Si të llogarisni probabilitetin në detyrën 19 oge. me zare

Ky prezantim paraqet problemet më të zakonshme në teorinë e probabilitetit në provim. Detyrat niveli bazë. Prezantimi do të ndihmojë si mësuesit gjatë orëve të përsëritjes së përgjithshme ashtu edhe nxënësit gjatë vetë-trajnimi për provimin.

Shkarko:

Pamja paraprake:

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

DETYRA KYÇE TEORIA E PROBABILITETIT Përgatitja për OGE

HEDHJE MONEDHA

1. Monedha hidhet dy herë. Sa është probabiliteti për të marrë një "kokë" dhe një "bisht"? Zgjidhja: Kur hedh një monedhë, ka dy rezultate të mundshme - "kokë" ose "bisht". Gjatë hedhjes së dy monedhave, ka 4 rezultate (2*2=4): “kokë” - “bisht” “bisht” - “bisht” “bisht” - “kokë” “kokë” - “kokë” Një “kokë” dhe një " "bisht" do të shfaqet në dy nga katër rastet. P(A)=2:4=0.5. Përgjigje: 0.5.

2. Monedha hidhet tri herë. Sa është probabiliteti për të marrë dy koka dhe një bisht? Zgjidhja: Kur hidhni tre monedha, janë të mundshme 8 rezultate (2*2*2=8): "kokë" - "bisht" - "bisht" "bisht" - "bisht" - "bisht" "bisht" - "kokë" - " bisht " " kokat " - " kokat " - " bisht " " bisht " - " bisht " - " koka " " bisht " - " koka " - " koka " " koka " - " bisht " - " koka " " koka " " - "kokat" - "kokat" Do të bien dy "kokë" dhe një "bisht". tre raste nga tetë. P(A)=3:8=0.375. Përgjigje: 0.375.

3. Në një eksperiment të rastësishëm, një monedhë simetrike hidhet katër herë. Gjeni probabilitetin që nuk do të keni fare kokë. Zgjidhja: Kur hidhni katër monedha, ka 16 rezultate të mundshme: (2*2*2*2=16): Rezultate të favorshme – 1 (katër bishta). P(A)=1:16=0.0625. Përgjigje: 0.0625.

LOJA E ZAREVE

4. Përcaktoni probabilitetin që gjatë hedhjes së një trupi të merrni më shumë se tre pikë. Zgjidhja: Gjithsej rezultatet e mundshme– 6. Numrat e mëdhenj 3 - 4, 5, 6. P(A)= 3:6=0.5. Përgjigje: 0.5.

5. Hidhet një pjatë. Gjeni probabilitetin për të marrë një numër çift pikësh. Zgjidhje: Rezultatet totale të mundshme janë 6. 1, 3, 5 janë numra tek; 2, 4, 6 janë numra çift. Probabiliteti i rënies numër çift pikë është 3:6=0.5. Përgjigje: 0.5.

6. Në një eksperiment të rastësishëm, ata hedhin dy zare. Gjeni probabilitetin që totali të jetë 8 pikë. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtat. Zgjidhja: Ky veprim - hedhja e dy zarave - ka gjithsej 36 rezultate të mundshme, duke qenë se 6² = 36. Rezultate të favorshme: 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 Probabiliteti për të marrë tetë pikë është 5:36 ≈ 0,14. Përgjigje: 0.14.

7. Zari hidhet dy herë. Janë hedhur gjithsej 6 pikë. Gjeni probabilitetin që një nga rrotullat të rezultojë në 5. Zgjidhje: Rezultatet totale prej 6 pikësh - 5: 2 dhe 4; 4 dhe 2; 3 dhe 3; 1 dhe 5; 5 dhe 1. Rezultate të favorshme - 2. P(A)=2:5=0.4. Përgjigje: 0.4.

8. Janë 50 bileta në provim, Timofey nuk i ka mësuar 5 prej tyre. Gjeni probabilitetin që ai të hasë biletën e mësuar. Zgjidhja: Timofey mësoi 45 bileta. P(A)=45:50=0.9. Përgjigje: 0.9.

KONKURSET

9. Në kampionatin e gjimnastikës marrin pjesë 20 sportistë: 8 nga Rusia, 7 nga SHBA, pjesa tjetër nga Kina. Rendi i performancës përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti që konkurron i pari të jetë nga Kina. Zgjidhje: Rezultatet totale 20. Rezultatet e favorshme 20-(8+7)=5. P(A)=5:20=0.25. Përgjigje: 0.25.

10. Në garën e gjuajtjes me gjuajtje erdhën 4 sportistë nga Franca, 5 nga Anglia dhe 3 nga Italia. Rendi i shfaqjeve përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti i pestë të jetë nga Italia. Zgjidhja: Numri i të gjitha rezultateve të mundshme është 12 (4 + 5 + 3 = 12). Numri i rezultateve të favorshme është 3. P(A)=3:12=0.25. Përgjigje: 0.25.

11. Para fillimit të raundit të parë të kampionatit të badmintonit, pjesëmarrësit ndahen në çifte lojërash rastësisht me short. Gjithsej, në kampionat marrin pjesë 26 lojtarë të badmintonit, përfshirë 12 pjesëmarrës nga Rusia, përfshirë Vladimir Orlov. Gjeni probabilitetin që në raundin e parë Vladimir Orlov të luajë me ndonjë lojtar të badmintonit nga Rusia? Zgjidhja: Rezultatet totale – 25 (Vladimir Orlov me 25 lojtarë të badmintonit). Rezultate të favorshme – (12-1)=11. P(A) = 11:25 = 0.44. Përgjigje: 0.44.

12. Konkursi i interpretuesve zhvillohet për 5 ditë. U shpallën gjithsej 75 shfaqje - një nga secili vend. Ka 27 shfaqje në ditën e parë, pjesa tjetër shpërndahet në mënyrë të barabartë në ditët e mbetura. Rendi i shfaqjeve përcaktohet me short. Sa është probabiliteti që një përfaqësues rus të performojë në ditën e tretë të konkursit? Vendimi: Rezultatet totale – 75. Interpretuesit nga Rusia performojnë në ditën e tretë. Rezultate të favorshme – (75-27):4=12. P(A)=12: 75 = 0,16. Përgjigje: 0.16.

13. Kolya zgjedh një numër dyshifror. Gjeni probabilitetin që ai të pjesëtohet me 5. Zgjidhje: Shifra të dyfishta: 10;11;12;…;99. Rezultatet totale – 90. Numrat e pjesëtueshëm me 5: 10; 15; 20; 25; ...; 90; 95. Rezultate të favorshme – 18. P(A)=18:90=0.2. Përgjigje: 0.2.

DETYRA TË NDRYSHME PËR PËRCAKTIMIN E PROBABILITETIT

14. Fabrika prodhon çanta. Mesatarisht, për çdo 170 çanta cilësore, janë gjashtë çanta me defekte të fshehura. Gjeni probabilitetin që çanta e blerë të jetë e cilësisë së lartë. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtat. Zgjidhje: Rezultatet totale – 176. Rezultatet e favorshme – 170. P(A)=170:176 ≈ 0.97. Përgjigje: 0.97.

15. Mesatarisht, nga çdo 100 bateri të shitura, mbushen 94 bateri. Gjeni mundësinë që bateria e blerë të mos jetë e ngarkuar. Zgjidhje: Rezultatet totale – 100. Rezultatet e favorshme – 100-94=6. P(A)=6:100=0.06. Përgjigje: 0.06.

BURIMET http://mathgia.ru http:// www.schoolmathematics.ru

Detyra 1.

Në kompaninë e taksive ky moment 10 makina në dispozicion: 1 e zezë, 1 e verdhë dhe 8 jeshile.Thirrjes i është përgjigjur njëra prej makinave, e cila ka qenë më afër klientit.Gjeni probabilitetin që një taksi e verdhë të vijë tek ai.

Janë gjithsej 10 makina, 1 prej të cilave është e verdhë, kështu që probabiliteti i kërkuar është P = 1/10 = 0,1.

Përgjigje: 0.1.

Detyra 2.

Në provimin e gjeometrisë, studenti merr një problem nga koleksioni. Probabiliteti që ky është një problem në temën "Rrethi" është 0.45. Probabiliteti që ky të jetë problem në temën "Zonë" është 0.25. Nuk ka probleme në koleksion që lidhen njëkohësisht me këto dy tema. Gjeni probabilitetin që një student të marrë një detyrë në një nga këto dy tema në provim.

P = 0,45+0,25 = 0,7.

Përgjigje: 0.7.

Detyra 3.

Një dyqan shkrimi shet 118 stilolapsa., nga të cilat 32 janë të kuqe, 39 janë jeshile, 7 janë vjollcë, ka edhe blu dhe të zeza, janë të ndara në mënyrë të barabartë. Gjeni probabilitetin që nëse një stilolaps zgjidhet rastësisht, do të zgjidhet stilolapsi jeshil ose i zi.

32+39+7 = 78 - stilolapsa totale të kuqe, jeshile dhe vjollcë. Pastaj blu dhe e zezë së bashku - (118-78) = 40. Dhe meqenëse ka numër të barabartë blu dhe të zi, atëherë 40/2 = 20 - stilolapsa të zinj. Kjo do të thotë se ka 20 + 39 stilolapsa të zinj dhe të gjelbër së bashku = 59 stilolapsa.

Pastaj, meqenëse ka gjithsej 118 doreza, probabiliteti i dëshiruar është P = 59/118 = 1/2 = 0,5.

Përgjigje: 0.5.

Detyra 4.

Një dyqan shkrimi shet 138 stilolapsa., nga të cilat 34 janë të kuqe, 23 janë jeshile, 11 janë vjollcë, ka edhe blu dhe të zeza, janë të ndara në mënyrë të barabartë. Gjeni probabilitetin që nëse një stilolaps zgjidhet rastësisht, do të zgjidhet stilolapsi i kuq ose i zi.

Le të zbulojmë se sa stilolapsa të zinj ka në dyqan.

34+23+11 = 68 - stilolapsa totale të kuqe, jeshile dhe vjollcë. Pastaj blu dhe e zezë së bashku - (138-68) = 70. Dhe meqenëse ka numër të barabartë blu dhe të zi, atëherë 70/2 = 35 - stilolapsa të zinj. Kjo do të thotë se ka 34+35 stilolapsa të zinj dhe të kuq së bashku = 69 stilolapsa.

Pastaj, meqenëse ka gjithsej 138 doreza, probabiliteti i dëshiruar është P = 69/138 = 1/2 = 0,5.

Përgjigje: 0.5.

Detyra 5.

TV i Sveta është i prishur dhe tregon vetëm një kanal të rastësishëm. Drita ndizet televizorin. Në këtë kohë, katër nga njëzet kanale shfaqin filma komedi. Gjeni probabilitetin që Sveta të përfundojë në një kanal ku komedia nuk shfaqet.

Komedia nuk transmetohet në 20-4 = 16 kanale.

Kjo do të thotë që probabiliteti që Sveta të bjerë në një nga 16 kanalet është P = 16/20 = 4/5 = 0,8.

Përgjigje: 0.8.

Detyra 6.

Mesatarisht, nga çdo 80 bateri të shitura, 68 bateri ngarkohen. Gjeni mundësinë që bateria e blerë të mos jetë e ngarkuar.

Totali i baterive të pakarikuara: 80-68 = 12.

Probabiliteti i dëshiruar është P = 12/80 = 3/20 = 0,15.

Përgjigje: 0.15.

Detyra 7.

Mesatarisht, për çdo 50 elektrik dore, dy janë të gabuar. Gjeni mundësinë e blerjes së një elektrik dore pune.

Për 50 elektrik dore, ka 50-2 = 48 elektrik dore pune.

Prandaj, probabiliteti për të blerë një elektrik dore pune është P = 48/50 = 0,96.

BORIS NIKOLAEVICH PERVUSKIN

Mësues matematike i kategorisë së lartë

NOU "Shkolla e Shën Petersburgut "Tete-a-Tete"

Elementet e teorisë së probabilitetit në provimin e njësuar të shtetit të klasës së 9-të dhe provimin e shtetit të klasës së 11-të në matematikë .

Teoria e probabilitetit në Provimin e Unifikuar të Shtetit është shumë detyra të thjeshta nën numrin B10. Të gjithë mund t'i trajtojnë ato. Në fund të fundit, për të zgjidhur problemin B10 në versioni i Provimit të Unifikuar të Shtetit Do të nevojiten vetëm konceptet më themelore të teorisë së probabilitetit.

E rastësishme ngjarja quhet të cilat nuk mund të parashikohen me saktësi paraprakisht. Mund të ndodhë ose jo.

Ju fituat llotarinë - një ngjarje e rastësishme. Ju ftove miqtë për të festuar fitoren tuaj dhe gjatë rrugës për tek ju ata u mbërthyen në ashensor - gjithashtu një ngjarje e rastësishme. Vërtetë, mjeshtri doli të ishte afër dhe liroi të gjithë kompaninë brenda dhjetë minutash - dhe kjo gjithashtu mund të konsiderohet një aksident i lumtur ...

Jeta jonë është plot me ngjarje të rastësishme. Për secilën prej tyre mund të themi se do të ndodhë me disa probabiliteti. Me shumë mundësi, ju jeni të njohur intuitivisht me këtë koncept. Tani do të japim përkufizimi matematik probabilitetet.

Le të fillojmë nga fillimi shembull i thjeshtë. Ti hedh një monedhë. Kokat apo bishtat?
Një veprim i tillë, i cili mund të çojë në një nga disa rezultate, quhet në teorinë e probabilitetit test.
Kokat dhe bishtat - dy të mundshme rezultati testet.

Kokat do të bien në një nga dy rastet e mundshme. Ata thonë se probabiliteti që monedha do të zbresë është 1/2.

Le të hedhim një zare. Mjeti ka gjashtë anë, kështu që ka edhe gjashtë rezultate të mundshme.
Për shembull, keni dashur që të shfaqen tre pika. Ky është një rezultat nga gjashtë të mundshëm. Në teorinë e probabilitetit do të quhet rezultat i favorshëm.
Probabiliteti për të marrë një tre është 1/6 (një rezultat i favorshëm nga gjashtë të mundshme).
Probabiliteti i katër është gjithashtu 1/6
Por probabiliteti që të shfaqet një shtatë është zero. Në fund të fundit, nuk ka asnjë skaj me shtatë pika në kub.

Probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme ndaj numri total rezultatet.

Është e qartë se probabiliteti nuk mund të jetë me shume se nje.
Ja një shembull tjetër. Ka 25 mollë në një qese, 8 prej tyre janë të kuqe, pjesa tjetër janë jeshile. Mollët nuk ndryshojnë në formë dhe madhësi. Ju futni dorën në çantë dhe nxirrni një mollë rastësisht. Probabiliteti për të vizatuar një mollë të kuqe është 8/25, dhe ajo jeshile është 17/25.
Probabiliteti për të marrë një mollë të kuqe ose jeshile është 8/25 + 17/25 = 1.

Le të analizojmë problemet në teorinë e probabilitetit të përfshira në koleksionet për përgatitjen për Provimin e Unifikuar të Shtetit.

1. Kompania e taksive aktualisht disponon 15 makina: 2 te kuqe, 9 te verdha dhe 4 jeshile. Thirrjes i është përgjigjur një nga makinat që ka qenë më afër klientit. Gjeni probabilitetin që një taksi e verdhë të vijë tek ajo.

Janë gjithsej 15 makina, domethënë një në pesëmbëdhjetë do t'i mbërrijë klientit. Janë nëntë të verdha, që do të thotë se probabiliteti i mbërritjes së një makine të verdhë është 9/15, domethënë 0.6.

2. (Versioni Demo 2012) Në koleksionin e biletave për biologji janë vetëm 25 bileta, dy prej tyre përmbajnë një pyetje për kërpudhat. Gjatë provimit, studenti merr një biletë të zgjedhur rastësisht. Gjeni probabilitetin që kjo biletë të mos përmbajë pyetje në lidhje me kërpudhat.

Natyrisht, probabiliteti për të nxjerrë një biletë pa pyetur për kërpudhat është 23/25, domethënë 0.92.

3. Komiteti prindëror bleu 30 enigma për dhuratat e diplomimit për fëmijët Viti shkollor, 12 prej tyre me piktura artistë të famshëm dhe 18 me imazhe kafshësh. Dhuratat shpërndahen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që Vovochka të marrë një enigmë me një kafshë.

Problemi zgjidhet në të njëjtën mënyrë.
Përgjigje: 0.6.

4. Në kampionatin e gjimnastikës marrin pjesë 20 sportistë: 8 nga Rusia, 7 nga SHBA, pjesa tjetër nga Kina. Radha në të cilën performojnë gjimnastët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti i fundit që do të konkurrojë është nga Kina.

Le të imagjinojmë që të gjithë atletët iu afruan njëkohësisht kapelës dhe nxorrën copa letre me numra prej saj. Disa prej tyre do të marrin numrin njëzet. Probabiliteti që një atlet kinez ta arrijë atë është 5/20 (pasi janë 5 atletë nga Kina). Përgjigje: 0.25.

5. Një nxënësi iu kërkua të emërtojë një numër nga 1 deri në 100. Sa është probabiliteti që ai të emërojë një numër që është shumëfish i pesës?

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , 11... 100

Çdo të pestën një numër nga një grup i caktuar pjesëtohet me 5. Kjo do të thotë se probabiliteti është 1/5.

6. Hidhet një pjatë. Gjeni probabilitetin për të marrë një numër tek pikë pikësh.

1, 3, 5 - numra tek; 2, 4, 6 janë çift. Probabiliteti i një numri tek pikash është 1/2.

Përgjigje: 0.5.

7. Monedha hidhet tri herë. Sa është probabiliteti i dy kokave dhe një bishti?

Vini re se problemi mund të formulohet ndryshe: tre monedha u hodhën në të njëjtën kohë. Kjo nuk do të ndikojë në vendim.

Sa rezultate të mundshme mendoni se ka?
Ne hedhim një monedhë. Ky veprim ka dy rezultate të mundshme: kokat dhe bishtat.
Dy monedha - tashmë katër rezultate:

Tre monedha? Kjo është e drejtë, 8 rezultate, pasi 2 2 2 = 2³ = 8.

Dy koka dhe një bisht shfaqen tre nga tetë herë.
Përgjigje: 3/8.

8. Në një eksperiment të rastësishëm hidhen dy zare. Gjeni probabilitetin që totali të jetë 8 pikë. Rrumbullakosni rezultatin në të qindtat.

Ne hedhim veprën e parë - gjashtë rezultate. Dhe për secilën prej tyre janë të mundshme edhe gjashtë të tjera - kur hedhim zarfin e dytë.
Ne zbulojmë se ky veprim - hedhja e dy zarave - ka gjithsej 36 rezultate të mundshme, duke qenë se 6² = 36.

Dhe tani - rezultate të favorshme:

2 6
3 5
4 4
5 3
6 2

Probabiliteti për të marrë tetë pikë është 5/36 ≈ 0,14.

9. Qitësi godet objektivin me probabilitet 0.9. Gjeni probabilitetin që ai të godasë objektivin katër herë radhazi.

Nëse probabiliteti i një goditjeje është 0.9, atëherë probabiliteti i një humbje është 0.1. Ne arsyetojmë në të njëjtën mënyrë si në problemin e mëparshëm. Probabiliteti i dy goditjeve me radhë është 0.9 0.9 = 0.81. Dhe probabiliteti i katër goditjeve me radhë është
0,9 0,9 0,9 0,9 = 0,6561.
^

Probabiliteti: logjika e forcës brutale.

Problemi B10 në lidhje me monedhat nga punë diagnostikuese 7 dhjetori iu duk shumë i vështirë. Ja gjendja e saj:

Petya kishte në xhep 2 monedha 5 rubla dhe 4 monedha 10 rubla. Petya, pa parë, transferoi rreth 3 monedha në një xhep tjetër. Gjeni probabilitetin që monedhat prej pesë rubla janë tani në xhepa të ndryshëm.

Ne e dimë se probabiliteti i një ngjarje është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme me numrin total të rezultateve. Por si të llogariten të gjitha këto rezultate?

Ju, sigurisht, mund të caktoni monedha pesë-rublash me numrat 1 dhe monedha dhjetë rubla me numrat 2 - dhe më pas numëroni se në sa mënyra mund të zgjidhni tre elementë nga grupi 1 1 2 2 2 2.

Sidoqoftë, ekziston një zgjidhje më e thjeshtë:

I kodojmë monedhat me numra: 1, 2 (këto janë monedha me pesë rubla), 3, 4, 5, 6 (këto janë monedha dhjetë rubla). Gjendja e problemit tani mund të formulohet si më poshtë:

Janë gjashtë çipa me numra nga 1 deri në 6. Në sa mënyra mund të ndahen ato në mënyrë të barabartë në dy xhepa në mënyrë që çipat me numrat 1 dhe 2 të mos përfundojnë së bashku?

Le të shkruajmë atë që kemi në xhepin tonë të parë.
Le të bashkojmë gjithçka për këtë kombinime të mundshme nga grupi 1 2 3 4 5 6. Një grup prej tre çipash do të jetë një numër treshifror. Natyrisht, në kushtet tona, 1 2 3 dhe 2 3 1 janë i njëjti grup çipash. Për të mos humbur asgjë ose për të mos përsëritur veten, ne renditim numrat përkatës treshifrorë në rend rritës:

123, 124, 125, 126...
Pra, çfarë është më pas? Thamë që numrat i renditim në rend rritës. Pra, tjetra është 134 dhe më pas:
135, 136, 145, 146, 156.
Të gjitha! Ne kemi shqyrtuar të gjitha kombinimet e mundshme duke filluar me 1. Vazhdojmë:
234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356,
456.
Janë 20 rezultate të mundshme në total.

Ne kemi një kusht - patate të skuqura me numrat 1 dhe 2 nuk duhet të jenë së bashku. Kjo do të thotë, për shembull, se kombinimi 356 nuk na përshtatet - do të thotë që çipat 1 dhe 2 përfunduan në xhepin e dytë, jo në të parin. Rezultatet e favorshme për ne janë ato ku ka vetëm 1 ose vetëm 2. Këtu janë ato:

134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 - gjithsej 12 rezultate të favorshme.

Atëherë probabiliteti i dëshiruar është 12/20.

E sjellë deri më sot kavanoz i hapur Problemet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (mathege.ru), zgjidhja e të cilave bazohet në vetëm një formulë, e cila është përkufizimi klasik i probabilitetit.

Mënyra më e lehtë për të kuptuar formulën është me shembuj.
Shembulli 1. Në kosh ka 9 topa të kuq dhe 3 topa blu. Topat ndryshojnë vetëm në ngjyrë. Njërën prej tyre e nxjerrim rastësisht (pa kërkuar). Sa është probabiliteti që topi i zgjedhur në këtë mënyrë të jetë blu?

Një koment. Në problemet në teorinë e probabilitetit, diçka ndodh (në në këtë rast veprimi ynë i tërheqjes së topit), i cili mund të ketë një rezultat - rezultat të ndryshëm. Duhet të theksohet se rezultati mund të shihet në mënyra të ndryshme. "Ne nxorrën një lloj topi" është gjithashtu një rezultat. "Ne nxorrën topin blu" - rezultati. "Ne e nxorëm pikërisht këtë top nga të gjithë topat e mundshëm" - kjo pamje më pak e përgjithësuar e rezultatit quhet një rezultat elementar. Janë rezultatet elementare që nënkuptohen në formulën për llogaritjen e probabilitetit.

Zgjidhje. Tani le të llogarisim probabilitetin e zgjedhjes së topit blu.
Ngjarja A: "topi i përzgjedhur doli të jetë blu"
Numri total i të gjitha rezultateve të mundshme: 9+3=12 (numri i të gjithë topave që mund të vizatuam)
Numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen A: 3 (numri i rezultateve të tilla në të cilat ndodhi ngjarja A - domethënë numri i topave blu)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Përgjigje: 0.25

Për të njëjtin problem, le të llogarisim probabilitetin e zgjedhjes së një topi të kuq.
Numri i përgjithshëm i rezultateve të mundshme do të mbetet i njëjtë, 12. Numri i rezultateve të favorshme: 9. Probabiliteti i kërkuar: 9/12=3/4=0,75

Probabiliteti i çdo ngjarjeje qëndron gjithmonë midis 0 dhe 1.
Ndonjëherë në fjalimi i përditshëm(por jo në teorinë e probabilitetit!) probabiliteti i ngjarjeve vlerësohet në përqindje. Kalimi midis rezultateve të matematikës dhe të bisedës realizohet duke shumëzuar (ose pjesëtuar) me 100%.
Kështu që,
Për më tepër, probabiliteti është zero për ngjarje që nuk mund të ndodhin - e pabesueshme. Për shembull, në shembullin tonë kjo do të ishte probabiliteti për të nxjerrë një top të gjelbër nga koshi. (Numri i rezultateve të favorshme është 0, P(A)=0/12=0, nëse llogaritet duke përdorur formulën)
Probabiliteti 1 ka ngjarje që janë absolutisht të sigurta se do të ndodhin, pa opsione. Për shembull, probabiliteti që "topi i përzgjedhur të jetë i kuq ose blu" është për detyrën tonë. (Numri i rezultateve të favorshme: 12, P(A)=12/12=1)

Ne kemi shqyrtuar shembull klasik, duke ilustruar përkufizimin e probabilitetit. Të gjitha të ngjashme Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit Sipas teorisë së probabilitetit, ato zgjidhen duke përdorur këtë formulë.
Në vend të topave të kuq dhe blu mund të ketë mollë dhe dardha, djem dhe vajza, bileta të mësuara dhe të pamësuara, bileta që përmbajnë dhe nuk përmbajnë një pyetje për ndonjë temë (prototipe,), çanta me defekt dhe me cilësi të lartë ose pompa kopshti (prototipe ,) - parimi mbetet i njëjtë.

Ato ndryshojnë pak në formulimin e problemit të teorisë probabiliteti i Provimit të Unifikuar të Shtetit, ku duhet të llogaritni probabilitetin që një ngjarje të ndodhë në një ditë të caktuar. ( , ) Si në problemet e mëparshme, ju duhet të përcaktoni se cili është rezultati elementar dhe më pas të aplikoni të njëjtën formulë.

Shembulli 2. Konferenca zgjat tre ditë. Ditën e parë dhe të dytë ka 15 folës secili, ditën e tretë - 20. Sa është probabiliteti që raporti i profesor M. të bjerë në ditën e tretë nëse radha e raporteve përcaktohet me short?

Cili është rezultati elementar këtu? – Caktimi i raportit të një profesori një nga të gjitha të mundshmet numrat serialë për një performancë. Në short marrin pjesë 15+15+20=50 persona. Kështu, raporti i profesor M. mund të marrë një nga 50 çështjet. Kjo do të thotë rezultatet elementare vetëm 50.
Cilat janë rezultatet e favorshme? - Ato në të cilat rezulton se profesori do të flasë ditën e tretë. Kjo është, 20 numrat e fundit.
Sipas formulës, probabiliteti P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Përgjigje: 0.4

Hedhja e shortit këtu përfaqëson vendosjen e një korrespondence të rastësishme midis njerëzve dhe vendeve të porositura. Në shembullin 2, vendosja e korrespondencës u konsiderua nga pikëpamja se cili nga vendet mund të zihej person i veçantë. Ju mund t'i qaseni të njëjtës situatë nga ana tjetër: cili nga njerëzit me çfarë probabiliteti mund të arrijë në një vend të caktuar (prototipet , , , ):

Shembulli 3. Në short përfshihen 5 gjermanë, 8 francezë dhe 3 estonezë. Sa është probabiliteti që i pari (/ i dyti / i shtati / i fundit - nuk ka rëndësi) të jetë një francez.

Numri i rezultateve elementare - numri i të gjithëve njerëz të mundshëm, që mund të arrinte, duke hedhur shortin ky vend. 5+8+3=16 persona.
Rezultate të favorshme - Frëngjisht. 8 persona.
Probabiliteti i kërkuar: 8/16=1/2=0,5
Përgjigje: 0.5

Prototipi është paksa i ndryshëm. Ka ende probleme për monedhat () dhe zaret (), të cilat janë disi më kreative. Zgjidhja e këtyre problemeve mund të gjendet në faqet e prototipit.

Këtu janë disa shembuj të hedhjes së një monedhe ose zari.

Shembulli 4. Kur hedhim një monedhë, sa është probabiliteti që të bjerë në kokë?
Ka 2 rezultate - kokat ose bishtat. (Besohet se monedha nuk bie kurrë në buzë) Një rezultat i favorshëm janë bishtat, 1.
Probabiliteti 1/2=0,5
Përgjigje: 0.5.

Shembulli 5. Po sikur të hedhim një monedhë dy herë? Sa është probabiliteti për të marrë koka të dyja herët?
Gjëja kryesore është të përcaktojmë se cilat rezultate elementare do të marrim parasysh kur hedhim dy monedha. Pas hedhjes së dy monedhave, mund të ndodhë një nga rezultatet e mëposhtme:
1) PP - të dyja herë doli në krye
2) PO – kokat e herës së parë, kokat e herës së dytë
3) OP - koka herën e parë, bisht herën e dytë
4) OO - kokat dolën lart të dyja herët
Nuk ka mundësi të tjera. Kjo do të thotë se ka 4 rezultate elementare. Vetëm i pari, 1, është i favorshëm.
Probabiliteti: 1/4=0,25
Përgjigje: 0.25

Sa është probabiliteti që dy hedhje të një monedhe të rezultojnë në bishta?
Numri i rezultateve elementare është i njëjtë, 4. Rezultatet e favorshme janë rezultati i dytë dhe i tretë, 2.
Probabiliteti për të marrë një bisht: 2/4=0.5

Në probleme të tilla, një formulë tjetër mund të jetë e dobishme.
Nëse gjatë një hedhjeje të një monedhe opsionet e mundshme kemi 2 rezultate, atëherë për dy gjuajtje rezultatet do të jenë 2 2 = 2 2 = 4 (si në shembullin 5), për tre gjuajtje 2 2 2 = 2 3 = 8, për katër: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... për N gjuajtje rezultatet e mundshme do të jetë 2·2·...·2=2 N .

Pra, mund të gjeni probabilitetin për të marrë 5 koka nga 5 hedhje monedhash.
Numri total i rezultateve elementare: 2 5 =32.
Rezultate të favorshme: 1. (RRRRRR – kryeson të gjitha 5 herë)
Probabiliteti: 1/32=0,03125

E njëjta gjë vlen edhe për zaret. Me një gjuajtje, ka 6 rezultate të mundshme Pra, për dy gjuajtje: 6 6 = 36, për tre 6 6 6 = 216, etj.

Shembulli 6. I hedhim zaret. Sa është probabiliteti që të rrotullohet një numër çift?

Rezultatet totale: 6, sipas numrit të palëve.
E favorshme: 3 rezultate. (2, 4, 6)
Probabiliteti: 3/6=0,5

Shembulli 7. Hedhim dy zare. Sa është probabiliteti që totali të jetë 10? (rrumbullakosni në të qindtën më të afërt)

Për një vdekje ka 6 rezultate të mundshme. Kjo do të thotë se për dy, sipas rregullit të mësipërm, 6·6=36.
Cilat rezultate do të jenë të favorshme që totali të arrijë në 10?
10 duhet të zbërthehet në shumën e dy numrave nga 1 në 6. Kjo mund të bëhet në dy mënyra: 10=6+4 dhe 10=5+5. Kjo do të thotë se opsionet e mëposhtme janë të mundshme për kubet:
(6 në të parën dhe 4 në të dytën)
(4 në të parën dhe 6 në të dytën)
(5 në të parën dhe 5 në të dytën)
Gjithsej, 3 opsione. Probabiliteti i kërkuar: 3/36=1/12=0,08
Përgjigje: 0.08

Llojet e tjera të problemeve B6 do të trajtohen në njërën prej tyre artikujt e ardhshëm"Si të vendosim."

Detyrat për përgatitjen për OGE dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit sipas probabilitetit

Në garën e hedhjes me gjyle marrin pjesë 6 sportistë nga Greqia, 4 sportistë nga Bullgaria, 3 sportistë nga Rumania dhe 7 nga Hungaria. Radha në të cilën garojnë atletët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti që garon i fundit është nga Hungaria.

Zgjidhja: Rezultatet totale 4+6+7+3=20; E favorshme – 7. Përgjigje: 7/20=0,35

Nga qendra e rrethit Ka një autobus ditor për në fshat. Probabiliteti që të hënën të ketë më pak se 30 pasagjerë në autobus është 0.94. Probabiliteti që do të ketë më pak se 20 pasagjerë është 0.56. Gjeni probabilitetin që numri i pasagjerëve të jetë nga 20 në 29.

Zgjidhje: Probabiliteti i kërkuar është P=0.94−0.56=0.38. Përgjigja 0.38

Konferencë Shkencore kryhet në 5 ditë. Janë planifikuar gjithsej 75 raporte - tre ditët e para kanë 17 raporte secila, pjesa tjetër shpërndahet në mënyrë të barabartë ndërmjet ditës së katërt dhe të pestë. Rendi i raporteve përcaktohet me short. Sa është probabiliteti që raporti i profesor Preobrazhensky të planifikohet për ditën e fundit të konferencës?

Zgjidhja: Le të përdorim përkufizimin klasik të probabilitetit. Sipas kushteve të problemit, janë 12 raporte në ditën e fundit, dhe janë 75 gjithsej, atëherë probabiliteti i kërkuar është P = 12/75 = 0,16. Përgjigja 0.16

Në seminar erdhën 3 shkencëtarë nga Norvegjia, 3 nga Rusia dhe 4 nga Spanja. Rendi i raporteve përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që raporti i tetë të jetë një raport i një shkencëtari nga Rusia. Përgjigje: 0.3

Në seminar morën pjesë 3 shkencëtarë nga Indonezia, 3 nga Kamboxhia, 4 nga Kili dhe 10 shkencëtarë të tjerë nga vendet evropiane. Rendi i raporteve përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që raporti i tetë është nga një shkencëtar nga Indonezia. Përgjigje: 0.15

Në garën e hedhjes së qitës përfshihen 6 sportistë nga Britania e Madhe, 3 atletë nga Franca, 6 atletë nga Gjermania dhe 10 nga Italia. Radha në të cilën garojnë atletët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që atleti që garon i fundit është nga Franca.

Zgjidhja: Rezultatet totale 6+3+6+10=25; E favorshme – 3. Përgjigje: 3/25=0,12. Përgjigje: 0.12

Në turneun e kampionëve marrin pjesë 6 klubet e futbollit: Barcelona, ​​Juventus, Bayern Munich, Chelsea, Porto dhe PSG. Ekipet ndahen në mënyrë të rastësishme në dy grupe me nga tre ekipe. Sa janë gjasat që Barcelona dhe Bayern të përfundojnë në të njëjtin grup?

Barcelona dhe Bayerni le të jenë në grupin e parë. Probabiliteti që Barcelona të arrijë atje është 3/6=1/2, pasi në grup janë 3 vende, dhe gjithsej janë 6 skuadra. Probabiliteti që edhe Bajerni të futet në grupin e parë është 2/5 pasi tashmë kanë mbetur edhe 2 vende në grup dhe në total zgjedhim nga 5 skuadrat e mbetura. Prandaj, probabiliteti që të dyja skuadrat të jenë në grupin e parë është 1/2∗ 2/5=0,2. Duke qenë se ka dy grupe, gjasat mblidhen (të dyja skuadrat do të përfundojnë në grupin e parë OSE të dytë). Atëherë probabiliteti i kërkuar është 0.4. Përgjigje: 0.4.

Komiteti i prindërve bleu 10 enigma për dhuratat e fundvitit për fëmijët, 3 prej tyre me makina dhe 7 me pamje nga qytetet. Dhuratat shpërndahen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që Vasya të marrë enigmën me makinën. Zgjidhja 3/10. Përgjigje: 0.3

Një kompani bujqësore blen vezë pule nga dy familje. 40% e vezëve nga ferma e parë janë vezë të kategorisë më të lartë, dhe nga ferma e dytë - 20% e vezëve të kategorisë më të lartë. Total kategoria më e lartë merr 35% të vezëve. Gjeni probabilitetin që një vezë e blerë nga kjo kompani bujqësore të jetë nga ferma e parë. Zgjidhja: Le të shënojmë me x probabiliteti i dëshiruar që veza e blerë të jetë prodhuar në fermën e parë. Pastaj 1− x- probabiliteti që veza e blerë të jetë prodhuar nga një fermë e dytë. Le të zbatojmë formulën probabilitet të plotë dhe marrim 0,4x+0,2 (1−x)=0,35 ⇒ x=0,75. Përgjigje: 0.75

Komiteti i prindërve bleu 20 enigma për dhuratat e fundvitit për fëmijët, 6 prej tyre me makina dhe 14 me pamje nga qytetet. Dhuratat shpërndahen në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që Volodya të marrë një enigmë me një qytet. Përgjigje: 14/20 = 0,7

Në pjatë janë byrekët që duken identikë: 4 me mish, 8 me lakër dhe 3 me mollë. Petya zgjedh një byrek rastësisht. Gjeni probabilitetin që byreku të përmbajë mollë. Përgjigje: 0.2

Në koleksionin e biletave të fizikës janë vetëm 25 bileta, 13 prej tyre përmbajnë një pyetje mbi optikën. Gjeni probabilitetin që një biletë provimi e zgjedhur rastësisht të përmbajë një biletë optike.

Përgjigje: 13/25=0,52

Në koleksionin e biletave të fizikës janë vetëm 15 bileta, 12 prej tyre përmbajnë një pyetje për elektrostatikën. Gjeni probabilitetin që një fletë provimi e zgjedhur rastësisht të mos përmbajë një fletë për elektrostatikën. Përgjigje: 3/15 = 0,2

Orë mekanike me një numër dymbëdhjetë orësh, në një moment ata u prishën dhe pushuan së punuari. Gjeni probabilitetin që akrepi i orës ngriu, duke arritur pikën e orës 5, por duke mos arritur pikën e orës 11.

Zgjidhja: Në total, numri i numrave nga 1 deri në 12 është i ndarë në 12 sektorë të favorshëm për ne. Janë 6 prej tyre. Përgjigje: 0.5

Një orë mekanike me një numërues dymbëdhjetë orësh u prish në një moment dhe pushoi së funksionuari. Gjeni probabilitetin që akrepi i orës të ngrijë, duke arritur në orën 4, por duke mos arritur në orën 7.

Zgjidhja: Janë gjithsej 12 sektorë. E favorshme – 3. Pastaj P = 3/12 = 0,25. Përgjigje: 0.25

Një ekip bobsleigh përbëhet nga katër persona. Nëse të paktën një atlet sëmuret, skuadra nuk shkon në fillim. Probabiliteti për t'u sëmurë për anëtarin e parë të ekipit është 0,1, për të dytin - 0,2, për të tretin - 0,3 dhe për të katërtin - 0,4. Sa është probabiliteti që skuadra me bobsletë të mos startojë?

Zgjidhje. Le të gjejmë probabilitetin që skuadra të fillojë: P 1 =(1−0.1)∗ (1− 0.2)∗ (1− 0.3)∗ (1− 0.4)=0.3024. Atëherë probabiliteti që skuadra të mos startojë është P=1−P 1 =1-0,3024= 0,6976. Përgjigja është 0.6976.

Në grupin e turistëve janë 30 persona. Ata hidhen me helikopter në një zonë të vështirë për t'u arritur në disa faza, 6 persona për fluturim. Rendi në të cilin helikopteri transporton turistët është i rastësishëm. Gjeni probabilitetin që turisti P. të marrë fluturimin e parë me helikopter. Përgjigja 6/30=0.2

Në grupin turistik janë 16 persona. Ata hidhen me helikopter në një zonë të vështirë për t'u arritur në disa faza, 4 persona për fluturim. Rendi në të cilin helikopteri transporton turistët është i rastësishëm. Gjeni probabilitetin që turisti A. të marrë fluturimin e parë me helikopter. Përgjigje: 4/16 = 0,25

NË13 atletë nga Rusia, 2 atletë nga Norvegjia dhe 5 atletë nga Suedia marrin pjesë në ski kryq. Radha në të cilën nisin atletët përcaktohet me short. Gjeni probabilitetin që një atlet jo-rus të fillojë i pari. Përgjigje: 7/20=0,35

Ka 35 bileta në provim, Stas nuk i mësoi 7 prej tyre. Gjeni probabilitetin që, me një zgjedhje të rastësishme, ai do të marrë biletën e mësuar. Përgjigje: 28/35=0.8

Sipas kushteve të promovimit, çdo njëzet e pestë kafe përmban një çmim. Çmimet shpërndahen në mënyrë të rastësishme ndërmjet vazove. Kolya blen një kanaçe kafeje me shpresën se do të fitojë një çmim. Gjeni probabilitetin që Kolya nuk do ta gjejë çmimin në kavanozin e tij.

Zgjidhja: Meqenëse, sipas kushteve, ka një çmim në çdo njëzet e pestë kanaçe kafeje,

atëherë në 24 të tjerat nuk ka asnjë çmim. Atëherë, probabiliteti që Kolya nuk do ta gjejë çmimin në bankën e tij është i barabartë me

24 / 25 = 0,96 Përgjigje: 0,96:

Nga 600 tastiera kompjuteri, mesatarisht 12 janë të gabuara. Sa është probabiliteti që një tastierë e zgjedhur rastësisht të funksionojë? Përgjigje: 1- 12/600=0,98

Mesatarisht, për çdo 147 stërvitje që punojnë, ka tre të meta. Gjeni probabilitetin që stërvitja e zgjedhur të funksionojë. Përgjigje: 147/150=0,98

Nxënësit e klasës së nëntë Petya, Katya, Vanya, Dasha dhe Natasha hodhën short se kush duhet të fillojë lojën. Gjeni probabilitetin që Katya të mos marrë shumë për të filluar lojën. Përgjigja 4/5=0.8

Nxënësit e klasës së nëntë Petya, Katya, Vanya, Dasha dhe Natasha hodhën short se kush duhet të fillojë lojën. Gjeni probabilitetin që një djalë të fillojë lojën. Përgjigje: 0.4

Në xhepin e Seryozhës kishte katër karamele - "Dallëndyshja", "Kësulëkuqja", "Maska" dhe "Ngritja", si dhe çelësat e banesës. Ndërsa nxirrte çelësat, Seryozha aksidentalisht hodhi një karamele nga xhepi. Gjeni probabilitetin që karamele me Kësulëkuqe të humbasë. Përgjigje: 1/4=0,25

Para fillimit të xhiros së parë të kampionatit të tenisit, pjesëmarrësit ndahen në çifte loje rastësisht me short. Në kampionat marrin pjesë gjithsej 76 tenistë, mes të cilëve 7 sportistë nga Rusia, mes tyre edhe Anatoly Moskvin. Gjeni probabilitetin që në raundin e parë Anatoli Moskvin të luajë me ndonjë tenist nga Rusia. Përgjigje: 6/75=0,08

Konkursi i performancës mbahet për 5 ditë. Janë shpallur gjithsej 80 shfaqje - një nga secili vend pjesëmarrës në konkurs. Në konkurs merr pjesë një interpretues nga Rusia. Në ditën e parë janë planifikuar 8 shfaqje, pjesa tjetër shpërndahet në mënyrë të barabartë ndërmjet ditëve të mbetura. Rendi i shfaqjeve përcaktohet me short. Sa është probabiliteti që një interpretues nga Rusia të performojë në ditën e tretë të konkursit?

Zgjidhje: gjeni sa shfaqje janë planifikuar për ditën e tretë: (80-8)/4=18

Pastaj, probabiliteti që një interpretues nga Rusia të performojë në ditën e tretë të konkursit është i barabartë me

P = 18/80=0,225 Përgjigje: 0,225

Sipas të dhënave statistikore, gjasat që një telefon Samsung i blerë në një dyqan Euroset do të zgjasë më shumë kater vite e barabartë me 0.83. Probabiliteti që ai të zgjasë më shumë se pesë vjet është 0.66. Gjeni probabilitetin që një telefon i kësaj marke të dështojë brenda vitit të pestë të funksionimit.

Zgjidhje: Probabiliteti i ngjarjes së dëshiruar është P = 0,83−0,66 = 0,17. Përgjigja është 0.17.

Sa është probabiliteti që një përzgjedhje rastësisht numri natyror A pjesëtohet 30 me 54 me 2?

Zgjidhje. Nga 30 në 54 25 numra. Edhe ato nga 13. (30 31; 32 33; 34 35;… 52 53; dhe 54) Përgjigja 13/25=0.52

Në urnë ka 5 topa të kuq dhe 3 blu. Për fat, zgjidhni tre prej tyre. Sa është probabiliteti që dy prej tyre të jenë blu.

Zgjidhje. (2/3*1/5)/3/8=2/15*8/3=16/45=0,3(5)

Ka 30 topa në një urnë: 10 të kuqe, 5 blu dhe 15 të bardha. Gjeni probabilitetin që të shfaqet një top me ngjyrë.

Dy ngjarje të papajtueshme P(A+B)=P(A)+P(B)= 5/30+10/30=15/30=0,5

Kolya zgjedh një numër treshifror. Gjeni probabilitetin që ai të pjesëtohet me 5.

Zgjidhje. Janë 900 numra treshifrorë, nga 180 numra janë shumëfish të 5-tës, pra P = 180/900 = 0,2 Përgjigje: 0,2

Një urnë përmban 10 topa të bardhë, 15 të zinj, 20 blu dhe 25 topa të kuq. Një top u hoq. Gjeni probabilitetin që topi i tërhequr të jetë: i bardhë, i zi, blu, i kuq, i bardhë apo i zi, blu apo i kuq, i bardhë apo i zi apo blu?

Zgjidhje. Ngjarjet e nxjerrin topin të bardhë ose hiqni një top me ngjyrë të zezë që nuk përputhet. Prandaj, në zgjidhje përdorim teoremën e mbledhjes. Gjithsej janë 70 topa.

Le të gjejmë P(b)=10/70: P(h)=15/70: P(s)=20/70: P(k)=25/70

Me teoremën e shumës marrim P(b+h) = P(b)+ P(h)= 10/70+15/70=25/70= 5/14; P(s+k)= P(s)+P(k)= 20/70+25/70=45/70=9/14; R(b+h+s) = R(b)+R(s)+ R(h)=10/70+20/70+15/70=45/70=9/14

Kolya zgjedh një numër treshifror. Gjeni probabilitetin që ai të pjesëtohet me 4.

Kutia e parë përmban 2 topa të bardhë dhe 10 të zinj, kutia e dytë përmban 8 topa të bardhë dhe 4 topa të zinj. Nga secila kuti nxjerrim 1 top. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të bardhë? Zgjidhje. Le të shqyrtojmë ngjarjet:

A dhe B janë ngjarje të pavarura prandaj P(A*B)= P(A)*P(B)=1/6*2/3=1/9 Përgjigja 1/9

Stas zgjedh një numër treshifror. Gjeni probabilitetin që ai të pjesëtohet me 48.

Kutia e parë përmban 2 topa të bardhë dhe 10 të zinj, kutia e dytë përmban 8 topa të bardhë dhe 4 topa të zinj. Nga secila kuti nxjerrim 1 top. Sa është probabiliteti që një top i tërhequr të jetë i bardhë dhe tjetri i zi? Zgjidhje.

A - hiqeni atë top i bardhë nga 1 kuti P(A)=2/12

B – nxjerr topin e bardhë nga 2 kuti Р(В)=8/12

C – nxjerr topin e zi nga 1 kuti P(C)=10/12

D- nxjerr topin e zi nga 2 kuti P(D)=4/12

Cilat janë rastet e mundshme të R(AD) R(BC). Meqenëse kutitë janë të pavarura nga njëra-tjetra, ngjarjet do të jenë të pavarura. Atëherë P(AD) = P(A)*P(D)= 1/6 *1/3 = 1/18 ; Р(ВС) = Р(В)*Р(С) = 2/3 * 5/6 = 5/9

Si rezultat, kemi dy ngjarje të papajtueshme dhe marrim P = P(AD) + P(BC) = 11/18.

Vova zgjedh një numër treshifror. Gjeni probabilitetin që ai të pjesëtohet me 49. Zgjidhje. Numra treshifrorë– 900. Numri i parë që pjesëtohet me 49 është 147. Maksimumi: zgjidhet me pabarazinë 49*n< 1000 n < 20 20/49 т.е. n =20-2=18 Ответ 18/900=0,02

Në një provim gjeometrie, një student i përgjigjet një pyetjeje nga një listë pyetjet e provimit. Probabiliteti që kjo është një pyetje trigonometrike është 0.3. Probabiliteti që kjo është një pyetje në temën "Rrethi i brendashkruar" është 0.25. Nuk ka pyetje që lidhen njëkohësisht me këto dy tema. Gjeni probabilitetin që një student të marrë një pyetje në një nga këto dy tema në provim. Zgjidhje.P(A UB)=P(A)+P(B)-P(AB) P=0.3+0.25=0.55 P(AB)=0

NË qendër tregtare dy makina identike shesin kafe. Probabiliteti që aparatit t'i mbarojë kafeja deri në fund të ditës është 0.3. Probabiliteti që të dy makinave të mbarojnë kafe është 0.12. Gjeni probabilitetin që në fund të ditës të ketë mbetur kafe në të dy makinat.

Zgjidhje. Merrni parasysh ngjarjet: A = kafeja do të mbarojë në makinën e parë,

B = kafeja do të mbarojë në makinën e dytë. Pastaj

A·B = kafeja do të mbarojë në të dy makinat,

A + B = kafeja do të mbarojë në të paktën një makinë.

Sipas kushtit P(A) = P(B) = 0.3; P(A·B) = 0,12.

Ngjarjet A dhe B janë të përbashkëta, probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, të reduktuara me probabilitetin e prodhimit të tyre: P (A + B) = P (A) + P ( B)− P (A B)=0,3 +0,3−0,12=0,48.

Prandaj, probabiliteti i ngjarjes së kundërt, që kafeja të mbetet në të dy makinat, është 1 − 0,48 = 0,52. Përgjigje: 0.52.

Le të japim një zgjidhje tjetër.

Probabiliteti që kafeja të mbetet në makinën e parë është 1 − 0.3 = 0.7. Probabiliteti që kafeja të mbetet në makinën e dytë është 1 − 0.3 = 0.7. Probabiliteti që kafeja të mbetet në makinën e parë ose të dytë është 1 − 0,12 = 0,88. Meqenëse P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), kemi: 0,88 = 0,7 + 0,7 − x, nga ku probabiliteti i dëshiruar x = 0,52. Shënim.

Vini re se ngjarjet A dhe B nuk janë të pavarura. Në të vërtetë, probabiliteti i produktit ngjarje të pavarura do të ishte e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, megjithatë, sipas kushtit, kjo probabilitet është e barabartë me 0,12.

Në një qendër tregtare, dy makina identike shesin kafe. Makineritë servisohen në mbrëmje pas mbylljes. Probabiliteti që aparatit t'i mbarojë kafeja deri në fund të ditës është 0.25. Ka të njëjtin probabilitet që deri në mbrëmje kafeja të mbarojë në aparatin e dytë. Probabiliteti që të dy makinave të mbarojnë kafe është 0.15. Gjeni probabilitetin që në fund të ditës të ketë mbetur kafe në të dy makinat. Zgjidhje. P (АUB)=P (A)+P (B)-P (AB)=0,25+0,25-0,15 – në të paktën një, atëherë nëse nga 1-0,35=0,65 - kafeja do të mbetet në të dyja makinat

Mundësia që një kompjuter i ri personal të zgjasë më shumë se një vit, është e barabartë me 0,98. probabiliteti që të zgjasë më shumë se dy vjet është 0.84. gjeni probabilitetin që do të zgjasë më pak se dy vjet por më shumë se një vit. Zgjidhje. Do të zgjasë më shumë se një vit - kjo do të thotë më shumë se dy vjet, ose do të prishet në intervalin nga 1 në 2 vjet. P(>1)=P(1-2)+P(>2) P=0,98-0,84

Probabiliteti që një nxënës P. të zgjidhë saktë më shumë se 12 problema gjatë një testi matematike është 0,7. Probabiliteti që P. të zgjidhë saktë më shumë se 11 problema është 0,79. Gjeni probabilitetin që P. të zgjidhë saktë 12 problema. Përgjigje P=0,79-0,7=0,09

Përpara fillimit të një ndeshje futbolli, gjyqtari hedh një monedhë për të përcaktuar se cila skuadër do ta ketë topin i pari. Skuadra A duhet të luajë dy ndeshje - me ekipin B dhe me ekipin C. Gjeni probabilitetin që në të dyja ndeshjet skuadra A të ketë topin e parë ½*1/2=0.25

Përpara fillimit të një ndeshje volejbolli, kapitenët e ekipeve hedhin shortin e drejtë për të përcaktuar se cila skuadër do të fillojë lojën me topin. Ekipi "Inxhinier" luan me radhë me ekipet "Rotor", "Stator" dhe "Motor". Gjeni probabilitetin që "Përshtatësi" të fillojë vetëm lojën e parë.

Zgjidhja: Kapiteni i ekipit "Inxhinier" do të hedh shortin tre herë: me kapitenin e ekipit "Rotor", më pas me kapitenin e ekipit "Stator" dhe me kapitenin e ekipit "Motor".

Në shortin e parë, probabiliteti për të filluar lojën është 0.5. Më tej, probabiliteti për të mos filluar lojën me "Stator" dhe me "Motor" është gjithashtu i barabartë me 0.5. Kështu, probabiliteti për të filluar vetëm lojën e parë është P=0,5∗ 0,5∗ 0,5=0,125. Përgjigje: 0.125

Sa është probabiliteti që një numër telefoni i zgjedhur rastësisht të përfundojë me dy shifra çift?

Zgjidhje. A- Edhe e parafundit – P(A)=1/2. B-e fundit P(B)=1/2

P = 0,5*0,5 = 0,25 ose gjithsej 5 shifra çift në vendin e fundit dhe 5 në vendin e parafundit Gjithsej 5*5=25. Vetëm dy numra vendet e fundit 10*10=100. Përgjigjja 25/100=0,25

Nëse mjeshtri A. luan me të bardhë, atëherë ai fiton kundër gjyshit B. me probabilitet 0.5. Nëse A. luan me të zezë, atëherë A. fiton kundër B. me probabilitet 0.3. Mjeshtrit e madh A. dhe B. luajnë dy lojëra, dhe në ndeshjen e dytë ata ndryshojnë ngjyrën e copave. Gjeni probabilitetin që A. të fitojë të paktën një lojë.

Zgjidhja: Gjeni probabilitetin që mjeshtri A të mos fitojë asnjë lojë të vetme. Është e barabartë me P 1 =0,5∗ 0,7=0,35. Pastaj, probabiliteti që A. do të fitojë të paktën një lojë, është e barabartë (sipas formulës për probabilitetin e një ngjarjeje të kundërt) P = 1−P 1 = 0,65. Përgjigje: 0.65.

Nëse mjeshtri A. luan me të bardhë, atëherë ai fiton kundër gjyshit B. me probabilitet 0.5. Nëse A. luan me të zezë, atëherë A. fiton kundër B. me probabilitet 0.32. Mjeshtrit e madh A. dhe B. luajnë dy lojëra, dhe në ndeshjen e dytë ata ndryshojnë ngjyrën e copave. Gjeni probabilitetin që A. të fitojë të dyja herët. Përgjigjja 0,5*0,32=0,16

Nëse mjeshtri A. luan me të bardhë, atëherë ai fiton kundër gjyshit B. me probabilitet 0.52. Nëse A. luan me të zezë, atëherë A. fiton kundër B. me probabilitet 0.3. Mjeshtrit e madh A. dhe B. luajnë dy lojëra, dhe në ndeshjen e dytë ata ndryshojnë ngjyrën e copave. Gjeni probabilitetin që A. të fitojë të dyja herët.

Zgjidhja: Mundësia për të fituar ndeshjen e parë dhe të dytë nuk varet nga njëra-tjetra. Probabiliteti i një produkti të ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre: 0,52 · 0,3 = 0,156. Përgjigje: 0,156

Kompania Flash prodhon elektrik dore. Probabiliteti që një elektrik dore i zgjedhur rastësisht nga një grup të jetë i dëmtuar është 0.02. Sa është probabiliteti që dy elektrik dore të zgjedhur rastësisht nga e njëjta grumbull të mos jenë me defekt? Përgjigja 0,98*0,98=0,9604

Cowboy John ka një shans 0.9 për të goditur një mizë në mur nëse gjuan një revolver zero. Nëse Gjoni lëshon një revolver pa shikim, ai godet mizën me probabilitet 0.3. Në tavolinë janë 10 revole, prej të cilëve vetëm 2 janë qëlluar. Cowboy John sheh një mizë në mur, rrëmben rastësisht revolverin e parë që has dhe qëllon mizën. Gjeni probabilitetin që Gjonit i mungon.

Zgjidhja: Probabiliteti që pistoleta të jetë zero është 2/10 = 0,2, dhe që pistoleta të mos jetë zero është 8/10 = 0,8
Probabiliteti që Gjoni të qëllohet dhe goditet është 0,2 · 0,9 = 0,18
Probabiliteti që Gjoni të kapet pa synuar dhe të godasë është 0,8 · 0,3 = 0,24

Probabiliteti për të goditur: 0.18 + 0.24 = 0.42
Probabiliteti i humbjes: P = 1 - 0,42 = 0,58 Përgjigje: 0,58

Ekspedita botuese u dërgoi gazetave tre zyrat postare. Probabiliteti i dorëzimit në kohë të gazetave në departamentin e parë është 0.95, në të dytin - 0.9, në të tretën - 0.8. Gjeni probabilitetin e ngjarjeve të mëposhtme:

a) vetëm një departament do të marrë gazetat në kohë;

b) të paktën një departament do t'i marrë gazetat me vonesë.

Zgjidhje. Zgjidhja: Le të prezantojmë ngjarjet

A1 = (gazetat dorëzohen në kohë në departamentin e parë),

A2 = (gazetat dorëzohen në kohë në departamentin e dytë),

A3 = (gazetat dorëzohen në kohë në departamentin e tretë),

sipas kushtit P(A1)=0.95;P(A2)=0.9;P(A3)=0.8

Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes X = (vetëm një departament do t'i marrë gazetat në kohë).

Ngjarja X do të ndodhë nëse

ose gazetat janë dorëzuar në kohë në departamentin 1, por nuk janë dorëzuar në kohë në departamentet 2 dhe 3,

ose gazetat janë dorëzuar në kohë në departamentin 2, dhe jo në kohë në departamentet 1 dhe 3,

ose gazetat janë dorëzuar në kohë në departamentin e 3-të, dhe nuk janë dorëzuar në kohë në departamentin 1 dhe 2.

Kështu,

X =A 1⋅ A 2*⋅ A 3*+A 1* ⋅ A 2⋅ A 3*+A 1*⋅ A 2*⋅ A 3.

Duke qenë se ngjarjet A1, A2, A3 janë të pavarura, duke përdorur teoremat e mbledhjes dhe shumëzimit marrim

P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2 * ) ⋅ P(A3)=

0,95⋅ 0,1⋅ 0,2+0,05⋅ 0,9⋅ 0,2+0,05⋅ 0,1⋅ 0,8=0,032.

Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes Y=(të paktën një departament do të marrë gazetat me vonesë). Le të prezantojmë ngjarje e kundërt Y*=(të gjitha degët do të marrin gazetat në kohë). Probabiliteti i kësaj ngjarje

P(Y*)=P(A1 ⋅ A2 ⋅ A3)=P(A1) ⋅ P(A2) ⋅ P(A3)=0,95 ⋅ 0,9 ⋅ 0,8=0,684.

Atëherë probabiliteti i ngjarjes Y: P(Y)=1−P(Y*)=1−0.684=0.316. Përgjigje: 0,032; 0,316.

Tabela tregon rezultatet e katër gjuajtësve të treguar gjatë stërvitjes.

Numri i gjuajtësit

Numri i të shtënave

Numri i goditjeve

Trajneri vendosi të dërgojë në garë qitësin e të cilit frekuencë relative godet më lart. Cilin gjuajtës do të zgjedhë trajneri? Ju lutemi përfshini numrin e tij në përgjigjen tuaj.

Zgjidhje. Le të krahasojmë thyesat

26/44 45/70 14/40 48/67 Rezultati më i mirë 4. Përgjigja 4.

Biatleti godet objektivin me probabilitet 0.8. Ai qëllon pesë herë. Pesë të shtëna në pesë objektiva të ndryshëm. Sa është probabiliteti që një biatlete të godasë saktësisht tre objektiva?

Zgjidhje. Meqenëse problemi ka disa të shtëna dhe probabiliteti i një goditjeje është i njëjtë për secilën goditje, atëherë ne po flasim për rreth skemës së Bernulit P n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .

Përgjigje = 10 * 0,8 3 * 0,2 2 = 0,2048

Sa është probabiliteti që në 8 hedhje monedhash, stema të shfaqet 5 herë?

Zgjidhje. Meqenëse problemi ka disa prova dhe probabiliteti që ngjarja (stema) të ndodhë është e njëjtë në çdo gjyq, ne po flasim për një skemë Bernoulli. Le të shkruajmë formulën e Bernulit, e cila përshkruan probabilitetin që nga n monedhë që hedh stema të shfaqet saktësisht k herë: P ​​n (k)=C k n ⋅ p k ⋅ (1− p) n − k .

Shkruajmë të dhënat nga kushtet problemore: n=8,p=0,5 (probabiliteti që një stemë të bjerë në çdo hedhje është 0,5) dhe k=5. Ne zëvendësojmë dhe marrim probabilitetin:

P(X)=P 8 (5)=C 5 8 ⋅ 0,5 5 ⋅ (1− 0,5) 8 − 5 = 8! / 5!3!⋅ 0,5 8 = (6⋅ 7⋅ 8)/(1⋅ 2⋅ 3) ⋅ 0,58 = 0,219. Përgjigja është 0.219.

Për të sinjalizuar një aksident, janë instaluar dy alarme që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabiliteti që alarmi të bie gjatë një aksidenti është 0,95 për alarmin e parë dhe 0,9 për të dytin. Gjeni probabilitetin që gjatë një aksidenti të bie vetëm një alarm.

Zgjidhja: Le të prezantojmë ngjarje të pavarura:

A1= (në rast aksidenti bie alarmi i parë);

A2 = (në rast aksidenti, alarmi i dytë do të bie);

sipas kushteve të problemës P(A1)=0,95, P(A2)=0,9 P(A1)=0,95, P(A2)=0,9.

Le të fusim ngjarjen X = (në rast aksidenti do të bie vetëm një alarm). Kjo ngjarje do të ndodhë nëse, gjatë një aksidenti, alarmi i parë bie dhe i dyti nuk funksionon, ose nëse gjatë një aksidenti bie alarmi i dytë dhe i pari nuk funksionon, domethënë X=A1⋅ A2* +A1 * ⋅ A2. Atëherë probabiliteti i ngjarjes X sipas teoremave të mbledhjes dhe shumëzimit të probabiliteteve është i barabartë me

P(X)=P(A1) ⋅ P(A2 * )+P(A1 * ) ⋅ P(A2)=0,95 ⋅ 0,1+0,05 ⋅ 0,9=0,14. Përgjigje: 0.14.

Urna e parë përmban 10 topa të bardhë dhe 4 të zinj, dhe urna e dytë përmban 5 topa të bardhë dhe 9 topa të zinj. Nga çdo urnë u mor një top. Sa është probabiliteti që të dy topat të jenë të zinj?

ZGJIDHJE. Le të prezantojmë ngjarjen X = (Të dy topat e tërhequr janë të zinj).

Le të prezantojmë ngjarje të pavarura ndihmëse: H 1× = (Një top i zi nxirret nga urna e parë),

H 2× = (Një top i zi nxirret nga urna e dytë).

Le të gjejmë probabilitetet e këtyre ngjarjeve duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit: P (H 1×)=4/14

P (H 2×) = 9/14. Atëherë P (X)= P(H 1x) *P(H 2x) = 2/7*9/14 = 9/49 = 0,184. PËRGJIGJE . 0,184.

Tre studentë marrin një provim dhe zgjidhin të njëjtën problem të pavarur nga njëri-tjetri. Probabilitetet për ta zgjidhur atë nga këta nxënës janë përkatësisht 0.8, 0.7 dhe 0.6. Gjeni probabilitetin që të paktën një nxënës ta zgjidhë problemin.

Zgjidhje. Le të prezantojmë ngjarjen X = (Të paktën një nxënës do ta zgjidhë problemin) dhe ngjarjen e kundërt të saj X* = (Asnjë nxënës nuk do ta zgjidhë problemin). Le të prezantojmë ngjarjet ndihmëse: A1 = (Nxënësi i parë e zgjidhi problemin), A2 = (Nxënësi i dytë e zgjidhi problemin), A3 = (Nxënësi i tretë e zgjidhi problemin), probabilitetet P (A1) = 0,8, P (A2) = 0,7, P(A3)) = 0,6. Të shprehim ngjarjen X*=A1* A2* A3* . Ne e konsiderojmë probabilitetin si probabilitet të një produkti të ngjarjeve të pavarura: P(X*) = (1 - 0.8)(1 - 0.7)(1 - 0.6) = 0.2* 0.3* 0.4 = 0.024.

Atëherë probabiliteti i ngjarjes së dëshiruar P (X) = 1- P(X*) = 1 - 0,024 = 0,976. PËRGJIGJE . 0,976.

Biatleti godet objektivin me probabilitet 0.8. Ai qëllon pesë herë. Gjeni probabilitetin që ai të godasë objektivin saktësisht një herë.

Përpara se të fillojë një ndeshje futbolli, gjyqtari hedh një monedhë për të përcaktuar se cila skuadër do të ketë topin në zotërim të parë. Skuadra e Bardhë luan me radhë me skuadrat e Kuqe, Blu dhe Gjelbër. Gjeni probabilitetin që saktësisht në dy nga tre ndeshje, skuadra e bardhë do të ketë posedimin e parë të topit.

Zgjidhja: Ne bëjmë një listë të të gjitha rezultateve të mundshme në këto tre ndeshje me kuqezinjtë (R), blutë (C) dhe jeshilët (G).
P është i pari që ka topin, N jo.

PPP PPN PNP NPP PNN NPN NNP INN

dhe shikoni sa prej tyre përmbajnë saktësisht 2 herë P, d.m.th. pikërisht në dy ndeshje, skuadra e bardhë do të ketë posedimin e parë të topit.
Ka 3 opsione të tilla, dhe ka 8 opsione gjithsej, atëherë probabiliteti i kërkuar është 3/8 = 0,375. Përgjigje: 0.375

Dy fabrika prodhojnë të njëjtin xham për fenerët e makinave. Fabrika e parë prodhon 45% të këtyre gotave, e dyta - 55%. Fabrika e parë prodhon 3% të xhamit me defekt, dhe e dyta - 1%. Gjeni mundësinë që xhami i blerë aksidentalisht në një dyqan të jetë me defekt.

Zgjidhja: Probabiliteti që xhami është blerë në fabrikën e parë dhe është me defekt: 0.45 · 0.03 = 0.0135

Probabiliteti që xhami është blerë nga një fabrikë e dytë dhe është me defekt: 0,55 · 0,01 = 0,0055

Sipas formulës së probabilitetit total, probabiliteti që xhami i blerë aksidentalisht në një dyqan të jetë me defekt është 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Përgjigje: 0.019