Gjeni inversin e matricës a. Algoritmi për llogaritjen e matricës së kundërt duke përdorur shtesa algjebrike: metoda e matricës së bashkuar

1. Gjeni përcaktorin e matricës origjinale. Nëse , atëherë matrica është njëjës dhe nuk ka matricë të kundërt. Nëse, atëherë ekziston një matricë jo e degjeneruar dhe e kundërt.

2. Gjeni matricën e transpozuar në.

3. Gjeni plotësimet algjebrike të elementeve dhe përpiloni prej tyre matricën e bashkëngjitur.

4. Kompozojmë matricën e anasjelltë duke përdorur formulën.

5. Kontrollojmë saktësinë e llogaritjes së matricës së kundërt, bazuar në përcaktimin e saj:.

Shembull. Gjeni matricën e kundërt të kësaj: .

Zgjidhje.

1) Përcaktuesi i matricës

2) Gjeni plotësimet algjebrike të elementeve të matricës dhe krijoni matricën e bashkuar prej tyre:

3) Llogaritni matricën e kundërt:

4) Kontrolloni:

№4Rangu i matricës. Pavarësia lineare e rreshtave të matricës

Për zgjidhjen dhe studimin e një numri problemesh matematikore dhe të aplikuara, koncepti i renditjes së matricës është i rëndësishëm.

Në një matricë të madhësisë, duke fshirë çdo rresht dhe kolonë, mund të izoloni nënmatrica katrore të rendit të th, ku. Përcaktuesit e nënmatricave të tilla quhen të miturit e rendit të matricës .

Për shembull, nga matricat mund të merrni nënmatrica të rendit 1, 2 dhe 3.

Përkufizimi. Renditja e një matrice është rendi më i lartë i minoreve jozero të asaj matrice. Emërtimi: ose.

Nga përkufizimi rezulton:

1) Rangu i matricës nuk e kalon më të voglin e dimensioneve të saj, d.m.th.

2) nëse dhe vetëm nëse të gjithë elementët e matricës janë të barabartë me zero, d.m.th.

3) Për një matricë katrore të rendit të n-të nëse dhe vetëm nëse matrica është jo njëjës.

Meqenëse numërimi i drejtpërdrejtë i të gjitha minoreve të mundshme të matricës, duke filluar me madhësinë më të madhe, është i vështirë (kërkon kohë), ata përdorin transformime elementare të matricës që ruajnë rangun e matricës.

Transformimet elementare të matricës:

1) Hedhja e rreshtit (kolonës) zero.

2) Shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) me një numër.

3) Ndryshimi i renditjes së rreshtave (kolonave) të matricës.

4) Shtimi i secilit element të një rreshti (kolone) të elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me çdo numër.

5) Transpozimi i matricës.

Përkufizimi. Një matricë e marrë nga një matricë duke përdorur transformime elementare quhet ekuivalente dhe shënohet A NË.

Teorema. Rangu i matricës nuk ndryshon gjatë transformimeve elementare të matricës.

Duke përdorur transformimet elementare, mund ta zvogëloni matricën në të ashtuquajturën formë hapi, kur llogaritja e gradës së saj nuk është e vështirë.

Një matricë quhet echelon nëse ka formën:

Natyrisht, grada e një matrice hapi është e barabartë me numrin e rreshtave jo zero, pasi ekziston një renditje e vogël që nuk është e barabartë me zero:

Shembull. Përcaktoni gradën e një matrice duke përdorur transformimet elementare.

Rangu i matricës është i barabartë me numrin e rreshtave jo zero, d.m.th. .

№5Pavarësia lineare e rreshtave të matricës

Jepet një matricë madhësie

Le t'i shënojmë rreshtat e matricës si më poshtë:

Të dy rreshtat quhen të barabartë , nëse elementet përkatëse të tyre janë të barabarta. .

Le të prezantojmë operacionet e shumëzimit të një vargu me një numër dhe shtimit të vargjeve si operacione të kryera element pas elementi:

Përkufizimi. Një rresht quhet një kombinim linear i rreshtave të një matrice nëse është i barabartë me shumën e produkteve të këtyre rreshtave me numra realë arbitrarë (çdo numër):

Përkufizimi. Rreshtat e matricës quhen varur në mënyrë lineare , nëse ka numra që nuk janë njëkohësisht të barabartë me zero, të tillë që një kombinim linear i rreshtave të matricës është i barabartë me rreshtin zero:

Ku . (1.1)

Varësia lineare e rreshtave të matricës do të thotë që të paktën 1 rresht i matricës është një kombinim linear i pjesës tjetër.

Përkufizimi. Nëse një kombinim linear i rreshtave (1.1) është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të gjithë koeficientët janë , atëherë rreshtat quhen i pavarur në mënyrë lineare .

Teorema e rangut të matricës . Renditja e një matrice është e barabartë me numrin maksimal të rreshtave ose kolonave të saj linearisht të pavarura përmes të cilave të gjitha rreshtat (kolonat) e tjera shprehen në mënyrë lineare.

Teorema luan një rol themelor në analizën e matricës, veçanërisht në studimin e sistemeve të ekuacioneve lineare.

№6Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh lineare me të panjohura

Sistemet e ekuacioneve lineare përdoren gjerësisht në ekonomi.

Sistemi i ekuacioneve lineare me ndryshore ka formën:

ku () quhen numra arbitrarë koeficientët për variablat Dhe termat e lirë të ekuacioneve , respektivisht.

Hyrja e shkurtër: ().

Përkufizimi. Zgjidhja e sistemit është një grup i tillë vlerash, me zëvendësimin e të cilave çdo ekuacion i sistemit kthehet në një barazi të vërtetë.

1) Sistemi i ekuacioneve quhet të përbashkët , nëse ka të paktën një zgjidhje, dhe jo të përbashkët, nëse nuk ka zgjidhje.

2) Sistemi i njëkohshëm i ekuacioneve quhet të caktuara , nëse ka një zgjidhje unike, dhe i pasigurt , nëse ka më shumë se një zgjidhje.

3) Quhen dy sisteme ekuacionesh ekuivalente (ekuivalente ) , nëse kanë të njëjtin grup zgjidhjesh (për shembull, një zgjidhje).

Le të jetë një matricë katrore e rendit të n-të

Matrica A -1 quhet matricë e anasjelltë në lidhje me matricën A, nëse A*A -1 = E, ku E është matrica e identitetit të rendit të n-të.

Matrica e identitetit- një matricë e tillë katrore në të cilën të gjithë elementët përgjatë diagonales kryesore, duke kaluar nga këndi i sipërm i majtë në këndin e poshtëm të djathtë, janë njësh, dhe pjesa tjetër janë zero, për shembull:

matricë e anasjelltë mund të ekzistojë vetëm për matricat katrore ato. për ato matrica në të cilat numri i rreshtave dhe kolonave përputhet.

Teorema për kushtin e ekzistencës së një matrice të anasjelltë

Në mënyrë që një matricë të ketë një matricë të anasjelltë, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë jo njëjës.

Matrica A = (A1, A2,...A n) quhet jo i degjeneruar, nëse vektorët e kolonës janë linearisht të pavarur. Numri i vektorëve të kolonës linearisht të pavarur të një matrice quhet rangu i matricës. Prandaj, mund të themi se për të ekzistuar një matricë e kundërt, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës të jetë i barabartë me dimensionin e saj, d.m.th. r = n.

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt

Shkruani matricën A në tabelën për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve duke përdorur metodën Gaussian dhe caktojeni matricën E në të djathtë (në vend të anëve të djathta të ekuacioneve).
Duke përdorur transformimet Jordan, reduktoni matricën A në një matricë të përbërë nga kolona njësi; në këtë rast, është e nevojshme të transformohet njëkohësisht matrica E.
Nëse është e nevojshme, riorganizoni rreshtat (ekuacionet) e tabelës së fundit në mënyrë që nën matricën A të tabelës origjinale të merrni matricën e identitetit E.
Shkruani matricën e kundërt A -1, e cila ndodhet në tabelën e fundit nën matricën E të tabelës origjinale.

Shembulli 1

Për matricën A, gjeni matricën e anasjelltë A -1

Zgjidhje: Ne shkruajmë matricën A dhe caktojmë matricën e identitetit E në të djathtë Duke përdorur transformimet e Jordanit, ne reduktojmë matricën A në matricën e identitetit E. Llogaritjet janë dhënë në tabelën 31.1.

Le të kontrollojmë korrektësinë e llogaritjeve duke shumëzuar matricën origjinale A dhe matricën e kundërt A -1.

Si rezultat i shumëzimit të matricës, u mor matrica e identitetit. Prandaj, llogaritjet janë bërë në mënyrë korrekte.

Përgjigje:

Zgjidhja e ekuacioneve të matricës

Ekuacionet e matricës mund të duken si:

AX = B, HA = B, AXB = C,

ku A, B, C janë matricat e specifikuara, X është matrica e dëshiruar.

Ekuacionet e matricës zgjidhen duke shumëzuar ekuacionin me matricat e anasjellta.

Për shembull, për të gjetur matricën nga ekuacioni, duhet ta shumëzoni këtë ekuacion me në të majtë.

Prandaj, për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin, duhet të gjeni matricën e kundërt dhe ta shumëzoni atë me matricën në anën e djathtë të ekuacionit.

Ekuacionet e tjera zgjidhen në mënyrë të ngjashme.

Shembulli 2

Zgjidheni ekuacionin AX = B nëse

Zgjidhje: Meqenëse matrica e kundërt është e barabartë me (shih shembullin 1)

Metoda e matricës në analizën ekonomike

Së bashku me të tjerat, ato përdoren edhe metodat e matricës. Këto metoda bazohen në algjebër lineare dhe me matricë vektoriale. Metoda të tilla përdoren për qëllime të analizimit të dukurive ekonomike komplekse dhe shumëdimensionale. Më shpesh, këto metoda përdoren kur është e nevojshme të bëhet një vlerësim krahasues i funksionimit të organizatave dhe ndarjeve strukturore të tyre.

Në procesin e aplikimit të metodave të analizës së matricës, mund të dallohen disa faza.

Në fazën e parëështë duke u formuar një sistem treguesish ekonomikë dhe mbi bazën e tij përpilohet një matricë e të dhënave fillestare, e cila është një tabelë në të cilën numrat e sistemit tregohen në rreshtat e tij individualë. (i = 1,2,....,n), dhe në kolonat vertikale - numrat e treguesve (j = 1,2,....,m).

Në fazën e dytë Për secilën kolonë vertikale, identifikohet vlera më e madhe e treguesit në dispozicion, e cila merret si një.

Pas kësaj, të gjitha shumat e pasqyruara në këtë kolonë ndahen me vlerën më të madhe dhe formohet një matricë e koeficientëve të standardizuar.

Në fazën e tretë të gjithë komponentët e matricës janë në katror. Nëse ato kanë rëndësi të ndryshme, atëherë çdo treguesi të matricës i caktohet një koeficient i caktuar peshe k. Vlera e kësaj të fundit përcaktohet nga ekspertiza.

Në të fundit, faza e katërt gjetur vlerat e vlerësimit Rj grupohen sipas rritjes ose uljes së tyre.

Metodat e matricës të përshkruara duhet të përdoren, për shembull, në një analizë krahasuese të projekteve të ndryshme investuese, si dhe në vlerësimin e treguesve të tjerë ekonomikë të aktiviteteve të organizatave.

matricë e anasjelltëështë një matricë A−1, kur shumëzohet me të cilën matrica fillestare e dhënë A përfundimisht jep matricën e identitetit E:

AA −1 = A −1 A =E.

Metoda e matricës së kundërt.

Metoda e matricës së kundërt- kjo është një nga metodat më të zakonshme për zgjidhjen e matricave dhe përdoret për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare (SLAE) në rastet kur numri i të panjohurave korrespondon me numrin e ekuacioneve.

Le të ketë një sistem n ekuacionet lineare me n i panjohur:

Një sistem i tillë mund të shkruhet si një ekuacion matricë A*X = B,

Ku
- matrica e sistemit,

- kolona e të panjohurave,

- kolona e kuotave të lira.

Nga ekuacioni i nxjerrë nga matrica, ne shprehim X duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit të matricës në të majtë me A-1, duke rezultuar në:

A -1 * A * X = A -1 * B

Duke e ditur atë A -1 * A = E, Pastaj E * X = A -1 * B ose X = A -1 * B.

Hapi tjetër është përcaktimi i matricës së kundërt A-1 dhe shumëzuar me kolonën e termave të lirë B.

Matricë e anasjelltë në matricë A ekziston vetëm kur det A≠ 0 . Në funksion të kësaj, kur zgjidhen SLAE duke përdorur metodën e matricës së kundërt, hapi i parë është të gjesh det A. Nëse det A≠ 0 , atëherë sistemi ka vetëm një zgjidhje, e cila mund të merret duke përdorur metodën e matricës së kundërt, por nëse det A = 0, atëherë një sistem i tillë metoda e matricës së kundërt nuk mund të zgjidhet.

Zgjidhja e matricës së anasjelltë.

Sekuenca e veprimeve për zgjidhjet e matricës së anasjelltë:

Marrim përcaktorin e matricës A. Nëse përcaktorja është më e madhe se zero, ne zgjidhim më tej inversin e matricës nëse është e barabartë me zero, atëherë nuk mund ta gjejmë matricën e kundërt.
Gjetja e matricës së transpozuar AT.
Ne kërkojmë plotësime algjebrike, pas së cilës i zëvendësojmë të gjithë elementët e matricës me plotësimet e tyre algjebrike.
Ne mbledhim matricën e kundërt nga shtesat algjebrike: ne ndajmë të gjithë elementët e matricës që rezulton me përcaktuesin e matricës së dhënë fillimisht. Matrica përfundimtare do të jetë matrica e kërkuar e kundërt në raport me atë origjinale.

Algoritmi më poshtë zgjidhjet e matricës së anasjelltë në thelb i njëjtë me atë të mësipërm, ndryshimi është vetëm në disa hapa: para së gjithash përcaktojmë plotësimet algjebrike dhe më pas llogarisim matricën aleate C.

Përcaktoni nëse një matricë e dhënë është katror. Nëse përgjigja është negative, bëhet e qartë se nuk mund të ketë një matricë të kundërt për të.
Përcaktoni nëse një matricë e dhënë është katror. Nëse përgjigja është negative, bëhet e qartë se nuk mund të ketë një matricë të kundërt për të.
Llogaritim plotësimet algjebrike.
Ne krijojmë një matricë bashkimi (të ndërsjellë, të bashkuar). C.
Ne përpilojmë matricën e anasjelltë nga shtesat algjebrike: të gjithë elementët e matricës së bashkuar C pjesëtojeni me përcaktorin e matricës fillestare. Matrica përfundimtare do të jetë matrica e kërkuar e kundërt në raport me atë të dhënë.
Ne kontrollojmë punën e bërë: shumëzojmë matricat fillestare dhe rezultuese, rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Kjo bëhet më së miri duke përdorur një matricë të bashkangjitur.

Teorema: Nëse i caktojmë një matricë identiteti të rendit të njëjtë në një matricë katrore në anën e djathtë dhe, duke përdorur transformimet elementare mbi rreshtat, e transformojmë matricën fillestare në të majtë në matricën e identitetit, atëherë ajo e fituar në anën e djathtë do të të jetë e anasjelltë me atë fillestare.

Një shembull i gjetjes së një matrice të anasjelltë.

Ushtrimi. Për matricën gjeni inversin duke përdorur metodën e matricës adjoint.

Zgjidhje. Shtoni në matricën e dhënë A në të djathtë është një matricë identiteti e rendit të dytë:

Nga rreshti i parë zbresim të dytin:

Nga rreshti i dytë zbresim 2 të parët:

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur këtë shërbim në internet mund të gjeni plotësues algjebrikë, matricën e transpozuar AT, matricën aleate dhe matricën e kundërt.

Llogaritësi online. Inversi i një matrice.

Vendimi kryhet drejtpërdrejt në faqen e internetit (online) dhe është falas. Rezultatet e llogaritjes paraqiten në një raport në format Word dhe Excel (d.m.th., është e mundur të kontrollohet zgjidhja). shikoni shembullin e dizajnit.

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Shtesat algjebrike.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pastaj matricë e anasjelltë mund të shkruhet si:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Gjetja e matricës së kundërt

Matrica A-1 quhet matricë e anasjelltë në lidhje me matricën nëse A*A-1 = , ku është matrica e identitetit të rendit të th. Një matricë e kundërt mund të ekzistojë vetëm për matricat katrore.

shih gjithashtu matricën e anasjelltë duke përdorur metodën Jordano-Gauss

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Gjetja e matricës së transpozuar AT.
Përkufizimi i plotësimeve algjebrike. Zëvendësoni çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik.
Përpilimi i një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës që rezulton ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Algoritmi i mëposhtëm për gjetjen e matricës së kundërt është i ngjashëm me atë të mëparshëm, me përjashtim të disa hapave: së pari llogariten plotësimet algjebrike dhe më pas përcaktohet matrica aleate.

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Përkufizimi i plotësimeve algjebrike.
Plotësimi i matricës së bashkimit (të ndërsjellë, të bashkuar).
Përpilimi i një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës së bashkuar ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Shembulli nr. 1. Le ta shkruajmë matricën në formën:

Një matricë e kundërt ekziston nëse përcaktori i matricës është jozero. Le të gjejmë përcaktuesin e matricës:
= -1 (-1 4-(-2 5))-2 (2 4-(-2 (-2)))+3 (2 5-(-1 (-2))) = 10. Përcaktori është 10 dhe nuk është e barabartë me zero. Le të vazhdojmë me zgjidhjen.
Le të gjejmë matricën e transpozuar:
Shtesat algjebrike.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pastaj matricë e anasjelltë mund të shkruhet si:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Një tjetër algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt

Le të paraqesim një skemë tjetër për gjetjen e matricës së kundërt.

Gjeni përcaktorin e kësaj matrice katrore.
Ne gjejmë plotësues algjebrikë për të gjithë elementët e matricës.
Ne shkruajmë shtesa algjebrike të elementeve të rreshtit në kolona (transpozim).
Ne e ndajmë çdo element të matricës që rezulton me përcaktuesin e matricës.

Siç e shohim, operacioni i transpozimit mund të zbatohet si në fillim, në matricën origjinale, ashtu edhe në fund, në shtesat algjebrike që rezultojnë.

Rast i veçantë: Anasjellta e matricës së identitetit është matrica e identitetit.

Shembulli nr. 2. Gjeni matricën e kundërt të një matrice .
Zgjidhje.
1. Le të gjejmë
.
2. Ne kërkojmë plotësimet algjebrike të secilit element të matricës A:
; ; .
Ne morëm plotësime algjebrike të elementeve të rreshtit të parë.

Gjeni matricën e anasjelltë në internet

Në mënyrë të ngjashme, për elementët e rreshtit të dytë dhe të tretë marrim:
; ; .
; ; .
Duke kombinuar pikat 3 dhe 4, marrim matricën e kundërt

.
Për të kontrolluar, sigurohuni që A-1A = E.

Udhëzimet. Për të marrë një zgjidhje, është e nevojshme të specifikoni dimensionin e matricës. Më pas, plotësoni matricën në kutinë e re të dialogut.

Gjetja e matricës së kundërt

Qëllimi i shërbimit. Duke përdorur këtë shërbim në internet mund të gjeni komplemente algjebrike, matricë të transpozuar AT, matricë aleate dhe matricë inverse. Vendimi kryhet drejtpërdrejt në faqen e internetit (online) dhe është falas. Rezultatet e llogaritjes paraqiten në një raport në format Word dhe Excel (d.m.th., është e mundur të kontrollohet zgjidhja). shikoni shembullin e dizajnit.

Gjetja e matricës së kundërt në internet

shih gjithashtu matricën e anasjelltë duke përdorur metodën Jordano-Gauss

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Gjetja e matricës së transpozuar AT.
Përkufizimi i plotësimeve algjebrike. Zëvendësoni çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik.
Përpilimi i një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës që rezulton ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Përkufizimi i plotësimeve algjebrike.
Plotësimi i matricës së bashkimit (të ndërsjellë, të bashkuar).
Përpilimi i një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës së bashkuar ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Shembulli nr. 1. Le ta shkruajmë matricën në formën:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pastaj matricë e anasjelltë mund të shkruhet si:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Një tjetër algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt

Le të paraqesim një skemë tjetër për gjetjen e matricës së kundërt.

Gjeni përcaktorin e kësaj matrice katrore.
Ne gjejmë plotësues algjebrikë për të gjithë elementët e matricës.
Ne shkruajmë shtesa algjebrike të elementeve të rreshtit në kolona (transpozim).
Ne e ndajmë çdo element të matricës që rezulton me përcaktuesin e matricës.

Siç e shohim, operacioni i transpozimit mund të zbatohet si në fillim, në matricën origjinale, ashtu edhe në fund, në shtesat algjebrike që rezultojnë.

Për të kontrolluar, sigurohuni që A-1A = E.

Udhëzimet. Për të marrë një zgjidhje, është e nevojshme të specifikoni dimensionin e matricës. Më pas, plotësoni matricën në kutinë e re të dialogut.

Gjetja e inversit të një matrice është një komponent i rëndësishëm në seksionin linear të algjebrës. Duke përdorur matrica të tilla, nëse ato ekzistojnë, mund të gjeni shpejt një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare.

Një matricë quhet e anasjellta e një matrice nëse mbahen barazitë e mëposhtme.

Nëse përcaktori i një matrice është jo zero, atëherë matrica quhet jo e veçantë ose jo njëjës.

Në mënyrë që një matricë të ketë një invers, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ajo të jetë jo njëjës

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt

Le të kemi një matricë katrore

dhe ju duhet të gjeni të kundërtën e saj. Për ta bërë këtë ju duhet të bëni sa më poshtë:

1. Gjeni përcaktorin e matricës. Nëse nuk është zero, atëherë kryeni veprimet e mëposhtme. Përndryshe, kjo matricë është njëjës dhe nuk ka të kundërt për të

2. Gjeni plotësimet algjebrike të elementeve të matricës. Ato janë të barabarta me minoret shumëzuar me fuqinë e shumës së rreshtit dhe kolonës për të cilën kërkojmë.

3. Hartoni një matricë nga plotësimet algjebrike të elementeve të matricës dhe transpozoni atë. Kjo matricë quhet e bashkuar ose aleate dhe shënohet me .

4. Ndani matricën e bashkuar me përcaktorin e saj. Matrica që rezulton do të jetë e kundërt dhe do të ketë vetitë që janë përshkruar në fillim të artikullit.

Gjeni matricën e kundërt me matricën (Dubovik V.P., Yurik I.I.

Gjetja e matricës së kundërt

"Matematika e lartë. Përmbledhje problemash")

1) Gjeni përcaktorin e matricës

Meqenëse përcaktori nuk është i barabartë me zero (), atëherë ekziston matrica e kundërt. Gjejmë një matricë të përbërë nga shtesa algjebrike

Matrica e plotësimit do të marrë formën

Ne e transpozojmë atë dhe marrim adjoint

Ndani atë me përcaktorin dhe merrni të anasjellën

Shohim se në rastin kur përcaktorja është e barabartë me një, shtohen matricat dhe anasjelltaja është e njëjtë.

2) Llogaritni përcaktorin e matricës

Gjetja e matricës së mbledhjeve algjebrike

Pamja përfundimtare e matricës së komplementit

Ne e transpozojmë atë dhe gjejmë matricën e bashkimit

Gjetja e matricës së kundërt

3) Le të llogarisim përcaktorin e matricës. Për ta bërë këtë, le ta zgjerojmë atë në rreshtin e parë. Si rezultat, marrim dy terma jo zero

Gjejmë matricën e shtesave algjebrike. Ne planifikojmë përcaktorin përgjatë rreshtave dhe kolonave që kanë më shumë elementë zero (të shënuar me të zezë).

Forma përfundimtare e matricës së plotësimit është si më poshtë

Ne e transpozojmë atë dhe gjejmë matricën e bashkuar

Meqenëse përcaktori i matricës është i barabartë me një, matrica e kundërt përkon me matricën e bashkuar. Ky shembull është mbrapsht.

Gjatë llogaritjes së matricës së kundërt, gabimet tipike shoqërohen me shenja të pasakta gjatë llogaritjes së matricës përcaktuese dhe plotësuese.

Matematika e lartë » Matricat dhe përcaktorët » Matrica e anasjelltë » Llogaritja e matricës së kundërt duke përdorur shtesat algjebrike.

Algoritmi për llogaritjen e matricës së anasjelltë duke përdorur shtesat algjebrike: metoda e matricës adjoint.

Matrica $A^(-1)$ quhet e anasjelltë e matricës katrore $A$ nëse kushti $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ plotësohet, ku $E $ është matrica e identitetit, rendi i së cilës është i barabartë me rendin e matricës $A$.

Një matricë jo njëjës është një matricë përcaktorja e së cilës nuk është e barabartë me zero. Prandaj, një matricë njëjës është ajo përcaktori i së cilës është i barabartë me zero.

Matrica e anasjelltë $A^(-1)$ ekziston nëse dhe vetëm nëse matrica $A$ është jo njëjës. Nëse matrica e anasjelltë $A^(-1)$ ekziston, atëherë ajo është unike.

Ka disa mënyra për të gjetur inversin e një matrice, dhe ne do të shohim dy prej tyre. Kjo faqe do të diskutojë metodën e matricës së bashkuar, e cila konsiderohet standarde në shumicën e lëndëve të larta të matematikës. Metoda e dytë e gjetjes së matricës së kundërt (metoda e transformimeve elementare), e cila përfshin përdorimin e metodës Gauss ose metodës Gauss-Jordan, diskutohet në pjesën e dytë.

Metoda e matricës së bashkuar

Le të jepet matrica $A_(n\herë n)$. Për të gjetur matricën e kundërt $A^(-1)$, nevojiten tre hapa:

Gjeni përcaktorin e matricës $A$ dhe sigurohuni që $\Delta A\neq 0$, d.m.th. se matrica A është jo njëjës.
Hartoni plotësimet algjebrike $A_(ij)$ të secilit element të matricës $A$ dhe shkruani matricën $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \djathtas)$ nga algjebrika e gjetur plotëson.
Shkruani matricën e anasjelltë duke marrë parasysh formulën $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ shpesh quhet e bashkuar (reciproke, aleate) me matricën $A$.

Nëse zgjidhja bëhet me dorë, atëherë metoda e parë është e mirë vetëm për matricat me rende relativisht të vogla: e dyta (shembulli nr. 2), e treta (shembulli nr. 3), e katërta (shembulli nr. 4). Për të gjetur inversin e një matrice të rendit më të lartë, përdoren metoda të tjera. Për shembull, metoda Gaussian, e cila diskutohet në pjesën e dytë.

Shembulli nr. 1

Gjeni inversin e matricës $A=\left(\fille(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \djathtas)$.

matricë e anasjelltë

Meqenëse të gjithë elementët e kolonës së katërt janë të barabartë me zero, atëherë $\Delta A=0$ (d.m.th. matrica $A$ është njëjës). Meqenëse $\Delta A=0$, nuk ka matricë inverse për matricën $A$.

Shembulli nr. 2

Gjeni inversin e matricës $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Ne përdorim metodën e matricës adjoint. Së pari, le të gjejmë përcaktuesin e matricës së dhënë $A$:

$$ \Delta A=\majtas| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Meqenëse $\Delta A \neq 0$, atëherë ekziston matrica e kundërt, prandaj do të vazhdojmë zgjidhjen. Ne gjejmë plotësimet algjebrike të secilit element të një matrice të caktuar:

\fillimi(lidhur) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \fund (lidhur)

Ne hartojmë një matricë të shtesave algjebrike: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Ne transpozojmë matricën që rezulton: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the matrica që rezulton shpesh quhet matrica e bashkuar ose aleate me matricën $A$). Duke përdorur formulën $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kemi:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\fillimi(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\djathtas) =\majtas(\fillimi(grupi) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\djathtas) $$

Pra, gjendet matrica e anasjelltë: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\djathtas) $. Për të kontrolluar vërtetësinë e rezultatit, mjafton të kontrolloni vërtetësinë e njërit prej barazive: $A^(-1)\cdot A=E$ ose $A\cdot A^(-1)=E$. Le të kontrollojmë barazinë $A^(-1)\cdot A=E$. Për të punuar më pak me thyesat, ne do të zëvendësojmë matricën $A^(-1)$ jo në formën $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$, dhe në formën $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\djathtas)$:

Përgjigje: $A^(-1)=\majtas(\fillimi(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\djathtas)$.

Shembulli nr. 3

Gjeni matricën e kundërt për matricën $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \djathtas)$ .

Le të fillojmë duke llogaritur përcaktorin e matricës $A$. Pra, përcaktori i matricës $A$ është:

$$ \Delta A=\majtas| \fillimi(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\fund (array) \djathtas| = 18-36+56-12=26. $$

Meqenëse $\Delta A\neq 0$, atëherë ekziston matrica e kundërt, prandaj do të vazhdojmë zgjidhjen. Ne gjejmë plotësimet algjebrike të secilit element të një matrice të caktuar:

Ne hartojmë një matricë të shtesave algjebrike dhe e transpozojmë atë:

$$ A^*=\left(\fillimi(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \djathtas); \; (A^*)^T=\majtas(\fillimi(grupi) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\fund (vargu) \djathtas) $$

Duke përdorur formulën $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, marrim:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\fille(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \djathtas)= \majtas(\fillim(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \djathtas) $$

Pra, $A^(-1)=\left(\fille(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end (array) \djathtas)$. Për të kontrolluar vërtetësinë e rezultatit, mjafton të kontrolloni vërtetësinë e njërit prej barazive: $A^(-1)\cdot A=E$ ose $A\cdot A^(-1)=E$. Le të kontrollojmë barazinë $A\cdot A^(-1)=E$. Për të punuar më pak me thyesat, ne do të zëvendësojmë matricën $A^(-1)$ jo në formën $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \djathtas)$, dhe në formën $\frac(1)(26 )\cdot \left( \fillimi(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \djathtas)$:

Kontrolli ishte i suksesshëm, matrica e anasjelltë $A^(-1)$ u gjet saktë.

Përgjigje: $A^(-1)=\majtas(\fillimi(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \djathtas)$.

Shembulli nr. 4

Gjeni matricën e kundërt të matricës $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \djathtas)$.

Për një matricë të rendit të katërt, gjetja e matricës së kundërt duke përdorur shtesa algjebrike është disi e vështirë. Sidoqoftë, shembuj të tillë ndodhin në letrat e testimit.

Për të gjetur inversin e një matrice, së pari duhet të llogaritni përcaktuesin e matricës $A$. Mënyra më e mirë për ta bërë këtë në këtë situatë është zgjerimi i përcaktorit përgjatë një rreshti (kolone). Ne zgjedhim çdo rresht ose kolonë dhe gjejmë plotësimet algjebrike të secilit element të rreshtit ose kolonës së zgjedhur.

Për shembull, për rreshtin e parë marrim:

Përcaktori i matricës $A$ llogaritet duke përdorur formulën e mëposhtme:

$$ \Delta A=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14)= 6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$

Matrica e komplementeve algjebrike: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\fund(array)\djathtas)$.

Matrica e bashkuar: $(A^*)^T=\left(\fille(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96\end(array)\djathtas)$

Matrica e anasjelltë:

$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\fille(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463\\ -112 & 4 & 36 & -96 \end(array) \djathtas)= \left(\fillim(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \end (arrit) \djathtas) $$

Ekzaminimi:

Prandaj, matrica e kundërt u gjet saktë.

Përgjigje: $A^(-1)=\majtas(\fillimi(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \fund (arrit) \djathtas ) $.

Në pjesën e dytë, ne do të shqyrtojmë një mënyrë tjetër për të gjetur matricën e kundërt, e cila përfshin përdorimin e transformimeve të metodës Gaussian ose metodës Gauss-Jordan.

Kurse online në matematikë të lartë

Gjetja e matricës së kundërt

shih gjithashtu matricën e anasjelltë duke përdorur metodën Jordano-Gauss

Algoritmi për gjetjen e matricës së kundërt

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Gjetja e matricës së transpozuar AT.
Përkufizimi i plotësimeve algjebrike. Zëvendësoni çdo element të matricës me plotësuesin e tij algjebrik.
Përpilimi i një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës që rezulton ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Përcaktoni nëse matrica është katrore. Nëse jo, atëherë nuk ka matricë të kundërt për të.
Llogaritja e përcaktorit të një matrice. Nëse nuk është e barabartë me zero, vazhdojmë zgjidhjen, përndryshe matrica e kundërt nuk ekziston.
Përkufizimi i plotësimeve algjebrike.
Plotësimi i matricës së bashkimit (të ndërsjellë, të bashkuar).
Përpilimi i një matrice të anasjelltë nga shtesat algjebrike: çdo element i matricës së bashkuar ndahet me përcaktuesin e matricës origjinale. Matrica që rezulton është e kundërta e matricës origjinale.
Ata bëjnë një kontroll: ata shumëzojnë matricat origjinale dhe ato që rezultojnë. Rezultati duhet të jetë një matricë identiteti.

Shembulli nr. 1. Le ta shkruajmë matricën në formën:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Pastaj matricë e anasjelltë mund të shkruhet si:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Një tjetër algoritëm për gjetjen e matricës së kundërt

Le të paraqesim një skemë tjetër për gjetjen e matricës së kundërt.

Gjeni përcaktorin e kësaj matrice katrore.
Ne gjejmë plotësues algjebrikë për të gjithë elementët e matricës.
Ne shkruajmë shtesa algjebrike të elementeve të rreshtit në kolona (transpozim).
Ne e ndajmë çdo element të matricës që rezulton me përcaktuesin e matricës.

Siç e shohim, operacioni i transpozimit mund të zbatohet si në fillim, në matricën origjinale, ashtu edhe në fund, në shtesat algjebrike që rezultojnë.

Për të kontrolluar, sigurohuni që A-1A = E.

Udhëzimet. Për të marrë një zgjidhje, është e nevojshme të specifikoni dimensionin e matricës. Më pas, plotësoni matricën në kutinë e re të dialogut.

Për të gjetur matricën e kundërt në internet, do t'ju duhet të tregoni madhësinë e vetë matricës. Për ta bërë këtë, klikoni në ikonat "+" ose "-" derisa të jeni të kënaqur me numrin e kolonave dhe rreshtave. Më pas, futni elementët e kërkuar në fusha. Më poshtë është butoni "Llogarit" - duke klikuar mbi të, do të merrni një përgjigje në ekran me një zgjidhje të detajuar.

Në algjebrën lineare, mjaft shpesh duhet të merret me procesin e llogaritjes së matricës së kundërt. Ekziston vetëm për matricat e pashprehura dhe për matricat katrore me kusht që përcaktori të jetë jozero. Në parim, llogaritja e tij nuk është veçanërisht e vështirë, veçanërisht nëse keni të bëni me një matricë të vogël. Por nëse keni nevojë për llogaritje më komplekse ose një kontroll të plotë të dyfishtë të vendimit tuaj, është më mirë të përdorni këtë kalkulator në internet. Me ndihmën e tij, ju mund të zgjidhni shpejt dhe me saktësi një matricë të kundërt.

Duke përdorur këtë kalkulator në internet, ju mund t'i bëni llogaritjet tuaja shumë më të lehta. Përveç kësaj, ndihmon në konsolidimin e materialit të marrë në teori - është një lloj imituesi për trurin. Nuk duhet të konsiderohet si një zëvendësim për llogaritjet manuale, ai mund t'ju japë shumë më tepër, duke e bërë më të lehtë të kuptoni vetë algoritmin; Përveç kësaj, nuk është kurrë e dëmshme të kontrollosh veten.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve