Formulat e reduktimit matematikor. Llogaritësi online Thjeshtimi i një polinomi

Ato përdoren për të thjeshtuar llogaritjet, si dhe për faktorizimin e polinomeve dhe për shumëzimin e shpejtë të polinomeve. Shumica e formulave të shkurtuara të shumëzimit mund të merren nga binomi i Njutonit - së shpejti do ta shihni këtë.

Formulat për katrorët përdoret më shpesh në llogaritje. Ato fillojnë të studiohen në kurrikulën shkollore duke filluar nga klasa e 7-të dhe deri në përfundim të studimeve, nxënësit e shkollës duhet të dinë përmendësh formulat e katrorëve dhe kubeve.

Formulat për kube jo shumë komplekse dhe ju duhet t'i njihni ato kur reduktoni polinomet në formën standarde, për të thjeshtuar ngritjen e shumës ose ndryshimit të një ndryshoreje dhe një numri në kub.

Formulat e treguara me të kuqe janë marrë nga ato të mëparshme duke grupuar terma të ngjashëm.

Formulat për shkallën e katërt dhe të pestë Pak njerëz do ta kenë të dobishme në një kurs shkollor, por ka probleme në studimin e matematikës së lartë ku duhet të llogaritni koeficientët e fuqive.

Formulat për gradën n shkruhen përmes koeficientëve binomialë duke përdorur faktorialët e mëposhtëm

Shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit

Shembulli 1. Llogaritni 51^2.

Zgjidhje.

Nëse keni një makinë llogaritëse, mund ta gjeni pa asnjë problem.

Bëja shaka - të gjithë janë të mençur me një makinë llogaritëse, pa të... (të mos flasim për gjëra të trishta).

Pa një makinë llogaritëse dhe duke ditur rregullat e mësipërme, ne gjejmë katrorin e një numri duke përdorur rregullin

Shembulli 2. Gjeni 99^2.

Zgjidhje. Le të zbatojmë formulën e dytë
Shembulli 3: Shprehja në katror

(x+y-3).

Zgjidhje. Ne mendërisht e konsiderojmë shumën e dy termave të parë si një term dhe, duke përdorur formulën e dytë për shumëzim të shkurtuar, kemi
11^2-9^2.

Shembulli 4. Gjeni ndryshimin e katrorëve

Zgjidhje.

Meqenëse numrat janë të vegjël, thjesht mund të zëvendësoni vlerat e katrorëve
17^2-3^2 .

Por qëllimi ynë është krejtësisht i ndryshëm - të mësojmë se si të përdorim formulat e shkurtuara të shumëzimit për të thjeshtuar llogaritjet. Për këtë shembull, ne zbatojmë formulën e tretë

Shembulli 5. Gjeni ndryshimin e katrorëve

Zgjidhje.
Në këtë shembull, tashmë do të dëshironi të studioni rregullat për të reduktuar llogaritjet në një rresht

Siç mund ta shihni, ne nuk bëmë asgjë të habitshme.

Shembulli 6: Thjeshtoni një shprehje

(x-y)^2-(x+y)^2.
Zgjidhje.

Ju mund të vendosni katrorët dhe më vonë të gruponi terma të ngjashëm. Sidoqoftë, mund të zbatohet drejtpërdrejt ndryshimi i katrorëve

E thjeshtë dhe pa zgjidhje të gjata.
Shembulli 7. Kubike një polinom
x^3-4.

Zgjidhje. a) Riorganizoni termat

b) Thjeshtoni bazuar në argumentet e mëparshme

Shembulli 9. Zgjero një thyesë racionale

Zgjidhje.

Le të zbatojmë formulën e diferencës së katrorëve

Le të krijojmë një sistem ekuacionesh për të përcaktuar konstantet

Le të shtojmë të dytën në ekuacionin e parë të trefishuar. Vlerën e gjetur e zëvendësojmë në ekuacionin e parë

Zbërthimi më në fund do të marrë formën

Zgjerimi i një thyese racionale është shpesh i nevojshëm përpara se të integrohet për të zvogëluar fuqinë e emëruesit.
Shembulli 10. Duke përdorur binomin e Njutonit, shkruani

shprehja (x-a)^7.

Zgjidhje. Ju ndoshta e dini tashmë se çfarë është një binom i Njutonit. Nëse jo, më poshtë janë koeficientët binomialë

Ato formohen si më poshtë: njësitë shkojnë përgjatë skajit, koeficientët midis tyre në vijën fundore formohen duke përmbledhur ato të sipërme ngjitur. Nëse kërkojmë një ndryshim deri diku, atëherë shenjat në orar alternojnë nga plus në minus. Kështu, për rendin e shtatë marrim paraqitjen e mëposhtme

Shikoni gjithashtu me kujdes se si ndryshojnë treguesit - për variablin e parë ato zvogëlohen me një në çdo term pasues, përkatësisht, për të dytën rriten me një. Në total, treguesit duhet të jenë gjithmonë të barabartë me shkallën e dekompozimit (=7).

Unë mendoj se bazuar në materialin e mësipërm do të jeni në gjendje të zgjidhni problema duke përdorur binomin e Njutonit. Mësoni formulat e shkurtuara të shumëzimit dhe zbatojini ato kudo që mund të thjeshtojnë llogaritjet dhe kurseni kohë në përfundimin e një detyre.

>>Matematika: Formulat e shkurtuara të shumëzimit

Formulat e shkurtuara të shumëzimit Ka disa raste kur shumëzimi i një polinomi me një tjetër prodhon një rezultat kompakt, të lehtë për t'u mbajtur mend. Në këto raste preferohet të mos shumëzohet me një çdo herë polinom

nga ana tjetër, dhe përdorni rezultatin e përfunduar. Le të shqyrtojmë këto raste.

1. Shuma në katror dhe diferenca në katror: Shembulli 1.

Zgjero kllapat në shprehje:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5a 2 - 4b 3) 2 a) Le të përdorim formulën (1),
duke marrë parasysh se roli i a është 3x, dhe roli i b është numri 2.

Ne marrim:

(3x + 2) 2 = (3x) 2 + 2 3x 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4. b) Le të përdorim formulën (2) , duke marrë parasysh se në rol A qëndron 5a 2 , dhe në rol b qëndron 4b 3

. Ne marrim:

(5a 2 -4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.
Kur përdorni formulat e shumës në katror ose të diferencës në katror, ​​mbani në mend se
(- a - b) 2 = (a + b) 2 ;

(b-a) 2 = (a-b) 2 .

Kjo rrjedh nga fakti se (- a) 2 = a 2.

Për shembull, ju mund të katrorë pothuajse verbalisht numrat që mbarojnë me 1 dhe 9. Në të vërtetë

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Ndonjëherë mund të katrorësh shpejt një numër që mbaron me 2 ose 8. Për shembull,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Por truku më elegant përfshin katrorin e numrave që mbarojnë me 5.
Le të kryejmë arsyetimin përkatës për 85 2 .

Ne kemi:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Vëmë re se për të llogaritur 85 2 ishte e mjaftueshme të shumëzoni 8 me 9 dhe të shtoni 25 në të djathtë në rezultatin që rezulton, mund të bëni të njëjtën gjë në raste të tjera. Për shembull, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 dhe 25 iu shtua numrit që rezulton në të djathtë);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 dhe 25 iu shtua numrit që rezulton në të djathtë).

Meqenëse po flasim për rrethana të ndryshme kurioze që lidhen me formulat e mërzitshme (në shikim të parë) (1) dhe (2), këtë bisedë do ta plotësojmë me arsyetimin gjeometrik të mëposhtëm. Le të jenë a dhe b numra pozitivë. Konsideroni një katror me anë a + b dhe preni në dy qoshet e tij katrorë me brinjë të barabartë me a dhe b, përkatësisht (Fig. 4).

Sipërfaqja e një katrori me brinjë a + b është e barabartë me (a + b) 2. Por ne e ndajmë këtë katror në katër pjesë: një katror me brinjën a (sipërfaqja e tij është e barabartë me a 2), një katror me brinjën b (sipërfaqja e tij është e barabartë me b 2), dy drejtkëndësha me brinjë a dhe b (sipërfaqja e çdo drejtkëndësh i tillë është i barabartë me ab). Kjo do të thotë (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, pra marrim formulën (1).

Shumëzojmë binomin a + b me binomin a - b. Ne marrim:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + ba - b 2 = a 2 - b 2.
Kështu që

Çdo barazi në matematikë përdoret si nga e majta në të djathtë (d.m.th., ana e majtë e barazisë zëvendësohet nga ana e djathtë e saj) dhe nga e djathta në të majtë (d.m.th., ana e djathtë e barazisë zëvendësohet nga ana e majtë e saj). . Nëse formula C) përdoret nga e majta në të djathtë, atëherë ju lejon të zëvendësoni produktin (a + b) (a - b) me rezultatin e përfunduar a 2 - b 2. E njëjta formulë mund të përdoret nga e djathta në të majtë, pastaj ju lejon të zëvendësoni ndryshimin e katrorëve a 2 - b 2 me produktin (a + b) (a - b). Formulës (3) në matematikë i jepet një emër i veçantë - dallimi i katrorëve.

Komentoni. Mos i ngatërroni termat "diferenca e katrorëve" me "diferenca në katror". Dallimi i katrorëve është 2 - b 2, që do të thotë se po flasim për formulën (3); katrori i diferencës është (a-b) 2, që do të thotë se po flasim për formulën (2). Në gjuhën e zakonshme, formula (3) lexohet "nga e djathta në të majtë" si kjo:

ndryshimi i katrorëve të dy numrave (shprehjeve) është i barabartë me produktin e shumës së këtyre numrave (shprehjeve) dhe ndryshimin e tyre,

Shembulli 2. Kryeni shumëzimin

(3x- 2vj)(3x+ 2vj)
Zgjidhje. Ne kemi:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

Shembulli 3. Shprehni binomin 16x 4 - 9 si prodhim binomesh.

Zgjidhje. Kemi: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = 3 2, që do të thotë se binomi i dhënë është ndryshimi i katrorëve, d.m.th. formula (3) mund të zbatohet në të, lexohet nga e djathta në të majtë. Pastaj marrim:

16x 4 - 9 = (4x 2) 2 - 3 2 = (4x 2 + 3)(4x 2 - 3)

Formula (3), si formula (1) dhe (2), përdoret për truket matematikore. Shiko:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Le ta përfundojmë bisedën për formulën e ndryshimit të katrorëve me një arsyetim gjeometrik interesant. Le të jenë a dhe b numra pozitivë, dhe a > b. Konsideroni një drejtkëndësh me brinjë a + b dhe a - b (Fig. 5). Sipërfaqja e saj është (a + b) (a - b). Le të presim një drejtkëndësh me anët b dhe a - b dhe ta ngjisim në pjesën e mbetur siç tregohet në figurën 6. Është e qartë se figura që rezulton ka të njëjtën zonë, d.m.th. (a + b) (a - b). Por kjo shifër mund të jetë
ndërtoni kështu: nga një katror me anën a, prisni një katror me anën b (kjo është qartë e dukshme në Fig. 6). Kjo do të thotë që zona e figurës së re është 2 - b 2. Pra, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, pra morëm formulën (3).

3. Dallimi i kubeve dhe shuma e kubeve

Shumëzoni binomin a - b me trinomin a 2 + ab + b 2.
Ne marrim:
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a a 2 + a ab + a b 2 - b a 2 - b ab -b b b 2 = a 3 + a 2 b + ab 2 -a 2 b- ab 2 - b 3 = a 3 -b 3.

Po kështu

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(kontrollojeni vetë). Kështu që,

Formula (4) zakonisht quhet dallimi i kubeve, formula (5) - shuma e kubeve. Le të përpiqemi të përkthejmë formulat (4) dhe (5) në gjuhën e zakonshme. Përpara se ta bëni këtë, vini re se shprehja a 2 + ab + b 2 është e ngjashme me shprehjen a 2 + 2ab + b 2, e cila u shfaq në formulën (1) dhe jep (a + b) 2; shprehja a 2 - ab + b 2 është e ngjashme me shprehjen a 2 - 2ab + b 2, e cila u shfaq në formulën (2) dhe dha (a - b) 2.

Për të dalluar (në gjuhë) këto çifte shprehjesh nga njëra-tjetra, secila prej shprehjeve a 2 + 2ab + b 2 dhe a 2 - 2ab + b 2 quhet katror i përsosur (shumë ose ndryshim), dhe secila prej shprehjeve a. 2 + ab + b 2 dhe a 2 - ab + b 2 quhen katror jo i plotë (shuma ose diferencë). Pastaj marrim përkthimin e mëposhtëm të formulave (4) dhe (5) (lexo "nga e djathta në të majtë") në gjuhën e zakonshme:

ndryshimi i kubeve të dy numrave (shprehjeve) është i barabartë me produktin e ndryshimit të këtyre numrave (shprehjeve) me katrorin jo të plotë të shumës së tyre; shuma e kubeve të dy numrave (shprehjeve) është e barabartë me prodhimin e shumës së këtyre numrave (shprehjeve) dhe katrorin jo të plotë të ndryshimit të tyre.

Komentoni. Të gjitha formulat (1)-(5) të marra në këtë paragraf përdoren si nga e majta në të djathtë dhe nga e djathta në të majtë, vetëm në rastin e parë (nga e majta në të djathtë) thonë se (1)-(5) janë shumëzim i shkurtuar formulat, dhe në rastin e dytë (nga e djathta në të majtë) thonë se (1)-(5) janë formula faktorizimi.

Shembulli 4. Kryeni shumëzimin (2x - 1) (4x 2 + 2x +1).

Zgjidhje. Meqenëse faktori i parë është diferenca midis monomëve 2x dhe 1, dhe faktori i dytë është katrori jo i plotë i shumës së tyre, mund të përdorim formulën (4). Ne marrim:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

Shembulli 5. Paraqisni binomin 27a 6 + 8b 3 si prodhim polinomesh.

Zgjidhje. Kemi: 27a 6 = (Për 2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Kjo do të thotë se binomi i dhënë është shuma e kubeve, d.m.th., formula 95 mund të zbatohet në të, lexohet nga e djathta në të majtë. Pastaj marrim:

27a 6 + 8b 3 = (Për 2) 3 + (2b) 3 = (Për 2 + 2b) ((Për 2) 2 - Për 2 2b + (2b) 2) = (Për 2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Ndihmë për nxënësit online, Matematika për klasën e 7-të shkarko, kalendar dhe planifikim tematik

A. V. Pogorelov, Gjeometria për klasat 7-11, Libër mësuesi për institucionet arsimore

Përmbajtja e mësimit shënimet e mësimit Mbështetja e prezantimit të mësimit në kuadër të metodave të përshpejtimit teknologjitë interaktive Praktikoni detyra dhe ushtrime punëtori për vetëtestim, trajnime, raste, kërkime pyetje diskutimi për detyra shtëpie pyetje retorike nga nxënësit Ilustrime audio, videoklipe dhe multimedia fotografi, foto, grafika, tabela, diagrame, humor, anekdota, shaka, komike, shëmbëlltyra, thënie, fjalëkryqe, citate Shtesa abstrakte artikuj truke për krevat kureshtarë tekste mësimore fjalor termash bazë dhe plotësues të tjera Përmirësimi i teksteve dhe mësimevekorrigjimi i gabimeve në tekstin shkollor përditësimi i një fragmenti në një tekst shkollor, elemente të inovacionit në mësim, zëvendësimi i njohurive të vjetruara me të reja Vetëm për mësuesit leksione perfekte plani kalendar për vitin; Mësime të integruara

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim të dhënat personale për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit (MMF) përdoren për të shprehur dhe shumëzuar numra dhe shprehje. Shpesh këto formula ju lejojnë të bëni llogaritjet më kompakte dhe shpejt.

Në këtë artikull do të rendisim formulat bazë për shumëzimin e shkurtuar, do t'i grupojmë ato në një tabelë, do të shqyrtojmë shembuj të përdorimit të këtyre formulave dhe gjithashtu do të ndalemi në parimet e vërtetimit të formulave për shumëzimin e shkurtuar.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Për herë të parë, tema e FSU është konsideruar në kuadër të lëndës Algjebër për klasën e 7-të. Më poshtë janë 7 formula themelore.

>>Matematika: Formulat e shkurtuara të shumëzimit

1. formula për katrorin e shumës: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formula e diferencës katrore: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. formula e kubit të shumës: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formula e kubit të diferencës: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formula e diferencës katrore: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. formula për shumën e kubeve: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. formula për ndryshimin e kubeve: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Shkronjat a, b, c në këto shprehje mund të jenë çdo numër, ndryshore ose shprehje. Për lehtësinë e përdorimit, është më mirë të mësoni përmendësh shtatë formulat bazë. Le t'i vendosim në një tabelë dhe t'i paraqesim më poshtë, duke i rrethuar me një kornizë.

Katër formulat e para ju lejojnë të llogaritni, përkatësisht, katrorin ose kubin e shumës ose diferencës së dy shprehjeve.

Formula e pestë llogarit ndryshimin midis katrorëve të shprehjeve duke shumëzuar shumën dhe ndryshimin e tyre.

Formula e gjashtë dhe e shtatë, respektivisht, shumëzojnë shumën dhe ndryshimin e shprehjeve me katrorin jo të plotë të diferencës dhe katrorin jo të plotë të shumës.

Formula e shkurtuar e shumëzimit nganjëherë quhet edhe identitete të shkurtuara të shumëzimit. Kjo nuk është për t'u habitur, pasi çdo barazi është një identitet.

Gjatë zgjidhjes së shembujve praktikë, shpesh përdoren formula të shkurtuara të shumëzimit me anën e majtë dhe të djathtë të këmbyer. Kjo është veçanërisht e përshtatshme kur faktorizoni një polinom.

Formula shtesë të shkurtuara të shumëzimit

Le të mos kufizohemi në kursin e algjebrës së klasës së 7-të dhe të shtojmë disa formula të tjera në tabelën tonë të FSU.

Së pari, le të shohim formulën binomiale të Njutonit.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Këtu C n k janë koeficientët binomialë që shfaqen në rreshtin numër n në trekëndëshin e Paskalit. Koeficientët binomial llogariten duke përdorur formulën:

C n k = n ! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Siç mund ta shohim, FSF për katrorin dhe kubin e diferencës dhe shumës është një rast i veçantë i formulës binomiale të Njutonit për përkatësisht n=2 dhe n=3.

Por, çka nëse ka më shumë se dy terma në shumën që duhet të rritet në një fuqi? Formula për katrorin e shumës së tre, katër ose më shumë termave do të jetë e dobishme.

a 1 + a 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Një formulë tjetër që mund të jetë e dobishme është formula për ndryshimin midis fuqive të n-të të dy termave.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Kjo formulë zakonisht ndahet në dy formula - për fuqitë çift dhe tek, përkatësisht.

Edhe për treguesit 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Për eksponentët tek 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Diferenca e formulave të katrorëve dhe diferencës së formulave të kubeve, siç e keni marrë me mend, janë raste të veçanta të kësaj formule për n = 2 dhe n = 3, përkatësisht. Për dallimin e kubeve, b zëvendësohet gjithashtu me - b.

Si të lexoni formulat e shkurtuara të shumëzimit?

Do të japim formulimet e duhura për secilën formulë, por fillimisht do të kuptojmë parimin e leximit të formulave. Mënyra më e përshtatshme për ta bërë këtë është me një shembull. Le të marrim formulën e parë për katrorin e shumës së dy numrave.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Thonë: katrori i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorit të shprehjes së parë, dyfishi i prodhimit të shprehjeve dhe katrori i shprehjes së dytë.

Të gjitha formulat e tjera lexohen në mënyrë të ngjashme. Për katrorin e diferencës a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 shkruajmë:

katrori i ndryshimit midis dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e katrorëve të këtyre shprehjeve minus dyfishin e produktit të shprehjeve të parë dhe të dytë.

Le të lexojmë formulën a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kubi i shumës së dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me shumën e kubeve të këtyre shprehjeve, trefishoni prodhimin e katrorit të shprehjes së parë me të dytën dhe trefishoni prodhimin e katrorit të shprehjes së dytë me shprehja e parë.

Le të kalojmë në leximin e formulës për ndryshimin e kubeve a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Kubi i diferencës ndërmjet dy shprehjeve a dhe b është i barabartë me kubin e shprehjes së parë minus produktin e trefishtë të katrorit të shprehjes së parë dhe të dytë, plus produktin e trefishtë të katrorit të shprehjes së dytë dhe të shprehjes së parë , minus kubin e shprehjes së dytë.

Formula e pestë a 2 - b 2 = a - b a + b (diferenca e katrorëve) lexohet kështu: ndryshimi i katrorëve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e ndryshimit dhe shumën e dy shprehjeve.

Për lehtësi, shprehjet si a 2 + a b + b 2 dhe a 2 - a b + b 2 quhen, përkatësisht, katrori jo i plotë i shumës dhe katrori jo i plotë i diferencës.

Duke marrë parasysh këtë, formulat për shumën dhe ndryshimin e kubeve mund të lexohen si më poshtë:

Shuma e kubeve të dy shprehjeve është e barabartë me produktin e shumës së këtyre shprehjeve dhe katrorin e pjesshëm të ndryshimit të tyre.

Dallimi midis kubeve të dy shprehjeve është i barabartë me produktin e diferencës midis këtyre shprehjeve dhe katrorit të pjesshëm të shumës së tyre.

Dëshmi e FSU

Provimi i FSU është mjaft i thjeshtë. Në bazë të vetive të shumëzimit, do të shumëzojmë pjesët e formulave në kllapa.

Për shembull, merrni parasysh formulën për diferencën në katror.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Për të ngritur një shprehje në fuqinë e dytë, duhet ta shumëzoni këtë shprehje në vetvete.

a - b 2 = a - b a - b .

Le të zgjerojmë kllapat:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Formula është e vërtetuar. FSU-të e mbetura janë vërtetuar në mënyrë të ngjashme.

Shembuj të aplikimit të FSU

Qëllimi i përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit është që të shumëzohen shpejt dhe në mënyrë koncize dhe të ngrihen shprehjet në fuqi. Sidoqoftë, kjo nuk është e gjithë fusha e zbatimit të FSU. Ato përdoren gjerësisht në reduktimin e shprehjeve, reduktimin e thyesave dhe faktorizimin e polinomeve. Le të japim shembuj.

Shembull 1. FSU

Le të thjeshtojmë shprehjen 9 y - (1 + 3 y) 2.

Le të zbatojmë formulën e shumës së katrorëve dhe të marrim:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Shembulli 2. FSU

Le të zvogëlojmë thyesën 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Vëmë re se shprehja në numërues është ndryshimi i kubeve, dhe në emërues është ndryshimi i katrorëve.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z .

Ne zvogëlojmë dhe marrim:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU-të gjithashtu ndihmojnë në llogaritjen e vlerave të shprehjeve. Gjëja kryesore është të jeni në gjendje të vini re se ku të aplikoni formulën. Le ta tregojmë këtë me një shembull.

Le të vendosim në katror numrin 79. Në vend të llogaritjeve të rënda, le të shkruajmë:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Duket se një llogaritje komplekse kryhet shpejt vetëm duke përdorur formulat e shkurtuara të shumëzimit dhe një tabelë shumëzimi.

Një pikë tjetër e rëndësishme është zgjedhja e katrorit të binomit. Shprehja 4 x 2 + 4 x - 3 mund të shndërrohet në 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Transformime të tilla përdoren gjerësisht në integrim.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Për të thjeshtuar polinomet algjebrike, ekzistojnë formulat e shkurtuara të shumëzimit. Nuk ka aq shumë prej tyre dhe ato janë të lehta për t'u mbajtur mend, por ju duhet t'i mbani mend ato. Shënimi i përdorur në formula mund të marrë çdo formë (numër ose polinom).

Formula e parë e shkurtuar e shumëzimit quhet dallimi i katrorëve. Ai konsiston në zbritjen e katrorit të një numri nga katrori i numrit të dytë, i cili është i barabartë me diferencën midis këtyre numrave, si dhe produktin e tyre.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

Le ta shohim për qartësi:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

Formula e dytë ka të bëjë me shuma e katrorëve. Tingëllon sikur shuma e dy sasive në katror është e barabartë me katrorin e sasisë së parë, produkti i dyfishtë i sasisë së parë shumëzuar me të dytën i shtohet asaj, atyre u shtohet katrori i sasisë së dytë.

(a + b) 2 = a 2 +2ab + b 2

Falë kësaj formule, bëhet shumë më e lehtë për të llogaritur katrorin e një numri të madh, pa përdorimin e teknologjisë kompjuterike.

Kështu për shembull: katrori 112 do të jetë i barabartë me
1) Së pari, le të zbërthejmë 112 në numra, katrorët e të cilëve janë të njohur për ne
112 = 100 + 12
2) E fusim rezultatin në kllapa katrore
112 2 = (100+12) 2
3) Duke aplikuar formulën, marrim:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Formula e tretë është dallimi në katror. Që thotë se dy sasi të zbritura nga njëra-tjetra në një katror janë të barabarta, sepse nga madhësia e parë në katror zbresim produktin e dyfishtë të sasisë së parë shumëzuar me të dytën, duke u shtuar atyre katrorin e madhësisë së dytë.

(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

ku (a - b) 2 është e barabartë (b - a) 2. Për ta vërtetuar këtë, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Formula e katërt për shumëzimin e shkurtuar quhet kub i shumës. Që tingëllon si: dy sasi përmbledhëse në një kub janë të barabarta me kubin e 1 sasisë, shtohet produkti i trefishtë i 1 sasisë në katror shumëzuar me sasinë e dytë, këtyre u shtohet produkti i trefishtë i 1 sasisë shumëzuar me katrorin 2. sasitë, plus sasinë e dytë në kubikë.

(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

E pesta, siç e keni kuptuar tashmë, quhet kubi i diferencës. Që gjen ndryshimet midis sasive, pasi nga shënimi i parë në kub zbresim produktin e trefishtë të shënimit të parë në katror shumëzuar me të dytin, atyre u shtohet prodhimi i trefishtë i shënimit të parë shumëzuar me katrorin e të dytit. shënim, minus shënimin e dytë në kub.

(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

E gjashta quhet - shuma e kubeve. Shuma e kubeve është e barabartë me produktin e dy termave të shumëzuar me katrorin e pjesshëm të diferencës, pasi nuk ka vlerë të dyfishtë në mes.

a 3 + b 3 = (a+b)(a 2 -ab+b 2)

Një mënyrë tjetër për të thënë shumën e kubeve është ta quani produktin në dy kllapa.

Quhet i shtati dhe i fundit dallimi i kubeve(mund të ngatërrohet lehtësisht me formulën e kubit të ndryshimit, por këto janë gjëra të ndryshme). Diferenca e kubeve është e barabartë me produktin e diferencës së dy sasive të shumëzuar me katrorin e pjesshëm të shumës, pasi nuk ka vlerë të dyfishtë në mes.

a 3 - b 3 = (a-b)(a 2 +ab+b 2)

Dhe kështu ka vetëm 7 formula për shumëzim të shkurtuar, ato janë të ngjashme me njëra-tjetrën dhe janë të lehta për t'u mbajtur mend, e vetmja gjë e rëndësishme është të mos ngatërroheni në shenja. Ato janë krijuar gjithashtu për t'u përdorur në mënyrë të kundërt, dhe tekstet shkollore përmbajnë mjaft detyra të tilla. Jini të kujdesshëm dhe gjithçka do të funksionojë për ju.

Nëse keni pyetje në lidhje me formulat, sigurohuni që t'i shkruani ato në komente. Ne do të jemi të lumtur t'ju përgjigjemi!

Nëse jeni në pushim të lehonisë, por dëshironi të fitoni para. Thjesht ndiqni lidhjen e biznesit në internet me Oriflame. Gjithçka është shkruar dhe treguar atje me shumë detaje. Do të jetë interesante!

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve