Programi për zgjidhjen lineare, kuadratike dhe pabarazitë thyesore jo vetëm që i jep përgjigje problemit, por çon zgjidhje e detajuar me shpjegime, d.m.th. shfaq procesin e zgjidhjes për të testuar njohuritë në matematikë dhe/ose algjebër.

Për më tepër, nëse në procesin e zgjidhjes së një prej pabarazive është e nevojshme të zgjidhet, për shembull, ekuacioni kuadratik, pastaj shfaqet edhe zgjidhja e tij e detajuar (përmban një spoiler).

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme në përgatitjen për të testet, prindërve për të monitoruar zgjidhjet e fëmijëve të tyre ndaj pabarazive.

Ky program mund të jetë i dobishëm për nxënësit e shkollave të mesme Shkolla të mesme në përgatitjen e testeve dhe provimeve, gjatë testimit të njohurive përpara Provimit të Unifikuar të Shtetit, që prindërit të kontrollojnë zgjidhjen e shumë problemeve në matematikë dhe algjebër. Apo ndoshta është shumë e shtrenjtë për ju të punësoni një mësues ose të blini tekste të reja shkollore? Apo thjesht dëshironi ta kryeni sa më shpejt që të jetë e mundur? detyre shtepie në matematikë apo algjebër? Në këtë rast, ju gjithashtu mund të përdorni programet tona me zgjidhje të detajuara.

Në këtë mënyrë ju mund të kryeni trajnimin tuaj dhe/ose trajnimin tuaj. vëllezërit më të vegjël ose motrat, ndërkohë që rritet niveli i arsimimit në fushën e problemeve që zgjidhen.

Rregullat për futjen e pabarazive

Çdo shkronjë latine mund të veprojë si një ndryshore.
Për shembull: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etj.

Numrat mund të futen si numra të plotë ose të pjesshëm.
Për më tepër, numrat thyesorë mund të futet jo vetëm si një dhjetore, por edhe si një fraksion i zakonshëm.

Rregullat për futjen e thyesave dhjetore.
Në dhjetore fraksion mund të ndahet nga e tëra ose me pikë ose me presje.
Për shembull, mund të hyni dhjetore si kjo: 2.5x - 3.5x^2

Rregullat për futjen e thyesave të zakonshme.
Vetëm një numër i plotë mund të veprojë si numërues, emërues dhe pjesë e plotë e një thyese.

Emëruesi nuk mund të jetë negativ.

Gjatë hyrjes thyesë numerike Numëruesi ndahet nga emëruesi me një shenjë pjesëtimi: /
E gjithë pjesa e ndarë nga thyesa me një ampersand: &
Hyrja: 3&1/3 - 5&6/5v +1/7y^2
Rezultati: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Ju mund të përdorni kllapa kur futni shprehje. Në këtë rast, kur zgjidhen pabarazitë, fillimisht thjeshtohen shprehjet.
Për shembull: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0.6(a-2)(a+3)

Zgjidhni shenja e duhur pabarazitë dhe futni polinomet në kutitë e mëposhtme.

Pabarazia e parë e sistemit.

Klikoni butonin për të ndryshuar llojin e pabarazisë së parë.

> >= < <=

Të zgjidhë sistemin e pabarazive

U zbulua se disa skripta të nevojshëm për të zgjidhur këtë problem nuk u ngarkuan dhe programi mund të mos funksionojë.
Mund ta keni të aktivizuar AdBlock.
Në këtë rast, çaktivizoni atë dhe rifreskoni faqen.

JavaScript është çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Që zgjidhja të shfaqet, duhet të aktivizoni JavaScript.
Këtu janë udhëzimet se si të aktivizoni JavaScript në shfletuesin tuaj.

Sepse Ka shumë njerëz të gatshëm për të zgjidhur problemin, kërkesa juaj është në radhë.
Në pak sekonda zgjidhja do të shfaqet më poshtë.
Te lutem prit sekondë...

nëse ti vuri re një gabim në zgjidhje, atëherë mund të shkruani për këtë në Formularin e Feedback-ut.
Mos harro tregoni se cila detyrë ju vendosni se çfarë futni në fusha.

Lojërat tona, enigmat, emulatorët:

Pak teori.

Sistemet e pabarazive me një të panjohur. Intervalet numerike

Jeni njohur me konceptin e një sistemi në klasën e 7-të dhe mësuat të zgjidhni sisteme ekuacionesh lineare me dy të panjohura. Më pas do të shqyrtojmë sistemet e pabarazive lineare me një të panjohur. Grupet e zgjidhjeve të sistemeve të pabarazive mund të shkruhen duke përdorur intervale (intervale, gjysmë-intervale, segmente, rreze). Do të njiheni gjithashtu me shënimin e intervaleve të numrave.

Nëse në pabarazitë \(4x > 2000\) dhe \(5x \leq 4000\) numër i panjohur x janë të njëjta, atëherë këto pabarazi konsiderohen së bashku dhe thuhet se formojnë një sistem pabarazish: $$ \left\(\begin(array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array) \djathtas .$$

Kllapa kaçurrelë tregon se ju duhet të gjeni vlerat e x për të cilat të dyja pabarazitë e sistemit kthehen në pabarazi numerike të sakta. Ky sistem- një shembull i një sistemi pabarazish lineare me një të panjohur.

Zgjidhja e një sistemi pabarazish me një të panjohur është vlera e të panjohurës në të cilën të gjitha pabarazitë e sistemit kthehen në pabarazi numerike të vërteta. Zgjidhja e një sistemi pabarazish do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet për këtë sistem ose të vërtetosh se nuk ka asnjë.

Pabarazitë \(x \geq -2 \) dhe \(x \leq 3 \) mund të shkruhen në formën pabarazi e dyfishtë: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Zgjidhjet e sistemeve të pabarazive me një të panjohur janë të ndryshme grupe numrash. Këto grupe kanë emra. Po, në boshti numerik bashkësia e numrave x të tillë që \(-2 \leq x \leq 3 \) përfaqësohet nga një segment me skajet në pikat -2 dhe 3.

-2

3

Nëse \(a është një segment dhe shënohet me [a; b]

Nëse \(a është një interval dhe shënohet me (a; b)

Bashkësitë e numrave \(x\) që plotësojnë pabarazitë \(a \leq x janë gjysmë-intervale dhe shënohen përkatësisht [a; b) dhe (a; b)

Segmentet, intervalet, gjysmëintervalet dhe rrezet quhen intervale numerike.

Kështu, intervale numerike mund të specifikohet në formën e pabarazive.

Zgjidhja e një pabarazie me dy të panjohura është një çift numrash (x; y) që e kthen pabarazinë e dhënë në të vërtetë pabarazia numerike. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh grupin e të gjitha zgjidhjeve të saj. Kështu, zgjidhjet e pabarazisë x > y do të jenë, për shembull, çifte numrash (5; 3), (-1; -1), pasi \(5 \geq 3 \) dhe \(-1 \geq - 1\)

Zgjidhja e sistemeve të pabarazive

Vendosni pabarazitë lineare me një të panjohur që e keni mësuar tashmë. A e dini se çfarë është sistemi i pabarazive dhe zgjidhja e sistemit? Prandaj, procesi i zgjidhjes së sistemeve të pabarazive me një të panjohur nuk do t'ju shkaktojë ndonjë vështirësi.

E megjithatë, le t'ju kujtojmë: për të zgjidhur një sistem pabarazish, duhet të zgjidhni secilën pabarazi veç e veç dhe më pas të gjeni kryqëzimin e këtyre zgjidhjeve.

Për shembull, sistemi origjinal i pabarazive u reduktua në formën:
$$ \left\(\fillimi(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\djathtas. $$

Për të zgjidhur këtë sistem pabarazish, shënoni zgjidhjen e secilës pabarazi në vijën numerike dhe gjeni kryqëzimin e tyre:

-2

3

Kryqëzimi është segmenti [-2; 3] - kjo është zgjidhja e sistemit origjinal të pabarazive.

Mësim dhe prezantim me temën: "Sistemet e pabarazive. Shembuj zgjidhjesh"

Materiale shtesë
Të dashur përdorues, mos harroni të lini komentet, komentet, dëshirat tuaja! Të gjitha materialet janë kontrolluar nga një program antivirus.

Mjete mësimore dhe simulatorë në dyqanin online Integral për klasën 9
Libër mësimi interaktiv për klasën 9 "Rregullat dhe ushtrimet në gjeometri"
Teksti elektronik “Gjeometria e kuptueshme” për klasat 7-9

Sistemi i pabarazive

Djema, a keni studiuar lineare dhe pabarazitë kuadratike, mësuan të zgjidhin probleme për këto tema. Tani le të kalojmë në një koncept të ri në matematikë - një sistem pabarazish. Një sistem pabarazish është i ngjashëm me një sistem ekuacionesh. A ju kujtohet sistemet e ekuacioneve? Ju keni studiuar sistemet e ekuacioneve në klasën e shtatë, përpiquni të mbani mend se si i keni zgjidhur ato.

Le të prezantojmë përkufizimin e një sistemi pabarazish.
Disa pabarazi me disa ndryshore x formojnë një sistem pabarazish nëse duhet të gjeni të gjitha vlerat e x për të cilat secila prej pabarazive formon një të vërtetë shprehje numerike.

Çdo vlerë e x për të cilën çdo pabarazi merr shprehjen e saktë numerike është një zgjidhje e pabarazisë. Mund të quhet edhe një zgjidhje private.
Çfarë është një zgjidhje private? Për shembull, në përgjigje kemi marrë shprehjen x>7. Atëherë x=8, ose x=123, ose ndonjë numër tjetër më i madh se shtatë është një zgjidhje e veçantë, dhe shprehja x>7 është vendim të përbashkët. Zgjidhja e përgjithshme formohet nga shumë zgjidhje private.

Si e kombinuam sistemin e ekuacioneve? Kjo është e drejtë, një mbajtës kaçurrelë, dhe kështu ata bëjnë të njëjtën gjë me pabarazitë. Le të shohim një shembull të një sistemi pabarazish: $\begin(rastet)x+7>5\\x-3
Nëse sistemi i pabarazive përbëhet nga shprehje identike, për shembull, $\begin(rastet)x+7>5\\x+7
Pra, çfarë do të thotë: të gjesh një zgjidhje për një sistem pabarazish?
Një zgjidhje për një pabarazi është një grup zgjidhjesh të pjesshme për një pabarazi që plotëson të dy pabarazitë e sistemit në të njëjtën kohë.

Formën e përgjithshme të sistemit të pabarazive e shkruajmë si $\begin(rastet)f(x)>0\\g(x)>0\end(rastet)$

Le të shënojmë $Х_1$ si zgjidhje të përgjithshme të pabarazisë f(x)>0.
$X_2$ është zgjidhja e përgjithshme e pabarazisë g(x)>0.
$X_1$ dhe $X_2$ janë një grup zgjidhjesh të veçanta.
Zgjidhja e sistemit të pabarazive do të jenë numrat që i përkasin edhe $X_1$ dhe $X_2$.
Le të kujtojmë operacionet në grupe. Si i gjejmë elementet e një grupi që u përkasin të dy grupeve njëherësh? Është e drejtë, ekziston një operacion kryqëzimi për këtë. Pra, zgjidhja e pabarazisë sonë do të jetë bashkësia $A= X_1∩ X_2$.

Shembuj zgjidhjesh për sistemet e pabarazive

Le të shohim shembuj të zgjidhjes së sistemeve të pabarazive.

Zgjidh sistemin e pabarazive.
a) $\begin(rastet)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(rastet)2x-4≤6\\-x-4
Zgjidhje.
a) Zgjidh çdo pabarazi veç e veç.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x> 1$.
5x-10 dollarë
Le të shënojmë intervalet tona në një vijë koordinative.

Zgjidhja e sistemit do të jetë segmenti i kryqëzimit të intervaleve tona. Pabarazia është e rreptë, atëherë segmenti do të jetë i hapur.
Përgjigje: (1; 3).

B) Ne gjithashtu do të zgjidhim çdo pabarazi veç e veç.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Zgjidhja e sistemit do të jetë segmenti i kryqëzimit të intervaleve tona. Pabarazia e dytë është e rreptë, atëherë segmenti do të jetë i hapur në të majtë.
Përgjigje: (-5; 5].

Le të përmbledhim atë që kemi mësuar.
Le të themi se është e nevojshme të zgjidhet sistemi i pabarazive: $\begin(rastet)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(rastet)$.
Atëherë, intervali ($x_1; x_2$) është zgjidhja e pabarazisë së parë.
Intervali ($y_1; y_2$) është zgjidhja e pabarazisë së dytë.
Zgjidhja e një sistemi pabarazish është kryqëzimi i zgjidhjeve për çdo pabarazi.

Sistemet e pabarazive mund të përbëhen jo vetëm nga pabarazitë e rendit të parë, por edhe nga çdo lloj tjetër pabarazish.

Rregulla të rëndësishme për zgjidhjen e sistemeve të pabarazive.
Nëse një nga pabarazitë e sistemit nuk ka zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje.
Nëse njëra nga pabarazitë plotësohet për ndonjë vlerë të ndryshores, atëherë zgjidhja e sistemit do të jetë zgjidhja e pabarazisë tjetër.

Shembuj.
Zgjidheni sistemin e pabarazive:$\fille(rastet)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(rastet)$
Zgjidhje.
Le të zgjidhim çdo pabarazi veç e veç.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Le të zgjidhim pabarazinë e dytë.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Zgjidhja e pabarazisë është intervali.
Le të vizatojmë të dy intervalet në të njëjtën vijë dhe të gjejmë kryqëzimin.
Kryqëzimi i intervaleve është segmenti (4; 6].
Përgjigje: (4; 6).

Zgjidh sistemin e pabarazive.
a) $\begin(rastet)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(rastet)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(rastet ) $.

Zgjidhje.
a) Pabarazia e parë ka zgjidhje x>1.
Le të gjejmë diskriminuesin për pabarazinë e dytë.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Le të kujtojmë rregullin: kur një nga pabarazitë nuk ka zgjidhje, atëherë i gjithë sistemi nuk ka zgjidhje.
Përgjigje: Nuk ka zgjidhje.

B) Pabarazia e parë ka zgjidhje x>1.
Pabarazia e dytë Mbi zero për të gjitha x. Atëherë zgjidhja e sistemit përkon me zgjidhjen e pabarazisë së parë.
Përgjigje: x>1.

Probleme mbi sistemet e pabarazive për zgjidhje të pavarur

Zgjidh sistemet e pabarazive:
a) $\begin(rastet)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(rastet)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(rastet)x^2-25 d) $\begin(rastet)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(rastet)$
e) $\fille(rastet)x^2+36

Në këtë artikull unë i përgjigjem një pyetjeje tjetër nga pajtimtarët e mi. Pyetjet vijnë në mënyra të ndryshme. Jo të gjitha janë formuluar saktë. Dhe disa prej tyre janë formuluar në atë mënyrë që nuk është menjëherë e qartë se çfarë dëshiron të pyes autori. Prandaj në mesin e shumëllojshmëri të madhe Kur dërgoj pyetje, duhet të zgjedh vërtet interesante, të tilla "perla", përgjigjja e të cilave është jo vetëm emocionuese, por edhe e dobishme, siç më duket mua, për lexuesit e tjerë të mi. Dhe sot i përgjigjem njërës prej këtyre pyetjeve. Si të përshkruani grupin e zgjidhjeve të një sistemi pabarazish?


Është me të vërtetë pyetje e mirë. Sepse metoda zgjidhje grafike problemet në matematikë janë shumë metodë e fuqishme. Njeriu është krijuar në atë mënyrë që të jetë më i përshtatshëm për të që të perceptojë informacione përmes të ndryshmeve materiale vizuale. Prandaj, nëse e zotëroni këtë metodë, atëherë më besoni, do të jetë e domosdoshme për ju si kur zgjidhni detyra nga Provimi i Unifikuar i Shtetit, veçanërisht nga pjesa e dytë, provimet e tjera, dhe kur zgjidhni problemet e optimizimit, etj., etj. .

Pra ja ku është. Si mund t'i përgjigjemi kësaj pyetjeje? Le të fillojmë thjesht. Sistemi i pabarazive le të përmbajë vetëm një ndryshore.

Shembulli 1. Vizatoni bashkësinë e zgjidhjeve të sistemit të pabarazive: Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Le ta thjeshtojmë këtë sistem. Për ta bërë këtë, shtoni 7 në të dy anët e pabarazisë së parë dhe pjesëtoni të dyja anët me 2, pa ndryshuar shenjën e pabarazisë, pasi 2 është numër pozitiv. Ne shtojmë 4 në të dy anët e pabarazisë së dytë Si rezultat, marrim sistemin e mëposhtëm pabarazitë:

Title="(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Zakonisht një problem i tillë quhet njëdimensional. Pse? Po, sepse për të përshkruar shumë prej zgjidhjeve të tij, ajo është mjaft e drejtpërdrejtë. Një vijë numerike, për të qenë të saktë. Le të shënojmë pikat 6 dhe 8 në këtë rresht numerik. Është e qartë se pika 8 do të jetë më në të djathtë se pika 6, sepse në vijën numerike, numrat më të mëdhenj janë në të djathtë të atyre më të vegjël. Për më tepër, pika 8 do të jetë e hijezuar, pasi, sipas shënimit të pabarazisë së parë, përfshihet në zgjidhjen e saj. Përkundrazi, pika 6 do të jetë pa hije, pasi nuk përfshihet në zgjidhjen e pabarazisë së dytë:

Le të shënojmë tani me një shigjetë mbi vlerat që janë më të vogla ose të barabarta me 8, siç kërkohet nga pabarazia e parë e sistemit, dhe me një shigjetë më poshtë - vlerat që janë më të mëdha se 6, siç kërkohet nga pabarazia e dytë e sistemit:

Mbetet për t'iu përgjigjur pyetjes se ku në vijën numerike ndodhen zgjidhjet e sistemit të pabarazive. Kujtoni një herë e përgjithmonë. Simboli i sistemit - mbajtësja kaçurrelë - në matematikë zëvendëson lidhëzën "Unë". Kjo është, përkthimi i gjuhës së formulave në gjuha njerëzore, mund të themi se na kërkohet të tregojmë vlera që janë më të mëdha se 6 DHE më të vogla se ose të barabarta me 8. Kjo do të thotë, intervali i kërkuar qëndron në kryqëzimin e intervaleve të shënuara:

Pra, ne kemi përshkruar grupin e zgjidhjeve të sistemit të pabarazive në vijën numerike në rastin kur sistemi i pabarazive përmban vetëm një ndryshore. Ky interval i hijezuar përfshin të gjitha vlerat për të cilat plotësohen të gjitha pabarazitë e shkruara në sistem.

Tani le të shqyrtojmë më shumë rast i vështirë. Le të përmbajë sistemi ynë pabarazi me dy ndryshore dhe . Në këtë rast, nuk do të jetë e mundur të përdoret vetëm një vijë e drejtë për të përshkruar zgjidhjet e një sistemi të tillë. Ne shkojmë përtej botës njëdimensionale dhe i shtojmë asaj një dimension tjetër. Këtu na duhet një aeroplan i tërë. Le të shohim situatën duke përdorur një shembull specifik.

Pra, si mund të përshkruhet grupi i zgjidhjeve për një sistem të caktuar pabarazish me dy ndryshore në sistem drejtkëndor koordinatat në aeroplan? Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë. Le të pyesim veten se cili rajon i këtij rrafshi përcaktohet nga pabarazia. Ekuacioni specifikon një vijë të drejtë që shkon pingul me boshtin OK përmes pikës (0;0). Kjo është, në fakt, kjo vijë e drejtë përkon me boshtin OY. Epo, meqenëse ne jemi të interesuar për vlera që janë më të mëdha ose të barabarta me 0, atëherë i gjithë gjysma e rrafshit që shtrihet në të djathtë të vijës së drejtë është i përshtatshëm:

Për më tepër, të gjitha pikat që shtrihen në bosht OY, janë të përshtatshme edhe për ne, sepse pabarazia nuk është strikte.

Për të kuptuar se në cilën zonë rrafshi koordinativ vendos pabarazinë e tretë, duhet të ndërtoni një grafik të funksionit. Kjo është një vijë e drejtë që kalon përmes origjinës dhe, për shembull, pikës (1; 1). Kjo është, në fakt, është një vijë e drejtë që përmban përgjysmuesin e këndit që formon tremujorin e parë të koordinatave.

Tani le të shohim pabarazinë e tretë në sistem dhe të mendojmë. Çfarë zone duhet të gjejmë? Le të shohim:. Shenjë më e madhe ose e barabartë. Kjo do të thotë, situata është e ngjashme me atë në shembullin e mëparshëm. Vetëm këtu "më shumë" nuk do të thotë "më shumë në të djathtë", por "më lart". Sepse OY- kjo është e jona boshti vertikal. Kjo do të thotë, zona e përcaktuar në aeroplan nga pabarazia e tretë është grupi i pikave të vendosura mbi vijën ose mbi të:

Me pabarazinë e parë sistemi është pak më pak i përshtatshëm. Por pasi arritëm të përcaktonim zonën e përcaktuar nga pabarazia e tretë, mendoj se tashmë është e qartë se si duhet vepruar.

Është e nevojshme të paraqitet kjo pabarazi në atë mënyrë që të jetë vetëm ndryshorja në të majtë dhe vetëm ndryshorja në të djathtë. Për ta bërë këtë, zbritni nga të dyja anët e pabarazisë dhe pjesëtoni të dyja anët me 2, pa ndryshuar shenjën e pabarazisë, sepse 2 është një numër pozitiv. Si rezultat, marrim pabarazinë e mëposhtme:

Mbetet vetëm të vizatoni një vijë të drejtë në planin koordinativ që kryqëzon boshtin OY në pikën A(0;4) dhe një drejtëz në pikën . Këtë të fundit e mësova duke barazuar anët e djathta të ekuacioneve të drejtëzave dhe duke marrë ekuacionin. Nga ky ekuacion gjendet koordinata e pikës së kryqëzimit dhe koordinata, mendoj se e keni marrë me mend, është e barabartë me koordinatën. Për ata që ende nuk e kanë marrë me mend, kjo është për shkak se ne kemi ekuacionin e njërës prej drejtëzave të kryqëzuara: .

Sapo të kemi vizatuar këtë vijë të drejtë, mund të shënojmë menjëherë zonën e dëshiruar. Shenja e pabarazisë këtu është "më pak se ose e barabartë me". Kjo do të thotë që zona e dëshiruar ndodhet poshtë ose drejtpërdrejt në vijën e drejtë të përshkruar:

Epo, pyetja e fundit. Ku është rajoni i dëshiruar që plotëson të tre pabarazitë e sistemit? Natyrisht, ai ndodhet në kryqëzimin e të tre zonave të shënuara. Kalimi përsëri! Mbani mend: shenja e sistemit në matematikë do të thotë kryqëzim. Këtu është kjo zonë:

Epo shembulli i fundit. Edhe më e përgjithshme. Le të supozojmë tani se nuk kemi një ndryshore në sistem, as dy, por sa tre!

Meqenëse ka tre variabla, për të përshkruar grupin e zgjidhjeve për një sistem të tillë pabarazish do të na duhet një dimension i tretë përveç dyve me të cilët punuam në shembullin e mëparshëm. Kjo do të thotë, ne ngjitemi nga avioni në hapësirë ​​dhe përshkruajmë sistemi hapësinor koordinatat me tre dimensione: X, Y Dhe Z. Që korrespondon me gjatësinë, gjerësinë dhe lartësinë.

Le të fillojmë duke paraqitur në këtë sistem koordinativ sipërfaqen e specifikuar nga ekuacioni. Në formë, është shumë i ngjashëm me ekuacionin e një rrethi në një rrafsh, vetëm një term i shtohet ndryshores . Është e lehtë të merret me mend se ky është ekuacioni i një sfere me qendër në pikën (1; 3; 2), katrori i rrezes së së cilës është 4. Kjo do të thotë, rrezja në vetvete është 2.

Pastaj një pyetje. Çfarë vendos atëherë vetë pabarazia? Për ata që janë të hutuar nga kjo pyetje, ju sugjeroj ta konsideroni në mënyrën e mëposhtme. Duke e përkthyer gjuhën e formulave në gjuhën njerëzore, mund të themi se kërkohet të tregohen të gjitha sferat me qendër në pikën (1;3;2), rrezet e të cilave janë më të vogla ose të barabarta me 2. Por atëherë të gjitha këto sfera do të vendosen brenda sferës së paraqitur! Kjo është, në fakt, kjo pabarazi vendos të tërën zona e brendshme sfera e përshkruar. Nëse dëshironi, përcaktohet një top, i kufizuar nga sfera e përshkruar:

Sipërfaqja e përcaktuar me ekuacionin x+y+z=4 është një rrafsh që pret boshtet koordinative në pikat (0;0;4), (0;4;0) dhe (4;0;0). Epo, është e qartë se sa më i madh të jetë numri në të djathtë të shenjës së barabartë, aq më larg qendrës së koordinatave do të vendosen pikat e kryqëzimit të këtij plani me boshtet koordinative. Kjo do të thotë, pabarazia e dytë specifikon një gjysmëhapësirë ​​të vendosur "mbi" një plan të caktuar. Duke përdorur termin konvencional "më të lartë", dua të them më tej në drejtim të rritjes së vlerave të koordinatave përgjatë boshteve.

Ky plan kryqëzon sferën e paraqitur. Në këtë rast, seksioni i kryqëzimit është një rreth. Madje mund të llogarisni se në cilën distancë nga qendra e sistemit të koordinatave ndodhet qendra e këtij rrethi. Nga rruga, kushdo që merr me mend se si ta bëjë këtë, shkruaj zgjidhjet dhe përgjigjet tuaja në komente. Kështu, sistemi fillestar i pabarazive përcakton një rajon të hapësirës që ndodhet më tej nga ky plan në drejtim të rritjes së koordinatave, por i mbyllur në sferën e përshkruar:

Kështu përshkruhen shumë zgjidhje për një sistem pabarazish. Nëse ka më shumë se 3 ndryshore në sistem (për shembull, 4), nuk do të jetë më e mundur të përshkruhet qartë grupi i zgjidhjeve. Sepse kjo do të kërkonte një sistem koordinativ 4-dimensional. Por njeri normal në pamundësi për të imagjinuar se si mund të vendosen 4 akse koordinative reciproke pingule. Edhe pse unë kam një mik që pretendon se ai mund ta bëjë këtë, dhe me lehtësi. Nuk e di nëse po thotë të vërtetën, ndoshta po thotë të vërtetën. Por megjithatë, imagjinata normale njerëzore nuk e lejon këtë.

Shpresoj që mësimi i sotëm t'ju duket i dobishëm. Për të parë se sa mirë e keni kuptuar, bëni detyrat e shtëpisë më poshtë.

Vizatoni grupin e zgjidhjeve të sistemit të pabarazive:

ql-right-eqno"> title=" Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Materiali i përgatitur nga Sergey Valerievich

Ky artikull përmban informacion fillestar për sistemet e pabarazive. Këtu është një përkufizim i një sistemi të pabarazive dhe një përkufizim i një zgjidhjeje për një sistem pabarazish. Janë renditur edhe llojet kryesore të sistemeve me të cilat duhet punuar më shpesh në mësimet e algjebrës në shkollë dhe jepen shembuj.

Navigimi i faqes.

Çfarë është një sistem pabarazish?

Është e përshtatshme të përcaktohen sistemet e pabarazive në të njëjtën mënyrë siç kemi prezantuar përkufizimin e një sistemi ekuacionesh, domethënë nga lloji i shënimit dhe kuptimi i ngulitur në të.

Përkufizimi.

Sistemi i pabaraziveështë një rekord që përfaqëson një numër të caktuar pabarazish të shkruara njëra poshtë tjetrës, të bashkuar në të majtë nga një kllapa kaçurrelë dhe tregon grupin e të gjitha zgjidhjeve që janë njëkohësisht zgjidhje për çdo pabarazi të sistemit.

Le të japim një shembull të një sistemi pabarazish. Le të marrim dy arbitrare, për shembull, 2 x−3>0 dhe 5−x≥4 x−11, t'i shkruajmë njëra poshtë tjetrës
2 x−3>0,
5−x≥4 x−11
dhe kombinoni me një shenjë sistemi - një mbajtës kaçurrelë, si rezultat marrim një sistem pabarazish të formës së mëposhtme:

Një ide e ngjashme jepet për sistemet e pabarazive në tekstet shkollore. Vlen të theksohet se përkufizimet e tyre janë dhënë më ngushtë: për pabarazitë me një ndryshore ose me dy variabla.

Llojet kryesore të sistemeve të pabarazive

Është e qartë se dikush mund të kompozojë pafundësisht shumë sisteme të ndryshme pabarazitë Për të mos humbur në këtë larmi, këshillohet t'i konsideroni ato në grupe që kanë të tyren veçoritë. Të gjitha sistemet e pabarazive mund të ndahen në grupe sipas kritereve të mëposhtme:

• nga numri i pabarazive në sistem;
• nga numri i variablave të përfshirë në regjistrim;
• nga vetë lloji i pabarazive.

Në bazë të numrit të pabarazive të përfshira në procesverbal, dallohen sistemet me dy, tre, katër etj. pabarazitë Në paragrafin e mëparshëm dhamë një shembull të një sistemi, i cili është një sistem me dy pabarazi. Le të tregojmë një shembull tjetër të një sistemi me katër pabarazi .

Më vete, do të themi se nuk ka kuptim të flasim për një sistem të një pabarazie, në këtë rast, në thelb ne po flasim për për vetë pabarazinë, jo për sistemin.

Nëse shikoni numrin e variablave, atëherë ekzistojnë sisteme të pabarazive me një, dy, tre, etj. variabla (ose, siç thonë edhe ata, të panjohura). Shikoni sistemin e fundit të pabarazive të shkruar dy paragrafë më lart. Është një sistem me tre variabla x, y dhe z. Ju lutemi vini re se dy pabarazitë e saj të para nuk përmbajnë të tre variablat, por vetëm njërën prej tyre. Në kontekstin e këtij sistemi, ato duhen kuptuar si pabarazi me tre variablat e formës x+0·y+0·z≥−2 dhe 0·x+y+0·z≤5 përkatësisht. Vini re se shkolla fokusohet në pabarazitë me një ndryshore.

Mbetet për të diskutuar se cilat lloje të pabarazive përfshihen në sistemet e regjistrimit. Në shkollë, ata konsiderojnë kryesisht sistemet e dy pabarazive (më rrallë - tre, madje më rrallë - katër ose më shumë) me një ose dy ndryshore, dhe vetë pabarazitë zakonisht janë pabarazi të tëra shkalla e parë ose e dytë (më rrallë - më shumë shkallë të lartë ose pjesërisht racionale). Por mos u habitni nëse në materialet tuaja përgatitore për Provimin e Bashkuar të Shtetit hasni sisteme pabarazish që përmbajnë pabarazi iracionale, logaritmike, eksponenciale dhe të tjera. Si shembull, ne japim sistemin e pabarazive , është marrë nga .

Cila është zgjidhja e një sistemi pabarazish?

Le të prezantojmë një përkufizim tjetër në lidhje me sistemet e pabarazive - përkufizimi i një zgjidhjeje për një sistem pabarazish:

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi pabarazish me një ndryshore quhet një vlerë e tillë e një ndryshoreje që e kthen secilën nga pabarazitë e sistemit në të vërtetë, me fjalë të tjera, është një zgjidhje për çdo pabarazi të sistemit.

Le të shpjegojmë me një shembull. Le të marrim një sistem me dy pabarazi me një ndryshore. Le të marrim vlerën e ndryshores x të barabartë me 8, ajo është një zgjidhje për sistemin tonë të pabarazive sipas definicionit, pasi zëvendësimi i saj në inekuacionet e sistemit jep dy inekuacione numerike të sakta 8>7 dhe 2−3·8≤0. Përkundrazi, uniteti nuk është zgjidhje për sistemin, pasi kur zëvendësohet me ndryshoren x, mosbarazimi i parë do të kthehet në mosbarazimin numerik të pasaktë 1>7.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të prezantojmë përkufizimin e një zgjidhjeje për një sistem pabarazish me dy, tre dhe një numër i madh variablat:

Përkufizimi.

Zgjidhja e një sistemi pabarazish me dy, tre etj. variablat quhet një çift, tre etj. vlerat e këtyre variablave, që në të njëjtën kohë është një zgjidhje për çdo pabarazi të sistemit, pra e kthen çdo pabarazi të sistemit në një pabarazi numerike të saktë.

Për shembull, një çift vlerash x=1, y=2 ose në një shënim tjetër (1, 2) është një zgjidhje për një sistem pabarazish me dy ndryshore, pasi 1+2<7 и 1−2<0 - верные числовые неравенства. А пара (3,5, 3) не является решением этой системы, так как второе неравенство при этих значениях переменных дает неверное числовое неравенство 3,5−3<0 .

Sistemet e pabarazive mund të mos kenë zgjidhje, mund të kenë një numër të kufizuar zgjidhjesh ose mund të kenë një numër të pafund zgjidhjesh. Njerëzit shpesh flasin për grupin e zgjidhjeve të një sistemi pabarazish. Kur një sistem nuk ka zgjidhje, atëherë ka një grup të zbrazët të zgjidhjeve të tij. Kur ka një numër të kufizuar zgjidhjesh, atëherë bashkësia e zgjidhjeve përmban një numër të kufizuar elementësh, dhe kur ka pafundësisht shumë zgjidhje, atëherë bashkësia e zgjidhjeve përbëhet nga një numër i pafund elementësh.

Disa burime paraqesin përkufizime të një zgjidhjeje të veçantë dhe të përgjithshme për një sistem pabarazish, si për shembull, në tekstet shkollore të Mordkovich. Nën zgjidhje private e sistemit të pabarazive kuptoni një vendim të vetëm të saj. Nga ana e saj zgjidhje e përgjithshme e sistemit të pabarazive- këto janë të gjitha vendimet e saj private. Sidoqoftë, këto terma kanë kuptim vetëm kur është e nevojshme të theksohet në mënyrë specifike për çfarë lloj zgjidhjeje po flasim, por zakonisht kjo është tashmë e qartë nga konteksti, kështu që shumë më shpesh ata thjesht thonë "një zgjidhje për një sistem pabarazish".

Nga përkufizimet e një sistemi pabarazish dhe zgjidhjet e tij të paraqitura në këtë artikull, rezulton se një zgjidhje për një sistem pabarazish është kryqëzimi i grupeve të zgjidhjeve për të gjitha pabarazitë e këtij sistemi.

Bibliografi.

1. Algjebra: teksti shkollor për klasën e 8-të. arsimi i përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2008. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-019243-9.
2. Algjebra: Klasa e 9-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; e Redaktuar nga S. A. Telyakovsky. - botimi i 16-të. - M.: Arsimi, 2009. - 271 f. : i sëmurë. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Mordkovich A.G. Algjebër. klasa e 9-të. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i 13-të, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 f.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
4. Mordkovich A.G. Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 11. Në 2 orë Pjesa 1. Libër shkollor për studentët e institucioneve të arsimit të përgjithshëm (niveli i profilit) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Botimi i dytë, i fshirë. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 f.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.
5. Provimi i Unifikuar i Shtetit-2013. Matematika: opsionet standarde të provimit: 30 opsione / ed. A. L. Semenova, I. V. Yashchenko. – M.: Shtëpia Botuese “Arsimi Kombëtar”, 2012. – 192 f. – (USE-2013. FIPI - shkolla).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve