Nëse përcaktori i një matrice është zero, atëherë anasjellta e saj nuk ekziston. Zgjerimi i përcaktorit me rresht ose kolonë

Meqenëse për të gjetur matricën e kundërt është e rëndësishme nëse përcaktori i matricës është i barabartë me zero apo jo, ne prezantojmë përkufizimet e mëposhtme.

Përkufizimi 14.9 Le ta quajmë matricën katrore i degjeneruar ose matricë e veçantë, nëse jo i degjeneruar ose matricë jo njëjës, Nëse .

Propozimi 14.21 Nëse matrica e kundërt ekziston, atëherë ajo është unike.

Dëshmi. Le të jenë dy matrica dhe të jenë inversi i matricës. Pastaj

Prandaj, .

Rregulli i Cramer-it.

Lëreni ekuacionin e matricës AX = B

Ku; – përcaktor i marrë nga përcaktorja D zëvendësim i kolona e th është kolona e termave të lirë të matricës B:

Dëshmi Teoremat do të ndahen në tre pjesë:

1. Zgjidhja e sistemit (1) ekziston dhe është unike.

2. Barazimet (2) janë pasojë e ekuacionit të matricës (1).

3. Barazimet (2) përfshijnë ekuacionin e matricës (1).

Meqenëse , atëherë ekziston një matricë unike, e kundërt.
Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit të matricës (1) nga e majta me , marrim një zgjidhje për këtë ekuacion:

Unike matrica e anasjelltë vërteton pjesën e parë të teoremës.

Le të kalojmë tek prova korrespondencë një me një ndërmjet formulave (1) dhe (2).

Duke përdorur formulën (4), marrim një shprehje për i elementi th. Për ta bërë këtë ju duhet të shumëzoni i-rreshti i matricës

për kolonë B.

Duke pasur parasysh atë i Rreshti i tretë i matricës së bashkuar përbëhet nga plotësime algjebrike, marrim rezultatin e mëposhtëm:

Derivimi i formulave të Cramer-it është përfunduar. Le të tregojmë tani se shprehjet

Le të ndryshojmë rendin e mbledhjes në anën e djathtë të shprehjes që rezulton:

ku është simboli i deltës Kronecker.

Duke marrë parasysh që simboli delta heq përmbledhjen mbi një nga indekset, marrim rezultatin e kërkuar:

Numrat kompleks: Ideja është të përcaktohen objekte të reja duke përdorur ato të njohura. Numrat realë janë të vendosur në një vijë. Kur kalojmë në aeroplan marrim numra kompleks. Përkufizimi: Një numër kompleks është një çift numrash realë z = (a,b). Numri a = Re z quhet pjesa reale, dhe b = Im z është pjesa imagjinare e numrit kompleks z.

Veprimet në numrat kompleks: Numrat kompleks z1 z2 janë të barabartë me Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Shtesë: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. Numri (0,0) shënohet me 0. Ky është një element neutral. Vërtetohet se mbledhja e numrave kompleks ka veti të ngjashme me ato të mbledhjes së numrave realë. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 - komutativiteti; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 - asociativiteti; 3. Z1 + 0 = z1 - ekzistenca e një zero (elementi neutral); 4 z + (−z) = 0 - ekzistenca e elementit të kundërt). Shumëzimi: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Një numër kompleks z qëndron në boshtin real nëse Imz = 0. Rezultatet e veprimeve në numra të tillë përkojnë me rezultatet e veprimeve në numra realë të zakonshëm. Shumëzimi i numrave kompleks ka vetitë e mbylljes, komutativitetit dhe asociativitetit. Numri (1,0) shënohet me 1. Është një element neutral nën shumëzim Nëse a∈ R, z ∈C, atëherë Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz. Përkufizimi Numri (0,1) shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare. Duke përdorur këtë shënim, marrim një paraqitje të një numri kompleks në formë algjebrike: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 +b 2 >0 (a+ib)(a-ib/a 2 +b 2)=1 konjuguar në z nëse Re = Re z; Une jam =- Unë jam z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 Moduli i një numri z është një numër real| z |= . Formula është e saktë| z| 2 = z Nga përkufizimi del se z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = /|z| 2 (1)

Forma trigonometrike e një numri kompleks: a=r kosto(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) T-argumenti i një numri kompleks. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2пk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( 1)

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

R(cos(t)-isin(t))

Përkufizimi: Një rrënjë e shkallës n të njësisë është një zgjidhje e ekuacionit z n =1Propozim. Ka n rrënjë të ndryshme të shkallës n të unitetit. Ato shkruhen si z = cos(2 π k / n) + isin (2 π k / n), k = 0,..., n −1. Teorema. Në bashkësinë e numrave kompleksë, ekuacioni ka gjithmonë n zgjidhje.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-numra të plotë. K i përket Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n =1; E n+p = E p . Kështu, vërtetohet se zgjidhjet e ekuacionit janë kulmet e një këndi të rregullt n, dhe një nga kulmet përkon me 1.

rrënja e n-të e z 0. Z k =Z 0 ; Z 0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 =r 0 (cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Z n =r n (cos(nt)+isin(nt))

r n =r 0, nt-t 0 =2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n) )=Z 1 E k ;

Matricat. Përkufizimi: Një matricë m × n është një tabelë drejtkëndëshe që përmban m rreshta dhe n kolona, elementët e së cilës janë numra realë ose kompleksë. Elementet e matricës kanë indekse të dyfishta.

Nëse m = n, atëherë është një matricë katrore e rendit m, dhe elementët me të njëjtat indekse formojnë diagonalen kryesore të matricës.

Operacionet e matricës: Përkufizimi: Quhen dy matrica A,B

të barabartë nëse madhësitë e tyre përkojnë dhe A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

Shtim. Matricat me të njëjtën madhësi merren parasysh. Përkufizimi:C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j Oferta. Mbledhja e matricës është komutative, asociative, ka një element neutral dhe për secilën matricë ka një element të kundërt.

Elementi neutral është matrica zero, të gjithë elementët e së cilës janë të barabartë me 0. Shënohet me Θ.

Shumëzimi. Një matricë m × n A shënohet me Amn . Përkufizimi: C mk =A mn B nk ó

C= Vini re se në përgjithësi shumëzimi nuk është komutativ. Mbyllja është e vlefshme për një matricë katrore të një madhësie fikse. Le të jepen tre matrica Amn, Bnk, Ckr. Pastaj (AB)C = A(BC). Nëse ekziston një produkt prej 3 matricash, atëherë ai është asociativ.

Simboli i Kronecker δij. Është e barabartë me 1 nëse indekset janë të njëjta, dhe 0 ndryshe. Përkufizimi. Matrica e identitetit I n është një matricë katrore e rendit n për të cilën barazitë n I n [ i | j] = δ ij Oferta. Janë të vërteta barazitë e mëposhtme: I m A mn =A mn I n =A mn

Mbledhja dhe shumëzimi i matricave janë të lidhura me ligjet e shpërndarjes. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = +

Transpozimi i matricës. Një matricë e transpozuar është një matricë e marrë nga ajo origjinale duke zëvendësuar rreshtat me kolona.

(A+B) T =A T +B T

(AB) T =B T A T;(AB) T =(AB)= = (B T A T)

Shumëzimi i një matrice me një numër. Prodhimi i një numri a dhe i një matrice A mn quhet matricë e re B=aA

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

Hapësirë lineare(L) mbi një fushë F është bashkësia e vektorëve L=(α,β..)

1.α+β=β+α(komutativiteti) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(asociativiteti) 3.α+θ=α, α∙1=α(ekzistenca e asnjanës) 4.α+(-α)=θ (ekzistenca e të kundërtës)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Dokumenti (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a dhe b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Një shembull i një hapësire lineare është një grup matricash me madhësi fikse me operacionet e mbledhjes dhe shumëzimit me një numër.

Sistemi i vektorëve linearë quhet varur në mënyrë lineare, nëse 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ Nëse sistemi nuk është i varur në mënyrë lineare, atëherë ai është linearisht i pavarur. Konsideroni 1. n=1 α 1 varen. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. n=2 α 1 ,α 2 varen. a 1 ≠0 ,a 1 α 1 +a 2 α 2 =θ ,α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 =b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n varen. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0

Oferta: Një sistem vektorësh që përmban më shumë se 1 vektor është i varur në mënyrë lineare, atëherë disa vektorë të sistemit janë një kombinim linear i të tjerëve.

Nëse një sistem vektorësh përmban një nënsistem të varur linearisht, atëherë i gjithë sistemi është i varur në mënyrë lineare. Dokumenti: (α 1 ..α n i varur. Sistemi: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) Nëse sistemi përmban një vektor zero, atëherë ai është i varur në mënyrë lineare. Teorema mbi hapësirat lineare: (Le të jepen 2 sisteme vektorësh α 1 ..α m , β 1 ..β n. Sistemi i vektorëve α shprehet nëpërmjet β nëse çdo vektor α është një kombinim linear β α i = Σ k =1 n a ik β k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) Teorema: Jepen 2 sisteme vektorësh, ndërsa α është i pavarur dhe, (α) ( (β)→m≤n Le të vërtetojmë se α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β)→( α)varur (Le ta vërtetojmë me induksion. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1 . a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 . = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 +.. a nn. -1 β n - 1 Nëse të gjithë koeficientët =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ i gjithë sistemi është i varur në mënyrë lineare a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 –с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 , c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 , α 3 ′= α 3 –с. 3 α 1 .. α n ′= α n –с n α 1. Me induksion ekziston një grup numrash jozero d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β ), m>n →(α )varet nëse (α) e pavarur →m≤n)

MLNP-max.lin.independent.nënsistem. Le të jepet një sistem vektorësh α 1 ..α n të disa nënsistemit. α i 1 ..α në quhet MLNP nëse 1. α 1 ..α n e pavarur.2. α i 1 ..α ir , α ij varen. Çdo vektor i sistemit është një kombinim linear i vektorëve MLNP. ( α i 1 ..α ir, α ij varen. a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ

a i 1 ..a ir, a ij ≠0 nëse a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 kontradiktë a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir)

Pasoja: Çdo 2 MLNP nga i njëjti sistem vektorial përmbajnë të njëjtin numër vektorësh (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk) , (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k Numri i vektorëve MLNP quhet gradë sistemi origjinal. Në rastin e një hapësire lineare (një sistem vektorësh përbëhet nga të gjithë vektorët në hapësirë), MLNP mb është i fundëm ose i pafund. Le të shqyrtojmë rastin përfundimtar. Numri i vektorëve (rangu) është dimensioni i hapësirës lineare. MLNP-bazë. Hapësira e segmenteve të drejtuara. Përbëhen dy vektorë jokolinearë bazë në hapësirën e vektorëve në rrafsh. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 vektorë të varur linearisht α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . Koplanariteti - 3 vektorë janë paralel me një rrafsh α 4 = α 4 ′+ α 5 ′, α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2, α 5 ′= a 3 α 3, α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . Hapësira e vargjeve me gjatësi n. α= Oferta: Hapësira e vargjeve me gjatësi n ka dimension n. ( ξ 1 =<1…0>ξ 2 =<0,1…0>.. ξ n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (pavarësia lineare) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →hapësira e vargjeve me gjatësi n ka dimension n.

Rangu i matricës.

Dy sisteme vektorësh α dhe β quhen ekuivalente nëse secili vektor

α( β (shprehur) dhe β( α.

Oferta. Radhët e sistemeve ekuivalente përkojnë.

α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLNP α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLNP β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k

Ndërroni α dhe β → r>=k >>> Pra, r=k.

Përkufizimi. Le të matricën A=
α i =

Rangu i matricës Dhe rangu i sistemit të vektorëve α1, α2,…, αm, i përbërë nga kjo matricë >>rank(A)-rank quhet

Nga përkufizimi është e qartë se kur kolonat riorganizohen, rangu nuk ndryshon. Le të tregojmë se kur kolonat riorganizohen, renditja gjithashtu nuk ndryshon.

A'=

α'i=

I varur në mënyrë lineare:

b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0

2.Nëse │A│=0, atëherë matrica A është njëjës dhe matrica e anasjelltë A -1 nuk ekziston.

Nëse përcaktori i matricës A nuk është i barabartë me zero, atëherë matrica e anasjelltë ekziston.

3. Gjeni A T të transpozuar në A.

4. Gjeni plotësimet algjebrike të elementeve të matricës së transpozuar dhe hartoni prej tyre matricën e bashkuar. 5. Matricën e anasjelltë e llogarisim duke përdorur formulën: 6. Kontrollojmë saktësinë e llogaritjes së matricës së kundërt, bazuar në përkufizimin e saj A -1 ∙A = A ∙A -1 = E.

· №28

· Në një matricë me madhësi m x n, duke fshirë çdo rresht dhe kolonë, mund të zgjedhim nënmatrica katrore të rendit kth, ku k≤min(m; n). Përcaktuesit e nënmatricave të tilla quhen minore të rendit kth të matricës A.

· Rangu i një matrice A është rendi më i lartë i minoreve jozero të kësaj matrice.

· Rangu i një matrice A shënohet me gradën A ose r(A).

· Nga përkufizimi rezulton:

· 1) rangu i një matrice me madhësi m x n nuk e kalon më të voglën e dimensioneve të saj, d.m.th. r(A) ≤ min (m; n).

· 2) r(A)=0 nëse dhe vetëm nëse të gjithë elementët e matricës janë të barabartë me zero, d.m.th. A=0.

· 3) Për një matricë katrore të rendit të n-të, r(A) = n nëse dhe vetëm nëse matrica A është jo njëjës.

· Në rastin e përgjithshëm, përcaktimi i renditjes së një matrice duke numëruar të gjithë të miturit është mjaft punë intensive. Për të lehtësuar këtë detyrë, përdoren transformime elementare që ruajnë gradën e matricës:

· 1) Hedhja e rreshtit (kolonës) zero.

· 2) Shumëzimi i të gjithë elementëve të një rreshti (kolone) të një matrice me një numër që nuk është i barabartë me zero.

· 3) Ndryshimi i renditjes së rreshtave (kolonave) të matricës.

· 4) Shtimi i secilit element të një rreshti (kolone) të elementeve përkatës të një rreshti (kolone) tjetër, të shumëzuar me çdo numër.

· 5) Transpozimi i matricës.

· Teorema. Rangu i matricës nuk do të ndryshojë me transformimet elementare të matricës.

№31

Le të jetë numri i ekuacioneve të sistemit (1) me numrin e ndryshoreve, d.m.th. m=n. Atëherë matrica e sistemit është katror, dhe përcaktorja e saj Δ=│A│ quhet përcaktor i sistemit.

Supozoni se │A│ nuk është e barabartë me zero, atëherë ekziston një matricë e kundërt A -1.

Duke shumëzuar në të majtë të dy anët e barazisë së matricës me matricën e kundërt A -1 marrim:

A -1 (AX) = A -1 V.

Zgjidhja e sistemit të ekuacioneve duke përdorur metodën e matricës së kundërt është matrica e kolonës:

X= A -1 V.

(A -1 A)X =EX =X

Teorema e Kramerit. Le të jetë Δ përcaktori i matricës së sistemit A dhe Δ j përcaktuesi i matricës që përftohet nga matrica duke zëvendësuar kolonën j me një kolonë me terma të lirë. Atëherë nëse Δ nuk është e barabartë me zero, atëherë sistemi ka një zgjidhje unike, të përcaktuar nga formulat e Cramer:

ku j=1..n.

№33

Metoda e Gausit - një metodë e eliminimit të njëpasnjëshëm të variablave - konsiston në faktin se, me ndihmën e transformimeve elementare, një sistem ekuacionesh reduktohet në një sistem ekuivalent të një forme hapi ose trekëndëshi.

Konsideroni matricën:

kjo matricë quhet matricë e zgjeruar e sistemit (1), pasi përveç matricës së sistemit A, ajo përfshin gjithashtu një kolonë me terma të lirë.

№26

Një vektor N-dimensionale është një koleksion i renditur i n numrave realë, të shkruar në formën X = (x 1, x 2,...x n), ku x i është komponenti i i-të i vektorit X.

Dy vektorë n-dimensionale janë të barabartë nëse dhe vetëm nëse komponentët e tyre përkatës janë të barabartë, d.m.th. X=Y, nëse x i =y i, i=1…n.

Bashkësia e vektorëve me komponentë realë, në të cilën përcaktohen veprimet e mbledhjes së vektorëve dhe të shumëzimit të një vektori me një numër që plotëson vetitë e mësipërme, quhet hapësirë vektoriale.

Një hapësirë vektoriale R quhet n-dimensionale nëse ka n vektorë linearisht të pavarur në të, dhe çdo n+1 vektor është tashmë i varur. Numri n quhet dimensioni i hapësirës vektoriale R dhe shënohet me dim(R).

№29

Operatorët linearë

Përkufizimi. Nëse jepet një ligj (rregull) sipas të cilit çdo vektor x i hapësirës shoqërohet me një vektor të vetëm y të hapësirës

atëherë thonë: se është dhënë një operator (transformim, hartëzimi) A(x), që vepron nga deri dhe

shkruani y=A(x).

Një operator quhet linear nëse për çdo vektor x dhe y në hapësirë

dhe çdo numër λ, relacionet e mëposhtme janë:

№37

Le të jetë A një bashkësi e përbërë nga një numër i kufizuar elementesh a 1 , a 2 , a 3 …a n . Grupet mund të formohen nga elementë të ndryshëm të grupit A. Nëse secili grup përmban të njëjtin numër elementesh m (m nga n), atëherë thuhet se ata formojnë përbërje të n elementeve me m në secilin. Ekzistojnë tre lloje të lidhjeve: vendosjet, kombinimet dhe permutacionet.

lidhjet, secila prej të cilave përmban të gjitha n elementet e grupit A dhe që, për rrjedhojë, ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga renditja e elementeve quhen ndërrime të n elementeve. Numri i permutacioneve të tilla shënohet me simbolin Pn.

№35

Përkufizimi klasik i probabilitetit bazohet në konceptin e probabilitetit të barabartë të ngjarjeve.

Barazia e ngjarjeve do të thotë se nuk ka arsye për të preferuar njërën prej tyre ndaj të tjerave.

Konsideroni një provë që mund të rezultojë në ndodhjen e ngjarjes A. Çdo rezultat në të cilin ndodh ngjarja A quhet i favorshëm për ngjarjen A.

Probabiliteti i ngjarjes A (e shënuar me P(A)) është raporti i numrit të rezultateve të favorshme ndaj ngjarjes A (e shënuar me k) me numrin e të gjitha rezultateve të provës - N d.m.th. P(A)= k/ N.

Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi klasik i probabilitetit:

Probabiliteti i ndonjë ngjarjeje qëndron ndërmjet zeros dhe një.

Probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme është i barabartë me një.

Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero

№39, 40

Teorema e mbledhjes. Nëse A dhe B janë të papajtueshme, atëherë P(A + B) = P(A) + P(B)

Metoda e Cramer-it bazohet në përdorimin e përcaktorëve në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Kjo përshpejton ndjeshëm procesin e zgjidhjes.

Metoda e Cramer mund të përdoret për të zgjidhur një sistem me aq ekuacione lineare sa ka të panjohura në secilin ekuacion. Nëse përcaktori i sistemit nuk është i barabartë me zero, atëherë metoda e Cramer-it mund të përdoret në zgjidhje, por nëse është e barabartë me zero, atëherë nuk mundet. Përveç kësaj, metoda e Cramer mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare që kanë një zgjidhje unike.

Përkufizimi. Një përcaktues i përbërë nga koeficientë për të panjohurat quhet përcaktor i sistemit dhe shënohet (delta).

Përcaktuesit

fitohen duke zëvendësuar koeficientët e të panjohurave përkatëse me terma të lirë:

;

.

Teorema e Kramerit. Nëse përcaktorja e sistemit është jozero, atëherë sistemi i ekuacioneve lineare ka një zgjidhje unike, dhe e panjohura është e barabartë me raportin e përcaktorëve. Emëruesi përmban përcaktorin e sistemit, dhe numëruesi përmban përcaktorin e marrë nga përcaktorja e sistemit duke zëvendësuar koeficientët e kësaj të panjohure me terma të lirë. Kjo teoremë vlen për një sistem ekuacionesh lineare të çdo rendi.

Shembulli 1. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare:

Sipas Teorema e Kramerit ne kemi:

Pra, zgjidhja për sistemin (2):

kalkulator në internet, metoda e zgjidhjes së Cramer.

Tre raste kur zgjidhen sistemet e ekuacioneve lineare

Siç është e qartë nga Teorema e Kramerit, kur zgjidhet një sistem ekuacionesh lineare, mund të ndodhin tre raste:

Rasti i parë: një sistem ekuacionesh lineare ka një zgjidhje unike

(sistemi është konsistent dhe i përcaktuar)

Rasti i dytë: një sistem ekuacionesh lineare ka një numër të pafund zgjidhjesh

(sistemi është konsistent dhe i pasigurt)

** ,

ato. koeficientët e të panjohurave dhe të termave të lirë janë proporcionalë.

Rasti i tretë: sistemi i ekuacioneve lineare nuk ka zgjidhje

(sistemi është i paqëndrueshëm)

Pra sistemi m ekuacionet lineare me n të quajtura variabla jo të përbashkët, nëse ajo nuk ka një zgjidhje të vetme, dhe të përbashkët, nëse ka të paktën një zgjidhje. Një sistem i njëkohshëm ekuacionesh që ka vetëm një zgjidhje quhet të caktuara, dhe më shumë se një - i pasigurt.

Shembuj të zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer

Le të jepet sistemi

.

Bazuar në teoremën e Kramerit

………….
,

Ku
-

përcaktues i sistemit. Ne marrim përcaktuesit e mbetur duke zëvendësuar kolonën me koeficientët e ndryshores përkatëse (të panjohur) me terma të lirë:

Shembulli 2.

.

Prandaj, sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, (1; 0; -1) është e vetmja zgjidhje për sistemin.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Nëse në një sistem ekuacionesh lineare nuk ka ndryshore në një ose më shumë ekuacione, atëherë në përcaktor elementët përkatës janë të barabartë me zero! Ky është shembulli tjetër.

Shembulli 3. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

.

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Shikoni me kujdes sistemin e ekuacioneve dhe përcaktorin e sistemit dhe përsëritni përgjigjen e pyetjes në cilat raste një ose më shumë elementë të përcaktorit janë të barabartë me zero. Pra, përcaktorja nuk është e barabartë me zero, prandaj sistemi është i përcaktuar. Për të gjetur zgjidhjen e tij, llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Duke përdorur formulat e Cramer-it gjejmë:

Pra, zgjidhja e sistemit është (2; -1; 1).

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Në krye të faqes

Ne vazhdojmë të zgjidhim sistemet duke përdorur metodën e Cramer së bashku

Siç u përmend tashmë, nëse përcaktorja e sistemit është e barabartë me zero, dhe përcaktuesit e të panjohurave nuk janë të barabarta me zero, sistemi është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje. Le ta ilustrojmë me shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 6. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Përcaktori i sistemit është i barabartë me zero, prandaj, sistemi i ekuacioneve lineare është ose jo konsistent dhe i përcaktuar, ose jo konsistent, domethënë nuk ka zgjidhje. Për të sqaruar, ne llogarisim përcaktorët për të panjohurat

Përcaktuesit e të panjohurave nuk janë të barabartë me zero, prandaj sistemi është i paqëndrueshëm, domethënë nuk ka zgjidhje.

Për të kontrolluar zgjidhjet e sistemeve të ekuacioneve 3 X 3 dhe 4 X 4, mund të përdorni një kalkulator në internet duke përdorur metodën e zgjidhjes së Cramer.

Në problemet që përfshijnë sisteme ekuacionesh lineare, ka edhe nga ato ku, përveç shkronjave që tregojnë ndryshore, ka edhe shkronja të tjera. Këto shkronja përfaqësojnë një numër, më së shpeshti real. Në praktikë, ekuacione të tilla dhe sisteme ekuacionesh çojnë në probleme të kërkimit të vetive të përgjithshme të çdo fenomeni dhe objekti. Kjo do të thotë, ju keni shpikur një material ose pajisje të re dhe për të përshkruar vetitë e tij, të cilat janë të zakonshme pavarësisht nga madhësia ose sasia e ekzemplarit, duhet të zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare, ku në vend të disa koeficientëve për variablat ekzistojnë letra. Nuk duhet të kërkoni larg për shembuj.

Shembulli i mëposhtëm është për një problem të ngjashëm, rritet vetëm numri i ekuacioneve, variablave dhe shkronjave që tregojnë një numër të caktuar real.

Shembulli 8. Zgjidh një sistem ekuacionesh lineare duke përdorur metodën Cramer:

Zgjidhje. Gjejmë përcaktuesin e sistemit:

Gjetja e përcaktorëve për të panjohurat

EKUACIONET LINEARE DHE PABARAZIZIMET I

§ 28 Kushti në të cilin përcaktorja e rendit të dytë është e barabartë me zero

Në të gjitha aplikimet e teorisë së përcaktorëve, një rol të rëndësishëm luajnë kushtet në të cilat zhduket përcaktori. Ne do t'i shqyrtojmë këto kushte në këtë paragraf.

Teorema 1. Nëse vijat përcaktore

janë proporcionale, atëherë kjo përcaktor është e barabartë me zero.

Dëshmi. Proporcionaliteti i linjës ( a, b ) Dhe ( s, d ) do të thotë se:

ose a = kc, b = kd,

ose c = k"a, d = k"b.

(Në të njëjtën kohë, natyrisht, mundësia e të dyjave nuk përjashtohet.)

Nëse a = kc, b = kd , Kjo

Situata është e ngjashme në rastin kur c = k"a, d = k"b :

Teorema është vërtetuar.

Teorema e kundërt është gjithashtu e vërtetë.

Teorema 2. Nëse përcaktorja

është e barabartë me zero, atëherë rreshtat e saj janë proporcionale.

Dëshmi. Sipas kushtit

ad - bс = 0,

ad = bс . (1)

Nëse asnjë nga elementët e rreshtit të dytë ( s, d ) nuk është e barabartë me zero, atëherë nga (1) del se

a / c = b / d

Por kjo tashmë do të thotë se linjat ( a, b ) Dhe ( s, d ) janë proporcionale.

Nëse të dy numrat Me Dhe d janë të barabarta me zero, atëherë rreshtat e përcaktorëve do të jenë sërish proporcionale (shih problemin 226 nga paragrafi i mëparshëm).

Mbetet të merret parasysh vetëm rasti kur një nga numrat Me Dhe d është e barabartë me zero, dhe tjetra është e ndryshme nga zero. Le, për shembull, Me = 0, a d =/= 0. Pastaj nga (1) rrjedh se A = 0. Por në këtë rast, në përcaktor

kolona e parë do të përbëhet vetëm nga zero. Prandaj, vijat e përcaktorit do të jenë proporcionale (shih problemin 226).

Dy teoremat u vërtetuan se çojnë në rezultatin e mëposhtëm.

Përcaktues

është e barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse rreshtat e tij janë proporcionalë.

Ushtrime

227. Në çfarë vlerash A Linjat e këtyre përcaktorëve janë proporcionale:

228. Kolonat e një përcaktori të rendit të dytë quhen proporcionale nëse të paktën njëra prej tyre fitohet si rezultat i shumëzimit sipas elementeve të tjetrës me një numër të caktuar. k .

Vërtetoni se nëse rreshtat në përcaktorin e rendit të dytë janë proporcionale, atëherë edhe kolonat do të jenë proporcionale. A është e vërtetë deklarata e kundërt?

227 . a) ± 2; b) 0; c) në asnjë moment vijat e kësaj përcaktor nuk janë proporcionale.

Formulimi i problemit

Detyra kërkon që përdoruesi të njihet me konceptet bazë të metodave numerike, të tilla si matrica përcaktore dhe e anasjelltë, dhe mënyra të ndryshme të llogaritjes së tyre. Ky raport teorik fillimisht prezanton konceptet dhe përkufizimet bazë në një gjuhë të thjeshtë dhe të arritshme, mbi bazën e të cilave kryhen kërkime të mëtejshme. Përdoruesi mund të mos ketë njohuri të veçanta në fushën e metodave numerike dhe algjebrës lineare, por mund të përdorë lehtësisht rezultatet e kësaj pune. Për qartësi, jepet një program për llogaritjen e përcaktorit të një matrice duke përdorur disa metoda, të shkruara në gjuhën e programimit C++. Programi përdoret si një stendë laboratorike për krijimin e ilustrimeve për raportin. Gjithashtu po kryhet një studim i metodave për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare. Kotësia e llogaritjes së matricës së kundërt është vërtetuar, kështu që puna ofron mënyra më optimale për zgjidhjen e ekuacioneve pa e llogaritur atë. Ai shpjegon pse ka kaq shumë metoda të ndryshme për llogaritjen e përcaktuesve dhe matricave të anasjellta dhe diskuton mangësitë e tyre. Gjithashtu merren parasysh gabimet në llogaritjen e përcaktorit dhe vlerësohet saktësia e arritur. Përveç termave ruse, vepra përdor edhe ekuivalentët e tyre në anglisht për të kuptuar se me çfarë emrash duhet të kërkohen procedurat numerike në biblioteka dhe çfarë kuptimi kanë parametrat e tyre.

Përkufizimet bazë dhe vetitë më të thjeshta

Përcaktues

Le të prezantojmë përkufizimin e përcaktorit të një matrice katrore të çdo rendi. Ky përkufizim do të jetë të përsëritura, domethënë, për të përcaktuar se cili është përcaktori i matricës së rendit, duhet të dini tashmë se çfarë është përcaktori i matricës së rendit. Vini re gjithashtu se përcaktori ekziston vetëm për matricat katrore.
Përcaktorin e një matrice katrore do ta shënojmë me ose det.
Përkufizimi 1. Përcaktues matricë katrore thirret numri i rendit të dytë .
Përcaktues matrica katrore e rendit , quhet numër
ku është përcaktori i matricës së rendit të marrë nga matrica duke fshirë rreshtin dhe kolonën e parë me numër .
Për qartësi, le të shkruajmë se si mund të llogarisni përcaktuesin e një matrice të rendit të katërt:
Koment. Llogaritja aktuale e përcaktuesve për matricat mbi renditjen e tretë, bazuar në përkufizimin, përdoret në raste të jashtëzakonshme. Në mënyrë tipike, llogaritja kryhet duke përdorur algoritme të tjera që do të diskutohen më vonë dhe që kërkojnë më pak punë llogaritëse.
Koment. Në përkufizimin 1, do të ishte më e saktë të thuhet se përcaktori është një funksion i përcaktuar në grupin e matricave katrore të rendit dhe që merr vlera në grupin e numrave.
Koment. Në literaturë në vend të termit “përcaktor” përdoret edhe termi “përcaktues”, i cili ka të njëjtin kuptim. Nga fjala "përcaktues" u shfaq emërtimi det.
Le të shqyrtojmë disa veti të përcaktorëve, të cilat do t'i formulojmë në formën e pohimeve.
Deklarata 1. Gjatë transpozimit të një matrice, përcaktori nuk ndryshon, domethënë .
Deklarata 2. Përcaktori i prodhimit të matricave katrore është i barabartë me produktin e përcaktuesve të faktorëve, d.m.th.
Deklarata 3. Nëse dy rreshta në një matricë ndërrohen, përcaktori i saj do të ndryshojë shenjën.
Deklarata 4. Nëse një matricë ka dy rreshta identikë, atëherë përcaktori i saj është zero.
Në të ardhmen, do të na duhet të shtojmë vargje dhe të shumëzojmë një varg me një numër. Ne do t'i kryejmë këto veprime në rreshta (kolona) në të njëjtën mënyrë si veprimet në matricat e rreshtave (matricat e kolonave), domethënë element pas elementi. Rezultati do të jetë një rresht (kolona), e cila, si rregull, nuk përkon me rreshtat e matricës origjinale. Nëse ka operacione të mbledhjes së rreshtave (kolonave) dhe shumëzimit të tyre me një numër, mund të flasim edhe për kombinime lineare të rreshtave (kolonave), domethënë shuma me koeficientë numerikë.
Deklarata 5. Nëse një rresht i një matrice shumëzohet me një numër, atëherë përcaktori i tij do të shumëzohet me këtë numër.
Deklarata 6. Nëse një matricë përmban një rresht zero, atëherë përcaktori i saj është zero.
Deklarata 7. Nëse një nga rreshtat e matricës është i barabartë me një tjetër, i shumëzuar me një numër (rreshtat janë proporcionalë), atëherë përcaktori i matricës është i barabartë me zero.
Deklarata 8. Lëreni rreshtin i-të në matricë të ketë formën . Pastaj, ku matrica merret nga matrica duke zëvendësuar rreshtin i-të me rreshtin, dhe matrica merret duke zëvendësuar rreshtin e i-të me rreshtin.
Deklarata 9. Nëse shtoni një rresht tjetër në një nga rreshtat e matricës, të shumëzuar me një numër, atëherë përcaktori i matricës nuk do të ndryshojë.
Deklarata 10. Nëse një nga rreshtat e një matrice është një kombinim linear i rreshtave të tjerë të saj, atëherë përcaktori i matricës është i barabartë me zero.
Përkufizimi 2. Komplement algjebrik për një element matricë është një numër i barabartë me , ku është përcaktori i matricës i marrë nga matrica duke fshirë rreshtin i-të dhe kolonën j-të. Komplementi algjebrik i një elementi matricë shënohet me .
Shembull. Le . Pastaj
Koment. Duke përdorur shtesat algjebrike, përkufizimi i 1 përcaktor mund të shkruhet si më poshtë:
Deklarata 11. Zgjerimi i përcaktorit në një varg arbitrar.
Formula për përcaktorin e matricës është
Shembull. Llogaritni .
Zgjidhje. Le të përdorim zgjerimin përgjatë vijës së tretë, kjo është më fitimprurëse, pasi në rreshtin e tretë dy nga tre numrat janë zero. marrim
Deklarata 12. Për një matricë katrore të rendit në, relacioni qëndron: .
Deklarata 13. Të gjitha vetitë e përcaktorit të formuluar për rreshtat (pohimet 1 - 11) janë gjithashtu të vlefshme për kolonat, në veçanti, zbërthimi i përcaktorit në kolonën j-të është i vlefshëm dhe barazi në .
Deklarata 14. Përcaktori i një matrice trekëndore është i barabartë me produktin e elementeve të diagonales së saj kryesore.
Pasoja. Përcaktori i matricës së identitetit është i barabartë me një, .
konkluzioni. Karakteristikat e listuara më sipër bëjnë të mundur gjetjen e përcaktuesve të matricave me rend mjaft të lartë me një sasi relativisht të vogël llogaritjesh. Algoritmi i llogaritjes është si më poshtë.
Algoritmi për krijimin e zerave në një kolonë. Supozoni se duhet të llogarisim përcaktuesin e rendit. Nëse , atëherë ndërroni rreshtin e parë dhe çdo rresht tjetër në të cilin elementi i parë nuk është zero. Si rezultat, përcaktorja , do të jetë e barabartë me përcaktorin e matricës së re me shenjë të kundërt. Nëse elementi i parë i çdo rreshti është i barabartë me zero, atëherë matrica ka një kolonë zero dhe, sipas pohimeve 1, 13, përcaktori i saj është i barabartë me zero.
Pra, ne besojmë se tashmë në matricën origjinale. E lëmë rreshtin e parë të pandryshuar. Shtoni në rreshtin e dytë rreshtin e parë të shumëzuar me numrin. Atëherë elementi i parë i rreshtit të dytë do të jetë i barabartë me .
Ne shënojmë elementet e mbetura të rreshtit të ri të dytë me , . Përcaktori i matricës së re sipas pohimit 9 është i barabartë me . Shumëzoni rreshtin e parë me një numër dhe shtoni atë në të tretën. Elementi i parë i rreshtit të ri të tretë do të jetë i barabartë me
Ne shënojmë elementet e mbetura të rreshtit të ri të tretë me , . Përcaktori i matricës së re sipas pohimit 9 është i barabartë me .
Do të vazhdojmë procesin e marrjes së zerove në vend të elementeve të para të rreshtave. Së fundi, shumëzojeni rreshtin e parë me një numër dhe shtojeni në rreshtin e fundit. Rezultati është një matricë, le ta shënojmë atë, e cila ka formën
dhe . Për të llogaritur përcaktuesin e matricës, ne përdorim zgjerimin në kolonën e parë
Që atëherë
Në anën e djathtë është përcaktori i matricës së rendit. Ne aplikojmë të njëjtin algoritëm për të, dhe llogaritja e përcaktorit të matricës do të reduktohet në llogaritjen e përcaktorit të matricës së rendit. Ne e përsërisim procesin derisa të arrijmë përcaktuesin e rendit të dytë, i cili llogaritet me përkufizim.
Nëse matrica nuk ka ndonjë veti specifike, atëherë nuk është e mundur të zvogëlohet ndjeshëm sasia e llogaritjeve në krahasim me algoritmin e propozuar. Një aspekt tjetër i mirë i këtij algoritmi është se është e lehtë për t'u përdorur për të krijuar një program kompjuterik për llogaritjen e përcaktuesve të matricave të rendit të madh. Programet standarde për llogaritjen e përcaktuesve përdorin këtë algoritëm me ndryshime të vogla që lidhen me minimizimin e ndikimit të gabimeve të rrumbullakosjes dhe gabimeve të të dhënave hyrëse në llogaritjet kompjuterike.
Shembull. Llogaritja e përcaktorit të matricës .
Zgjidhje. E lëmë rreshtin e parë të pandryshuar. Në rreshtin e dytë shtojmë të parën, shumëzuar me numrin:
Përcaktori nuk ndryshon. Në rreshtin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me numrin:
Përcaktori nuk ndryshon. Në rreshtin e katërt shtojmë të parën, shumëzuar me numrin:
Përcaktori nuk ndryshon. Si rezultat marrim
Duke përdorur të njëjtin algoritëm, ne llogarisim përcaktuesin e matricës së rendit 3, të vendosur në të djathtë. E lëmë rreshtin e parë të pandryshuar, rreshtin e dytë i shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me numrin :
Në rreshtin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me numrin :
Si rezultat marrim
Përgjigju. .
Koment. Edhe pse në llogaritjet u përdorën thyesat, rezultati doli të ishte një numër i plotë. Në të vërtetë, duke përdorur vetitë e përcaktorëve dhe faktin që numrat origjinalë janë numra të plotë, operacionet me thyesa mund të shmangen. Por në praktikën inxhinierike, numrat janë jashtëzakonisht të rrallë numra të plotë. Prandaj, si rregull, elementët e përcaktorit do të jenë thyesa dhjetore dhe është e papërshtatshme të përdoret ndonjë truk për të thjeshtuar llogaritjet.

matricë e anasjelltë

Përkufizimi 3. Matrica quhet matricë e anasjelltë për një matricë katrore, nëse .
Nga përkufizimi del se matrica e anasjelltë do të jetë një matricë katrore e të njëjtit rend si matrica (përndryshe një nga produktet ose nuk do të definohej).
Anasjellta e një matrice shënohet me. Kështu, nëse ekziston, atëherë.
Nga përkufizimi i një matrice të kundërt rrjedh se matrica është inversi i matricës, domethënë . Për matricat mund të themi se ato janë të anasjellta me njëra-tjetrën ose reciprokisht të anasjellta.
Nëse përcaktori i një matrice është zero, atëherë anasjellta e saj nuk ekziston.
Meqenëse për të gjetur matricën e kundërt është e rëndësishme nëse përcaktori i matricës është i barabartë me zero apo jo, ne prezantojmë përkufizimet e mëposhtme.
Përkufizimi 4. Le ta quajmë matricën katrore i degjeneruar ose matricë e veçantë, nëse jo i degjeneruar ose matricë jo njëjës, Nëse .
deklaratë. Nëse matrica e kundërt ekziston, atëherë ajo është unike.
deklaratë. Nëse një matricë katrore është jo njëjës, atëherë e kundërta e saj ekziston dhe (1) ku janë plotësimet algjebrike të elementeve.
Teorema. Një matricë e kundërt për një matricë katrore ekziston nëse dhe vetëm nëse matrica është jo njëjëse, matrica e anasjelltë është unike dhe formula (1) është e vlefshme.
Koment. Vëmendje e veçantë duhet t'i kushtohet vendeve të zëna nga shtesat algjebrike në formulën e matricës së kundërt: indeksi i parë tregon numrin kolonë, dhe i dyti është numri linjat, në të cilën duhet të shkruani mbledhjen e llogaritur algjebrike.
Shembull. .
Zgjidhje. Gjetja e përcaktorit
Meqenëse , atëherë matrica është jo e degjeneruar dhe e kundërta e saj ekziston. Gjetja e plotësuesve algjebrikë:
Ne hartojmë matricën e kundërt, duke vendosur plotësimet algjebrike të gjetura në mënyrë që indeksi i parë të korrespondojë me kolonën, dhe i dyti me rreshtin: (2)
Matrica që rezulton (2) shërben si përgjigje për problemin.
Koment. Në shembullin e mëparshëm, do të ishte më e saktë të shkruanim përgjigjen si kjo:
(3)
Sidoqoftë, shënimi (2) është më kompakt dhe është më i përshtatshëm për të kryer llogaritjet e mëtejshme me të, nëse kërkohet. Prandaj, shkrimi i përgjigjes në formën (2) preferohet nëse elementët e matricës janë numra të plotë. Dhe anasjelltas, nëse elementët e matricës janë thyesa dhjetore, atëherë është më mirë të shkruhet matrica e anasjelltë pa një faktor përpara.
Koment. Kur gjeni matricën e kundërt, duhet të kryeni mjaft llogaritje dhe rregulli për rregullimin e shtesave algjebrike në matricën përfundimtare është i pazakontë. Prandaj, ekziston një probabilitet i lartë gabimi. Për të shmangur gabimet, duhet të kontrolloni: llogaritni produktin e matricës origjinale dhe matricës përfundimtare në një renditje ose në një tjetër. Nëse rezultati është një matricë identiteti, atëherë matrica e kundërt është gjetur saktë. Përndryshe, duhet të kërkoni një gabim.
Shembull. Gjeni inversin e një matrice .
Zgjidhje. - ekziston.
Përgjigje: .
konkluzioni. Gjetja e matricës së kundërt duke përdorur formulën (1) kërkon shumë llogaritje. Për matricat e rendit të katërt dhe më të lartë, kjo është e papranueshme. Algoritmi aktual për gjetjen e matricës së kundërt do të jepet më vonë.

Llogaritja e matricës së përcaktorit dhe të anasjelltë duke përdorur metodën e Gausit

Metoda Gaussian mund të përdoret për të gjetur matricën përcaktuese dhe të anasjelltë.
Përkatësisht, përcaktori i matricës është i barabartë me det.
Matrica e anasjelltë gjendet duke zgjidhur sistemet e ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e eliminimit Gaussian:
Ku është kolona j e matricës së identitetit, është vektori i dëshiruar.
Vektorët e zgjidhjes që rezultojnë padyshim formojnë kolona të matricës, pasi .

Formulat për përcaktorin

1. Nëse matrica është jo njëjës, atëherë dhe (produkt i elementeve kryesore).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve