Teorema e shtimit të probabilitetit

Le të shqyrtojmë ngjarje të rastësishme të papajtueshme.

Dihet se ngjarjet e papajtueshme të rastësishme $A$ dhe $B$ në të njëjtën provë kanë probabilitete të ndodhjes përkatësisht $P\left(A\right)$ dhe $P\left(B\right)$. Le të gjejmë probabilitetin e shumës $A+B$ të këtyre ngjarjeve, pra probabilitetin e ndodhjes së të paktën njërës prej tyre.

Le të supozojmë se në një test të caktuar numri i të gjitha ngjarjeve elementare po aq të mundshme është $n$. Nga këto, ngjarjet $A$ dhe $B$ favorizohen nga ngjarjet elementare $m_(A) $ dhe $m_(B) $, respektivisht. Meqenëse ngjarjet $A$ dhe $B$ janë të papajtueshme, atëherë ngjarja $A+B$ favorizohet nga $m_(A) +m_(B)$ ngjarje elementare. Kemi $P\left(A+B\djathtas)=\frac(m_(A) +m_(B) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\frac(m_(B) ) (n) =P\majtas(A\djathtas)+P\majtas(B\djathtas)$.

Teorema 1

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të tyre.

Shënim 1

Përfundimi 1. Probabiliteti i shumës së çdo numri ngjarjesh të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Përfundimi 2. Shuma e probabiliteteve të një grupi të plotë ngjarjesh të papajtueshme (shuma e probabiliteteve të të gjitha ngjarjeve elementare) është e barabartë me një.

Përfundimi 3. Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është e barabartë me një, pasi ato formojnë një grup të plotë ngjarjesh të papajtueshme.

Shembulli 1

Probabiliteti që nuk do të bjerë kurrë shi në qytet për disa kohë është $p=0.7$. Gjeni probabilitetin $q$ që në të njëjtën kohë të bjerë shi në qytet të paktën një herë.

Ngjarjet “për ca kohë nuk ra shi në qytet” dhe “për ca kohë ra shi në qytet të paktën një herë” janë të kundërta. Prandaj $p+q=1$, prej nga $q=1-p=1-0.7=0.3$.

Le të shqyrtojmë ngjarje të përbashkëta të rastësishme.

Dihet se ngjarjet e përbashkëta të rastësishme $A$ dhe $B$ në të njëjtën provë kanë probabilitete të ndodhjes përkatësisht $P\left(A\right)$ dhe $P\left(B\right)$. Le të gjejmë probabilitetin e shumës $A+B$ të këtyre ngjarjeve, pra probabilitetin e ndodhjes së të paktën njërës prej tyre.

Le të supozojmë se në një test të caktuar numri i të gjitha ngjarjeve elementare po aq të mundshme është $n$. Nga këto, ngjarjet $A$ dhe $B$ favorizohen nga ngjarjet elementare $m_(A) $ dhe $m_(B) $, respektivisht. Meqenëse ngjarjet $A$ dhe $B$ janë të pajtueshme, atëherë nga numri i përgjithshëm i $m_(A) +m_(B) $ ngjarjeve elementare, një numër i caktuar $m_(AB) $ favorizojnë të dyja ngjarjet $A $ dhe ngjarja $B$, pra ndodhja e tyre e përbashkët (prodhimi i ngjarjeve $A\cdot B$). Kjo sasi $m_(AB) $ është futur njëkohësisht si $m_(A) $ dhe $m_(B) $ Pra, ngjarja $A+B$ favorizohet nga $m_(A) +m_(B) -m_(AB) $ ngjarje elementare. Kemi: $P\left(A+B\djathtas)=\frac(m_(A) +m_(B) -m_(AB) )(n) =\frac(m_(A) )(n) +\ frac (m_(B) )(n) -\frac(m_(AB) )(n) =P\majtas(A\djathtas)+P\majtas(B\djathtas)-P\majtas(A\cdot B\ drejtë) $.

Teorema 2

Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve minus probabilitetin e produktit të tyre.

Komentoni. Nëse ngjarjet $A$ dhe $B$ janë të paqëndrueshme, atëherë produkti i tyre $A\cdot B$ është një ngjarje e pamundur, probabiliteti i së cilës $P\left(A\cdot B\right)=0$. Rrjedhimisht, formula për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme është një rast i veçantë i formulës për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta.

Shembulli 2

Gjeni probabilitetin që kur dy zare hidhen njëkohësisht, numri 5 do të shfaqet të paktën një herë.

Kur hidhen dy zare njëkohësisht, numri i të gjitha ngjarjeve elementare njësoj të mundshme është $n=36$, pasi për çdo numër të zareve të parë mund të shfaqen gjashtë numra të zareve të dytë. Prej tyre, ngjarja $A$ - numri 5 që bie në koshin e parë - kryhet 6 herë, ngjarja $B$ - numri 5 që bie në të dytin - kryhet gjithashtu 6 herë. Nga të dymbëdhjetë herët, numri 5 shfaqet një herë në të dy zaret. Kështu, $P\left(A+B\djathtas)=\frac(6)(36) +\frac(6)(36) -\frac(1)(36) =\frac(11)(36) $ .

Teorema e shumëzimit të probabilitetit

Le të shqyrtojmë ngjarjet e pavarura.

Ngjarjet $A$ dhe $B$ që ndodhin në dy prova të njëpasnjëshme quhen të pavarura nëse probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes $B$ nuk varet nga fakti nëse ngjarja $A$ ka ndodhur apo nuk ka ndodhur.

Për shembull, le të ketë 2 topa të bardhë dhe 2 të zinj në një urnë. Testi është për të tërhequr topin. Ngjarja $A$ është "topi i bardhë është tërhequr në provën e parë." Probabiliteti $P\left(A\djathtas)=\frac(1)(2) $. Pas provës së parë, topi u kthye dhe u krye një test i dytë. Ngjarja $B$ -- ``topi i bardhë tërhiqet në provën e dytë''. Probabiliteti $P\left(B\djathtas)=\frac(1)(2) $. Probabiliteti $P\left(B\djathtas)$ nuk varet nga fakti nëse ngjarja $A$ ka ndodhur apo jo, prandaj ngjarjet $A$ dhe $B$ janë të pavarura.

Dihet se ngjarjet e pavarura të rastësishme $A$ dhe $B$ të dy provave të njëpasnjëshme kanë probabilitete të ndodhjes përkatësisht $P\left(A\right)$ dhe $P\left(B\djathtas)$. Le të gjejmë probabilitetin e prodhimit $A\cdot B$ të këtyre ngjarjeve, pra probabilitetin e shfaqjes së tyre të përbashkët.

Le të supozojmë se në testin e parë numri i të gjitha ngjarjeve elementare po aq të mundshme është $n_(1) $. Nga këto, ngjarja $A$ favorizohet nga $m_(1)$ ngjarje elementare. Le të supozojmë gjithashtu se në testin e dytë numri i të gjitha ngjarjeve elementare po aq të mundshme është $n_(2) $. Nga këto, ngjarja $B$ favorizohet nga $m_(2)$ ngjarje elementare. Tani merrni parasysh një ngjarje të re elementare, e cila përbëhet nga ndodhja e njëpasnjëshme e ngjarjeve nga sprova e parë dhe e dytë. Numri i përgjithshëm i ngjarjeve të tilla elementare po aq të mundshme është i barabartë me $n_(1) \cdot n_(2) $. Meqenëse ngjarjet $A$ dhe $B$ janë të pavarura, atëherë nga ky numër ndodhja e përbashkët e ngjarjes $A$ dhe e ngjarjes $B$ (produkti i ngjarjeve $A\cdot B$) favorizohet nga $m_(1) \ cdot m_(2) $ ngjarje . Ne kemi: $P\left(A\cdot B\right)=\frac(m_(1) \cdot m_(2) )(n_(1) \cdot n_(2) ) =\frac(m_(1) ) (n_(1) ) \cdot \frac(m_(2) )(n_(2) ) =P\majtas(A\djathtas)\cdot P\majtas(B\djathtas)$.

Teorema 3

Probabiliteti i prodhimit të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Le të shohim ngjarjet e varura.

Në dy prova të njëpasnjëshme, ndodhin ngjarjet $A$ dhe $B$. Një ngjarje $B$ quhet e varur nga një ngjarje $A$ nëse probabiliteti i ndodhjes së një ngjarje $B$ varet nëse ngjarja $A$ ka ndodhur apo nuk ka ndodhur. Pastaj probabiliteti i ngjarjes $B$, i cili u llogarit me kushtin që ndodhi ngjarja $A$, quhet probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes $B$ dhënë $A$ dhe shënohet me $P\left(B/A\ drejtë) $.

Për shembull, le të ketë 2 topa të bardhë dhe 2 të zinj në një urnë. Prova është heqja e topit. Ngjarja $A$ është "topi i bardhë është tërhequr në provën e parë." Probabiliteti $P\left(A\djathtas)=\frac(1)(2) $. Pas provës së parë, topi nuk kthehet prapa dhe kryhet testi i dytë. Ngjarja $B$ -- ``topi i bardhë tërhiqet në provën e dytë''. Nëse një top i bardhë është tërhequr në provën e parë, atëherë probabiliteti është $P\left(B/A\right)=\frac(1)(3) $. Nëse në provën e parë është tërhequr një top i zi, atëherë probabiliteti është $P\left(B/\overline(A)\right)=\frac(2)(3) $. Kështu, probabiliteti i ngjarjes $B$ varet nëse ngjarja $A$ ka ndodhur apo jo, prandaj ngjarja $B$ varet nga ngjarja $A$.

Supozoni se ngjarjet $A$ dhe $B$ ndodhin në dy prova të njëpasnjëshme. Dihet se ngjarja $A$ ka një probabilitet të ndodhjes $P\left(A\djathtas)$. Dihet gjithashtu se ngjarja $B$ varet nga ngjarja $A$ dhe probabiliteti i saj i kushtëzuar i dhënë $A$ është i barabartë me $P\left(B/A\djathtas)$.

Teorema 4

Probabiliteti i produktit të një ngjarjeje $A$ dhe një ngjarje të varur $B$, pra probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të tyre, mund të gjendet me formulën $P\left(A\cdot B\right)=P\ majtas(A\djathtas)\cdot P\majtas(B/A\djathtas)$.

Formula simetrike $P\left(A\cdot B\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A/B\right)$ është gjithashtu e vlefshme, ku ngjarja $A$ supozohet të të jetë i varur nga ngjarja $ B$.

Për kushtet e shembullit të fundit, gjejmë probabilitetin që topi i bardhë të tërhiqet në të dyja provat. Një ngjarje e tillë është produkt i ngjarjeve $A$ dhe $B$. Probabiliteti i tij është i barabartë me $P\left(A\cdot B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B/A\djathtas)=\frac(1)(2) \cdot \ frac( 1)(3) =\frac(1)(6) $.

Lloji i punës: 4

gjendja

Probabiliteti që bateria të mos jetë e ngarkuar është 0.15.

Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy nga këto bateri. Gjeni probabilitetin që të dy bateritë në këtë paketë të ngarkohen.

Trego zgjidhje

Zgjidhje Probabiliteti që bateria të jetë e ngarkuar është 1-0,15 = 0,85. Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dy bateritë janë të ngarkuara". Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "bateria e parë është e ngarkuar" dhe "bateria e dytë është e ngarkuar". Morëm P(A) = P(B) = 0.85. Ngjarja "të dy bateritë janë të ngarkuara" është kryqëzimi i ngjarjeve A \capa B, probabiliteti i tij është i barabartë me 0,7225.

P(A\kapakë B) =

Lloji i punës: 4
P(A)\cdot P(B) =

gjendja

Probabiliteti që stilolapsi të jetë me defekt është 0.05. Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy stilolapsa. Gjeni probabilitetin që të dy stilolapsat në këtë paketë të jenë të mira.

Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy nga këto bateri. Gjeni probabilitetin që të dy bateritë në këtë paketë të ngarkohen.

Trego zgjidhje

Probabiliteti që doreza të funksionojë është 1-0.05 = 0.95. Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dyja dorezat po funksionojnë". Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "doreza e parë po funksionon" dhe "doreza e dytë po funksionon". Morëm P(A) = P(B) = 0,95. Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dy bateritë janë të ngarkuara". Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "bateria e parë është e ngarkuar" dhe "bateria e dytë është e ngarkuar". Morëm P(A) = P(B) = 0.85. Ngjarja "të dy dorezat po funksionojnë" është kryqëzimi i ngjarjeve A\cap B, probabiliteti i saj është i barabartë me 0,9025.

P(A\kapakë B) =

P(A\kapakë B) =

Lloji i punës: 4
P(A)\cdot P(B) =

gjendja

0,95\cdot 0,95 =

Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy nga këto bateri. Gjeni probabilitetin që të dy bateritë në këtë paketë të ngarkohen.

Trego zgjidhje

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Fotografia tregon një labirint. Beetle zvarritet në labirint në pikën "Hyrja". Bumbulli nuk mund të kthehet dhe të zvarritet në drejtim të kundërt, kështu që në çdo degëz zgjedh një nga shtigjet në të cilat nuk ka qenë ende. Me çfarë probabiliteti do të dalë brumbulli në daljen D nëse zgjedhja e rrugës së mëtejshme është e rastësishme?

Le të vendosim shigjeta në kryqëzimet në drejtimet në të cilat mund të lëvizë brumbulli (shih figurën). Në çdo kryqëzim do të zgjedhim një drejtim nga dy të mundshëm dhe supozojmë se kur të arrijë në kryqëzim, brumbulli do të lëvizë në drejtimin që kemi zgjedhur. 0,5^4= 0,0625.

P(A\kapakë B) =

P(A\kapakë B) =

Lloji i punës: 4
P(A)\cdot P(B) =

gjendja

Në mënyrë që brumbulli të arrijë në daljen D, është e nevojshme që në çdo kryqëzim të zgjidhet drejtimi i treguar nga vija e kuqe e fortë. Në total, zgjedhja e drejtimit bëhet 4 herë, çdo herë pavarësisht nga zgjedhja e mëparshme. Probabiliteti që shigjeta e kuqe e fortë të zgjidhet çdo herë është

Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy nga këto bateri. Gjeni probabilitetin që të dy bateritë në këtë paketë të ngarkohen.

Trego zgjidhje

\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= Probabiliteti që bateria të jetë e ngarkuar është 1-0,15 = 0,85. Parkingu ndriçohet nga një fener me dy llamba. Probabiliteti që një llambë të digjet brenda një viti është 0.4. Gjeni probabilitetin që të paktën një llambë të mos digjet brenda një viti. 0,16 Së pari, gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dy llambat të digjen brenda një viti", që është e kundërta e ngjarjes nga kushtet e problemit. Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "llamba e parë u dogj brenda një viti" dhe "llamba e dytë u dogj brenda një viti". Sipas kushtit, P(A) = P(B) = 0.4.

Ngjarja "të dy llambat u dogjën brenda një viti" është A \kapakë B, probabiliteti i tij është i barabartë me P(A)\cdot P(B) = 1 - 0,16 = 0,84.

P(A\kapakë B) =

P(A\kapakë B) =

Lloji i punës: 4
P(A)\cdot P(B) =

gjendja

0,4 \cdot 0,4 =

Një klient në një dyqan blen një paketë të rastësishme që përmban dy nga këto bateri. Gjeni probabilitetin që të dy bateritë në këtë paketë të ngarkohen.

Trego zgjidhje

Së pari, le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes "të dy ftohësit janë të gabuar", që është e kundërta e ngjarjes nga deklarata e problemit. Le të shënojmë me A dhe B ngjarjet "ftohësi i parë është i gabuar" dhe "ftohësi i dytë është i gabuar". Sipas kushtit, P(A) = P(B) = 0.2. Ngjarja "të dy ftohësit janë të gabuar" është A \capa B, kryqëzimi i ngjarjeve A dhe B, probabiliteti i tij është i barabartë me P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,2\cdot 0,2 = 0,04

P(A\kapakë B) =

P(A\kapakë B) =

Lloji i punës: 4
P(A)\cdot P(B) =

gjendja

(pasi ngjarjet A dhe B janë të pavarura). Probabiliteti i kërkuar është 1-P(A \cap B)=1-0.04=0.96.

Në provimin e fizikës, studenti i përgjigjet një pyetjeje nga lista e pyetjeve të provimit. Probabiliteti që kjo pyetje të jetë në Mekanikë është 0.25. Probabiliteti që kjo pyetje ka të bëjë me "Elektricitetin" është 0.3. Nuk ka pyetje që lidhen me dy tema njëherësh. Gjeni probabilitetin që një student të marrë një pyetje në një nga këto dy tema.

Leksioni 7. Teoria e probabilitetit

PASOJAT E TEOREMAVE TË MBLEDHJES DHE SHUMËZIMIT

Teorema për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta Teorema e mbledhjes për të papajtueshme ngjarjet. Këtu do të paraqesim teoremën e mbledhjes për të përbashkët

ngjarjet. Quhen dy ngjarje të përbashkët

Shembulli 1 , nëse paraqitja e njërit prej tyre nuk përjashton paraqitjen e tjetrit në të njëjtin gjykim.

. A – shfaqja e katër pikave gjatë hedhjes së një trupi; B – paraqitja e një numri çift pikësh. Ngjarjet A dhe B janë të përbashkëta.

Le të jenë të përbashkëta ngjarjet A dhe B, dhe jepen probabilitetet e këtyre ngjarjeve dhe probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të tyre. Si të gjejmë probabilitetin e ngjarjes A + B që të paktën një nga ngjarjet A dhe B të ndodhë? Përgjigjen për këtë pyetje e jep teorema për mbledhjen e probabiliteteve të ngjarjeve të përbashkëta. Teorema

. Probabiliteti i ndodhjes së të paktën një prej dy ngjarjeve të përbashkëta është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa probabilitetin e ndodhjes së tyre të përbashkët: P(A + B) = P(A) + P(B) - P (AB). Dëshmi

. Meqenëse ngjarjet A dhe B, sipas kushteve, janë të pajtueshme, atëherë ngjarja A + B do të ndodhë nëse ndodh një nga tre ngjarjet e mëposhtme të papajtueshme: . Sipas teoremës së mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme, kemi:(*)

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB). Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:
A

ose AB. Nga teorema e mbledhjes së probabiliteteve të ngjarjeve të papajtueshme kemi

P(A) = P(A) + P(AB).(**)

P(A)=P(A) – P(AB).

Në mënyrë të ngjashme kemi

P(B) = P(ĀB) + P(AB).(***)

P(ĀB) = P(B) – P(AB).

Duke zëvendësuar (**) dhe (***) në ​​(*), më në fund marrim(****)

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Q.E.D. Shënim 1. i pavarur, pra i varur.

Për ngjarje të pavarura

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Për ngjarje të varura

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Shënim 2. Nëse ngjarjet A dhe B të papajtueshme, atëherë kombinimi i tyre është një ngjarje e pamundur dhe, për rrjedhojë, P(AB) = 0.

Formula (****) për ngjarjet e papajtueshme merr formën

P(A + B) = P(A) + P(B).

Ne kemi marrë përsëri teoremën e mbledhjes për ngjarje të papajtueshme. Kështu, formula (****) është e vlefshme për ngjarjet e përbashkëta dhe të papajtueshme.

Shembulli 2. Probabilitetet për të goditur objektivin gjatë gjuajtjes së armës së parë dhe të dytë janë përkatësisht të barabarta: p 1 = 0,7; p 2 = 0,8. Gjeni probabilitetin e një goditjeje me një salvo
(nga të dy armët) me të paktën njërën nga armët.

Zgjidhje . Probabiliteti që çdo armë të godasë objektivin nuk varet nga rezultati i gjuajtjes nga arma tjetër, prandaj ngjarjet A (goditja nga arma e parë) dhe B (goditja nga arma e dytë) janë të pavarura.

Probabiliteti i ngjarjes AB (të dyja armët shënuan një goditje)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0,7 * 0,8 = 0,56.

Probabiliteti i dëshiruar P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Shënim 3. Meqenëse në këtë shembull ngjarjet A dhe B janë të pavarura, ne mund të përdorim formulën P = 1 – q 1 q 2

Në fakt, probabilitetet e ngjarjeve të kundërta me ngjarjet A dhe B, d.m.th. probabilitetet e gabimeve janë:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0,7 = 0,3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0,8 = 0,2;

Probabiliteti i kërkuar që në një salvo të paktën një armë të godasë është e barabartë me

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0,3 * 0,2 = 1 – 0,06 = 0,94.

Siç mund ta prisnit, u arrit i njëjti rezultat.

Teorema e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit

Teorema e mbledhjes

Probabiliteti i ndodhjes së një prej disa ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve.

Në rastin e dy ngjarjeve të papajtueshme A dhe B kemi:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

Ngjarja e kundërt me ngjarjen A shënohet me . Kombinimi i ngjarjeve A jep një ngjarje të besueshme, dhe meqenëse ngjarjet A janë të papajtueshme, atëherë

P(A) + P() = 1 (8)

Probabiliteti i ngjarjes A, i llogaritur nën supozimin se ngjarja B ka ndodhur, quhet probabiliteti i kushtëzuar ngjarja A dhe shënohet me simbolin P B (A).

Nëse ngjarjet A dhe B janë të pavarura, atëherë P(B) = P A (B).

Ngjarjet A, B, C, ... quhen kolektivisht të pavarur, nëse probabiliteti i secilës prej tyre nuk ndryshon për shkak të ndodhjes ose mosngjarjes së ngjarjeve të tjera veçmas ose në ndonjë kombinim të tyre dhe në çdo numër.

Teorema e shumëzimit

Probabiliteti që ngjarjet A, B dhe C të ndodhin... është e barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre, të llogaritur nën supozimin se të gjitha ngjarjet që i paraprinë secilës prej tyre kanë ndodhur, d.m.th.

P(AB) = P(A)P A (B)(9)

Shënimi P A (B) tregon probabilitetin e ngjarjes B nën supozimin se ngjarja A ka ndodhur tashmë.

Nëse ngjarjet A, B, C, ... janë kolektivisht të pavarura, atëherë probabiliteti që ato të ndodhin të gjitha është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

Shembulli 3.1.Çanta përmban topa: 10 të bardhë, 15 të zinj, 20 blu dhe 25 të kuq. Një top u hoq. Gjeni probabilitetin që topi i tërhequr të jetë i bardhë? e zezë? Dhe një gjë tjetër: e bardhë apo e zezë?

Zgjidhje.

Numri i të gjitha provave të mundshme n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Probabiliteti P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Zbatojmë teoremën e shtimit të probabilitetit:

R(b + h) = R(b) + R(h) = 1/7 + 3/14 = 5/14.

Shënim: Shkronjat e mëdha në kllapa tregojnë përkatësisht ngjyrën e secilit top sipas kushteve të problemit.

Shembulli 3.2 Kutia e parë përmban dy topa të bardhë dhe dhjetë të zinj. Kutia e dytë përmban tetë topa të bardhë dhe katër të zinj. Nga çdo kuti u mor një top. Përcaktoni probabilitetin që të dy topat të jenë të bardhë.

Zgjidhje.

Ngjarja A është shfaqja e një topi të bardhë nga kutia e parë. Ngjarja B është shfaqja e një topi të bardhë nga kutia e dytë. Ngjarjet A dhe B janë të pavarura.

Probabilitetet P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Zbatojmë teoremën e shumëzimit të probabilitetit:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Rishikoni pyetjet

1 Çfarë është faktorial?

2 Renditni detyrat kryesore të kombinatorikës.

3 Si quhen permutacionet?

4 Si quhen lëvizjet?

5 Si quhen kombinimet?

6 Cilat ngjarje quhen të besueshme?

7 Cilat ngjarje quhen të papajtueshme?

8 Sa është probabiliteti i një ngjarjeje?

9 Çfarë quhet probabilitet i kushtëzuar?

10 Formuloni teorema për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve.

11 pr.Vendosja nga n elementet nga k (k ≤ p ) është çdo grup i përbërë nga për të elementet e marra sipas një radhe të caktuar nga të dhënat n elementet.

Kështu, dy vendosje nga n elementet nga për të konsiderohen të ndryshme nëse ndryshojnë në vetë elementët ose në radhën e renditjes së tyre Numri i vendosjeve nga n elementet nga për të tregojnë Një p k dhe llogaritet duke përdorur formulën

A p k =

Nëse vendosjet nga n elementet nga n ndryshojnë nga njëri-tjetri vetëm për nga renditja e elementeve, atëherë ato paraqesin ndërrime të n elementet

Shembull 1. Nxënësit e klasës së dytë studiojnë 9 lëndë. Në sa mënyra mund të bëni një orar për një ditë në mënyrë që të përmbajë 4 lëndë të ndryshme?

Zgjidhja: Çdo orar për një ditë, i përbërë nga 4 lëndë të ndryshme, ndryshon nga tjetri ose në grupin e lëndëve ose në rendin në të cilin ato janë paraqitur. Kjo do të thotë se në këtë shembull bëhet fjalë për vendosje të 9 elementeve të 4. Kemi

A 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Orari mund të krijohet në 3024 mënyra

Shembulli 2. Sa numra treshifrorë (pa përsëritur shifra në numër) mund të bëhen nga numrat 0,1,2,3,4,5,6?

Zgjidhje Nëse nuk ka zero midis shtatë shifrave, atëherë numri i numrave treshifrorë (pa shifra të përsëritura) që mund të bëhen nga këto shifra është i barabartë me numrin e vendosjeve

22

nga 7 elementë nga 3 secila Megjithatë, midis këtyre numrave është numri 0, me të cilin një numër treshifror nuk mund të fillojë. Prandaj, nga renditjet e 7 elementeve me 3, është e nevojshme të përjashtohen ato elementi i parë i të cilëve është 0. Numri i tyre është i barabartë me numrin e renditjeve të 6 elementeve të tyre me 2. =

Kjo do të thotë se numri i kërkuar i numrave treshifrorë është

A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Konsolidimi i njohurive të marra në procesin e zgjidhjes së problemeve

№754 . Në sa mënyra mund të flejë një familje prej tre anëtarësh në një ndarje me katër vende nëse nuk ka pasagjerë të tjerë në dhomë?

Zgjidhje. Numri i mënyrave është i barabartë A 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. Nga 30 pjesëmarrësit e takimit, duhet të zgjidhet një kryetar dhe një sekretar. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhje. Meqenëse secili prej pjesëmarrësve mund të jetë ose sekretar ose kryetar, numri i mënyrave për t'i zgjedhur ata është i barabartë

A 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Sa numra katërshifrorë që nuk kanë shifra të njëjta mund të bëhen nga këto shifra: a) 1,3,5,7,9. b) 0,2,4,6,8?

Zgjidhja a) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) A 5 4 - A 4 3 = 5! – 4! = 120 - 24 = 96

Detyrë shtëpie nr 756, nr 757, nr 758, nr 759.

Mësimi 6 Tema: “Kombinimet”

Qëllimi: Të japë konceptin e kombinimeve, të prezantojë formulën për llogaritjen e kombinimeve, të mësojë se si të përdoret kjo formulë për të numëruar numrin e kombinimeve.

1 Kontrollimi i detyrave të shtëpisë.

№ 756 . Ka 7 pista alternative në stacion. Në sa mënyra mund të vendosen 4 trena në to?

23

Trego zgjidhje : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 mënyra

№757 Në sa mënyra mund të përcaktojë një trajner se cili nga 12 atletët e gatshëm për të marrë pjesë në stafetën 4x100 m do të vrapojë në fazën e parë, të dytë, të tretë dhe të katërt?

Zgjidhja: A 12 4 = = 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙12 = 90 ∙132 = 11 880

№ 758. Në një grafik byrek, rrethi ndahet në 5 sektorë. Ne vendosëm të lyenim sektorët me bojëra të ndryshme të marra nga një grup që përmban 10 bojëra. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Zgjidhja: A 10 5 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10 = 30 240

№759. Në sa mënyra mund të zënë vendet në një klasë me 20 tavolina tek 6 nxënës që marrin provim?

Zgjidhja: A 20 6 = = 15∙ 16 ∙17∙ 18∙19 ∙20 = 27 907 200

Ju mund të organizoni kontrollin e detyrave të shtëpisë në mënyra të ndryshme: kontrolloni me gojë zgjidhjet e ushtrimeve të detyrave të shtëpisë, shkruani zgjidhjet e disa prej tyre në tabelë dhe ndërsa zgjidhjet janë duke u regjistruar, bëni një anketë me studentët për pyetjet e mëposhtme:

1. Çfarë do të thotë hyrja? p!

2.Ajo që quhet ndërrim nga n elementet?

3. Çfarë formule përdoret për të llogaritur numrin e permutacioneve?

4. Çfarë quhet vendosje nga n elementet nga te?

5. n elementet nga te?

2 Shpjegimi i materialit të ri

Le të jenë 5 karafila me ngjyra të ndryshme. Le t'i caktojmë me shkronja a, c, c, d, f. Ju duhet të bëni një buqetë me tre karafila. Le të zbulojmë se çfarë buqetash mund të përbëhen.

Nëse buqeta përfshin karafila A , atëherë mund të bëni buqetat e mëposhtme:

avs, avd, ave, asd, ase, ade.

Nëse buqeta nuk përfshin karafila A, por hyjnë karafilat V , atëherë mund të merrni buqetat e mëposhtme:

të gjitha, të gjitha, kudo.

Së fundi, nëse buqeta nuk përfshin një karafil A, jo një karafil V, atëherë vetëm një mundësi për të kompozuar një tufë lulesh është e mundur:

sde.

24

Ne kemi treguar të gjitha mënyrat e mundshme për të bërë buqeta, në të cilat tre nga 5 karafila kombinohen në mënyra të ndryshme kombinime nga 5 elemente, 3 secili, gjetëm që C 5 3 = 10.

Le të nxjerrim formulën për numrin e kombinimeve nga n elementet në k, ku k ≤ p.

Le të zbulojmë fillimisht se si shprehet C 5 3 përmes A 5 3 dhe P 3 . Ne zbuluam se 5 elementët e tyre mund të bëhen në kombinimet e mëposhtme të 3 elementeve:

avs, avd, ave, asd, ase, ade, vsd, të gjitha, vde, sde.

Në çdo kombinim ne do të kryejmë të gjitha permutacionet. Numri i permutacioneve të 3 elementeve është i barabartë me P 3 . Si rezultat, marrim të gjitha kombinimet e mundshme të 5 elementeve nga 3, të cilat ndryshojnë ose në vetë elementët ose në renditjen e elementeve, d.m.th. të gjitha vendosjet e 5 elementeve janë 3 secila Në total marrim A 5 3 vendosje.

Mjetet , C 5 3 ∙ P 3 = A 5 3, pra C 5 3 = A 5 3: P 3

Arsyetimi në rastin e përgjithshëm, marrim C p k = A p k: R k,

Duke përdorur faktin se A p k = , ku k ≤ p., marrim C p k = .

Kjo është formula për llogaritjen e numrit të kombinimeve të n elementet nga për të në çdo

k ≤ p.

Shembull 1. Nga një grup prej 15 bojrash, duhet të zgjidhni 3 ngjyra për të lyer kutinë. Në sa mënyra mund të bëhet kjo zgjedhje?

Zgjidhja: Çdo zgjedhje e tre ngjyrave ndryshon nga tjetra në të paktën një ngjyrë. Kjo do të thotë se këtu po flasim për kombinime të 15 elementeve të 3

Nga 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Krye2 Në klasë janë 12 djem dhe 10 vajza. Kërkohen tre djem dhe dy vajza për të pastruar zonën pranë shkollës. Në sa mënyra mund të bëhet kjo zgjedhje?

Zgjidhja: Ju mund të zgjidhni 3 djem nga 12 me 12 3, dhe dy vajza nga 10 mund të zgjidhen me 10 2. Meqenëse për çdo zgjedhje djemsh ka 10 2 mënyra për të zgjedhur vajzat, atëherë mund të bëni zgjedhjen e nxënësve, gjë që diskutohet në problem.

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Konsolidimi i materialit të ri në procesin e zgjidhjes së problemeve

25

Detyrë

Sasha ka 8 romane historike në bibliotekën e saj të shtëpisë. Petya dëshiron të marrë ndonjë 2 roman prej tij. Në sa mënyra mund të bëhet kjo zgjedhje?

Zgjidhje: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 a

Në klubin e shahut janë 16 persona. Në sa mënyra një trajner mund të zgjedhë një ekip prej 4 personash prej tyre për turneun e ardhshëm?

Zgjidhje: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Ekipi i rinovimit të shkollës përbëhet nga 12 piktorë dhe 5 marangozë. Nga këta, 4 piktorë dhe 2 marangozë duhet të ndahen për riparimin e sallës sportive. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Detyrë shtëpie nr 768, nr 769, nr 770, nr 775

Mësimi 7 Tema: “Zgjidhja e problemeve duke përdorur formula për të llogaritur numrin e lëvizjeve, vendosjeve, kombinimeve”

Qëllimi: Konsolidimi i njohurive të nxënësve. Formimi i aftësive për zgjidhjen e problemeve të thjeshta kombinuese

1 Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

№768 Janë 7 persona në klasë që po bëjnë matematikë me sukses. Në sa mënyra mund të zgjidhni dy prej tyre për të marrë pjesë në Olimpiadën e Matematikës?

Zgjidhje: C 7 2 = = (6∙ 7) : 2 = 21

№769 Dyqani Filateli shet 8 grupe të ndryshme pullash të dedikuara për tema sportive. Në sa mënyra mund të zgjidhni 3 grupe prej tyre?

Zgjidhje: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 Nxënësve iu dha një listë me 10 libra për të lexuar gjatë pushimeve. Në sa mënyra mund të zgjedhë një nxënës 6 libra prej tyre?

Zgjidhje: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 Biblioteka i ofroi lexuesit një zgjedhje prej 10 librash dhe 4 revistash nga të sapoardhurit. Në sa mënyra mund të zgjedhë 3 libra dhe 2 revista prej tyre?

Zgjidhje: C 10 3 ∙ C 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Pyetje për klasën

1.Ajo që quhet ndërrim nga n elementet?

2. Çfarë formule përdoret për të llogaritur numrin e permutacioneve?

3. Çfarë quhet vendosje nga n elementet nga te?

4. Cila formulë përdoret për të llogaritur numrin e vendosjeve nga n elementet nga te?

5. Çfarë quhet kombinim i n elementet nga te?

6. Cila formulë përdoret për të llogaritur numrin e kombinimeve të n elementet nga te?

Probleme për zgjidhje të përbashkët

Kur zgjidhet çdo problem, fillimisht bëhet një diskutim: cila nga tre formulat e studiuara do të ndihmojë në marrjen e përgjigjes dhe pse

1. Sa numra katërshifrorë mund të bëhen nga numrat 4,6,8,9, me kusht që të gjithë numrat të jenë të ndryshëm?

2. Nga 15 persona në një grup studentësh, duhet të zgjidhni një drejtues dhe zëvendësin e tij. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

3. Nga 10 nxënësit më të mirë të shkollës, dy persona duhet të dërgohen në mbledhjen e drejtuesve.

Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

Koment: Në problemin nr. 3, nuk ka rëndësi kë të zgjedhë: çdo 2 persona nga 10, kështu që formula për numërimin e numrit të kombinimeve funksionon këtu.

Në problemin nr.2 zgjidhet një çift i renditur, sepse në çiftin e përzgjedhur, nëse mbiemrat ndërrohen, do të jetë një zgjedhje tjetër, kështu që formula për llogaritjen e numrit të vendosjeve funksionon këtu

Përgjigjet e problemeve për zgjidhje të përbashkët:

Nr. 1 më 24. Nr. 2 210 mënyra. Nr. 3 45 mënyra

Probleme për diskutim të përbashkët dhe llogaritje të pavarura

Nr. 1 6 shokë u takuan dhe secili shtrëngoi duart me njëri-tjetrin. Sa shtrëngime duarsh kishte?

27

Nr. 2 Në sa mënyra mund të krijoni një orar për nxënësit e klasës së parë për një ditë nëse ata kanë 7 lëndë dhe duhet të ketë 4 mësime në atë ditë?

(Numri i vendosjeve nga 7 në 4)

Nr. 3 Në familje janë 6 persona, dhe në tavolinë në kuzhinë ka 6 karrige. U vendos që të ulesh në këto 6 karrige në një mënyrë të re çdo mbrëmje para darkës. Sa ditë mund ta bëjnë këtë pa përsëritje anëtarët e familjes?

Nr. 4 Të ftuarit A, B, C, D erdhën te i zoti i shtëpisë. Ka pesë karrige të ndryshme në tryezën e rrumbullakët. Sa metoda ulëse ka?

(4 persona erdhën për të vizituar + pronari = 5 persona ulen në 5 karrige, duhet të numëroni numrin e permutacioneve)

5. Në librin e ngjyrosjes vizatohet një trekëndësh, katror dhe rreth që nuk priten. Çdo figurë duhet të pikturohet në njërën nga ngjyrat e ylberit, figura të ndryshme me ngjyra të ndryshme. Sa mënyra për t'u ngjyrosur ka?

(Numëroni numrin e vendosjeve nga 7 në 3)

Nr. 6 Në klasë janë 10 djem dhe 4 vajza. Është e nevojshme të zgjidhen 3 persona në detyrë në mënyrë që mes tyre të jenë 2 djem dhe 1 vajzë. Në sa mënyra mund të bëhet kjo?

(Numri i kombinimeve 10 me 2 shumëzuar me numrin e kombinimeve 4 me 1)

Përgjigjet për problemet e vetëllogaritjes

№1 15 shtrëngime duarsh

№2840 mënyra

№3720 ditë

№5 120 mënyra

№6180 mënyra

Detyrë shtëpie nr 835, nr 841

Mësimi 8 Tema: “Punë e pavarur”

Qëllimi: Testimi i njohurive të nxënësve

1.Kontrollimi i detyrave të shtëpisë

№^ 835 Sa numra çift katërshifror në të cilët shifrat nuk përsëriten mund të shkruhet duke përdorur numrat a) 1,2,3,7. b) 1,2,3,4.

28

a) Numrat tanë duhet të përfundojnë me një shifër çift, një shifër e tillë në gjendjen një është shifra 2, ne do ta vendosim atë në vendin e fundit dhe do t'i rirregullojmë 3 shifrat e mbetura, numri i permutacioneve të tilla është 3! = 6. Pra, ju mund të bëni 6 numra çift

b) arsyetojmë si në shembullin a) duke vendosur numrin 2 në vendin e fundit marrim 6 numra çift, duke vendosur numrin 4 në vendin e fundit marrim edhe 6 numra çift,

kjo do të thotë se ka vetëm 12 numra çift

№841 Në sa mënyra mund të zgjidhni nga një klasë me 24 nxënës: a) dy shoqërues; b) drejtori dhe ndihmësi i tij?

a) sepse çdo 2 persona nga 24 mund të jenë në detyrë, atëherë numri i çifteve është i barabartë

C 24 2 = = 23 ∙ 24:2 = 276

b) këtu ata shqyejnë një çift të renditur elementësh nga 24 elementë, numri i çifteve të tilla është A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

Opsioni 1 zgjidh detyrat nr. 1,2,3,4,5.

Opsioni 2 zgjidh detyrat nr.6,7,8,9,10.

Zgjidhja e problemeve më të thjeshta kombinuese

(bazuar në materialet nga K.R. në prill 2010)

1 . Në sa mënyra mund të vendosen në një raft pesë libra nga autorë të ndryshëm?

2. Në sa mënyra mund të bëni një meze të lehtë pasdite nga një pije dhe një byrek, nëse menyja përfshin: çaj, kafe, kakao dhe byrekë me mollë ose qershi?

3. Të mërkurën, sipas orarit, në klasën 9 "A" duhet të ketë 5 mësime: kimia, fizika, algjebër, biologjia dhe siguria e jetës. Në sa mënyra mund të krijoni një orar për këtë ditë?

4. Ka 2 kuaj të bardhë dhe 4 kuaj gji. Sa mënyra mundeni

bëni një palë kuaj me ngjyra të ndryshme?

5. Në sa mënyra mund të vendosni 5 monedha të ndryshme në 5 xhepa të ndryshëm?

29

6. Në raftin e dollapit ka 3 kapele të stileve të ndryshme dhe 4 shalle me ngjyra të ndryshme. Në sa mënyra mund të bëni një grup me një kapele dhe një shall?

7. 4 pjesëmarrës arritën në finalen e konkursit të bukurisë. Në sa mënyra

A është e mundur të përcaktohet rendi i performancës së pjesëmarrësve në finalen e bukurisë?

^ 8 .Ka 4 rosa dhe 3 pata. Në sa mënyra mund të zgjidhni dy zogj të ndryshëm?

9. Në sa mënyra mund të ndahen 5 shkronja të ndryshme në 5 të ndryshme?

zarfet, nëse në çdo zarf vendoset vetëm një shkronjë?

10. Një kuti përmban 5 topa të kuq dhe 4 të gjelbër. Në sa mënyra mund të bëni një palë topa me ngjyra të ndryshme?

Përgjigjet për detyrat e vetë-studimit

Teorema e mbledhjes dhe shumëzimit të probabilitetit.

Teorema për mbledhjen e probabiliteteve të dy ngjarjeve. Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve pa probabilitetin e ndodhjes së përbashkët të tyre:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Teorema për mbledhjen e probabiliteteve të dy ngjarjeve të papajtueshme. Probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre:

P(A+B)=P(A)+P(B).

Shembulli 2.16. Qitësi gjuan në një objektiv të ndarë në 3 zona. Probabiliteti për të goditur zonën e parë është 0.45, e dyta - 0.35. Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë zonën e parë ose të dytë me një goditje.

Zgjidhje.

Ngjarjet Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:- “qitësi goditi zonën e parë” dhe NË- "qitësi goditi zonën e dytë" - janë të paqëndrueshme (hyrja në një zonë përjashton hyrjen në një tjetër), kështu që teorema e mbledhjes është e zbatueshme.

Probabiliteti i kërkuar është:

P(A+B)=P(A)+P(B)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

Teorema e shtimit të probabilitetit n ngjarje të papajtueshme. Probabiliteti i një shume prej n ngjarjesh të papajtueshme është i barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është e barabartë me një:

Probabiliteti i ngjarjes NË me kusht që ngjarja të ketë ndodhur Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:, quhet probabiliteti i kushtëzuar i ngjarjes NË dhe shënohet si më poshtë: P(V/A), ose R A (B).

. Probabiliteti i ndodhjes së dy ngjarjeve është i barabartë me produktin e probabilitetit të njërës prej tyre dhe probabilitetit të kushtëzuar të tjetrës, me kusht që ngjarja e parë të ketë ndodhur:

P(AB)=P(A)P A (B).

Ngjarje NË nuk varet nga ngjarja Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:, Nëse

R A (V) = R (V),

ato. probabiliteti i një ngjarjeje NË nuk varet nëse ngjarja ka ndodhur Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:.

Teorema për shumëzimin e probabiliteteve të dy ngjarjeve të pavarura.Probabiliteti i produktit të dy ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre:

P(AB)=P(A)P(B).

Shembulli 2.17. Probabilitetet për të goditur objektivin gjatë gjuajtjes së armës së parë dhe të dytë janë përkatësisht të barabarta: f 1 = 0,7; f 2= 0.8. Gjeni probabilitetin e një goditjeje në një salvo (nga të dyja armët) nga të paktën një prej armëve.

Zgjidhje.

Probabiliteti që çdo armë të godasë objektivin nuk varet nga rezultati i gjuajtjes nga arma tjetër, kështu që ngjarjet Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:– “goditur nga arma e parë” dhe NË– “të goditur nga arma e dytë” janë të pavarura.

Probabiliteti i ngjarjes AB- “goditën të dyja armët”:

Probabiliteti i kërkuar

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

Teorema e shumëzimit të probabilitetit n ngjarjet.Probabiliteti i një produkti të n ngjarjeve është i barabartë me produktin e njërës prej tyre me probabilitetet e kushtëzuara të të gjitha të tjerave, të llogaritura nën supozimin se kanë ndodhur të gjitha ngjarjet e mëparshme:

Shembulli 2.18. Në urnë ka 5 topa të bardhë, 4 të zinj dhe 3 blu. Çdo test konsiston në heqjen e një topi në mënyrë të rastësishme pa e kthyer atë përsëri. Gjeni probabilitetin që në provën e parë të shfaqet një top i bardhë (ngjarja A), në të dytën - një top i zi (ngjarja B) dhe në të tretën - një top blu (ngjarja C).

Zgjidhje.

Probabiliteti i shfaqjes së një topi të bardhë në provën e parë:

Probabiliteti i shfaqjes së një topi të zi në provën e dytë, i llogaritur me supozimin se një top i bardhë u shfaq në provën e parë, pra probabiliteti i kushtëzuar:

Probabiliteti i shfaqjes së një topi blu në provën e tretë, llogaritur me supozimin se një top i bardhë u shfaq në provën e parë dhe një i zi në provën e dytë, pra probabiliteti i kushtëzuar:

Probabiliteti i kërkuar është:

Teorema e shumëzimit të probabilitetit n ngjarje të pavarura.Probabiliteti i një produkti të n ngjarjeve të pavarura është i barabartë me produktin e probabiliteteve të tyre:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

Probabiliteti që të paktën një nga ngjarjet të ndodhë. Probabiliteti i ndodhjes së të paktën një prej ngjarjeve A 1, A 2, ..., A n, i pavarur në total, është i barabartë me diferencën midis unitetit dhe produktit të probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta.:

.

Shembulli 2.19. Mundësitë për të goditur objektivin kur qëlloni nga tre armë janë si më poshtë: f 1 = 0,8; f 2 = 0,7;f 3= 0.9. Gjeni probabilitetin e të paktën një goditjeje (ngjarje Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme:) me një salvo nga të gjitha armët.

Zgjidhje.

Probabiliteti që çdo armë të godasë objektivin nuk varet nga rezultatet e të shtënave nga armët e tjera, kështu që ngjarjet në shqyrtim A 1(goditur nga arma e parë), A 2(goditur nga arma e dytë) dhe A 3(të goditur nga arma e tretë) janë të pavarura në total.

Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta me ngjarjet A 1, A 2 Dhe A 3(d.m.th. probabiliteti i gabimeve) janë përkatësisht të barabarta me:

, , .

Probabiliteti i kërkuar është:

Nëse ngjarjet e pavarura A 1, A 2, …, A f kanë të njëjtin probabilitet të r, atëherë probabiliteti i ndodhjes së të paktën një prej këtyre ngjarjeve shprehet me formulën:

Р(А)= 1 – q n,

Ku q=1- p

2.7. Formula e probabilitetit total. Formula e Bayes.

Lëreni ngjarjen Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: mund të ndodhë në varësi të shfaqjes së një prej ngjarjeve të papajtueshme N 1, N 2, …, N f, duke formuar një grup të plotë ngjarjesh. Meqenëse nuk dihet paraprakisht se cila nga këto ngjarje do të ndodhë, ato quhen hipoteza.

Probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: llogaritur nga formula e probabilitetit total:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

Supozoni se është kryer një eksperiment si rezultat i të cilit ngjarja Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: ndodhi. Probabilitetet e kushtëzuara të ngjarjeve N 1, N 2, …, N f lidhur me ngjarjen Ngjarja A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: janë përcaktuar Formulat e Bayes:

,

Shembulli 2.20. Në një grup prej 20 studentësh që u vunë në provim, 6 ishin të përgatitur në mënyrë të shkëlqyer, 8 ishin të përgatitur mirë, 4 ishin të kënaqshëm dhe 2 ishin të përgatitur dobët. Fletët e provimit përmbajnë 30 pyetje. Një student i përgatitur mirë mund t'u përgjigjet të gjitha 30 pyetjeve, një student i përgatitur mirë mund t'u përgjigjet 24 pyetjeve, një student i kënaqshëm mund t'u përgjigjet 15 pyetjeve dhe një student i përgatitur dobët mund t'u përgjigjet 7 pyetjeve.

Një student i thirrur rastësisht iu përgjigj tre pyetjeve të caktuara rastësisht. Gjeni probabilitetin që ky nxënës të jetë i përgatitur: a) i shkëlqyer; b) keq.

Zgjidhje.

Hipotezat – “nxënësi është i përgatitur mirë”;

– “nxënësi është i përgatitur mirë”;

– “nxënësi është i përgatitur në mënyrë të kënaqshme”;

– “Studenti është i përgatitur dobët”.

Para përvojës:

; ; ; ;

7. Çfarë quhet grup i plotë ngjarjesh?

8. Cilat ngjarje quhen njësoj të mundshme? Jepni shembuj të ngjarjeve të tilla.

9. Çfarë quhet rezultat elementar?

10. Cilat rezultate i konsideroj të favorshme për këtë ngjarje?

11. Cilat operacione mund të kryhen në ngjarje? Përcaktoni ato. Si janë caktuar ato? Jepni shembuj.

12. Çfarë quhet probabilitet?

13. Sa është probabiliteti i një ngjarjeje të besueshme?

14. Sa është probabiliteti i një ngjarje të pamundur?

15. Cilat janë kufijtë e probabilitetit?

16. Si përcaktohet probabiliteti gjeometrik në një rrafsh?

17. Si përcaktohet probabiliteti në hapësirë?

18. Si përcaktohet probabiliteti në vijë të drejtë?

19. Sa është probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve?

20. Sa është probabiliteti i shumës së dy ngjarjeve të papajtueshme?

21. Sa është probabiliteti i shumës së n ngjarjeve të papajtueshme?

22. Cili probabilitet quhet i kushtëzuar? Jep një shembull.

23. Tregoni teoremën e shumëzimit të probabilitetit.

24. Si të gjendet probabiliteti i ndodhjes së së paku njërës prej ngjarjeve?

25. Cilat ngjarje quhen hipoteza?

26. Kur përdoret formula e probabilitetit total dhe formula e Bayes?

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve