Një trinom katror i faktorizuar 2x 2. Si të faktorizohet një trinom katror

Trinomi katror quhet polinom i formës sëpatë 2 +bx +c, Ku x- e ndryshueshme, a,b,c- disa numra dhe a ≠ 0.

Koeficient A thirrur koeficienti i lartë, c – anëtar i lirë trinom kuadratik.

Shembuj të trinomeve kuadratike:

2 x 2 + 5x+4(Këtu a = 2, b = 5, c = 4)

x 2 – 7x + 5(Këtu a = 1, b = -7, c = 5)

9x 2 + 9x - 9(Këtu a = 9, b = 9, c = -9)

Koeficient b ose koeficienti c ose të dy koeficientët mund të jenë të barabartë me zero në të njëjtën kohë. Për shembull:

5 x 2 + 3x(Këtua = 5,b = 3,c = 0, pra nuk ka vlerë për c në ekuacion).

6 x 2 - 8 (Këtua = 6, b = 0, c = -8)

2x2(Këtua = 2, b = 0, c = 0)

Quhet vlera e ndryshores në të cilën zhduket polinomi rrënja e polinomit.

Për të gjetur rrënjët e një trinomi kuadratiksëpatë 2 + bx + c, duhet ta barazojmë me zero -
pra zgjidh ekuacionin kuadratiksëpatë 2 + bx + c = 0 (shih seksionin "Ekuacioni kuadratik").

Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Shembull:

Le të faktorizojmë trinomin 2 x 2 + 7x - 4.

Shohim: koeficient A = 2.

Tani le të gjejmë rrënjët e trinomit. Për ta bërë këtë, ne e barazojmë atë me zero dhe zgjidhim ekuacionin

2x 2 + 7x – 4 = 0.

Si të zgjidhni një ekuacion të tillë - shihni në seksionin "Formulat e rrënjëve të një ekuacioni kuadratik. Diskriminuese”. Këtu do të deklarojmë menjëherë rezultatin e llogaritjeve. Trinomi ynë ka dy rrënjë:

x 1 = 1/2, x 2 = –4.

Le të zëvendësojmë vlerat e rrënjëve në formulën tonë, duke hequr vlerën e koeficientit nga kllapat A, dhe marrim:

2x 2 + 7x – 4 = 2(x – 1/2) (x + 4).

Rezultati i marrë mund të shkruhet ndryshe duke shumëzuar koeficientin 2 me binomin x – 1/2:

2x 2 + 7x – 4 = (2x – 1) (x + 4).

Problemi është zgjidhur: trinomi faktorizohet.

Një zgjerim i tillë mund të merret për çdo trinom kuadratik që ka rrënjë.

KUJDES!

Nëse diskriminuesi i një trinomi kuadratik e barabartë me zero, atëherë ky trinom ka një rrënjë, por kur zgjerohet trinomi, kjo rrënjë merret si vlerë e dy rrënjëve - domethënë si vlerë e njëjtë. x 1 dhex 2 .

Për shembull, një trinom ka një rrënjë të barabartë me 3. Pastaj x 1 = 3, x 2 = 3.

Faktorizimi i një trinomi kuadratik mund të jetë i dobishëm kur zgjidhen pabarazitë nga problemi C3 ose problemi me parametrin C5. Gjithashtu shumë probleme me fjalë B13 do të zgjidhet shumë më shpejt nëse e dini teoremën e Vietës.

Kjo teoremë, natyrisht, mund të konsiderohet nga këndvështrimi i klasës së 8-të, në të cilën mësohet për herë të parë. Por detyra jonë është të përgatitemi mirë për Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe të mësojmë t'i zgjidhim detyrat e provimit në mënyrë sa më efikase. Prandaj, ky mësim konsideron një qasje paksa të ndryshme nga ajo shkollore.

Formula për rrënjët e ekuacionit duke përdorur teoremën e Vietës Shumë njerëz e dinë (ose të paktën e kanë parë):

$$x_1+x_2 = -\frac(b)(a), \quad x_1 x_2 = \frac(c)(a),$$

ku `a, b` dhe `c` janë koeficientët e trinomit kuadratik `ax^2+bx+c`.

Për të mësuar se si ta përdorim me lehtësi teoremën, le të kuptojmë se nga vjen ajo (kjo në të vërtetë do ta bëjë më të lehtë për t'u mbajtur mend).

Le të kemi ekuacionin `ax^2+ bx+ c = 0`. Për lehtësi të mëtejshme, ndajeni atë me `a` dhe merrni `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = 0`. Një ekuacion i tillë quhet ekuacion kuadratik i reduktuar.

Ide e rëndësishme mësimi: çdo polinom kuadratik që ka rrënjë mund të zgjerohet në kllapa. Le të supozojmë se e jona mund të përfaqësohet si `x^2+\frac(b)(a) x + \frac(c)(a) = (x + k)(x+l)`, ku `k` dhe ` l` - disa konstante.

Le të shohim se si hapen kllapat:

$$(x + k)(x+l) = x^2 + kx+ lx+kl = x^2 +(k+l)x+kl.$$

Kështu, `k+l = \frac(b)(a), kl = \frac(c)(a)`.

Ky është paksa i ndryshëm nga interpretimi klasik Teorema e Vietës- në të kërkojmë rrënjët e ekuacionit. Unë propozoj të kërkoj kushte për zbërthimi i kllapave- në këtë mënyrë nuk keni nevojë të mbani mend për minusin nga formula (që do të thotë `x_1+x_2 = -\frac(b)(a)`). Mjafton të zgjidhni dy numra të tillë, shuma e të cilëve është e barabartë me koeficientin mesatar, dhe prodhimi është i barabartë me termin e lirë.

Nëse na duhet një zgjidhje për ekuacionin, atëherë është e qartë: rrënjët `x=-k` ose `x=-l` (pasi në këto raste njëra nga kllapat do të jetë zero, që do të thotë se e gjithë shprehja do të jetë zero ).

Unë do t'ju tregoj algoritmin si shembull: Si të zgjeroni një polinom kuadratik në kllapa.

Shembulli një. Algoritmi për faktorizimin e një trinomi kuadratik

Rruga që kemi është një trinom kuadrant `x^2+5x+4`.

Është zvogëluar (koeficienti `x^2` e barabartë me një). Ai ka rrënjë. (Për të qenë të sigurt, mund të vlerësoni diskriminuesin dhe të siguroheni që është më i madh se zero.)

Hapat e mëtejshëm (duhet t'i mësoni pasi të keni përfunduar të gjitha detyrat e trajnimit):

1. Plotësoni hyrjen e mëposhtme: $$x^2+5x+4=(x \ldots)(x \ldots).$$ Në vend të pikave, lini hapësirë ​​të lirë, ne do të shtojmë numra dhe shenja të përshtatshme atje.
2. Shiko te gjitha opsionet e mundshme, si mund ta zbërtheni numrin `4` në prodhimin e dy numrave. Marrim çifte "kandidatësh" për rrënjët e ekuacionit: `2, 2` dhe `1, 4`.
3. Kuptoni se nga cili çift mund të merrni koeficientin mesatar. Natyrisht është `1, 4`.
4. Shkruani $$x^2+5x+4=(x \katër 4)(x \katër 1)$$.
5. Hapi tjetër është vendosja e shenjave përpara numrave të futur.

   Si të kuptoni dhe mbani mend përgjithmonë se cilat shenja duhet të shfaqen para numrave në kllapa? Provoni t'i hapni ato (kllapa). Koeficienti para `x` në fuqinë e parë do të jetë `(± 4 ± 1)` (ne nuk i dimë ende shenjat - duhet të zgjedhim), dhe duhet të jetë i barabartë me `5`. Natyrisht, do të ketë dy pluse $$x^2+5x+4=(x + 4)(x + 1)$$.

   Kryeni këtë operacion disa herë (përshëndetje, detyra stërvitore!) dhe më shumë probleme kjo nuk do të ndodhë kurrë.

Nëse ju duhet të zgjidhni ekuacionin `x^2+5x+4`, atëherë zgjidhja e tij tani nuk do të jetë e vështirë. Rrënjët e saj janë `-4, -1`.

Shembulli dy. Faktorizimi i një trinomi kuadratik me koeficientë të shenjave të ndryshme

Le të na duhet të zgjidhim ekuacionin `x^2-x-2=0`. Jo, diskriminuesi është pozitiv.

Ne ndjekim algoritmin.

1. $$x^2-x-2=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Ekziston vetëm një faktorizim i dy në faktorë të plotë: `2 · 1`.
3. Ne e kapërcejmë pikën - nuk ka asgjë për të zgjedhur.
4. $$x^2-x-2=(x \katër 2) (x \katër 1).$$
5. Prodhimi i numrave tanë është negativ (`-2` - anëtar i lirë), që do të thotë se njëri prej tyre do të jetë negativ, dhe tjetri do të jetë pozitiv.
   Meqenëse shuma e tyre është e barabartë me `-1` (koeficienti i `x`), atëherë `2` do të jetë negativ (shpjegimi intuitiv është se dy është më i madhi nga dy numrat, ai do të "tërheqë" më fort në anën negative). Marrim $$x^2-x-2=(x - 2) (x + 1).$$

Shembulli i tretë. Faktorizimi i një trinomi kuadratik

Ekuacioni është `x^2+5x -84 = 0`.

1. $$x+ 5x-84=(x \ldots) (x \ldots).$$
2. Zbërthimi i 84 në faktorë të plotë: `4 21, 6 14, 12 7, 2 42`.
3. Meqenëse duhet që diferenca (ose shuma) e numrave të jetë 5, çifti `7, 12` është i përshtatshëm.
4. $$x+ 5x-84=(x\katër 12) (x\katër 7).$$
5. $$x+ 5x-84=(x + 12) (x - 7).$$

Shpresa, zgjerimi i këtij trinomi kuadratik në kllapaËshtë e qartë.

Nëse keni nevojë për një zgjidhje për një ekuacion, këtu është: `12, -7`.

Detyrat e trajnimit

Unë sjell në vëmendjen tuaj disa shembuj që janë të lehtë zgjidhen duke përdorur teoremën e Vietës.(Shembuj të marrë nga revista "Matematika", 2002.)

1. `x^2+x-2=0`
2. `x^2-x-2=0`
3. `x^2+x-6=0`
4. `x^2-x-6=0`
5. `x^2+x-12=0`
6. `x^2-x-12=0`
7. `x^2+x-20=0`
8. `x^2-x-20=0`
9. `x^2+x-42=0`
10. `x^2-x-42=0`
11. `x^2+x-56=0`
12. `x^2-x-56=0`
13. `x^2+x-72=0`
14. `x^2-x-72=0`
15. `x^2+x-110=0`
16. `x^2-x-110=0`
17. `x^2+x-420=0`
18. `x^2-x-420=0`

Disa vjet pas shkrimit të artikullit, u shfaq një koleksion prej 150 detyrash për dekompozim polinom kuadratik nga teorema e Vietës.

Pëlqejeni dhe bëni pyetje në komente!

Një trinom katror është një polinom i formës ax^2+bx+c, ku x është një ndryshore, a, b dhe c janë disa numra dhe a nuk është e barabartë me zero.
Në fakt, gjëja e parë që duhet të dimë për të faktorizuar trinomin e pafat është teorema. Ajo duket në mënyrën e mëposhtme: "Nëse x1 dhe x2 janë rrënjët e trinomit katror ax^2+bx+c, atëherë ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)." Sigurisht, ka një provë të kësaj teoreme, por ajo kërkon disa njohuri teorike(kur nxjerrim faktorin a në polinomin ax^2+bx+c fitojmë ax^2+bx+c=a(x^2+(b/a)x + c/a). Nga teorema e Viette x1 +x2= -(b/a), x1*x2=c/a, prandaj b/a=-(x1+x2), c/a=x1*x2 do të thotë x^2+ (b/a)x+c /. , ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) Ndonjëherë mësuesit ju detyrojnë të mësoni vërtetimin, por nëse nuk kërkohet, ju këshilloj thjesht të mësoni përmendësh.

Hapi 2

Le të marrim si shembull trinomin 3x^2-24x+21. Gjëja e parë që duhet të bëjmë është të barazojmë trinomin me zero: 3x^2-24x+21=0. Rrënjët e ekuacionit kuadratik që rezulton do të jenë përkatësisht rrënjët e trinomit.

Hapi 3

Le të zgjidhim ekuacionin 3x^2-24x+21=0. a=3, b=-24, c=21. Pra, le të vendosim. Kush nuk di të vendosë ekuacionet kuadratike, shikoni udhëzimet e mia me 2 mënyra për t'i zgjidhur ato duke përdorur të njëjtin ekuacion si shembull. Rrënjët që rezultojnë janë x1=7, x2=1.

Hapi 4

Tani që kemi rrënjët e trinomit, ne mund t'i zëvendësojmë me siguri në formulën =) ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
marrim: 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-1)
Mund ta heqësh termin a duke e vendosur në kllapa: 3x^2-24x+21=(x-7)(x*3-1*3)
si rezultat marrim: 3x^2-24x+21=(x-7)(3x-3). Shënim: secili nga faktorët që rezultojnë ((x-7), (3x-3) janë polinome të shkallës së parë. Kjo është e gjitha zgjerimi =) Nëse dyshoni në përgjigjen e marrë, gjithmonë mund ta kontrolloni duke shumëzuar kllapat.

Hapi 5

Kontrollimi i zgjidhjes. 3x^2-24x+21=3(x-7)(x-3)
(x-7)(3x-3)=3x^2-3x-21x+21=3x^2-24x+21. Tani e dimë me siguri se vendimi ynë është i saktë! Shpresoj se udhëzimet e mia do të ndihmojnë dikë =) Fat i mirë me studimet tuaja!

• Në rastin tonë, në ekuacionin D > 0 dhe kemi marrë 2 rrënjë. Nëse do të kishte një D<0, то уравнение, как и многочлен, соответственно, корней бы не имело.
• Nëse një trinom katror nuk ka rrënjë, atëherë ai nuk mund të faktorizohet, që janë polinome të shkallës së parë.

Zhvillimi i një mësimi të hapur

algjebër në klasën e 8-të

me temë: “Trinomi katror. Faktorizimi i një trinomi kuadratik."

Mësues matematike, Shkolla e Mesme Nr. 16 e USK-së, Karaganda

Bekenova G.M.

Karaganda 2015

"Matematika nuk mund të mësohet me vëzhgim."

Larry Niven - profesor i matematikës

Tema e mësimit:

Trinomi katror.

Faktorizimi i një trinomi kuadratik.

Objektivat e mësimit:

1. Të arrihet praktikimi i suksesshëm dhe zbatimi i njohurive nga të gjithë nxënësit e klasës gjatë faktorizimit të një trinomi kuadratik.

2. Promovoni: a) zhvillimin e vetëkontrollit dhe të vetë-mësimit,

b) aftësia për të përdorur një tabelë të bardhë interaktive,

c) zhvillimi i shkrim-leximit dhe i saktësisë matematikore.

3. Zhvilloni aftësinë për të shprehur me kompetencë dhe përmbledhje mendimet e dikujt, të jeni tolerant ndaj këndvështrimit të shokëve të klasës dhe të merrni kënaqësi nga rezultatet e arritura.

Lloji i mësimit: një orë e kombinuar me një qasje të diferencuar dhe individuale, me elementë të të nxënit zhvillimor dhe të avancuar.

Vendndodhja e mësimit: mësimi i tretë për këtë temë (kryesore), në dy të parat, studentët mësuan përkufizimin e një trinomi kuadratik, mësuan të gjenin rrënjët e tij, u njohën me algoritmin e faktorizimit të një trinomi kuadratik dhe kjo më vonë do të ndihmojë në zgjidhjen e ekuacioneve, reduktimi i thyesave dhe transformimi i shprehjeve algjebrike.

Struktura e mësimit:

1 Përditësimi i njohurive me një qasje të diferencuar ndaj studentëve.

2 Kontrolli është vetë-testimi i njohurive të fituara më parë.

3 Prezantimi i materialit të ri është pjesërisht një metodë kërkimi.

4 Konsolidimi parësor i asaj që është mësuar, një qasje e diferencuar individualisht.

5 Të kuptuarit, përgjithësimi i njohurive.

6 Vendosja e detyrave të shtëpisë duke përdorur mësimin e bazuar në problem.

Pajisjet: tabela interaktive, tabela e zakonshme, karta detyrash, tekst shkollor Algjebra 8, letër kopjimi dhe copa letre bosh, simbole fizionomie.

Gjatë orëve të mësimit

Koha e organizimit(1 minutë).

1. Përshëndetja e studentëve; duke kontrolluar gatishmërinë e tyre për mësimin.

2. Komunikoni qëllimin e orës së mësimit.

Faza I.

“Përsëritja është nëna e të mësuarit.”

1. Kontrollimi i detyrave të shtëpisë. Nr.476 (b,d), nr.474, nr.475

2. Punë individuale në karta (4 persona) (gjatë kontrollit të detyrave të shtëpisë) (5 minuta)

Faza II.

"Beso, por kontrollo"

Provoni punën me vetëkontroll.

Puna testuese (nëpërmjet letrës karboni) me vetëprovim.

opsioni 1 m II opsion

1) 2)

2. Faktoroni trinomin kuadratik:

Përgjigjet

për të testuar punën

"Beso, por kontrollo."

1. Gjeni rrënjët e trinomit kuadratik:

І opsioni ІІ variacion nT

2. Faktoroni trinomin kuadratik:

1) (X-3) (X+5); 1) (X+9) (X-7)

2) 9X (X-14); 2) 8X (X-16);

3) 4 (X-6) (X+6). 3) 7 (X-3) (X+3).

Vlen të përmenden disa përgjigje të habitshme.

Pyetje për studentët:

Ku mendoni se mund të aplikojmë faktorizimin e një trinomi kuadratik?

E saktë: gjatë zgjidhjes së ekuacioneve,

kur zvogëlohen thyesat,

në transformimin e shprehjeve algjebrike.

Faza III

” Aftësia dhe puna do të shkatërrojnë gjithçka”(10 minuta)

1. Merrni parasysh përdorimin e faktorizimit të një trinomi kuadratik kur zvogëloni thyesat. Nxënësit punojnë në dërrasën e zezë.

Zvogëloni fraksionin:

2. Tani le të shqyrtojmë përdorimin e faktorizimit të një trinomi kuadratik në shndërrimet e shprehjeve algjebrike.

Libër mësuesi. Algjebra 8. fq 126 nr 570 (b)

Tani tregoni se si përdorni faktorizimin e një trinomi kuadratik.

Faza IV

"Goditni ndërsa hekuri është i nxehtë!"

Punë e pavarur (13 minuta)

Opsioni I opsioni 1

Zvogëloni fraksionin:

5. Kuptova se…….

6. Tani mundem…….

7. Ndjeva se…..

8. Bleva….

9. Mësova…….

10. E bëra………

11. Unë kam qenë në gjendje të….

12. Do të përpiqem......

13. U habita…..

14. Ai më dha një mësim për jetën….

15. Doja….

Informacion për detyrat e shtëpisë: Sillni në mësimin tuaj të ardhshëm detyrat e pavarura të shtëpisë që keni marrë një javë më parë.

Punë e pavarur në shtëpi.

Opsioni I opsioni 1

№ 560 (a,c) Nr. 560 (b,d)

№ 564 (a,c) Nr. 564(b,d)

№ 566 (a) Nr. 566 (b)

№ 569 (a) Nr. 569 (b)

№ 571 (a,c) Nr. 571 (b,d)

Mësimi ka mbaruar.