Gjeni koordinatat gjysmë-boshtore të vatrave dhe të ekscentricitetit të elipsës. Linjat e rendit të dytë

majtas">

Institucion arsimor privat joshtetëror

më të larta Arsimi profesional

"Instituti Social dhe Humanitar i Moskës"

SHËNIME TË LEKTORËS MBI DISIPLINËN

"MATEMATIKE MET ODET NË PSIKOLOGJI"

PJESA 1

Leksioni nr 1

HYRJE NË LËNDËN “METODA MATEMATIKE NË PSIKOLOGJI”

Pyetje:

1.Matematika dhe psikologjia

2. Çështjet metodologjike në zbatimin e matematikës në psikologji

3.Psikologjia matematike

3.1.Hyrje

3.2 Historia e zhvillimit

3.3.Matje psikologjike

3.4.Metodat jotradicionale të modelimit

1822. Ishte atëherë në Mbretërinë Gjermane shoqëria shkencore Kam lexuar raportin "Për mundësinë dhe domosdoshmërinë e përdorimit të matematikës në psikologji". Ideja kryesore e raportit zbriste në mendimin e lartpërmendur: nëse psikologjia dëshiron të jetë një shkencë, si fizika, matematika duhet dhe mund të përdoret në të.

Dy vjet pas këtij raporti programatik, ai botoi librin "Psikologjia si shkencë, e rithemeluar në përvojën, metafizikën dhe matematikën". Ky libër është i jashtëzakonshëm në shumë mënyra. Ajo, për mendimin tim (shih G. V. Sukhodolsky,), ishte përpjekja e parë për të krijuar një teori psikologjike të bazuar në gamën e fenomeneve që janë drejtpërdrejt të arritshme për çdo subjekt, domethënë rrjedhën e ideve që zëvendësojnë njëra-tjetrën në vetëdije. Asnjë të dhënë empirike për karakteristikat e kësaj rryme, të marra eksperimentalisht, si fizika, nuk ekzistonte atëherë. Prandaj, Herbart, në mungesë të këtyre të dhënave, siç shkruante ai vetë, duhej të dilte me modele hipotetike të luftës midis ideve që dalin dhe zhduken në mendje. Duke i vendosur këto modele në formë analitike, për shembull φ =α(l-exp[-βt]), ku t është koha, φ është shkalla e ndryshimit të paraqitjeve, α dhe β janë konstante në varësi të përvojës, Herbart, duke manipuluar me numrat vlerat e parametrave të provuara përshkruajnë karakteristikat e mundshme të një ndryshimi në ide.

Me sa duket, i pari ka idenë se vetitë e rrymës së vetëdijes janë sasi dhe, për rrjedhojë, ato janë zhvillimin e mëtejshëm psikologjia shkencore janë subjekt i matjes. Ai gjithashtu doli me idenë e "pragut të vetëdijes" dhe ishte i pari që përdori shprehjen "psikologji matematikore".

U brenda Leipzig Universiteti gjeti një student dhe ndjekës, i cili më vonë u bë profesor i filozofisë dhe matematikës, Moritz-Wilhelm Drobisch. Ai pranoi, zhvilloi dhe zbatoi idenë e programit të mësuesit në mënyrën e tij. Fjalori Brockhaus dhe Efron thotë për Drobish se në vitet '30 të shekullit të 19-të ai ishte i angazhuar në kërkime në matematikë dhe psikologji dhe botoi në latinisht. Por në 1842. Bish botuar në Leipzig më gjermanisht monografi me titullin e qartë: “Psikologjia empirike sipas metodës natyrore shkencore”.

Sipas mendimit tim, ky libër i M.-V. Drobisha jep shembull i mrekullueshëm formalizimi parësor i njohurive në fushën e psikologjisë së ndërgjegjes. Nuk ka matematikë në kuptimin e formulave, simboleve dhe llogaritjeve, por ekziston një sistem i qartë konceptesh për karakteristikat e rrjedhës së ideve në vetëdije si sasi të ndërlidhura. Tashmë në parathënie M.-V. Drobish shkroi se ky libër i paraprin një tjetër, tashmë të përfunduar, që do të thotë një libër mbi psikologjinë matematikore. Por që nga ajo kolegët psikologë i përgatitur në mënyrë të pamjaftueshme në matematikë, ai e konsideroi të nevojshme demonstrimin e psikologjisë empirike, së pari pa asnjë matematikë, por vetëm mbi baza të forta shkencore natyrore.

Nuk e di nëse ky libër pati një ndikim te filozofët dhe teologët i cili ka studiuar psikologji. Me shumë mundësi jo. Por padyshim që pati një efekt, si puna, te shkencëtarët e Lajpcigut me një edukim të shkencave natyrore.

Vetëm tetë vjet më vonë, në 1850 g. në Lajpcig u botua libri i dytë themelor i M.-V. Drobish - "Bazat e psikologjisë matematikore". Kështu, kjo disiplinë psikologjike gjithashtu ka datën e saktë paraqitje në shkencë. Disa psikologët modernë, duke shkruar në fushën e psikologjisë matematikore, arrijnë të fillojnë zhvillimin e saj me një revistë amerikane që doli në vitin 1963. Vërtet, "çdo gjë e re është e vjetër e harruar mirë". Një shekull i tërë më parë amerikanët U zhvillua psikologjia matematikore, ose më saktë, psikologjia e matematikuar. Dhe procesi i matematikës së shkencës sonë filloi nga M.-V. Drobish.

Duhet thënë se për sa i përket risive, psikologjia matematikore e Drobishit është inferiore ndaj asaj që është bërë nga mësuesi i tij, Herbart. Vërtetë, Drobish i shtoi një të tretën dy ideve që rëndonin në mendjen e tij dhe kjo i ndërlikoi shumë vendimet. Por gjëja kryesore, për mendimin tim, është ndryshe. Shumica Vëllimi i librit përbëhet nga shembuj të modelimit numerik. Fatkeqësisht, as bashkëkohësit dhe as pasardhësit nuk e kuptuan ose e vlerësuan arritjen shkencore të arritur nga M.-V. Drobish: ai nuk kishte një kompjuter për modelim numerik. Dhe ne psikologji moderne modelimi matematik është produkt i gjysmës së dytë të shekullit të 20-të. Në parathënien e përkthimit të Nechaev të psikologjisë herbartiane profesor rus, i famshëm për "psikologjinë e tij pa asnjë metafizikë", foli në mënyrë shumë nënçmuese për përpjekjen e Herbart për të përdorur matematikën në psikologji. Por ky nuk ishte reagimi i shkencëtarëve të natyrës. Dhe psikofizikanët, në veçanti Theodor Fechner, dhe i famshmi Wilhelm Wundt, i cili punoi në Leipzig, nuk mund të injoronin botimet themelore të M.-W. Drobisha. Në fund të fundit, ishin ata që zbatuan matematikisht në psikologji idetë e Herbart për sasitë psikologjike, pragjet e vetëdijes, kohët e reagimit të ndërgjegjes njerëzore dhe i zbatuan ato duke përdorur matematikën bashkëkohore.

Metodat kryesore të matematikës në atë kohë ishin diferenciale dhe llogaritja integrale, ekuacionet e varësive relativisht të thjeshta - rezultuan të ishin mjaft të përshtatshme për identifikimin dhe përshkrimin e ligjeve më të thjeshta psikofizike dhe reagimet e ndryshme njerëzore, por ato nuk ishin të përshtatshme për të studiuar komplekse dukuritë psikike dhe subjektet. Jo më kot W. Wundt e mohoi kategorikisht mundësinë psikologji empirike eksplorojnë funksionet më të larta mendore. Ata mbetën, sipas Wundt, nën juridiksionin e një psikologjie të veçantë, në thelb metafizike, të popujve.

Mjete matematikore për studimin e objekteve komplekse shumëdimensionale, përfshirë ato më të larta funksionet mendore- inteligjenca, aftësitë, personaliteti, filluan të krijojnë anglishtfolës shkencëtarët. Ndër rezultatet e tjera, rezultoi se lartësia e pasardhësve tenton të kthehet në lartësinë mesatare të paraardhësve të tyre. U shfaq koncepti i "regresionit" dhe u morën ekuacione që shprehin këtë varësi. Është përmirësuar koeficienti i propozuar më parë nga francezi Bravais. Ky koeficient shpreh në mënyrë sasiore lidhjen midis dy variablave në ndryshim, pra korrelacionin. Tani ky koeficient është një nga mjete thelbësore analiza multivariate të dhënat, madje e ruajtën simbolin shkurtim: latinishtja e vogël "g" nga anglishtja lidhje- qëndrim.

Ndërsa ishte ende student në Kembrixh, Francis Galton vuri re se shkalla e kalueshmërisë në provimet e matematikës, e cila ishte Provimi përfundimtar, - varion nga disa mijëra në disa qindra pikë. Më vonë, duke e lidhur këtë me shpërndarjen e talenteve, Galton erdhi në idenë se testet speciale bëjnë të mundur parashikimin e së ardhmes. sukseset e jetës të njerëzve. Kështu në vitet '80. Në shekullin e 19-të, lindi metoda e testimit të Galtonit.

Ideja e testeve u mor dhe u zhvillua nga French-A. Beat, V. Henri dhe të tjerë që krijuan testet e para për përzgjedhjen e fëmijëve me prapambetje sociale. Kjo shërbeu si fillimi i testimit psikologjik, i cili, nga ana tjetër, çoi në zhvillimin e matjeve psikologjike.

Grupe të mëdha rezultatesh numerike të matjeve në teste - në pikë - janë bërë objekt studimesh të shumta, përfshirë ato matematikore dhe psikologjike. Një rol të veçantë këtu i takon inxhinierit anglez që ka punuar në Amerikë - Charles Spearman

Së pari, C. Spearman, i cili besonte se për të llogaritur korrelacionin midis serive të rezultateve të numrave të plotë, ose gradave, nevojitet një masë e veçantë, duke u përpjekur variante të ndryshme(E lexova artikullin e tij voluminoz në American Psychological Journal për vitin 1904), më në fund u vendosa në formën e koeficientit të korrelacionit të gradës që mban emrin e tij.

Së dyti, duke u marrë me grupe të mëdha rezultatesh numerike në teste dhe korrelacione midis këtyre rezultateve, C. Spearman sugjeroi që këto korrelacione nuk shprehin aspak ndikimin e ndërsjellë të rezultateve, por shpjegojnë ndryshueshmërinë e tyre të përbashkët nën ndikimin e një shkaku të zakonshëm mendor latent. ose faktor, për shembull, inteligjencë. Prandaj, Spearman propozoi teorinë e një faktori "të përgjithshëm" që përcakton ndryshueshmërinë e përbashkët të variablave të rezultateve të testit, dhe gjithashtu zhvilloi një metodë për identifikimin e këtij faktori duke përdorur një matricë korrelacioni. Kjo ishte metoda e parë analiza faktoriale, krijuar në psikologji dhe për qëllime psikologjike.

Teoria e një faktori të Ch. Spearman gjeti shpejt kundërshtarë. Një teori e kundërt, multifaktoriale që shpjegon korrelacionet u propozua nga Leon Thurstone. Ai zotëron gjithashtu metodën e parë të analizës multifaktoriale, bazuar në përdorimin algjebër lineare. Pas C. Spearman dhe L. Thurstone, analiza e faktorëve jo vetëm që u bë një nga metodat më të rëndësishme matematikore të analizës shumëdimensionale të të dhënave në psikologji, por gjithashtu shkoi shumë përtej kufijve të saj dhe u shndërrua në metodë e përgjithshme shkencore analiza, të dhëna.

Që nga fundi i viteve 20 të shekullit të 20-të, metodat matematikore kanë depërtuar gjithnjë e më shumë në psikologji dhe janë përdorur në mënyrë krijuese në të. Teoria psikologjike e matjeve po zhvillohet intensivisht. Bazuar në aparatin e zinxhirit Markov, modelet e të mësuarit stokastik po zhvillohen në psikologjinë e sjelljes. Krijuar në biologji nga Ronald Fisher analiza e variancës bëhet metoda kryesore matematikore në psikologjinë gjenetike. Modelet matematikore nga teoria e kontrollit automatik dhe teoria e informacionit Shannon përdoren gjerësisht në inxhinieri dhe psikologji e përgjithshme. Si rezultat, moderne psikologji shkencore në shumë nga degët e saj është matematikuar në mënyrë domethënëse. Në të njëjtën kohë, risitë e reja matematikore shpesh huazohen nga psikologët për qëllimet e tyre. Për shembull, pamja gjuha algoritmike për problemet e kontrollit, të propozuara dhe pothuajse menjëherë të përdorura për të përpiluar algoritme për aktivitetet e një dispeçeri hekurudhor.

Duhet të lindë pyetja: çfarë veti të veçanta matematika ka nëse të njëjtat metoda matematikore zbatohen me sukses në shkenca të ndryshme. Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, duhet t'i drejtohemi lëndës së matematikës dhe objekteve të saj.

Për shumë shekuj besohej se lënda e matematikës ishte gjithçka që ekziston - natyra në në një kuptim të gjerë. Matematikanët e lashtë besonin se format matematikore kishin origjinë hyjnore. Kështu që, Platoni i konsideronte figurat gjeometrike si eidos ideale, pra imazhe të krijuara nga perënditë më të larta për t'u kopjuar nga njerëzit, natyrisht, jo më në atë formë perfekte. Nje i famshem Pitagora pa në numra dhe kombinime të caktuara numerike një harmoni të paravendosur të sferave qiellore.

Botëkuptimi fetar i njerëzve me shekuj e ka lidhur krijimin hyjnor të botës me mjetet matematikore me të cilat shprehen ligjet e natyrës. Zotëri thellësisht fetar Isak Njuton besonte se "libri i natyrës është shkruar në gjuhën e matematikës" dhe përdori gjerësisht metodat matematikore në filozofinë e tij natyrore.

Duhet thënë se, edhe pasi kishin braktisur besimin në krijimin hyjnor të botës, shumë matematikanë vazhduan ta konsideronin natyrën një lëndë të matematikës. Ne jemi të njohur gjerësisht me formulimin e dhënë në një kohë F. Engels: "Lënda e matematikës janë format hapësinore dhe marrëdhëniet sasiore të botës materiale." Edhe sot këtë formulim mund ta gjeni në literaturën arsimore. Vërtetë, u shfaqën edhe interpretime të tjera të temës - si modelet më abstrakte të të gjitha gjërave. Por këtu, sipas mendimit tonë, lënda e matematikës është ngushtuar përsëri në një funksion shërbimi - modelim dhe përsëri natyrë në kuptimin e gjerë.

Shtrohet pyetja: a është e drejtë, pasi të keni braktisur idenë e krijimit, të konsideroni akoma natyrën një lëndë të matematikës? Në fund të fundit, kjo nuk është vetëm në kundërshtim. Çështja është se është e njëjta gjë ligji natyror mund të shprehet matematikisht në mënyra të ndryshme dhe nuk mund të vërtetohet brenda kufijve të saktësisë shkencore se cila nga shprehjet është e vërtetë. Shembuj janë ligji logaritmik Weber-Fechner dhe ligji i fuqisë së Stevens, të cilat të dyja janë treguar se janë nxjerrë sipas supozimeve të caktuara nga një përgjithësim i caktuar. ligji psikofizik. Fakti që e njëjta metodë matematikore përshkruan dukuri nga shkenca të ndryshme gjithashtu nuk dëshmon në favor të natyrës si lëndë e matematikës.

Pra, nëse jo natyra, atëherë cila është lënda e matematikës? Përgjigja ime padyshim do të jetë jashtëzakonisht befasuese për shumë përfaqësues të shkencave fizike dhe matematikore: lënda e matematikës është produkti i saj. objekte matematikore, nga e cila përbëhet matematika si shkencë.

Objekti matematik - ky është një produkt mendimi njerëzor, të materializuar në të paktën një nga pesë format bazë: verbale, grafike, tabelare, simbolike ose analitike. Sigurisht, mendimtar i lashtë mund të gjenin analoge të objekteve matematikore në natyrë - forma gjeometrike, numra që mishërohen disi fizikisht (kallam i drejtë, pesë gurë etj.). Por entitet matematikor ishte e nevojshme të abstragohej nga forma natyrore materiale. Vetëm pas kësaj u bë matematikore, dhe jo fizike (biologjike, etj.). Dhe vetëm një person mund ta bëjë këtë. Në një seri të gjatë brezash - si për qëllime praktike ashtu edhe për hir të interesit - njerëzit krijuan atë botë të objekteve matematikore (përfshirë marrëdhëniet dhe veprimet mbi objektet që janë gjithashtu objekte matematikore), e cila quhet matematikë.

Ashtu si psikologjia, matematika është e gjerë dhe e turbullt zonë në zhvillim njohuri. Por është gjithashtu larg nga homogjeni: përfshin jo vetëm degë të shumta, por edhe "matematicienë të ndryshëm". Ka matematikë "të pastra" dhe të aplikuara, "të vazhdueshme" dhe diskrete, "jokonstruktive" dhe konstruktive, formale-logjike dhe përmbajtësore.

Ndoshta, ashtu siç nuk ka psikolog që i njeh të gjitha degët e psikologjisë, nuk ka asnjë matematikan që i njeh të gjitha degët dhe fushat e matematikës moderne. Në fund të fundit, edhe enciklopeditë dhe librat e referencës, së bashku me seksionet klasike, tradicionale të përbashkëta për të gjithë, përmbajnë pjesë të ndryshme shtesë dhe aspak të reja të informacionit matematikor. Bollëku dhe shumëllojshmëria e teorive dhe metodave matematikore krijon probleme të zgjedhjes dhe përdorim praktik matematika përtej kufijve të saj, duke përfshirë psikologjinë. Por ne do të flasim për këtë në kapitulli i fundit librat.

Natyra abstrakte e matematikës dhe pavarësia e saj nga natyra në një kuptim të gjerë bëjnë të mundur përdorimin e metodave matematikore në një shumëllojshmëri të gjerë aplikimesh. Sigurisht, është e rëndësishme që metoda të jetë adekuate me objektin për të cilin përdoret për të studiuar.

Për të përfunduar rishikimin çështje të përgjithshme, le të ndalemi se çfarë nënkuptohet me metoda matematikore.

Në çdo shkencë, përveç lëndës së saj, supozohet se ekzistojnë metoda të veçanta të natyrshme për këtë shkencë. Kështu, metoda e testimit është karakteristikë e psikologjisë moderne. Metodat e vëzhgimit, bashkëbisedimit, eksperimentit etj., të përdorura në të, për të cilat shkruhet në tekstet shkollore, nuk janë specifike për psikologjinë dhe përdoren gjerësisht në shkencat e tjera. Në përgjithësi, me përjashtime të rralla, moderne metodat shkencore janë universale dhe mund të përdoren kudo që të jetë e mundur.

Situata është e ngjashme me matematikën. Dhe megjithëse shumica e matematikanëve janë të bindur për specifikën aksiomatike afrimi, induksioni matematik dhe provat, në fakt të gjitha këto metoda përdoren jashtë matematikës.

Siç e kam vërejtur tashmë, objektet matematikore ekzistojnë në tekstet dhe mendimet e njerëzve që mendojnë për to në një, disa ose të gjitha pesë format bazë - verbale, grafike, tabelare, simbolike dhe analitike. Këta janë emra objektesh, figura gjeometrike ose vizatime dhe grafikë, tabela të ndryshme, simbole objektesh, veprime dhe marrëdhënie dhe së fundi, formula të ndryshme që shprehin marrëdhëniet ndërmjet objekteve. Pra, metodat matematikore janë rregulla ose procedura për ndërtimin, transformimin, matjen dhe llogaritjen e objekteve matematikore - ekzistojnë vetëm katër lloje kryesore të metodave. Midis secilit prej tyre ka të thjeshta dhe komplekse, të tilla si përmbledhja e dy numrave dhe faktorizimi i një matrice korrelacioni. Lloji i pestë - një kombinim i atyre kryesore - hap mundësi të pakufizuara për të hartuar të reja metodat matematikore, të nevojshme për aplikime të caktuara shkencore.

Si përfundim, vërej se shumë metoda luajnë një rol shërbimi në vetë matematikën, siç janë, në veçanti, provat e teoremave ose ashpërsia e caktuar e paraqitjes, aq të mirëpritura nga matematikanët. Për aplikime praktike metodat matematikore jashtë matematikës, duke përfshirë psikologjinë, nuk nevojiten ashpërsi dhe hollësi matematikore: ato errësojnë thelbin e rezultateve në të cilat matematika duhet të jetë në sfond, siç është baza logaritmike e ligjit psikofizik Weber-Fechner.

Pyetja 2. ÇËSHTJE METODOLOGJIKE NË ZBATIMIN E MATEMATIKËS NË PSIKOLOGJI

Psikologët e themeluar me arsim bazë në shkencat humane janë kritikë ndaj përdorimit të metodave matematikore në psikologji dhe dyshojnë në dobinë e tyre. Argumentet e tyre janë si më poshtë: metodat matematikore u krijuan në shkenca, objektet e të cilave nuk janë të krahasueshme në kompleksitet me objektet psikologjike; psikologjia është shumë specifike që matematika të mos ketë ndonjë përdorim.

Argumenti i parë është i vërtetë në një masë të caktuar. Prandaj, ishte në psikologji që u krijuan metoda matematikore që ishin krijuar posaçërisht për objekte komplekse, për shembull, korrelacioni dhe analizat e faktorëve. Por argumenti i dytë është qartësisht i gabuar: psikologjia nuk është më specifike se shumë shkenca të tjera që përdorin matematikën. Dhe vetë historia e psikologjisë e konfirmon këtë. Le të kujtojmë idetë e I. Herbart dhe M.-V. Drobish, dhe e gjithë rruga e zhvillimit të psikologjisë moderne. Ai konfirmon një të vërtetë të përbashkët: një fushë dijeje bëhet shkencë kur fillon të zbatojë matematikën.

, Mbi manifestimet individuale, subjektive dhe personale të ankthit individual // Leximet e Ananyev - 2003. Shën Petersburg, Shtëpia Botuese e Universitetit Shtetëror të Shën Petersburgut. fq 58-59.

Psikologjia ka pasur gjithmonë shumë emigrantë nga shkencat natyrore, dhe në shekullin e 20 - nga shkencat teknike. Emigrantët, të cilët ishin të përgatitur mirë në fushën e matematikës, natyrshëm aplikuan matematikën në dispozicion të tyre në fushën e re psikologjike, pa marrë mjaftueshëm parasysh gjërat thelbësore. specifikat psikologjike, e cila, natyrisht, ekziston në psikologji, si në çdo shkencë. Si rezultat, në degët psikologjike Janë shfaqur shumë modele matematikore që nuk janë adekuate për sa i përket përmbajtjes. Kjo vlen veçanërisht për psikometrinë dhe psikologjinë inxhinierike, por edhe për degët psikologjike të përgjithshme, sociale dhe të tjera "popullore".

Formalizmat e papërshtatshme matematikore i tjetërsojnë psikologët e orientuar drejt humanizmit dhe minojnë besimin në metodat matematikore. Ndërkohë, migrantët në psikologji nga natyrore dhe shkencat teknike Ne jemi të sigurt në nevojën për të matematikuar psikologjinë në nivelin ku vetë thelbi i psikikës do të shprehet matematikisht. Besohet se në matematikë ka mjaft metoda për përdorim psikologjik dhe psikologët duhet të mësojnë vetëm matematikë.

Baza e këtyre pikëpamjeve është ideja e gabuar, siç besoj unë, e plotfuqishmërisë së matematikës, e aftësisë së saj, si të thuash, e armatosur me stilolaps e letër, për të zbuluar sekrete të reja, ashtu siç parashikohej pozitroni në fizikë.

Me gjithë respektin dhe madje dashurinë time për metodat matematikore, më duhet të them se matematika nuk është e gjithëfuqishme; është një nga shkencat, por, për shkak të abstraktitetit të objekteve të saj, zbatohet lehtësisht dhe me dobi në shkencat e tjera. Në të vërtetë, në çdo shkencë llogaritja është e dobishme, dhe është e rëndësishme të paraqiten modelet në një formë simbolike lakonike, të përdoren diagrame dhe vizatime vizuale. Megjithatë, përdorimi i metodave matematikore jashtë matematikës duhet të çojë në humbjen e specifikës matematikore.

Besimi, i ardhur nga thellësia e shekujve, se "libri i natyrës është shkruar në gjuhën e matematikës", që vjen nga Zoti Zot, i cili krijoi gjithçka dhe të gjithë, çoi në faktin se shprehjet " modele matematikore", "metodat matematikore" në ekonomi, biologji, psikologji, fizikë, por si mund të ekzistojnë modelet matematikore në fizikë? Në fund të fundit, duhet të ketë dhe, natyrisht, ka modele fizike të ndërtuara duke përdorur matematikën. Dhe ato janë krijuar nga fizikanë që janë të aftë në matematikë, ose matematikanë që janë të aftë në fizikë.

Me pak fjalë, në fizikës matematikore duhet të jetë matematikor modelet fizike dhe metodat, dhe në psikologjinë matematikore - matematiko-psikologjike. Përndryshe, në versionin tradicional të "modeleve matematikore", ndodh reduksionizmi matematikor.

Reduksionizmi në përgjithësi është një nga themelet e kulturës matematikore: zvogëloni gjithmonë të panjohurën, detyrë e re në një të njohur dhe zgjidheni atë duke përdorur metoda të provuara. Është reduksionizmi matematik që shkakton shfaqjen e modeleve të dobëta adekuate në psikologji dhe shkenca të tjera.

Deri vonë, ekzistonte një mendim i përhapur midis psikologëve tanë: psikologët duhet të formulojnë probleme për matematikanët që mund t'i zgjidhin ato në mënyrë korrekte. Ky mendim është qartësisht i gabuar: vetëm specialistët mund të zgjidhin probleme specifike, por a janë të tillë ekspertët e matematikës në psikologji? Unë do të guxoja të them se është gjithashtu e vështirë për matematikanët të vendosin detyra psikologjike, si psikologë - probleme matematikore: në fund të fundit, ju duhet të studioni fushën shkencore me të cilën lidhet problemi, dhe kjo kërkon vite dhe gjithashtu një interes për "të huaj". fushë shkencore, në të cilat kritere të tjera arritjet shkencore. Kështu, për shtresimin shkencor, një matematikan duhet të bëjë zbulime "matematikore" dhe të provojë teorema të reja. Çfarë lidhje kanë detyrat psikologjike me këtë? Ato duhet të zgjidhen nga vetë psikologët, të cilët duhet të mësojnë të përdorin metoda të përshtatshme matematikore. Kështu, ne i kthehemi përsëri çështjes së përshtatshmërisë dhe dobisë së metodave matematikore në psikologji.

Jo vetëm në psikologji, por në çdo shkencë, dobia e matematikës qëndron në faktin se metodat e saj ofrojnë mundësinë e krahasimeve sasiore, interpretimeve simbolike lakonike, vlefshmërinë e parashikimeve dhe vendimeve dhe shpjegimin e rregullave të kontrollit. Por e gjithë kjo i nënshtrohet përshtatshmërisë së metodave matematikore të përdorura.

Përshtatshmëria- kjo është korrespondencë: metoda duhet të korrespondojë me përmbajtjen dhe të korrespondojë në kuptimin që hartëzimi i përmbajtjes jomatematikore me mjete matematikore është homomorfik. Për shembull, grupet e zakonshme nuk janë adekuate për të përshkruar proceset njohëse: ato nuk pasqyrojnë shpeshtësinë e përsëritjeve të nevojshme. Vetëm shumë grupe do të jenë të përshtatshme këtu. Lexuesi që është njohur me përmbajtjen e tekstit kapitujt e mëparshëm, do të kuptojë lehtësisht se metodat e konsideruara matematikore janë përgjithësisht të përshtatshme për aplikime psikologjike, por në detaje përshtatshmëria duhet të vlerësohet në mënyrë specifike.

Rregulli i përgjithshëm është: nëse objekt psikologjik karakterizohet nga një grup i kufizuar i vetive, atëherë një metodë adekuate do të shfaqë të gjithë grupin, dhe nëse diçka nuk shfaqet, atëherë përshtatshmëria zvogëlohet. Kështu, masa e përshtatshmërisë është numri i vetive domethënëse të shfaqura nga metoda. Në këtë rast, dy rrethana janë të rëndësishme: prania e metodave konkurruese, ekuivalente të aplikimit dhe mundësia e paraqitjeve të ndërsjella verbale-simbolike, tabelare, grafike dhe analitike të rezultateve.

Ndër metodat konkurruese, duhet të zgjidhni më të thjeshtat ose më të kuptueshmet, dhe këshillohet të kontrolloni rezultatin metoda të ndryshme. Për shembull, analiza e variancës dhe planifikimi matematikor i një eksperimenti, mund të identifikohen në mënyrë të arsyeshme varësitë në shkencë.

Ju nuk duhet të kufizoheni në një ose dy nga format matematikore, me sa duket (dhe ekziston gjithmonë), duhet t'i përdorni të gjitha, duke krijuar një tepricë të caktuar në përshkrimin matematikor të rezultateve.

Kushti më i rëndësishëm për zbatimin konkret të metodave matematikore është, përveç kuptimit të tyre, natyrisht, një interpretim kuptimplotë dhe formal. Në psikologji, duhet dalluar dhe mund të kryejë katër lloje interpretimesh; psikologjiko-psikologjik, psikologjiko-matematikor, matematiko-matematikor dhe (invers) matematiko-psikologjik. Ato janë të organizuara në një cikël.

Ndonjë hulumtim ose problem praktik në psikologji, së pari i nënshtrohet interpretimeve psikologjike dhe psikologjike, përmes të cilave kalojnë nga pikëpamjet teorike në koncepte dhe procedura empirike të përcaktuara në mënyrë operative. Më pas vjen radha e interpretimeve psikologjike dhe matematikore, me ndihmën e të cilave përzgjidhen dhe zbatohen metodat matematikore të kërkimit empirik. Të dhënat e marra duhet të përpunohen dhe në procesin e përpunimit të kryhen interpretime matematikore dhe matematikore. Së fundi, rezultatet e përpunimit duhet të interpretohen në mënyrë kuptimplote, domethënë të kryeni një interpretim matematikor dhe psikologjik të niveleve të rëndësisë, varësive të përafërta, etj. Cikli mbyllet dhe ose problemi zgjidhet dhe ju mund të kaloni në një tjetër, ose ai është e nevojshme të sqarohet ajo e mëparshme dhe të përsëritet studimi. Kjo është logjika e veprimit në aplikimin e matematikës – dhe jo vetëm në psikologji, por edhe në shkencat e tjera.

Dhe një gjë të fundit. Është e pamundur të studiohen tërësisht të gjitha metodat matematikore të diskutuara në këtë libër për përdorim në të ardhmen, një herë e përgjithmonë. Mjaft për të zotëruar ndonjë metoda komplekse nevojiten shumë dhjetëra, apo edhe qindra përpjekje trajnimi. Por ju duhet të njiheni me metodat dhe të përpiqeni t'i kuptoni ato në përgjithësi për përdorim në të ardhmen, dhe mund të njiheni me detajet në të ardhmen, sipas nevojës.

Pyetja 3. Psikologjia matematikore

3.1. Prezantimi

Psikologjia matematikore - ky është seksioni psikologji teorike, përdoret për të ndërtuar teori dhe modele aparate matematikore.

“Në kuadrin e psikologjisë matematikore duhet të zbatohet parimi i kërkimit analitik abstrakt, në të cilin nuk studiohet përmbajtja specifike e modeleve subjektive të realitetit, por forma të përgjithshme dhe modelet e aktivitetit mendor" [Krylov, 1995].

Objekti i psikologjisë matematikore : sistemet natyrore ka veti psikike; kuptimplotë teoritë psikologjike dhe modelet matematikore të sistemeve të tilla. Artikulli - zhvillimi dhe aplikimi i një aparati formal për modelimin adekuat të sistemeve me veti mendore. Metoda - modelimi i matematikës.

Procesi i matematikës së psikologjisë filloi që nga momenti kur ajo u identifikua si një disiplinë eksperimentale. Ky proces zhvillohet një seri fazash.

Së pari - përdorimi i metodave matematikore për analizimin dhe përpunimin e rezultateve të hulumtimit eksperimental, si dhe nxjerrjen e ligjeve të thjeshta ( fundi i XIX V. - fillimi i shekullit të 20-të). Kjo është koha e zhvillimit të ligjit të të mësuarit, ligjit psikofizik dhe metodës së analizës së faktorëve.

Së dyti (40-50) - krijimi i modeleve proceset mendore dhe sjelljen njerëzore duke përdorur një aparat matematikor të zhvilluar më parë.

Së treti (60-ta deri më sot) - ndarja e psikologjisë matematikore në një disiplinë të veçantë, qëllimi kryesor i së cilës është zhvillimi i një aparati matematikor për modelimin e proceseve mendore dhe analizimin e të dhënave nga eksperimentet psikologjike.

Së katërti skena nuk ka ardhur ende. Kjo periudhë duhet të karakterizohet nga shfaqja e psikologjisë teorike dhe zbehja e psikologjisë matematikore.

Psikologjia matematikore shpesh identifikohet me metodat matematikore, gjë që është e gabuar. Psikologjia matematikore dhe metodat matematikore lidhen me njëra-tjetrën në të njëjtën mënyrë si psikologjia teorike dhe eksperimentale.

3.2. Historia e zhvillimit

Termi "psikologji matematikore" filloi të përdoret me ardhjen e "Manualit të Psikologjisë Matematikore" në SHBA në 1963. Gjatë këtyre viteve, Revista e Psikologjisë Matematikore filloi të botohej këtu.

Një analizë e punës së kryer në Laboratorin e Psikologjisë Matematikore të IP RAS na lejoi të nxjerrim në pah tendencat kryesorezhvillimi i psikologjisë matematikore.

Në vitet 60-70. Puna për modelimin e mësimit, kujtesës, zbulimit të sinjaleve, sjelljes dhe vendimmarrjes është bërë e përhapur. Për zhvillimin e tyre u përdor aparati matematikor i proceseve probabiliste, teoria e lojës, teoria e dobisë etj teoria matematikore trajnimi. Modelet më të njohura janë R. Bush, F. Mosteller, G. Bauer, V. Es-tes, R. Atkinson. (Në vitet në vijim ka pasur një rënie të numrit të punimeve për këtë çështje.) Shfaqen shumë modele matematikore në psikofizikë, për shembull, S. Stevens, D. Ekman, Y. Zabrodin, J. Swets, D. Green, M. Mikhailevskaya, R. Lewis (shih. seksionin 3.1). Në punimet për modelimin në grup dhe sjellje individuale, duke përfshirë në situata pasigurie, u përdorën teoritë e dobisë, lojërat, rreziku dhe proceset stokastike. Këto janë modelet e J. Neumann, M. Tsetlin, V. Krylov, A. Tverskoy, R. Lewis. Gjatë periudhës në shqyrtim, u krijuan modele globale matematikore të proceseve themelore mendore.

Në periudhën deri në vitet '80. shfaqen punimet e para mbi matjet psikologjike: po zhvillohen metoda të analizës së faktorëve, aksiomatikë dhe modele matëse, klasifikime të ndryshme shkallët, po punohet për krijimin e metodave për klasifikimin dhe paraqitjen gjeometrike të të dhënave,

modelet ndërtohen në bazë të një ndryshoreje gjuhësore (L. Zadeh).

Në vitet 80 Vëmendje e veçantë i kushtohet sqarimit dhe zhvillimit të modeleve që lidhen me zhvillimin e aksiomatikës së teorive të ndryshme.

Në psikofizikë Kjo: teori moderne zbulimi i sinjalit (D. Svete, D. Green), struktura e hapësirave shqisore (Yu. Zabrodin, Ch. Izmailov), ecjet e rastësishme (R. Lewis, 1986), Diskriminimi i lidhjeve etj.

Në fushën e modelimit studime të sjelljes grupore dhe individuale : modeli i vendimit dhe veprimit në aktet psikomotorike (G. Korenev, 1980), modeli i një sistemi të drejtuar nga qëllimi (G. Korenev), "pemët" preferenciale të A. Tverskoy, modelet e një sistemi njohurish (J. Greeno), probabilistik modeli i të mësuarit (A. Drynkov, 1985), modeli i sjelljes në ndërveprim dyadik (T. Savchenko, 1986) modelimi i procesit kërkimi dhe marrja e informacionit nga kujtesa (R. Shifrin, 1974), modelimi i strategjive të vendimmarrjes në procesin e të mësuarit (V. Venda, 1982) etj.

Në teorinë e matjes:

shumë modele të shkallëzimit shumëdimensional (MS), në të cilat ka një tendencë për të zvogëluar saktësinë e përshkrimit të sistemeve komplekse - modele preferenciale, shkallëzim jometrik, shkallëzim në hapësirën pseudo-Euklidiane, MS në grupe "fuzzy" (R. Shepard , K. Coombs, D. Kruskal, V Krylov, G. Golovina, A. Drynkov);

Modelet e klasifikimit: hierarkike, dendritike, në grupe “fuzzy” (A. Drynkov, T. Savchenko, V. Plyuta);

Modele të analizës konfirmuese, duke lejuar krijimin e një kulture të kryerjes së hulumtimeve eksperimentale;

Zbatimi i modelimit matematik në psikodiagnostikë (A. Anastasi, P. Kline, D. Kendall, V. Druzhinin)

Në vitet '90 Modelet globale matematikore të proceseve mendore praktikisht nuk janë zhvilluar, megjithatë, numri i punimeve për sqarimin dhe shtimin po rritet ndjeshëm modelet ekzistuese, teoria e matjeve dhe teoria e ndërtimit të testit vazhdojnë të zhvillohen intensivisht; janë duke u zhvilluar peshore të reja që janë më adekuate me realitetin (D. Lewis, P. Suppes, A. Tversky, A. Marley); Qasja sinergjike ndaj modelimit po futet gjerësisht në psikologji.

Nëse në vitet '70. punimet në psikologjinë matematikore u shfaqën kryesisht në SHBA, pastaj në vitet '80 pati një rritje të shpejtë në zhvillimin e saj në Rusi, e cila, për fat të keq, tani është ulur ndjeshëm për shkak të fondeve të pamjaftueshme për shkencën themelore.

Shumica modele të rëndësishme u shfaq në vitet '70 dhe në fillim të viteve '80, më tej ato u plotësuan dhe u sqaruan. Në vitet 80 Teoria e matjeve u zhvillua intensivisht. Kjo punë vazhdon edhe sot. Është veçanërisht e rëndësishme që shumë metoda të analizës multivariate kanë marrë aplikim të gjerë në studimet eksperimentale; Ka shumë programe që synojnë posaçërisht psikologët për analizimin e të dhënave të testimit psikologjik.

NE SHBA vëmendje e madhe i kushtohet çështjeve thjesht matematikore të modelimit. Në Rusi, përkundrazi, modelet matematikore shpesh nuk kanë ashpërsi të mjaftueshme, gjë që çon në një përshkrim joadekuat të realitetit.

Modelet matematikore në psikologji. Në psikologjinë matematikore, është zakon të dallohen dy drejtime: modelet matematikore dhe metodat matematikore. Ne e thyem këtë traditë sepse besojmë se nuk ka nevojë të theksohen veçmas metodat e analizës së të dhënave eksperiment psikologjik. Ato janë një mjet për të ndërtuar modele: klasifikim, struktura latente, hapësira semantike etj.

3.3. Matjet psikologjike

Aplikimi i metodave dhe modeleve matematikore në çdo shkencë bazohet në matje. Në psikologji, objektet e matjes janë vetitë e sistemit mendor ose nënsistemeve të tij, si perceptimi, kujtesa, orientimi i personalitetit, aftësitë, etj. Matja është atribuimi ndaj objekteve. vlerat numerike, duke pasqyruar shkallën e pranisë së një vetie në një objekt të caktuar.

1. Rretho. 2Perimetri thirrur vendndodhja pika të barabarta nga një pikë fikse, e quajtur qendra e rrethit. Distanca nga një pikë arbitrare në një rreth në qendrën e tij quhet rrezja e rrethit.

g Nëse qendra e rrethit është në pikën dhe rrezja është R, atëherë ekuacioni i rrethit ka formën:

4Shënoni me (Fig. 3.5) një pikë arbitrare në rreth. Duke përdorur formulën për distancën midis dy rrymave (3.1) dhe përkufizimin e një rrethi, marrim: . Nga katrori i barazisë që rezulton fitojmë formulën (3.13).3

2. Elipsa. 2 Elipsaështë vendndodhja e pikave shuma e distancave të të cilave në dy pika fikse, të quajtura vatra, është një vlerë konstante.

Për të nxjerrë ekuacionin kanonik (më të thjeshtë) të elipsës, marrim si bosht kau vijë e drejtë që lidh vatrat F 1 dhe F 2. Le të jenë vatrat simetrike në lidhje me origjinën, d.m.th. do të ketë koordinata: dhe . Këtu në 2 Me tregohet distanca midis vatrave. Le të shënojmë me x Dhe y koordinatat e një pike arbitrare M elipsë (Figura 3.6). Pastaj, me përkufizimin e një elipsi, shuma e distancave nga pika M tek pikat F 1 dhe F A).

Ekuacioni (3.14) është ekuacioni i një elipsi. Le të thjeshtojmë ekuacioni i dhënë, duke hequr qafe rrënjë katrore. Për ta bërë këtë, zhvendosni një nga radikalët në anën e djathtë barazia (3.14) dhe katrore të dyja anët e barazisë që rezulton:

Duke kuadruar barazinë e fundit, marrim

Le t'i ndajmë të dyja pjesët në:

.

Meqenëse shuma e distancave nga një pikë arbitrare e elipsës deri në vatrat e saj më shumë distancë ndërmjet fokuseve, d.m.th. 2 A > 2c, Kjo .

Le të shënojmë me b 2. Atëherë ekuacioni më i thjeshtë (kanonik) i elipsës do të ketë formën:

ku duhet të jetë

Boshtet e koordinatave janë boshtet e simetrisë së elipsës, dhënë nga ekuacioni(3.15). Në të vërtetë, nëse një pikë me koordinatat aktuale ( x; y) i përket elipsës, atëherë pikat për çdo kombinim të shenjave i përkasin elipsës.

2Aksi i simetrisë së elipsës në të cilën ndodhen vatra quhet bosht fokal. Pikat e prerjes së një elipse me boshtet e saj të simetrisë quhen kulme të elipsës. Zëvendësimi x= 0 ose y= 0 në ekuacionin e elipsës gjejmë koordinatat e kulmeve:

A 1 (a; 0), A 2 (– a; 0), B 1 (0; b), B 2 (0; – b).

2 Segmente A 1 A 2 dhe B 1 B 2 që lidhin kulmet e kundërta të elipsës, si dhe gjatësitë e tyre 2 a dhe 2 b, quhen përkatësisht boshtet e mëdha dhe të vogla të elipsës. Numrat a Dhe b, quhen përkatësisht gjysmëboshtet e mëdha dhe të vogla të elipsës.

2 Ekscentriciteti i një elipsi është raporti i distancës midis vatrave (2 Me) në boshtin kryesor (2 a), d.m.th.

Sepse A Dhe Me janë pozitive, dhe c < a, pastaj ekscentriciteti i elipsës Mbi zero, por më pak se një ().

Nëse vatrat e elipsës ndodhen në bosht Oy(Fig. 3.7), atëherë ekuacioni i elipsës do të mbetet i njëjtë si në rastin e mëparshëm:

Megjithatë, në këtë rast gjysmë-boshti b do të jetë më shumë se a(elipsa zgjatet përgjatë boshtit Oy). Formulat (3.16) dhe (3.17) do të pësojnë ndryshimet e mëposhtme, respektivisht:

3. Hiperbola. 2Hiperbola quhet vendndodhja gjeometrike e pikave, moduli i ndryshimit të distancave në dy pika fikse, të quajtura vatra, është një vlerë konstante.

Prodhimi ekuacioni kanonik hiperbolat në të njëjtën mënyrë siç është bërë në rastin e një elipsi. Pas boshtit kau ne pranojmë një vijë të drejtë që lidh vatrat F 1 dhe F 2 (Fig. 3.8). Le të jenë vatrat simetrike në lidhje me origjinën, d.m.th. do të ketë koordinata: dhe . Në 2 Me, si më parë, tregohet distanca midis vatrave.

Le të shënojmë me ( x; y M hiperbolë. Pastaj, sipas përkufizimit të një hiperbole, ndryshimi në distancat nga një pikë M tek pikat F 1 dhe F 2 është e barabartë me një konstante (e shënojmë këtë konstante me 2 A).

Duke kryer transformime të ngjashme me ato të përdorura për të thjeshtuar ekuacionin e elipsës, arrijmë në ekuacionin kanonik të hiperbolës:

, (3.21)
ku duhet të jetë

Boshtet e koordinatave janë boshtet e simetrisë së hiperbolës.

2Aksi i simetrisë së hiperbolës në të cilën ndodhen vatra quhet bosht fokal. Pikat e prerjes së hiperbolës me boshtet e saj të simetrisë quhen kulme të hiperbolës. Me bosht Oy hiperbola nuk ndërpritet, sepse ekuacioni nuk ka zgjidhje. Zëvendësimi y= 0 në ekuacionin (3.21), gjejmë koordinatat e kulmeve të hiperbolës: A 1 (a; 0), A 2 (– a; 0).

2 Segmenti 2 a, gjatësia e së cilës është e barabartë me distancën ndërmjet kulmeve të hiperbolës, quhet bosht real i hiperbolës. Seksioni 2 b quhet boshti imagjinar i hiperbolës. Numrat a Dhe b, quhen përkatësisht gjysmëboshtet reale dhe imagjinare të hiperbolës.

Mund të vërtetohet se vijat e drejta

janë asimptota të hiperbolës, d.m.th. drejtëza të tilla të cilave pikat e hiperbolës afrohen pa kufi kur largohen nga origjina pa kufi ().

2 Ekscentriciteti i një hiperbole është raporti i distancës midis vatrave (2 Me) Për të bosht real (2a), pra, si në rastin e një elipsi

Megjithatë, ndryshe nga një elips, ekscentriciteti i një hiperbole është më i madh se një.

Nëse vatrat e hiperbolës ndodhen në bosht Oy, atëherë në anën e majtë të ekuacionit të hiperbolës, shenjat do të ndryshojnë në të kundërtën:

. (3.25)

Në këtë rast, gjysmë-boshti b do të jetë real, dhe gjysmë-boshti a– imagjinare. Degët e hiperbolës do të jenë simetrike rreth boshtit Oy(Figura 3.9). Formulat (3.22) dhe (3.23) nuk do të ndryshojnë, formula (3.24) do të duket si në mënyrën e mëposhtme:

4. Parabola. Parabolaështë vendndodhja e pikave të barabarta nga një pikë e caktuar, e quajtur fokus, dhe nga një vijë e caktuar, e quajtur direktrix (supozohet se fokusi nuk shtrihet në direktrix).

Për të hartuar ekuacionin më të thjeshtë të një parabole, marrim si bosht kau një vijë e drejtë që kalon përmes fokusit të saj pingul me drejtimin dhe drejtohet nga drejtimi në fokus. Ne marrim mesin e segmentit si origjinë të koordinatave O nga fokusi F drejt e në temë A kryqëzimet e akseve kau me drejtoreshën. Gjatësia e seksionit A.F. shënohet me fq dhe quhet parametri i parabolës.

Në këtë sistem koordinativ, koordinatat e pikave A Dhe F do të jetë, përkatësisht, , . Ekuacioni i drejtimit të një parabole do të jetë . Le të shënojmë me ( x; y) koordinatat e një pike arbitrare M parabolat (Fig. 3.10). Pastaj, me përkufizimin e një parabole:

. (3.27)

Le të vendosim në katror të dy anët e barazisë (3.27):

, ose

, ku

1. Linjat e rendit të dytë në rrafshin Euklidian.

2. Invariantet e ekuacioneve të vijës së rendit të dytë.

3. Përcaktimi i llojit të vijave të rendit të dytë nga invariantet e ekuacionit të tij.

4. Linjat e rendit të dytë në planin afin. Teorema e unike.

5. Qendrat e linjave të rendit të dytë.

6. Asimptotat dhe diametrat e vijave të rendit të dytë.

7. Reduktimi i ekuacioneve të drejtëzave të rendit të dytë në më të thjeshtat.

8. Drejtimet kryesore dhe diametrat e linjave të rendit të dytë.

BIBLIOGRAFI

1. Vijat e rendit të dytë në rrafshin Euklidian.

Përkufizimi:

rrafshi Euklidianështë një hapësirë ​​e dimensionit 2,

(hapësirë ​​reale dydimensionale).

Linjat e rendit të dytë janë linja kryqëzimi kon rrethore me plane që nuk kalojnë nëpër kulmin e tij.

Këto rreshta gjenden shpesh në çështje të ndryshme shkencat natyrore. Për shembull, lëvizja pikë materiale nën ndikimin e fushës qendrore të gravitetit ndodh përgjatë njërës prej këtyre linjave.

Nëse rrafshi i prerjes kryqëzon të gjitha gjeneratat drejtvizore të një kaviteti të konit, atëherë seksioni do të prodhojë një vijë të quajtur elips(Fig. 1.1, a). Nëse rrafshi i prerjes kryqëzon gjeneratat e të dy zgavrave të konit, atëherë seksioni do të prodhojë një vijë të quajtur hiperbolë(Fig. 1.1,6). Dhe së fundi, nëse rrafshi i prerjes është paralel me një nga gjeneratat e konit (në 1.1, V- ky është gjeneratori AB), atëherë seksioni do të prodhojë një linjë të quajtur parabolë. Oriz. 1.1 jep paraqitje vizuale për formën e vijave në shqyrtim.

Figura 1.1

Ekuacioni i përgjithshëm i një linje të rendit të dytë ka pamje tjetër:

(1)

(1*)

Elipsa është bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat shuma e distancave në dy pika fikse F 1 Dhe F 2 ky plan, i quajtur vatra, është një vlerë konstante.

Në këtë rast, rastësia e vatrave të elipsës nuk përjashtohet. Natyrisht nëse vatrat përkojnë, atëherë elipsa është një rreth.

Për të nxjerrë ekuacionin kanonik të elipsës, ne zgjedhim origjinën O Sistemi kartezian koordinatat në mes të segmentit F 1 F 2 , dhe sëpatat Oh Dhe OU Le ta drejtojmë siç tregohet në Fig. 1.2 (nëse truket F 1 Dhe F 2 përkon, atëherë O përkon me F 1 Dhe F 2, dhe për boshtin Oh ju mund të merrni çdo aks që kalon RRETH).

Lëreni gjatësinë e segmentit F 1 F 2 F 1 Dhe F 2 përkatësisht kanë koordinatat (-с, 0) dhe (с, 0). Le të shënojmë me 2a konstanta e përmendur në përkufizimin e një elipsi. Natyrisht, 2a > 2c, d.m.th. a > c ( Nëse M- pika e elipsës (shih Fig. 1.2), pastaj | M.F. ] |+ | M.F. 2 | = 2 a , dhe meqenëse shuma e dy anëve M.F. 1 Dhe M.F. 2 trekëndëshi M.F. 1 F 2 më shumë palë e tretë F 1 F 2 = 2c, pastaj 2a > 2c. Është e natyrshme të përjashtohet rasti 2a = 2c, që atëherë pika M të vendosura në segment F 1 F 2 dhe elipsa degjeneron në një segment. ).

Le M- pika e rrafshit me koordinata (x, y)(Fig. 1.2). Le të shënojmë me r 1 dhe r 2 distancat nga pika M tek pikat F 1 Dhe F 2 përkatësisht. Sipas përkufizimit të një elipsi barazisë

r 1 + r 2 = 2a (1.1)

është kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për vendndodhjen e pikës M (x, y) në një elipsë të caktuar.

Duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave, marrim

(1.2)

Nga (1.1) dhe (1.2) rrjedh se raport

(1.3)

është e nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme vendndodhjen e pikës M me koordinatat x dhe y në një elips të dhënë. Prandaj, relacioni (1.3) mund të konsiderohet si ekuacioni i elipsit. Duke përdorur metodën standarde të "shkatërrimit të radikalëve" ky ekuacion reduktohet në formë

(1.4) (1.5)

Meqenëse ekuacioni (1.4) është pasojë algjebrike ekuacioni i elipsit (1.3), pastaj koordinatat x dhe yçdo pikë M elipsi do të plotësojë gjithashtu ekuacionin (1.4). Meqenëse gjatë transformimeve algjebrike që lidhen me heqjen e radikalëve, mund të shfaqen "rrënjë shtesë", duhet të sigurohemi që çdo pikë M, koordinatat e të cilit plotësojnë ekuacionin (1.4), ndodhet në këtë elips. Për ta bërë këtë, padyshim, mjafton të vërtetohet se vlerat e r 1 dhe r 2 për çdo pikë plotësoni relacionin (1.1). Pra, le koordinatat X Dhe në pikë M plotësojnë ekuacionin (1.4). Zëvendësimi i vlerës në 2 nga (1.4) në anën e djathtë të shprehjes (1.2) për r 1 pas transformimeve të thjeshta gjejmë se

, Pastaj.

Pikërisht në të njëjtën mënyrë ne e gjejmë atë

. Kështu, për pikën në fjalë M , (1.6)

d.m.th. r 1 + r 2 = 2a, prandaj pika M ndodhet në një elips. Quhet ekuacioni (1.4). ekuacioni kanonik i një elipsi. Sasitë A Dhe b thirren në përputhje me rrethanat gjysmëboshtet kryesore dhe të vogla të elipsës(Emrat "i madh" dhe "i vogël" shpjegohen me faktin se a>b).

Komentoni. Nëse gjysmëboshtet e elipsës A Dhe b janë të barabarta, atëherë elipsa është një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me R = a = b, dhe qendra përkon me origjinën.

Hiperbola është bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat vlere absolute dallimi në distanca në dy pika fikse, F 1 Dhe F 2 i këtij plani, i quajtur vatra, ka një vlerë konstante ( Truket F 1 Dhe F 2 është e natyrshme të konsiderohen hiperbolat të ndryshme, sepse nëse konstanta e treguar në përkufizimin e një hiperbole nuk është e barabartë me zero, atëherë nuk ka asnjë pikë të vetme të planit nëse ato përkojnë. F 1 Dhe F 2 , e cila do të plotësonte kërkesat për përcaktimin e një hiperbole. Nëse kjo konstante është zero dhe F 1 përkon me F 2 , atëherë çdo pikë në rrafsh plotëson kërkesat për përcaktimin e hiperbolës. ).

Për të nxjerrë ekuacionin kanonik të një hiperbole, ne zgjedhim origjinën e koordinatave në mes të segmentit F 1 F 2 , dhe sëpatat Oh Dhe OU Le ta drejtojmë siç tregohet në Fig. 1.2. Lëreni gjatësinë e segmentit F 1 F 2 e barabartë me 2s. Pastaj në sistemin e zgjedhur të koordinatave pikat F 1 Dhe F 2 përkatësisht të kenë koordinatat (-с, 0) dhe (с, 0) Le të shënojmë me 2 A konstanta e përmendur në përkufizimin e një hiperbole. Natyrisht 2a< 2с, т. е. a < с. Duhet të sigurohemi që ekuacioni (1.9), i marrë nga transformimet algjebrike ekuacioni (1.8), nuk mori rrënjë të reja. Për ta bërë këtë, mjafton të vërtetohet se për çdo pikë M, koordinatat X Dhe në të cilat plotësojnë ekuacionin (1.9), vlerat e r 1 dhe r 2 kënaqin relacionin (1.7). Duke kryer argumente të ngjashme me ato që janë bërë gjatë nxjerrjes së formulave (1.6), gjejmë shprehjet e mëposhtme për sasitë me interes për ne r 1 dhe r 2:

(1.11)

Kështu, për pikën në fjalë M ne kemi

, dhe për këtë arsye ndodhet në një hiperbolë.

Quhet ekuacioni (1.9). ekuacioni kanonik i një hiperbole. Sasitë A Dhe b quhen përkatësisht reale dhe imagjinare gjysmëboshtet e hiperbolës.

Parabola është bashkësia e pikave në rrafsh për të cilat është distanca deri në një pikë fikse F ky plan është i barabartë me distancën nga një vijë e drejtë fikse, e vendosur gjithashtu në rrafshin në shqyrtim.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve