Për të ndërtuar teoria matematikore Ne kemi nevojë jo vetëm për vetë elementët, por edhe për marrëdhëniet ndërmjet tyre. Për numrat, koncepti i barazisë ka kuptim: a = b. Nëse numrat a dhe b janë të ndryshëm, a? b, atëherë është e mundur ose a > b, ose a

Dy plane të drejta mund të jenë pingul, paralel ose të kryqëzohen në një kënd të caktuar.

Të gjitha këto marrëdhënie kanë të bëjnë me dy objekte. Kjo është arsyeja pse ato quhen marrëdhënie binare.

Për të studiuar marrëdhëniet midis objekteve në matematikë, u krijua teoria e marrëdhënieve binare.

Kur marrim parasysh marrëdhënie të caktuara, kemi të bëjmë gjithmonë me çifte të renditura të formuara nga elementet e një grupi të caktuar. Për shembull, për relacionin "më i madh me 4", i cili konsiderohet në grupin X = (2, 6, 10, 14), këto do të renditen çifte (2, 6), (6, 10), (10, 14), dhe për marrëdhëniet "të ndara" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Mund të vërehet se bashkësia e çifteve që përcaktojnë marrëdhëniet "më e madhe se me 4", "pjestueshme", janë nëngrupe Produkt kartezian

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Përkufizimi 1. Një lidhje binare ndërmjet elementeve të një bashkësie X ose një lidhjeje në një bashkësi X është çdo nëngrup i produktit kartezian X ´ X.

Marrëdhëniet binare zakonisht shënohen me shkronja të mëdha Alfabeti latin: P, T, S, R, Q, etj. Pra, nëse P është një relacion në bashkësinë X, atëherë P Ì X ´ X. Shpesh i ndryshëm personazhe të veçanta, për shembull, =, >, ~, ½½, ^, etj. Bashkësia e të gjithë elementëve të parë të çifteve nga P quhet domeni i përkufizimit të relacionit P. Bashkësia e vlerave të relacionit P është bashkësia të të gjithë elementëve të dytë të çifteve nga P.

Për qartësi, marrëdhëniet binare përshkruhen grafikisht duke përdorur një vizatim të veçantë grafiku. Elementet e grupit X paraqiten me pika. Nëse vlen (x, y) Î Р(хРу), atëherë një shigjetë tërhiqet nga pika x në pikën y. Një vizatim i tillë quhet grafik relacioni P, dhe pikat që përfaqësojnë elementet e bashkësisë X janë kulmet e grafikut. shigjetat si skajet e grafikut.

Shembull. Le të jetë relacioni P: “numri x është pjesëtues i numrit y” të dhënë në bashkësi

X = (5, 10, 20, 30, 40), treguar në Figurën 25.

Shigjetat e një grafiku, fillimi dhe fundi i të cilëve janë e njëjta pikë quhen sythe. Nëse ndryshoni drejtimet e të gjitha shigjetave në grafikun e relacionit P në të kundërtën, do të merrni një relacion të ri, i cili quhet anasjelltas për P. Ajo shënohet P–1. Vini re se xРу Û уР–1х.

Metodat për specifikimin e marrëdhënieve binare.

Meqenëse lidhja R ndërmjet elementeve të bashkësisë X është një bashkësi, elementët e të cilit janë çifte të renditura, ajo mund të specifikohet në të njëjtat mënyra si çdo grup.

1. Më shpesh, relacioni R në bashkësinë X specifikohet duke përdorur veti karakteristikeçiftet e elementeve që janë në relacion R. Kjo veti është formuluar si fjali me dy ndryshore.

Për shembull, midis marrëdhënieve në grupin X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), mund të marrim parasysh sa vijon: "numri x më pak numër y është 2 herë", "numri x është pjesëtues i numrit y", "numri x është më i madh se numri y" dhe të tjera.

2. Relacioni R në bashkësinë X mund të specifikohet gjithashtu duke renditur të gjitha çiftet e elementeve të grupit X, të lidhura me marrëdhënie R.

Për shembull, nëse shkruajmë një grup çiftesh (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), atëherë në grupi X = (1, 2, 3, 4) do të përcaktojmë një relacion R. I njëjti relacion R mund të jepet edhe

3. duke përdorur një grafik (Fig. 26).

Vetitë e marrëdhënieve binare.

Përkufizimi 2. Një relacion R në një bashkësi X quhet refleksiv nëse çdo element nga bashkësia X është në këtë lidhje me vetveten.

Shkurtimisht: R është refleksiv në X Û xRx për çdo x О X.

ose, çfarë është e njëjtë: në çdo kulm të grafikut të relacionit ka një lak. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: nëse jo çdo kulm i një grafi relacioni ka një lak, atëherë ai është një relacion refleksiv.

Shembull. Marrëdhëniet refleksive: "të jesh i barabartë në grupin e të gjithë trekëndëshave të rrafshit", "? dhe £ në grupin e të gjithë numrave realë."

Vini re se ka marrëdhënie që nuk kanë vetinë e refleksivitetit (jep një shembull "x është më i madh se y")

Përkufizimi 3. Një lidhje binare R në një bashkësi X quhet antirefleksiv në X nëse për çdo x nga X (x, x) Ï R, d.m.th. për çdo x nga X nuk plotësohet kushti xRx.

Nëse një relacion R është anti-refleksiv, atëherë asnjë kulm i grafikut të tij nuk ka një lak. Anasjelltas: nëse asnjë kulm i grafikut nuk ka një lak, atëherë grafiku përfaqëson një relacion antirefleksiv.

Shembuj të marrëdhënieve antirefleksive: "të jesh më i vjetër", "të jesh më i vogël", "të jesh vajzë", etj.

Përkufizimi 4. Një relacion R në një bashkësi X quhet simetrik nëse, për çdo element x, Î X plotësohet kushti: nëse x dhe y janë në një relacion R, atëherë edhe y dhe x janë në këtë relacion.

Shkurt: R është simetrik në X Û xRу Û yRx.

Një grafik relacioni simetrik ka vetinë: nëse ka një shigjetë që lidh një palë elementësh, atëherë domosdoshmërisht ekziston një e dytë që lidh të njëjtat elementë, por shkon në drejtim të kundërt. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Shembuj të marrëdhënieve simetrike janë relacionet: "të jenë reciprokisht pingul në bashkësinë e të gjitha drejtëzave të rrafshit", "të jenë të ngjashëm në bashkësinë e të gjithë drejtkëndëshave të rrafshit".

Përkufizimi 5. Nëse për asnjë element x dhe y nga bashkësia X mund të ndodhë që edhe xRy edhe yRx të ndodhin njëkohësisht, atëherë relacioni R në bashkësinë X quhet asimetrik.

Një shembull i një lidhjeje asimetrike: "të jesh babai" (nëse x është babai i y, atëherë y nuk mund të jetë babai i x).

Përkufizimi 6. Një relacion R në një bashkësi X quhet antisimetrik nëse për elemente të ndryshme x, y О X Nga fakti se elementi x është në relacion R me elementin y, rezulton se elementi y nuk është në relacion R me elementin x.

Shkurtimisht: R është antisimetrik në X Û xRу dhe x? y? .

Për shembull, lidhja "më pak se" në grupin e numrave të plotë është antisimetrike.

Grafiku i marrëdhënieve antisimetrike ka një veçori të veçantë: nëse dy kulme të grafikut lidhen me një shigjetë, atëherë ka vetëm një shigjetë. Deklarata e kundërt është gjithashtu e vërtetë.

Vini re se ka relacione që nuk kanë as vetinë e simetrisë dhe as vetinë e antisimetrisë.

Përkufizimi 7. Një lidhje R në një bashkësi X quhet kalimtare nëse për ndonjë element x, y, z О X plotësohet kushti i mëposhtëm: nëse x është në relacionin R me y dhe y është në relacionin R me z, atëherë elementi x është në relacion R me elementin z.

Shkurtimisht: R është kalimtar në X Û xRу dhe уRz? xRz.

Për shembull, marrëdhënia "drejtëza x është paralele me drejtëzën y", e përcaktuar në grupin e drejtëzave në një plan, është kalimtare.

Grafiku i relacionit kalimtar ka veçorinë që për çdo çift shigjetash që shkojnë nga x në y dhe nga y në z, ai përmban edhe një shigjetë që shkon nga x në z. E kundërta është gjithashtu e vërtetë.

Vini re se ka marrëdhënie që nuk kanë vetinë e kalueshmërisë. Për shembull, marrëdhënia "qëndrimi pranë njëri-tjetrit në një raft" nuk është kalimtare.

Të gjitha vetitë e përgjithshme marrëdhëniet mund të ndahen në tre grupe:

refleksiviteti (çdo marrëdhënie është refleksive ose antirefleksive),

simetri (lidhja është gjithmonë ose simetrike, asimetrike ose antisimetrike),

transitiviteti (çdo relacion është kalimtar ose jokalimtar). Marrëdhënieve që kanë një grup të caktuar vetive u jepen emra të veçantë.

Koncepti i pajtueshmërisë. Metodat për specifikimin e korrespondencave

Fillimisht, algjebra ishte studimi i zgjidhjes së ekuacioneve. Gjatë shumë shekujve të zhvillimit të saj, algjebra është kthyer në një shkencë që studion operacionet dhe marrëdhëniet në grupe të ndryshme. Prandaj, nuk është rastësi që tashmë në shkollën fillore fëmijët i njohin këto konceptet algjebrike, si shprehje (numerike dhe me variabla), barazia numerike, pabarazia numerike, ekuacion. Ata janë duke studiuar veti të ndryshme veprimet aritmetike mbi numrat që ju lejojnë të kryeni në mënyrë racionale llogaritjet. Dhe, sigurisht, në kursi fillestar matematika është njohja e tyre me varësi të ndryshme, marrëdhëniet, por për t'i përdorur ato për qëllime zhvillimi aktiviteti mendor fëmijë, mësuesi duhet të zotërojë disa koncepte të përgjithshme të algjebrës moderne - konceptin e korrespondencës, relacionit, veprimit algjebrik etj. Përveç kësaj, duke zotëruar gjuha matematikore, e përdorur në algjebër, mësuesi do të jetë në gjendje të kuptojë më mirë thelbin modelimi matematik fenomene reale dhe proceset.

Duke studiuar botën përreth nesh, matematika merr në konsideratë jo vetëm objektet e saj, por edhe kryesisht lidhjet midis tyre. Këto lidhje quhen varësi, korrespondencë, marrëdhënie, funksione. Për shembull, kur llogaritet gjatësia e objekteve, korrespondojnë objektet dhe numrat, të cilët janë vlerat e gjatësisë së tyre; kur zgjidhen problemet e lëvizjes, vendoset një marrëdhënie midis distancës së përshkuar dhe kohës nëse shpejtësia e lëvizjes është konstante.

Varësitë specifike, korrespondencat dhe marrëdhëniet ndërmjet objekteve në matematikë janë studiuar që nga fillimi i saj. Por pyetja se çfarë kanë të përbashkët korrespondencat më të ndryshme, cili është thelbi i çdo korrespondence, u shtrua në fundi i XIX- fillimi i shekullit të 20-të, dhe përgjigja për të u gjet brenda kornizës së teorisë së grupeve.

Në kursin fillestar të matematikës studiohen marrëdhënie të ndryshme midis elementeve të një, dy ose më shumë grupesh. Prandaj, mësuesi duhet të kuptojë thelbin e tyre, gjë që do ta ndihmojë atë të sigurojë unitet në metodologjinë e studimit të këtyre marrëdhënieve.

Le të shohim tre shembuj të korrespondencave të studiuara në një kurs fillestar të matematikës.

Në rastin e parë, ne vendosim një korrespondencë midis shprehjeve të dhëna dhe vlerave të tyre numerike. Në të dytën, zbulojmë se cili numër i korrespondon secilës prej këtyre figurave, duke karakterizuar zonën e saj. Në të tretën po kërkojmë një numër që është zgjidhje e ekuacionit.

Çfarë kanë të përbashkët këto korrespondenca?

Shohim që në të gjitha rastet kemi dy grupe: në të parën është një grup prej tresh shprehjet numerike dhe një grup N numrash natyrorë (vlerat e këtyre shprehjeve i përkasin), në të dytin është një grup prej tresh forma gjeometrike dhe bashkësia N e numrave natyrorë; në të tretën është një grup prej tre ekuacionesh dhe një bashkësi N numrash natyrorë.

Duke plotësuar detyrat e propozuara, ne vendosim një lidhje (korrespondencë) midis elementeve të këtyre grupeve. Mund të paraqitet vizualisht duke përdorur grafikët (Fig. 1).

Ju mund t'i specifikoni këto përputhje duke renditur të gjitha çiftet e elementeve që janë në një përputhje të caktuar:

I. ((në 1, 4), (në 3, 20));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Grupet që rezultojnë tregojnë se çdo korrespondencë midis dy grupeve X dhe Y mund të konsiderohet si grup çiftesh të renditura , të formuara nga elementet e tyre. Dhe duke qenë se çiftet e porositura janë elementë të një produkti kartezian, arrijmë tek përkufizimin e mëposhtëm koncept i përgjithshëm pajtueshmërisë.

Përkufizimi. Një korrespondencë midis elementeve të grupit X dhe Y është çdo nënbashkësi e produktit kartezian të këtyre grupeve.

Përputhjet zakonisht shënohen me shkronjat P, S, T, R, etj. Nëse S është një korrespondencë midis elementeve të grupeve X dhe Y, atëherë, sipas përkufizimit, S X x Y.

Le të zbulojmë tani se si të përcaktojmë korrespondencën midis dy grupeve. Meqenëse korrespondenca është një nënbashkësi, ajo mund të specifikohet si çdo grup, d.m.th. ose duke renditur të gjitha çiftet e elementeve që janë në një korrespondencë të caktuar, ose duke treguar një veti karakteristike të elementeve të kësaj nëngrupi. Kështu, korrespondenca midis grupeve X = (1, 2, 4, 6) dhe Y = (3, 5) mund të specifikohet:

1) duke përdorur një fjali me dy ndryshore: a< b при условии, что а X, b Y;

2) renditja e çifteve të numrave që i përkasin një nëngrupi të produktit kartezian XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Kjo metodë e caktimit përfshin gjithashtu caktimin e korrespondencës duke përdorur një grafik (Fig. 2) dhe një grafik (Fig. 3)

Oriz. 2 Fig. 3

Shpesh, kur studiohen korrespondenca midis elementeve të grupeve X dhe Y, duhet të merret parasysh korrespondenca që është e kundërta e saj. Le, për shembull,

S - "më shumë se 2" korrespondencë midis elementeve të grupeve

X = (4,5,8, 10) dhe Y= (2,3,6). Atëherë S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) dhe grafiku i tij do të jetë i njëjtë si në figurën 4a.

E anasjellta e ndeshjes së dhënë është ndeshja "më pak se 2". Konsiderohet midis elementeve të bashkësive Y dhe X dhe për ta paraqitur qartë, mjafton të ndryshohet drejtimi i shigjetave në grafikun e relacionit S në të kundërt (Fig. 4b). Nëse korrespondenca "më pak me 2" shënohet me S -1, atëherë S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

Le të pranojmë të shkruajmë fjalinë "elementi x është në përputhje me elementin y" si më poshtë: xSy. Hyrja xSy mund të konsiderohet si një përgjithësim i hyrjeve për korrespondenca specifike: x = 2y; x > 3v+1, etj.

Le të përdorim shënimin e paraqitur për të përcaktuar konceptin e korrespondencës në të kundërt me atë të dhënë.

Përkufizimi. Le të jetë S një korrespondencë ndërmjet elementeve të bashkësive X dhe Y. Një korrespondencë S -1 ndërmjet elementeve të bashkësive Y dhe X thuhet se është e anasjellta e saj nëse yS -x nëse dhe vetëm nëse xSy .

Korrespondencat S dhe S -1 quhen reciprokisht të anasjellta. Le të zbulojmë veçoritë e grafikëve të tyre.

Le të ndërtojmë një grafik korrespondence S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a). Kur ndërtojmë një grafik korrespondence S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)), duhet të zgjedhim komponentin e parë nga grupi Y = (2, 3, 6) dhe e dyta nga grupi X = (4, 5, 8, 10). Si rezultat, grafiku i korrespondencës S-1 do të përkojë me grafikun e korrespondencës S. Për të dalluar grafikët e korrespondencës S dhe S-1,

ranë dakord të konsideronin përbërësin e parë të çiftit të korrespondencës S-1 si abshisë dhe të dytin si ordinatë. Për shembull, nëse (5, 3) S, atëherë (3, 5) S -1. Pikat me koordinatat (5, 3) dhe (3, 5), dhe in rast i përgjithshëm(x, y) dhe (y, x) janë simetrike në lidhje me përgjysmuesin e 1 dhe 3 kënde koordinative. Rrjedhimisht, grafikët e korrespondencave reciproke të anasjellta S dhe S-1 janë simetrike në lidhje me përgjysmuesin e këndeve të koordinatave 1 dhe 3.

Për të ndërtuar një grafik korrespondence S-1, mjafton të përshkruani plan koordinativ pikë, simetrike me pikat grafiku i S në lidhje me përgjysmuesin e këndit të koordinatave 1 dhe 3.

1. Rangu i matricës

3
5
2
4

2. Komplement algjebrik element

A 23 = 12
A 23 = -34
A 23 = 34
A 23 = -12

3. Produkti i matricave

- E drejta

4. Nëse të gjithë elementët janë në një vijë matricë drejtkëndëshe Dhe dimensionet n x m shumëzuar me dy, atëherë rangu i matricës A...
do të rritet me 2
nuk do të ndryshojë
do të dyfishohet në madhësi

5. Raporti i saktë

- E drejta

6. Vlera përcaktuese

2
4
5
3

7. Pozicioni i ndërsjellë vija të drejta 4x - 2y - 6 = 0 dhe 8x - 4y - 2 = 0 në aeroplan - vija të drejta ...
paralele
kryqëzohen
pingul
ndeshje

8. Le të jenë x dhe y zgjidhje të sistemit

4
7
5
6

9. Ndër ekuacionet e mëposhtme, tregoni ekuacionin e elipsës

10. Le të jepet rreshti ekuacioni normal x sinα + y sinα – p = 0. Pohim i vërtetë
Nëse OA është një pingul, i rikthyer nga origjina në vijën e drejtë, atëherë α është këndi i formuar nga OA pingul me boshtin Ox
Nëse OA është një pingul, i rikthyer nga origjina në vijë, atëherë α është gjatësia e kësaj pingule
p - madhësia e segmentit të prerë nga një vijë e drejtë në boshtin Ox
α është këndi i prirjes së drejtëzës ndaj drejtim pozitiv bosht kau

11. Është dhënë një sistem linear

sistemi ka zgjidhje të panumërta
sistemi nuk ka zgjidhje
sistemi ka një zgjidhje unike
asgjë nuk mund të thuhet për praninë e zgjidhjeve (sistemi mund ose nuk mund të ketë një zgjidhje)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y – 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Gjeni produkt me pika vektorët

Fjala "konformitet" përdoret mjaft shpesh në rusisht, do të thotë një marrëdhënie midis diçkaje, duke shprehur qëndrueshmëri, barazi në një farë mënyre (; fjalor shpjegues Ozhegova).

Në jetë dëgjon shpesh: “Ky tekst i korrespondon këtij programi, por ky tekst shkollor nuk korrespondon (por mund t'i korrespondojë një programi tjetër); Kjo mollë korrespondon me notën më të lartë, por kjo është vetëm e para.” Themi se kjo përgjigje në provim i përgjigjet notës “shkëlqyeshme”, kurse kjo – “mirë”. Ne themi se këtij personi i përshtatet (në kuptimin e përshtatjes) rroba të madhësisë 46. Në përputhje me udhëzimet, duhet ta bëni këtë dhe jo ndryshe. Ekziston një korrespondencë midis numrit ditë me diell në vit dhe rendimentin e të korrave.

Nëse përpiqeni t'i analizoni këta shembuj, do të vini re se në të gjitha rastet ne po flasim për rreth dy klasa objektesh, dhe ndërmjet objekteve nga e njëjta klasë vendoset nga rregulla të caktuara disa lidhje me objekte të një klase tjetër. Për shembull, në rastin e veshjeve që i përshtaten një madhësie të caktuar, një klasë e objekteve janë njerëzit, dhe klasa tjetër e objekteve janë disa numrat natyrorë, duke luajtur rolin e përmasave të veshjeve. Ne mund të vendosim rregullin me të cilin vendoset pajtueshmëria, për shembull, duke përdorur një algoritëm natyror - duke provuar një kostum specifik ose duke përcaktuar përshtatshmërinë e tij "me sy".

Ne do të shqyrtojmë korrespondencat për të cilat janë plotësisht të përcaktuara klasat e objekteve ndërmjet të cilave korrespondon korrespondenca dhe rregulli për vendosjen e korrespondencës. Shembuj të shumtë të korrespondencave të tilla u studiuan në shkollë. Para së gjithash, këto janë, natyrisht, funksione. Çdo funksion është një shembull i korrespondencës. Në të vërtetë, merrni parasysh, për shembull, funksionin në = X+ 3. Nëse nuk thuhet në mënyrë specifike për domenin e përcaktimit të funksionit, atëherë konsiderohet se çdo vlerë numerike e argumentit X korrespondon vlerë numerike në, që gjendet sipas rregullit: të X ju duhet të shtoni 3. Në këtë rast, korrespondenca vendoset midis grupeve R Dhe R numra realë.

Vini re se vendosja e lidhjeve midis dy grupeve X Dhe Y lidhur me marrjen në konsideratë të çifteve të objekteve të formuara nga elementë të grupit X dhe elementët përkatës të grupit Y.

Përkufizimi. Pajtueshmëria mes grupeve X Dhe Y thirrni çdo nëngrup jo bosh të një produkti kartezian X ´ Y.

Shumë X thirrur zona e nisjes ndeshje, set Y – zona e mbërritjes pajtueshmërisë.

Zakonisht shënohen korrespondenca ndërmjet grupeve me shkronja të mëdha Alfabeti latin, për shembull, R, S, T. Nëse R– disa korrespondencë ndërmjet grupeve X Dhe Y, atëherë, sipas përkufizimit të korrespondencës, RÍ X´ Y Dhe R≠ Æ. Kohët korrespondencë midis grupeve X Dhe Yështë çdo nëngrup i produktit kartezian X ´ Y, d.m.th. është një grup çiftesh të renditura, atëherë metodat për specifikimin e korrespondencave janë në thelb të njëjta me metodat për specifikimin e grupeve. Pra, përputhja R mes grupeve X Dhe Y ju mund të vendosni:

a) duke renditur të gjitha çiftet e elementeve ( x, y) Î R;

b) duke treguar vetinë karakteristike që kanë të gjitha çiftet ( x, y) vendos R dhe asnjë çift që nuk është elementi i tij nuk e zotëron atë.

SHEMBUJ.

1) Pajtueshmëria R mes grupeve X= (20, 25) dhe Y= (4, 5, 6) specifikohet duke treguar vetinë karakteristike: " X të shumëfishta në»,
X Î X, në Î Y. Pastaj shumë R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Pajtueshmëria R mes grupeve X= (2, 4, 6, 8) dhe

Y= (1, 3, 5) dhënë nga një grup çiftesh R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Nëse R– korrespondencë ndërmjet dyve grupe numerike X Dhe Y, pastaj, duke paraqitur të gjitha çiftet e numrave që korrespondojnë R në planin koordinativ, marrim një figurë të quajtur grafik korrespondencë R. Anasjelltas, çdo nëngrup pikash në planin koordinativ konsiderohet grafik i disa korrespondencës ndërmjet grupeve numerike. X Dhe Y.

Grafiku që përputhet

Për të vizualizuar korrespondencën ndërmjet grupe të fundme Përveç grafikut, përdoren grafikët. (Nga fjalë greke“grapho” – shkruaj, krahasoj: grafik, telegraf).

Për të ndërtuar një grafik korrespondencë midis grupeve X Dhe Y elementet e secilit prej grupeve përshkruhen si pika në aeroplan, pastaj shigjetat janë tërhequr nga X Î X për të në Î Y, nëse çift ( x, y) i përket kësaj korrespondence. Rezultati është një vizatim i përbërë nga pika dhe shigjeta.

SHEMBULL Korrespondencë R mes grupeve X= (2, 3, 4, 5) dhe Y= (4, 9) jepet duke renditur çiftet R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Në të njëjtën mënyrë mund të shkruani 4 R 4, 3R 9. Dhe në përgjithësi, nëse një çift
(x, y) Î R, atëherë thonë se elementi X Î X element përputhet në Î Y dhe shkruani xRу. Elementi 2 О X quhet imazhi i anasjelltë i elementit
4 Î Y subjekt i pajtueshmërisë R dhe është caktuar 4 R-1 2. Në mënyrë të ngjashme, mund të shkruani 4 R -1 4, 9R -1 3.

PËR ZGJIDHJEN E TREKËNDËSHVE.

IX. Trekëndëshat kënddrejtë.

§ 83. Marrëdhëniet ndërmjet elementeve trekëndësh kënddrejtë.

Në § 20 kanë nxjerrë raportet trigonometrike ndërmjet elementeve të një trekëndëshi kënddrejtë; domethënë, nga përkufizimi funksionet trigonometrike janë nxjerrë formulat (Figura 40):

mëkat A = a / c; cos A = b / c; tan A = a / b

Përcaktimi nga këto formula a, b Dhe Me, gjejmë:

1) A= Me mëkati A 2) b= Me cos A; 3) A= b tg A.

Formulimet verbale janë dhënë në §§20-21. Këtyre formulave duhet t'u shtojmë edhe tre të tjera, të njohura nga gjeometria:

A + B = 90°; c 2 = a 2 + b 2 ; S = 1/2 ab.

§ 84. Ekzistojnë vetëm tre marrëdhënie të pavarura midis elementeve të çdo trekëndëshi. Një trekëndësh ka tre brinjë dhe tre kënde; por nga këta gjashtë elementë mjafton të keni tre (përveç rastit të tre këndeve) në mënyrë që të mund të ndërtoni një trekëndësh dhe në këtë mënyrë të merrni tre elementët e mbetur. Nga kjo rrjedh se kur llogaritet në një trekëndësh, tre elementë mund të përcaktohen nga të dhënat e mbetura; dhe për këtë numri ekuacione të ndryshme ndërmjet elementeve të trekëndëshit duhet gjithashtu të jetë i barabartë me tre. Nëse fitohen më shumë se tre ekuacione, atëherë disa prej tyre do të jenë pasoja të të tjerave.

Në një trekëndësh kënddrejtë, marrëdhëniet kryesore zakonisht konsiderohen si më poshtë:

A + B = 90°; A= Me mëkati A; b= Me si A.

Pjesa tjetër mund të nxirret prej tyre.

§ 85. Zgjidhja e trekëndëshave kënddrejtë.

Elementet kryesore të një trekëndëshi janë brinjët dhe këndet. Prandaj, gjatë zgjidhjes së një trekëndëshi kënddrejtë, në varësi të elementeve që jepen, mund të paraqiten 4 raste, të diskutuara në paragrafët e mëposhtëm. Në këtë rast, të dhënat sigurisht që duhet të përmbajnë një element linear, pasi përndryshe është e pamundur të zbulohen dimensionet e trekëndëshit: nga tre kënde mund të ndërtoni sa më shumë trekëndësha të ngjashëm që dëshironi.

Zgjidhja e trekëndëshave (si dhe zgjidhja e ndonjë problemet matematikore) kryhet së pari, nëse është e mundur, deri në fund në pamje e përgjithshme; atëherë zëvendësohen të dhënat numerike dhe kryhen llogaritjet. Të gjithë shembujt e mëposhtëm zgjidhen duke përdorur tabelat Bradis, së pari nga vlerat natyrore funksionet trigonometrike, pastaj - duke përdorur logaritmet.

Në rast të përdorimit të tabelave pesëshifrore, janë ruajtur edhe shembuj të zgjidhjes së trekëndëshave duke përdorur këto tabela.

§ 86. Rasti 1. Duke pasur parasysh hipotenuzën dhe kënd akut (Me dhe A). Gjeni një kënd tjetër akute, këmbë dhe zonë (B, a, b, S).

I. Zgjidhje e përgjithshme.

II. Shembull numerik: Me= 627; A = 23°30"

Zgjidhje.

B = 90° - 23°30" = 66°30"; A= 627 mëkat 23°30"

Sipas Tabelës VIII të Bradis gjejmë sin 23°30" = 0.3987; prandaj:

A = 627 0,3987 = 249,9849;
A≈ 250 (lin. njësi);
b= 627 cos 23°30" = 627 0.9171 = 575.0227.
b≈ 575 (lin. njësi);
S = 1/2 249,98 575,02 = 71,872 (njësi katrore). l

§ 87. Rasti 2. Duke pasur parasysh një këmbë dhe një kënd të mprehtë ( A dhe A). Gjeni B, c, b, S.

I. Zgjidhje në formë të përgjithshme.

II. Shembull numerik: A= 18; A = 47°.

Zgjidhje.

§ 88. Rasti 3. I jepet një hipotenuzë dhe një këmbë ( Me Dhe A). Gjeni A, B, b, S.

I. Zgjidhje në formë të përgjithshme.

mëkat A = a / c; cos B = a / c ; b = √c 2 -a 2 ; S= a / 2 √c 2 -a 2 .

II. Shembull numerik: Me = 65; A =16.

I Vendimi.

sin A= 16 / 65 = 0,2461; A = 14°12" + 3" = 14°15";
B = 90° - 14°15" = 75°45";

b = √65 2 -16 2 = √(65 + 16) (65 -16) = √81 49 = 9 7;
b= 63 (lin. njësi);

S = 16 / 2 63 = 504 (njësi katrore).

§ 89. Rasti 4. Të dyja palët janë dhënë ( A Dhe b). Gjeni A, B, Me, S.

I. Zgjidhje në formë të përgjithshme.

tan A = a / b; tan B = b / a ; c = √a 2 + b 2 ; S= ab / 2

II. Shembull numerik: a = 25; b = 40.

Zgjidhje.

tan A = 25 / 40 = 0,625; A = 32°; B = 58°;
c= √25 2 +40 2 ≈ 47,2; S = 500 (njësi katrore).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve