Çfarë do të thotë të heqësh faktorin e përbashkët jashtë kllapave? Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - konceptin

Emëruesi i thyesës aritmetike a / b është numri b, i cili tregon madhësinë e thyesave të një njësie nga e cila përbëhet thyesa. Emëruesi i një thyese algjebrike A / B është shprehja algjebrike B. Për të kryer veprime aritmetike me thyesa, ato duhet të reduktohen në emëruesin më të ulët të përbashkët.

Do t'ju duhet

• Për të punuar me thyesat algjebrike dhe për të gjetur emëruesin më të ulët të përbashkët, duhet të dini si të faktorizoni polinomet.

Udhëzimet

Le të shqyrtojmë reduktimin e dy thyesave aritmetike n/m dhe s/t në emëruesin më të vogël të përbashkët, ku n, m, s, t janë numra të plotë. Është e qartë se këto dy thyesa mund të reduktohen në çdo emërues të pjesëtueshëm me m dhe t. Por ata përpiqen ta sjellin atë në emëruesin më të ulët të përbashkët. Është e barabartë me shumëfishin më të vogël të përbashkët të emërtuesve m dhe t të thyesave të dhëna. Shumëfishi më i vogël (LMK) i një numri është më i vogli i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e dhënë në të njëjtën kohë. Ato. në rastin tonë, duhet të gjejmë shumëfishin më të vogël të përbashkët të numrave m dhe t. Shënuar si LCM (m, t). Më pas, fraksionet shumëzohen me ato përkatëse: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).

Le të gjejmë emëruesin më të ulët të përbashkët të tre thyesave: 4/5, 7/8, 11/14. Së pari, le të zgjerojmë emëruesit 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Më pas, llogaritni LCM (5, 8, 14) duke shumëzuar të gjithë numrat e përfshirë në të paktën një nga zgjerimet. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Vini re se nëse një faktor ndodh në zgjerimin e disa numrave (faktori 2 në zgjerimin e emëruesve 8 dhe 14), atëherë marrim faktorin në një shkallë më të madhe (2^3 në rastin tonë).

Pra, fitohet ajo e përgjithshme. Është e barabartë me 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Këtu marrim numrat me të cilët duhet të shumëzojmë thyesat me emëruesit përkatës për t'i sjellë ato në emëruesin më të ulët të përbashkët. Ne marrim 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.

Reduktimi i thyesave algjebrike në emëruesin më të ulët të përbashkët kryhet në analogji me ato aritmetike. Për qartësi, le ta shohim problemin duke përdorur një shembull. Le të jepen dy thyesa (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) dhe (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Le të faktorizojmë të dy emëruesit. Vini re se emëruesi i thyesës së parë është një katror i përsosur: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Për

Kjo metodë ka kuptim nëse shkalla e polinomit nuk është më e ulët se dy. Në këtë rast, faktori i përbashkët mund të jetë jo vetëm një binom i shkallës së parë, por edhe i shkallëve më të larta.

Për të gjetur një të përbashkët faktor termat e polinomit, është e nevojshme të kryhen një sërë transformimesh. Binomi ose monomi më i thjeshtë që mund të hiqet nga kllapat do të jetë një nga rrënjët e polinomit. Natyrisht, në rastin kur një polinom nuk ka një term të lirë, do të ketë një të panjohur në shkallën e parë - polinomi, i barabartë me 0.

Më e vështirë për të gjetur një faktor të përbashkët është rasti kur termi i lirë nuk është i barabartë me zero. Pastaj zbatohen metodat e përzgjedhjes ose grupimit të thjeshtë. Për shembull, le të jenë racionale të gjitha rrënjët e një polinomi, dhe të gjithë koeficientët e polinomit janë numra të plotë: y^4 + 3 y³ – y² – 9 y – 18.

Shkruani të gjithë pjesëtuesit e plotë të termit të lirë. Nëse një polinom ka rrënjë racionale, atëherë ato janë ndër to. Si rezultat i përzgjedhjes, përftohen rrënjët 2 dhe -3. Kjo do të thotë se faktorët e përbashkët të këtij polinomi do të jenë binomet (y - 2) dhe (y + 3).

Metoda e zakonshme e faktorizimit është një nga komponentët e faktorizimit. Metoda e përshkruar më sipër është e zbatueshme nëse koeficienti i shkallës më të lartë është 1. Nëse nuk është kështu, atëherë fillimisht duhet të kryhen një sërë transformimesh. Për shembull: 2y³ + 19 y² + 41 y + 15.

Bëni një zëvendësim të formës t = 2³·y³. Për ta bërë këtë, shumëzojini të gjithë koeficientët e polinomit me 4: 2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. Pas zëvendësimit: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Tani, në gjeni faktorin e përbashkët, ne aplikojmë metodën e mësipërme.

Për më tepër, një metodë efektive për gjetjen e një faktori të përbashkët janë elementët e një polinomi. Është veçanërisht e dobishme kur metoda e parë nuk e bën këtë, d.m.th. Polinomi nuk ka rrënjë racionale. Megjithatë, grupimet nuk janë gjithmonë të dukshme. Për shembull: Polinomi y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 nuk ka rrënjë të plota.

Përdorni grupimin: y^4 + 4 y³ – y² – 8 y – 2 = y^4 + 4 y³ – 2 y² + y² – 8 y – 2 = (y^4 – 2 y²) + ( 4 y³ – 8 y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4 y + 1 Faktori i përbashkët i elementeve të këtij polinomi është (y² - 2).

Shumëzimi dhe pjesëtimi, ashtu si mbledhja dhe zbritja, janë veprime themelore aritmetike. Pa mësuar të zgjidhë shembuj të shumëzimit dhe pjesëtimit, një person do të hasë shumë vështirësi jo vetëm kur studion degë më komplekse të matematikës, por edhe në punët më të zakonshme të përditshme. Shumëzimi dhe pjesëtimi janë të lidhura ngushtë, dhe komponentët e panjohur të shembujve dhe problemeve që përfshijnë njërin prej këtyre operacioneve llogariten duke përdorur operacionin tjetër. Në të njëjtën kohë, është e nevojshme të kuptohet qartë se kur zgjidhni shembuj, nuk ka absolutisht asnjë ndryshim se cilat objekte ndani ose shumëzoni.

Do t'ju duhet

• - tabela e shumëzimit;
• - makinë llogaritëse ose fletë letre dhe laps.

Udhëzimet

Shkruani shembullin që ju nevojitet. Etiketoni të panjohurën faktor si një X. Një shembull mund të duket kështu: a*x=b. Në vend të faktorit a dhe produktit b në shembull, mund të ketë ndonjë ose numra. Mos harroni parimin bazë të shumëzimit: ndryshimi i vendeve të faktorëve nuk e ndryshon produktin. Kaq e panjohur faktor x mund të vendoset absolutisht kudo.

Për të gjetur të panjohurën faktor në një shembull ku ka vetëm dy faktorë, ju vetëm duhet të ndani produktin me të njohurit faktor. Kjo do të thotë, kjo bëhet si më poshtë: x=b/a. Nëse e keni të vështirë të operoni me sasi abstrakte, përpiquni ta imagjinoni këtë problem në formën e objekteve konkrete. Ju, keni vetëm mollë dhe sa prej tyre do të hani, por nuk e dini sa mollë do të marrin të gjithë. Për shembull, ju keni 5 anëtarë të familjes dhe ka 15 mollë. Përcaktoni numrin e mollëve të destinuara për secilën si x. Atëherë ekuacioni do të duket kështu: 5(mollë)*x=15(mollë). E panjohur faktor gjendet njëlloj si në ekuacionin me shkronjat, pra ndani 15 mollë në pesë anëtarë të familjes, në fund rezulton se secili prej tyre ka ngrënë nga 3 mollë.

Në të njëjtën mënyrë gjendet e panjohura faktor me numrin e faktorëve. Për shembull, shembulli duket si a*b*c*x*=d. Në teori, gjeni me faktorështë e mundur në të njëjtën mënyrë si në shembullin e mëvonshëm: x=d/a*b*c. Por ju mund ta sillni ekuacionin në një formë më të thjeshtë duke treguar produktin e faktorëve të njohur me një shkronjë tjetër - për shembull, m. Gjeni sa barazohet m duke shumëzuar numrat a, b dhe c: m=a*b*c. Atëherë i gjithë shembulli mund të paraqitet si m*x=d, dhe sasia e panjohur do të jetë e barabartë me x=d/m.

Nëse dihet faktor dhe prodhimi janë thyesa, shembulli zgjidhet saktësisht në të njëjtën mënyrë si me . Por në këtë rast duhet të mbani mend veprimet. Gjatë shumëzimit të thyesave, numëruesit dhe emëruesit e tyre shumëzohen. Gjatë pjesëtimit të thyesave, numëruesi i dividentit shumëzohet me emëruesin e pjesëtuesit, dhe emëruesi i dividentit shumëzohet me numëruesin e pjesëtuesit. Kjo do të thotë, në këtë rast shembulli do të duket kështu: a/b*x=c/d. Për të gjetur një sasi të panjohur, duhet të ndani produktin me të njohurit faktor. Kjo është, x=a/b:c/d =a*d/b*c.

Video mbi temën

shënim

Kur zgjidhen shembuj me thyesa, thyesa e një faktori të njohur thjesht mund të kthehet mbrapsht dhe veprimi të kryhet si shumëzim i thyesave.

Një polinom është shuma e monomëve. Një monom është produkt i disa faktorëve, të cilët janë një numër ose një shkronjë. Diplomë i panjohur është numri i herëve që shumëzohet me vetveten.

Udhëzimet

Ju lutemi jepni nëse nuk është bërë tashmë. Monome të ngjashëm janë monome të të njëjtit lloj, pra monomë me të panjohura të njëjta të së njëjtës shkallë.

Merrni, për shembull, polinomin 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². Ky polinom ka dy të panjohura - x dhe y.

Lidhni monomë të ngjashëm. Monomet me fuqinë e dytë të y dhe fuqinë e tretë të x do të vijnë në formën y²*x³, dhe monomët me fuqinë e katërt të y do të anulohen. Rezulton y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.

Merrni y si shkronjën kryesore të panjohur. Gjeni shkallën maksimale për y të panjohur. Ky është një monom y²*x³ dhe, në përputhje me rrethanat, shkalla 2.

Nxirrni një përfundim. Diplomë polinom 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² në x është e barabartë me tre, dhe në y është e barabartë me dy.

Gjeni shkallën polinom√x+5*y nga y. Është e barabartë me shkallën maksimale të y, domethënë një.

Gjeni shkallën polinom√x+5*y në x. E panjohura x ndodhet, që do të thotë se shkalla e saj do të jetë një fraksion. Meqenëse rrënja është rrënjë katrore, fuqia e x është 1/2.

Nxirrni një përfundim. Për polinom√x+5*y fuqia x është 1/2 dhe fuqia y është 1.

Video mbi temën

Thjeshtimi i shprehjeve algjebrike kërkohet në shumë fusha të matematikës, duke përfshirë zgjidhjen e ekuacioneve të rendit më të lartë, diferencimin dhe integrimin. Përdoren disa metoda, duke përfshirë faktorizimin. Për të aplikuar këtë metodë, duhet të gjeni dhe të bëni një gjeneral faktor mbrapa kllapa.

Për të zgjidhur shembuj me thyesa, duhet të jeni në gjendje të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët. Më poshtë janë udhëzimet e hollësishme.

Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - konceptin

Emëruesi më i vogël i përbashkët (LCD), me fjalë të thjeshta, është numri minimal që pjesëtohet me emëruesit e të gjitha thyesave në një shembull të dhënë. Me fjalë të tjera, quhet shumëfishi më i vogël i zakonshëm (LCM). NOS përdoret vetëm nëse emëruesit e thyesave janë të ndryshëm.

Si të gjeni emëruesin më të ulët të përbashkët - shembuj

Le të shohim shembuj të gjetjes së NOC.

Llogaritni: 3/5 + 2/15.

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

• Shikojmë emëruesit e thyesave, sigurohemi që të jenë të ndryshëm dhe shprehjet të jenë sa më të shkurtuara.
• Gjejmë numrin më të vogël që pjesëtohet edhe me 5 edhe me 15. Ky numër do të jetë 15. Kështu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
• Ne e kuptuam emëruesin. Çfarë do të jetë në numërues? Një shumëzues shtesë do të na ndihmojë ta kuptojmë këtë. Një faktor shtesë është numri i marrë duke pjesëtuar NZ me emëruesin e një fraksioni të caktuar. Për 3/5, faktori shtesë është 3, pasi 15/5 = 3. Për fraksionin e dytë, faktori shtesë është 1, pasi 15/15 = 1.
• Pasi kemi zbuluar faktorin shtesë, ne e shumëzojmë atë me numëruesit e thyesave dhe shtojmë vlerat që rezultojnë. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Përgjigje: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Nëse në shembull nuk shtohen ose zbriten 2, por 3 ose më shumë thyesa, atëherë NCD duhet të kërkohet për aq fraksione sa janë dhënë.

Llogaritni: 1/2 – 5/12 + 3/6

Zgjidhja (sekuenca e veprimeve):

• Gjetja e emëruesit më të ulët të përbashkët. Numri minimal i pjesëtueshëm me 2, 12 dhe 6 është 12.
• Marrim: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
• Ne jemi duke kërkuar për shumëzues shtesë. Për 1/2 – 6; për 5/12 – 1; për 3/6 – 2.
• Ne shumëzojmë me numëruesit dhe caktojmë shenjat përkatëse: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Përgjigje: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Ne vazhdojmë të kuptojmë bazat e algjebrës. Sot do të punojmë, domethënë, do të shqyrtojmë një veprim si p.sh duke vënë faktorin e përbashkët jashtë kllapave.

Përmbajtja e mësimit

Parimi themelor

Ligji shpërndarës i shumëzimit ju lejon të shumëzoni një numër me një shumë (ose një shumë me një numër). Për shembull, për të gjetur vlerën e shprehjes 3 × (4 + 5), mund të shumëzoni numrin 3 me secilin term në kllapa dhe të shtoni rezultatet:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Numri 3 dhe shprehja në kllapa mund të ndërrohen (kjo rrjedh nga ligji komutativ i shumëzimit). Pastaj çdo term në kllapa do të shumëzohet me numrin 3

(4 + 5) × 3 = 4 × 3 + 5 × 3 = 12 + 15

Tani për tani, ne nuk do të llogarisim ndërtimin 3 × 4 + 3 × 5 dhe do të shtojmë rezultatet e marra 12 dhe 15. Le ta lëmë shprehjen në formë 3 (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5. Më poshtë do të na duhet pikërisht në këtë formë për të kuptuar thelbin e nxjerrjes nga kllapa të faktorit të përbashkët.

Ligji shpërndarës i shumëzimit nganjëherë quhet vendosja e një faktori brenda kllapave. Në shprehjen 3 × (4 + 5), faktori 3 u la jashtë kllapave. Duke e shumëzuar me çdo term në kllapa, në thelb e kemi futur brenda kllapave. Për qartësi, mund ta shkruani në këtë mënyrë, megjithëse nuk është e zakonshme të shkruani në këtë mënyrë:

3 (4 + 5) = (3 × 4 + 3 × 5)

Që në shprehje 3 × (4 + 5) numri 3 shumëzohet me çdo term në kllapa, ky numër është një faktor i zakonshëm për termat 4 dhe 5

Siç u përmend më herët, duke e shumëzuar këtë faktor të përbashkët me çdo term në kllapa, ne e vendosim atë brenda kllapave. Por procesi i kundërt është gjithashtu i mundur - faktori i përbashkët mund të hiqet nga kllapat. NË në këtë rast në shprehje 3×4 + 3×5 shumëzuesi i përgjithshëm është qartë i dukshëm - ky është një shumëzues prej 3. Duhet të hiqet nga ekuacioni. Për ta bërë këtë, së pari shkruani vetë faktorin 3

dhe pranë tij në kllapa shkruhet shprehja 3×4 + 3×5 por pa faktorin e përbashkët 3, pasi është nxjerrë jashtë kllapave

3 (4 + 5)

Si rezultat i nxjerrjes së faktorit të përbashkët nga kllapa, marrim shprehjen 3 (4 + 5) . Kjo shprehje është identike me shprehjen e mëparshme 3×4 + 3×5

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Nëse llogarisim të dy anët e barazisë që rezulton, marrim identitetin:

3(4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

27 = 27

Si del jashtë kllapa faktori i përbashkët?

Vendosja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave është në thelb operacioni i kundërt i vendosjes së faktorit të përbashkët brenda kllapave.

Nëse, kur futim një faktor të përbashkët brenda kllapave, e shumëzojmë këtë faktor me çdo term në kllapa, atëherë kur e zhvendosim këtë faktor jashtë kllapave, duhet të ndajmë çdo term në kllapa me këtë faktor.

Në shprehje 3×4 + 3×5, e cila u diskutua më lart, kjo është ajo që ndodhi. Çdo term u nda me një faktor të përbashkët prej 3. Prodhimet 3 × 4 dhe 3 × 5 janë terma, sepse nëse i llogarisim, marrim shumën 12 + 15

Tani mund të shohim në detaje se si faktori i përgjithshëm është hequr nga kllapat:

Mund të shihet se faktori i përbashkët 3 fillimisht nxirret nga kllapat, pastaj në kllapa çdo term ndahet me këtë faktor të përbashkët.

Pjesëtimi i çdo termi me një faktor të përbashkët mund të bëhet jo vetëm duke pjesëtuar numëruesin me emëruesin, siç tregohet më sipër, por edhe duke reduktuar këto thyesa. Në të dyja rastet do të merrni të njëjtin rezultat:

Ne shikuam shembullin më të thjeshtë të nxjerrjes së një faktori të përbashkët nga kllapat për të kuptuar parimin bazë.

Por jo gjithçka është aq e thjeshtë sa duket në shikim të parë. Pasi numri shumëzohet me çdo term në kllapa, rezultatet mblidhen së bashku dhe faktori i përbashkët humbet nga pamja.

Le të kthehemi te shembulli ynë 3 (4 + 5). Le të zbatojmë ligjin shpërndarës të shumëzimit, domethënë të shumëzojmë numrin 3 me secilin term në kllapa dhe të shtojmë rezultatet:

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15

Pasi të llogaritet ndërtimi 3 × 4 + 3 × 5, marrim shprehjen e re 12 + 15. Shohim që faktori i përbashkët 3 është zhdukur nga pamja. Tani, në shprehjen që rezulton 12 + 15, le të përpiqemi ta heqim faktorin e përbashkët nga kllapat, por për ta hequr këtë faktor të përbashkët, së pari duhet ta gjejmë atë.

Zakonisht gjatë zgjidhjes së problemeve ndeshim pikërisht shprehje të tilla në të cilat fillimisht duhet gjetur faktori i përbashkët para se të nxirret.

Për të hequr faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen 12 + 15, duhet të gjeni faktorin më të madh të përbashkët (GCD) të termave 12 dhe 15. GCD e gjetur do të jetë faktori i përbashkët.

Pra, le të gjejmë GCD për numrat 12 dhe 15. Kujtojmë se për të gjetur GCD, duhet të zbërthehen numrat origjinalë në faktorët kryesorë, më pas të shkruani zbërthimin e parë dhe të hiqni prej tij faktorët që nuk përfshihen në zbërthim. të numrit të dytë. Faktorët e mbetur duhet të shumëzohen për të marrë gcd-në e dëshiruar. Nëse keni vështirësi në këtë pikë, sigurohuni që ta përsërisni.

GCD për 12 dhe 15 është numri 3. Ky numër është faktori i përbashkët për termat 12 dhe 15. Duhet të hiqet nga kllapa. Për ta bërë këtë, fillimisht shkruajmë vetë faktorin 3 dhe pranë tij në kllapa shkruajmë një shprehje të re në të cilën çdo term i shprehjes 12 + 15 ndahet me një faktor të përbashkët 3.

Epo, llogaritja e mëtejshme nuk është e vështirë. Shprehja në kllapa është e lehtë për t'u llogaritur - dymbëdhjetë pjesëtuar me tre është katër, A pesëmbëdhjetë pjesëtuar me tre është pesë:

Kështu, kur nxirret faktori i përbashkët nga kllapat në shprehjen 12 + 15, fitohet shprehja 3(4 + 5). Zgjidhja e detajuar është si më poshtë:

Zgjidhja e shkurtër anashkalon shënimin që tregon se si ndahet secili term me një faktor të përbashkët:

Shembulli 2. 15 + 20

Le të gjejmë gcd për termat 15 dhe 20

GCD për 15 dhe 20 është numri 5. Ky numër është një faktor i zakonshëm për termat 15 dhe 20. Le ta heqim atë nga kllapat:

Morëm shprehjen 5(3 + 4). Shprehja që rezulton mund të kontrollohet. Për ta bërë këtë, mjafton të shumëzosh pesë me çdo term në kllapa. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, duhet të marrim shprehjen 15 + 20

Shembulli 3. Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen 18+24+36

Le të gjejmë gcd për termat 18, 24 dhe 36. Për të gjetur , duhet t'i faktorizoni këta numra në faktorët kryesorë, më pas të gjeni produktin e faktorëve të përbashkët:

GCD për 18, 24 dhe 36 është numri 6. Ky numër është faktori i zakonshëm për termat 18, 24 dhe 36. Le ta heqim atë nga kllapa:

Le të kontrollojmë shprehjen që rezulton. Për ta bërë këtë, shumëzojeni numrin 6 me çdo term në kllapa. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, duhet të marrim shprehjen 18+24+36

Shembulli 4. Hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen 13 + 5

Termat 13 dhe 5 janë numra të thjeshtë. Ata dekompozohen vetëm në një dhe në vetvete:

Kjo do të thotë që termat 13 dhe 5 nuk kanë faktorë të përbashkët përveç njërit. Prandaj, nuk ka kuptim ta vendosni këtë njësi jashtë kllapave, pasi nuk do të japë asgjë. Le të tregojmë këtë:

Shembulli 5. Hiqeni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen 195+156+260

Le të gjejmë gcd për termat 195, 156 dhe 260

GCD për 195, 156 dhe 260 është numri 13. Ky numër është faktori i zakonshëm për termat 195, 156 dhe 260. Le ta heqim atë nga kllapat:

Le të kontrollojmë shprehjen që rezulton. Për ta bërë këtë, shumëzoni 13 me çdo term në kllapa. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, duhet të marrim shprehjen 195+156+260

Një shprehje në të cilën duhet të hiqni faktorin e përbashkët nga kllapat mund të jetë jo vetëm një shumë numrash, por edhe një ndryshim. Për shembull, le të marrim faktorin e përbashkët nga kllapa në shprehjen 16 − 12 − 4. Faktori më i madh i përbashkët për numrat 16, 12 dhe 4 është numri 4. Le ta nxjerrim këtë numër nga kllapa:

Le të kontrollojmë shprehjen që rezulton. Për ta bërë këtë, shumëzoni katër me çdo numër në kllapa. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, duhet të marrim shprehjen 16 − 12 − 4

Shembulli 6. Hiqeni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen 72+96−120

Le të gjejmë GCD për numrat 72, 96 dhe 120

GCD për 72, 96 dhe 120 është numri 24. Ky numër është faktori i zakonshëm për termat 195, 156 dhe 260. Le ta heqim atë nga kllapat:

Le të kontrollojmë shprehjen që rezulton. Për ta bërë këtë, shumëzoni 24 me çdo numër në kllapa. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, duhet të marrim shprehjen 72+96−120

Faktori i përgjithshëm i hequr nga kllapat mund të jetë gjithashtu negativ. Për shembull, le të nxjerrim faktorin e përbashkët jashtë kllapave në shprehjen −6−3. Ka dy mënyra për të hequr faktorin e përbashkët nga kllapat në këtë shprehje. Le të shohim secilin prej tyre.

Metoda 1.

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

−6 + (−3)

Tani gjejmë faktorin e përbashkët. Faktori i përbashkët i kësaj shprehjeje do të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i termave −6 dhe −3.

Moduli i termit të parë është 6. Dhe moduli i termit të dytë është 3. GCD(6 dhe 3) është i barabartë me 3. Ky numër është një faktor i zakonshëm për termat 6 dhe 3. Le ta nxjerrim atë nga kllapat:

Shprehja e përftuar në këtë mënyrë nuk ishte shumë e saktë. Shumë kllapa dhe numra negativë nuk e bëjnë të thjeshtë shprehjen. Prandaj, mund të përdorni metodën e dytë, thelbi i së cilës është të vendosni jashtë kllapave jo 3, por -3.

Metoda 2.

Ashtu si herën e kaluar, ne zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen.

−6 + (−3)

Këtë herë do të nxjerrim nga kllapat jo 3, por −3

Shprehja e marrë këtë herë duket shumë më e thjeshtë. Le ta shkruajmë zgjidhjen më të shkurtër për ta bërë atë edhe më të thjeshtë:

Lejimi i nxjerrjes së një faktori negativ nga kllapat është për faktin se zgjerimi i numrave −6 dhe (−3) mund të shkruhet në dy mënyra: së pari bëje shumëzuesin negativ dhe shumëzuesin pozitiv:

−2 × 3 = −6

−1 × 3 = −3

në rastin e dytë, shumëzuesi mund të bëhet pozitiv dhe shumëzuesi negativ:

2 × (−3) = −6

1 × (−3) = −3

Kjo do të thotë se ne jemi të lirë të vendosim jashtë kllapave faktorin që duam.

Shembulli 8. Hiqeni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen −20−16−2

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen

−20−16−2 = −20 + (−16) + (−2)

Faktori më i madh i përbashkët për termat −20, −16 dhe −2 është numri 2. Ky numër është faktori i përbashkët për këta terma. Le të shohim se si duket:

−10 × 2 = −20

−8 × 2 = −16

−1 × 2 = −2

Por zgjerimet e dhëna mund të zëvendësohen nga zgjerime identike të barabarta. Dallimi do të jetë se faktori i përbashkët nuk do të jetë 2, por −2

10 × (−2) = −20

8 × (−2) = −16

1 × (−2) = −2

Prandaj, për lehtësi, mund të vendosim jashtë kllapave jo 2, por -2

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen e mësipërme:

Dhe nëse do të hiqnim 2 nga kllapat, do të merrnim një shprehje jo plotësisht të saktë:

Shembulli 9. Hiqeni faktorin e përbashkët nga kllapat në shprehjen −30−36−42

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen:

−30 + (−36) + (−42)

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i termave −30, −36 dhe −42 është numri 6. Ky numër është faktori i përbashkët për këta terma. Por ne do të nxjerrim jo 6, por −6, ​​pasi numrat −30, −36 dhe −42 mund të përfaqësohen si më poshtë:

5 × (−6) = −30

6 × (−6) = −36

7 × (−6) = −42

Duke hequr minusin nga kllapat

Kur zgjidhni probleme, ndonjëherë mund të jetë e dobishme të vendosni shenjën minus jashtë kllapave. Kjo ju lejon të thjeshtoni shprehjen dhe ta vendosni në rregull.

Merrni parasysh shembullin e mëposhtëm. Hiqni minusin nga kllapat në shprehjen −15+(−5)+(−3)

Për qartësi, le ta mbyllim këtë shprehje në kllapa, sepse po flasim për heqjen e minusit nga këto kllapa.

(−15 + (−5) + (−3))

Pra, për të hequr minusin nga kllapat, duhet të shkruani minusin para kllapave dhe të shkruani të gjitha termat në kllapa, por me shenja të kundërta.

Ne e hoqëm minusin nga kllapat në shprehjen −15+(−5)+(−3) dhe morëm −(15+5+3). Të dyja shprehjet janë të barabarta me të njëjtën vlerë −23

−15 + (−5) + (−3) = −23

−(15 + 5 + 3) = −(23) = −23

Prandaj, mund të vendosim një shenjë të barabartë midis shprehjeve −15+(−5)+(−3) dhe −(15+5+3), sepse ato kanë të njëjtin kuptim:

−15 + (−5) + (−3) = −(15 + 5 + 3)

Në fakt, kur minusi hiqet nga kllapat, ligji shpërndarës i shumëzimit përsëri funksionon:

a(b+c) = ab + ac

Nëse shkëmbejmë anën e majtë dhe të djathtë të këtij identiteti, rezulton se faktori a në kllapa

ab + ac = a(b+c)

E njëjta gjë ndodh kur nxjerrim faktorin e përbashkët në shprehjet e tjera dhe kur nxjerrim minusin nga kllapa.

Natyrisht, kur hiqni një minus nga kllapat, nuk është një minus që hiqet, por një minus. Ne kemi thënë tashmë se është zakon të mos regjistrohet koeficienti 1.

Prandaj, para kllapave formohet një minus dhe shenjat e termave që ishin në kllapa ndryshojnë shenjën e tyre në të kundërtën, pasi çdo term ndahet me minus një.

Le të kthehemi te shembulli i mëparshëm dhe të shohim në detaje se si në të vërtetë minusi u hoq nga kllapat

Shembulli 2. Vendosni minusin jashtë kllapave në shprehjen −3 + 5 + 11

Vendosim një minus dhe pranë tij në kllapa shkruajmë shprehjen −3 + 5 + 11 me shenjën e kundërt për çdo term:

−3 + 5 + 11 = −(3 − 5 − 11)

Ashtu si në shembullin e mëparshëm, këtu nuk është minus që është hequr nga kllapat, por minus një. Zgjidhja e detajuar është si më poshtë:

Në fillim morëm shprehjen −1(3 + (−5) + (−11)), por hapëm kllapat e brendshme në të dhe morëm shprehjen −(3 − 5 − 11) . Zgjerimi i kllapave është tema e mësimit të ardhshëm, kështu që nëse ky shembull është i vështirë për ju, mund ta kaloni tani për tani.

Nxjerrja e faktorit të përbashkët nga kllapat në shprehje fjalë për fjalë

Heqja e faktorit të përbashkët jashtë kllapave në terma fjalë për fjalë është shumë më interesante.

Së pari, le të shohim një shembull të thjeshtë. Le të ketë një shprehje 3 a + 2 a. Le të heqim nga kllapat faktorin e përbashkët.

Në këtë rast, shumëzuesi total është i dukshëm me sy të lirë - ky është shumëzuesi a. Le ta heqim nga kllapat. Për ta bërë këtë, ne shkruajmë vetë shumëzuesin a dhe pranë saj në kllapa shkruajmë shprehjen 3a + 2a, por pa shumëzues a meqenëse është nxjerrë nga kllapa:

Ashtu si në rastin e një shprehjeje numerike, këtu çdo term ndahet me faktorin e përbashkët të nxjerrë. Duket kështu:

Ndryshoret në të dyja thyesat a u reduktuan me a. Në vend të kësaj, numëruesi dhe emëruesi kanë njësi. Njësitë janë marrë për faktin se në vend të një ndryshoreje a mund të jetë çdo numër. Kjo variabël u vendos si në numërues ashtu edhe në emërues. Dhe nëse numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtët numra, atëherë pjesëtuesi më i madh i përbashkët për ta do të jetë vetë ky numër.

Për shembull, nëse në vend të një ndryshoreje a zëvendësoni numrin 4 , atëherë ndërtimi do të marrë formën e mëposhtme: . Atëherë të katërtat në të dy fraksionet mund të reduktohen me 4:

Rezulton njësoj si më parë, kur në vend të katërshe kishte një ndryshore a .

Prandaj, nuk duhet të shqetësoheni nga reduktimi i variablave. Një ndryshore është një shumëzues i plotë, edhe nëse shprehet me një shkronjë. Një shumëzues i tillë mund të hiqet nga kllapa, të reduktohet dhe veprime të tjera që janë të lejueshme për numrat e zakonshëm.

Një shprehje fjalë për fjalë përmban jo vetëm numra, por edhe shkronja (ndryshore). Prandaj, faktori i përbashkët që hiqet nga kllapat është shpesh një faktor shkronjash, i përbërë nga një numër dhe një shkronjë (koeficient dhe variabël). Për shembull, shprehjet e mëposhtme janë faktorë të mirëfilltë:

3a, 6b, 7ab, a, b, c

Para se të hiqni një faktor të tillë nga kllapat, duhet të vendosni se cili numër do të jetë në pjesën numerike të faktorit të përbashkët dhe cili variabël do të jetë në pjesën shkronja të faktorit të përbashkët. Me fjalë të tjera, duhet të zbuloni se çfarë koeficienti do të ketë faktori i përbashkët dhe çfarë ndryshore do të përfshihet në të.

Merrni parasysh shprehjen 10 një + 15a. Le të përpiqemi të heqim faktorin e përbashkët jashtë kllapave. Së pari, le të vendosim se nga do të përbëhet faktori i përbashkët, domethënë do të zbulojmë koeficientin e tij dhe çfarë ndryshore do të përfshihet në të.

Koeficienti i shumëzuesit të përbashkët duhet të jetë pjesëtuesi më i madh i përbashkët i koeficientëve të shprehjes fjalë për fjalë 10 një + 15a. 10 dhe 15, dhe pjesëtuesi i tyre më i madh i përbashkët është numri 5. Kjo do të thotë se numri 5 do të jetë koeficienti i faktorit të përbashkët të nxjerrë nga kllapat.

Tani le të vendosim se cila variabël do të përfshihet në faktorin e përbashkët. Për ta bërë këtë, duhet të shikoni shprehjen 10 një + 15a dhe gjeni faktorin shkronja që përfshihet në të gjitha termat. Në këtë rast, është një faktor a. Ky faktor përfshihet në çdo term të shprehjes 10 një + 15a. Pra, ndryshorja a do të përfshihet në pjesën e mirëfilltë të faktorit të përbashkët të nxjerrë nga kllapat:

Tani mbetet vetëm të llogaritet faktori i përbashkët 5a jashtë kllapave. Për ta bërë këtë, ne ndajmë çdo term të shprehjes 10a + 15a në 5a. Për qartësi, ne do të ndajmë koeficientët dhe numrat me një shenjë shumëzimi (×)

Le të kontrollojmë shprehjen që rezulton. Për ta bërë këtë, le të shumëzojmë 5a për çdo term në kllapa. Nëse kemi bërë gjithçka siç duhet, do të marrim shprehjen 10a + 15a

Faktori shkronja nuk mund të hiqet gjithmonë nga kllapa. Ndonjëherë faktori i përbashkët përbëhet vetëm nga një numër, pasi nuk ka asgjë të përshtatshme për pjesën e shkronjës në shprehje.

Për shembull, le të nxjerrim faktorin e përbashkët jashtë kllapave në shprehje 2a−2b. Këtu faktori i përbashkët do të jetë vetëm numri 2 , dhe ndër faktorët e shkronjave nuk ka faktorë të përbashkët në shprehje. Prandaj, në këtë rast do të hiqet vetëm shumëzuesi 2

Shembulli 2. Nxjerr faktorin e përbashkët nga shprehja 3x + 9v + 12

Koeficientët e kësaj shprehjeje janë numra 3, 9 Dhe 12, gcd-ja e tyre është e barabartë 3 3 . Dhe midis faktorëve të shkronjave (variablave) nuk ka asnjë faktor të përbashkët. Prandaj faktori përfundimtar i përbashkët është 3

Shembulli 3. Vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave në shprehje 8x + 6y + 4z + 10 + 2

Koeficientët e kësaj shprehjeje janë numra 8, 6, 4, 10 Dhe 2, gcd-ja e tyre është e barabartë 2 . Kjo do të thotë se koeficienti i faktorit të përbashkët të nxjerrë nga kllapa do të jetë numri 2 . Dhe midis faktorëve të shkronjave nuk ka asnjë faktor të përbashkët. Prandaj faktori përfundimtar i përbashkët është 2

Shembulli 4. Hiqni faktorin e përbashkët 6ab + 18ab + 3abc

Koeficientët e kësaj shprehjeje janë numra 6, 18 dhe 3, gcd-ja e tyre është e barabartë 3 . Kjo do të thotë se koeficienti i faktorit të përbashkët të nxjerrë nga kllapa do të jetë numri 3 . Pjesa e mirëfilltë e faktorit të përbashkët do të përfshijë variabla a Dhe b, që në shprehje 6ab + 18ab + 3abc këto dy variabla përfshihen në secilin term. Prandaj faktori përfundimtar i përbashkët është 3ab

Me një zgjidhje të detajuar, shprehja bëhet e rëndë dhe madje e pakuptueshme. Në këtë shembull kjo është më se e dukshme. Kjo për faktin se ne anulojmë faktorët në numërues dhe emërues. Është mirë ta bëni këtë në kokën tuaj dhe të shkruani menjëherë rezultatet e ndarjes. Pastaj shprehja bëhet e shkurtër dhe e rregullt:

Ashtu si në rastin e një shprehje numerike, në një shprehje fjalë për fjalë faktori i përbashkët mund të jetë negativ.

Për shembull, le të heqim gjeneralin nga kllapat në shprehje −3a − 2a.

Për lehtësi, ne zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen

−3a − 2a = −3a + (−2a )

Faktori i përbashkët në këtë shprehje është faktori a. Por jo vetëm që mund të marrim parasysh a, por gjithashtu −a. Le ta heqim nga kllapa:

Doli të ishte një shprehje e pastër −a (3+2). Nuk duhet harruar se shumëzuesi −a në fakt dukej si −1a dhe pas reduktimit në të dy fraksionet e variablave a, minus një mbetet në emërues. Prandaj, në fund marrim përgjigje pozitive në kllapa

Shembulli 6. Vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave në shprehje −6x − 6y

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen

−6x−6y = −6x+(−6y)

Le ta vendosim jashtë kllapave −6

Le të shkruajmë shkurtimisht zgjidhjen:

−6x − 6y = −6(x + y)

Shembulli 7. Vendosni faktorin e përbashkët jashtë kllapave në shprehje −2a − 4b − 6c

Zëvendësojmë zbritjen me mbledhjen

−2a-4b-6c = −2a + (−4b) + (−6c)

Le ta vendosim jashtë kllapave −2

Ju pëlqeu mësimi?
Bashkohuni me grupin tonë të ri VKontakte dhe filloni të merrni njoftime për mësime të reja

Në këtë artikull do të përqendrohemi në duke nxjerrë nga kllapa faktorin e përbashkët. Së pari, le të kuptojmë se nga përbëhet ky transformim i shprehjes. Më pas, do të paraqesim rregullin për vendosjen e faktorit të përbashkët jashtë kllapave dhe do të shqyrtojmë në detaje shembuj të zbatimit të tij.

Navigimi i faqes.

Për shembull, termat në shprehjen 6 x + 4 y kanë një faktor të përbashkët 2, i cili nuk shkruhet në mënyrë eksplicite. Mund të shihet vetëm pasi të përfaqësohet numri 6 si prodhim i 2·3 dhe 4 si prodhim i 2·2. Kështu që, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 y). Një shembull tjetër: në shprehjen x 3 +x 2 +3 x termat kanë një faktor të përbashkët x, i cili bëhet qartë i dukshëm pas zëvendësimit të x 3 me x x 2 (në këtë rast kemi përdorur) dhe x 2 me x x. Pasi e nxjerrim nga kllapa, marrim x·(x 2 +x+3) .

Le të themi veçmas për vendosjen e minusit jashtë kllapave. Në fakt, të vendosësh minus jashtë kllapave do të thotë të vendosësh minus një jashtë kllapave. Për shembull, le të nxjerrim minusin në shprehjen −5−12·x+4·x·y. Shprehja origjinale mund të rishkruhet si (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x y, nga ku duket qartë faktori i përbashkët −1, të cilin e nxjerrim nga kllapat. Si rezultat, arrijmë në shprehjen (−1)·(5+12·x−4·x·y) në të cilën koeficienti −1 zëvendësohet thjesht me një minus përpara kllapave, si rezultat kemi −(5+12·x−4·x· y) . Nga këtu shihet qartë se kur minus hiqet nga kllapa, shuma origjinale mbetet në kllapa, në të cilat shenjat e të gjitha termave të saj janë ndryshuar në të kundërtën.

Në përfundim të këtij artikulli, vërejmë se kllapa e faktorit të përbashkët përdoret shumë gjerësisht. Për shembull, mund të përdoret për të llogaritur në mënyrë më efikase vlerat e shprehjeve numerike. Gjithashtu, vendosja e një faktori të përbashkët jashtë kllapave ju lejon të përfaqësoni shprehjet në formën e një produkti në veçanti, një nga metodat për faktorizimin e një polinomi bazohet në kllapa;

Bibliografi.

• Matematika. Klasa e 6-të: arsimore. për arsimin e përgjithshëm institucionet / [N. Ya. Vilenkin dhe të tjerët]. - Botimi i 22-të, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 f.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve