Teoria popullore e probabilitetit për dummies. Teoria e probabilitetit

Seksioni 12. Teoria e probabilitetit.

1. Hyrje

2. Konceptet më të thjeshta të teorisë së probabilitetit

3. Algjebra e ngjarjeve

4. Probabiliteti i një ngjarjeje të rastësishme

5. Probabilitete gjeometrike

6. Probabilitetet klasike. Formulat e kombinatorikës.

7. Probabiliteti i kushtëzuar. Pavarësia e ngjarjeve.

8. Formula probabilitet të plotë dhe formulat e Bayes

9. Skema e testimit të përsëritur. Formula e Bernulit dhe asimptotika e saj

10. Variablat e rastësishëm (RV)

11. Seritë e shpërndarjes DSV

12. Funksioni i shpërndarjes kumulative

13. Funksioni i shpërndarjes NSV

14. Dendësia e probabilitetit të NSV

15. Karakteristikat numerike variablat e rastësishëm

16. Shembuj shpërndarje të rëndësishme NE

16.1. Shpërndarja binomiale DSV.

16.2. Shpërndarja Poisson

16.3. Shpërndarja uniforme e NSV.

16.4. Shpërndarja normale.

17. Teorema kufitare teoria e probabilitetit.

Prezantimi

Teoria e probabilitetit, si shumë disiplina të tjera matematikore, u zhvillua nga nevojat e praktikës. Në të njëjtën kohë, gjatë studimit të një procesi real, ishte e nevojshme të krijohej një model matematik abstrakt i procesit real. Zakonisht kryesore, më domethënëse forcat lëvizëse proces real, duke hequr nga konsiderata ato dytësore, të cilat quhen të rastësishme. Sigurisht, ajo që konsiderohet kryesore dhe ajo që është dytësore është një detyrë më vete. Zgjidhja e kësaj pyetjeje përcakton nivelin e abstraksionit, thjeshtësisë ose kompleksitetit modeli matematik dhe niveli i përshtatshmërisë së modelit proces real. Në thelb, çdo model abstrakt është rezultat i dy aspiratave të kundërta: thjeshtësisë dhe përshtatshmërisë ndaj realitetit.

Për shembull, në teorinë e qitjes, formula mjaft të thjeshta dhe të përshtatshme janë zhvilluar për përcaktimin e rrugës së fluturimit të një predhe nga një armë e vendosur në një pikë (Fig. 1).

Në kushte të caktuara, teoria e përmendur është e mjaftueshme, për shembull, gjatë përgatitjes masive të artilerisë.

Megjithatë, është e qartë se nëse nga një armë në të njëjtat kushte gjuaj disa të shtëna, trajektoret do të jenë të afërta, por ende të ndryshme. Dhe nëse madhësia e synuar është e vogël në krahasim me zonën e shpërndarjes, atëherë lindin pyetje specifike që lidhen veçanërisht me ndikimin e faktorëve që nuk merren parasysh në modelin e propozuar. Në të njëjtën kohë, marrja parasysh e faktorëve shtesë do të çojë në një model tepër kompleks që është pothuajse i pamundur për t'u përdorur. Përveç kësaj, ka shumë nga këta faktorë të rastësishëm, natyra e tyre më së shpeshti është e panjohur.

Në shembullin e mësipërm, pyetje të tilla specifike që shkojnë përtej model përcaktues, janë, për shembull, sa vijon: sa të shtëna duhet të bëhen për të besim të caktuar(për shembull, në) garantojnë humbjen e objektivit? si të kryeni gjuajtje në mënyrë që të shpenzoni për të goditur objektivin sasia më e vogël predha? e kështu me radhë.

Siç do ta shohim më vonë, fjalët "të rastësishme" dhe "probabilitet" do të bëhen të rrepta terma matematikore. Megjithatë, ato janë shumë të zakonshme në jetën e përditshme të folurit bisedor. Besohet se mbiemri "i rastësishëm" është e kundërta e "natyrshme". Megjithatë, kjo nuk është kështu, sepse natyra është projektuar në atë mënyrë që proceset e rastësishme të zbulojnë modele, por në kushte të caktuara.

Kushti kryesor quhet karakter masiv.

Për shembull, nëse hidhni një monedhë, nuk mund të parashikoni se çfarë do të dalë, një stemë apo një numër, mund të merrni vetëm me mend. Sidoqoftë, nëse e ktheni këtë monedhë numër i madh herë që përqindja e braktisjes së stemës nuk do të ndryshojë shumë nga një numër i caktuar afër 0.5 (në vijim do ta quajmë këtë numër probabilitet). Për më tepër, me një rritje të numrit të hedhjeve, devijimi nga ky numër do të ulet. Kjo pronë quhet qëndrueshmëri treguesit mesatarë (në në këtë rast- aksionet e stemave). Duhet thënë se në hapat e parë të teorisë së probabilitetit, kur u desh të verifikohej në praktikë prania e vetive të qëndrueshmërisë, edhe shkencëtarët e mëdhenj nuk e patën të vështirë të kryenin verifikimin e tyre. Kështu, eksperimenti i famshëm i Bufonit, i cili hodhi një monedhë 4040 herë dhe stema doli 2048 herë, pra, fraksioni (ose frekuencë relative) e stemës është 0,508, që është intuitivisht afër numrit të pritur prej 0,5.

Prandaj, zakonisht jepet përkufizimi lënda e teorisë së probabilitetit si degë e matematikës që studion ligjet e masës procese të rastësishme.

Duhet thënë se, pavarësisht se arritjet më të mëdha të teorisë së probabilitetit datojnë në fillim të shekullit të kaluar, veçanërisht falë ndërtim aksiomatik teoritë në veprat e A.N. Kolmogorov (1903-1987), interesi për studimin e aksidenteve u shfaq shumë kohë më parë.

Interesat fillestare përqendroheshin në përpjekjen për të aplikuar një qasje numerike për lojërat e fatit. Rezultatet e para mjaft interesante të teorisë së probabilitetit zakonisht lidhen me veprat e L. Pacioli (1494), D. Cardano (1526) dhe N. Tartaglia (1556).

Më vonë B. Pascal (1623-1662), P. Fermat (1601-1665), H. Huygens (1629-1695) hodhën themelet teoria klasike probabilitetet. Në fillim të shekullit të 18-të, J. Bernoulli (1654-1705) formoi konceptin e probabilitetit të një ngjarjeje të rastësishme si raport i numrit të shanseve të favorshme me numrin e të gjitha të mundshmeve. E. Borel (1871-1956), A. Lomnitsky (1881-1941), R. Mises (1883-1953) ndërtuan teoritë e tyre mbi përdorimin e konceptit të masës së një grupi.

Pikëpamja teorike e grupeve u prezantua në formën e saj më të plotë në 1933. A.N. Kolmogorov në monografinë e tij "Konceptet themelore të teorisë së probabilitetit". Është që nga ky moment që teoria e probabilitetit bëhet një shkencë e rreptë matematikore.

Kontribut i madh Matematikanët rusë P.L. kontribuan në zhvillimin e teorisë së probabilitetit. Chebyshev (1821-1894), A.A. Markov (1856-1922), S.N. Bernstein (1880-1968) dhe të tjerë.

Teoria e probabilitetit po zhvillohet me shpejtësi në kohën e tanishme.

Konceptet më të thjeshta të teorisë së probabilitetit

Si çdo disiplinë matematikore, teoria e probabilitetit fillon me prezantimin e koncepteve më të thjeshta që nuk përcaktohen, por vetëm shpjegohen.

Një nga konceptet kryesore kryesore është përvojë. Përvoja kuptohet si një grup i caktuar kushtesh që mund të riprodhohen një numër të pakufizuar herë. Çdo zbatim të këtij kompleksi do ta quajmë përvojë ose test. Rezultatet e eksperimentit mund të jenë të ndryshme, dhe këtu shfaqet elementi i rastësisë. Rezultatet ose rezultatet e ndryshme të një përvoje quhen ngjarjet(më saktë, ngjarje të rastësishme). Kështu, gjatë zbatimit të eksperimentit, mund të ndodhë një ose një ngjarje tjetër. Me fjalë të tjera, një ngjarje e rastësishme është një rezultat i një eksperimenti që mund të ndodhë (shfaqet) ose të mos ndodhë gjatë zbatimit të eksperimentit.

Përvoja do të shënohet me shkronjën , dhe ngjarjet e rastësishme zakonisht shënohen me shkronja të mëdha

Shpesh në një eksperiment është e mundur të identifikohen paraprakisht rezultatet e tij, të cilat mund të quhen më të thjeshtat, të cilat nuk mund të zbërthehen në më të thjeshta. Ngjarje të tilla quhen ngjarje elementare(ose rastet).

Shembulli 1. Lëreni monedhën të hedhë. Rezultatet e eksperimentit janë: humbja e stemës (këtë ngjarje e shënojmë me shkronjë); humbja e numrave (e shënuar me ). Më pas mund të shkruajmë: përvoja = (hedhja e monedhës), rezultatet: Është e qartë se ngjarjet elementare në këtë eksperiment. Me fjalë të tjera, renditja e të gjitha ngjarjeve elementare të përvojës e përshkruan plotësisht atë. Lidhur me këtë do të themi se përvoja është hapësira e ngjarjeve elementare dhe në rastin tonë përvoja mund të shkruhet shkurt në formën: = (hedhja e monedhës) = (G; C).

Shembulli 2. =(monedha hidhet dy herë)= Këtu është një përshkrim verbal i përvojës dhe një renditje e të gjitha ngjarjeve elementare: kjo do të thotë se së pari, në hedhjen e parë të një monedhe, ra një stemë, në të dytën, ra edhe stema; do të thotë që në hedhjen e parë të monedhës doli stema, në të dytën numri etj.

Shembulli 3. Në sistemin e koordinatave, pikat hidhen në një katror. Në këtë shembull, ngjarjet elementare janë pika me koordinata që plotësojnë pabarazitë e dhëna. Shkurtimisht kjo është shkruar në mënyrën e mëposhtme:

Një dy pika në kllapa kaçurrelë do të thotë se përbëhet nga pika, por jo ndonjë, por vetëm ato që plotësojnë kushtin (ose kushtet) të specifikuara pas dy pikave (në shembullin tonë, këto janë pabarazi).

Shembulli 4. Monedha hidhet derisa të shfaqet stema e parë. Me fjalë të tjera, hedhja e monedhës vazhdon derisa koka të ulet. Në këtë shembull, ngjarjet elementare mund të renditen, megjithëse ato numër i pafund:

Vini re se në shembujt 3 dhe 4, hapësira e ngjarjeve elementare ka një numër të pafund rezultatesh. Në shembullin 4 ato mund të renditen, d.m.th. rillogarit. Një grup i tillë quhet i numërueshëm. Në shembullin 3 hapësira është e panumërueshme.

Le të prezantojmë dy ngjarje të tjera që janë të pranishme në çdo përvojë dhe që kanë një rëndësi të madhe teorike.

Le ta quajmë ngjarjen e pamundur, përveç nëse, si rezultat i përvojës, domosdoshmërisht nuk ndodh. Do ta shënojmë me shenjë grup bosh. Përkundrazi, quhet një ngjarje që është e sigurt se do të ndodhë si rezultat i përvojës të besueshme. Një ngjarje e besueshme përcaktohet në të njëjtën mënyrë si vetë hapësira e ngjarjeve elementare - me shkronjë.

Për shembull, kur hedh një zare, ngjarja (më pak se 9 pikë të grumbulluara) është e besueshme, por ngjarja (saktësisht 9 pikë të grumbulluara) është e pamundur.

Pra, mund të jepet hapësira e ngjarjeve elementare përshkrim verbal, duke renditur të gjitha ngjarjet e tij elementare, duke specifikuar rregullat ose kushtet me të cilat fitohen të gjitha ngjarjet e tij elementare.

Algjebra e ngjarjeve

Deri tani kemi folur vetëm për ngjarje elementare si rezultate të drejtpërdrejta të përvojës. Megjithatë, në kuadër të përvojës, mund të flasim për ngjarje të tjera të rastësishme, përveç atyre elementare.

Shembulli 5. Gjatë hedhjes së zarit, përveç ngjarjeve elementare të rënies së një, dy,..., gjashtë, përkatësisht, mund të flasim për ngjarje të tjera: (rënia nga një numër çift), (rënia nga një numër tek) , (heqja e një numri që është shumëfish i treshit), (heqja e një numri më të vogël se 4 ) e kështu me radhë. NË në këtë shembull Këto ngjarje, përveç detyrës verbale, mund të specifikohen duke renditur ngjarjet elementare:

Formimi i ngjarjeve të reja nga elementare, si dhe nga ngjarje të tjera, kryhet duke përdorur operacione (ose veprime) mbi ngjarje.

Përkufizimi. Produkti i dy ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në faktin se si rezultat i një eksperimenti do të ndodhë Dhe ngjarje, Dhe ngjarje, pra të dyja ngjarjet do të ndodhin së bashku (njëkohësisht).

Shenja e produktit (pika) shpesh hiqet:

Përkufizimi. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që konsiston në faktin se si rezultat i një eksperimenti do të ndodhë ose ngjarje, ose ngjarje, ose të dyja bashkë (në të njëjtën kohë).

Në të dy përkufizimet ne theksuam qëllimisht lidhëzat Dhe Dhe ose- për të tërhequr vëmendjen e lexuesit në fjalimin tuaj kur zgjidhni probleme. Nëse shqiptojmë lidhëzën "dhe", atëherë po flasim për për ndodhjen e ngjarjeve; Nëse lidhja "ose" shqiptohet, atëherë ngjarjet duhet të shtohen. Në të njëjtën kohë, vërejmë se lidhja "ose" në fjalimi i përditshëm shpesh përdoret në kuptimin e përjashtimit të njërit nga dy: "vetëm ose vetëm". Në teorinë e probabilitetit, një përjashtim i tillë nuk supozohet: dhe , dhe , dhe do të thotë ndodhja e një ngjarjeje

Nëse jepet nga një listë e ngjarjeve elementare, atëherë ngjarje komplekse duke përdorur operacionet e mësipërme është e lehtë për t'u marrë. Për të marrë, ju duhet të gjeni të gjitha ngjarjet elementare që u përkasin të dyja ngjarjeve, nëse nuk ka asnjë, atëherë shuma e ngjarjeve është gjithashtu e lehtë për t'u kompozuar: duhet të merrni ndonjë nga dy ngjarjet dhe t'i shtoni asaj ato ngjarje elementare nga; ngjarjen tjetër që nuk përfshihen në të parën.

Në shembullin 5 marrim, në veçanti

Veprimet e prezantuara quhen binare, sepse të përcaktuara për dy ngjarje. Operacioni i mëposhtëm unar (i përcaktuar për një ngjarje të vetme) ka një rëndësi të madhe: ngjarja quhet e kundërt ngjarje nëse konsiston në faktin se në këtë përvojë ngjarja nuk ka ndodhur. Nga përkufizimi është e qartë se çdo ngjarje dhe e kundërta e saj kanë vetitë e mëposhtme: Operacioni i futur thirret shtesë ngjarjet A.

Nga kjo rrjedh se nëse jepet nga një listë e ngjarjeve elementare, atëherë, duke ditur specifikimin e ngjarjes, është e lehtë të përftohet ai përbëhet nga të gjitha ngjarjet elementare të hapësirës që nuk i përkasin në veçanti, për shembull 5 ngjarjes

Nëse nuk ka kllapa, atëherë në kryerjen e veprimeve vendoset përparësia e mëposhtme: mbledhje, shumëzim, mbledhje.

Pra, me ndihmën e operacioneve të prezantuara, hapësira e ngjarjeve elementare plotësohet me ngjarje të tjera të rastësishme që formojnë të ashtuquajturat. algjebra e ngjarjeve.

Shembulli 6. Qitësi qëlloi tre të shtëna në objektiv. Merrni parasysh ngjarjet = (qitësi goditi objektivin gjuajtja e i-të), i = 1,2,3.

Le të kompozojmë disa ngjarje nga këto ngjarje (të mos harrojmë edhe të kundërtat). Ne nuk japim komente të gjata; Besojmë se lexuesi do t'i drejtojë në mënyrë të pavarur.

Ngjarja B = (të tre të shtënat goditën objektivin). Më shumë detaje: B = ( Dhe së pari, Dhe e dyta, Dhe gjuajtja e tretë goditi objektivin). Bashkimi i përdorur Dhe, Prandaj, ngjarjet shumëzohen:

Po kështu:

C = (asnjë nga të shtënat nuk goditi objektivin)

E = (një e shtënë arriti në objektiv)

D = (goditja e objektivit në goditjen e dytë) = ;

F = (shënjestër e goditur nga dy të shtëna)

N = (të paktën një goditje do të godasë objektivin)

Siç dihet, në matematikë rëndësi të madhe ka një interpretim gjeometrik të objekteve, koncepteve dhe formulave analitike.

Në teorinë e probabilitetit është i përshtatshëm paraqitje vizuale(interpretimi gjeometrik) i përvojës, ngjarjeve të rastësishme dhe operacioneve mbi to në formën e të ashtuquajturave Diagramet Euler-Venn. Thelbi është se çdo përvojë identifikohet (interpretohet) me hedhjen e pikëve në një shesh të caktuar. Pikat hidhen në mënyrë të rastësishme, në mënyrë që të gjitha pikat të kenë një shans të barabartë për t'u ulur kudo në atë katror. Sheshi përcakton kornizën e përvojës në fjalë. Çdo ngjarje brenda përvojës identifikohet me një zonë të caktuar të sheshit. Me fjalë të tjera, ndodhja e një ngjarjeje do të thotë goditje pikë e rastësishme brenda zonës së treguar me shkronjën Më pas operacionet mbi ngjarjet interpretohen lehtësisht gjeometrikisht (Fig. 2)

A + B: çdo

çelja

Në figurën 2 a) për qartësi, ngjarja A theksohet me hijezim vertikal, ngjarja B me hije horizontale. Pastaj operacioni i shumëzimit korrespondon me një çelës të dyfishtë - ngjarja korrespondon me atë pjesë të katrorit që është e mbuluar me një çelës të dyfishtë. Për më tepër, nëse atëherë ato quhen ngjarje të papajtueshme. Prandaj, funksionimi i shtimit korrespondon me çdo çelje - ngjarja nënkupton një pjesë të sheshit të hijezuar nga çdo çelje - vertikale, horizontale dhe dyshe. Në Fig. 2 b) ngjarja është paraqitur me të pjesa e hijezuar e katrorit - gjithçka që nuk përfshihet në zonën Operacionet e futura kanë si më poshtë; vetitë kryesore, disa prej të cilave janë të vlefshme për veprimet me të njëjtin emër në numra, por ka edhe të veçanta.

10 . komutativiteti i shumëzimit;

20 . komutativiteti i shtimit;

tridhjetë . asociativiteti i shumëzimit;

4 0 . asociativiteti shtesë,

50 . shpërndarja e shumëzimit në lidhje me mbledhjen,

6 0 . shpërndarja e mbledhjes në raport me shumëzimin;

9 0 . Ligjet e dualitetit të de Morganit,

10 0 .

1 .A .A+ .A· =A, 1 .A+ . 1 .A· = , 1 .A+ =

Shembulli 7. Ivan dhe Pjetri ranë dakord të takoheshin në një interval kohor prej T orë, për shembull, (0,T). Në të njëjtën kohë, ata ranë dakord që secili prej tyre, me të ardhur në takim, të priste tjetrin jo më shumë se një orë.

Le t'i japim këtij shembulli një interpretim gjeometrik. Le të shënojmë: kohën e mbërritjes së Ivanit në takim; Ora e mbërritjes së Pjetrit për takimin. Siç është rënë dakord: 0 . Pastaj në sistemin e koordinatave marrim: = Është e lehtë të vërehet se në shembullin tonë hapësira e ngjarjeve elementare është katror. 1

0 x korrespondon me atë pjesë të katrorit që ndodhet mbi këtë drejtëz Në mënyrë të ngjashme, me pabarazinë e dytë y≤x+ dhe; dhe nuk funksionon nëse nuk funksionojnë të gjithë elementët, d.m.th. .Kështu, ligji i dytë i dualitetit të de Morganit: zbatohet kur elementët lidhen paralelisht.

Shembulli i mësipërm tregon pse teoria e probabilitetit përdoret gjerësisht në fizikë, në veçanti, në llogaritjen e besueshmërisë së pajisjeve teknike reale.

Doktrina e ligjeve që rregullojnë të ashtuquajturat. dukuritë e rastësishme. Fjalor fjalë të huaja, të përfshira në gjuhën ruse. Chudinov A.N., 1910 ... Fjalori i fjalëve të huaja të gjuhës ruse

teoria e probabilitetit- - [L.G. Sumenko. Fjalori anglisht-rusisht për teknologjinë e informacionit. M.: Ndërmarrja Shtetërore TsNIIS, 2003.] Temat Teknologjia e informacionit në përgjithësi EN teoria e probabilitetit teoria e llogaritjes së probabilitetit ... Udhëzues teknik i përkthyesit

Teoria e probabilitetit- është një pjesë e matematikës që studion marrëdhëniet midis probabiliteteve (shih Probabiliteti dhe Statistika) të ngjarjeve të ndryshme. Le të rendisim teoremat më të rëndësishme që lidhen me këtë shkencë. Probabiliteti i një prej disa ngjarje të papajtueshme baraz....... fjalor enciklopedik F. Brockhaus dhe I.A. Efron

TEORIA E PROBABILITETIT- matematikore një shkencë që lejon, nga probabilitetet e disa ngjarjeve të rastësishme (shih), të gjenden probabilitetet e ngjarjeve të rastësishme që lidhen me k.l. mënyrë me të parët. T.v moderne. bazuar në aksiomatikë (shih metodën aksiomatike) nga A. N. Kolmogorov. Në…… Enciklopedia Sociologjike Ruse

Teoria e probabilitetit- një degë e matematikës në të cilën, bazuar në probabilitetet e dhëna të disa ngjarjeve të rastësishme, gjenden probabilitetet e ngjarjeve të tjera të lidhura në një farë mënyre me të parën. Teoria e probabilitetit studion gjithashtu variablat e rastësishëm dhe proceset e rastësishme. Një nga kryesoret...... Konceptet shkenca moderne natyrore. Fjalor i termave bazë

teoria e probabilitetit- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teoria e probabilitetit vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teoria e probabilitetit, f pranc. théorie des probabilités, f … Fizikos Terminų žodynas

Teoria e probabilitetit- ... Wikipedia

Teoria e probabilitetit- një disiplinë matematikore që studion modelet e dukurive të rastësishme... Fillimet e shkencës moderne natyrore

TEORIA E PROBABILITETIT- (teoria e probabilitetit) shih Probabiliteti... Fjalor i madh shpjegues sociologjik

Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj- ("Teoria e probabilitetit dhe aplikimet e saj",) Revista Shkencë Departamenti i Matematikës i Akademisë së Shkencave të BRSS. Publikon artikuj origjinalë dhe mesazhe të shkurtra sipas teorisë së probabilitetit, çështje të përgjithshme statistika matematikore dhe aplikimet e tyre në shkencat natyrore dhe... I madh Enciklopedia Sovjetike

librat

Teoria e probabilitetit. , Ventzel E.S.. Libri është një libër shkollor i destinuar për njerëz të njohur me matematikën në fushën e një kursi të rregullt kolegji dhe të interesuar në aplikimet teknike të teorisë së probabilitetit, në... Blej për 1993 UAH (vetëm në Ukrainë)
Teoria e probabilitetit. , Ventzel E.S.. Ky libër do të prodhohet në përputhje me porosinë tuaj duke përdorur teknologjinë Print-on-Demand. Libri është një libër shkollor i destinuar për njerëz të njohur me matematikën në një fushë të zakonshme...

Ngjarjet që ndodhin në realitet ose në imagjinatën tonë mund të ndahen në 3 grupe. Këto janë ngjarje të caktuara që do të ndodhin patjetër, ngjarje të pamundura dhe ngjarje të rastësishme. Teoria e probabilitetit studion ngjarje të rastësishme, d.m.th. ngjarje që mund të ndodhin ose jo. Ky artikull do të prezantohet në shkurtimisht teoria e probabilitetit, formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemave në teorinë e probabilitetit, që do të jenë në detyrën 4 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (niveli i profilit).

Pse na duhet teoria e probabilitetit?

Historikisht, nevoja për të studiuar këto probleme lindi në shekullin e 17-të në lidhje me zhvillimin dhe profesionalizimin e lojërave të fatit dhe shfaqjen e kazinove. Ishte fenomen real, e cila kërkonte studimin dhe kërkimin e vet.

Duke luajtur letra, zare dhe ruletë krijuan situata ku ndonjë nga numër i kufizuar ngjarje po aq të mundshme. Kishte nevojë për të dhënë vlerësime numerike mundësia e ndodhjes së një ngjarje të caktuar.

Në shekullin e 20-të, doli që kjo shkencë në dukje joserioze luan rol i rendesishem në njohjen e proceseve themelore që ndodhin në mikrokozmos. Ishte krijuar teori moderne probabilitetet.

Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit

Objekti i studimit të teorisë së probabilitetit janë ngjarjet dhe probabilitetet e tyre. Nëse një ngjarje është komplekse, atëherë ajo mund të ndahet në komponentë të thjeshtë, probabilitetet e të cilave janë të lehta për t'u gjetur.

Shuma e ngjarjeve A dhe B quhet ngjarja C, e cila konsiston në faktin se ose ngjarja A, ose ngjarja B, ose ngjarjet A dhe B kanë ndodhur njëkohësisht.

Produkti i ngjarjeve A dhe B është një ngjarje C, që do të thotë se ngjarja A dhe ngjarja B kanë ndodhur.

Ngjarjet A dhe B quhen të papajtueshme nëse nuk mund të ndodhin njëkohësisht.

Një ngjarje A quhet e pamundur nëse nuk mund të ndodhë. Një ngjarje e tillë tregohet nga simboli.

Një ngjarje A quhet e sigurt nëse është e sigurt se do të ndodhë. Një ngjarje e tillë tregohet nga simboli.

Le të shoqërohet çdo ngjarje A me një numër P(A). Ky numër P(A) quhet probabiliteti i ngjarjes A nëse plotësohen kushtet e mëposhtme me këtë korrespondencë.

Një rast i veçantë i rëndësishëm është situata kur ka njësoj të mundshme rezultatet elementare, dhe arbitrare të këtyre rezultateve nga ngjarjet A. Në këtë rast, probabiliteti mund të futet duke përdorur formulën. Probabiliteti i paraqitur në këtë mënyrë quhet probabiliteti klasik. Mund të vërtetohet se në këtë rast plotësohen pronat 1-4.

Problemet në teorinë e probabilitetit që shfaqen në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë lidhen kryesisht me probabilitetin klasik. Detyra të tilla mund të jenë shumë të thjeshta. Veçanërisht të thjeshta janë problemet në teorinë e probabilitetit në opsionet demo. Lehtë për të llogaritur numrin rezultate të favorshme, numri i të gjitha rezultateve shkruhet pikërisht në kusht.

Përgjigjen e marrim duke përdorur formulën.

Një shembull i një problemi nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për përcaktimin e probabilitetit

Në tryezë ka 20 byrekë - 5 me lakër, 7 me mollë dhe 8 me oriz. Marina dëshiron të marrë byrekun. Sa është probabiliteti që ajo të marrë tortën me oriz?

Zgjidhje.

Janë 20 rezultate elementare po aq të mundshme, domethënë Marina mund të marrë ndonjë nga 20 byrekët. Por ne duhet të vlerësojmë probabilitetin që Marina të marrë byrekun e orizit, pra ku A është zgjedhja e byrekut me oriz. Kjo do të thotë që kemi vetëm 8 rezultate të favorshme (zgjedhja e byrekut të orizit), atëherë probabiliteti do të përcaktohet nga formula:

Ngjarje të pavarura, të kundërta dhe arbitrare

Megjithatë, në kavanoz i hapur Filluan të ndeshen detyra më komplekse. Prandaj, le të tërheqim vëmendjen e lexuesit në çështje të tjera të studiuara në teorinë e probabilitetit.

Ngjarjet A dhe B quhen të pavarura nëse probabiliteti i secilës nuk varet nga fakti nëse ndodh ngjarja tjetër.

Ngjarja B është ajo ngjarje A nuk ka ndodhur, d.m.th. ngjarja B është e kundërt me ngjarjen A. Probabiliteti i ngjarjes së kundërt është i barabartë me një minus probabilitetin e ngjarjes së drejtpërdrejtë, d.m.th. .

Teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit, formula

Për ngjarje arbitrare A dhe B, probabiliteti i shumës së këtyre ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre pa probabilitetin e ngjarjes së tyre të përbashkët, d.m.th. .

Për ngjarjet e pavarura A dhe B, probabiliteti i ndodhjes së këtyre ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre, d.m.th. në këtë rast .

2 pohimet e fundit quhen teorema të mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve.

Numërimi i numrit të rezultateve nuk është gjithmonë aq i thjeshtë. Në disa raste është e nevojshme të përdoren formulat e kombinatorikës. Në këtë rast, gjëja më e rëndësishme është të numëroni numrin e ngjarjeve që kënaqin kushte të caktuara. Ndonjëherë këto lloj llogaritjesh mund të bëhen detyra të pavarura.

Në sa mënyra mund të ulen 6 studentë në 6 vende bosh? Nxënësi i parë do të zërë një nga 6 vendet. Secila prej këtyre opsioneve korrespondon me 5 mënyra për të zënë një vend studenti i dytë. Kanë mbetur 4 vende të lira për nxënësin e tretë, 3 për të katërtin, 2 për të pestin dhe i gjashti do të zërë vendin e vetëm të mbetur. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të gjeni produktin, i cili shënohet me simbolin 6! dhe lexohet "gjashtë faktorial".

NË rast i përgjithshëm Përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula për numrin e permutacioneve të n elementeve.

Le të shqyrtojmë tani një rast tjetër me studentët tanë. Në sa mënyra mund të ulen 2 studentë në 6 vende bosh? Nxënësi i parë do të zërë një nga 6 vendet. Secila prej këtyre opsioneve korrespondon me 5 mënyra për të zënë një vend studenti i dytë. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të gjeni produktin.

Në përgjithësi, përgjigjen për këtë pyetje e jep formula për numrin e vendosjeve të n elementeve mbi k elemente

Në rastin tonë.

DHE rasti i fundit nga kjo seri. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 studentë nga 6? Studenti i parë mund të zgjidhet në 6 mënyra, i dyti - në 5 mënyra, i treti - në katër mënyra. Por midis këtyre opsioneve, të njëjtët tre studentë shfaqen 6 herë. Për të gjetur numrin e të gjitha opsioneve, duhet të llogarisni vlerën: . Në përgjithësi, përgjigja për këtë pyetje jepet nga formula për numrin e kombinimeve të elementeve sipas elementit:

Në rastin tonë.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve nga Provimi i Unifikuar i Shtetit në matematikë për të përcaktuar probabilitetin

Detyra 1. Nga koleksioni i redaktuar nga. Yashçenko.

Në pjatë ka 30 byrekë: 3 me mish, 18 me lakër dhe 9 me qershi. Sasha zgjedh një byrek rastësisht. Gjeni probabilitetin që ai të përfundojë me një qershi.

Përgjigje: 0.3.

Detyra 2. Nga koleksioni i redaktuar nga. Yashçenko.

Në çdo grup prej 1000 llambash, mesatarisht 20 janë me defekt. Gjeni probabilitetin që një llambë e marrë rastësisht nga një grup do të funksionojë.

Zgjidhja: Numri i llambave të punës është 1000-20=980. Atëherë probabiliteti që një llambë e marrë rastësisht nga një grup do të funksionojë:

Përgjigje: 0.98.

Probabiliteti që nxënësi U të zgjidhë saktë më shumë se 9 problema gjatë një testi matematike është 0,67. Probabiliteti që U të zgjidhë saktë më shumë se 8 problema është 0.73. Gjeni probabilitetin që U të zgjidhë saktë 9 problema.

Nëse imagjinojmë një vijë numerike dhe shënojmë pikat 8 dhe 9 në të, atëherë do të shohim se kushti “U. do të zgjidhë saktë 9 problema” përfshihet në kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme”, por nuk vlen për kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme.”

Megjithatë, kushti “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme” gjendet në kushtin “U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme.” Kështu, nëse caktojmë ngjarje: “U. do të zgjidhë saktësisht 9 probleme" - përmes A, "U. do të zgjidhë saktë më shumë se 8 probleme" - përmes B, "U. do të zgjidhë saktë më shumë se 9 probleme” përmes C. Kjo zgjidhje do të duket kështu:

Përgjigje: 0.06.

Në një provim gjeometrie, një student i përgjigjet një pyetjeje nga një listë pyetjet e provimit. Probabiliteti që kjo të jetë një pyetje trigonometrike është 0.2. Probabiliteti që kjo është një pyetje në këndet e jashtme është 0.15. Nuk ka pyetje që lidhen njëkohësisht me këto dy tema. Gjeni probabilitetin që një student të marrë një pyetje në një nga këto dy tema në provim.

Le të mendojmë se çfarë ngjarjesh kemi. Na janë dhënë dy ngjarje të papajtueshme. Kjo do të thotë, ose pyetja do të lidhet me temën "Trigonometria" ose me temën "Këndet e jashtme". Sipas teoremës së probabilitetit, probabiliteti i ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të secilës ngjarje, duhet të gjejmë shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, domethënë:

Përgjigje: 0.35.

Dhoma ndriçohet nga një fanar me tre llamba. Probabiliteti që një llambë të digjet brenda një viti është 0.29. Gjeni probabilitetin që të paktën një llambë të mos digjet gjatë vitit.

Le të shqyrtojmë ngjarjet e mundshme. Ne kemi tre llamba, secila prej të cilave mund ose jo të digjet pavarësisht nga çdo llambë tjetër. Këto janë ngjarje të pavarura.

Pastaj do të tregojmë opsionet për ngjarje të tilla. Le të përdorim shënimet e mëposhtme: - llamba është ndezur, - llamba është djegur. Dhe pikërisht pranë tij do të llogarisim probabilitetin e ngjarjes. Për shembull, probabiliteti i një ngjarjeje në të cilën ndodhin tre ngjarje të pavarura"llamba është djegur", "llamba është ndezur", "llamba është ndezur": , ku probabiliteti i ngjarjes "llamba është ndezur" llogaritet si probabiliteti i ngjarjes së kundërt me ngjarja “llamba nuk është ndezur”, përkatësisht: .

“Aksidentet nuk janë të rastësishme”... Duket sikur ka thënë një filozof, por në fakt, studimi i aksidenteve është fati. shkencë e madhe matematikë. Në matematikë, rastësia trajtohet nga teoria e probabilitetit. Formulat dhe shembujt e detyrave, si dhe përkufizimet kryesore të kësaj shkence do të paraqiten në artikull.

Çfarë është teoria e probabilitetit?

Teoria e probabilitetit është një nga disiplinat matematikore që studion ngjarjet e rastësishme.

Për ta bërë pak më të qartë, le të japim një shembull të vogël: nëse hedh një monedhë lart, ajo mund të bjerë në kokë ose bisht. Ndërsa monedha është në ajër, të dyja këto probabilitete janë të mundshme. Kjo është, probabiliteti pasojat e mundshme raporti është 1:1. Nëse dikush është tërhequr nga një kuvertë me 36 letra, atëherë probabiliteti do të tregohet si 1:36. Duket se nuk ka asgjë për të eksploruar dhe parashikuar këtu, veçanërisht me ndihmën formulat matematikore. Megjithatë, nëse përsërisni veprim specifik shumë herë, është e mundur të identifikohet një model i caktuar dhe, mbi bazën e tij, të parashikohet rezultati i ngjarjeve në kushte të tjera.

Për të përmbledhur të gjitha sa më sipër, teoria e probabilitetit në kuptimin klasik studion mundësinë e shfaqjes së një prej ngjarjeve të mundshme në një vlerë numerike.

Nga faqet e historisë

Teoria e probabilitetit, formulat dhe shembujt e detyrave të para u shfaqën në mesjetën e largët, kur u shfaqën për herë të parë përpjekjet për të parashikuar rezultatin e lojërave me letra.

Fillimisht, teoria e probabilitetit nuk kishte asnjë lidhje me matematikën. Ajo po qetësohej fakte empirike ose vetitë e një ngjarjeje që mund të riprodhohen në praktikë. Punimet e para në këtë fushë si disiplinë matematikore u shfaqën në shekullin e 17-të. Themeluesit ishin Blaise Pascal dhe Pierre Fermat. Kohe e gjate ata studionin kumar dhe panë modele të caktuara, për të cilat vendosën t'i tregojnë publikut.

E njëjta teknikë u shpik nga Christiaan Huygens, megjithëse ai nuk ishte i njohur me rezultatet e hulumtimit të Pascal dhe Fermat. Koncepti i "teorisë së probabilitetit", formula dhe shembuj, të cilët konsiderohen të parët në historinë e disiplinës, u prezantuan prej tij.

Jo pak rëndësi kanë edhe punimet e Jacob Bernoulli-t, teoremat e Laplace-it dhe Poisson-it. Ata e bënë teorinë e probabilitetit më shumë si një disiplinë matematikore. Teoria e probabilitetit, formulat dhe shembujt e detyrave themelore morën formën e tyre aktuale falë aksiomave të Kolmogorov. Si rezultat i të gjitha ndryshimeve, teoria e probabilitetit u bë një nga degët matematikore.

Konceptet bazë të teorisë së probabilitetit. Ngjarjet

Koncepti kryesor i kësaj disipline është "ngjarja". Ekzistojnë tre lloje të ngjarjeve:

E besueshme. Ato që do të ndodhin gjithsesi (monedha do të bjerë).
E pamundur. Ngjarje që nuk do të ndodhin në asnjë rrethanë (monedha do të mbetet e varur në ajër).
E rastësishme. Ato që do të ndodhin ose nuk do të ndodhin. Ato mund të ndikohen nga faktorë të ndryshëm që janë shumë të vështira për t'u parashikuar. Nëse flasim për një monedhë, atëherë faktorë të rastësishëm që mund të ndikojnë në rezultatin: karakteristikat fizike monedhat, forma e saj, pozicioni fillestar, forca e hedhjes etj.

Të gjitha ngjarjet në shembuj tregohen me shkronja të mëdha me shkronja latine, me përjashtim të P, e cila ka një rol të ndryshëm. Për shembull:

A = "studentët erdhën për të ligjëruar."
Ā = "nxënësit nuk erdhën në leksion."

NË detyra praktike Ngjarjet zakonisht regjistrohen me fjalë.

Nje nga karakteristikat më të rëndësishme ngjarjet - mundësia e tyre e barabartë. Kjo do të thotë, nëse hedh një monedhë, të gjitha opsionet për rënien fillestare janë të mundshme derisa të bjerë. Por ngjarjet gjithashtu nuk janë po aq të mundshme. Kjo ndodh kur dikush ndikon qëllimisht në një rezultat. Për shembull, "shënuar" letra loje ose zare, në të cilat qendra e zhvendosur gravitetit.

Ngjarjet mund të jenë gjithashtu të pajtueshme dhe të papajtueshme. Ngjarjet e përputhshme nuk e përjashtojnë ndodhjen e njëri-tjetrit. Për shembull:

A = "studenti erdhi në leksion."
B = "studenti erdhi në leksion."

Këto ngjarje janë të pavarura nga njëra-tjetra dhe ndodhja e njërës prej tyre nuk ndikon në ndodhjen e tjetrës. Ngjarjet e papajtueshme përkufizohen nga fakti se ndodhja e njërës përjashton ndodhjen e një tjetri. Nëse flasim për të njëjtën monedhë, atëherë humbja e "bishtave" e bën të pamundur shfaqjen e "kokave" në të njëjtin eksperiment.

Veprimet për ngjarjet

Ngjarjet mund të shumëzohen dhe shtohen në përputhje me rrethanat, lidhjet logjike "AND" dhe "OR" futen në disiplinë.

Shuma përcaktohet nga fakti se ngjarja A ose B, ose dy, mund të ndodhin njëkohësisht. Nëse ato janë të papajtueshme, opsioni i fundit është i pamundur ose A ose B.

Shumëzimi i ngjarjeve konsiston në shfaqjen e A dhe B në të njëjtën kohë.

Tani mund të japim disa shembuj për të kujtuar më mirë bazat, teorinë e probabilitetit dhe formulat. Shembuj të zgjidhjes së problemeve më poshtë.

Ushtrimi 1: Kompania merr pjesë në një konkurs për marrjen e kontratave për tre lloje pune. Ngjarjet e mundshme që mund të ndodhin:

A = "firma do të marrë kontratën e parë."
Dhe 1 = "firma nuk do të marrë kontratën e parë."
B = "firma do të marrë një kontratë të dytë."
B 1 = "firma nuk do të marrë një kontratë të dytë"
C = "firma do të marrë një kontratë të tretë."
C 1 = "firma nuk do të marrë një kontratë të tretë."

Duke përdorur veprime mbi ngjarjet, ne do të përpiqemi të shprehim situatat e mëposhtme:

K = "kompania do të marrë të gjitha kontratat."

NË formë matematikore ekuacioni do të ketë formën e mëposhtme: K = ABC.

M = "kompania nuk do të marrë një kontratë të vetme."

M = A 1 B 1 C 1.

Le ta komplikojmë detyrën: H = "kompania do të marrë një kontratë." Meqenëse nuk dihet se cilën kontratë do të marrë kompania (e para, e dyta apo e treta), është e nevojshme të regjistrohet e gjithë seria e ngjarjeve të mundshme:

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dhe 1 BC 1 është një seri ngjarjesh ku firma nuk merr kontratën e parë dhe të tretë, por merr të dytën. Ngjarjet e tjera të mundshme u regjistruan duke përdorur metodën e duhur. Simboli υ në disiplinë tregon lidhjen "OR". Nëse e përkthejmë shembullin e mësipërm në gjuha njerëzore, atëherë kompania do të marrë ose kontratën e tretë, ose të dytën, ose të parën. Në mënyrë të ngjashme Mund të shkruani kushte të tjera në disiplinën "Teoria e probabilitetit". Formulat dhe shembujt e zgjidhjes së problemeve të paraqitura më sipër do t'ju ndihmojnë ta bëni këtë vetë.

Në fakt, probabiliteti

Ndoshta, në këtë disiplinë matematikore, probabiliteti i një ngjarjeje është koncept qendror. Ekzistojnë 3 përkufizime të probabilitetit:

klasike;
statistikore;
gjeometrike.

Secila ka vendin e vet në studimin e probabilitetit. Teoria e probabilitetit, formulat dhe shembujt (klasa e 9-të) përdorin kryesisht përkufizimin klasik, i cili tingëllon kështu:

Probabiliteti i situatës A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve që favorizojnë shfaqjen e saj me numrin e të gjitha rezultateve të mundshme.

Formula duket si kjo: P(A)=m/n.

A është në fakt një ngjarje. Nëse shfaqet një rast i kundërt me A, ai mund të shkruhet si Ā ose A 1 .

m është numri i rasteve të mundshme të favorshme.

n - të gjitha ngjarjet që mund të ndodhin.

Për shembull, A = "vizatoni një kartë të kostumit të zemrës". Ka 36 letra në një kuvertë standarde, 9 prej tyre janë me zemra. Prandaj, formula për zgjidhjen e problemit do të duket si kjo:

P(A)=9/36=0,25.

Si rezultat, probabiliteti që një kartë e kostumit të zemrës të tërhiqet nga kuverta do të jetë 0.25.

Drejt matematikës së lartë

Tani është bërë pak e njohur se çfarë është teoria e probabilitetit, formula dhe shembuj të zgjidhjes së problemeve që hasen në kurrikula shkollore. Megjithatë, teoria e probabilitetit gjendet edhe në matematikën e lartë, e cila mësohet në universitete. Më shpesh ata veprojnë me gjeometrike dhe përkufizimet statistikore teoritë dhe formulat komplekse.

Teoria e probabilitetit është shumë interesante. Formulat dhe shembujt ( matematikë e lartë) është më mirë të filloni të studioni të vogla - me përkufizimin statistikor (ose frekuencën) të probabilitetit.

Qasja statistikore nuk bie ndesh me atë klasike, por e zgjeron pak atë. Nëse në rastin e parë ishte e nevojshme të përcaktohet se me çfarë probabiliteti do të ndodhë një ngjarje, atëherë në këtë metodë është e nevojshme të tregohet se sa shpesh do të ndodhë. Këtu prezantohet një koncept i ri i "frekuencës relative", i cili mund të shënohet me W n (A). Formula nuk ndryshon nga ajo klasike:

Nëse formula klasike llogaritur për parashikim, pastaj statistikor - sipas rezultateve të eksperimentit. Le të marrim një detyrë të vogël për shembull.

Departamenti i kontrollit teknologjik kontrollon produktet për cilësi. Ndër 100 produkte, 3 u konstatuan se ishin të cilësisë së dobët. Si të gjeni probabilitetin e frekuencës së një produkti cilësor?

A = "shfaqja e një produkti cilësor".

W n (A)=97/100=0,97

Kështu, frekuenca e një produkti cilësor është 0.97. Nga e morët 97? Nga 100 produkte që janë kontrolluar, 3 janë konstatuar të cilësisë së dobët. Ne zbresim 3 nga 100 dhe marrim 97, kjo është sasia e mallrave cilësore.

Pak për kombinatorikën

Një metodë tjetër e teorisë së probabilitetit quhet kombinatorika. Parimi i tij themelor është se nëse një zgjedhje e caktuar A mund të bëhet m menyra te ndryshme, dhe zgjedhja e B është në n mënyra të ndryshme, atëherë zgjedhja e A dhe B mund të bëhet me shumëzim.

Për shembull, ka 5 rrugë që të çojnë nga qyteti A në qytetin B. Ka 4 shtigje nga qyteti B në qytetin C. Në sa mënyra mund të shkoni nga qyteti A në qytetin C?

Është e thjeshtë: 5x4=20, domethënë në njëzet mënyra të ndryshme mund të shkosh nga pika A në pikën C.

Le ta komplikojmë detyrën. Sa mënyra ka për të shtruar kartat në diamant? Ka 36 letra në kuvertë - kjo është pika e fillimit. Për të zbuluar numrin e mënyrave, duhet të "zbrisni" një kartë në një kohë nga pika e fillimit dhe të shumëzoni.

Domethënë, 36x35x34x33x32...x2x1= rezultati nuk përshtatet në ekranin e kalkulatorit, kështu që thjesht mund të caktohet 36!. Shenjë "!" pranë numrit tregon se e gjithë seria e numrave është shumëzuar së bashku.

Në kombinatorikë ekzistojnë koncepte të tilla si ndërrimi, vendosja dhe kombinimi. Secila prej tyre ka formulën e vet.

Një grup i renditur i elementeve të një grupi quhet rregullim. Vendosjet mund të përsëriten, domethënë, një element mund të përdoret disa herë. Dhe pa përsëritje, kur elementet nuk përsëriten. n janë të gjithë elementë, m janë elementë që marrin pjesë në vendosje. Formula për vendosjen pa përsëritje do të duket si kjo:

A n m =n!/(n-m)!

Lidhjet e n elementeve që ndryshojnë vetëm në radhën e vendosjes quhen permutacione. Në matematikë duket si: P n = n!

Kombinimet e n elementeve të m janë ato komponime në të cilat është e rëndësishme se cilat elemente ishin dhe cilat ishin ato total. Formula do të duket si kjo:

A n m =n!/m!(n-m)!

formula e Bernulit

Në teorinë e probabilitetit, si dhe në çdo disiplinë, ka vepra të studiuesve të shquar në fushën e tyre që e sollën atë në nivel i ri. Një nga këto vepra është formula e Bernoulli, e cila ju lejon të përcaktoni probabilitetin që një ngjarje e caktuar të ndodhë në kushte të pavarura. Kjo sugjeron që shfaqja e A në një eksperiment nuk varet nga ndodhja ose mosndodhja e së njëjtës ngjarje në provat e mëparshme ose të mëvonshme.

Ekuacioni i Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Probabiliteti (p) i ndodhjes së ngjarjes (A) është konstant për çdo provë. Probabiliteti që situata të ndodhë saktësisht m herë në n numër eksperimentesh do të llogaritet me formulën e paraqitur më sipër. Prandaj, lind pyetja se si të zbulohet numri q.

Nëse ngjarja A ndodh p disa herë, në përputhje me rrethanat, ajo mund të mos ndodhë. Njësia është një numër që përdoret për të përcaktuar të gjitha rezultatet e një situate në një disiplinë. Prandaj, q është një numër që tregon mundësinë që një ngjarje të mos ndodhë.

Tani ju e dini formulën e Bernulit (teoria e probabilitetit). Më poshtë do të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së problemit (niveli i parë).

Detyra 2: Një vizitor i dyqanit do të bëjë një blerje me probabilitet 0.2. 6 vizitorë hynë në mënyrë të pavarur në dyqan. Sa janë gjasat që një vizitor të bëjë një blerje?

Zgjidhja: Meqenëse nuk dihet se sa vizitorë duhet të bëjnë një blerje, një apo të gjashtë, është e nevojshme të llogariten të gjitha probabilitetet e mundshme duke përdorur formulën Bernoulli.

A = "Vizitori do të bëjë një blerje."

Në këtë rast: p = 0.2 (siç tregohet në detyrë). Prandaj, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (pasi ka 6 klientë në dyqan). Numri m do të ndryshojë nga 0 (asnjë klient i vetëm nuk do të bëjë një blerje) në 6 (të gjithë vizitorët në dyqan do të blejnë diçka). Si rezultat, marrim zgjidhjen:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Asnjë nga blerësit nuk do të bëjë një blerje me probabilitet 0.2621.

Si përdoret ndryshe formula e Bernulit (teoria e probabilitetit)? Shembuj të zgjidhjes së problemeve (niveli i dytë) më poshtë.

Pas shembullit të mësipërm, lindin pyetje se ku shkuan C dhe r. Në lidhje me p, një numër në fuqinë 0 do të jetë i barabartë me një. Sa për C, ajo mund të gjendet me formulën:

C n m = n! /m!(n-m)!

Meqenëse në shembullin e parë m = 0, përkatësisht, C = 1, që në parim nuk ndikon në rezultat. Duke përdorur formulë e re, le të përpiqemi të zbulojmë se cila është probabiliteti që dy vizitorë të blejnë mallra.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria e probabilitetit nuk është aq e ndërlikuar. Formula e Bernoulli-t, shembujt e së cilës janë paraqitur më sipër, direkt në atë provë.

formula e Poisson-it

Ekuacioni i Poisson-it përdoret për të llogaritur situata të rastësishme me probabilitet të ulët.

Formula bazë:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Në këtë rast λ = n x p. Këtu është një formulë e thjeshtë Poisson (teoria e probabilitetit). Më poshtë do të shqyrtojmë shembuj të zgjidhjes së problemeve.

Detyra 3: Fabrika prodhoi 100,000 pjesë. Ndodhja e një pjese me defekt = 0.0001. Sa është probabiliteti që të ketë 5 pjesë të dëmtuara në një grumbull?

Siç mund ta shihni, martesa është një ngjarje e pamundur, dhe për këtë arsye formula Poisson (teoria e probabilitetit) përdoret për llogaritjen. Shembujt e zgjidhjes së problemeve të këtij lloji nuk ndryshojnë nga detyrat e tjera në disiplinë, ne i zëvendësojmë të dhënat e nevojshme në formulën e dhënë;

A = "një pjesë e zgjedhur rastësisht do të jetë me defekt."

p = 0,0001 (sipas kushteve të detyrës).

n = 100000 (numri i pjesëve).

m = 5 (pjesë me defekt). Ne i zëvendësojmë të dhënat në formulë dhe marrim:

R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0,0375.

Ashtu si formula e Bernulit (teoria e probabilitetit), shembujt e zgjidhjeve duke përdorur të cilat janë shkruar më sipër, ekuacioni Poisson ka një të panjohur e në fakt, mund të gjendet me formulën:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Sidoqoftë, ka tabela të veçanta që përmbajnë pothuajse të gjitha vlerat e e.

Teorema De Moivre-Laplace

Nëse në skemën Bernoulli numri i provave është mjaftueshëm i madh dhe probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A në të gjitha skemat është i njëjtë, atëherë probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A një numër të caktuar herë në një seri testesh mund të gjendet me Formula e Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Për të kujtuar më mirë formulën e Laplace (teoria e probabilitetit), shembujt e problemeve janë më poshtë për të ndihmuar.

Së pari, le të gjejmë X m, të zëvendësojmë të dhënat (të gjitha janë të renditura më lart) në formulë dhe të marrim 0.025. Duke përdorur tabelat, gjejmë numrin ϕ(0.025), vlera e të cilit është 0.3988. Tani mund të zëvendësoni të gjitha të dhënat në formulën:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Kështu, probabiliteti që fletushka do të funksionojë saktësisht 267 herë është 0.03.

Formula e Bayes

Formula e Bayes (teoria e probabilitetit), shembuj të zgjidhjes së problemeve me ndihmën e të cilave do të jepen më poshtë, është një ekuacion që përshkruan probabilitetin e një ngjarjeje bazuar në rrethanat që mund të shoqërohen me të. Formula bazë është si më poshtë:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dhe B janë ngjarje të përcaktuara.

P(A|B) është një probabilitet i kushtëzuar, domethënë, ngjarja A mund të ndodhë me kusht që ngjarja B të jetë e vërtetë.

P (B|A) - probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes B.

Kështu që, pjesa e fundit kurs i vogël "Teoria e probabilitetit" - formula e Bayes, shembuj të zgjidhjeve të problemeve me të cilat janë më poshtë.

Detyra 5: Telefonat e tre kompanive u sollën në magazinë. Në të njëjtën kohë, pjesa e telefonave që prodhohen në fabrikën e parë është 25%, në të dytin - 60%, në të tretën - 15%. Dihet gjithashtu se përqindja mesatare e produkteve me defekt në fabrikën e parë është 2%, në të dytën - 4%, dhe në të tretën - 1%. Ju duhet të gjeni probabilitetin që një telefon i zgjedhur rastësisht të jetë me defekt.

A = "telefon i zgjedhur rastësisht."

B 1 - telefoni që prodhoi fabrika e parë. Prandaj, do të shfaqen B 2 dhe B 3 hyrëse (për fabrikat e dyta dhe të treta).

Si rezultat marrim:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0.15 - kështu kemi gjetur probabilitetin e secilit opsion.

Tani ju duhet të gjeni probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjes së dëshiruar, domethënë probabilitetin e produkteve me defekt në kompani:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B 2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Tani le t'i zëvendësojmë të dhënat në formulën Bayes dhe marrim:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

Artikulli paraqet teorinë e probabilitetit, formulat dhe shembujt e zgjidhjes së problemeve, por kjo është vetëm maja e ajsbergut të një disipline të gjerë. Dhe pas gjithçkaje që është shkruar, do të jetë logjike të shtrohet pyetja nëse teoria e probabilitetit është e nevojshme në jetë. Tek njeriu i zakonshëmËshtë e vështirë të përgjigjesh, është më mirë të pyesësh dikë që e ka përdorur për të fituar xhekpotin më shumë se një herë.

Shumë, kur përballen me konceptin e "teorisë së probabilitetit", tremben, duke menduar se është diçka dërrmuese, shumë komplekse. Por në fakt gjithçka nuk është aq tragjike. Sot do të shikojmë konceptin bazë të teorisë së probabilitetit dhe do të mësojmë se si t'i zgjidhim problemet duke përdorur shembuj specifikë.

Shkenca

Çfarë studion një degë e tillë e matematikës si "teoria e probabilitetit"? Ajo shënon modele dhe sasi. Shkencëtarët u interesuan për herë të parë për këtë çështje në shekullin e tetëmbëdhjetë, kur ata studiuan lojërat e fatit. Koncepti themelor i teorisë së probabilitetit është një ngjarje. Është çdo fakt që vërtetohet nga përvoja ose vëzhgimi. Por çfarë është përvoja? Një tjetër koncept bazë i teorisë së probabilitetit. Do të thotë se ky grup rrethanash nuk u krijua rastësisht, por me qellim specifik. Sa i përket vëzhgimit, këtu vetë studiuesi nuk merr pjesë në eksperiment, por është thjesht dëshmitar i këtyre ngjarjeve, ai nuk ndikon në asnjë mënyrë në atë që po ndodh.

Ngjarjet

Mësuam se koncepti bazë i teorisë së probabilitetit është një ngjarje, por nuk e morëm parasysh klasifikimin. Të gjithë ata ndahen në kategoritë e mëposhtme:

E besueshme.
E pamundur.
E rastësishme.

Pavarësisht se çfarë lloj ngjarjesh janë, të vëzhguara ose të krijuara gjatë përvojës, të gjitha i nënshtrohen këtij klasifikimi. Ju ftojmë të njiheni me secilin lloj veç e veç.

Ngjarje e besueshme

Kjo është një rrethanë për të cilën janë marrë masat e nevojshme. Për të kuptuar më mirë thelbin, është më mirë të japim disa shembuj. Fizika, kimia, ekonomia dhe matematika e lartë i nënshtrohen këtij ligji. Teoria e probabilitetit përfshin këtë koncept i rëndësishëm si një ngjarje e besueshme. Ketu jane disa shembuj:

Ne punojmë dhe marrim kompensim në formën e pagave.
Ne i kaluam mirë provimet, e kaluam konkursin, për këtë marrim një shpërblim në formën e pranimit në institucion arsimor.
Ne kemi investuar para në bankë dhe nëse është e nevojshme, do t'i kthejmë.

Ngjarje të tilla janë të besueshme. Nëse kemi përfunduar gjithçka kushtet e nevojshme, atëherë patjetër do të marrim rezultatin e pritur.

Ngjarje të pamundura

Tani po shqyrtojmë elementet e teorisë së probabilitetit. Ne propozojmë të kalojmë në një shpjegim të llojit tjetër të ngjarjes, domethënë të pamundurës. Për të filluar, le të përcaktojmë më së shumti rregull i rëndësishëm- probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.

Nuk mund të shmanget nga ky formulim gjatë zgjidhjes së problemeve. Për sqarim, këtu janë shembuj të ngjarjeve të tilla:

Uji ngriu në një temperaturë prej plus dhjetë (kjo është e pamundur).
Mungesa e energjisë elektrike nuk ndikon në prodhimin në asnjë mënyrë (po aq e pamundur si në shembullin e mëparshëm).

Nuk ia vlen të jepen më shumë shembuj, pasi ato të përshkruara më sipër pasqyrojnë shumë qartë thelbin e kësaj kategorie. Një ngjarje e pamundur nuk do të ndodhë kurrë gjatë një eksperimenti në asnjë rrethanë.

Ngjarje të rastësishme

Studimi i elementeve të teorisë së probabilitetit, Vëmendje e veçantë ia vlen t'i kushtohet vëmendje kjo specie ngjarjet. Këta janë ata që studion këtë shkencë. Si rezultat i përvojës, diçka mund të ndodhë ose jo. Përveç kësaj, testi mund të kryhet sasi e pakufizuar një herë. Shembuj të gjallë mund të shërbejë:

Hedhja e një monedhe është një përvojë ose provë, ulja e kokave është një ngjarje.
Tërheqja e një topi nga një qese verbërisht është një provë marrja e një topi të kuq është një ngjarje, e kështu me radhë.

Mund të ketë një numër të pakufizuar shembujsh të tillë, por, në përgjithësi, thelbi duhet të jetë i qartë. Për të përmbledhur dhe sistemuar njohuritë e marra rreth ngjarjeve, jepet një tabelë. Teoria e probabilitetit studion vetëm llojin e fundit nga të gjitha të paraqitura.

Emri	përkufizimi
E besueshme	Ngjarjet që ndodhin me garanci 100% nëse plotësohen disa kushte.	Pranimi në një institucion arsimor pas dhënies së mirë të provimit pranues.
E pamundur	Ngjarje që nuk do të ndodhin kurrë në asnjë rrethanë.	Bie borë në temperaturën e ajrit plus tridhjetë gradë Celsius.
E rastësishme	Një ngjarje që mund ose nuk mund të ndodhë gjatë një eksperimenti/testi.	Një goditje ose humbje kur hedh një top basketbolli në një rreth.

Ligjet

Teoria e probabilitetit është një shkencë që studion mundësinë e ndodhjes së një ngjarjeje. Ashtu si të tjerët, ai ka disa rregulla. Ekzistojnë ligjet e mëposhtme të teorisë së probabilitetit:

Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit.
Ligji i numrave të mëdhenj.

Kur llogaritni mundësinë e diçkaje komplekse, mund të përdorni një kompleks ngjarjesh të thjeshta për të arritur një rezultat më të lehtë dhe më të lehtë. mënyrë të shpejtë. Vini re se ligjet mund të vërtetohen lehtësisht duke përdorur teorema të caktuara. Ju sugjerojmë që fillimisht të njiheni me ligjin e parë.

Konvergjenca e sekuencave të ndryshoreve të rastit

Vini re se ka disa lloje të konvergjencës:

Sekuenca e variablave të rastësishëm konvergjon në probabilitet.
Pothuajse e pamundur.
Konvergjenca mesatare katrore.
Konvergjenca e shpërndarjes.

Pra, menjëherë, është shumë e vështirë të kuptosh thelbin. Këtu janë përkufizimet që do t'ju ndihmojnë të kuptoni këtë temë. Le të fillojmë me pamjen e parë. Sekuenca quhet konvergjente në probabilitet, nëse plotësohet kushti tjetër: n tenton në pafundësi, numri drejt të cilit priret sekuenca, Mbi zero dhe është afër unitetit.

Le të kalojmë në pamje tjetër,pothuajse me siguri. Sekuenca thuhet se konvergon pothuajse me siguri në një ndryshore të rastësishme ku n priret drejt pafundësisë dhe P që priret në një vlerë afër unitetit.

Lloji tjetër është konvergjenca mesatare katrore. Kur përdorni konvergjencën SC, studimi i proceseve të rastësishme vektoriale reduktohet në studimin e proceseve të tyre të rastësishme koordinative.

Mbetet lloji i fundit, le ta shohim shkurtimisht që të kalojmë drejtpërdrejt në zgjidhjen e problemeve. Konvergjenca në shpërndarje ka një emër tjetër - "i dobët" do të shpjegojmë më tej pse. Konvergjenca e dobëtështë konvergjenca e funksioneve të shpërndarjes në të gjitha pikat e vazhdimësisë së funksionit të shpërndarjes kufizuese.

Ne patjetër do ta mbajmë premtimin tonë: konvergjenca e dobët ndryshon nga të gjitha sa më sipër në këtë vlerë e rastësishme nuk është përcaktuar për hapësirë probabiliteti. Kjo është e mundur sepse gjendja formohet ekskluzivisht duke përdorur funksionet e shpërndarjes.

Ligji i numrave të mëdhenj

Teoremat e teorisë së probabilitetit, të tilla si:

Pabarazia e Chebyshev.
Teorema e Chebyshev.
Teorema e përgjithësuar e Chebyshev.
Teorema e Markovit.

Nëse marrim parasysh të gjitha këto teorema, atëherë kjo pyetje mund të zgjasë për disa dhjetëra fletë. Detyra jonë kryesore është të zbatojmë teorinë e probabilitetit në praktikë. Ne ju sugjerojmë ta bëni këtë menjëherë. Por para kësaj, le të shohim aksiomat e teorisë së probabilitetit, ata do të jenë asistentët kryesorë në zgjidhjen e problemeve.

Aksiomat

Të parën e takuam tashmë kur folëm për një ngjarje të pamundur. Le të kujtojmë: probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero. Ne dhamë një shembull shumë të gjallë dhe të paharrueshëm: bora ra në një temperaturë ajri prej tridhjetë gradë Celsius.

E dyta është si vijon: një ngjarje e besueshme ndodh me një probabilitet e barabartë me një. Tani do të tregojmë se si ta shkruajmë këtë duke përdorur gjuhën matematikore: P(B)=1.

Së treti: Një ngjarje e rastësishme mund ose nuk mund të ndodhë, por mundësia shkon gjithmonë nga zero në një. Sa më afër të jetë vlera me një, aq më të mëdha janë shanset; nëse vlera i afrohet zeros, probabiliteti është shumë i ulët. Le ta shkruajmë këtë gjuha matematikore: 0<Р(С)<1.

Le të shqyrtojmë aksiomën e fundit, të katërt, e cila tingëllon kështu: probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre. E shkruajmë në gjuhën matematikore: P(A+B)=P(A)+P(B).

Aksiomat e teorisë së probabilitetit janë rregullat më të thjeshta që nuk janë të vështira për t'u mbajtur mend. Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme bazuar në njohuritë që kemi marrë tashmë.

Biletë lotarie

Së pari, le të shohim shembullin më të thjeshtë - një llotari. Imagjinoni që keni blerë një biletë lotarie për fat të mirë. Sa është probabiliteti që të fitoni të paktën njëzet rubla? Në total, një mijë bileta janë përfshirë në qarkullim, njëra prej të cilave ka një çmim prej pesëqind rubla, dhjetë prej tyre kanë njëqind rubla, pesëdhjetë kanë një çmim prej njëzet rubla dhe njëqind kanë një çmim prej pesë. Problemet e probabilitetit bazohen në gjetjen e mundësisë së fatit. Tani së bashku do të analizojmë zgjidhjen e detyrës së mësipërme.

Nëse përdorim shkronjën A për të treguar një fitore prej pesëqind rubla, atëherë probabiliteti për të marrë A do të jetë i barabartë me 0,001. Si e kemi marrë këtë? Thjesht duhet të ndani numrin e biletave "me fat" me numrin e tyre total (në këtë rast: 1/1000).

B është një fitore prej njëqind rubla, probabiliteti do të jetë 0.01. Tani kemi vepruar në të njëjtin parim si në veprimin e mëparshëm (10/1000)

C - fitimet janë njëzet rubla. Ne gjejmë probabilitetin, është i barabartë me 0.05.

Ne nuk jemi të interesuar për biletat e mbetura, pasi fondi i tyre i çmimeve është më i vogël se ai i përcaktuar në kusht. Le të zbatojmë aksiomën e katërt: Probabiliteti për të fituar të paktën njëzet rubla është P(A)+P(B)+P(C). Shkronja P tregon probabilitetin e ndodhjes së një ngjarjeje të caktuar, ne i kemi gjetur tashmë ato në veprimet e mëparshme. Mbetet vetëm të mbledhim të dhënat e nevojshme dhe përgjigja që marrim është 0.061. Ky numër do të jetë përgjigja për pyetjen e detyrës.

Kuvertë kartash

Problemet në teorinë e probabilitetit mund të jenë më komplekse, për shembull, le të marrim detyrën e mëposhtme. Para jush është një kuvertë me tridhjetë e gjashtë letra. Detyra juaj është të vizatoni dy letra me radhë pa e përzier pirgun, letrat e para dhe të dyta duhet të jenë ace, kostumi nuk ka rëndësi.

Së pari, le të gjejmë probabilitetin që letra e parë të jetë një ACE, për këtë ne ndajmë katër me tridhjetë e gjashtë. E lanë mënjanë. Ne nxjerrim kartën e dytë, do të jetë një ACE me një probabilitet prej tre tridhjetë e pesta. Probabiliteti i ngjarjes së dytë varet nga ajo kartë që kemi tërhequr së pari, pyesim veten nëse ishte një as apo jo. Nga kjo rezulton se ngjarja B varet nga ngjarja A.

Hapi tjetër është gjetja e probabilitetit të ndodhjes së njëkohshme, domethënë shumëzojmë A dhe B. Produkti i tyre gjendet si më poshtë: shumëzojmë probabilitetin e një ngjarjeje me probabilitetin e kushtëzuar të një tjetre, të cilën e llogarisim, duke supozuar se e para ndodhi ngjarja, domethënë tërhoqëm një as me kartonin e parë.

Për të bërë gjithçka të qartë, le t'i japim një përcaktim një elementi të tillë si ngjarjet. Ajo llogaritet duke supozuar se ngjarja A ka ndodhur. Ai llogaritet si më poshtë: P(B/A).

Le të vazhdojmë të zgjidhim problemin tonë: P(A * B) = P(A) * P(B/A) ose P(A * B) = P(B) * P(A/B). Probabiliteti është i barabartë me (4/36) * ((3/35)/(4/36). Ne llogarisim duke rrumbullakosur në të qindtën më të afërt. Kemi: 0,11 * (0,09/0,11) = 0,11 * 0, 82 = 0.09 Probabiliteti që do të vizatojmë dy ace me radhë është nëntëqindta. Vlera është shumë e vogël, që do të thotë se probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes është jashtëzakonisht i vogël.

Numri i harruar

Ne propozojmë të analizojmë disa variante të tjera të detyrave që studiohen nga teoria e probabilitetit. Ju keni parë tashmë shembuj të zgjidhjes së disa prej tyre në këtë artikull Le të përpiqemi të zgjidhim problemin e mëposhtëm: djali harroi shifrën e fundit të numrit të telefonit të shokut të tij, por duke qenë se telefonata ishte shumë e rëndësishme, ai filloi të thërriste gjithçka një nga një. . Ne duhet të llogarisim probabilitetin që ai të telefonojë jo më shumë se tre herë. Zgjidhja e problemit është më e thjeshtë nëse njihen rregullat, ligjet dhe aksiomat e teorisë së probabilitetit.

Përpara se të shikoni zgjidhjen, përpiquni ta zgjidhni vetë. Ne e dimë që shifra e fundit mund të jetë nga zero në nëntë, domethënë dhjetë vlera në total. Probabiliteti për të marrë atë të duhurin është 1/10.

Tjetra, duhet të shqyrtojmë opsionet për origjinën e ngjarjes, supozojmë se djali mendoi saktë dhe menjëherë shtypi të duhurin, probabiliteti i një ngjarje të tillë është 1/10. Opsioni i dytë: telefonata e parë humbet, dhe e dyta është në shënjestër. Le të llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: shumëzojmë 9/10 me 1/9, si rezultat marrim gjithashtu 1/10. Opsioni i tretë: telefonatat e para dhe të dyta doli të ishin në adresën e gabuar, vetëm me të tretën djali arriti atje ku donte. Ne llogarisim probabilitetin e një ngjarjeje të tillë: 9/10 shumëzuar me 8/9 dhe 1/8, duke rezultuar në 1/10. Nuk na interesojnë opsionet e tjera sipas kushteve të problemit, ndaj duhet vetëm të mbledhim rezultatet e marra, në fund kemi 3/10. Përgjigje: probabiliteti që djali të telefonojë jo më shumë se tre herë është 0.3.

Kartat me numra

Para jush keni nëntë letra, në secilën prej të cilave është shkruar një numër nga një në nëntë, numrat nuk përsëriten. Ata u vendosën në një kuti dhe u përzien plotësisht. Ju duhet të llogarisni probabilitetin që

do të shfaqet një numër çift;
dyshifrore.

Përpara se të kalojmë te zgjidhja, le të përcaktojmë se m është numri i rasteve të suksesshme dhe n është numri total i opsioneve. Le të gjejmë probabilitetin që numri të jetë çift. Nuk do të jetë e vështirë të llogaritet se janë katër numra çift, ky do të jetë m-ja jonë, gjithsej janë nëntë opsione të mundshme, domethënë m=9. Atëherë probabiliteti është 0.44 ose 4/9.

Le të shqyrtojmë rastin e dytë: numri i opsioneve është nëntë, dhe nuk mund të ketë fare rezultate të suksesshme, domethënë, m është zero. Probabiliteti që karta e tërhequr të përmbajë një numër dyshifror është gjithashtu zero.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve