këtu përdoret më së miri kur jepen dy numra, secili prej të cilëve është më i madh se 10. Nëse jepen numra më të vegjël, përdorni një metodë tjetër.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 20 dhe 84. Secili nga numrat është më i madh se 10, kështu që mund të përdorni këtë metodë.

   2. Faktoroni numrin e parë në faktorët kryesorë. Kjo do të thotë, ju duhet të gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin një numër të caktuar. Pasi të keni gjetur faktorët kryesorë, shkruajini si barazi.

      • Për shembull, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 10=20) Dhe 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë (\mathbf (5) )=10). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 20 janë numrat 2, 2 dhe 5. Shkruajini si shprehje: .

   3. Faktoroni numrin e dytë në faktorët kryesorë. Bëje këtë në të njëjtën mënyrë si faktorizoi numrin e parë, d.m.th., gjeni numra të tillë të thjeshtë që, kur shumëzohen, do të japin numrin e dhënë.

      • Për shembull, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\herë 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\herë 6=42) Dhe 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\herë (\mathbf (2) )=6). Kështu, faktorët e thjeshtë të numrit 84 janë numrat 2, 7, 3 dhe 2. Shkruajini si shprehje: .

   4. Shkruani faktorët e përbashkët për të dy numrat. Shkruani faktorë të tillë si një veprim shumëzimi. Ndërsa shkruani çdo faktor, kryqëzojeni atë në të dy shprehjet (shprehje që përshkruajnë faktorizimin e numrave në faktorë të thjeshtë).

      • Për shembull, të dy numrat kanë një faktor të përbashkët 2, kështu që shkruani 2 × (\shfaqja 2\herë) dhe kaloni 2 në të dyja shprehjet.
      • Ajo që të dy numrat kanë të përbashkët është një faktor tjetër prej 2, kështu që shkruani 2 × 2 (\stil ekrani 2\herë 2) dhe shënoni 2 të dytën në të dyja shprehjet.

   5. Shtoni faktorët e mbetur në veprimin e shumëzimit. Këta janë faktorë që nuk janë të kryqëzuar në të dyja shprehjet, domethënë faktorë që nuk janë të përbashkët për të dy numrat.

      • Për shembull, në shprehje 20 = 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 20=2\herë 2\herë 5) Të dy dy (2) janë të kryqëzuara sepse janë faktorë të përbashkët. Faktori 5 nuk është tejkaluar, kështu që shkruajeni operacionin e shumëzimit si kjo: 2 × 2 × 5 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5)
      • Në shprehje 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\herë 7\herë 3\herë 2) të dyja dyshe (2) janë gjithashtu të kryqëzuara. Faktorët 7 dhe 3 nuk janë të kryqëzuar, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit në këtë mënyrë: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3).

   6. Llogaritni shumëfishin më të vogël të përbashkët. Për ta bërë këtë, shumëzoni numrat në operacionin e shkrimit të shumëzimit.

      • Për shembull, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\stil ekrani 2\herë 2\herë 5\herë 7\herë 3=420). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 20 dhe 84 është 420.

   Gjetja e faktorëve të përbashkët

   1. Vizatoni një rrjet si për një lojë tik-tac-toe. Një rrjet i tillë përbëhet nga dy drejtëza paralele që kryqëzohen (në kënd të drejtë) me dy vija të tjera paralele. Kjo do t'ju japë tre rreshta dhe tre kolona (rrjeti duket shumë si ikona #). Shkruani numrin e parë në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë. Shkruani numrin e dytë në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

      • Për shembull, gjeni shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave 18 dhe 30. Shkruani numrin 18 në rreshtin e parë dhe në kolonën e dytë dhe shkruani numrin 30 në rreshtin e parë dhe në kolonën e tretë.

   2. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy numrat. Shkruajeni atë në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë. Është më mirë të kërkosh për faktorët kryesorë, por kjo nuk është një kërkesë.

      • Për shembull, 18 dhe 30 janë numra çift, kështu që faktori i tyre i përbashkët është 2. Pra, shkruani 2 në rreshtin e parë dhe në kolonën e parë.

   3. Pjesëtoni çdo numër me pjesëtuesin e parë. Shkruani çdo herës nën numrin e duhur. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave.

      • Për shembull, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), kështu që shkruani 9 nën 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), kështu që shkruani 15 nën 30.

   4. Gjeni pjesëtuesin e përbashkët për të dy herësit. Nëse nuk ka një pjesëtues të tillë, kaloni dy hapat e ardhshëm. Përndryshe, shkruani pjesëtuesin në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë.

      • Për shembull, 9 dhe 15 pjesëtohen me 3, kështu që shkruani 3 në rreshtin e dytë dhe kolonën e parë.

   5. Pjestoni çdo herës me pjesëtuesin e dytë. Shkruani çdo rezultat të pjesëtimit nën herësin përkatës.

      • Për shembull, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), kështu që shkruani 3 nën 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), kështu që shkruani 5 nën 15.

   6. Nëse është e nevojshme, shtoni qeliza shtesë në rrjet. Përsëritni hapat e përshkruar derisa herësorët të kenë një pjesëtues të përbashkët.

   7. Rrethoni numrat në kolonën e parë dhe në rreshtin e fundit të rrjetit. Më pas shkruajini numrat e zgjedhur si një veprim shumëzimi.

      • Për shembull, numrat 2 dhe 3 janë në kolonën e parë, dhe numrat 3 dhe 5 janë në rreshtin e fundit, kështu që shkruajeni veprimin e shumëzimit si kjo: 2 × 3 × 3 × 5 (\stil ekrani 2\herë 3\herë 3\herë 5).

   8. Gjeni rezultatin e shumëzimit të numrave. Kjo do të llogarisë shumëfishin më të vogël të përbashkët të dy numrave të dhënë.

      • Për shembull, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\shfaqja 2\herë 3\herë 3\herë 5=90). Pra, shumëfishi më i vogël i përbashkët i 18 dhe 30 është 90.

   Algoritmi i Euklidit

   1. Mos harroni terminologjinë e lidhur me operacionin e ndarjes. Dividenti është numri që po ndahet. Pjesëtuesi është numri me të cilin pjesëtohet. Koeficienti është rezultat i pjesëtimit të dy numrave. Një mbetje është numri i mbetur kur ndahen dy numra.

      • Për shembull, në shprehje 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 është dividenti
        6 është një pjesëtues
        2 është herësi
        3 është pjesa e mbetur.

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët dhe shumëfishi më i vogël i përbashkët janë koncepte kyçe aritmetike që e bëjnë punën me thyesa të lehtë. LCM dhe më së shpeshti përdoren për të gjetur emëruesin e përbashkët të disa thyesave.

Konceptet themelore

Pjesëtuesi i një numri të plotë X është një tjetër numër i plotë Y me të cilin X ndahet pa lënë mbetje. Për shembull, pjesëtuesi i 4 është 2, dhe 36 është 4, 6, 9. Një shumëfish i një numri të plotë X është një numër Y që pjesëtohet me X pa mbetje. Për shembull, 3 është shumëfish i 15, dhe 6 është shumëfish i 12.

Për çdo çift numrash mund të gjejmë pjesëtuesit dhe shumëfishat e tyre të përbashkët. Për shembull, për 6 dhe 9, shumëfishi i përbashkët është 18, dhe pjesëtuesi i përbashkët është 3. Natyrisht, çiftet mund të kenë disa pjesëtues dhe shumëfish, kështu që llogaritjet përdorin pjesëtuesin më të madh GCD dhe shumëfishin LCM më të vogël.

Pjesëtuesi më i vogël është i pakuptimtë, pasi për çdo numër është gjithmonë një. Shumëfishi më i madh është gjithashtu i pakuptimtë, pasi sekuenca e shumëfishave shkon në pafundësi.

Gjetja e gcd

Ka shumë metoda për të gjetur pjesëtuesin më të madh të përbashkët, më të famshmet prej të cilave janë:

• kërkimi sekuencial i pjesëtuesve, përzgjedhja e të përbashkëtve për një çift dhe kërkimi për më të madhin prej tyre;
• zbërthimi i numrave në faktorë të pandashëm;
• Algoritmi Euklidian;
• algoritmi binar.

Sot në institucionet arsimore metodat më të njohura janë zbërthimi në faktorët kryesorë dhe algoritmi Euklidian. Kjo e fundit, nga ana tjetër, përdoret gjatë zgjidhjes së ekuacioneve Diophantine: kërkimi për GCD kërkohet për të kontrolluar ekuacionin për mundësinë e zgjidhjes në numra të plotë.

Gjetja e NOC

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përcaktohet gjithashtu nga numërimi sekuencial ose faktorizimi në faktorë të pandashëm. Përveç kësaj, është e lehtë të gjendet LCM nëse pjesëtuesi më i madh është përcaktuar tashmë. Për numrat X dhe Y, LCM dhe GCD lidhen me lidhjen e mëposhtme:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Për shembull, nëse GCM(15,18) = 3, atëherë LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Shembulli më i dukshëm i përdorimit të LCM është gjetja e emëruesit të përbashkët, i cili është shumëfishi më i vogël i përbashkët i thyesat e dhëna.

Numrat e dyfishtë

Nëse një çift numrash nuk ka pjesëtues të përbashkët, atëherë një çift i tillë quhet koprim. Gcd për çifte të tilla është gjithmonë e barabartë me një, dhe bazuar në lidhjen midis pjesëtuesve dhe shumëfishave, gcd për çiftet e përbashkëta është e barabartë me produktin e tyre. Për shembull, numrat 25 dhe 28 janë relativisht të thjeshtë, sepse nuk kanë pjesëtues të përbashkët, dhe LCM(25, 28) = 700, që korrespondon me produktin e tyre. Çdo dy numra të pandashëm do të jenë gjithmonë relativisht të thjeshtë.

Pjesëtues i përbashkët dhe kalkulator i shumëfishtë

Duke përdorur kalkulatorin tonë, ju mund të llogarisni GCD dhe LCM për një numër arbitrar numrash për të zgjedhur. Detyrat për llogaritjen e pjesëtuesve të përbashkët dhe të shumëfishave gjenden në aritmetikën e klasës së 5-të dhe të 6-të, por GCD dhe LCM janë koncepte kyçe në matematikë dhe përdoren në teorinë e numrave, planimetrinë dhe algjebrën komunikuese.

Shembuj të jetës reale

Emëruesi i përbashkët i thyesave

Shumëfishi më i vogël i përbashkët përdoret kur gjendet emëruesi i përbashkët i disa thyesave. Le të themi se në një problem aritmetik ju duhet të mblidhni 5 thyesa:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Për të shtuar thyesa, shprehja duhet të reduktohet në një emërues të përbashkët, i cili reduktohet në problemin e gjetjes së LCM. Për ta bërë këtë, zgjidhni 5 numra në kalkulator dhe vendosni vlerat e emëruesve në qelizat përkatëse. Programi do të llogarisë LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Tani ju duhet të llogaritni faktorë shtesë për çdo fraksion, të cilët përcaktohen si raport i LCM me emëruesin. Pra, shumëzuesit shtesë do të duken si:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Pas kësaj, ne shumëzojmë të gjitha fraksionet me faktorin shtesë përkatës dhe marrim:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Ne mund t'i përmbledhim lehtësisht thyesa të tilla dhe të marrim rezultatin si 159/360. Ne e zvogëlojmë thyesën me 3 dhe shohim përgjigjen përfundimtare - 53/120.

Zgjidhja e ekuacioneve lineare Diofantine

Ekuacionet lineare diofantine janë shprehje të formës ax + nga = d. Nëse raporti d / gcd(a, b) është një numër i plotë, atëherë ekuacioni është i zgjidhshëm në numra të plotë. Le të kontrollojmë disa ekuacione për të parë nëse ato kanë një zgjidhje numër të plotë. Së pari, le të kontrollojmë ekuacionin 150x + 8y = 37. Duke përdorur një kalkulator, gjejmë GCD (150.8) = 2. Ndani 37/2 = 18.5. Numri nuk është numër i plotë, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë të plota.

Le të kontrollojmë ekuacionin 1320x + 1760y = 10120. Përdorni një kalkulator për të gjetur GCD(1320, 1760) = 440. Pjestoni 10120/440 = 23. Si rezultat, marrim një numër të plotë, pra, ekuacioni i koeficientit të diofantinës është joefektiv. .

konkluzioni

GCD dhe LCM luajnë një rol të madh në teorinë e numrave, dhe vetë konceptet përdoren gjerësisht në një gamë të gjerë fushash të matematikës. Përdorni kalkulatorin tonë për të llogaritur pjesëtuesit më të mëdhenj dhe shumëfishat më të vegjël të çdo numri numrash.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve