Ne konsiderojmë sisteme lineare të formës normale ku a(- janë çdo numër, dhe /,(*) janë funksionet e njohura. Në shënimin e vektorit, e panjohura dhe /(*) është një funksion vektorial i njohur, A është çdo matricë konstante. Sisteme të tilla shpesh gjenden në teori ekuacionet diferenciale, dhe në aplikacione. Zgjidhje e përgjithshme të një sistemi të tillë në rastin e f(t) = 0 shprehet gjithmonë përmes funksionet elementare. Prandaj, sisteme të tilla shpesh përdoren për të studiuar më shumë sisteme komplekse pranë pozicionit të ekuilibrit. Në aplikacione ato shfaqen, për shembull, kur studiojnë lëvizjet në sistemet mekanike me disa shkallë lirie dhe kur përshkruhen rrymat në qarqet elektrike të degëzuara. Me përjashtim sistem i panjohur mund të reduktohet në një ose më shumë ekuacione me një funksion të panjohur secili. Për ta bërë këtë, nga çdo ekuacion ne shprehim një të panjohur në terma të të tjerëve dhe e zëvendësojmë atë në ekuacionet e mbetura të sistemit. Ne marrim një sistem me më pak të panjohura. Ju mund të bëni të njëjtën gjë me të. Kjo metodë është e përshtatshme për zgjidhjen e vetëm sistemeve të thjeshta. Sistemet lineare me koeficientët konstant I Shembulli 20. Zgjidh sistemin Zgjidhja e shembullit. Ne përjashtojmë y. Nga ekuacioni i parë kemi y = x" - t. Duke zëvendësuar në ekuacionin e dytë, marrim. Këtë ekuacion e zgjidhim duke përdorur metodën e § 11. Gjejmë. Prandaj, 1 2. | Zgjidhja e sistemit x" = Ax (x 6 Rn) në rastin kur matrica A rendi n ka n eigjenvektorë linearisht të pavarur. Kjo do të ndodhë në rastet kur ose ekuacioni det (A-XE) = 0 nuk ka rrënjë të shumta A, ose për secilën rrënjë të shumëfishtë A, rangu r i matricës A - \E është i barabartë me n - k, ku k është shumëzimi i kësaj rrënje (pasi ekuacioni (A - XE)v = 0 për vektorët vetjak v ka n - r në mënyrë lineare vendime të pavarura). Le të jetë A një vlerë vetjake dhe v të jetë një vektor i matricës A. Atëherë x = eMv është një zgjidhje e veçantë për ekuacionin x1 = Axy pasi. Nëse vetvektorët Vх,..., vn janë linearisht të pavarur, atëherë kemi zgjidhje. Ato janë linearisht të pavarura, pasi Wronskian W Ф 0 i tyre në t = 0 (kolonat e tij vl,..., vn janë linearisht të pavarura). Për rrjedhojë, zgjidhja e përgjithshme e sistemit x* = Ax ka formën - konstante arbitrare. Lema 9. Nëse A( = a + pi (fi Ф 0) është eigenvlera e matricës reale A, dhe vl = (»(,... është eigjenvektori për A1# atëherë Aj = X( = a - pi - Eigenvalue , a v2 = v1 = (v),..., është eigenvector për A2 real, eigenvector mund të merret si real: Av( = A^1. Barazia nuk cenohet ( dhe koordinatat janë në të. vektorët v1 zëvendësohen me konjugatët: Avl = Ajt;1, domethënë për një Xp real, koordinatat e vektorit vetjak përcaktohen nga sistemi dhe me koeficientë realë, prandaj mund të merret vektori v të jetë real Zgjidhja e përgjithshme e sistemit x" = Ax me një matricë reale A mund të shprehet në terma të funksioneve reale. Për ta bërë këtë, ne duhet të marrim eigenvektorët si në Lemën 9, dhe më pas të zëvendësojmë çdo çift të. zgjidhje komplekse të konjuguara x1 = eAlV, x2 = eXltv2 me një çift zgjidhjesh reale si në c. sistemi themelor zgjidhjet dhe shprehin zgjidhjen e përgjithshme nëpërmjet saj. I Shembulli 21. Zgjidh sistemin Zgjidhja e shembullit. Hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik Sistemet lineare me koeficientë konstante Për gjejmë vektorin vetjak (^j Mund të marrim Marrim një zgjidhje të caktuar Zgjidhjet e këtij sistemi janë pjesët reale dhe imagjinare të kësaj zgjidhjeje të veçantë: J Zgjidhja në rast i përgjithshëm . Le të thjeshtojmë sistemin duke reduktuar matricën A në forma më e thjeshtë - Jordanova. Dihet se për çdo matricë katrore Dhe ekziston një matricë C jo njëjës e tillë që matrica B = C~[ AC është jordaneze, domethënë qelizat Ki mund të jenë të çdo madhësie; në çdo qelizë përgjatë gjithë diagonales ka të njëjtin numër Af, dhe në qeliza të ndryshme A(mund të jenë të ndryshme ose të njëjta. Meqenëse matricat C"1 AC dhe A kanë të njëjtin ekuacion karakteristik, që do të thotë se janë të njëjtat rrënjë A^ me shumëfishime të njëjta Zbatojmë në sistemin x" = Ax. koordinatat x = Cy y, pra ku matrica C është e njëjtë si më sipër. Marrim Shumëzimin nga e majta me C"1, kemi, pra, ku matrica B është Jordan. Nëse qeliza e parë ka madhësi k x k, e dyta - 1x1, etj., atëherë ekuacionet e para k të sistemit y" = Nga përfshini vetëm të panjohurat y p..., y*, në ekuacionet e radhës I - vetëm të panjohurat yt+1,..., yk+1, etj. Kjo do të thotë që sistemi ndahet në nënsisteme, secili prej të cilave mund të zgjidhet veçmas. Nënsistemi i parë ka formën (ku A = X() Nënsistemet e tjera ndryshojnë vetëm në numrat X dhe k. Duke bërë një zëvendësim, marrim Zgjidhjen e këtij sistemi, duke filluar nga ekuacioni i fundit, gjejmë Duke shumëzuar me ex,t, marrim zgjidhja e nënsistemit të parë Kjo zgjidhje është e përgjithshme, pasi përftohet nga ekuacionet (73) duke përdorur shndërrime identike Zgjidhjet e nënsistemit të tjerë kanë një formë të ngjashme, vetëm numrat k = k- dhe konstantat arbitrare cf- do të jenë të ndryshëm. Ly është numri A në qelizën j-ft, k është madhësia e tij) Duke mbledhur së bashku zgjidhjet e të gjitha nënsistemeve, marrim zgjidhjen e përgjithshme të të gjithë sistemit y" = By. ), marrim rezultatin e mëposhtëm teorema 16* Zgjidhja e përgjithshme e sistemit x" = Ax është një funksion vektorial në të cilin secila koordinatë; xi ka formën ku Ar .., At janë të ndryshme. eigenvlerat matrica A, është një polinom algjebrik, shkalla e të cilit është 1 madhësi më të vogël më e madhja e qelizave Jordan që përmban A;. Koeficientët e polinomeve ^(t) (» = 1,..., n; j = 1,..., m) varen nga n konstante arbitrare. Zgjidhje sistem specifik x" = Ax mund të merret pa reduktuar matricën A në formën Jordan. Për ta bërë këtë, ju duhet të gjeni të gjitha vlerat e veta A të matricës A nga ekuacioni det (A - AE) - 0. Për çdo A ju duhet të gjejmë numrin m të eigjenvektorëve të pavarur linearisht duke përdorur formulën m = n - r, ku n është rendi i matricës A - XE9 r është rangu i saj Në rastin m = ky ku k është shumësia e rrënjës A , kjo rrënjë korrespondon me zgjidhjen ku b!,..., b* janë eigjenvektorë të pavarur në mënyrë lineare, atëherë duhet të përdorim Lemën 9 dhe atë që u tha pas saj duhet kërkuar një zgjidhje x = (xр..., xn)T në formën ku 8 = k - np,...c këtë sistem , duke reduktuar me e^ dhe duke barazuar koeficientët për anëtarë të ngjashëm , marrim një sistem linear për të gjetur numrat a, b,.... Është e nevojshme të gjendet një zgjidhje e përgjithshme për këtë sistem, në varësi të k konstantave arbitrare. (Vini re se në rastin e k ^ 4, të gjithë koeficientët kryesorë në polinome ndonjëherë rezultojnë të jenë zero, por kjo nuk na pengon të gjejmë një zgjidhje.) Pasi e kemi bërë këtë për çdo A dhe duke mbledhur zgjidhjet e gjetura, ne merrni zgjidhjen e përgjithshme të sistemit. Nëse matrica A është reale, atëherë mjafton të bëjmë atë që përshkruhet vetëm për rrënjët reale dhe për njërën nga çdo çift rrënjësh komplekse të konjuguara A = a ± pi (RF 0), dhe të marrim pjesët reale dhe imagjinare nga ato që rezultojnë. zgjidhje. Për shembull, nga zgjidhja x1 = (cj + C2t)elt fitohen dy zgjidhje: u1 = Re xx - (cj + cjt) cos t dhe u2 = (C3 + cAt) sin t me konstante të reja Cj,c4. (Justifikimi për këtë metodë kërkon analiza e detajuar dhe të përcaktuara në , § 34.) I Shembulli 22. Zgjidheni sistemin Zgjidhja e shembullit. Ne hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik Për një rrënjë të thjeshtë A = -2, gjejmë eigenvektorin (a, p, 7). Kemi një zgjidhje të veçantë Për rrënjën e shumëfishtë A2 3 = 1, gjejmë rangun e matricës A - XE, numrin m të vektorëve vetjak dhe shkallën e polinomit: Kërkojmë një zgjidhje në formën Zëvendësojeni këtë në këtë sistem. dhe zvogëloni me e*. Ne barazojmë koeficientët e termave të ngjashëm, duke filluar nga më të lartët: Duhet të gjejmë një zgjidhje të përgjithshme për këtë sistem. Shumësia e rrënjës A = 1 është 2, pra gjithçka të panjohurat a, b ,... duhet të shprehet përmes dy prej tyre (nuk e dimë ende se cilat). Nga tre ekuacionet e para kemi b = d = 2d. Duke zëvendësuar në ekuacionet e mbetura, marrim Të gjitha të panjohurat mund të shprehen deri në fund. ne kemi. Vendosja d = Cj, c = Cj, marrim. Duke e zëvendësuar këtë në (77) dhe duke shtuar një zgjidhje të caktuar (76), të shumëzuar me su, marrim zgjidhjen e përgjithshme të sistemit: Linear jo sisteme homogjene me koeficientë konstante. Zgjidhja e një sistemi të tillë mund të merret gjithmonë me metodën e ndryshimit të konstantave (Seksioni 5 i §9). Në këtë rast përdoret integrimi. Megjithatë, në rastin kur inhomogjenitetet f((t) në sistemin (70) shprehen vetëm përmes shumave dhe produkteve të funksioneve atm, e7*, cos/3*, sin fit, një zgjidhje e veçantë e sistemit mund të jetë gjetur pa integrim - me metodën e koeficientëve të pacaktuar, siç tregohet më poshtë Meqenëse zgjidhja e sistemit x" = Ax + fl(t) +... + fr(t) është e barabartë me shumën e zgjidhjeve të sistemeve. (xj)" = Axj + fj(t) (j = 1,..., r) , dhe sinuset dhe kosinuset sipas formulave të Euler-it shprehen nëpërmjet, atëherë mjafton të tregohet lloji i zgjidhjes së veçantë të sistemit x" = Ax + pfe7*, ku p(t) - amtm + am_xtm~x +... + a0; ao" "at - vektorë. Duke bërë të njëjtat transformime me këtë sistem si në pikën 3 me sistemin x1 = Ax, fitojmë në vend të (74) një sistem ku p*(ξ) janë polinome të shkallës më së shumti m Nga kjo temë gjejmë në mënyrë të njëpasnjëshme zk, zk_v. .., zx janë të mundshme 7 - А Ф 0, atëherë Jpl(t) eb-»dt është një polinom i së njëjtës shkallë si këtu dhe më poshtë konstante të barabarta me zero, meqenëse ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë zk_v... ,z (. Marrim * ku q*(t) janë polinome të shkallës jo më të larta se m. Nëse 7 - A = 0, atëherë £ 1. , dhe çdo herë që integrohet vetëm polinomi, shkalla e tij rritet me 1. Pas k integrimeve, shkalla rritet me k Kjo do të thotë se në këtë rast ku q*(t) janë polinome të shkallës jo më të larta se m + k Duke u kthyer nga funksionet z- në y (dhe më pas në x-, ne gjejmë se sistemi ka një zgjidhje të veçantë të formës ku q^t) - një polinom me shkallë jo më të lartë se m nëse 7 nuk përkon me ndonjë. të rrënjëve dhe të shkallës jo më të lartë se m + fy nëse 7 përkon me rrënjën A^.; numri k- është i barabartë me madhësinë e qelizës më të madhe Jordan që përmban A;. Prandaj, kj është 1 më shumë në masën më të madhe polinomet e shumëzuar me ex"r në zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen. I Shembulli 23. Zgjidhja e sistemit I L Zgjidhja e shembullit. Zgjidhja e përgjithshme e një sistemi homogjen është marrë në shembullin 21, këtu A. 2 = 2 ± i. Për inhomogjenitetet 4е dhe cos* numrat 7 = 2 dhe 7 = 2 +t janë të ndryshëm, kështu që është e nevojshme të zgjidhen dy sisteme për sistemin (79) 7 = 2^ A;, pra, duke zëvendësuar një zgjidhje të veçantë në (79). , gjejmë a = b = c = 1, d = 0. Prandaj në sistemin ( 80) 4e2*cos$ e zëvendësojmë me 4e*2+|^ Numrin 4 e konsiderojmë si polinom të shkallës 0. Meqenëse 7 = 2 + i = A, k = 1, atëherë shkalla e polinomit rritet me 1 dhe Zëvendësimi në sistemin me Re të flakur, marrim se ekuacionet janë të varura, ka shumë zgjidhje. Marrim një zgjidhje të veçantë, për shembull zgjidhje e përgjithshme e sistemit x = x0 + x( + x2, y = y0 + y! + y2* ku x0, y0 është zgjidhja e një sistemi homogjen (shembulli 21), dhe gjenden x(, y, x2, y2 këtu Problema për ushtrimet: Sistemet lineare me koeficientë konstante I Sistemet e ekuacioneve të pa reduktuara në formë normale kanë veti të ndryshme nga vetitë e sistemeve të formës (70), të gjitha zgjidhjet janë kombinime lineare të zgjidhjeve të formës x = r(t)ext, y = s(f)eM, ku A është çdo rrënjë ekuacioni karakteristik- polinomet shkalla e të cilëve është më e vogël se një shumëfish i rrënjës A (nëse A = 1, atëherë * janë numra polinomet mund të gjenden me metodën e koeficientëve të pacaktuar). Sistemet me tre ose më shumë ekuacione zgjidhen në mënyrë të ngjashme. Shih problemet në, § 14, b" Ka shumë mënyra për të zgjidhur sistemet lineare me koeficientë konstante. Nëse dihen jo vetëm numrat A, por edhe baza në të cilën matrica A ka një formë Jordan, atëherë zgjidhja e sistemit x" = Ax shkruhet në formë eksplicite (Teorema 11; § 14, paragrafi 3). Operacional metoda e zgjidhjes ekuacionet lineare dhe sistemet me koeficientë konstante janë përshkruar në , §24. Dihen kushtet e ekzistencës zgjidhje periodike sistemet x1 = Ax 4- f(t) me një funksion vektorial periodik f(t) (Kapitulli 4, §7, paragrafi 3).

Leksioni 23.

Përkufizimi 23.1. Sistemi i ekuacioneve diferenciale quhet lineare, nëse është linear në lidhje me të gjitha funksionet e panjohura dhe derivatet e tyre.

Në veçanti, një sistem ekuacionesh lineare të rendit të parë me koeficientë konstante ka formën:

Ju mund të përdorni shënimin e matricës së një sistemi të tillë nëse futni matricat

. Atëherë sistemi (23.1) është ekuivalent ekuacioni i matricës. (23.2)

Nëse marrim parasysh operatorin linear , ekuacioni (23.2) do të marrë formën:

Që nga operatori L ka veti lineare:

1) L[cX] = cL[X];

2) L[X 1 + X 2] = L[X 1] + L[X 2],

pastaj për tretësirat e sistemit homogjen linear (23.3) (me F= 0) vlejnë të njëjtat veti: nëse X 1 Dhe X 2– zgjidhjet ekuacioni homogjen(23.3), atëherë kombinimi i tyre linear do të jetë zgjidhje për të njëjtin ekuacion.

Ju mund të prezantoni konceptin varësia lineare zgjidhjet X 1, X 2,…, X f:

Përkufizimi 23.2. Vektorë (kolona) X 1, X 2,…, X f, Ku

, quhen varur në mënyrë lineare për , nëse ka numra α 1 , α 2 ,…, α n, jo të gjitha janë të barabarta me zero, e cila

α 1 X 1 + α 2 X 2 +…+ α p X p ≡ 0 (23.4)

në . Nëse identiteti (23.4) është i vlefshëm vetëm për të gjithë α i = 0, thirren vektorët i pavarur në mënyrë lineare.

Komentoni. Le të thërrasim Përcaktori i Vronskit për ekuacionin (23.4) përcaktorja është e formës

, (23.5)

që është përcaktues i sistemit të ekuacioneve të përftuara nga shënimi koordinativ i barazisë (23.4). Mund të tregohet se, ashtu si në rastin e zgjidhjes së një ekuacioni linear homogjen, kur W= 0 zgjidhje X 1, X 2,…, X f varur në mënyrë lineare nga [ a,b]. Atëherë teorema e mëposhtme është e vërtetë:

Teorema 23.1. Kombinim linear n zgjidhjet lineare të pavarura të një sistemi homogjen linear është një zgjidhje e përgjithshme e këtij sistemi.

Ne do të kërkojmë një sistem themelor zgjidhjesh për një sistem linear homogjen me koeficientë konstante

(23.6)

në formën: , (23.7)

Ku α i– e përhershme. Zëvendësimi i (23.7) në (23.6) dhe reduktimi me e kt marrim:

. (23.8)

Në mënyrë që ky sistem të ketë një zgjidhje jo zero, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që përcaktori kryesor i tij të jetë e barabartë me zero:

, (23.9)

cili është ekuacioni n- i afërm i shkallës k, thirri karakteristike.

Nëse të gjitha rrënjët e ekuacionit karakteristik janë të ndryshme, atëherë duke i zëvendësuar ato në mënyrë sekuenciale në sistemin (23.8), mund të gjenden vlerat përkatëse dhe në këtë mënyrë n zgjidhje të ndryshme sistemet (23.6). Këto zgjidhje janë linearisht të pavarura. Në të vërtetë, nëse numrat do të ekzistonin β 1, β 2,…, β f të tilla që

, pastaj për shkak të pavarësia lineare funksionet do të ndiqte që për secilin i. Por që të paktën një prej nuk është e barabartë me zero, ne gjejmë se të gjithë . Për rrjedhojë, zgjidhjet e gjetura (23.7) janë linearisht të pavarura, dhe zgjidhja e përgjithshme e sistemit ka formën: , (23.10)

Ku c i– konstante arbitrare.

Le të krijojmë një ekuacion karakteristik:

k 1 = 1, k 2=5. Për k= 1 marrim një sistem për përcaktimin: dmth

Le të pranojmë , Pastaj . Në k = 5 ,

Pastaj . Prandaj, zgjidhja e përgjithshme e sistemit ka formën: .

Në rastin e rrënjëve të shumëfishta të ekuacionit karakteristik, zgjidhja e sistemit (23.6) ka formën

Ku γ është shumësia e rrënjës k s.

Ekuacioni karakteristik ka formën:

k 1 = k 2 = 3. Le x =(c 1 + c 2 t)e 3 t, y =(c 3 + c 4 t)e 3 t . Le të shprehim konstantet nga 3 Dhe nga 4 përmes nga 1 Dhe me 2. Për ta bërë këtë, ne zëvendësojmë zgjidhjet e gjetura në një nga ekuacionet e sistemit dhe barazojmë koeficientët për e 3 t Dhe te 3 t: (3c 1 + c 2 + 3c 2 t)e 3 t = (2c 1 + c 3)e 3 t +(2c 2 + c 4)te 3 t, c 3 = c 1 + c 2,

c 4 = c 2 . Pra, zgjidhja e përgjithshme e sistemit merret në formën: x =(c 1 + c 2 t)e 3 t, y =(c 1 + c 2 + c 2 t)e 3 t .

Komentoni. Për sistemin johomogjen (23.1) zgjidhja e përgjithshme, si dhe për ekuacioni johomogjen, do të jetë shuma e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit homogjen përkatës dhe zgjidhjes së veçantë të sistemit johomogjen. Kur zgjidhni zgjidhje të veçanta, parimi i mbivendosjes është i vlefshëm.

. Le të gjejmë herësin zgjidhje në formën: . Pas zëvendësimit marrim: , ku A = 3, NË= 1. Duke shtuar zgjidhjen e përgjithshme të sistemit homogjen përkatës në zgjidhjen e veçantë që rezulton, ne shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit origjinal: x = c 1 e t + 2c 2 e 4 t + 3e 5 t, y = -c 1 e t + c 2 e 4 t + e 5 t.

Leksioni 24.

Stabiliteti i zgjidhjeve të ekuacioneve diferenciale dhe sistemeve të tyre. Përcaktimi i stabilitetit të Lyapunov dhe stabilitetit asimptotik. Sistemet autonome të ekuacioneve diferenciale. Hapësira fazore (rrafsh), trajektore fazore. Pikat e pushimit. Klasifikimi i pikave të pushimit të një sistemi me dy ekuacione diferenciale lineare homogjene me koeficientë konstante. Kushtet për qëndrueshmërinë e një pike pushimi.

Që kur zgjidhja probleme reale Me ndihmën e ekuacioneve diferenciale, kushtet fillestare janë zakonisht rezultate të matjeve dhe, për rrjedhojë, të marra me ndonjë gabim, një pyetje shumë e rëndësishme është se si do të ndryshojë zgjidhja e ekuacionit me një ndryshim të vogël në kushtet fillestare. Në veçanti, nëse ndryshime të tilla ndryshojnë ndjeshëm vendimin, atëherë zgjidhje e ngjashme, padyshim, nuk ka asnjë vlerë praktike.

Le të përshkruhet ndonjë fenomen nga një sistem ekuacionesh diferenciale

(24.1)

me kushte fillestare y i(t 0) = y i 0 .

Përkufizimi 24.1. Zgjidhje φi(t) (ǐ = 1,2,…,n) quhet Lyapunov i qëndrueshëm, Nëse

E tillë që për çdo zgjidhje yi(t) të të njëjtit sistem, kushtet fillestare të të cilit plotësojnë pabarazitë, pabarazitë janë të vlefshme për të gjithë (24.2)

(d.m.th., zgjidhjet me vlerë të afërt mbeten të afërta për të gjithë).

Nëse për të paktën një zgjidhje yi(t) pabarazitë (24.2) nuk janë të kënaqur, zgjidhja φi(t) quhet e paqëndrueshme.

Nëse zgjidhja φi(t) jo vetëm që Lyapunov është stabil, por edhe e plotëson gjendjen

(24.3)

për , atëherë kjo zgjidhje quhet asimptotikisht e qëndrueshme.

Komentoni. Një kusht (24.3) nuk siguron qëndrueshmërinë e zgjidhjes.

Plani fazor.

Ekuacioni diferencial i rendit të dytë

(24.4)

është ekuivalente me një sistem ekuacionesh të rendit të parë

. (24.5)

Gjeometrikisht, zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit (24.4) ose sistemi (24.5) mund të përfaqësohet nga familja trajektoret fazore në plani fazor. Ky paraqitje është veçanërisht i përshtatshëm kur funksioni nuk përmban në mënyrë eksplicite një ndryshore të pavarur t. Pastaj sistemi (24.5) ka formën

(24.6)

dhe quhet sistem autonom . Trajektoret e fazës në këtë rast plotësojnë ekuacionin diferencial të rendit të parë

i cili i cakton çdo pike pjerrësinë e lakores integrale që kalon nëpër të.

Pikat e pushimit.

Përkufizimi 24.2. Pika e rrafshit fazor të sistemit (24.6) quhet pikë e zakonshme, nëse të dyja janë të diferencueshme dhe nuk zhduken njëkohësisht; Një trajektore fazore kalon nëpër çdo pikë të zakonshme. Pika quhet pikë e veçantë, nëse dhe .

Komentoni. Pika të veçanta klasifikohen sipas natyrës së trajektoreve fazore në afërsi të tyre.

Studimi i qëndrueshmërisë së një zgjidhjeje të caktuar të sistemit (24.1) mund të reduktohet në studimin e një zgjidhjeje të parëndësishme - pikat e pushimit, të vendosura në origjinën e koordinatave, duke e transformuar sistemin në ndryshore të reja: - devijimet e të panjohurave të mëparshme nga zgjidhja që studiohet për qëndrueshmëri. Në të reja sistemi i ndryshueshëm(24.1) merr formën:

Llojet më të thjeshta të pikave të pushimit.

Ne studiojmë vendndodhjen e trajektoreve në afërsi të pikës së pushimit X = 0, në= 0 sistemi i dy ekuacioneve lineare homogjene me koeficientë konstante:

, Ku. (24.9)

Ekuacioni karakteristik ka formën:

Le të shohim grupe të ndryshme rrënjësh për këtë ekuacion:

1) k 1 Dhe k 2 të vlefshme dhe të ndryshme. Pastaj zgjidhja e përgjithshme e sistemit (24.9) mund të specifikohet si më poshtë: . Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

a) nëse k 1< 0 dhe k 2 < 0, то точка покоя асимптотически устойчива, так как , и все точки, находящиеся в momenti i fillimit t = t 0 në çdo δ – lagje e origjinës, për një mjaft të madhe t shkoni në pikat që shtrihen në një ε - lagje arbitrare të vogël të origjinës së koordinatave, dhe kur ato priren në origjinën e koordinatave. Kjo pikë pushimi quhet nyje e qëndrueshme.

Si të zgjidhim një sistem ekuacionesh diferenciale?

Supozohet se lexuesi është tashmë mjaft i mirë në zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale, në veçanti ekuacionet homogjene të rendit të dytë Dhe ekuacionet johomogjene të rendit të dytë me koeficientë konstante. Nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me sistemet e ekuacioneve diferenciale, dhe nëse jeni të kënaqur me llojet e mësipërme të ekuacioneve, atëherë zotërimi i sistemeve nuk do të jetë i vështirë.

Ekzistojnë dy lloje kryesore të sistemeve të ekuacioneve diferenciale:

– Sistemet lineare homogjene të ekuacioneve diferenciale
– Sistemet lineare johomogjene të ekuacioneve diferenciale

Dhe dy mënyra kryesore për të zgjidhur një sistem ekuacionesh diferenciale:

– Metoda e eliminimit. Thelbi i metodës është që gjatë zgjidhjes sistemi i ekuacioneve diferenciale reduktohet në një ekuacion diferencial.

– Përdorimi i ekuacionit karakteristik(e ashtuquajtura metoda Euler).

Në shumicën dërrmuese të rasteve, një sistem ekuacionesh diferenciale duhet të zgjidhet duke përdorur metodën e parë. Metoda e dytë është shumë më pak e zakonshme në situata problemore në të gjithë praktikën time, unë kam zgjidhur më së shumti 10-20 sisteme me të. Por këtë do ta shqyrtojmë shkurtimisht edhe në paragrafin e fundit të këtij neni.

Kërkoj falje menjëherë për paplotësimin teorik të materialit, por përfshiva në mësim vetëm ato detyra që realisht mund të hasen në praktikë. Nuk ka gjasa të gjeni diçka që bie në një shi meteorësh një herë në pesë vjet këtu, dhe me surpriza të tilla duhet t'i drejtoheni tullave të specializuara të difuzionit.

Sisteme lineare homogjene të ekuacioneve diferenciale

Sistemi më i thjeshtë homogjen i ekuacioneve diferenciale ka pamje tjetër:

Në fakt, pothuajse gjithçka shembuj praktik ato janë të kufizuara në një sistem të tillë =)

Çfarë ka atje?

– këto janë numra (koeficientë numerikë). Më së shumti numra të rregullt. Në veçanti, një, disa apo edhe të gjithë koeficientët mund të jenë zero. Por dhurata të tilla jepen rrallë, kështu që numrat më shpesh nuk janë të barabartë me zero.

Dhe këto janë funksione të panjohura. Ndryshorja që vepron si një variabël e pavarur është "si X në një ekuacion diferencial të zakonshëm".

Dhe janë derivatet e parë të funksioneve të panjohura dhe, përkatësisht.

Çfarë do të thotë të zgjidhësh një sistem ekuacionesh diferenciale?

Kjo do të thotë të gjesh të tilla funksionet dhe që kënaqin edhe e para edhe e dyta ekuacioni i sistemit. Siç mund ta shihni, parimi është shumë i ngjashëm me atë konvencional sistemet e ekuacioneve lineare. Vetëm atje rrënjët janë numra, dhe këtu janë funksione.

Përgjigja e gjetur shkruhet në formular zgjidhje e përgjithshme e një sistemi ekuacionesh diferenciale:

Në kllapa kaçurrelë! Këto funksione janë "në një parzmore".

Për një sistem të telekomandës, mund të zgjidhni problemin Cauchy, domethënë të gjeni zgjidhje të veçantë të sistemit, duke plotësuar kushtet e dhëna fillestare. Një zgjidhje e veçantë e sistemit shkruhet gjithashtu me kllapa kaçurrelë.

Sistemi mund të rishkruhet më kompakt si më poshtë:

Por tradicionalisht, zgjidhja me derivate të shkruara në diferenciale është më e zakonshme, kështu që ju lutemi mësohuni menjëherë me shënimin e mëposhtëm:
dhe – derivatet e rendit të parë;
dhe janë derivate të rendit të dytë.

Shembulli 1

Zgjidh problemin e Cauchy për një sistem ekuacionesh diferenciale me kushte fillestare , .

Zgjidhja: Në problemet, sistemi më së shpeshti has në kushte fillestare, pra pothuajse të gjithë shembujt këtë mësim do të jetë me problemin Cauchy. Por kjo nuk është e rëndësishme, pasi një zgjidhje e përgjithshme do të duhet ende të gjendet gjatë rrugës.

Le të zgjidhim sistemin me eliminim. Më lejoni t'ju kujtoj se thelbi i metodës është reduktimi i sistemit në një ekuacion diferencial. Dhe shpresoj t'i zgjidhni mirë ekuacionet diferenciale.

Algoritmi i zgjidhjes është standard:

1) Merr ekuacioni i dytë i sistemit dhe ne shprehemi prej saj:

Ky ekuacion do të na duhet një zgjidhje deri në fund, dhe unë do ta shënoj me një yll. Në tekstet shkollore ndodh që të hasin në 500 shënime dhe më pas referojnë: “sipas formulës (253) ...”, dhe këtë formulë e kërkojnë diku 50 faqe mbrapa. Unë do të kufizohem në një pikë të vetme (*).

2) Dalloni në të dy anët e ekuacionit që rezulton:

Me "goditje" procesi duket si ky:

Është e rëndësishme që kjo pikë e thjeshtë të jetë e qartë, nuk do të ndalem më tej.

3) Le të zëvendësojmë dhe në ekuacionin e parë të sistemit:

Dhe le të bëjmë thjeshtimet maksimale:

Rezultati është gjëja më e zakonshme ekuacioni homogjen i rendit të dytë me koeficientë konstante. Me "goditje" shkruhet kështu: .

– fitohen rrënjë të ndryshme reale, pra:
.

Një nga funksionet është gjetur, gjysmë mbrapa.

Po, ju lutem vini re se kemi marrë një ekuacion karakteristik me një diskriminues "të mirë", që do të thotë se nuk kemi ngatërruar asgjë në zëvendësimin dhe thjeshtimet.

4) Le të shkojmë për funksionin. Për ta bërë këtë, ne marrim funksionin e gjetur tashmë dhe gjeni derivatin e tij. Dallojmë sipas:

Le të zëvendësojmë dhe në ekuacionin (*):

Ose shkurt:

5) Të dy funksionet janë gjetur, le të shkruajmë zgjidhjen e përgjithshme të sistemit:

Përgjigje: zgjidhje private:

Përgjigja e marrë është mjaft e lehtë për t'u kontrolluar, verifikimi kryhet në tre hapa:

1) Kontrolloni nëse kushtet fillestare janë përmbushur në të vërtetë:

Të dy kushtet fillestare janë plotësuar.

2) Le të kontrollojmë nëse përgjigja e gjetur plotëson ekuacionin e parë të sistemit.

Ne e marrim funksionin nga përgjigja dhe gjeni derivatin e tij:

Le të zëvendësojmë , Dhe në ekuacionin e parë të sistemit:

Marrë barazi e vërtetë, që do të thotë se përgjigja e gjetur plotëson ekuacionin e parë të sistemit.

3) Le të kontrollojmë nëse përgjigja plotëson ekuacionin e dytë të sistemit

Marrim funksionin nga përgjigja dhe gjejmë derivatin e tij:

Le të zëvendësojmë , Dhe në ekuacionin e dytë të sistemit:

Fitohet barazia e saktë, që do të thotë se përgjigja e gjetur plotëson ekuacionin e dytë të sistemit.

Kontrolli i përfunduar. Çfarë është kontrolluar? Është verifikuar plotësimi i kushteve fillestare. Dhe, më e rëndësishmja, tregohet fakti se është gjetur zgjidhja e veçantë kënaq ndaj të gjithëve ekuacioni i sistemit origjinal .

Në mënyrë të ngjashme, mund të kontrolloni zgjidhjen e përgjithshme , kontrolli do të jetë edhe më i shkurtër, pasi nuk ka nevojë të kontrollohet nëse janë plotësuar kushtet fillestare.

Tani le të kthehemi te sistemi i zgjidhur dhe të bëjmë disa pyetje. Zgjidhja filloi kështu: morëm ekuacionin e dytë të sistemit dhe u shprehëm prej tij. A ishte e mundur të shprehesh jo "X", por "Y"? Nëse shprehemi, atëherë kjo nuk do të na japë asgjë kjo shprehje në të djathtë janë "Y" dhe "X", kështu që ne nuk do të jemi në gjendje të heqim qafe variablin dhe ta zvogëlojmë zgjidhjen e sistemit në zgjidhjen e një ekuacioni diferencial.

Pyetja dy. A ishte e mundur të fillonim zgjidhjen jo nga ekuacioni i dytë, por nga ekuacioni i parë i sistemit? Mund. Le të shohim ekuacionin e parë të sistemit: . Në të kemi dy "X" dhe një "Y", kështu që është e nevojshme të shprehim rreptësisht "Y" përmes "X": . Më pas është derivati ​​i parë: . Atëherë duhet të zëvendësoni Dhe në ekuacionin e dytë të sistemit. Zgjidhja do të jetë plotësisht ekuivalente, me ndryshimin se fillimisht do të gjejmë funksionin dhe më pas .

Dhe vetëm për metodën e dytë do të ketë një shembull për vendim i pavarur:

Shembulli 2

Gjeni një zgjidhje të veçantë për sistemin e ekuacioneve diferenciale që plotëson kushtet fillestare të dhëna.

Në zgjidhjen mostër, e cila jepet në fund të orës së mësimit, shprehet nga barazimi i parë dhe e gjithë vallja fillon nga kjo shprehje. Përpiquni të bëni vetë një zgjidhje pasqyre, pikë për pikë, pa shikuar mostrën.

Ju gjithashtu mund të shkoni në rrugën e Shembullit Nr. 1 - nga ekuacioni i dytë, shprehni (vini re se është "x" që duhet të shprehet). Por kjo metodë është më pak racionale, për arsye se përfunduam me një fraksion, i cili nuk është plotësisht i përshtatshëm.

Sistemet lineare johomogjene të ekuacioneve diferenciale

Pothuajse e njëjta gjë, vetëm zgjidhja do të jetë pak më e gjatë.

Sistemi johomogjen i ekuacioneve diferenciale, të cilin në shumicën e rasteve mund ta hasni në probleme, ka këtë formë:

Krahasuar me një sistem homogjen, një funksion i caktuar në varësi të "te" shtohet shtesë në secilin ekuacion. Funksionet mund të jenë konstante (dhe të paktën njëri prej tyre nuk është i barabartë me zero), eksponenciale, sinus, kosinus, etj.

Shembulli 3

Gjeni një zgjidhje të veçantë për sistemin e ekuacioneve diferenciale lineare që korrespondojnë me kushtet e dhëna fillestare

Zgjidhja:Është dhënë një sistem linear johomogjen i ekuacioneve diferenciale; Ne përdorim metoda e eliminimit, ndërsa vetë algoritmi i zgjidhjes është plotësisht i ruajtur. Për një ndryshim, do të filloj me ekuacionin e parë.

1) Nga ekuacioni i parë i sistemit shprehim:

Kjo është një gjë e rëndësishme, kështu që unë do ta luaj përsëri. Është më mirë të mos hapen kllapat pse ka thyesa shtesë?

Dhe vini re përsëri se është "y" që shprehet nga ekuacioni i parë - përmes dy "X" dhe një konstante.

2) Dalloni në të dyja anët:

Konstanta (tre) është zhdukur, për faktin se derivati ​​i konstantës është i barabartë me zero.

3) Le të zëvendësojmë Dhe në ekuacionin e dytë të sistemit :

Menjëherë pas zëvendësimit, këshillohet që të heqim qafe fraksionet për ta bërë këtë, ne shumëzojmë secilën pjesë të ekuacionit me 5:

Tani bëjmë thjeshtime:

Rezultati ishte ekuacioni linear johomogjen i rendit të dytë me koeficientë konstante. Ky, në thelb, është i gjithë ndryshimi nga zgjidhja e një sistemi homogjen ekuacionesh të diskutuar në paragrafin e mëparshëm.

Shënim: Megjithatë, në një sistem johomogjen ndonjëherë mund të merret një ekuacion homogjen.

Le të gjejmë zgjidhjen e përgjithshme të ekuacionit homogjen përkatës:

Le të hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik:

– e konjuguar rrënjë komplekse, Kjo është arsyeja pse:
.

Rrënjët e ekuacionit karakteristik doli të ishin përsëri "të mira", që do të thotë se jemi në rrugën e duhur.

Ne kërkojmë një zgjidhje të veçantë për ekuacionin johomogjen në formën .
Le të gjejmë derivatet e parë dhe të dytë:

Le të zëvendësojmë anën e majtë ekuacioni johomogjen:

Kështu:

Duhet të theksohet se një zgjidhje e veçantë zgjidhet lehtësisht me gojë, dhe është mjaft e pranueshme, në vend të llogaritjeve të gjata, të shkruhet: "Është e qartë se një zgjidhje e veçantë për ekuacionin johomogjen: ."

Si rezultat:

4) Ne jemi duke kërkuar për një funksion. Së pari gjejmë derivatin e funksionit të gjetur tashmë:

Nuk është veçanërisht e këndshme, por derivate të tillë shpesh gjenden në shpërndarës.

Stuhia është në lëvizje të plotë, dhe tani do të ketë një valë të nëntë. Lidheni veten me një litar në kuvertë.

Le të zëvendësojmë
dhe në ekuacionin (*):

5) Zgjidhja e përgjithshme e sistemit:

6) Gjeni një zgjidhje të veçantë që korrespondon me kushtet fillestare:

Më në fund, një zgjidhje private:

E shihni se me çfarë është historia fund i lumtur, tani mund të lundroni pa frikë me varka në detin e qetë nën diellin e butë.

Përgjigje: zgjidhje private:

Nga rruga, nëse filloni ta zgjidhni këtë sistem nga ekuacioni i dytë, llogaritjet do të jenë shumë më të thjeshta (mund të provoni), por shumë vizitorë të faqes kërkuan të analizojnë gjëra më të vështira. Si mund të refuzoni? =) Le të ketë shembuj më seriozë.

Një shembull më i lehtë për t'u zgjidhur vetë:

Shembulli 4

Gjeni një zgjidhje të veçantë për një sistem linear johomogjen të ekuacioneve diferenciale që korrespondojnë me kushtet e dhëna fillestare

Kjo detyrë zgjidhet nga unë sipas shembullit të shembullit nr. 1, domethënë "x" shprehet nga ekuacioni i dytë. Zgjidhja dhe përgjigja janë në fund të mësimit.

Në shembujt e shqyrtuar, nuk ishte rastësi që përdora shënime të ndryshme dhe aplikova zgjidhje të ndryshme. Kështu, për shembull, derivatet në të njëjtën detyrë shkruheshin në tre mënyra: . NË matematikë e lartë Nuk ka nevojë të kesh frikë nga ndonjë gërvishtje, gjëja kryesore është të kuptosh algoritmin e zgjidhjes.

Metoda e ekuacionit karakteristik(metoda Eulerian)

Siç u përmend në fillim të artikullit, duke përdorur një ekuacion karakteristik, një sistem ekuacionesh diferenciale rrallë kërkohet të zgjidhet, kështu që në paragrafin e fundit do të shqyrtoj vetëm një shembull.

Shembulli 5

Jepet një sistem linear homogjen i ekuacioneve diferenciale

Gjeni një zgjidhje të përgjithshme për një sistem ekuacionesh duke përdorur ekuacionin karakteristik

Zgjidhja: Ne shikojmë sistemin e ekuacioneve dhe krijojmë një përcaktor të rendit të dytë:

Mendoj se të gjithë mund të shohin se mbi çfarë parimi është përpiluar përcaktorja.

Le të krijojmë një ekuacion karakteristik, për këtë, nga çdo numër që ndodhet në diagonale kryesore, zbrit disa parametër:

Në një kopje të pastër, natyrisht, duhet të shkruani menjëherë ekuacionin karakteristik që e shpjegoj me detaje, në mënyrë që të jetë e qartë se nga vjen.

Zgjerojmë përcaktorin:

Dhe gjejmë rrënjët e ekuacionit kuadratik:

Nëse ekuacioni karakteristik ka dy te ndryshme rrënjë të vërteta , atëherë zgjidhja e përgjithshme e sistemit të ekuacioneve diferenciale ka formën:

Ne tashmë i dimë koeficientët në eksponentë, gjithçka që mbetet është të gjejmë koeficientët

1) Konsideroni rrënjën dhe zëvendësojeni atë në ekuacionin karakteristik:

(ju gjithashtu nuk duhet t'i shkruani këto dy përcaktues në letrën e zbrazët, por menjëherë krijoni sistemin më poshtë me gojë)

Duke përdorur numrat e përcaktorit, ne krijojmë një sistem prej dy ekuacionesh lineare me dy të panjohura:

E njëjta barazi rrjedh nga të dy ekuacionet:

Tani ju duhet të zgjidhni më së paku vlera , e tillë që vlera është një numër i plotë. Natyrisht, duhet të vendosni . Dhe nëse, atëherë

Për të zgjidhur marrëdhëniet e përsëritjes rregullat e përgjithshme nuk ekziston. Sidoqoftë, ekziston një klasë shumë e zakonshme e marrëdhënieve që mund të zgjidhen duke përdorur një metodë uniforme. kjo - marrëdhëniet e përsëritjes lloji

f(n + k) = a1 f(n + k − 1) + a2 f(n + k − 2) + ...

A k f(n) ,

ku a1, a2,..., a k janë disa numra. Marrëdhënie të tilla quhen marrëdhënie lineare periodike me koeficientë konstante.

Le të shqyrtojmë se si zgjidhen marrëdhënie të tilla për k = 2, domethënë do të studiojmë marrëdhëniet e formës

f(n + 2) = a1 f(n + 1) + a2 f(n) . (3)

Zgjidhja e këtyre marrëdhënieve bazohet në dy pohimet e mëposhtme:

1) Nëse f1(n) dhe f 2 (n) janë zgjidhje të relacionit të përsëritjes (3), atëherë për çdo A dhe B sekuenca

f(n) = Af1(n) + Bf2(n) është gjithashtu një zgjidhje për këtë relacion. Në fakt, me kusht kemi

f1 (n + 2) = a1 f1 (n + 1) + a2 f1 (n) dhe

f2(n + 2) = a1 f2(n + 1) + a2 f2(n) .

Le t'i shumëzojmë këto barazi me A dhe B, përkatësisht, dhe të shtojmë identitetet që rezultojnë. Ne do ta marrim atë

Af1 (n + 2) + Bf2 (n + 2) = a1[ Af1 (n + 1) + Bf2 (n + 1)] + a2

Kjo do të thotë se f(n) = Af1(n)+Bf2(n) është një zgjidhje për relacionin tonë.

2) Nëse numri r1 është rrënja e një ekuacioni kuadratik

pastaj sekuenca

1, r1 , r12 , ..., r1n −1 ,...

është një zgjidhje për relacionin e përsëritjes

f(n + 2) = a1 f(n + 1) + a2 f(n)

Së bashku me sekuencën ( r1n −1 ), çdo sekuencë

f(n) = r1n + m, n =1,2,... është gjithashtu një zgjidhje për marrëdhënien në studim.

Nga pohimet 1) dhe 2) rrjedh rregulli tjetër zgjidhje të marrëdhënieve të përsëritjes lineare të rendit të dytë me koeficientë konstante:

Le të jepet relacioni i përsëritjes

f(n + 2) = a1 f(n + 1) + a2 f(n).

Le të kompozojmë ekuacioni kuadratik

që quhet karakteristikë për një marrëdhënie të caktuar.

1. Nëse ky ekuacion ka dy rrënjë të ndryshme r1 dhe r2, atëherë zgjidhja e përgjithshme e relacionit të përsëritjes ka formën

f(n) = C1 r1n −1 + C2 r2n − 2

2. nëse ekuacioni kuadratik r2 = a1 r + a 2 ka dy rrënjë që përputhen r1 = r2, atëherë zgjidhja e përgjithshme e tij ka formën:

f(n) =C1 r1n −1 + C2 nr1n −1 = r1n −1 (C1 + C2n) .

Duke zgjedhur C1 dhe C2, çdo kusht fillestar mund të plotësohet.

Marrëdhëniet e përsëritjes lineare me koeficientë konstante të rendit më të madh se dy zgjidhen në të njëjtën mënyrë.

Ju gjithashtu mund të gjeni informacionin për të cilin jeni të interesuar në motorin e kërkimit shkencor Otvety.Online. Përdorni formularin e kërkimit:

Më shumë për temën Marrëdhëniet e përsëritjes lineare me koeficientë konstante:

1. 17. Sisteme DE homogjene dhe johomogjene lineare me koeficientë konstante
2. Ekuacione diferenciale homogjene lineare me koeficientë konstante.
3. Sistemi linear johomogjen i ekuacioneve diferenciale me koeficientë konstante
4. Sisteme normale ekuacionesh diferenciale homogjene lineare me koeficientë konstante.
5. Ekuacione diferenciale johomogjene lineare me koeficientë konstante.
6. 22. Ekuacionet diferenciale lineare të rendit më të lartë me koeficientë konstante janë homogjene.
7. Diferenca lineare. ur. rendit i dytë me koeficientë konstante, zbatimi i tyre në studimin e dridhjeve të lira dhe të detyruara.

(SODE), e cila është lineare homogjene me koeficientë konstante, ka formën e mëposhtme: $\left\(\begin(array)(c) (y"_(1) =a_(11) \cdot y_(1) +a_ (12 ) \cdot y_(2) +\ldots +a_(1n) \cdot y_(n) ) \\ (y"_(2) =a_(21) \cdot y_(1) +a_(22) \ cdot y_ (2) +\ldots +a_(2n) \cdot y_(n) \\ (\ldots ) \\ (y"_(n) =a_(n1) \cdot y_(1) +a_(n2) \ cdot y_(2) +\ldots +a_(nn) \cdot y_(n) ) \end(array)\djathtas $.

Këtu $y_(1) \left(x\djathtas),\; y_(2)\majtas(x\djathtas),\; \ldots ,\; y_(n) \left(x\right)$ -- funksionet e kërkuara të ndryshores së pavarur $x$, koeficientët $a_(jk) ,\; 1\le j,k\le n$ jepen numra realë.

Për të zgjidhur një SODE të këtij lloji, ne aplikojmë metodën e eliminimit, e cila konsiston në transformimin e saj në një ekuacion diferencial (DE) të rendit $n$të, të cilin më pas e zgjidhim duke përdorur ndonjë nga metodat e njohura.

Problemi 1

Zgjidheni sistemin DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =2\cdot y_(1) +y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =3\cdot y_(1) +4\cdot y_(2) ) \end(array)\djathtas $.

Hapi 1. Nga ekuacioni i parë gjejmë $y_(2) $: $y_(2) =\frac(dy_(1) )(dx) -2\cdot y_(1) $.

\[\frac(dy_(2))(dx) =3\cdot y_(1) +4\cdot \left(\frac(dy_(1) )(dx) -2\cdot y_(1) \djathtas) ; \frac(dy_(2) )(dx) =4\cdot \frac(dy_(1) )(dx) -5\cdot y_(1) .\]

Hapi 3. Diferenconi ekuacionin e parë në lidhje me $x$: $\frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) =2\cdot \frac(dy_(1) )(dx) +\frac (dy_(2) )(dx) $.

\[\frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) =2\cdot \frac(dy_(1))(dx) +4\cdot \frac(dy_(1))( dx) -5\cdot y_(1); \frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) -6\cdot \frac(dy_(1))(dx) +5\cdot y_(1) =0. \]

1. ekuacioni karakteristik $k^(2) -6\cdot k+5=0$;
2. rrënjët e ekuacionit karakteristik $k_(1) =1$, $k_(2) =5$ janë reale, të ndryshme;
3. funksioni i dëshiruar $y_(1) =C_(1) \cdot e^(x) +C_(2) \cdot e^(5\cdot x) $.

1. derivati ​​$\frac(dy_(1) )(dx) =C_(1) \cdot e^(x) +5\cdot C_(2) \cdot e^(5\cdot x) $;

\

Zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi:

Problemi 2

Zgjidhja e sistemit të telekomandës

$\left\(\fillim(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =3\cdot y_(1) -y_(2) ) \\ (\frac(dy_(2) ) (dx) =4\cdot y_(1) -y_(2) ) \end(array)\djathtas $.

Ne e zgjidhim sistemin duke eliminuar funksionin e panjohur $y_(2) $.

Hapi 1. Nga ekuacioni i parë gjejmë $y_(2) $: $y_(2) =-\frac(dy_(1) )(dx) +3\cdot y_(1) $.

Hapi 2. Zëvendësoni $y_(2) $ në ekuacionin e dytë:

\[\frac(dy_(2))(dx) =4\cdot y_(1) +\frac(dy_(1) )(dx) -3\cdot y_(1) ; \frac(dy_(2) )(dx) =\frac(dy_(1) )(dx) +y_(1) .\]

Hapi 3. Diferenconi ekuacionin e parë në lidhje me $x$: $\frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) =3\cdot \frac(dy_(1) )(dx) -\frac (dy_(2) )(dx) $.

Hapi 4. Zëvendësoni shprehjen e marrë në hapin 2 me shprehjen e marrë në hapin 3:

\[\frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2)) =3\cdot \frac(dy_(1))(dx) -\frac(dy_(1))(dx) - y_(1); \frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) -2\cdot \frac(dy_(1))(dx) +y_(1) =0. \]

Hapi 5. Zgjidh një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante:

1. ekuacioni karakteristik $k^(2) -2\cdot k+1=0$;
2. rrënjët e ekuacionit karakteristik $k_(1) =1$, $k_(2) =1$ janë reale, të barabarta;
3. funksioni i dëshiruar $y_(1) =C_(1) \cdot e^(x) +C_(2) \cdot x\cdot e^(x) $.

Hapi 6. Gjeni funksionin $y_(2) $:

1. derivati ​​$\frac(dy_(1) )(dx) =C_(1) \cdot e^(x) +C_(2) \cdot \left(e^(x) +x\cdot e^(x) \ djathtas)$;
2. rezultati i zëvendësimit në shprehjen e marrë në hapin 1:

\ \[=-C_(1) \cdot e^(x) -C_(2) \cdot e^(x) -C_(2) \cdot x\cdot e^(x) +3\cdot C_(1 ) \cdot e^(x) +3\cdot C_(2) \cdot x\cdot e^(x) =\] \[=2\cdot C_(1) \cdot e^(x) -C_(2 ) \cdot e^(x) +2\cdot C_(2) \cdot x\cdot e^(x) .\]

Zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi:

Problemi 3

Zgjidheni sistemin DE $\left\(\begin(array)(c) (\frac(dy_(1) )(dx) =y_(1) -3\cdot y_(2) ) \\ (\frac(dy_ ( 2) )(dx) =3\cdot y_(1) +y_(2) ) \end(array)\djathtas $.

Ne e zgjidhim sistemin duke eliminuar funksionin e panjohur $y_(2) $.

Hapi 1. Nga ekuacioni i parë gjejmë $y_(2) $: $y_(2) =\frac(1)(3) \cdot \left(-\frac(dy_(1) )(dx) +y_( 1) \djathtas)$.

Hapi 2. Zëvendësoni $y_(2) $ në ekuacionin e dytë:

\[\frac(dy_(2) )(dx) =3\cdot y_(1) +\frac(1)(3) \cdot \left(-\frac(dy_(1))(dx) +y_( 1) \ drejtë); \frac(dy_(2) )(dx) =-\frac(1)(3) \cdot \frac(dy_(1) )(dx) +\frac(10)(3) \cdot y_(1) . \]

Hapi 3. Diferenconi ekuacionin e parë në lidhje me $x$: $\frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) =\frac(dy_(1) )(dx) -3\ cdot \frac (dy_(2) )(dx) $.

Hapi 4. Zëvendësoni shprehjen e marrë në hapin 2 me shprehjen e marrë në hapin 3:

\[\frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) =\frac(dy_(1) )(dx) -3\cdot \left(-\frac(1)(3) \cdot \frac(dy_(1) )(dx) +\frac(10)(3) \cdot y_(1) \djathtas); \frac(d^(2) y_(1) )(dx^(2) ) -2\cdot \frac(dy_(1) )(dx) +10\cdot y_(1) =0. \]

Hapi 5. Zgjidh një ekuacion linear homogjen diferencial të rendit të dytë me koeficientë konstante:

1. ekuacioni karakteristik $k^(2) -2\cdot k+10=0$;
2. rrënjët e ekuacionit karakteristik $k_(1) =1+3\cdot i$, $k_(2) =1-3\cdot i$ janë komplekse;
3. funksioni i kërkuar $y_(1) =e^(x) \cdot \left(C_(1) \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_(2) \cdot \sin \left(3 \ cdot x\djathtas)\djathtas)$.

Hapi 6. Gjeni funksionin $y_(2) $:

1. derivatore

$\frac(dy_(1) )(dx) =e^(x) \cdot \left(C_(1) \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_(2) \cdot \sin \left(3\cdot x\djathtas)\djathtas)$+ \[+e^(x) \cdot \left(-3\cdot C_(1) \cdot \sin \majtas(3\cdot x\djathtas) +3\cdot C_(2) \cdot \cos \left(3\cdot x\djathtas)\djathtas);\]

2. rezultati i zëvendësimit në shprehjen e marrë në hapin 1:
\ \[+\frac(1)(3) \cdot e^(x) \cdot \left(3\cdot C_(1) \cdot \sin \left(3\cdot x\djathtas)-3\cdot C_ (2) \cdot \cos \majtas(3\cdot x\djathtas)\djathtas)+\] \[+\frac(1)(3) \cdot e^(x) \cdot \majtas(C_(1) \cdot \cos \left(3\cdot x\right)+C_(2) \cdot \sin \left(3\cdot x\djathtas)\djathtas)=\] \[=e^(x) \cdot \ majtas(C_(1) \cdot \sin \majtas(3\cdot x\djathtas)-C_(2) \cdot \cos \left(3\cdot x\djathtas)\djathtas).

Zgjidhja e përgjithshme e këtij sistemi:

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve