Si të identifikoni rrënjën e një numri. Si të llogarisni rrënjën katrore të një numri pa përdorur një kalkulator? Si të nxjerrim rrënjën - video

Përpara makinave llogaritëse, nxënësit dhe mësuesit llogaritën me dorë rrënjët katrore. Ka disa mënyra për të llogaritur rrënjë katrore numrat me dorë. Disa prej tyre ofrojnë vetëm një zgjidhje të përafërt, të tjerët japin një përgjigje të saktë.

Hapat

Faktorizimi kryesor

Faktoroni numrin radikal në faktorë që janë numra katrorë. Në varësi të numër radikal, do të merrni një përgjigje të përafërt ose të saktë. Numrat katrorë janë numra nga të cilët mund të merret e gjithë rrënja katrore. Faktorët janë numra që, kur shumëzohen, japin numrin origjinal. Për shembull, faktorët e numrit 8 janë 2 dhe 4, pasi 2 x 4 = 8, numrat 25, 36, 49 janë numra katrorë, pasi √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Faktorët katrorë janë faktorë , të cilët janë numra katrorë. Së pari, përpiquni të faktorizoni numrin radikal në faktorë katrorë.

• Për shembull, llogaritni rrënjën katrore të 400 (me dorë). Së pari provoni të faktorizoni 400 në faktorë katrorë. 400 është një shumëfish i 100, domethënë i pjesëtueshëm me 25 - ky është një numër katror. Pjestimi i 400 me 25 ju jep 16. Numri 16 është gjithashtu një numër katror. Kështu, 400 mund të faktorizohet në faktorët katror të 25 dhe 16, domethënë 25 x 16 = 400.
• Ju mund ta shkruani këtë si më poshtë: √400 = √(25 x 16).

1. Rrënja katrore e prodhimit të disa termave e barabartë me produktin rrënjët katrore të çdo termi, domethënë √(a x b) = √a x √b.

   • Përdoreni këtë rregull për të marrë rrënjën katrore të çdo faktori katror dhe për të shumëzuar rezultatet për të gjetur përgjigjen.
     • Në shembullin tonë, merrni rrënjën e 25 dhe 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16

2. 5 x 4 = 20 Nëse numri radikal nuk zbërthehet në dy faktor katror

   • Për shembull, llogaritni rrënjën katrore të numrit 147. Numri 147 nuk mund të faktorizohet në dy faktorë katrorë, por mund të faktorizohet në faktorët e mëposhtëm: 49 dhe 3. Zgjidheni problemin si më poshtë:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Nëse është e nevojshme, vlerësoni vlerën e rrënjës. Tani mund të vlerësoni vlerën e rrënjës (gjeni një vlerë të përafërt) duke e krahasuar atë me vlerat e rrënjëve të numrave katrorë që janë më afër (në të dy anët e vijës numerike) me numrin radikal. Ju do të merrni vlerën e rrënjës si një thyesë dhjetore, e cila duhet të shumëzohet me numrin prapa shenjës së rrënjës.

   • Le të kthehemi te shembulli ynë. Numri radikal është 3. Numrat katrorë më të afërt me të do të jenë numrat 1 (√1 = 1) dhe 4 (√4 = 2). Kështu, vlera e √3 ndodhet midis 1 dhe 2. Meqenëse vlera e √3 është ndoshta më afër 2 sesa 1, vlerësimi ynë është: √3 = 1.7. Ne e shumëzojmë këtë vlerë me numrin në shenjën e rrënjës: 7 x 1.7 = 11.9. Nëse bëni llogaritjen në një makinë llogaritëse, do të merrni 12.13, që është shumë afër përgjigjes sonë.
     • Kjo metodë funksionon edhe me numra të mëdhenj. Për shembull, merrni parasysh √35. Numri radikal është 35. Numrat katrorë më të afërt me të do të jenë numrat 25 (√25 = 5) dhe 36 (√36 = 6). Kështu, vlera e √35 ndodhet midis 5 dhe 6. Meqenëse vlera e √35 është shumë më afër 6 se 5 (sepse 35 është vetëm 1 më pak se 36), mund të themi se √35 është pak më e vogël se 6 Kontrolli në kalkulator na jep përgjigjen 5.92 - kishim të drejtë.

4. Një mënyrë tjetër është faktorizimi i numrit radikal në faktorë të thjeshtë. Faktorët e thjeshtë janë numra që pjesëtohen vetëm me 1 dhe me veten e tyre. Shkruani atë faktorët kryesorë me radhë dhe gjeni çifte faktorësh identikë. Faktorë të tillë mund të hiqen nga shenja rrënjësore.

   • Për shembull, llogaritni rrënjën katrore të 45. Ne faktorizojmë numrin radikal në faktorë të thjeshtë: 45 = 9 x 5, dhe 9 = 3 x 3. Kështu, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 mund të hiqet si shenjë rrënjë: √45 = 3√5. Tani mund të vlerësojmë √5.
   • Le të shohim një shembull tjetër: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Keni marrë tre shumëzues nga 2; merrni disa prej tyre dhe lëvizini përtej shenjës së rrënjës.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Tani mund të vlerësoni √2 dhe √11 dhe të gjeni një përgjigje të përafërt.

   Llogaritja e rrënjës katrore me dorë

   Përdorimi i ndarjes së gjatë

   1. Kjo metodë përfshin një proces të ngjashëm me ndarjen e gjatë dhe jep një përgjigje të saktë. Së pari, vizatoni një vijë vertikale që e ndan fletën në dy gjysma, dhe më pas në të djathtë dhe pak poshtë skajit të sipërm të fletës, vizatoni një vijë horizontale në vijën vertikale. Tani ndajeni numrin radikal në çifte numrash, duke filluar me pjesën thyesore pas presjes dhjetore. Pra, numri 79520789182.47897 shkruhet si "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Për shembull, le të llogarisim rrënjën katrore të numrit 780.14. Vizatoni dy rreshta (siç tregohet në foto) dhe shkruani majtas lart numri i dhënë në formën “7 80, 14”. Është normale që shifra e parë nga e majta është një shifër e paçiftuar. Përgjigjen (rrënjën e këtij numri) do ta shkruani lart djathtas.

   2. Për çiftin e parë të numrave (ose numrit të vetëm) nga e majta, gjeni numrin më të madh n katrori i të cilit është më i vogël ose i barabartë me çiftin e numrave (ose numrin e vetëm) në fjalë. Me fjalë të tjera, gjeni numrin katror që është më afër, por më i vogël se, çifti i parë i numrave (ose numri i vetëm) nga e majta, dhe merrni rrënjën katrore të atij numër katror

      • ; do të merrni numrin n. Shkruani n-në që gjetët lart djathtas dhe shkruani katrorin e n-së poshtë djathtas.< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Në rastin tonë, numri i parë në të majtë do të jetë 7. Më pas, 4 Zbrisni katrorin e numrit n që sapo gjetët nga çifti i parë i numrave (ose numri i vetëm) në të majtë.

      • Shkruani rezultatin e llogaritjes nën nëntrup (katrori i numrit n).

   4. Në shembullin tonë, zbritni 4 nga 7 dhe merrni 3. Hiqni çiftin e dytë të numrave dhe shkruajeni pranë vlerës së marrë në hapin e mëparshëm.

      • Pastaj dyfishoni numrin lart djathtas dhe shkruani rezultatin poshtë djathtas me shtimin e "_×_=".

   5. Në shembullin tonë, çifti i dytë i numrave është "80". Shkruani "80" pas 3. Pastaj, dyfishi i numrit lart djathtas jep 4. Shkruani "4_×_=" në fund djathtas.

      • Plotësoni vendet bosh në të djathtë.

   6. Në rastin tonë, nëse vendosim numrin 8 në vend të vizave, atëherë 48 x 8 = 384, që është më shumë se 380. Prandaj, 8 është një numër shumë i madh, por 7 do të bëjë. Shkruani 7 në vend të vizave dhe merrni: 47 x 7 = 329. Shkruani 7 lart djathtas - kjo është shifra e dytë në rrënjën katrore të dëshiruar të numrit 780.14. Zbrisni numrin që rezulton nga numri aktual në të majtë.

      • Shkruani rezultatin nga hapi i mëparshëm nën numrin aktual në të majtë, gjeni ndryshimin dhe shkruajeni atë nën subtrahend.

   7. Në shembullin tonë, zbritni 329 nga 380, që është e barabartë me 51. Përsëriteni hapin 4. Nëse çifti i numrave që do të bartet është pjesa thyesore e numrit origjinal, atëherë vendosni ndarësin (presjen) me një numër të plotë dhe në rrënjën katrore të dëshiruar nga lart djathtas. Në të majtë, hidhni poshtë çiftin tjetër të numrave. Dyfishoni numrin lart djathtas dhe shkruani rezultatin poshtë djathtas me shtimin e "_×_=".

      • Në shembullin tonë, çifti tjetër i numrave që do të hiqet do të jetë pjesa thyesore e numrit 780.14, kështu që vendoseni ndarësin e pjesëve të plota dhe të pjesshme në rrënjën katrore të dëshiruar në pjesën e sipërme djathtas. Hiqni 14 dhe shkruajeni poshtë majtas. Dyfishi i numrit lart djathtas (27) është 54, kështu që shkruani "54_×_=" poshtë djathtas.

   8. Përsëritni hapat 5 dhe 6. Gjeni një numri më i madh në vend të vizave në të djathtë (në vend të vizave duhet të zëvendësoni të njëjtin numër) në mënyrë që rezultati i shumëzimit të jetë më i vogël ose i barabartë me numrin aktual në të majtë.

      • Në shembullin tonë, 549 x 9 = 4941, që është më pak se numri aktual në të majtë (5114). Shkruani 9 lart djathtas dhe zbritni rezultatin e shumëzimit nga numri aktual në të majtë: 5114 - 4941 = 173.

   9. Nëse keni nevojë të gjeni më shumë numra dhjetore për rrënjën katrore, shkruani disa zero në të majtë të numrit aktual dhe përsëritni hapat 4, 5 dhe 6. Përsëritni hapat derisa të merrni saktësinë e përgjigjes (numrin e numrave dhjetorë). nevojë.

   Kuptimi i Procesit

   Për asimilimin këtë metodë mendoni për numrin, rrënja katrore e të cilit dëshironi të gjeni si sipërfaqen e katrorit S. Në këtë rast, do të kërkoni gjatësinë e anës L të një katrori të tillë. Ne llogarisim vlerën e L ashtu që L² = S.

   Jepni një shkronjë për çdo numër në përgjigje. Le të shënojmë me A shifrën e parë në vlerën e L (rrënja katrore e dëshiruar). B do të jetë shifra e dytë, C e treta dhe kështu me radhë.

   Specifikoni një shkronjë për secilën palë të shifrave të para. Le të shënojmë me S a çiftin e parë të shifrave në vlerën S, me S b çiftin e dytë të shifrave, e kështu me radhë.

   Kuptoni lidhjen midis kësaj metode dhe ndarjes së gjatë. Ashtu si në veprimin e pjesëtimit, ku na intereson vetëm shifra tjetër e numrit që pjesëtojmë çdo herë, kur llogaritim një rrënjë katrore, punojmë me një çift shifrash në mënyrë sekuenciale (për të marrë shifrën tjetër në katror. vlera rrënjësore).

   1. Merrni parasysh çiftin e parë të shifrave Sa të numrit S (Sa = 7 në shembullin tonë) dhe gjeni rrënjën e tij katrore. Në këtë rast, shifra e parë A e vlerës së dëshiruar të rrënjës katrore do të jetë një shifër katrori i së cilës është më i vogël ose i barabartë me S a (d.m.th., ne po kërkojmë një A të tillë që pabarazia A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Le të themi se duhet të pjesëtojmë 88962 me 7; këtu hapi i parë do të jetë i ngjashëm: marrim parasysh shifrën e parë të numrit të pjesëtueshëm 88962 (8) dhe zgjedhim numrin më të madh që, kur shumëzohet me 7, jep një vlerë më të vogël ose të barabartë me 8. Kjo do të thotë, ne po kërkojmë një numër d për të cilin pabarazia është e vërtetë: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Imagjinoni mendërisht një katror sipërfaqen e të cilit duhet ta llogaritni. Ju po kërkoni L, domethënë gjatësia e brinjës së një katrori sipërfaqja e të cilit është S. A, B, C janë numrat në numrin L. Mund ta shkruani ndryshe: 10A + B = L (për numër dyshifror) ose 100A + 10V + C = L (për numër treshifror) dhe kështu me radhë.

      • Le (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Mos harroni se 10A+B është një numër në të cilin shifra B është njësi dhe shifra A është dhjetëshe. Për shembull, nëse A=1 dhe B=2, atëherë 10A+B është e barabartë me numrin 12. (10A+B)²- kjo është sipërfaqja e të gjithë sheshit, 100A²- zona e sheshit të madh të brendshëm, B²- zona e sheshit të vogël të brendshëm, 10A×B- sipërfaqja e secilit prej dy drejtkëndëshave. Duke mbledhur sipërfaqet e figurave të përshkruara, do të gjeni sipërfaqen e katrorit origjinal.

Çfarë është një rrënjë katrore?

Kujdes!
Ka shtesë
materialet në Seksionin Special 555.
Për ata që janë shumë "jo shumë..."
Dhe për ata që "shumë ...")

Ky koncept është shumë i thjeshtë. E natyrshme, do të thosha. Matematikanët përpiqen të gjejnë një reagim për çdo veprim. Ka mbledhje - ka edhe zbritje. Ka shumëzim - ka edhe pjesëtim. Ka katrore... Pra ka edhe duke marrë rrënjën katrore! Kjo është ajo. Ky veprim ( rrënjë katrore) në matematikë tregohet nga kjo ikonë:

Vetë ikona quhet nje fjale e bukur "radikale".

Si të nxjerrim rrënjën?Është më mirë të shikosh shembuj.

Sa është rrënja katrore e 9? Cili numër në katror do të na japë 9? 3 në katror na jep 9! Ato:

Por sa është rrënja katrore e zeros? Nuk ka pyetje! Çfarë numri në katror bën zero? Po, jep zero! Do të thotë:

E kuptova, çfarë është rrënja katrore? Pastaj marrim parasysh shembuj:

Përgjigjet (në rrëmujë): 6; 1; 4; 9; 5.

E vendosur? Vërtet, sa më e lehtë është kjo?!

Por... Çfarë bën njeriu kur sheh ndonjë detyrë me rrënjë?

Njeriu fillon të ndihet i trishtuar... Ai nuk beson në thjeshtësinë dhe lehtësinë e rrënjëve të tij. Edhe pse duket se e di çfarë është rrënja katrore...

Kjo për shkak se personi injoroi disa pika të rëndësishme kur studionte rrënjët. Pastaj këto trillime hakmerren mizore ndaj testeve dhe provimeve...

Pika një. Ju duhet të njihni rrënjët me shikim!

Sa është rrënja katrore e 49? Shtatë? E drejtë! Si e dinit se ishte shtatë? Në katrorë shtatë dhe mori 49? E drejtë! Ju lutemi vini re se nxjerr rrënjën nga 49 ne duhej të bënim operacionin e kundërt - katrori 7! Dhe sigurohuni që të mos humbasim. Ose mund të kishin humbur...

Kjo është vështirësia nxjerrja e rrënjës. Sheshi Ju mund të përdorni çdo numër pa asnjë problem. Shumëzoni një numër në vetvete me një kolonë - kjo është e gjitha. Por për nxjerrja e rrënjës Nuk ka një teknologji kaq të thjeshtë dhe të sigurt për dështimin. Ne duhet të marr përgjigjuni dhe kontrolloni nëse është e saktë duke e ndarë në katror.

Kjo është e komplikuar procesi krijues- Zgjedhja e një përgjigje thjeshtohet shumë nëse ju mbaj mend katrorët e numrave të njohur. Si një tabelë shumëzimi. Nëse, të themi, ju duhet të shumëzoni 4 me 6, nuk i shtoni katër 6 herë, apo jo? Përgjigja 24 del menjëherë edhe pse jo të gjithë e marrin atë, po...

Falas dhe punë e suksesshme me rrënjë mjafton të njohësh katrorët e numrave nga 1 deri në 20. Për më tepër atje Dhe mbrapa. Ato. ju duhet të jeni në gjendje të recitoni me lehtësi të dyja, të themi, 11 në katror dhe rrënjën katrore të 121. Për të arritur këtë memorizim, ka dy mënyra. E para është të mësoni tabelën e katrorëve. Kjo do të jetë një ndihmë e madhe në zgjidhjen e shembujve. E dyta është të vendosësh më shumë shembuj. Kjo do t'ju ndihmojë shumë të mbani mend tabelën e katrorëve.

Dhe pa kalkulator! Vetëm për qëllime testimi. Përndryshe, do të ngadalësoni pa mëshirë gjatë provimit...

Pra, çfarë është rrënja katrore dhe si nxjerrin rrënjët- Mendoj se është e qartë. Tani le të zbulojmë se nga ÇFARË mund t'i nxjerrim ato.

Pika dy. Root, nuk të njoh!

Nga cilët numra mund të merrni rrënjë katrore? Po, pothuajse secili prej tyre. Është më e lehtë të kuptosh se nga vjen është e ndaluar nxjerrin ato.

Le të përpiqemi të llogarisim këtë rrënjë:

Për ta bërë këtë, ne duhet të zgjedhim një numër që në katror do të na japë -4. Ne zgjedhim.

Çfarë, nuk përshtatet? 2 2 jep +4. (-2) 2 jep përsëri +4! Kjo është ajo... Nuk ka numra që, kur të vendosen në katror, ​​të na japin një numër negativ! Edhe pse i di këto shifra. Por nuk do t'ju them). Shkoni në kolegj dhe do ta zbuloni vetë.

E njëjta histori do të ndodhë me çdo numër negativ. Prandaj përfundimi:

Një shprehje në të cilën ka një numër negativ nën shenjën e rrënjës katrore - nuk ka kuptim! Ky është një operacion i ndaluar. Është po aq e ndaluar sa pjesëtimi me zero. Mos harroni këtë fakt me vendosmëri! Ose me fjalë të tjera:

Ju nuk mund të nxirrni rrënjë katrore nga numrat negativë!

Por nga të gjitha të tjerat, është e mundur. Për shembull, është mjaft e mundur të llogaritet

Në shikim të parë, kjo është shumë e vështirë. Zgjedhja e thyesave dhe kuadrimi i tyre... Mos u shqetësoni. Kur të kuptojmë vetitë e rrënjëve, shembuj të tillë do të reduktohen në të njëjtën tabelë katrorësh. Jeta do të bëhet më e lehtë!

Mirë, thyesa. Por ne ende hasim shprehje si:

Është në rregull. Gjithçka është e njëjtë. Rrënja katrore e dy është numri që, kur vendoset në katror, ​​na jep dy. Vetëm ky numër është krejtësisht i pabarabartë... Ja ku është:

Ajo që është interesante është se kjo thyesë nuk mbaron kurrë... Numrat e tillë quhen irracionalë. Në rrënjët katrore kjo është gjëja më e zakonshme. Meqë ra fjala, për këtë quhen shprehjet me rrënjë irracionale. Është e qartë se shkrimi i një fraksioni kaq të pafund gjatë gjithë kohës është i papërshtatshëm. Prandaj, në vend të thyesë e pafundme lëreni kështu:

Nëse, kur zgjidhni një shembull, përfundoni me diçka që nuk mund të nxirret, si:

pastaj e lëmë ashtu. Kjo do të jetë përgjigja.

Ju duhet të kuptoni qartë se çfarë kuptimi kanë ikonat

Sigurisht, nëse merret rrënja e numrit e lëmuar, ju duhet ta bëni këtë. Përgjigja e detyrës është në formë, për shembull

Një përgjigje mjaft e plotë.

Dhe, sigurisht, duhet të dini vlerat e përafërta nga kujtesa:

Kjo njohuri ndihmon shumë për të vlerësuar situatën në detyra komplekse.

Pika tre. Më dinake.

Konfuzioni kryesor në punën me rrënjët është shkaktuar nga kjo pikë. Është ai që i jep pasiguri forcën e vet... Le të merremi me këtë çështje si duhet!

Së pari, le të marrim përsëri rrënjën katrore të katër prej tyre. A ju kam shqetësuar tashmë me këtë rrënjë?) Nuk ka rëndësi, tani do të jetë interesante!

Cili është numri 4? Epo, dy, dy - dëgjoj përgjigje të pakënaqur ...

E drejta. Dy. Por gjithashtu minus dy do të japë 4 në katror... Ndërkohë, përgjigja

saktë dhe përgjigja

gabim i madh. Si kjo.

Pra, çfarë është çështja?

Në të vërtetë, (-2) 2 = 4. Dhe nën përkufizimin e rrënjës katrore prej katër minus dy mjaft i përshtatshëm... Kjo është edhe rrënja katrore e katër.

Por! NË kursi shkollor Matematikanët zakonisht i konsiderojnë rrënjët katrore vetëm numra jo negativë! Kjo është, zero dhe të gjitha janë pozitive. Madje u shpik një term i veçantë: nga mesi A- Kjo jo negative numri katrori i të cilit është A. Rezultatet negative kur nxirren një rrënjë katrore aritmetike thjesht hidhen poshtë. Në shkollë, gjithçka është me rrënjë katrore - aritmetike. Edhe pse kjo nuk është përmendur veçanërisht.

Mirë, kjo është e kuptueshme. Është edhe më mirë - mos u mërzit me rezultate negative... Ky nuk është ende konfuzion.

Konfuzioni fillon kur zgjidhen ekuacionet kuadratike. Për shembull, ju duhet të zgjidhni ekuacionin e mëposhtëm.

Ekuacioni është i thjeshtë, ne shkruajmë përgjigjen (siç mësohet):

Kjo përgjigje (absolutisht e saktë, meqë ra fjala) është vetëm një version i shkurtuar dy përgjigjet:

Ndalo, ndalo! Pikërisht më lart shkrova se rrënja katrore është një numër Gjithmonë jo negative! Dhe këtu është një nga përgjigjet - negative! Çrregullim. Ky është problemi i parë (por jo i fundit) që shkakton mosbesim ndaj rrënjëve... Le ta zgjidhim këtë problem. Le t'i shkruajmë përgjigjet (thjesht për t'u kuptuar!) si kjo:

Kllapat nuk e ndryshojnë thelbin e përgjigjes. Sapo e ndava me kllapa shenjat nga rrënjë. Tani mund të shihni qartë se vetë rrënja (në kllapa) është ende një numër jo negativ! Dhe shenjat janë rezultat i zgjidhjes së ekuacionit. Në fund të fundit, kur zgjidhim ndonjë ekuacion duhet të shkruajmë Të gjitha X-të, të cilat kur zëvendësohen në ekuacioni origjinal do të japë rezultatin e duhur. Rrënja e pesë (pozitive!) me një plus dhe një minus përshtatet në ekuacionin tonë.

Si kjo. Nëse ju thjesht merrni rrënjën katrore nga çdo gjë, ju Gjithmonë ju merrni një jo negative rezultat. Për shembull:

Sepse është - rrënja katrore aritmetike.

Por nëse vendosni diçka ekuacioni kuadratik, lloji:

Se Gjithmonë rezulton dy përgjigje (me plus dhe minus):

Sepse kjo është zgjidhja e ekuacionit.

Shpresa, çfarë është rrënja katrore Ju i keni pikat tuaja të qarta. Tani mbetet për të zbuluar se çfarë mund të bëhet me rrënjët, cilat janë vetitë e tyre. Dhe cilat janë pikat dhe kurthet... më falni, gurë!)

E gjithë kjo është në mësimet e mëposhtme.

Nëse ju pëlqen kjo faqe...

Nga rruga, unë kam disa faqe më interesante për ju.)

Ju mund të praktikoni zgjidhjen e shembujve dhe të zbuloni nivelin tuaj. Testimi me verifikim të menjëhershëm. Le të mësojmë - me interes!)

Mund të njiheni me funksionet dhe derivatet.

Nxënësit gjithmonë pyesin: “Pse nuk mund të përdor një makinë llogaritëse në provimin e matematikës? Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa kalkulator? Le të përpiqemi t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje.

Si të nxjerrim rrënjën katrore të një numri pa ndihmën e një kalkulatori?

Veprimi rrënjë katrore e anasjelltë me veprimin e katrorit.

√81= 9 9 2 =81

Nëse nga numër pozitiv marrim rrënjën katrore dhe katrore rezultatin, marrim të njëjtin numër.

E numrave të vegjël që janë katrorë të përsosur numrat natyrorë, për shembull 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 rrënjë katrore mund të nxirren me gojë. Zakonisht në shkollë ata mësojnë një tabelë me katrorë të numrave natyrorë deri në njëzet. Duke ditur këtë tabelë, është e lehtë të nxirrni rrënjë katrore nga numrat 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Nga numrat më të mëdhenj se 400 mund t'i nxirrni duke përdorur metodën e përzgjedhjes duke përdorur disa këshilla. Le të përpiqemi ta shikojmë këtë metodë me një shembull.

Shembull: Nxjerr rrënjën e numrit 676.

Vëmë re se 20 2 = 400, dhe 30 2 = 900, që do të thotë 20< √676 < 900.

katrorët e saktë të numrave natyrorë përfundojnë me 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Numri 6 jepet nga 4 2 dhe 6 2.
Kjo do të thotë që nëse rrënja merret nga 676, atëherë është ose 24 ose 26.

Mbetet për të kontrolluar: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Përgjigje: √676 = 26 .

Më shumë shembull: √6889 .

Meqenëse 80 2 = 6400, dhe 90 2 = 8100, atëherë 80< √6889 < 90.
Numri 9 jepet nga 3 2 dhe 7 2, atëherë √6889 është i barabartë me 83 ose 87.

Le të kontrollojmë: 83 2 = 6889.

Përgjigje: √6889 = 83 .

Nëse e keni të vështirë të vendosni duke përdorur metodën e përzgjedhjes, mundeni shprehje radikale faktorizoj.

Për shembull, gjeni √893025.

Le të faktorizojmë numrin 893025, mbani mend, ju e keni bërë këtë në klasën e gjashtë.

Ne marrim: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Më shumë shembull: √20736. Le të faktorizojmë numrin 20736:

Ne marrim √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Natyrisht, faktorizimi kërkon njohuri për shenjat e pjesëtueshmërisë dhe aftësitë e faktorizimit.

Dhe së fundi, ka Rregulli për nxjerrjen e rrënjëve katrore. Le të njihemi me këtë rregull me shembuj.

Llogaritni √279841.

Për të nxjerrë rrënjën e një numri të plotë shumëshifror, ne e ndajmë atë nga e djathta në të majtë në faqe që përmbajnë 2 shifra (skaji më i majtë mund të përmbajë një shifër). E shkruajmë kështu: 27’98’41

Për të marrë shifrën e parë të rrënjës (5), marrim rrënjën katrore të katrorit më të madh të përsosur që gjendet në faqen e parë në të majtë (27).
Pastaj katrori i shifrës së parë të rrënjës (25) i zbritet faqes së parë dhe faqes tjetër (98) i shtohet diferencës (i zbritet).
Në të majtë të numrit që rezulton 298, shkruani dyshifrorët e rrënjës (10), pjesëtoni me të numrin e të gjitha dhjetërave të numrit të marrë më parë (29/2 ≈ 2), provoni herësin (102 ∙ 2 = 204 duhet të jetë jo më shumë se 298) dhe shkruani (2) pas shifrës së parë të rrënjës.
Pastaj herësi që rezulton 204 zbritet nga 298 dhe skaji tjetër (41) i shtohet diferencës (94).
Në të majtë të numrit që rezulton është shkruar 9441 produkt i dyfishtë shifrat e rrënjës (52 ∙2 = 104), pjesëtojeni numrin e të gjitha dhjetësheve të numrit 9441 (944/104 ≈ 9) me këtë produkt, provoni herësi (1049 ∙9 = 9441) duhet të jetë 9441 dhe shkruajeni ( 9) pas shifrës së dytë të rrënjës.

Morëm përgjigjen √279841 = 529.

Ekstraktoni në mënyrë të ngjashme rrënjët e thyesave dhjetore. Vetëm numri radikal duhet të ndahet në fytyra në mënyrë që presja të jetë midis fytyrave.

Shembull. Gjeni vlerën √0.00956484.

Thjesht duhet të mbani mend se nëse dhjetore ka numër tek numra dhjetore, rrënja katrore nuk mund të nxirret prej saj saktësisht.

Pra, tani keni parë tre mënyra për të nxjerrë rrënjën. Zgjidhni atë që ju përshtatet më shumë dhe praktikoni. Për të mësuar të zgjidhni problemet, duhet t'i zgjidhni ato. Dhe nëse keni ndonjë pyetje, regjistrohu për mësimet e mia.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

Udhëzimet

Zgjidhni një shumëzues për numrin radikal, heqja e të cilit nga poshtë rrënjëështë me të vërtetë një shprehje - përndryshe operacioni do të humbasë. Për shembull, nëse nën shenjën rrënjë me një eksponent të barabartë me tre (rrënjë kubike), kushton numri 128, atëherë nga poshtë shenjës mund të nxirrni, për shembull, numri 5. Në të njëjtën kohë, radikali numri 128 do të duhet të ndahet me 5 kube: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Nëse disponueshmëria numër thyesor nën shenjën rrënjë nuk bie ndesh me kushtet e problemit, atëherë është e mundur në këtë formë. Nëse keni nevojë për një opsion më të thjeshtë, atëherë së pari thyeni shprehjen radikale në faktorë të tillë të plotë, rrënja kubike e njërit prej të cilëve do të jetë një numër i plotë numri m Për shembull: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.

Përdoreni për të zgjedhur faktorët e një numri radikal nëse nuk është e mundur të llogaritni fuqitë e një numri në kokën tuaj. Kjo është veçanërisht e vërtetë për rrënjë m me një eksponent më të madh se dy. Nëse keni akses në internet, mund të kryeni llogaritjet e integruara motorët e kërkimit Google dhe Nigma computing. Për shembull, nëse keni nevojë të gjeni faktorin më të madh të numrit të plotë që mund të hiqet nën shenjën kub rrënjë për numrin 250, më pas shkoni në faqen e internetit të Google dhe shkruani pyetjen "6^3" për të kontrolluar nëse është e mundur ta hiqni atë nga poshtë shenjës rrënjë gjashtë. Motori i kërkimit do të tregojë një rezultat të barabartë me 216. Mjerisht, 250 nuk mund të ndahet pa një mbetje me këtë numri. Pastaj shkruani pyetjen 5^3. Rezultati do të jetë 125, dhe kjo ju lejon të ndani 250 në faktorët 125 dhe 2, që do të thotë ta hiqni atë nga shenja rrënjë numri 5, duke u larguar atje numri 2.

Burimet:

• si ta nxjerrim nga nën rrënjë
• Rrënja katrore e produktit

Hiqeni nga poshtë rrënjë një nga faktorët është i domosdoshëm në situatat ku duhet të thjeshtoni shprehje matematikore. Ka raste kur është e pamundur të kryhen llogaritjet e nevojshme duke përdorur një kalkulator. Për shembull, nëse në vend të numrave përdorni emërtimet e shkronjave variablave.

Udhëzimet

Zbërtheni shprehjen radikale në faktorë të thjeshtë. Shihni se cili nga faktorët përsëritet të njëjtin numër herë, të treguar në tregues rrënjë, ose më shumë. Për shembull, ju duhet të merrni rrënjën e katërt të a. Në këtë rast, numri mund të përfaqësohet si a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3. Treguesi rrënjë në këtë rast do të korrespondojë me faktor a3. Duhet të hiqet nga shenja.

Nxjerrni rrënjën e radikalëve që rezultojnë veçmas kur është e mundur. Nxjerrja rrënjë përfaqëson veprim algjebrik, inversi i fuqisë. Nxjerrja rrënjë të një fuqie arbitrare, gjeni një numër nga një numër që, kur të rritet në këtë fuqi arbitrare, do të rezultojë në numrin e dhënë. Nëse nxjerrja rrënjë nuk mund të prodhohet, lëreni shprehjen radikale nën shenjë rrënjë ashtu siç është. Si rezultat i veprimeve të mësipërme, ju do të hiqeni nga poshtë shenjë rrënjë.

Video mbi temën

Ju lutemi vini re

Kini kujdes kur shkruani shprehje radikale në formën e faktorëve - një gabim në këtë fazë do të çojë në rezultate të pasakta.

Këshilla të dobishme

Kur nxjerrni rrënjët, është i përshtatshëm të përdorni tabela ose tabela të veçanta rrënjët logaritmike– kjo do të reduktojë ndjeshëm kohën e shpenzuar për gjetje vendimi i duhur.

Burimet:

• Shenja e nxjerrjes së rrënjëve në 2019

Thjeshtimi shprehjet algjebrike kërkohet në shumë fusha të matematikës, duke përfshirë zgjidhjen e ekuacioneve gradat më të larta, diferencimi dhe integrimi. Përdoren disa metoda, duke përfshirë faktorizimin. Për të aplikuar këtë metodë, duhet të gjeni dhe të bëni një gjeneral faktor për kllapa.

Udhëzimet

Kryerja e shumëzuesit total kllapa- një nga metodat më të zakonshme të dekompozimit. Kjo teknikë përdoret për të thjeshtuar strukturën e shprehjeve të gjata algjebrike, d.m.th. polinomet. Numri i përgjithshëm mund të jetë një numër, një monom ose një binom, dhe për ta gjetur atë, përdorni pronë distributive shumëzimi.

Numri Shikoni me kujdes koeficientët e secilit polinom për të parë nëse ata mund të pjesëtohen me të njëjtin numër. Për shembull, në shprehjen 12 z³ + 16 z² – 4 është e qartë faktor 4. Pas transformimit, ju merrni 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Me fjalë të tjera, ky numër është pjesëtuesi i plotë më pak i zakonshëm i të gjithë koeficientëve.

Përcaktoni nëse e njëjta ndryshore është në secilin prej termave të polinomit. Duke supozuar se është kështu, tani shikoni koeficientët si në rastin e mëparshëm. Shembull: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.

Çdo element i këtij polinomi përmban një ndryshore z. Përveç kësaj, të gjithë koeficientët janë numra që janë shumëfish të 3. Prandaj, faktori i përbashkët do të jetë monomi 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).

Binomi.Për kllapa të përgjithshme faktor prej dy, një ndryshore dhe një numër, që është polinom i përgjithshëm. Prandaj, nëse faktor-Binomi nuk është i dukshëm, atëherë duhet të gjesh të paktën një rrënjë. Zgjidhni termin e lirë të polinomit, ky është një koeficient pa ndryshore. Tani aplikoni metodën e zëvendësimit në shprehje e përgjithshme të gjithë pjesëtuesit e numrave të plotë anëtar i lirë.

Merrni parasysh: z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Kontrolloni nëse ndonjë nga faktorët e plotë të 4 është z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Me zëvendësim të thjeshtë, gjeni z1 = 1 dhe z2 = 2, që do të thotë për kllapa mund të heqim binomet (z - 1) dhe (z - 2). Për të gjetur shprehjen e mbetur, përdorni ndarje sekuenciale në një kolonë.

Nxjerrja e rrënjës është operacioni i kundërt i rritjes së një fuqie. Kjo do të thotë, duke marrë rrënjën e numrit X, marrim një numër që në katror do të japë të njëjtin numër X.

Nxjerrja e rrënjës është një operacion mjaft i thjeshtë. Një tabelë me katrorë mund ta bëjë më të lehtë punën e nxjerrjes. Sepse është e pamundur të kujtohen përmendësh të gjitha katrorët dhe rrënjët, por numrat mund të jenë të mëdhenj.

Nxjerrja e rrënjës së një numri

Marrja e rrënjës katrore të një numri është e lehtë. Për më tepër, kjo mund të bëhet jo menjëherë, por gradualisht. Për shembull, merrni shprehjen √256. Fillimisht, një injorant e ka të vështirë të japë një përgjigje menjëherë. Atëherë do ta bëjmë hap pas hapi. Së pari, ne ndajmë vetëm me numrin 4, nga i cili marrim katrorin e zgjedhur si rrënjë.

Le të përfaqësojmë: √(64 4), atëherë do të jetë ekuivalente me 2√64. Dhe siç e dini, sipas tabelës së shumëzimit 64 = 8 8. Përgjigja do të jetë 2*8=16.

Regjistrohu për kursin "Përshpejtoni aritmetikën mendore, JO aritmetikë mendore"Të mësoni se si të mblidhni, zbrisni, shumëzoni, pjesëtoni, katrorë dhe madje të merrni rrënjë shpejt dhe saktë. Në 30 ditë do të mësoni se si të përdorni teknika të thjeshta për të thjeshtuar veprimet aritmetike. Çdo mësim përmban teknika të reja, shembuj të qartë dhe detyra të dobishme.

Nxjerrja e një rrënjë komplekse

Rrënja katrore nuk mund të llogaritet nga numrat negativë, sepse çdo numër në katror është numër pozitiv!

Një numër kompleks është numri i, i cili në katror është i barabartë me -1. Domethënë i2=-1.

Në matematikë, ekziston një numër që fitohet duke marrë rrënjën e numrit -1.

Kjo do të thotë, është e mundur të llogaritet rrënja e një numri negativ, por kjo tashmë vlen matematikë e lartë, jo shkolla.

Le të shqyrtojmë një shembull të një nxjerrjeje të tillë rrënjë: √(-49)=7*√(-1)=7i.

Llogaritësi i rrënjëve në internet

Duke përdorur kalkulatorin tonë, mund të llogarisni nxjerrjen e një numri nga një rrënjë katrore:

Konvertimi i shprehjeve që përmbajnë një operacion rrënjë

Thelbi i transformimit të shprehjeve radikale është zbërthimi i numrit radikal në më të thjeshtë, nga të cilët mund të nxirret rrënja. Të tilla si 4, 9, 25 e kështu me radhë.

Le të japim një shembull, √625. Le ta ndajmë shprehjen radikale me numrin 5. Marrim √(125 5), përsëritni operacionin √(25 25), por ne e dimë se 25 është 52. Që do të thotë se përgjigja do të jetë 5*5=25.

Por ka numra për të cilët rrënja nuk mund të llogaritet duke përdorur këtë metodë dhe thjesht duhet të dini përgjigjen ose të keni në dorë një tabelë me katrorë.

√289=√(17*17)=17

Fundi

Ne kemi parë vetëm majën e ajsbergut, për të kuptuar më mirë matematikën - regjistrohuni në kursin tonë: Përshpejtimi i aritmetikës mendore - JO aritmetika mendore.

Nga kursi jo vetëm që do të mësoni dhjetëra teknika të shumëzimit të thjeshtuar dhe të shpejtë, mbledhjes, shumëzimit, pjesëtimit dhe llogaritjes së përqindjeve, por do t'i praktikoni edhe në detyra të veçanta dhe lojëra edukative! Aritmetika mendore gjithashtu kërkon shumë vëmendje dhe përqendrim, të cilat stërviten në mënyrë aktive kur zgjidhin probleme interesante.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve