KAPITULLI 8

PROBLEME ALGJEBRIK DHE ARITHMETIKE

793. Daktilografistja llogariti se nëse printonte 2 fletë më shumë në ditë se norma e përcaktuar për të, do ta përfundonte punën 3 ditë më herët se sa ishte planifikuar; nëse printon 4 fletë që tejkalojnë normën, do ta përfundojë punën 5 ditë përpara afatit. Sa fletë duhet të ribotojë ajo dhe në çfarë afati kohor? .Zgjidhja

794. Punëtori prodhoi një numër të caktuar pjesësh identike brenda afatit që i ishte caktuar. Nëse do të bënte 10 të tjera çdo ditë, do ta përfundonte këtë punë për 4 e gjysmë ditë përpara afatit, dhe nëse do të bënte 5 detaje më pak në ditë, do të vonohej 3 ditë kundrejt afatit të caktuar. Sa pjesë përfundoi dhe në çfarë afati kohor? .Zgjidhja

795. Daktilografistja duhej ta përfundonte punën brenda një kohe të caktuar, duke printuar një numër të caktuar fletësh çdo ditë. Ajo llogariti se nëse printon 2 fletë në ditë më shumë se norma e vendosur, ajo do ta përfundojë punën 2 ditë përpara afatit, por nëse printon 60% më shumë se norma, atëherë duke përfunduar punën 4 ditë përpara afatit, ajo do të printojë. 8 fletë më shumë se sa ishte planifikuar. Sa fletë duhet të printojë në ditë dhe në çfarë kohe duhet të përfundojë punën? .Zgjidhja

796. Dy punëtorë që punojnë së bashku përfundojnë disa punë në 8 orë. I pari prej tyre, duke punuar veçmas, mund të përfundojë të gjithë punën për 12 orë. në vend të punëtorit të dytë, nëse ky i fundit punon veçmas. Për sa orë mundet secili prej tyre, duke punuar veçmas, të përfundojë punën?

797. Pishina mbushet me dy tuba në 6 orë. Një tub i parë e mbush atë për 5 orë. në vend të një sekonde. Sa kohë do t'i duhet secilit tub, duke vepruar veçmas, për të mbushur pishinën?

798. Dy punëtorë u ngarkuan të bënin një grup pjesësh identike. Pasi i pari punoi 7 orë dhe i dyti 4 orë, rezultoi se kishin kryer 5/9 e gjithë punës. Pasi punuan edhe 4 orë të tjera së bashku, përcaktuan se u kishte mbetur për të përfunduar 1/18 e punës totale. Secila prej tyre, duke punuar veçmas, për sa orë mund të përfundonte të gjithë punën?

799. Anija është e ngarkuar me vinça. Së pari, 4 vinça me fuqi të barabartë filluan të ngarkohen. Pasi kanë punuar për 2 orë, u janë ngjitur edhe 2 vinça të tjerë me fuqi më të ulët dhe pas kësaj ngarkimi ka përfunduar pas 3 orësh. Nëse të gjithë vinçat do të fillonin të punonin në të njëjtën kohë, ngarkimi do të përfundonte për 4.5 orë. Përcaktoni se në cilat orë mund të përfundojë ngarkimi një vinç me fuqi më të madhe dhe një vinç me fuqi më të vogël. .Zgjidhja

800. Ndërtimi kërkoi 8 orë. transport nga stacioni material ndërtimi. Në fillim janë dërguar për transport 30 automjete tretonëshe Pas dy orësh punë të këtyre makinerive, në ndihmë të tyre janë dërguar edhe 9 mjete të tjera pesëtonëshe, së bashku me të cilat transporti është kryer në kohë. Nëse automjetet prej pesë tonësh do të ishin dërguar në fillim, dhe automjetet tretonëshe 2 orë më vonë, atëherë vetëm 13/15 e ngarkesës totale do të ishin hequr gjatë periudhës së specifikuar. Përcaktoni sa orë do t'i duheshin një kamioni tre tonësh, një kamioni pesë tonësh për të transportuar të gjithë këtë ngarkesë dhe në çfarë kohe 30 kamionë pesëtonësh do të transportonin të gjithë ngarkesën..Zgjidhja

801. Dy daktilografiste u caktuan të bënin disa punë. I dyti prej tyre filloi punën 1 orë më vonë se i pari. 3 orë pas fillimit të punës së i pari, i kishin mbetur për të përfunduar 9/20 e punës. Në fund të punës rezultoi se çdo daktilografist kishte përfunduar gjysmën e të gjithë punës. Për sa orë mundet secili prej tyre të përfundojë të gjithë punën?

802. Dy trena u nisën nga stacioni A dhe B drejt njëri-tjetrit dhe i dyti u nis për gjysmë ore më vonë se e para. 2 orë pas nisjes së trenit të parë, distanca midis trenave ishte 19/30 e të gjithë distancës midis A dhe B. Duke vazhduar më tej, ata u takuan në gjysmë të rrugës midis A dhe B. Sa kohë do t'i duhej secilit tren për të udhëtuar të gjithë distancën midis stacionet e terminalit? Zgjidhje

803. Për të larë negativët fotografikë, përdorni një banjë në formë të ngjashme paralelipiped drejtkëndor, dimensionet 20 cm x 90 cm x 25 cm Për përzierje të vazhdueshme uji në vaskë, uji derdhet në të përmes një rubineti dhe njëkohësisht derdhet përmes një tjetri. Duhen 5 minuta për të zbrazur një banjë të plotë duke përdorur rubinetin e dytë. më pak kohë sesa ta mbushni me prekjen e parë nëse mbyllni të dytën. Nëse hapni të dy çezmat, banja e plotë do të zbrazet brenda 1 ore. Gjeni sasinë e ujit që rrjedh nëpër çdo rubinet në 1 minutë. .Zgjidhja

804. Gjatë ndërtimit të ndërtesës, ishte e nevojshme të hiqeshin 8000 m 3 tokë brenda një periudhe të caktuar. Punimet u kryen 8 ditë përpara afatit për faktin se ekipi i gërmimit e tejkalonte planin me 50 m 3 çdo ditë. Përcaktoni se kur duhet të përfundojë puna dhe gjeni përqindjen ditore të mbipërmbushjes. Zgjidhje

805. Pista u riparua nga dy ekipe. Secili prej tyre riparoi 10 km, pavarësisht se ekipi i dytë punoi një ditë më pak se i pari. Sa kilometra rrugë riparonte çdo skuadër në ditë nëse të dy së ​​bashku riparonin 4,5 km në ditë? .Zgjidhja

806. Dy punëtorë përfunduan disa punë së bashku në 12 orë. Nëse fillimisht i pari do të bënte gjysmën e kësaj pune dhe më pas tjetri do të bënte pjesën tjetër, atëherë e gjithë puna do të përfundonte për 25 orë. Sa kohë mund ta bëjë këtë punë çdo person individualisht?

807. Dy traktorë me fuqi të ndryshme, duke punuar së bashku, lëruan fushën t ditë. Nëse në fillim vetëm një traktor punonte dhe lëronte gjysmën e fushës, dhe më pas një i dyti e përfundonte punën, atëherë në kushte të tilla fusha do të lërohej në k ditë. Për sa ditë çdo traktor, duke punuar veçmas, mund të lërojë të gjithë arën? .Zgjidhja

808. Për të thelluar rrugën e lirë në hyrje të portit, u përdorën 3 gërmime të ndryshme. Nëse do të ishte në fuqi vetëm i pari prej tyre, puna do të kishte zgjatur 10 ditë; po të funksiononte vetëm i dyti, puna do të zvarritej për 20 ditë shtesë. Me vetëm një të tretën e gërmimit, pastrimi i rrugës së lirë do të zgjaste gjashtë herë më shumë se me veprim i njëkohshëm të tre makinat. Sa kohë do të duhet për të përfunduar të gjithë punën me secilën gërmim individualisht?

809. Dy punëtorë, nga të cilët i dyti fillon punën 1 1/2 ditë më vonë se i pari, mund ta kryejnë punën për 7 ditë. Nëse secili do ta bënte këtë punë veç e veç, i pari do të kishte nevojë për 3 ditë më shumë se i dyti. Për sa ditë do të përfundojë secili prej tyre veç e veç këtë punë? Zgjidhje

810. Kur dy traktorë me fuqi të ndryshme punonin së bashku, fusha e fermës kolektive u lërohej për 8 ditë. Nëse gjysma e fushës do të lërohej fillimisht me një traktor, atëherë me punën e mëtejshme të dy traktorëve, e gjithë puna do të përfundonte për 10 ditë. Për sa ditë mund të duhen për të lëruar të gjithë fushën me secilin traktor veç e veç? .Zgjidhja

811. Disa njerëz morën përsipër të hapnin një hendek dhe mund ta përfundonin punën për 6 orë nëse do ta kishin nisur në të njëjtën kohë, por ata filluan të punonin njëri pas tjetrit në intervale të barabarta. Pas të njëjtës periudhë kohore pasi pjesëmarrësi i fundit shkoi në punë, gropa u hap dhe secili prej pjesëmarrësve mbeti në punë deri në fund. Sa kohë iu desh të hapnin një hendek, nëse ai që filloi punë i pari punonte 5 herë më shumë se ai që filloi i fundit? .Zgjidhja

812. Tre punëtorë mund të punojnë së bashku për të përfunduar disa punë t orë. E para prej tyre, duke punuar vetëm, mund ta kryejë këtë punë dy herë më shpejt se e treta dhe një orë më shpejt se e dyta. Sa kohë mund ta kryejë këtë punë secili prej tyre, duke punuar veçmas? .Zgjidhja

813. Pishina mbushet me ujë nga dy çezma. Së pari, rubineti i parë u hap për një të tretën e kohës që do të duhej për të mbushur pishinën duke hapur vetëm rubinetin e dytë. Pastaj, përkundrazi, çezma e dytë u hap për një të tretën e kohës që u desh për të mbushur pishinën vetëm me rubinetin e parë. Pas kësaj, 13/18 e pishinës rezultoi e mbushur. Llogaritni sa kohë duhet për të mbushur pishinën me secilën trokitje veç e veç nëse të dyja rubinetat, hapen së bashku, mbushen pishinën në 3 orë 36 minuta

814. Gjatë ndërtimit të një termocentrali, një ekip muratorësh duhej të vendosnin 120 mijë tulla brenda një periudhe të caktuar kohore. Ekipi përfundoi punën 4 ditë përpara afatit. Përcaktoni se cila ishte norma për shtrimin ditor të tullave dhe sa tulla ishin hedhur në të vërtetë çdo ditë, nëse dihet se ekipi vendosi 5000 tulla më shumë në 3 ditë sesa ishte menduar të shtroheshin në 4 ditë sipas normës. .Zgjidhja

815. Tri enë mbushen me ujë. Nëse 1/3 e ujit nga ena e parë derdhet në të dytën, atëherë 1/4 e ujit në të dytën derdhet në të tretën dhe në fund 1/10 e ujit në të tretën derdhet në të parën. atëherë çdo enë do të përmbajë 9 litra. Sa ujë kishte në çdo enë? Zgjidhje

816. Një pjesë e alkoolit u derdh nga një rezervuar i mbushur me alkool të pastër dhe u shtua e njëjta sasi uji; pastaj i njëjti numër litrash përzierjeje u derdhën nga rezervuari; atëherë në rezervuar mbetën 49 litra alkool të pastër. Kapaciteti i rezervuarit 64 l. Sa alkool është derdhur herën e parë dhe sa herën e dytë? Problemi është shkruar nën supozimin se vëllimi i përzierjes e barabartë me shumën vëllimet e alkoolit dhe ujit. Në fakt, është disi më e vogël. Zgjidhje

817. Një enë 20 litra mbushet me alkool. Një sasi e caktuar alkooli derdhet prej tij në një tjetër, e barabartë me të dhe, pasi të ketë mbushur pjesën tjetër të enës së dytë me ujë, ena e parë plotësohet me këtë përzierje. Pastaj 6 2/3 litra derdhen nga e para në të dytën, pas së cilës të dy enët përmbajnë të njëjtën sasi alkooli. Sa alkool u derdh fillimisht nga ena e parë në të dytën? .Zgjidhja

818. Një enë me një kapacitet prej 8 litrash mbushet me ajër që përmban 16% oksigjen. Nga kjo enë lëshohet një sasi e caktuar ajri dhe futet e njëjta sasi azoti, pas së cilës përsëri lëshohet e njëjta sasi e përzierjes si herën e parë dhe përsëri plotësohet me të njëjtën sasi azoti. Përzierja e re përmbante 9% oksigjen. Përcaktoni sa litra janë lëshuar nga ena çdo herë. .Zgjidhja

819. Dy fermerë kolektivë sollën së bashku 100 vezë në treg. Duke shitur vezët me çmime të ndryshme, të dy fituan të njëjtën shumë. Nëse e para do të shiste aq vezë sa e dyta, ajo do të fitonte 9 rubla nëse e dyta do të shiste aq vezë sa e para, ajo do të fitonte 4 rubla. Sa vezë kishte secila? .Zgjidhja

820. .Dy fermerë kolektivë që kanë së bashku A l qumësht, ka marrë të njëjtat sasi gjatë shitjes së tij, duke e shitur qumështin me çmime të ndryshme. Nëse i pari do të shiste sa i dyti, do të merrte T rubla, dhe nëse i dyti do të shiste aq sa i pari, do të merrte n , fshij. ( t>p ). Sa litra qumësht kishte çdo fermer kolektiv? Zgjidhje

821. Gjatë testimit të efikasitetit të dy motorëve djegia e brendshme të së njëjtës fuqi, u konstatua se njëri prej tyre konsumonte 600 g benzinë, dhe i dyti, i cili punonte 2 orë më pak, 384 g nëse motori i parë konsumonte aq benzinë ​​në orë sa i dyti, dhe i dyti përkundrazi, aq sa i pari, atëherë gjatë të njëjtës kohë funksionimi, konsumi i benzinës në të dy motorët do të ishte i njëjtë. Sa benzinë ​​përdor çdo motor në orë? .Zgjidhja

822. Ka dy lidhje ari dhe argjendi; në njërën sasia e këtyre metaleve është në raportin 2:3, në tjetrën - në raportin 3:7 Sa nga secila aliazh duhet të merret për të marrë 8 kg aliazh të ri në të cilin do të ishin ari dhe argjendi. raporti 5:11? .Zgjidhja

823. Një fuçi përmban një përzierje të alkoolit dhe ujit në një raport prej 2:3, dhe tjetra - në një raport prej 3:7. Sa kova duhet të merren nga secila fuçi për të bërë 12 kova të një përzierjeje në të cilën alkooli dhe uji do të ishin në një raport 3:5? Zgjidhje

824. Një aliazh përbëhet nga dy metale në një raport 1:2, ndërsa një tjetër përmban të njëjtat metale në një raport 2:3. Nga sa pjesë të të dy lidhjeve mund të merret një aliazh i tretë që përmban të njëjtat metale në raport 17:27?

Midis kafshëve model (të cilat përfshijnë, për shembull, minjtë dhe shimpanzetë) ka nga ato që me të drejtë mund të konsiderohen "supermodele". Këta janë minj nishanësh lakuriq që njihen për superfuqitë e tyre.

Për shembull, këta brejtës të vegjël kanë dhe, dhe ata janë gjithashtu të aftë. Studimi i këtyre aftësive hap shumë mundësi të reja për mjekët dhe gjenetistët.

Në 1825, matematikani britanik Benjamin Gompertz zbuloi se rreziku i vdekjes rritej gradualisht me moshën; për shembull, te njerëzit dyfishohet afërsisht çdo 8 vjet pas moshës 30 vjeçare. Ky ligj zbatohet për të gjithë gjitarët e rritur. Me sa duket minjtë nishan lakuriq- përjashtimi i vetëm nga rregulli.

Pas studimit të të dhënave të 3299 minjve nishanësh, ekipi zbuloi se pas arritjes së pjekurisë në moshën gjashtë muajsh, shanset e tyre ditore për të vdekur ishte një në dhjetë mijë dhe kjo normë mbeti e njëjtë gjatë gjithë jetës së tyre.

“Mundësia e vdekjes te gjitarët si njerëzit, kuajt dhe minjtë, ndër të tjera, rritet me moshën në progresion gjeometrik, sipas ligjit të Gompertz-it. “Hulumtimi ynë tregon se minjtë e nishanit të zhveshur nuk plaken në të njëjtën mënyrë dhe rreziku i vdekjes së tyre nuk rritet as 25 herë pasi arrijnë pjekurinë riprodhuese”, thotë Buffenstein.

Sipas saj, këto të dhëna sugjerojnë se fadromat mund t'i tregojnë njerëzve.

Gjatë kërkimit të faktorëve që ngadalësojnë plakjen, shkencëtarët zbuluan se minjtë e nishanit janë shumë aktivë, dhe gjithashtu kanë një nivel të lartë të kapronëve - proteina që ndihmojnë proteinat e tjera të rivendosin strukturat e tyre dhe të rregullohen në komplekse proteinash.

Me fjalë të tjera, këta brejtës "e mbajnë shtëpinë e tyre të pastër" - duke hequr qafe "mbeturinat molekulare" në vend që t'i grumbullojnë ato gjatë gjithë jetës së tyre, shpjegon Buffenstein.

Megjithatë, disa nga kolegët e saj ende nuk po nxitojnë të nxjerrin përfundime të qarta. Fakti është se kampioni për vëzhgime ishte shumë i vogël: shumica e kafshëve në qendrave shkencore ose vdes gjatë eksperimenteve ose zhvendoset në laboratorë të tjerë.

Rochelle Buffenstein, nga ana tjetër, vëren se miu më i vjetër i nishanit midis reparteve jetoi 35 vjeç dhe të dhënat e përgjithshme të vëzhgimit edhe për ata brejtës që jetuan për 15 vjet tashmë japin një pamje të qartë. Sipas saj, njëqind minj do të mjaftonin për të vërtetuar ligjin e plakjes së Gompertz-it. Në këtë rast po flasim për tre mijë gërmuesit, por ligji ende nuk është i provuar dhe nuk mund të provohet me shembullin e tyre në parim.

Autorët vërejnë se do të nevojiten më shumë studime afatgjata për të studiuar proceset e plakjes së brejtësve super-mbijetues. Deri më tani, supozimi më logjik duket të jetë se "vija e moshës" pas së cilës trupi i tyre në të vërtetë fillon të plaket, disi zhvendoset në fund të vijës së jetës, dhe pas një moshe të caktuar te brejtësit plaket, përkundrazi, përshpejton.

Studimi i brejtësve jetëgjatë përshkruhet më në detaje në një artikull të botuar në eLife.

Le t'ju kujtojmë se "burimi i rinisë" gjithashtu mund të shërbejë si dhe madje.

Detyrat për duke punuar së bashku dhe produktivitetit

Detyrat e këtij lloji zakonisht përmbajnë informacion në lidhje me performancën nga disa subjekte (punëtorë, mekanizma, pompa, etj.) të disa punimeve, vëllimi i të cilave nuk tregohet dhe nuk kërkohet (për shembull, rishtypja e një dorëshkrimi, prodhimi i pjesëve, gërmimi llogore, mbushja e një rezervuari përmes tubave etj.). Supozohet se puna që kryhet kryhet në mënyrë të barabartë, d.m.th. me produktivitet konstant për çdo lëndë. Meqenëse ne nuk jemi të interesuar për sasinë e punës së kryer (ose vëllimin e një pishine që po mbushet, për shembull), vëllimi i gjithë punës është. ose pellgu merret si njësi. Kohat, kërkohet për të përfunduar të gjithë punën, dhe P është prodhuesiIntensiteti i punës, domethënë sasia e punës së bërë për njësi të kohës, janë të lidhura

raportiP= 1/t .Është e dobishme të njihet skema standarde për zgjidhjen e problemeve tipike.

Lëreni një punëtor të bëjë disa punë në x orë dhe një punëtor tjetër në y orë. Pastaj në një orë ata do të plotësojnë 1/xdhe 1/ypjesë e punës. Së bashku në një orë ata do të përfundojnë 1/x +1/ ypjesë e punës. Prandaj, nëse ata punojnë së bashku, atëherë e gjithë puna do të bëhet në 1/ (1/x+ 1/ y)

Zgjidhja e problemeve të bashkëpunimit është sfiduese për studentët, kështu që kur përgatiteni për provimin, mund të filloni duke zgjidhur shumicën detyra të thjeshta. Le të shqyrtojmë llojin e problemeve për të cilat mjafton të futet vetëm një ndryshore.

Detyra 1. Një suvatues mund të kryejë një detyrë 5 orë më shpejt se një tjetër. Të dy së ​​bashku do ta kryejnë këtë detyrë në 6 orë. Sa orë do t'i duhen secilit prej tyre për të përfunduar detyrën?

Zgjidhje. Lëreni suvatuesin e parë të përfundojë detyrënxorë, atëherë suvatuesi i dytë do ta përfundojë këtë detyrë brendax+5 orë. Në 1 orë punë të përbashkët ata do të përfundojnë 1/x + 1/( x+5) detyra. Le të bëjmë një ekuacion

6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 osex² - 7 x-30 = 0. Zgjidhja ekuacioni i dhënë, marrimx= 10 dhex= -3. Sipas kushteve të problemitx– vlera është pozitive. Prandaj, suvatuesi i parë mund ta përfundojë punën për 10 orë, dhe i dyti në 15 orë.

Problemi 2 . Dy punëtorë përfunduan punën në 12 ditë. Sa ditë mund të përfundojë çdo punëtor nëse njërit prej tyre i duheshin 10 ditë më shumë për të përfunduar të gjithë punën se tjetri?

Zgjidhje . Punëtori i parë le të shpenzojë për të gjithë punënxditë, pastaj e dyta- (x-10) ditë. Në 1 ditë punë së bashku ata përfundojnë 1/x+ 1/( x-10) detyra. Le të bëjmë një ekuacion

12×(1/x+ 1/( x-10)= 1 osex²- 34x+120=0. Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrimx=30 dhex= 4. Kushtet e problemit plotësohen vetëm ngax=30 Prandaj, punëtori i parë mund ta përfundojë punën për 30 ditë, kurse punëtori i dytë për 20 ditë.

Detyra 3. Në 4 ditë punë të përbashkët, 2/3 e fushës janë lëruar me dy traktorë. Për sa ditë mund të duhet për të lëruar të gjithë fushën me çdo traktor, nëse i pari mund ta lërojë 5 ditë më shpejt se i dyti?

Zgjidhje. Le të shpenzojë traktori i parëpër të përfunduar detyrën x ditë, pastaj e dyta - x + 5 ditë. Gjatë 4 ditëve të punës së përbashkët, të dy traktorët pluguan 4×(1/ x + 1/( x +5)) detyra, domethënë 2/3 e fushës. Le të krijojmë ekuacionin 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 osex² -7x-30 = 0. . Duke zgjidhur këtë ekuacion, marrimx= 10 dhex= -3. Sipas kushteve të problemitx– vlera është pozitive. Prandaj, traktori i parë mund të lërojë një fushë për 10 orë, dhe i dyti në 15 orë.

Problemi 4 . Masha mund të printojë 10 faqe në 1 orë. Si munden vajzat të shpërndajnë 54 faqe tekst mes tyre në mënyrë që secila të funksionojë për të njëjtën kohë?

Zgjidhje . Sipas kushtit, Tanya printon 4 faqe në 0,5 orë, d.m.th. 8 faqe në 1 orë, dhe Olya - 9 faqe në 1 orë. Përcaktuar nga X orë - kohë, gjatë së cilës punonin vajzat, marrim ekuacionin

10X + 8X + 9X = 54, nga e cila X = 2.

Kjo do të thotë që Tanya duhet të printojë 20 faqe, Tanya duhet të printojë 16 faqe dhe Olya duhet të printojë 18 faqe.

Detyra 5. Duke përdorur dy makina dublikate që funksionojnë njëkohësisht, mund të bëni një kopje të një dorëshkrimi në 20 minuta. Në sa kohë mund të kryhet kjo punë në secilën makinë veç e veç, nëse dihet se kur punohet në të parën do të duhen 30 minuta më pak se kur punohet në të dytën?

Zgjidhje. Le të jetë X min koha e nevojshme për të përfunduar kopjen në makinën e parë, atëherë X+30 min është koha e funksionimit në makinën e dytë. Pastaj 1/X kopje kryhen nga makina e parë në 1 minutë, dhe 1/(X+30) kopje - makinë e dytë.

Le të bëjmë ekuacionin: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, marrimX²-10X-600= 0. Nga ku X = 30 dhe X = - 20. Kushtet e problemit plotësohen me X = 30. Ne morëm: 30 minuta - koha që pajisja e parë të bëjë një kopje, 60 minuta për të dytën .

Detyra 6. Firma A mund të përmbushë disa porosi për prodhimin e lodrave 4 ditë më shpejt se firma B. Sa kohë mund ta kryejë çdo firmë këtë porosi nëse dihet se kur punojnë së bashku, ata kryejnë një porosi 5 herë më të madhe në 24 ditë?

Zgjidhje. Përcaktuar nga X ditë - kohë, kërkohet nga kompania A për të përfunduar porosinë, atëherë X + 4 ditë është koha për kompaninë B. Gjatë hartimit të ekuacionit, duhet të kihet parasysh se në 24 ditë pune të përbashkët jo 1 porosi, por 5 porosi të plotësohet. Ne marrim 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Nga rrjedh 5 X²- 28X-96 = 0. Duke zgjidhur ekuacionin kuadratik marrim X = 8 dhe X = - 12/5. Kompania e parë mund të përfundojë porosinë për 8 ditë, kompania B në 12 ditë.

Kur zgjidhni problemet e mëposhtme, duhet të futni më shumë se një ndryshoredhe zgjidh sistemet e ekuacioneve.

Problemi 7 . Dy punëtorë janë duke bërë disa punë. Pas 45 minutash punë të përbashkët, punëtori i parë u transferua në një punë tjetër dhe punëtori i dytë e kreu pjesën tjetër të punës për 2 orë e 15 minuta. Sa kohë do t'i duhej secilit punëtor individualisht për të përfunduar të gjithë punën, nëse dihet se të dytit do t'i duhet 1 orë më shumë për ta bërë këtë se i pari?

Zgjidhje. Lëreni punëtorin e parë të kryejë të gjithë punën në x orë, dhe punëtori i dytë në y orë. Nga kushtet e problemës kemi x = y -1. 1 orë së pari

punëtori do të kryejë 1/xnjë pjesë e punës, dhe e dyta - 1/ypjesë e punës.T.Të. ata punuan së bashku për ¾ orë, pastaj gjatë kësaj kohe ata përfunduan ¾ (1/x + 1/ y)

pjesë e punës. Për2 dhe 1/4ore pune e dyta e perfunduar 9/4× (1/y) pjesë e punës.T.Të. e gjithë puna është kryer, atëherë ne hartojmë ekuacionin ¾ (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 ose

¾ ×1/x+ 3 × 1/y =1

zgjidhje nga 1 = h dhenë 2 = 4 orë Zgjidhja e parë nuk është e përshtatshme (të dy skllevërOtë cilët kanë punuar së bashku vetëm për ¾ orë!). Pastaj y = 4 dhe x =3.

Përgjigju. 3 orë, 4 orë.

Detyra 8. Pishina mund të mbushet me ujë nga dy çezma. Nëse rubineti i parë hapet për 10 minuta dhe i dyti për 20 minuta, pishina do të mbushet.

Nëse rubineti i parë hapet për 5 minuta, dhe i dyti për 15 minuta, atëherë do të mbushen 3/5. pishinë

Sa kohë duhet për të mbushur të gjithë pishinën nga çdo rubinet veç e veç?

Zgjidhje. Le të jetë e mundur të mbushet pishina nga trokitja e parë në x minuta dhe nga trokitja e dytë në y 1 minutë. Mbushet trokitja e parë një pjesë e pishinës, dhe e dyta . Në 10 minuta nga trokitja e parë do të mbushet pjesë e pishinës, dhe në 20 minuta nga rubineti i dytë - . T.Të. pishina do të mbushet, marrim ekuacionin e parë: . Ne hartojmë ekuacionin e dytë në të njëjtën mënyrë (mbush të gjithë pishinën, por vetëm vëllimi i tij). Për të thjeshtuar zgjidhjen e problemit, ne prezantojmë variabla të rinj: Pastaj kemi sistemi linear ekuacionet:

10u + 20v =1,

zgjidhja e së cilës do të jetë u = v = . Nga këtu marrim përgjigjen: x = min, y = 50 min.

Detyrë 9 . Dy persona bëjnë punën. E para funksionoi kohë gjatë së cilës i dyti bën të gjithë punën. Pastaj funksionoi i dyti koha në të cilën i pari do të përfundonte punën e mbetur. Të dyja vetëm kanë përfunduar gjithë punën. Sa kohë i duhet secilit për të përfunduar këtë punë nëse dihet se nëse punojnë së bashku do ta bëjnë atë3 h36 min?

Zgjidhje. Le të shënojmë me x orë dhe y orë kohën që i duhet të parës dhe të dytës për të përfunduar të gjithë punën, përkatësisht. Pastaj Dhe

Ato pjesë të punës për të cilat ata kryejnë1 orëPunon (sipas kushteve) kohë, i pari do të përfundojë pjesë e punës. Do të mbetet e paplotësuar pjesë e punës që i pari do të kishte shpenzuar orë. Sipas kushtit të dytë, 1 punon/3 kësaj radhe. Pastaj ai do të bëjë pjesë e punës. Së bashku ata vetëm përfunduan gjithë punën. Prandaj, marrim ekuacionin . Duke punuar së bashku për1 ata të dy do të bëjnë një orë + pjesë e punës. Meqenëse, sipas kushteve të problemit, këtë punë do ta bëjnë në3 h36 min (d.m.th., sa 3 orë), pastaj për1 ata do ta bëjnë atë brenda një ore gjithë punën. Prandaj 1/x + 1/ y = 5/18. Duke treguar në ekuacionin e parë , marrim një ekuacion kuadratik

6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , rrënjët e të cilit janë të barabartat 1 =2/3 , t 2 =3/2. Meqenëse nuk dihet se kush punon më shpejt, ne i shqyrtojmë të dyja rastet.

A)t = => y = X. Zëvendësoni y në ekuacionin e dytë: Është e qartë se kjo nuk është një zgjidhje

detyrat, pasi së bashku e kryejnë punën në më shumë se 3 orë.

b) t=3/2 => y=3/2 x. Nga ekuacioni i dytë kemi 1/x+2/3× 1/x=5/18.Nga këtux=6,y =9.

Detyra 10. Uji hyn në rezervuar nga dy tuba me diametra të ndryshëm. Ditën e parë, të dy tubat, duke punuar njëkohësisht, furnizuan 14m 3 ujë. Ditën e dytë u përfshi vetëm tub i vogël. Ajo shërbeu 14 m 3 ujë, duke punuar 5 orë më shumë se ditën e parë. Në ditën e tretë, puna vazhdoi për të njëjtën kohë si në të dytën, por të dy tubat punuan së pari, duke dhënë 21 m. 3 ujë. Dhe pastaj funksionoi vetëm një tub i madh, i cili furnizonte 20 m të tjera 3 ujë. Gjeni produktivitetin e secilit tub.

Zgjidhje. Në këtë problem nuk ekziston një koncept abstrakt i "vëllimit të një rezervuari", por tregohen vëllime specifike të ujit që rrjedhin nëpër tuba. Megjithatë, metoda për zgjidhjen e problemit në fakt mbetet e njëjtë.

Lërini tubat më të vegjël dhe më të mëdhenj të pompojnë x dhe y m në 1 orë3 ujë. Duke punuar së bashku, të dy tubat furnizojnë x + y m3 ujë.

Rrjedhimisht, në ditën e parë tubat punuan 14/(x+ y) orë. Diten e dyte tubi i vogel ka punuar 5 ore me shume dmth 5+14/(x+ y) . Për këtë

koha ajo shërbeu 14 m 3 ujë. Nga këtu marrim ekuacionin e parë 14 ose 5+14/(x+ y)=14/ x. Në ditën e tretë të dy tubat punuan së bashku21/(x+ y) orë, dhe më pas tubi i madh punoi për 20/xorë. Koha totale e gypave përkon me kohën e funksionimit të tubit të parë në ditën e dytë, d.m.th.

5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Meqenëse anët e majta të ekuacionit janë të barabarta, kemi . Të çliruar nga emëruesit, marrim ekuacioni homogjen 20 x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Pjesëtimi i ekuacionit mey 2 dhe duke caktuarx/ y= t, kemi 20t 2 +27 t-14=0. Nga dy rrënjët e kësaj ekuacioni kuadratik (t 1 = , t 2 = ) sipas kuptimit të problemit është i përshtatshëm vetëmt= . Prandaj,x= y. Zëvendësimixnë ekuacionin e parë, gjejmëy=5. Pastajx=2.

Detyrë 11. Dy ekipe, duke punuar së bashku, hapën hendekun në dy ditë. Pas kësaj, ata filluan të gërmojnë një llogore me të njëjtën thellësi dhe gjerësi, por 5 herë më të gjatë se i pari. Fillimisht punoi vetëm ekipi i parë dhe më pas vetëm ekipi i dytë, duke kryer punë një herë e gjysmë më pak se ekipi i parë. Gërmimi i hendekut të dytë përfundoi në 21 ditë. Në sa ditë mund të hapë llogoren e parë ekipi i dytë nëse dihet se sasia e punës së kryer nga ekipi i parë në një ditë është më e madhe se sasia e punës së kryer në një ditë nga ekipi i dytë?

Zgjidhje.Është më i përshtatshëm për të zgjidhur këtë problem nëse puna që kryhet është sjellë në të njëjtën shkallë. Nëse të dyja skuadrat do të punonin së bashku për të gërmuar hendekun e parë në 2 ditë, atëherë padyshim që do të kishin hapur hendekun e dytë (pesë herë më të gjatë) në 10 ditë. Brigada e parë le ta hapë këtë llogore për x ditë, kurse e dyta në y, d.m.th. në 1 ditë i pari do të kishte gërmuar një pjesë e hendekut, e dyta - për 1/y , dhe së bashku -1/x+1/ y pjesë e kanalit.

Pastaj kemi . Ekipet punuan veçmas gjatë hapjes së hendekut të dytë. Nëse ekipi i dytë ka përfunduar sasinë e punësm, pastaj (sipas kushteve të problemit) - brigada e parë . Sepsem + m = m është e barabartë me vëllimin e të gjithë punës së marrë si njësi, atëherëm = . Rrjedhimisht, brigada e dytë gërmoi llogore dhe shpenzuar për të në ditë. Brigada e parë gërmoi llogore dhe shpenzuar X ditë. Nga këtu kemi oseX = 35- . Duke zëvendësuar x në ekuacionin e parë, arrijmë në ekuacionin kuadratik2u 2 - 95у +1050 = 0, rrënjët e së cilës do të jenë y 1 = Dhe në 2 = 30. Pastaj në përputhje me rrethanatX 1 = Dhe X 2 =15. Nga deklarata e problemit zgjidhni atë që ju nevojitet: y = 30. Meqenëse vlera e gjetur i referohet hendekut të dytë, ekipi i dytë do të kishte hapur hendekun e parë (pesë herë më të shkurtër) në 6 ditë.

Detyrë 12. Tre ekskavator morën pjesë në hapjen e një grope me vëllim 340 m 3 . Në një orë, ekskavatori i parë heq 40 m 3 paund, e dyta - për sm 3 më pak se i pari, dhe e treta - në 2s më shumë se i pari. Së pari, ekskavatori i parë dhe i dytë punuan njëkohësisht dhe gërmuan 140 m 3 dheu. Më pas pjesa tjetër e gropës u hap, duke punuar njëkohësisht, nga ekskavatori i parë dhe i tretë. Përcaktoni vlerat me(0<с<15), në të cilën gropa hapej për 4 orë nëse puna kryhej pa ndërprerje.

Zgjidhje. Meqenëse ekskavatori i parë nxjerr 40 m 3 tokë në orë, pastaj e dyta - (40-s) m 3 , dhe e treta - (40+2s) m 3 paund në orë. Lëreni ekskavatorin e parë dhe të dytë të punojnë së bashku për x orë. Pastaj nga kushtet problemore rrjedh (40+40-с)х = 140 ose (80-с)х = 140. Nëse ekskavatori i parë dhe i tretë kanë punuar së bashku në orën, atëherë kemi (40+40+2с)у = 340-140 ose (80+2c)y - 200. Meqenëse koha totale e funksionimit është 4 orë, marrim ekuacionin e mëposhtëm për të përcaktuar c: x + y = 4 ose

Ky ekuacion është i barabartë me ekuacionin kuadratikMe 2 -30s+ 200 =0, vendimet e të cilit do të jenë me 1 = 10 m 3 dhe me 2 = 20 m 3 . Sipas kushteve të problemit, vetëmbashkë

s = 10 m 3 .

Detyrë 10. Secilit prej dy punëtorëve iu caktua të përpunonte të njëjtin numër pjesësh. I pari e filloi punën menjëherë dhe e përfundoi atë për 8 orë, i dyti fillimisht kaloi më shumë se 2 orë duke vendosur pajisjen dhe më pas, me ndihmën e tij, e përfundoi punën 3 orë më herët se i pari. Dihet se punëtori i dytë, një orë pas fillimit të punës, ka përpunuar të njëjtin numër pjesësh sa i pari kishte përpunuar deri në atë moment. Sa herë e rrit pajisja produktivitetin e makinës (d.m.th., numrin e pjesëve të përpunuara për orë pune)?

Zgjidhje. Ky është një shembull i një problemi në të cilin jo të gjitha të panjohurat duhet të gjenden.

Le ta shënojmë kohën e vendosjes së makinës nga punëtori i dytë si x (sipas kushtit x>2). Supozoni se ishte e nevojshme të përpunohej secilindetajet.

Pastaj punëtori i parë në orë përpunon detajet, dhe e dyta detajet. Të dy punëtorët përpunuan të njëjtin numër pjesësh një orë pasi i dyti filloi të punojë. Kjo do të thotë se Nga këtu marrim ekuacionin për përcaktimin e x: X 2 -4x + 3-0 rrënjët e të cilit janë x 1 = 1 dheX 2 = 3. Sepse

x > 2, atëherë vlerën e kërkuar- kjo është x = 3. Prandaj, punëtori i dytë përpunon në orë detajet. Sepse punëtori i parë në orë përpunon

pjesë, atëherë zbulojmë se pajisja rrit produktivitetin e punës në = 4 herë.

Detyrë 1 3. Tre punëtorë duhet të prodhojnë një numër të caktuar pjesësh. Fillimisht filloi punë vetëm një punëtor dhe pas pak iu bashkua një i dyti. Kur u bënë 1/6 e të gjitha pjesëve, punëtori i tretë filloi punën. Ata e mbaruan punën në të njëjtën kohë dhe secili bëri të njëjtin numër pjesësh. Sa kohë ka punuar punëtori i tretë nëse dihet se ai ka punuar dy orë më pak se i dyti dhe se i pari dhe i dyti, duke punuar së bashku, mund të prodhonin të gjithë numrin e kërkuar të pjesëve 9 orë më herët se sa mund të bënte i treti, duke punuar veçmas. ?

Zgjidhje. Punëtori i parë le të punojë x orë, kurse punëtori i tretë x orë. Pastaj punëtori i dytë ka punuar 2 orë më shumë, pra y+2 orë. Secili prej tyre bëri sasi të barabartë pjesë, pra 1/3 e të gjitha pjesëve. Rrjedhimisht, i pari do t'i prodhonte të gjitha pjesët në 3 orë, i dyti në 3 (y+2) orë dhe i treti në 3 y orë. Prandaj, i pari prodhon në një orë pjesë e të gjitha detajeve, e dyta - dhe e treta - .

Pasi që të tre, gjatë bashkëpunimit të tyre, prodhuan të gjitha detajet, atëherë marrim ekuacionin e parë (të tre punuan së bashku në orë)

. (1)

Punëtori i parë dhe i dytë, duke punuar së bashku, do t'i kishin bërë të gjitha pjesët së bashku 9 orë më herët se punëtori i tretë, duke punuar vetëm. Nga këtu marrim ekuacionin e dytë

. (2)

Këto dy ekuacione mund të reduktohen lehtësisht në sistemin ekuivalent

Duke shprehur x nga ekuacioni i dytë dhe duke e zëvendësuar atë në ekuacionin e parë, marrim y 3 -5u 2 - 32у - 36 = 0. Ky ekuacion faktorizohet(y- 9)(y +2) 2 = 0.

Meqenëse y > 0, ekuacioni ka vetëm një rrënjë të kërkuar, y = 9.Përgjigje:y = 9.

Detyrë 14. Uji rrjedh në mënyrë të barabartë në gropë 10 pompa identike, që funksionojnë njëkohësisht, mund të pompojnë ujin nga një gropë e mbushur në 12 orë, dhe 15 pompa të tilla - në 6;h.Sa kohë mund të nxjerrin ujin 25 nga këto pompa nga një gropë e mbushur kur punojnë së bashku?

Zgjidhje.Lëreni vëllimin e gropësVm 3 , dhe produktiviteti i secilës pompë është x m 3 në orë Uji rrjedh vazhdimisht në gropë.T.duke qenë se sasia e marrjes së saj është e panjohur, e shënojmë me y m 3 në orë - vëllimi i ujit që hyn në gropë. Dhjetë pompa do të pompohen në 12 orë X= 120x ujë. Kjo sasi uji është e barabartë me vëllimin e përgjithshëm të gropës dhe vëllimin e ujit që hyn në gropë në 12 orë. I gjithë ky vëllim është i barabartë meV+12 y. Duke barazuar këto vëllime, ne krijojmë ekuacionin e parë 120x =V + 12 y .

Ekuacioni për 15 pompa të tilla është ndërtuar në mënyrë të ngjashme:15-6 x = V + 6 yose 90x = V + 6 y. Nga ekuacioni i parë kemi V = 120x - 12y. Duke zëvendësuar V në ekuacionin e dytë, marrim y = 5x.

Nuk dihet kohëzgjatja e funksionimit të 25 prej këtyre pompave. Le ta shënojmë met. Më pas, duke marrë parasysh kushtet e problemit, ndërtojmë me analogji ekuacionin e fundit. Kemi 25tx=V+ty. Duke zëvendësuar y dhe V në këtë ekuacion gjejmë 25tx= 120x -12 5x +t 5x ose 20tx= 60x. Nga këtu marrimt= 3 orë.Përgjigje: në 3 orë.

Detyrë 15. Të dy ekipet punuan së bashku për 15 ditë dhe më pas iu bashkua një ekip i tretë dhe 5 ditë më pas e gjithë puna përfundoi. Dihet që brigada e dytë prodhon 20% më shumë në ditë se e para. Brigada e dytë dhe e tretë së bashku mund të përfundonin të gjithë punën brenda koha e nevojshme për të përfunduar të gjithë punën nga ekipi i parë dhe i tretë kur ata punojnë së bashku. Në çfarë kohe të tre ekipet, duke punuar së bashku, mund të përfundonin të gjithë punën?

Zgjidhje. Lëreni ekipin e parë, të dytë dhe të tretë të kryejnë të gjithë punën, duke punuar veçmas, në x, y dhe përkatësishtzditë. Pastaj në ditën kur ata performojnë pjesë e punës. Shndërrimi i kushtit të parë të problemit në një ekuacion, duke supozuar se e gjithë sasia e punës e barabartë me një, marrim

15 ose

(1)

20 .

Meqenëse ekipi i dytë prodhon 120% të asaj që bën i pari (20% më shumë), ne kemi ose . (2)

Ekipi i dytë dhe i tretë do të kishin përfunduar të gjithë punën në 1/ ditë, dhe e para dhe e treta - për 1/ ditë. Sipas kushtit, sasia e parë është e barabartë me

(3)