Si të zgjidhim ekuacionet kuadratike të plota dhe jo të plota. Ekuacionet kuadratike

Shkolla e mesme rurale Kop'evsk

10 mënyra për të zgjidhur ekuacionet kuadratike

Drejtues: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

mësues matematike

fshati Kopevë, 2007

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

1.4 Ekuacionet kuadratike nga al-Khorezmi

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë shekujt XIII - XVII

1.6 Rreth teoremës së Vietës

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

konkluzioni

Letërsia

1. Historia e zhvillimit të ekuacioneve kuadratike

1.1 Ekuacionet kuadratike në Babiloninë e Lashtë

Nevoja për zgjidhjen e ekuacioneve jo vetëm të shkallës së parë, por edhe të shkallës së dytë, edhe në kohët e lashta, u shkaktua nga nevoja për zgjidhjen e problemeve që lidhen me gjetjen e sipërfaqeve të parcelave dhe me punë gërmimi të karakterit ushtarak, si dhe. si me zhvillimin e vetë astronomisë dhe matematikës. Ekuacionet kuadratike mund të zgjidheshin rreth vitit 2000 para Krishtit. e. babilonasit.

Duke përdorur shënimet algjebrike moderne, mund të themi se në tekstet e tyre kuneiforme ka, përveç atyre jo të plota, të tilla, për shembull, ekuacione të plota kuadratike:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Rregulli për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve, i përcaktuar në tekstet babilonase, në thelb përkon me atë modern, por nuk dihet se si babilonasit arritën në këtë rregull. Pothuajse të gjitha tekstet kuneiforme të gjetura deri më tani japin vetëm probleme me zgjidhjet e paraqitura në formën e recetave, pa asnjë tregues se si u gjetën.

Megjithë nivelin e lartë të zhvillimit të algjebrës në Babiloni, teksteve kuneiforme u mungon koncepti i një numri negativ dhe metodat e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike.

1.2 Si i përpiloi dhe zgjidhi Diofanti ekuacionet kuadratike.

Aritmetika e Diofantit nuk përmban një paraqitje sistematike të algjebrës, por përmban një sërë problemesh sistematike, të shoqëruara me shpjegime dhe të zgjidhura duke ndërtuar ekuacione të shkallëve të ndryshme.

Kur kompozon ekuacione, Diofanti zgjedh me mjeshtëri të panjohurat për të thjeshtuar zgjidhjen.

Këtu, për shembull, është një nga detyrat e tij.

Problemi 11."Gjeni dy numra, duke ditur që shuma e tyre është 20 dhe prodhimi i tyre është 96"

Diofanti arsyeton si më poshtë: nga kushtet e problemit del se numrat e kërkuar nuk janë të barabartë, pasi nëse do të ishin të barabartë, atëherë produkti i tyre nuk do të ishte i barabartë me 96, por me 100. Kështu, njëri prej tyre do të jetë më shumë se gjysma e shumës së tyre, d.m.th. 10 + x, tjetri është më pak, d.m.th. 10-ta. Dallimi mes tyre 2x .

Prandaj ekuacioni:

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Nga këtu x = 2. Një nga numrat e kërkuar është i barabartë me 12 , të tjera 8 . Zgjidhje x = -2 sepse Diofanti nuk ekziston, pasi matematika greke dinte vetëm numra pozitivë.

Nëse e zgjidhim këtë problem duke zgjedhur një nga numrat e kërkuar si të panjohur, atëherë do të arrijmë në një zgjidhje të ekuacionit

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20 y + 96 = 0. (2)

Është e qartë se duke zgjedhur gjysmëdiferencën e numrave të kërkuar si të panjohur, Diofanti thjeshton zgjidhjen; ai arrin ta reduktojë problemin në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik jo të plotë (1).

1.3 Ekuacionet kuadratike në Indi

Problemet mbi ekuacionet kuadratike gjenden tashmë në traktatin astronomik "Aryabhattiam", të përpiluar në 499 nga matematikani dhe astronomi indian Aryabhatta. Një tjetër shkencëtar indian, Brahmagupta (shekulli VII), përshkroi një rregull të përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike të reduktuara në një formë të vetme kanonike:

ah 2 + b x = c, a > 0. (1)

Në ekuacionin (1), koeficientët, përveç A, mund të jetë edhe negative. Rregulli i Brahmagupta është në thelb i njëjtë me yni.

Në Indinë e lashtë, konkurset publike në zgjidhjen e problemeve të vështira ishin të zakonshme. Një nga librat e vjetër indian thotë si vijon për konkurse të tilla: "Ndërsa dielli i kalon yjet me shkëlqimin e tij, kështu një njeri i ditur do ta kalojë lavdinë e një tjetri në asambletë publike, duke propozuar dhe zgjidhur probleme algjebrike." Problemet shpesh paraqiteshin në formë poetike.

Ky është një nga problemet e matematikanit të famshëm indian të shekullit të 12-të. Bhaskarët.

Problemi 13.

"Një tufë majmunësh të gjallë dhe dymbëdhjetë përgjatë hardhive...

Autoritetet, pasi kishin ngrënë, u argëtuan. Ata filluan të kërcejnë, të varen...

Janë ata në shesh, pjesa e tetë Sa majmunë ishin?

Po argëtohesha në pastrim. Më thuaj, në këtë paketë?

Zgjidhja e Bhaskara tregon se ai e dinte se rrënjët e ekuacioneve kuadratike janë me dy vlera (Fig. 3).

Ekuacioni që i korrespondon problemit 13 është:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara shkruan nën maskën:

x 2 - 64x = -768

dhe, për të plotësuar anën e majtë të këtij ekuacioni në një katror, ​​shton në të dyja anët 32 2 , pastaj duke marrë:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Ekuacionet kuadratike në el - Khorezmi

Në traktatin algjebrik të al-Khorezmi, jepet një klasifikim i ekuacioneve lineare dhe kuadratike. Autori numëron 6 lloje ekuacionesh, duke i shprehur ato si më poshtë:

1) "Katroret janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

2) “Katroret janë të barabartë me numrat”, d.m.th. sëpatë 2 = c.

3) "Rrënjët janë të barabarta me numrin", d.m.th. ah = s.

4) "Katroret dhe numrat janë të barabartë me rrënjët", d.m.th. sëpatë 2 + c = b X.

5) “Katroret dhe rrënjët janë të barabarta me numrat”, d.m.th. ah 2 + bx = s.

6) "Rrënjët dhe numrat janë të barabartë me katrorë", d.m.th. bx + c = sëpatë 2 .

Për al-Khorezmi, i cili shmangi përdorimin e numrave negativë, termat e secilit prej këtyre ekuacioneve janë shtesa dhe jo zbritës. Në këtë rast, ekuacionet që nuk kanë zgjidhje pozitive padyshim që nuk merren parasysh. Autori parashtron metoda për zgjidhjen e këtyre ekuacioneve duke përdorur teknikat el-xhebr dhe el-muqabala. Vendimet e tij, natyrisht, nuk përkojnë plotësisht me tonat. Për të mos përmendur që është thjesht retorik, duhet theksuar, për shembull, se kur zgjidhet një ekuacion kuadratik jo i plotë i llojit të parë

al-Khorezmi, si të gjithë matematikanët para shekullit të 17-të, nuk e merr parasysh zgjidhjen zero, ndoshta sepse në problemet specifike praktike nuk ka rëndësi. Kur zgjidh ekuacione të plota kuadratike, al-Khorezmi përcakton rregullat për zgjidhjen e tyre duke përdorur shembuj të veçantë numerik, dhe më pas prova gjeometrike.

Problemi 14.“Katrori dhe numri 21 janë të barabartë me 10 rrënjë. Gjeni rrënjën" (nënkupton rrënjën e ekuacionit x 2 + 21 = 10x).

Zgjidhja e autorit shkon diçka e tillë: ndani numrin e rrënjëve në gjysmë, merrni 5, shumëzoni 5 me vetveten, zbrisni 21 nga prodhimi, ajo që mbetet është 4. Merrni rrënjën nga 4, merrni 2. Zbrisni 2 nga 5 , ju merrni 3, kjo do të jetë rrënja e dëshiruar. Ose shtoni 2 në 5, që jep 7, kjo është gjithashtu një rrënjë.

Traktati i el-Khorezmi është libri i parë që na ka ardhur, i cili përcakton sistematikisht klasifikimin e ekuacioneve kuadratike dhe jep formula për zgjidhjen e tyre.

1.5 Ekuacionet kuadratike në Evropë XIII - XVII bb

Formulat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike përgjatë linjave të al-Khuarizmit në Evropë u parashtruan për herë të parë në Librin e Abacus, shkruar në 1202 nga matematikani italian Leonardo Fibonacci. Kjo vepër voluminoze, e cila pasqyron ndikimin e matematikës, si nga vendet islame, ashtu edhe nga Greqia e lashtë, dallohet si për plotësinë, ashtu edhe për qartësinë e paraqitjes. Autori zhvilloi në mënyrë të pavarur disa shembuj të rinj algjebrikë të zgjidhjes së problemeve dhe ishte i pari në Evropë që iu afrua futjes së numrave negativë. Libri i tij kontribuoi në përhapjen e njohurive algjebrike jo vetëm në Itali, por edhe në Gjermani, Francë dhe vende të tjera evropiane. Shumë probleme nga Libri i Abacus u përdorën pothuajse në të gjitha tekstet evropiane të shekujve 16 - 17. dhe pjesërisht XVIII.

Rregulli i përgjithshëm për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike reduktuar në një formë të vetme kanonike:

x 2 + bx = c,

për të gjitha kombinimet e mundshme të shenjave të koeficientit b , Me u formulua në Evropë vetëm në vitin 1544 nga M. Stiefel.

Derivimi i formulës për zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik në formë të përgjithshme është i disponueshëm nga Vieth, por Vieth njohu vetëm rrënjë pozitive. Matematikanët italianë Tartaglia, Cardano, Bombelli ishin ndër të parët në shekullin e 16-të. Përveç pozitiveve, merren parasysh edhe rrënjët negative. Vetëm në shekullin e 17-të. Falë punës së Girardit, Dekartit, Njutonit dhe shkencëtarëve të tjerë, metoda e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike merr një formë moderne.

1.6 Rreth teoremës së Vietës

Teorema që shpreh marrëdhënien midis koeficientëve të një ekuacioni kuadratik dhe rrënjëve të tij, me emrin Vieta, u formulua prej tij për herë të parë në 1591 si më poshtë: "Nëse B + D, shumëzuar me A - A 2 , e barabartë BD, Kjo A barazohet NË dhe të barabartë D ».

Për të kuptuar Vietën, duhet ta kujtojmë këtë A, si çdo shkronjë zanore, nënkuptonte të panjohurën (tonë X), zanoret NE, D- koeficientët për të panjohurën. Në gjuhën e algjebrës moderne, formulimi i mësipërm Vieta do të thotë: nëse ka

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Duke shprehur marrëdhënien midis rrënjëve dhe koeficientëve të ekuacioneve me formulat e përgjithshme të shkruara duke përdorur simbole, Viète vendosi uniformitet në metodat e zgjidhjes së ekuacioneve. Sidoqoftë, simbolika e Vietit është ende larg nga forma e saj moderne. Ai nuk i njihte numrat negativë dhe për këtë arsye, kur zgjidhte ekuacionet, ai merrte parasysh vetëm rastet kur të gjitha rrënjët ishin pozitive.

2. Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike

Ekuacionet kuadratike janë themeli mbi të cilin mbështetet ndërtesa madhështore e algjebrës. Ekuacionet kuadratike përdoren gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve dhe pabarazive trigonometrike, eksponenciale, logaritmike, iracionale dhe transcendentale. Të gjithë e dimë se si të zgjidhim ekuacionet kuadratike nga shkolla (klasa e 8-të) deri në diplomim.

Nga ky artikull do të mësoni:

Si të pamjen ekuacionet përcaktojnë nëse ky ekuacion do të jetë jo të plota ekuacioni kuadratik? Si zgjidh i paplotë ekuacionet kuadratike?

Si të njohim një ekuacion kuadratik jo të plotë me anë të shikimit

Majtas pjesë e ekuacionit ka trinom kuadratik, A drejtë - numri. Ekuacione të tilla quhen plot ekuacionet kuadratike.

U plot ekuacioni kuadratik Të gjitha shanset, Dhe jo të barabartë. Për zgjidhjen e tyre ekzistojnë formula të veçanta, me të cilat do të njihemi më vonë.

Shumica thjeshtë për zgjidhje janë jo të plota ekuacionet kuadratike. Këto janë ekuacione kuadratike në të cilat disa koeficientë janë zero.

Koeficienti sipas përkufizimit nuk mund të jetë zero, pasi përndryshe ekuacioni nuk do të jetë kuadratik. Ne folëm për këtë. Kjo do të thotë se rezulton se mund të shkojnë në zero vetëm shanset ose.

Në varësi të kësaj ka tre lloje të paplota ekuacionet kuadratike.

1) , Ku ;
2) , Ku ;
3) , Ku.

Pra, nëse shohim një ekuacion kuadratik, në anën e majtë të të cilit në vend të tre anëtarëve prezente dy kara ose një anëtar, atëherë ekuacioni do të jetë jo të plota ekuacioni kuadratik.

Përkufizimi i një ekuacioni kuadratik jo të plotë

Ekuacioni kuadratik jo i plotë Ky quhet ekuacion kuadratik , në të cilën të paktën një nga koeficientët ose e barabartë me zero.

Ky përkufizim ka shumë e rëndësishme fraza " të paktën një nga koeficientët... e barabartë me zero Kjo do të thotë se një ose më shumë koeficientët mund të jenë të barabartë zero.

Bazuar në këtë, është e mundur tre opsione: ose një koeficienti është zero, ose një tjetër koeficienti është zero, ose të dyja koeficientët janë njëkohësisht të barabartë me zero. Kështu marrim tre lloje ekuacionesh kuadratike jo të plota.

E paplotë Ekuacionet kuadratike janë ekuacionet e mëposhtme:
1)
2)
3)

Zgjidhja e ekuacionit

Le të përvijojmë plani i zgjidhjes këtë ekuacion. Majtas pjesë e ekuacionit mund të jetë lehtësisht faktorizoj, pasi në anën e majtë të ekuacionit kanë termat shumëzues i përbashkët, mund të hiqet nga kllapa. Pastaj në të majtë merrni produktin e dy faktorëve, dhe në të djathtë - zero.

Dhe atëherë rregulli "produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga faktorët është i barabartë me zero, dhe tjetri ka kuptim" do të funksionojë. Është shumë e thjeshtë!

Pra, plani i zgjidhjes.
1) Ne faktorizojmë anën e majtë në faktorë.
2) Ne përdorim rregullin "produkti është i barabartë me zero..."

Unë i quaj ekuacione të këtij lloji "dhurata e fatit". Këto janë ekuacione për të cilat ana e djathtë është zero, A majtas pjesa mund të zgjerohet nga shumëzuesit.

Zgjidhja e ekuacionit sipas planit.

1) Le të shpërbëhemi anën e majtë të ekuacionit nga shumëzuesit, për këtë nxjerrim faktorin e përbashkët, marrim ekuacionin e mëposhtëm .

2) Në barazimin. ne e shohim atë majtas shpenzimet puna, A zero në të djathtë. Reale një dhuratë e fatit! Këtu, natyrisht, do të përdorim rregullin "produkti është i barabartë me zero nëse dhe vetëm nëse të paktën njëri nga faktorët është i barabartë me zero, dhe tjetri ka kuptim". Kur e përkthejmë këtë rregull në gjuhën e matematikës, marrim dy ekuacionet ose .

Ne shohim se ekuacioni u nda nga dy më e thjeshtë ekuacionet, e para prej të cilave tashmë është zgjidhur ().

Le të zgjidhim të dytën ekuacioni Le t'i zhvendosim termat e panjohur në të majtë dhe ato të njohura në të djathtë. Anëtari i panjohur është tashmë në të majtë, ne do ta lëmë atë atje. Dhe termin e njohur e zhvendosim djathtas me shenjën e kundërt. Ne marrim ekuacionin.

E gjetëm, por duhet ta gjejmë. Për të hequr qafe faktorin, duhet të ndani të dyja anët e ekuacionit me.

Në këtë artikull do të shikojmë zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike jo të plota.

Por së pari, le të përsërisim se cilat ekuacione quhen kuadratike. Një ekuacion i formës ax 2 + bx + c = 0, ku x është një ndryshore, dhe koeficientët a, b dhe c janë disa numra, dhe a ≠ 0 quhet katrore. Siç e shohim, koeficienti për x 2 nuk është i barabartë me zero, dhe për këtë arsye koeficientët për x ose termin e lirë mund të jenë të barabartë me zero, me ç'rast marrim një ekuacion kuadratik jo të plotë.

Ekzistojnë tre lloje të ekuacioneve kuadratike jo të plota:

1) Nëse b = 0, c ≠ 0, atëherë ax 2 + c = 0;

2) Nëse b ≠ 0, c = 0, atëherë ax 2 + bx = 0;

3) Nëse b = 0, c = 0, atëherë sëpatë 2 = 0.

• Le të kuptojmë se si të zgjidhim ekuacionet e formës ax 2 + c = 0.

Për të zgjidhur ekuacionin, ne zhvendosim termin e lirë c në anën e djathtë të ekuacionit, marrim

sëpatë 2 = ‒s. Meqenëse a ≠ 0, ne ndajmë të dyja anët e ekuacionit me a, pastaj x 2 = ‒c/a.

Nëse ‒с/а > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë

x = ±√(–c/a) .

Nëse ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Le të përpiqemi të kuptojmë me shembuj se si të zgjidhim ekuacione të tilla.

Shembulli 1. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 ‒ 32 = 0.

Përgjigje: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Shembulli 2. Zgjidheni ekuacionin 2x 2 + 8 = 0.

Përgjigje: ekuacioni nuk ka zgjidhje.

• Le të kuptojmë se si ta zgjidhim atë ekuacionet e formës ax 2 + bx = 0.

Për të zgjidhur ekuacionin ax 2 + bx = 0, le ta faktorizojmë atë, domethënë, nxjerrim x nga kllapat, marrim x(ax + b) = 0. Prodhimi është i barabartë me zero nëse të paktën një nga faktorët është i barabartë. në zero. Atëherë ose x = 0, ose ax + b = 0. Duke zgjidhur ekuacionin ax + b = 0, marrim ax = - b, prej nga x = - b/a. Një ekuacion i formës ax 2 + bx = 0 ka gjithmonë dy rrënjë x 1 = 0 dhe x 2 = ‒ b/a. Shikoni si duket zgjidhja e ekuacioneve të këtij lloji në diagram.

Le të konsolidojmë njohuritë tona me një shembull specifik.

Shembulli 3. Zgjidheni ekuacionin 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x= 0 ose 3x – 12 = 0

Përgjigje: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Ekuacionet e tipit të tretë sëpatë 2 = 0 zgjidhen shumë thjesht.

Nëse sëpatë 2 = 0, atëherë x 2 = 0. Ekuacioni ka dy rrënjë të barabarta x 1 = 0, x 2 = 0.

Për qartësi, le të shohim diagramin.

Le të sigurohemi kur zgjidhim shembullin 4 që ekuacionet e këtij lloji mund të zgjidhen shumë thjesht.

Shembulli 4. Zgjidheni ekuacionin 7x 2 = 0.

Përgjigje: x 1, 2 = 0.

Nuk është gjithmonë e qartë menjëherë se çfarë lloj ekuacioni kuadratik jo të plotë duhet të zgjidhim. Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm.

Shembulli 5. Zgjidhe ekuacionin

Le të shumëzojmë të dyja anët e ekuacionit me një emërues të përbashkët, domethënë me 30

Le ta shkurtojmë atë

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) = 90.

Le të hapim kllapat

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Le të japim të ngjashme

Le të lëvizim 99 nga ana e majtë e ekuacionit në të djathtë, duke ndryshuar shenjën në të kundërtën

Përgjigje: pa rrënjë.

Ne shikuam se si zgjidhen ekuacionet kuadratike jo të plota. Shpresoj që tani nuk do të keni ndonjë vështirësi me detyra të tilla. Kini kujdes kur përcaktoni llojin e ekuacionit kuadratik jo të plotë, atëherë do të keni sukses.

Nëse keni pyetje për këtë temë, regjistrohuni në mësimet e mia, ne do t'i zgjidhim problemet që lindin së bashku.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Ekuacioni kuadratik - i lehtë për t'u zgjidhur! *Këtej e tutje referuar si “KU”. Miq, duket se nuk mund të ketë asgjë më të thjeshtë në matematikë sesa zgjidhja e një ekuacioni të tillë. Por diçka më tha se shumë njerëz kanë probleme me të. Vendosa të shikoj sa përshtypje sipas kërkesës jep Yandex në muaj. Ja çfarë ndodhi, shikoni:

Çfarë do të thotë? Kjo do të thotë se rreth 70,000 njerëz në muaj kërkojnë këtë informacion, dhe kjo është verë, dhe çfarë do të ndodhë gjatë vitit shkollor - do të ketë dy herë më shumë kërkesa. Kjo nuk është për t'u habitur, sepse ata djem dhe vajza që kanë mbaruar shkollën shumë kohë më parë dhe po përgatiten për Provimin e Unifikuar të Shtetit, po kërkojnë këtë informacion, dhe nxënësit e shkollës gjithashtu përpiqen të freskojnë kujtesën e tyre.

Pavarësisht se ka shumë faqe që ju tregojnë se si ta zgjidhni këtë ekuacion, vendosa gjithashtu të kontribuoj dhe të publikoj materialin. Së pari, unë dua që vizitorët të vijnë në faqen time bazuar në këtë kërkesë; së dyti, në artikuj të tjerë, kur të vijë tema e "KU", do të jap një lidhje me këtë artikull; së treti, unë do t'ju tregoj pak më shumë për zgjidhjen e tij sesa thuhet zakonisht në faqet e tjera. Le të fillojmë! Përmbajtja e artikullit:

Një ekuacion kuadratik është një ekuacion i formës:

ku koeficientët a,bdhe c janë numra arbitrar, me a≠0.

Në kursin shkollor, materiali jepet në formën e mëposhtme - ekuacionet ndahen në tre klasa:

1. Kanë dy rrënjë.

2. *Kanë vetëm një rrënjë.

3. Nuk kanë rrënjë. Vlen veçanërisht të theksohet këtu se ato nuk kanë rrënjë të vërteta

Si llogariten rrënjët? Vetëm!

Ne llogarisim diskriminuesin. Nën këtë fjalë "të tmerrshme" qëndron një formulë shumë e thjeshtë:

Formulat e rrënjëve janë si më poshtë:

*Këto formula duhet t'i dini përmendësh.

Ju menjëherë mund të shkruani dhe zgjidhni:

Shembull:

1. Nëse D > 0, atëherë ekuacioni ka dy rrënjë.

2. Nëse D = 0, atëherë ekuacioni ka një rrënjë.

3. Nëse D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Le të shohim ekuacionin:

Në këtë drejtim, kur diskriminuesi është i barabartë me zero, kursi shkollor thotë se fitohet një rrënjë, këtu është e barabartë me nëntë. Gjithçka është e saktë, është kështu, por ...

Kjo ide është disi e pasaktë. Në fakt, ka dy rrënjë. Po, po, mos u habitni, ju merrni dy rrënjë të barabarta, dhe për të qenë matematikisht i saktë, atëherë përgjigja duhet të shkruajë dy rrënjë:

x 1 = 3 x 2 = 3

Por kjo është kështu - një digresion i vogël. Në shkollë mund ta shkruani dhe të thoni se ka një rrënjë.

Tani shembulli tjetër:

Siç e dimë, rrënja e një numri negativ nuk mund të merret, kështu që nuk ka zgjidhje në këtë rast.

Ky është i gjithë procesi i vendimit.

Funksioni kuadratik.

Kjo tregon se si duket zgjidhja gjeometrikisht. Kjo është jashtëzakonisht e rëndësishme për t'u kuptuar (në të ardhmen, në një nga artikujt do të analizojmë në detaje zgjidhjen e pabarazisë kuadratike).

Ky është një funksion i formës:

ku x dhe y janë variabla

a, b, c – numrat e dhënë, me a ≠ 0

Grafiku është një parabolë:

Domethënë, rezulton se duke zgjidhur një ekuacion kuadratik me “y” të barabartë me zero, gjejmë pikat e prerjes së parabolës me boshtin x. Mund të ketë dy nga këto pika (diskriminuesi është pozitiv), një (diskriminuesi është zero) dhe asnjë (diskriminuesi është negativ). Detaje rreth funksionit kuadratik ju mund të shikoni artikull nga Inna Feldman.

Le të shohim shembuj:

Shembulli 1: Zgjidh 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= –192

D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Përgjigje: x 1 = 8 x 2 = –12

*Ishte e mundur që menjëherë të ndahej anët e majta dhe të djathta të ekuacionit me 2, domethënë ta thjeshtonin atë. Llogaritjet do të jenë më të lehta.

Shembulli 2: Vendosni x 2–22 x+121 = 0

a=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Ne zbuluam se x 1 = 11 dhe x 2 = 11

Lejohet të shkruhet x = 11 në përgjigje.

Përgjigje: x = 11

Shembulli 3: Vendosni x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminuesi është negativ, nuk ka zgjidhje në numra realë.

Përgjigje: nuk ka zgjidhje

Diskriminuesi është negativ. Ka zgjidhje!

Këtu do të flasim për zgjidhjen e ekuacionit në rastin kur fitohet një diskriminues negativ. A dini ndonjë gjë për numrat kompleks? Nuk do të hyj në detaje këtu se pse dhe ku u ngritën dhe cili është roli dhe nevoja e tyre specifike në matematikë, kjo është një temë për një artikull të madh të veçantë.

Koncepti i një numri kompleks.

Pak teori.

Një numër kompleks z është një numër i formës

z = a + bi

ku a dhe b janë numra realë, i është e ashtuquajtura njësi imagjinare.

a+bi - ky është një numër i vetëm, jo ​​një shtesë.

Njësia imagjinare është e barabartë me rrënjën e minus një:

Tani merrni parasysh ekuacionin:

Marrim dy rrënjë të konjuguara.

Ekuacioni kuadratik jo i plotë.

Le të shqyrtojmë raste të veçanta, kjo është kur koeficienti "b" ose "c" është i barabartë me zero (ose të dy janë të barabartë me zero). Ato mund të zgjidhen lehtësisht pa ndonjë çështje diskriminuese.

Rasti 1. Koeficienti b = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë:

Shembull:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Rasti 2. Koeficienti c = 0.

Ekuacioni bëhet:

Le të transformojmë dhe faktorizojmë:

*Produkti është i barabartë me zero kur të paktën një nga faktorët është i barabartë me zero.

Shembull:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ose x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Rasti 3. Koeficientët b = 0 dhe c = 0.

Këtu është e qartë se zgjidhja e ekuacionit do të jetë gjithmonë x = 0.

Vetitë e dobishme dhe modelet e koeficientëve.

Ka veti që ju lejojnë të zgjidhni ekuacione me koeficientë të mëdhenj.

Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a + b+ c = 0, Se

- nëse për koeficientët e ekuacionit Ax 2 + bx+ c=0 barazia vlen

a+ c =b, Se

Këto veti ndihmojnë në zgjidhjen e një lloji të caktuar ekuacioni.

Shembulli 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Shuma e gjasave është 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, që do të thotë

Shembulli 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Barazia qëndron a+ c =b, Mjetet

Rregullsitë e koeficientëve.

1. Nëse në ekuacionin ax 2 + bx + c = 0 koeficienti "b" është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti "c" është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx + c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 +1), dhe koeficienti “c” numerikisht është i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Nëse në barazimin. ax 2 + bx – c = 0 koeficienti “b” është e barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti “c” është numerikisht i barabartë me koeficientin "a", atëherë rrënjët e tij janë të barabarta

sëpatë 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 17x 2 +288x – 17 = 0.

x 1 = – 17 x 2 = 1/17.

4. Nëse në ekuacionin ax 2 – bx – c = 0 koeficienti “b” është i barabartë me (a 2 – 1), dhe koeficienti c është numerikisht i barabartë me koeficientin “a”, atëherë rrënjët e tij janë të barabarta.

sëpatë 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.

Shembull. Merrni parasysh ekuacionin 10x 2 – 99x –10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = – 1/10

Teorema e Vietës.

Teorema e Vieta-s ka marrë emrin e matematikanit të famshëm francez Francois Vieta. Duke përdorur teoremën e Vietës, ne mund të shprehim shumën dhe produktin e rrënjëve të një KU arbitrare në termat e koeficientëve të saj.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Në total, numri 14 jep vetëm 5 dhe 9. Këto janë rrënjët. Me një aftësi të caktuar, duke përdorur teoremën e paraqitur, mund të zgjidhni menjëherë shumë ekuacione kuadratike gojarisht.

Teorema e Vieta-s, përveç kësaj. është i përshtatshëm në atë që pas zgjidhjes së një ekuacioni kuadratik në mënyrën e zakonshme (përmes një diskriminuesi), mund të kontrollohen rrënjët që rezultojnë. Unë rekomandoj ta bëni këtë gjithmonë.

MËNYRA E TRANSPORTIT

Me këtë metodë, koeficienti "a" shumëzohet me termin e lirë, sikur "i hidhet" atij, prandaj quhet Metoda e "transferimit". Kjo metodë përdoret kur mund të gjeni lehtësisht rrënjët e ekuacionit duke përdorur teoremën e Vietës dhe, më e rëndësishmja, kur diskriminuesi është një katror i saktë.

Nëse A± b+c≠ 0, atëherë përdoret teknika e transferimit, për shembull:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Duke përdorur teoremën e Vieta-s në ekuacionin (2), është e lehtë të përcaktohet se x 1 = 10 x 2 = 1

Rrënjët rezultuese të ekuacionit duhet të ndahen me 2 (pasi të dy u "hedhën" nga x 2), marrim

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Cili është arsyetimi? Shikoni çfarë po ndodh.

Diskriminuesit e ekuacioneve (1) dhe (2) janë të barabartë:

Nëse shikoni rrënjët e ekuacioneve, merrni vetëm emërues të ndryshëm, dhe rezultati varet pikërisht nga koeficienti x 2:

E dyta (e modifikuar) ka rrënjë që janë 2 herë më të mëdha.

Prandaj, rezultatin e ndajmë me 2.

*Nëse i rimbështjellim të tre, rezultatin do ta ndajmë me 3, etj.

Përgjigje: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ie dhe Provimi i Unifikuar i Shtetit.

Do t'ju tregoj shkurtimisht për rëndësinë e tij - DUHET TË JENI TË GJITHË TË VENDOSNI shpejt dhe pa u menduar, duhet të dini përmendësh formulat e rrënjëve dhe diskriminuesve. Shumë probleme të përfshira në detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit vijnë në zgjidhjen e një ekuacioni kuadratik (përfshirë edhe ato gjeometrike).

Diçka që vlen të përmendet!

1. Forma e shkrimit të një ekuacioni mund të jetë “i nënkuptuar”. Për shembull, hyrja e mëposhtme është e mundur:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ose 15x+42+9x 2 - 45x=0 ose 15 -5x+10x 2 = 0.

Ju duhet ta sillni atë në një formë standarde (në mënyrë që të mos ngatërroheni gjatë zgjidhjes).

2. Mos harroni se x është një sasi e panjohur dhe mund të shënohet me ndonjë shkronjë tjetër - t, q, p, h dhe të tjera.

Ekuacioni bëhet:

Le ta zgjidhim në formë të përgjithshme:

Komentoni: ekuacioni do të ketë rrënjë vetëm nëse , përndrysherezulton se sheshi

është e barabartë me një numër negativ, gjë që është e pamundur.

Përgjigje:

Shembull:

Përgjigje:

Tranzicioni i fundit është bërë sepse irracionaliteti në emërues është jashtëzakonisht i madh rrallë.

2. Termi i lirë është zero(c=0).

Ekuacioni bëhet:

Le ta zgjidhim në formë të përgjithshme:

Për të zgjidhur dhënë ekuacionet kuadratike, d.m.th. nëse koeficienti

a= 1:

x 2 +bx+c=0,

atëherë x 1 x 2 =c

x 1 +x 2 =−b

Për një ekuacion të plotë kuadratik në të cilin a≠1:

x 2 +bx+c=0,

pjesëtoje të gjithë ekuacionin me A:

→ →

Ku x 1 dhe x 2 - rrënjët e ekuacionit.

Pritja e treta. Nëse ekuacioni juaj ka koeficientë thyesorë, hiqni qafethyesa! shumohen

ekuacioni në një emërues të përbashkët.

konkluzioni. Këshilla praktike:

1. Para se ta zgjidhim, e sjellim ekuacionin kuadratik në formë standarde dhe e ndërtojmë E drejta.

2. Nëse ka një koeficient negativ përballë katrorit X, eliminojeni atë shumëzimi

i gjithë ekuacioni me -1.

3. Nëse koeficientët janë thyesorë, i eliminojmë thyesat duke shumëzuar të gjithë ekuacionin mepërkatëse

faktor.

4. Nëse x në katror është i pastër, koeficienti i tij është i barabartë me një, zgjidhja mund të jetë lehtësisht kontrollo nga

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve