Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike duke përdorur formula. Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike
Ekuacionet trigonometrike nuk janë një temë e lehtë. Ato janë shumë të ndryshme.) Për shembull, këto:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = ahur (2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Dhe të ngjashme...
Por këto (dhe të gjitha të tjerat) përbindësha trigonometrikë kanë dy gjëra të përbashkëta: karakteristika të detyrueshme. Së pari - nuk do ta besoni - ka funksione trigonometrike në ekuacione.) Së dyti: gjenden të gjitha shprehjet me x brenda këtyre funksioneve të njëjta. Dhe vetëm atje! Nëse X shfaqet diku jashtë, Për shembull, sin2x + 3x = 3, ky do të jetë tashmë një ekuacion lloj i përzier. Ekuacione të tilla kërkojnë qasje individuale. Ne nuk do t'i konsiderojmë ato këtu.
Ekuacionet e liga nuk do të zgjidhim as në këtë mësim.) Këtu do të merremi ekuacionet më të thjeshta trigonometrike. Pse? Po sepse zgjidhja ndonjë ekuacionet trigonometrike përbëhen nga dy faza. Në fazën e parë, ekuacioni i së keqes reduktohet në një të thjeshtë nëpërmjet një sërë transformimesh. Në të dytën, zgjidhet ky ekuacion më i thjeshtë. Përndryshe, në asnjë mënyrë.
Pra, nëse keni probleme në fazën e dytë, faza e parë nuk ka shumë kuptim.)
Si duken ekuacionet elementare trigonometrike?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Këtu A qëndron për çdo numër. Çdo.
Nga rruga, brenda një funksioni mund të mos ketë një X të pastër, por një lloj shprehjeje, si:
cos(3x+π /3) = 1/2
dhe të ngjashme. Kjo e ndërlikon jetën, por nuk ndikon në metodën e zgjidhjes së një ekuacioni trigonometrik.
Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike?
Ekuacionet trigonometrike mund të zgjidhen në dy mënyra. Mënyra e parë: duke përdorur logjikën dhe rrethin trigonometrik. Ne do ta shikojmë këtë rrugë këtu. Mënyra e dytë - përdorimi i kujtesës dhe formulave - do të diskutohet në mësimin tjetër.
Mënyra e parë është e qartë, e besueshme dhe e vështirë për t'u harruar.) Është e mirë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pabarazive dhe të gjitha llojeve të ndërlikuara shembuj jo standard. Logjikat më e fortë se kujtesa!)
Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur një rreth trigonometrik.
Ne përfshijmë logjikën elementare dhe aftësinë për të përdorur rrethin trigonometrik. Nuk e dini se si? Megjithatë... Do ta keni të vështirë në trigonometri...) Por nuk ka rëndësi. Hidhini një sy mësimeve "Rrethi trigonometrik...... Çfarë është?" dhe "Matja e këndeve në një rreth trigonometrik". Gjithçka është e thjeshtë atje. Ndryshe nga tekstet shkollore...)
Oh, e dini!? Dhe madje zotëroi "Punë praktike me rrethin trigonometrik"!? urime. Kjo temë do të jetë e afërt dhe e kuptueshme për ju.) Ajo që është veçanërisht e këndshme është se rrethi trigonometrik nuk ka rëndësi se çfarë ekuacioni zgjidh. Sinus, kosinus, tangjent, kotangjent - gjithçka është e njëjtë për të. Ekziston vetëm një parim i zgjidhjes.
Pra marrim çdo ekuacion elementar trigonometrik. Të paktën kjo:
cosx = 0,5
Ne duhet të gjejmë X. Nëse flasim gjuha njerëzore, duhet gjeni këndin (x) kosinusi i të cilit është 0,5.
Si e kemi përdorur më parë rrethin? Ne vizatuam një kënd mbi të. Në gradë ose radiane. Dhe menjëherë pa funksionet trigonometrike të këtij këndi. Tani le të bëjmë të kundërtën. Le të vizatojmë një kosinus në rreth të barabartë me 0,5 dhe menjëherë do të shohim qoshe. Mbetet vetëm të shkruajmë përgjigjen.) Po, po!
Vizatoni një rreth dhe shënoni kosinusin e barabartë me 0,5. Në boshtin kosinus, natyrisht. Si kjo:
Tani le të vizatojmë këndin që na jep ky kosinus. Zhvendosni miun mbi foto (ose prekni figurën në tabletin tuaj) dhe ju do të shihni pikërisht ky kënd X.
Kosinusi i cilit kënd është 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Disa njerëz do të qeshin skeptikisht, po... A ja vlente të bëni një rreth kur gjithçka është tashmë e qartë... Sigurisht që mund të qeshni...) Por fakti është se kjo është një përgjigje e gabuar. Ose më mirë, e pamjaftueshme. Njohësit e rrethit kuptojnë se këtu ka një grup të tërë këndesh të tjera që japin gjithashtu një kosinus 0.5.
Nëse e ktheni anën lëvizëse OA kthesë e plotë, pika A do të kthehet në pozicionin e saj origjinal. Me të njëjtin kosinus të barabartë me 0.5. ato. këndi do të ndryshojë me 360° ose 2π radian, dhe kosinus - nr. Këndi i ri 60° + 360° = 420° do të jetë gjithashtu një zgjidhje për ekuacionin tonë, sepse
Të tillë revolucione të plota mund ta vidhosni grup i pafund... Dhe të gjitha këto kënde të reja do të jenë zgjidhje për ekuacionin tonë trigonometrik. Dhe të gjithë duhet të shkruhen disi si përgjigje. Të gjitha. Përndryshe, vendimi nuk llogaritet, po...)
Matematika mund ta bëjë këtë thjesht dhe në mënyrë elegante. Shkruani në një përgjigje të shkurtër grup i pafund vendimet. Ja se si duket për ekuacionin tonë:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Do ta deshifroj. Ende shkruani kuptimplotëËshtë më e këndshme sesa të vizatosh marrëzisht disa shkronja misterioze, apo jo?)
π /3 - ky është i njëjti kënd që ne pa në rreth dhe përcaktuar sipas tabelës së kosinusit.
2π është një revolucion i plotë në radian.
n - ky është numri i të plotëve, d.m.th. e tërë rpm Është e qartë se n mund të jetë e barabartë me 0, ±1, ±2, ±3.... e kështu me radhë. Siç thuhet shënim i shkurtër:
n ∈ Z
n i takon ( ∈ ) grup i numrave të plotë ( Z ). Meqë ra fjala, në vend të letrës n shkronjat mund të përdoren mirë k, m, t etj.
Ky shënim do të thotë që ju mund të merrni çdo numër të plotë n . Të paktën -3, të paktën 0, të paktën +55. Çfarëdo që ju dëshironi. Nëse e zëvendësoni këtë numër në përgjigje, do të merrni një kënd specifik, i cili patjetër do të jetë zgjidhja e ekuacionit tonë të ashpër.)
Ose, me fjalë të tjera, x = π /3 është rrënja e vetme e një bashkësie të pafundme. Për të marrë të gjitha rrënjët e tjera, mjafton të shtoni çdo numër rrotullimesh të plota në π /3 ( n ) në radianë. ato. 2πn radian.
Të gjitha? Nr. E zgjas me qëllim kënaqësinë. Për ta mbajtur mend më mirë.) Ne morëm vetëm një pjesë të përgjigjeve të ekuacionit tonë. Unë do ta shkruaj këtë pjesë të parë të zgjidhjes si kjo:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - jo vetëm një rrënjë, por një seri e tërë rrënjësh, të shkruara në një formë të shkurtër.
Por ka edhe kënde që japin edhe një kosinus 0.5!
Le të kthehemi te fotografia jonë nga e cila kemi shkruar përgjigjen. Këtu është:
Zhvendosni miun mbi imazh dhe ne shohim një kënd tjetër që jep gjithashtu një kosinus prej 0.5.Çfarë mendoni se është e barabartë me? Trekëndëshat janë të njëjtë... Po! Ai e barabartë me këndin X , sapo shtyhet për drejtim negativ. Ky është këndi -X. Por ne kemi llogaritur tashmë x. π /3 ose 60°. Prandaj, mund të shkruajmë me siguri:
x 2 = - π /3
Epo, natyrisht, ne shtojmë të gjitha këndet që përftohen përmes rrotullimeve të plota:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është e gjitha tani.) Në rrethin trigonometrik ne pa(kush e kupton, sigurisht)) Të gjitha kënde që japin një kosinus 0,5. Dhe shkruani shkurt këto kënde formë matematikore. Përgjigja rezultoi në dy seri të pafundme rrënjësh:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është përgjigja e saktë.
Shpresa, parim i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike përdorimi i një rrethi është i qartë. Shënojmë në rreth kosinusin (sinusin, tangjentën, kotangjenten) nga ekuacioni i dhënë, vizatoni këndet përkatëse dhe shkruani përgjigjen. Sigurisht, ne duhet të kuptojmë se cilat qoshe jemi pa në rreth. Ndonjëherë nuk është aq e qartë. Epo, thashë që logjika kërkohet këtu.)
Për shembull, le të shohim një ekuacion tjetër trigonometrik:
Ju lutemi vini re se numri 0.5 nuk është i vetmi numri i mundshëm në ekuacione!) Është më e përshtatshme për mua ta shkruaj sesa rrënjët dhe thyesat.
Ne punojmë sipas parimit të përgjithshëm. Ne vizatojmë një rreth, shënojmë (në boshtin e sinusit, natyrisht!) 0.5. Ne tërheqim të gjitha këndet që korrespondojnë me këtë sinus menjëherë. Ne marrim këtë foto:
Le të merremi me këndin e parë X në tremujorin e parë. Kujtojmë tabelën e sinuseve dhe përcaktojmë vlerën e këtij këndi. Është një çështje e thjeshtë:
x = π /6
Ne kujtojmë për revolucionet e plota dhe, me ndërgjegje e pastër, shkruajmë serinë e parë të përgjigjeve:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Gjysma e punës është bërë. Por tani duhet të përcaktojmë këndi i dytë...Është më e ndërlikuar se përdorimi i kosinuseve, po... Por logjika do të na shpëtojë! Si të përcaktohet këndi i dytë përmes x? Është e lehtë! Trekëndëshat në foto janë të njëjta, dhe këndi i kuq X e barabartë me këndin X . Vetëm ai numërohet nga këndi π në drejtim negativ. Prandaj është e kuqe.) Dhe për përgjigjen na duhet një kënd, i matur saktë, nga gjysmëboshti pozitiv OX, d.m.th. nga një kënd prej 0 gradë.
Ne e vendosim kursorin mbi vizatim dhe shohim gjithçka. E hoqa këndin e parë për të mos e komplikuar foton. Këndi që na intereson (i vizatuar në të gjelbër) do të jetë i barabartë me:
π - x
X ne e dimë këtë π /6 . Prandaj, këndi i dytë do të jetë:
π - π /6 = 5π /6
Përsëri kujtojmë shtimin e rrotullimeve të plota dhe shkruajmë serinë e dytë të përgjigjeve:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është ajo. Një përgjigje e plotë përbëhet nga dy seri rrënjësh:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ekuacionet tangjente dhe kotangjente mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur të njëjtin parim të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike. Nëse, sigurisht, dini të vizatoni tangjenten dhe kotangjenten në një rreth trigonometrik.
Në shembujt e mësipërm, kam përdorur vlerën e tabelës së sinusit dhe kosinusit: 0.5. ato. një nga ato kuptimet që di nxënësi i detyruar. Tani le të zgjerojmë aftësitë tona në të gjitha vlerat e tjera. Vendosni, kështu që vendosni!)
Pra, le të themi se duhet të zgjidhim këtë ekuacion trigonometrik:
Një vlerë e tillë kosinus në tabela të shkurtra Nr. Ne e injorojmë ftohtë këtë fakt të tmerrshëm. Vizatoni një rreth, shënoni 2/3 në boshtin e kosinusit dhe vizatoni këndet përkatëse. Ne e marrim këtë foto.
Le të shohim, së pari, këndin në tremujorin e parë. Do të doja ta dija pse e barabartë me x, përgjigja do të ishte shkruar menjëherë! Nuk e dimë... Dështim!? Qetë! Matematika nuk i lë njerëzit e saj në vështirësi! Ajo doli me kosinus me hark për këtë rast. Nuk e di? Më kot. Zbulojeni, është shumë më e lehtë nga sa mendoni. Nuk ka asnjë magji të vetme të ndërlikuar për "funksionet trigonometrike të anasjellta" në këtë lidhje... Kjo është e tepërt në këtë temë.
Nëse jeni në dijeni, thjesht thoni vetes: "X është një kënd kosinusi i të cilit është i barabartë me 2/3". Dhe menjëherë, thjesht nga përkufizimi i kosinusit të harkut, mund të shkruajmë:
Ne kujtojmë revolucionet shtesë dhe shkruajmë me qetësi serinë e parë të rrënjëve të ekuacionit tonë trigonometrik:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Seria e dytë e rrënjëve për këndin e dytë shkruhet pothuajse automatikisht. Gjithçka është e njëjtë, vetëm X (arccos 2/3) do të jetë me një minus:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Dhe kaq! Kjo është përgjigja e saktë. Edhe më lehtë sesa me vlerat e tabelës. Nuk ka nevojë të mbani mend asgjë.) Meqë ra fjala, më të vëmendshmit do të vërejnë se kjo foto tregon zgjidhjen përmes kosinusit të harkut në thelb nuk ndryshon nga fotografia për ekuacionet cosx = 0,5.
Kjo është e drejtë! Parimi i përgjithshëm Kjo është arsyeja pse është e zakonshme! Kam vizatuar qëllimisht dy piktura pothuajse identike. Rrethi na tregon këndin X me kosinusin e tij. Është e panjohur për të gjithë nëse është një kosinus tabelor apo jo. Çfarë lloj këndi është ky, π /3, ose çfarë është kosinusi i harkut - kjo varet nga ne që të vendosim.
E njëjta këngë me sine. Për shembull:
Vizatoni përsëri një rreth, shënoni sinusin e barabartë me 1/3, vizatoni këndet. Kjo është fotografia që marrim:
Dhe përsëri fotografia është pothuajse e njëjtë si për ekuacionin sinx = 0,5. Sërish nisim nga këndi në çerekun e parë. Sa është e barabartë me X nëse sinusi i tij është 1/3? Nuk ka pyetje!
Tani paketa e parë e rrënjëve është gati:
x 1 = harksin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Le të merremi me këndin e dytë. Në shembullin me një vlerë tabele prej 0.5, ishte e barabartë me:
π - x
Pikërisht e njëjta gjë do të jetë edhe këtu! Vetëm x është i ndryshëm, harku 1/3. Pra çfarë!? Ju mund të shkruani me siguri paketën e dytë të rrënjëve:
x 2 = π - hark 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Kjo është një përgjigje plotësisht e saktë. Edhe pse nuk duket shumë e njohur. Por është e qartë, shpresoj.)
Kështu vendosin ata ekuacionet trigonometrike duke përdorur një rreth. Kjo rrugë është e qartë dhe e kuptueshme. Është ai që kursen në ekuacionet trigonometrike me zgjedhjen e rrënjëve në një interval të caktuar, në pabarazitë trigonometrike- ato zakonisht zgjidhen pothuajse gjithmonë në një rreth. Me pak fjalë, në çdo detyrë që është pak më e vështirë se ato standarde.
Le të zbatojmë njohuritë në praktikë?)
Zgjidh ekuacionet trigonometrike:
Së pari, më e thjeshtë, direkt nga ky mësim.
Tani është më e komplikuar.
Këshillë: këtu do të duhet të mendoni për rrethin. Personalisht.)
Dhe tani janë të thjeshta nga jashtë... Quhen edhe raste të veçanta.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Këshillë: këtu duhet të kuptoni në një rreth se ku ka dy seri përgjigjesh dhe ku ka një... Dhe si të shkruani një në vend të dy serive përgjigjesh. Po, në mënyrë që asnjë rrënjë të vetme nga numër i pafund nuk ka humbur!)
Epo, shumë e thjeshtë):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Këshillë: këtu duhet të dini se çfarë janë arksina dhe arkosina? Çfarë është arktangjenti, arkotangjenti? Më së shumti përkufizime të thjeshta. Por mbani mend jo vlerat e tabelës Nuk ka nevojë!)
Përgjigjet janë, natyrisht, një rrëmujë):
x 1= harksin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2
Nuk funksionon gjithçka? Ndodh. Lexojeni përsëri mësimin. Vetëm me mendime(ka të tilla fjalë e vjetëruar...) Dhe ndiqni lidhjet. Lidhjet kryesore kanë të bëjnë me rrethin. Pa të, trigonometria është si të kalosh rrugën me sy të lidhur. Ndonjëherë funksionon.)
Nëse ju pëlqen kjo faqe...
Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)
Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)
Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.
Një herë isha dëshmitar i një bisede midis dy aplikantëve:
– Kur duhet të shtoni 2πn, dhe kur duhet të shtoni πn? Thjesht nuk mbaj mend!
– Dhe unë kam të njëjtin problem.
Thjesht doja t'u them: "Nuk keni nevojë të mësoni përmendësh, por kuptoni!"
Ky artikull u drejtohet kryesisht nxënësve të shkollave të mesme dhe, shpresoj, do t'i ndihmojë ata të zgjidhin ekuacionet më të thjeshta trigonometrike me "kuptim":
Rrethi i numrave
Së bashku me konceptin e vijës numerike, ekziston edhe koncepti rrethi i numrave. Siç e dimë V sistem drejtkëndor koordinatat e rrethit, s qendra në pikën (0;0) dhe rreze 1, quhet njësi. Le ta imagjinojmë vijën numerike si një fije të hollë dhe ta rrotullojmë rreth këtij rrethi: origjinën (pika 0), vendosim në pikën "e duhur". rrethi njësi, gjysmëboshtin pozitiv do ta mbështjellim në drejtim të kundërt, kurse atë negativ në drejtim (Fig. 1). Një rreth i tillë njësi quhet rreth numerik.
Vetitë e rrethit të numrave
- Çdo numër real shtrihet në një pikë të rrethit të numrave.
- Në çdo pikë të rrethit të numrave ka pafundësisht shumë numra realë. Meqenëse gjatësia e rrethit njësi është 2π, diferenca midis çdo dy numrash në një pikë të rrethit është e barabartë me një nga numrat ±2π; ±4π ; ±6π; ...
Le të përfundojmë: Duke ditur një nga numrat e pikës A, mund të gjejmë të gjithë numrat e pikës A.
Le të vizatojmë diametrin e AC (Fig. 2). Meqenëse x_0 është një nga numrat e pikës A, atëherë numrat x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... dhe vetëm ata do të jenë numrat e pikës C. Le të zgjedhim një nga këta numra, le të themi, x_0+π, dhe ta përdorim për të shkruar të gjithë numrat e pikës C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Vini re se numrat në pikat A dhe C mund të kombinohen në një formulë: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (për k = 0; ±2; ±4; ... marrim numrat e pika A, dhe për k = ± 3 … – numrat e pikës C;
Le të përfundojmë: duke ditur një nga numrat në njërën nga pikat A ose C të diametrit AC, mund t'i gjejmë të gjithë numrat në këto pika.
- Dy numra të kundërt janë të vendosura në pika të rrethit që janë simetrike në lidhje me boshtin e abshisave.
Le të vizatojmë një kordë vertikale AB (Fig. 2). Meqenëse pikat A dhe B janë simetrike rreth boshtit Ox, numri -x_0 ndodhet në pikën B dhe, për rrjedhojë, të gjithë numrat e pikës B jepen me formulën: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Numrat në pikat A dhe B i shkruajmë duke përdorur një formulë: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Le të përfundojmë: duke ditur një nga numrat në njërën nga pikat A ose B të kordës vertikale AB, mund t'i gjejmë të gjithë numrat në këto pika. Merrni parasysh kordën horizontale AD dhe le të gjejmë numrat pika D (Fig. 2). Meqenëse BD është një diametër dhe numri -x_0 i përket pikës B, atëherë -x_0 + π është një nga numrat e pikës D dhe, për rrjedhojë, të gjithë numrat e kësaj pike jepen me formulën x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Numrat në pikat A dhe D mund të shkruhen duke përdorur një formulë: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (për k= 0; ±2; ±4; … marrim numrat e pikës A, dhe për k = ±1; ±3; ±5; … – numrat e pikës D).
Le të përfundojmë: duke ditur një nga numrat në njërën nga pikat A ose D të kordës horizontale AD, mund t'i gjejmë të gjithë numrat në këto pika.
Gjashtëmbëdhjetë pika kryesore të rrethit numerik
Në praktikë, zgjidhja e shumicës së ekuacioneve trigonometrike më të thjeshta përfshin gjashtëmbëdhjetë pika në një rreth (Fig. 3). Cilat janë këto pika? Pikat e kuqe, blu dhe jeshile e ndajnë rrethin në 12 pjesë të barabarta. Meqenëse gjatësia e gjysmërrethit është π, atëherë gjatësia e harkut A1A2 është π/2, gjatësia e harkut A1B1 është π/6 dhe gjatësia e harkut A1C1 është π/3.
Tani mund të tregojmë një numër në të njëjtën kohë: 
π/3 në C1 dhe
Kulmet e katrorit portokalli janë pikat e mesit të harqeve të çdo tremujori, prandaj, gjatësia e harkut A1D1 është e barabartë me π/4 dhe, për rrjedhojë, π/4 është një nga numrat e pikës D1. Duke përdorur vetitë e rrethit të numrave, ne mund të përdorim formula për të shkruar të gjithë numrat në të gjitha pikat e shënuara të rrethit tonë. Në figurë janë shënuar edhe koordinatat e këtyre pikave (do të heqim përshkrimin e përftimit të tyre).
Pasi kemi përvetësuar sa më sipër, tani kemi përgatitje të mjaftueshme për të zgjidhur raste të veçanta (për nëntë vlera të numrit a) ekuacionet më të thjeshta.
Zgjidh ekuacionet
1)sinx=1⁄(2).
– Çfarë kërkohet prej nesh?
– Gjeni të gjithë ata numra x sinusi i të cilëve është i barabartë me 1/2.
Le të kujtojmë përkufizimin e sinusit: sinx – ordinata e pikës në rrethin numerik në të cilën ndodhet numri x. Kemi dy pika në rreth, ordinata e të cilit është e barabartë me 1/2. Këto janë skajet e kordës horizontale B1B2. Kjo do të thotë se kërkesa “zgjidhe ekuacionin sinx=1⁄2” është ekuivalente me kërkesën “gjeni të gjithë numrat në pikën B1 dhe të gjithë numrat në pikën B2”.
2)sinx=-√3⁄2 .
Duhet të gjejmë të gjithë numrat në pikat C4 dhe C3.
3) sinx=1. Në rreth kemi vetëm një pikë me ordinatë 1 - pika A2 dhe, për rrjedhojë, duhet të gjejmë vetëm të gjithë numrat e kësaj pike.
Përgjigje: x=π/2+2πk , k∈Z .
4)sinx=-1 .
Vetëm pika A_4 ka një ordinatë -1. Të gjithë numrat e kësaj pike do të jenë kuajt e ekuacionit.
Përgjigje: x=-π/2+2πk, k∈Z.
5) sinx=0 .
Në rreth kemi dy pika me ordinatë 0 - pika A1 dhe A3. Ju mund t'i tregoni numrat në secilën nga pikat veç e veç, por duke qenë se këto pika janë diametralisht të kundërta, është më mirë t'i kombinoni ato në një formulë: x=πk,k∈Z.
Përgjigje: x=πk ,k∈Z .
6)cosx=√2⁄2 .
Le të kujtojmë përkufizimin e kosinusit: cosx është abshisa e pikës në rrethin numerik në të cilën ndodhet numri x. Në rreth kemi dy pika me abshisën √2⁄2 - skajet e kordës horizontale D1D4. Ne duhet të gjejmë të gjithë numrat në këto pika. Le t'i shkruajmë ato, duke i kombinuar në një formulë.
Përgjigje: x=±π/4+2πk, k∈Z.
7) cosx=-1⁄2 .
Ne duhet të gjejmë numrat në pikat C_2 dhe C_3.
Përgjigje: x=±2π/3+2πk , k∈Z .
10) cosx=0 .
Vetëm pikat A2 dhe A4 kanë një abshisë 0, që do të thotë se të gjithë numrat në secilën prej këtyre pikave do të jenë zgjidhje të ekuacionit. 
.
Zgjidhjet e ekuacionit të sistemit janë numrat në pikat B_3 dhe B_4 për pabarazinë cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Përgjigje: x=-5π/6+2πk, k∈Z.
Vini re se për çdo vlerë të pranueshme të x, faktori i dytë është pozitiv dhe, për rrjedhojë, ekuacioni është ekuivalent me sistemin
Zgjidhjet e ekuacionit të sistemit janë numri i pikave D_2 dhe D_3. Numrat e pikës D_2 nuk plotësojnë pabarazinë sinx≤0,5, por numrat e pikës D_3 e plotësojnë.
blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.
Shembuj:
\(2\sin(x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2x+4\sinx-1=0\)
\(\cos4x+3\cos2x=1\)
Si të zgjidhim ekuacionet trigonometrike:
Çdo ekuacion trigonometrik duhet të reduktohet në një nga llojet e mëposhtme:
\(\sint=a\), \(\cost=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)
ku \(t\) është një shprehje me një x, \(a\) është një numër. Ekuacionet e tilla trigonometrike quhen më e thjeshta. Ato mund të zgjidhen lehtësisht duke përdorur () ose formula të veçanta:
Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik \(\sinx=-\)\(\frac(1)(2)\).
Zgjidhja:
Përgjigje: \(\majtas[ \fillimi(i mbledhur)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \fund(mblodhi)\djathtas.\) \(k,n∈Z\)
Çfarë do të thotë çdo simbol në formulën për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike, shih.
Kujdes! Ekuacionet \(\sinx=a\) dhe \(\cosx=a\) nuk kanë zgjidhje nëse \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Sepse sinusi dhe kosinusi për çdo x janë më të mëdhenj se ose të barabartë me \(-1\) dhe më pak se ose i barabartë me \(1\):
\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cosx≤1\)
Shembull
. Zgjidheni ekuacionin \(\cosx=-1,1\).
Zgjidhja:
\(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Përgjigju
: nuk ka zgjidhje.
Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik tg\(x=1\).
Zgjidhja:
|
|
Le të zgjidhim ekuacionin duke përdorur rrethin e numrave. Për ta bërë këtë: |
Shembull
. Zgjidheni ekuacionin trigonometrik \(\cos(3x+\frac(π)(4))=0\).
Zgjidhja:
|
|
Le të përdorim përsëri rrethin e numrave. \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Si zakonisht, ne do të shprehim \(x\) në ekuacione. \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) |
Reduktimi i ekuacioneve trigonometrike në më të thjeshtat është një detyrë krijuese këtu ju duhet të përdorni të dyja dhe metoda të veçanta për zgjidhjen e ekuacioneve:
- Metoda (më e popullarizuara në Provimin e Unifikuar të Shtetit).
- Metoda.
- Metoda e argumenteve ndihmëse.
Le të shqyrtojmë një shembull të zgjidhjes së ekuacionit trigonometrik kuadratik
Shembull . Zgjidheni ekuacionin trigonometrik \(2\cos^2x-5\cosx+2=0\)Zgjidhja:
|
\(2\cos^2x-5\cosx+2=0\) |
Le të bëjmë zëvendësimin \(t=\cosx\). |
|
Ekuacioni ynë është bërë tipik. Mund ta zgjidhni duke përdorur. |
|
|
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\) |
|
|
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\) |
Ne bëjmë një zëvendësim të kundërt. |
|
\(\cosx=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cosx=2\) |
E zgjidhim ekuacionin e parë duke përdorur rrethin e numrave. |
 |
Le të shkruajmë të gjithë numrat që shtrihen në këto pika. |
Një shembull i zgjidhjes së një ekuacioni trigonometrik me studimin e ODZ:
Shembull (Përdorimi) . Zgjidhja e ekuacionit trigonometrik \(=0\)|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Ka një fraksion dhe ka një kotangjent - kjo do të thotë që ne duhet ta shkruajmë atë. Më lejoni t'ju kujtoj se një kotangjent është në të vërtetë një fraksion: ctg\(x=\)\(\frac(\cosx)(\sinx)\) Prandaj, ODZ për ctg\(x\): \(\sinx≠0\). |
|
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sinx≠0\)
\(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\) |
Le të shënojmë "jo zgjidhjet" në rrethin e numrave. |
|
\(\frac(2\cos^2x-\sin(2x))(ctg x)\)\(=0\) |
Le të heqim qafe emëruesin në ekuacion duke e shumëzuar me ctg\(x\). Ne mund ta bëjmë këtë, pasi kemi shkruar më lart se ctg\(x ≠0\). |
|
\(2\cos^2x-\sin(2x)=0\) |
Le të zbatojmë formulën kënd i dyfishtë për sinus: \(\sin(2x)=2\sinx\cosx\). |
|
\(2\cos^2x-2\sinx\cosx=0\) |
Nëse duart tuaja shtrihen për t'u ndarë me kosinus, tërhiqini ato! Ju mund të ndani me një shprehje me një ndryshore nëse definitivisht nuk është e barabartë me zero (për shembull, këto: \(x^2+1.5^x\)). Në vend të kësaj, le të vendosim \(\cosx\) jashtë kllapave. |
|
\(\cosx (2\cosx-2\sinx)=0\) |
Le ta "ndajmë" ekuacionin në dysh. |
|
\(\cosx=0\); \(2\cosx-2\sinx=0\) |
Le të zgjidhim ekuacionin e parë duke përdorur rrethin e numrave. Ndani ekuacionin e dytë me \(2\) dhe zhvendosni \(\sinx\) në anën e djathtë. |
 |
|
|
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cosx=\sinx\) |
Rrënjët që rezultojnë nuk përfshihen në ODZ. Prandaj, ne nuk do t'i shkruajmë ato si përgjigje. |
|
Ne përdorim përsëri një rreth. |
|
|
|
Këto rrënjë nuk përjashtohen nga ODZ, kështu që mund t'i shkruani në përgjigje. |
Ju mund të porosisni një zgjidhje të detajuar për problemin tuaj!!!
Një barazi që përmban një të panjohur nën shenjën e një funksioni trigonometrik (`sin x, cos x, tan x` ose `ctg x`) quhet ekuacion trigonometrik, dhe janë formulat e tyre që do të shqyrtojmë më tej.
Ekuacionet më të thjeshta quhen `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, ku `x` është këndi që duhet gjetur, `a` është çdo numër. Le të shkruajmë formulat rrënjësore për secilën prej tyre.
1. Ekuacioni `sin x=a`.
Për `|a|>1` nuk ka zgjidhje.
Kur `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Formula e rrënjës: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Ekuacioni `cos x=a`
Për `|a|>1` - si në rastin e sinusit, ai nuk ka zgjidhje midis numrave realë.
Kur `|a| \leq 1` ka një numër të pafund zgjidhjesh.
Formula e rrënjës: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Raste të veçanta për sinusin dhe kosinusin në grafikë. 
3. Ekuacioni `tg x=a`
Ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.
Formula e rrënjës: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Ekuacioni `ctg x=a`
Gjithashtu ka një numër të pafund zgjidhjesh për çdo vlerë të `a`.
Formula e rrënjës: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formulat për rrënjët e ekuacioneve trigonometrike në tabelë
Për sinusin: 
Për kosinusin: 
Për tangjenten dhe kotangjenten: 
Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve që përmbajnë funksione trigonometrike të anasjellta:
Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike
Zgjidhja e çdo ekuacioni trigonometrik përbëhet nga dy faza:
- me ndihmën e shndërrimit të tij në më të thjeshtën;
- zgjidhni ekuacionin më të thjeshtë të marrë duke përdorur formulat rrënjësore dhe tabelat e shkruara më sipër.
Le të shohim metodat kryesore të zgjidhjes duke përdorur shembuj.
Metoda algjebrike.
Kjo metodë përfshin zëvendësimin e një ndryshoreje dhe zëvendësimin e saj në një barazi.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
bëni një zëvendësim: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, pastaj `2y^2-3y+1=0`,
gjejmë rrënjët: `y_1=1, y_2=1/2`, nga të cilat pasojnë dy raste:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Përgjigje: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorizimi.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `sin x+cos x=1`.
Zgjidhje. Le t'i zhvendosim majtas të gjitha termat e barazisë: `sin x+cos x-1=0`. Duke përdorur , ne transformojmë dhe faktorizojmë anën e majtë:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Përgjigje: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Reduktimi në një ekuacion homogjen
Së pari, ju duhet ta zvogëloni këtë ekuacion trigonometrik në një nga dy format:
"a mëkat x+b cos x=0" ( ekuacioni homogjen shkalla e parë) ose `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).
Më pas ndani të dyja pjesët me `cos x \ne 0` - për rastin e parë, dhe me `cos^2 x \ne 0` - për të dytën. Ne marrim ekuacione për `tg x`: `a tg x+b=0` dhe `a tg^2 x + b tg x +c =0`, të cilat duhet të zgjidhen duke përdorur metoda të njohura.
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Zgjidhje. Le të shkruajmë anën e djathtë si `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Ky është një ekuacion homogjen trigonometrik i shkallës së dytë, e ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me 'cos^2 x \ne 0', marrim:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Le të prezantojmë zëvendësimin `tg x=t`, duke rezultuar në `t^2 + t - 2=0`. Rrënjët e këtij ekuacioni janë `t_1=-2` dhe `t_2=1`. Pastaj:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \në Z`.
Përgjigju. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \në Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \në Z`.
Shkoni në gjysmë qoshe
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Zgjidhje. Le të zbatojmë formulat e këndit të dyfishtë, duke rezultuar në: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Duke zbatuar sa më sipër metodë algjebrike, marrim:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \në Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.
Përgjigju. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \në Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \në Z`.
Futja e këndit ndihmës
Në ekuacionin trigonometrik `a sin x + b cos x =c`, ku a,b,c janë koeficientë dhe x është një variabël, ndani të dyja anët me `sqrt (a^2+b^2)`:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
Koeficientët në anën e majtë kanë vetitë e sinusit dhe kosinusit, domethënë shuma e katrorëve të tyre është e barabartë me 1 dhe modulet e tyre nuk janë më të mëdha se 1. Le t'i shënojmë ato si më poshtë: `\frac a(sqrt (a^2+b^2))=cos \varphi`, ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c( sqrt (a^2+b^2))=C`, pastaj:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Le të hedhim një vështrim më të afërt në shembullin e mëposhtëm:
Shembull. Zgjidheni ekuacionin: `3 sin x+4 cos x=2`.
Zgjidhje. Ndani të dyja anët e barazisë me `sqrt (3^2+4^2)`, marrim:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 mëkat x+4/5 cos x=2/5`.
Le të shënojmë `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Meqenëse `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, pastaj si kënd ndihmës le të marrim `\varphi=arcsin 4/5`. Pastaj shkruajmë barazinë tonë në formën:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Duke zbatuar formulën për shumën e këndeve për sinusin, ne shkruajmë barazinë tonë në formën e mëposhtme:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n hark 2/5+ \pi n`, `n \në Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Përgjigju. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Ekuacionet racionale trigonometrike thyesore
Këto janë barazime me thyesa, numëruesit dhe emëruesit e të cilave përmbajnë funksione trigonometrike.
Shembull. Zgjidhe ekuacionin. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Zgjidhje. Shumëzoni dhe pjesëtoni anën e djathtë të barazisë me `(1+cos x)`. Si rezultat marrim:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Duke marrë parasysh që emëruesi nuk mund të jetë i barabartë me zero, marrim `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, `x \ne \pi+2\pi n, n \në Z`.
Le të barazojmë numëruesin e thyesës me zero: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Pastaj `sin x=0` ose `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \në Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \në Z`.
Duke pasur parasysh se `x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, zgjidhjet janë `x=2\pi n, n \në Z` dhe `x=\pi /2+2\pi n` , `n \në Z`.
Përgjigju. `x=2\pi n`, `n \në Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \në Z`.
Trigonometria, dhe ekuacionet trigonometrike në veçanti, përdoren pothuajse në të gjitha fushat e gjeometrisë, fizikës dhe inxhinierisë. Mësimi fillon në klasën e 10-të, ka gjithmonë detyra për Provimin e Unifikuar të Shtetit, kështu që përpiquni të mbani mend të gjitha formulat e ekuacioneve trigonometrike - ato patjetër do t'ju jenë të dobishme!
Sidoqoftë, as nuk keni nevojë t'i mësoni përmendësh, gjëja kryesore është të kuptoni thelbin dhe të jeni në gjendje ta nxirrni atë. Nuk është aq e vështirë sa duket. Shihni vetë duke parë videon.
Kur zgjidhni shumë problemet matematikore , sidomos ato që ndodhin para klasës 10, është përcaktuar qartë radha e veprimeve të kryera që do të çojnë në qëllim. Probleme të tilla përfshijnë, për shembull, lineare dhe ekuacionet kuadratike, lineare dhe pabarazitë kuadratike, ekuacionet thyesore dhe ekuacionet që reduktohen në ato kuadratike. Parimi i zgjidhjes me sukses të secilit prej problemeve të përmendura është si më poshtë: është e nevojshme të përcaktohet se çfarë lloj problemi po zgjidhet, mbani mend sekuencën e nevojshme të veprimeve që do të çojnë në rezultatin e dëshiruar, d.m.th. përgjigjuni dhe ndiqni këto hapa.
Është e qartë se suksesi ose dështimi në zgjidhjen e një problemi të caktuar varet kryesisht nga sa saktë përcaktohet lloji i ekuacionit që zgjidhet, sa saktë riprodhohet sekuenca e të gjitha fazave të zgjidhjes së tij. Sigurisht, është e nevojshme të kesh aftësi për të performuar transformimet e identitetit dhe informatikë.
Situata është e ndryshme me ekuacionet trigonometrike. Nuk është aspak e vështirë të vërtetohet fakti që ekuacioni është trigonometrik. Vështirësitë lindin gjatë përcaktimit të sekuencës së veprimeve që do të çonin në përgjigjen e saktë.
Nga pamjen ekuacioni, ndonjëherë është e vështirë të përcaktohet lloji i tij. Dhe pa e ditur llojin e ekuacionit, është pothuajse e pamundur të zgjedhësh atë të duhurin nga disa dhjetëra formula trigonometrike.
Për të zgjidhur një ekuacion trigonometrik, duhet të provoni:
1. sillni të gjitha funksionet e përfshira në ekuacion në "të njëjtat kënde";
2. sjell ekuacionin në “funksione identike”;
3. faktorizoni anën e majtë të ekuacionit etj.
Le të shqyrtojmë metodat bazë për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike.
I. Reduktimi në ekuacionet më të thjeshta trigonometrike
Diagrami i zgjidhjes
Hapi 1. shprehin funksioni trigonometrik përmes komponentëve të njohur.
Hapi 2. Gjeni argumentin e funksionit duke përdorur formulat:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n harksin a + πn, n Є Z.
tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
Hapi 3. Gjeni variablin e panjohur.
Shembull.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Zgjidhje.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Përgjigje: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Zëvendësimi i ndryshueshëm
Diagrami i zgjidhjes
Hapi 1. Zvogëloni ekuacionin në formë algjebrike në lidhje me një nga funksionet trigonometrike.
Hapi 2. Shënoni funksionin që rezulton me ndryshoren t (nëse është e nevojshme, vendosni kufizime në t).
Hapi 3. Shkruani dhe zgjidhni ekuacionin algjebrik që rezulton.
Hapi 4. Bëni një zëvendësim të kundërt.
Hapi 5. Të zgjidhë ekuacionin trigonometrik më të thjeshtë.
Shembull.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Zgjidhje.
1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Le të sin (x/2) = t, ku |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 ose e = -3/2, nuk e plotëson kushtin |t| ≤ 1.
4) sin (x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Përgjigje: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Metoda e reduktimit të rendit të ekuacionit
Diagrami i zgjidhjes
Hapi 1. Zëvendësoni ekuacioni i dhënë lineare, duke përdorur formulat për uljen e shkallës:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
Hapi 2. Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metodat I dhe II.
Shembull.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Zgjidhje.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Përgjigje: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Ekuacionet homogjene
Diagrami i zgjidhjes
Hapi 1. Reduktojeni këtë ekuacion në formë
a) një sin x + b cos x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së parë)
ose te pamja
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ekuacion homogjen i shkallës së dytë).
Hapi 2. Ndani të dyja anët e ekuacionit me
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
dhe merrni ekuacionin për tan x:
a) a tan x + b = 0;
b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.
Hapi 3. Zgjidheni ekuacionin duke përdorur metoda të njohura.
Shembull.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Zgjidhje.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Le të tg x = t, atëherë
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 ose t = -4, që do të thotë
tg x = 1 ose tg x = -4.
Nga ekuacioni i parë x = π/4 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
Përgjigje: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Metoda e transformimit të një ekuacioni duke përdorur formulat trigonometrike
Diagrami i zgjidhjes
Hapi 1. Duke përdorur të gjitha llojet e formulat trigonometrike, zvogëloni këtë ekuacion në një ekuacion të zgjidhur me metodat I, II, III, IV.
Hapi 2. Zgjidheni ekuacionin që rezulton duke përdorur metoda të njohura.
Shembull.
mëkat x + mëkat 2x + mëkat 3x = 0.
Zgjidhje.
1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 ose 2cos x + 1 = 0;
Nga ekuacioni i parë 2x = π/2 + πn, n Є Z; nga ekuacioni i dytë cos x = -1/2.
Kemi x = π/4 + πn/2, n Є Z; nga ekuacioni i dytë x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Si rezultat, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Përgjigje: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Aftësia dhe aftësia për të zgjidhur ekuacionet trigonometrike është shumë 
e rëndësishme, zhvillimi i tyre kërkon përpjekje të konsiderueshme, si nga ana e nxënësit ashtu edhe nga ana e mësuesit.
Shumë probleme të stereometrisë, fizikës etj., lidhen me zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike Procesi i zgjidhjes së problemeve të tilla mishëron shumë nga njohuritë dhe aftësitë që përftohen duke studiuar elementët e trigonometrisë.
Ekuacionet trigonometrike marrin vend i rëndësishëm në procesin e mësimdhënies së matematikës dhe zhvillimit të personalitetit në përgjithësi.
Ende keni pyetje? Nuk dini si të zgjidhni ekuacionet trigonometrike?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!
në faqen e internetit, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.
Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve