Ndarja e rrënjëve aritmetike. Faktorizimi i një shprehjeje radikale

Fakti 1.
\(\bullet\) Le të marrim pak Jo një numër negativ\(a\) (domethënë \(a\geqslant 0\) ). Pastaj (aritmetike) rrenja katrore nga numri \(a\) quhet një numër i tillë jo negativ \(b\) , kur në katror marrim numrin \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \tekst(njëlloj si )\quad a=b^2\] Nga përkufizimi rezulton se \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Këto kufizime janë një kusht i rëndësishëm ekzistenca e një rrënjë katrore dhe ato duhet të mbahen mend!
Kujtoni se çdo numër kur vihet në katror jep një rezultat jo negativ. Kjo është, \(100^2=10000\geqslant 0\) dhe \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Me çfarë është \(\sqrt(25)\)? Ne e dimë se \(5^2=25\) dhe \((-5)^2=25\) . Meqenëse sipas përkufizimit duhet të gjejmë një numër jo negativ, atëherë \(-5\) nuk është i përshtatshëm, pra, \(\sqrt(25)=5\) (pasi \(25=5^2\) ).
Gjetja e vlerës së \(\sqrt a\) quhet duke marrë rrënjën katrore të numrit \(a\) , dhe numri \(a\) quhet shprehje radikale.
\(\bullet\) Bazuar në përkufizimin, shprehja \(\sqrt(-25)\), \(\sqrt(-4)\), etj. nuk ka kuptim.

Fakti 2.
Për llogaritjet e shpejta do të jetë e dobishme të mësoni tabelën e katrorëve numrat natyrorë nga \(1\) në \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \hline \fund (array)\]

Fakti 3.
Çfarë veprimesh mund të bëni me rrënjët katrore?
\(\plumb\) Shuma ose diferenca rrënjë katrore JO E barabartë me rrënjën katrore të shumës ose ndryshimit, domethënë \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kështu, nëse duhet të llogaritni, për shembull, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , atëherë fillimisht duhet të gjeni vlerat e \(\sqrt(25)\) dhe \(\ sqrt(49)\ ) dhe më pas palosini ato. Prandaj, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Nëse vlerat \(\sqrt a\) ose \(\sqrt b\) nuk mund të gjenden kur shtoni \(\sqrt a+\sqrt b\), atëherë një shprehje e tillë nuk transformohet më tej dhe mbetet ashtu siç është. Për shembull, në shumën \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mund të gjejmë se \(\sqrt(49)\) është \(7\) , por \(\sqrt 2\) nuk mund të transformohet në gjithsesi, kjo është arsyeja pse \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Fatkeqësisht, kjo shprehje nuk mund të thjeshtohet më tej\(\bullet\) Prodhimi/herësi i rrënjëve katrore është i barabartë me rrënjën katrore të produktit/herësorit, d.m.th. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \tekst(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (me kusht që të dyja anët e barazive të kenë kuptim)
Shembull: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Duke përdorur këto veti, është e përshtatshme të gjesh rrënjët katrore të numra të mëdhenj duke i faktorizuar ato.
Le të shohim një shembull. Le të gjejmë \(\sqrt(44100)\) . Meqenëse \(44100:100=441\) , atëherë \(44100=100\cdot 441\) . Sipas kriterit të pjesëtueshmërisë, numri \(441\) pjesëtohet me \(9\) (pasi shuma e shifrave të tij është 9 dhe pjesëtohet me 9), pra \(441:9=49\), domethënë \(441=9\ cdot 49\) .
Kështu kemi marrë: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Le të shohim një shembull tjetër: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Le të tregojmë se si futen numrat nën shenjën e rrënjës katrore duke përdorur shembullin e shprehjes \(5\sqrt2\) (shënim i shkurtër për shprehjen \(5\cdot \sqrt2\)). Meqenëse \(5=\sqrt(25)\) , atëherë \ Vini re gjithashtu se, për shembull,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Pse eshte ajo? Le të shpjegojmë duke përdorur shembullin 1). Siç e kuptoni tashmë, ne nuk mund ta transformojmë disi numrin \(\sqrt2\). Le të imagjinojmë që \(\sqrt2\) është një numër \(a\) . Prandaj, shprehja \(\sqrt2+3\sqrt2\) nuk është asgjë më shumë se \(a+3a\) (një numër \(a\) plus tre të tjerë numra të njëjtë \(a\)). Dhe ne e dimë se kjo është e barabartë me katër numra të tillë \(a\) , domethënë \(4\sqrt2\) .

Fakti 4.
\(\bullet\) Ata shpesh thonë "nuk mund ta nxjerrësh rrënjën" kur nuk mund të heqësh qafe shenjën \(\sqrt () \\) të rrënjës (radikale) kur gjen vlerën e një numri. . Për shembull, mund të merrni rrënjën e numrit \(16\) sepse \(16=4^2\) , pra \(\sqrt(16)=4\) . Por është e pamundur të nxjerrësh rrënjën e numrit \(3\), domethënë të gjesh \(\sqrt3\), sepse nuk ka asnjë numër që në katror do të japë \(3\) .
Numra të tillë (ose shprehje me numra të tillë) janë irracionalë. Për shembull, numrat \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) e kështu me radhë. janë joracionale.
Gjithashtu irracionalë janë numrat \(\pi\) (numri "pi", afërsisht i barabartë me \(3.14\)), \(e\) (ky numër quhet numri Euler, është afërsisht i barabartë me \(2.7 \)) etj.
\(\bullet\) Ju lutemi vini re se çdo numër do të jetë ose racional ose irracional. Dhe së bashku të gjithë janë racionalë dhe gjithçka numrat irracionalë formojnë një grup të quajtur një grup numrash realë. Ky grup shënohet me shkronjën \(\mathbb(R)\) .
Kjo do të thotë se të gjithë numrat që janë në ky moment ne e dimë se quhen numra realë.

Fakti 5.
\(\bullet\) Moduli i një numri real \(a\) është një numër jo negativ \(|a|\) , e barabartë me distancën nga pika \(a\) në \(0\) në vijën reale. Për shembull, \(|3|\) dhe \(|-3|\) janë të barabarta me 3, pasi distancat nga pikat \(3\) dhe \(-3\) në \(0\) janë i njëjtë dhe i barabartë me \(3 \) .
\(\bullet\) Nëse \(a\) është një numër jo negativ, atëherë \(|a|=a\) .
Shembull: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Nëse \(a\) është një numër negativ, atëherë \(|a|=-a\) .
Shembull: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Ata thonë se për numrat negativ moduli "ha" minusin, ndërsa numrat pozitivë, si dhe numri \(0\), lihen të pandryshuar nga moduli.
POR Ky rregull vlen vetëm për numrat. Nëse nën shenjën tuaj të modulit ka një të panjohur \(x\) (ose ndonjë të panjohur tjetër), për shembull, \(|x|\) , për të cilën nuk e dimë nëse është pozitive, zero apo negative, atëherë hiqni qafe. e modulit nuk mundemi. Në këtë rast, kjo shprehje mbetet e njëjtë: \(|x|\) . \(\bullet\) Formulat e mëposhtme vlejnë: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\large((\sqrt(a))^2=a)), \tekst( dhënë ) a\geqslant 0\] Shumë shpesh bëhet gabimi i mëposhtëm: ata thonë se \(\sqrt(a^2)\) dhe \((\sqrt a)^2\) janë një dhe e njëjta gjë. Kjo është e vërtetë vetëm nëse \(a\) është një numër pozitiv ose zero. Por nëse \(a\) është një numër negativ, atëherë kjo është e rreme. Mjafton të shqyrtojmë këtë shembull. Le të marrim në vend të \(a\) numrin \(-1\) . Atëherë \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , por shprehja \((\sqrt (-1))^2\) nuk ekziston fare (në fund të fundit, është e pamundur të përdoret shenja rrënjësore vendosni numra negativë!).
Prandaj, ne tërheqim vëmendjen tuaj për faktin se \(\sqrt(a^2)\) nuk është e barabartë me \((\sqrt a)^2\) ! Shembull: 1) \(\sqrt(\majtas(-\sqrt2\djathtas)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), sepse \(-\sqrt2<0\) ;

\(\fantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Meqenëse \(\sqrt(a^2)=|a|\) , atëherë \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (shprehja \(2n\) tregon një numër çift)
Kjo do të thotë, kur merr rrënjën e një numri që është në një farë mase, kjo shkallë përgjysmohet.
Shembull:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (vini re se nëse moduli nuk ofrohet, rezulton se rrënja e numrit është e barabartë me \(-25\ ) ) por ne kujtojmë se sipas përkufizimit të rrënjës kjo nuk mund të ndodhë: kur nxjerrim një rrënjë, duhet të marrim gjithmonë një numër pozitiv ose zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (pasi çdo numër në një fuqi çift është jonegativ)

Fakti 6.
Si të krahasoni dy rrënjë katrore?
\(\bullet\) Për rrënjët katrore është e vërtetë: nëse \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aShembull:
1) krahasoni \(\sqrt(50)\) dhe \(6\sqrt2\) . Së pari, le ta transformojmë shprehjen e dytë në \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kështu, që nga \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Mes çfarë numrash të plotë ndodhet \(\sqrt(50)\)?
Meqenëse \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , dhe \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Le të krahasojmë \(\sqrt 2-1\) dhe \(0.5\) . Le të supozojmë se \(\sqrt2-1>0.5\): \[\fillimi(lidhur) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((shto një në të dyja anët))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\big| \ ^2 \quad\text((në katror të dyja anët))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \fund (në linjë)\] Shohim që kemi marrë një pabarazi të pasaktë. Prandaj, supozimi ynë ishte i pasaktë dhe \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Vini re se shtimi i një numri të caktuar në të dy anët e pabarazisë nuk ndikon në shenjën e tij. Shumëzimi/pjestimi i të dy anëve të një pabarazie me një numër pozitiv gjithashtu nuk ndikon në shenjën e tij, por shumëzimi/pjestimi me një numër negativ e kthen shenjën e pabarazisë!
Mund të katrorësh të dy anët e një ekuacioni/pabarazie VETËM NËSE të dyja anët janë jo negative. Për shembull, në pabarazinë nga shembulli i mëparshëm mund të katrorësh të dy anët, në pabarazinë \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Duhet mbajtur mend se \[\fillim(i rreshtuar) &\sqrt 2\afërsisht 1.4\\ &\sqrt 3\afërsisht 1.7 \fund (përafruar)\] Njohja e kuptimit të përafërt të këtyre numrave do t'ju ndihmojë kur krahasoni numrat! \(\bullet\) Për të nxjerrë rrënjën (nëse mund të nxirret) nga një numër i madh që nuk është në tabelën e katrorëve, së pari duhet të përcaktoni se në cilat "qindra" ndodhet, pastaj - midis cilës " dhjetëshe”, dhe më pas përcaktoni shifrën e fundit të këtij numri. Le të tregojmë se si funksionon kjo me një shembull.
Le të marrim \(\sqrt(28224)\) . Ne e dimë se \(100^2=10\,000\), \(200^2=40\,000\), etj. Vini re se \(28224\) është midis \(10\,000\) dhe \(40\,000\) . Prandaj, \(\sqrt(28224)\) është midis \(100\) dhe \(200\) .
Tani le të përcaktojmë se në cilat "dhjetëshe" ndodhet numri ynë (që është, për shembull, midis \(120\) dhe \(130\)). Gjithashtu nga tabela e katrorëve dimë se \(11^2=121\) , \(12^2=144\) etj., pastaj \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ) . Pra, ne shohim se \(28224\) është midis \(160^2\) dhe \(170^2\) . Prandaj, numri \(\sqrt(28224)\) është midis \(160\) dhe \(170\) .
Le të përpiqemi të përcaktojmë shifrën e fundit. Le të kujtojmë se çfarë numrash njëshifrorë, kur janë në katror, japin \(4\) në fund? Këto janë \(2^2\) dhe \(8^2\) . Prandaj, \(\sqrt(28224)\) do të përfundojë me 2 ose 8. Le ta kontrollojmë këtë. Le të gjejmë \(162^2\) dhe \(168^2\) :
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Prandaj, \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Për të zgjidhur në mënyrë adekuate Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë, së pari duhet të studioni materialin teorik, i cili ju prezanton me teorema, formula, algoritme, etj. Në pamje të parë, mund të duket se kjo është mjaft e thjeshtë. Megjithatë, gjetja e një burimi në të cilin teoria për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë të paraqitet në mënyrë të lehtë dhe të kuptueshme për studentët me çdo nivel formimi është, në fakt, një detyrë mjaft e vështirë. Tekstet shkollore nuk mund të mbahen gjithmonë pranë. Dhe gjetja e formulave bazë për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë mund të jetë e vështirë edhe në internet.

Pse është kaq e rëndësishme të studiosh teorinë në matematikë jo vetëm për ata që marrin Provimin e Unifikuar të Shtetit?

Sepse ju zgjeron horizontet. Studimi i materialit teorik në matematikë është i dobishëm për këdo që dëshiron të marrë përgjigje për një gamë të gjerë pyetjesh që lidhen me njohuritë e botës përreth tyre. Gjithçka në natyrë është e rregulluar dhe ka një logjikë të qartë. Kjo është pikërisht ajo që reflektohet në shkencë, përmes së cilës është e mundur të kuptohet bota.
Sepse zhvillon inteligjencën. Duke studiuar materiale referimi për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, si dhe duke zgjidhur probleme të ndryshme, një person mëson të mendojë dhe të arsyetojë logjikisht, të formulojë mendimet me kompetencë dhe qartësi. Ai zhvillon aftësinë për të analizuar, përgjithësuar dhe nxjerrë përfundime.

Ju ftojmë të vlerësoni personalisht të gjitha avantazhet e qasjes sonë ndaj sistemimit dhe prezantimit të materialeve edukative.

Po për të marrë rrënjën e një katrori? Shumëzuesi është numri menjëherë përpara shenjës së rrënjës. Kështu, për shembull, në shprehjen 2 (rrënja katrore) 5, numri 5 është shprehja radikale dhe numri 2 është shumëzuesi. Në fakt, kjo është vështirësia kryesore në punën me rrënjët.

Pitagorianët zbuluan se diagonalja e një katrori nuk është në përpjesëtim me anën e tij, ose në gjuhën moderne, se rrënja katrore e dy është irracionale. Shumëzoni të gjithë termat së bashku, duke përfshirë faktorët përpara rrënjëve dhe shprehjet radikale. Gjithmonë kërkoni një pjesëtues nga i cili mund të merrni të gjithë rrënjën; kjo do ta lehtësojë procesin. Nëse dëshironi të mësoni se si të shumëzoni rrënjët me ose pa faktorë, lexoni këtë artikull.

Metoda 1 nga 3: Shumëzimi i rrënjëve pa faktorë

Shumëzoni numrat nën rrënjë. Regjistroni çdo rrënjë me LCM si një eksponent të ri. Shenja e rrënjës është një mënyrë tjetër për të shkruar thyesa. Kur një faktor dhe një rrënjë shkruhen krah për krah, kjo nënkupton shumëzimin e tyre: 2*(rrënjë katrore)5. Në mësimet e mëparshme kuptuam se çfarë është rrënja katrore. Dhe ne kuptuam se si të shumëzojmë rrënjët. Ne kemi zbërthyer formulën e shumëzimit të rrënjëve pjesë-pjesë.

Metoda 3 nga 3: Shumëzimi i binomeve me rrënjë katrore

Formula është aq e thjeshtë sa shumëzimi. Formula për ndarjen e rrënjëve nuk ka aq shumë mundësi sa shumëzimi. Në këtë shembull, ndarja e rrënjëve na ndihmoi të merrnim një përgjigje të mirë. Ka më shumë transformime dinake.

Ekskluzivisht për të vënë në praktikë formulën e ndarjes së rrënjëve. Në rastin tonë, ky formulim i rrënjëve ndarëse është një ndihmë e madhe për nxjerrjen e rrënjëve nga fraksionet! Nuk ka problem! Nëse nuk mund ta nxirrni rrënjën menjëherë, kthejeni thyesën dhjetore në një thyesë të zakonshme dhe vazhdoni! Bëhet edhe më e ftohtë kur duhet të nxirrni rrënjën e një numri të përzier! E drejtë! Shndërroni një numër të përzier në një thyesë jo të duhur duke përdorur formulën e njohur për ndarjen e rrënjëve!

Si të ndani rrënjët?

Shpresoj që ndarja e rrënjëve të mos jetë problem. Le të shohim vetinë e fundit të rrënjëve katrore. Tashmë do të ketë disa hollësi dhe gracka. Kjo veti quhet shkurt rrënja katrore. Ne dimë të nxjerrim rrënjën e një vepre. Ky është një numër që, kur në katror, do të japë një dy. Vendosja në katror e rrënjës katrore të çdo shprehjeje do të na japë të njëjtën shprehje.

Sipas rregullave të këtyre veprimeve, ne vetë do ta zvogëlojmë shprehjen origjinale në rrënjë katrore dhe do të llogarisim gjithçka. Ne e bëjmë këtë me çdo shkallë të rrënjës nga çdo shprehje, dhe gjithçka do të llogaritet, thjeshtohet dhe do të funksionojë. Le të themi se kemi një numër të mirë 2. Le ta vendosim në katror. Në të gjitha tekstet shkollore, librat referencë dhe manualet, pranë një formule të tillë ata gjithmonë shkruajnë: "ku a është më e madhe ose e barabartë me zero". Në këto fjalë, të cilat shumë thjesht i kapërcejnë, qëndrojnë vështirësitë kryesore të rrënjëve.

Le te vazhdojme. Rrënja e një katrori është e lehtë për t'u nxjerrë. Po sikur shprehja jonë radikale të mos jetë në katror, por në një shkallë tjetër? Marrim rrënjën e katër dhe marrim 2. Meqenëse rrënja katrore aritmetike (dhe në shkollë punojmë vetëm me të tillë!) është gjithmonë një numër jo negativ! Kjo është vetia e fundit, e tretë e rrënjëve.

Këtu do të thotë vetëm se për çdo shenjë të a, rezultati i nxjerrjes së rrënjës së katrorit do të jetë gjithmonë jo negativ. Nëse x

Këshilla kryesore praktike për të punuar me rrënjë katrore. Nëse shenja e rrënjës është minus, nuk keni pse të vendosni më tej. Nëse gjithçka është normale nën rrënjë, një plus, por si rezultat i nxjerrjes ju merrni një minus të qëllimshëm - kthejeni atë në një plus! Kjo kërkohet nga rregullat për operacionet me rrënjë katrore.

Tani le të shohim rrënjën katrore. Ose rrënja e shkallës. Këtu kemi kthyer dy në rrënjë katrore të katër. Tani le të praktikojmë disa rrënjë.

Përhapja e bimëve me ndarje rrënjë është një nga metodat më të përshtatshme, sepse një operacion një herë ju lejon të merrni disa bimë të pjekura dhe të forta menjëherë, të gatshme për lulëzim ose fruta. Nga ana tjetër, kjo metodë nuk është e përshtatshme për të gjitha kulturat, dhe nëse kryhet në mënyrë të gabuar, mund të jetë e dëmshme për të gjithë bimën.

Me ndarjen e rrënjës shumohen shkurret dhe bimët barishtore që kanë sistem rrënjor të zhvilluar me formimin e sythave. Kjo kategori përfshin lajthinë, jargavanin, e cila është një shkurre, orkide, krizantemë, delfiniume dhe bozhure, si dhe shumë lule të tjera.

Fazat kryesore të procedurës:

Hiqeni me kujdes bimën nga toka dhe shkundni gungën e tokës me një furçë të fortë.
Shpëlajeni tokën e mbetur me ujë në temperaturën e dhomës, duke i zhytur rrënjët në një enë me ujë. Nuk ka nevojë të lani të gjithë tokën, gjëja kryesore është që toka të mos ndërhyjë në ndarje.
Llogaritni sa bimë mund të prodhojë një shkurre e caktuar duke përzgjedhur lastarët kryesorë të rritur dhe sythat aktivë.
Pritini të gjitha fidanet e bimës në një lartësi prej dhjetë centimetra (e nevojshme për bimët barishtore dhe shkurret e larta). Kjo do t'i lejojë bimës të përdorë energji për të rivendosur sistemin rrënjor pa e shpenzuar atë për të ushqyer pjesët mbi tokë.
Nëse ka fidane druri, për shembull, kur shumohen trëndafila, ato priten deri në rrënjë.
Të gjithë lastarët dhe gjethet e dëmtuara dhe të zverdhura hiqen.
Sigurohuni që të keni prerje, duke ndarë pjesët anësore të shkurret. Pjesa qendrore e bimës nuk duhet të ndahet.
Trajtoni prerjet me qymyr, mbillni bimë të reja në kontejnerë të përgatitur dhe ujë me një zgjidhje të një stimuluesi të rritjes.

Çfarë duhet të dini kur ndani një shkurre

Përhapja me këtë metodë nuk mund të kryhet gjatë lulëzimit. Është mirë që të ndahet pas përfundimit të kësaj periudhe. Nëse kjo është e vështirë, të gjitha lulet dhe sythat priten dy ditë para ndarjes. Përndryshe, bima mund të vdesë.

Është më mirë të ndani lulet e brendshme në mars në fund të periudhës së fjetur, dhe shkurret që rriten në tokë të hapur - në vjeshtë para fillimit të ngricës.

Gjatë ndarjes, sistemi rrënjor duhet të jetë qartë i dukshëm dhe lehtësisht i ndarë nga toka. Për të shmangur dëmtimin e rrënjëve gjatë nxjerrjes, toka laget mirë një ditë para ndarjes. Mos e tërhiqni pjesën mbitokësore të bimës. Rrënjët me një gungë dheu hiqen duke trokitur në tenxhere me lule. Nëse bima është në një shtrat lulesh, gërmoni me kujdes duke përdorur një mistri kopshti dhe një furçë të fortë bojë.

Për të ndarë rrënjën, përdorni një thikë të mprehtë për të minimizuar dëmtimin e bimëve. Është më mirë të mos përdorni gërshërë të kopshtit, pasi ato mund të shtypin seksionet e rrënjëve. Mos i thyeni rrënjët me duart tuaja!

Ju nuk duhet ta ndani bimën në pjesë shumë të vogla - kjo mund të jetë katastrofike për të gjithë shkurret, pasi shkalla e mbijetesës do të jetë dukshëm më e ulët. Çdo pjesë duhet të ketë një kërcell të pjekur.

Nuk këshillohet të mbillni menjëherë bimë të ndara në tokë të hapur, pasi ato kanë nevojë për një periudhë rikuperimi dhe rrezet e drejtpërdrejta të diellit, si dhe dëmtuesit dhe sëmundjet do të jenë të rrezikshme për ta, dhe për këtë arsye është më mirë të mbani fidanët e rinj të mbrojtur. bluhet për disa javë. Kjo e fundit duhet të jetë sterile dhe të korrespondojë me kushtet e rritjes së bimës që ndahet.

Për çfarë përdoret ndarja e shkurreve?

Përveç rritjes së numrit të ekzemplarëve, metoda e ndarjes së rrënjëve përdoret për përtëritje gjithëpërfshirëse të bimëve, mosha biologjike e të cilave po i vjen fundi. Në këtë mënyrë ju mund të rinovoni bimë shumëvjeçare pa rritur fidanë.

Kjo metodë është shumë efektive nëse dëshironi të ruani tiparet dekorative të bimës amë, të cilat mund të humbasin kur përdorni metoda të tjera të shumimit.

Shembuj të përhapjes me ndarje rrënjë:

Video 1. Riprodhimi i orkidës phalaenopsis

Video 3. Përhapja e rrush pa fara duke e ndarë shkurret

Prania e rrënjëve katrore në një shprehje e ndërlikon procesin e ndarjes, por ka rregulla që e bëjnë shumë më të lehtë punën me thyesat.

E vetmja gjë që duhet të keni parasysh gjatë gjithë kohës- shprehjet radikale ndahen në shprehje radikale, kurse faktorët në faktorë. Në procesin e ndarjes së rrënjëve katrore, ne thjeshtojmë fraksionin. Gjithashtu, kujtoni se rrënja mund të jetë në emërues.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Metoda 1. Ndarja e shprehjeve radikale

Algoritmi i veprimeve:

Shkruani një thyesë

Nëse shprehja nuk paraqitet si thyesë, është e nevojshme të shkruhet si e tillë, sepse është më e lehtë të ndiqet parimi i ndarjes së rrënjëve katrore.

Shembulli 1

144 ÷ 36, kjo shprehje duhet të rishkruhet si më poshtë: 144 36

Përdorni një shenjë rrënjë

Nëse edhe numëruesi edhe emëruesi përmbajnë rrënjë katrore, është e nevojshme të shkruani shprehjet e tyre radikale nën të njëjtën shenjë rrënjë për ta bërë më të lehtë procesin e zgjidhjes.

Ju kujtojmë se një shprehje radikale (ose numër) është një shprehje nën shenjën e rrënjës.

Shembulli 2

144 36. Kjo shprehje duhet të shkruhet si më poshtë: 144 36

Shprehjet radikale të ndara

Thjesht ndani një shprehje me një tjetër dhe shkruani rezultatin nën shenjën e rrënjës.

Shembulli 3

144 36 = 4, le ta shkruajmë këtë shprehje kështu: 144 36 = 4

Thjeshtoni shprehjen radikale (nëse është e nevojshme)

Nëse shprehja radikale ose një nga faktorët është një katror i përsosur, thjeshtoni shprehjen.

Kujtoni se një katror i përsosur është një numër që është katrori i një numri të plotë.

Shembulli 4

4 është një katror i përsosur sepse 2 × 2 = 4. Prandaj:

4 = 2 × 2 = 2. Prandaj 144 36 = 4 = 2.

Metoda 2. Faktorizimi i shprehjes radikale

Algoritmi i veprimeve:

Shkruani një thyesë

Rishkruaje shprehjen si thyesë (nëse paraqitet në atë mënyrë). Kjo e bën shumë më të lehtë ndarjen e shprehjeve me rrënjë katrore, veçanërisht gjatë faktorizimit.

Shembulli 5

8 ÷ 36, rishkruajeni kështu 8 36

Faktoroni secilën prej shprehjeve radikale

Faktoroni numrin nën rrënjë si çdo numër tjetër i plotë, shkruani vetëm faktorët nën shenjën e rrënjës.

Shembulli 6

8 36 = 2 × 2 × 2 6 × 6

Thjeshtoni numëruesin dhe emëruesin e një thyese

Për ta bërë këtë, hiqni faktorët që përfaqësojnë katrorë të përsosur nga nën shenjën e rrënjës. Kështu, faktori i shprehjes radikale do të bëhet faktor para shenjës së rrënjës.

Shembulli 7

2 2 6 6 × 6 2 × 2 × 2, vijon: 8 36 = 2 2 6

Racionalizoni emëruesin (hiqni rrënjën)

Në matematikë ekzistojnë rregulla sipas të cilave lënia e rrënjës në emërues është shenjë e formës së keqe, d.m.th. është e ndaluar. Nëse ka një rrënjë katrore në emërues, atëherë hiqni qafe atë.

Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me rrënjën katrore që dëshironi të hiqni.

Shembulli 8

Në shprehjen 6 2 3, ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 3 për të hequr qafe atë në emërues:

6 2 3 × 3 3 = 6 2 × 3 3 × 3 = 6 6 9 = 6 6 3

Thjeshtoni shprehjen që rezulton (nëse është e nevojshme)

Nëse numëruesi dhe emëruesi përmbajnë numra që mund dhe duhet të reduktohen. Thjeshtoni shprehje të tilla si çdo thyesë.

Shembulli 9

2 6 thjeshtohet në 1 3; kështu 2 2 6 thjeshtohet në 1 2 3 = 2 3

Metoda 3: Ndarja e rrënjëve katrore me faktorë

Algoritmi i veprimeve:

Thjeshtoni faktorët

Kujtoni se faktorët janë numrat që i paraprijnë shenjës së rrënjës. Për të thjeshtuar faktorët, do t'ju duhet t'i ndani ose zvogëloni ato. Mos prekni shprehjet radikale!

Shembulli 10

4 32 6 16 . Së pari, zvogëlojmë 4 6: ndajmë numëruesin dhe emëruesin me 2: 4 6 = 2 3.

Thjeshtoni rrënjët katrore

Nëse numëruesi pjesëtohet në mënyrë të barabartë me emëruesin, atëherë pjesëtojeni. Nëse jo, atëherë thjeshtoni shprehjet radikale si çdo tjetër.

Shembulli 11

32 pjesëtohet me 16, pra: 32 16 = 2

Shumëzoni faktorët e thjeshtuar me rrënjë të thjeshtuara

Mos harroni rregullin: mos lini rrënjë në emërues. Prandaj, ne thjesht shumëzojmë numëruesin dhe emëruesin me këtë rrënjë.

Shembulli 12

2 3 × 2 = 2 2 3

Racionalizoni emëruesin (hiqni rrënjën në emërues)

Shembulli 13

4 3 2 7 . Ju duhet të shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me 7 për të hequr qafe rrënjën në emërues.

4 3 7 × 7 7 = 4 3 × 7 7 × 7 = 4 21 49 = 4 21 7

Metoda 4: Pjesëtimi me binom me rrënjë katrore

Algoritmi i veprimeve:

Përcaktoni nëse një binom është në emërues

Kujtojmë se një binom është një shprehje që përfshin 2 monomë. Kjo metodë funksionon vetëm në rastet kur emëruesi ka një binom me rrënjë katrore.

Shembulli 14

1 5 + 2 - ka një binom në emërues, pasi ka dy monomë.

Gjeni shprehjen e konjuguar të binomit

Kujtojmë se binomi i konjuguar është një binom me monomë të njëjtë, por me shenja të kundërta. Për të thjeshtuar shprehjen dhe për të hequr qafe rrënjën në emërues, duhet të shumëzoni binomet e konjuguara.

Shembulli 15

5 + 2 dhe 5 - 2 janë binome të konjuguara.

Shumëzoni numëruesin dhe emëruesin me binomin që është konjugati i binomit në emërues

Ky opsion do të ndihmojë në heqjen e rrënjës në emërues, pasi produkti i binomeve të konjuguar është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të secilit term të binomeve: (a - b) (a + b) = a 2 - b 2

Shembulli 16

1 5 + 2 = 1 (5 - 2) (5 - 2) (5 + 2) = 5 - 2 (5 2 - (2) 2 = 5 - 2 25 - 2 = 5 - 2 23 .

Nga kjo rrjedh: 1 5 + 2 = 5 - 2 23.

Këshillë:

Nëse punoni me rrënjë katrore të numrave të përzier, shndërrojini ato në thyesa të papërshtatshme.
Dallimi midis mbledhjes dhe zbritjes nga pjesëtimi është se shprehjet radikale në rastin e pjesëtimit nuk rekomandohen të thjeshtohen (në kurriz të katrorëve të plotë).
Asnjëherë (!) mos lini rrënjë në emërues.
Nuk ka dhjetore ose thyesa të përziera para rrënjës - ju duhet t'i konvertoni ato në një fraksion të përbashkët dhe më pas t'i thjeshtoni.
A është emëruesi shuma apo ndryshimi i dy monomëve? Shumëzoni një binom të tillë me binomin e tij të konjuguar dhe hiqni rrënjën në emërues.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Është koha për ta rregulluar atë Metodat e nxjerrjes së rrënjëve. Ato bazohen në vetitë e rrënjëve, në veçanti, në barazinë, e cila është e vërtetë për çdo numër jo negativ b.

Më poshtë do të shohim metodat kryesore të nxjerrjes së rrënjëve një nga një.

Le të fillojmë me rastin më të thjeshtë - nxjerrjen e rrënjëve nga numrat natyrorë duke përdorur një tabelë katrorësh, një tabelë me kube, etj.

Nëse tabelat e katrorëve, kubeve etj. Nëse nuk e keni pranë, është logjike të përdorni metodën e nxjerrjes së rrënjës, e cila përfshin zbërthimin e numrit radikal në faktorët kryesorë.

Vlen të përmendet veçanërisht se çfarë është e mundur për rrënjët me eksponentë tek.

Së fundi, le të shqyrtojmë një metodë që na lejon të gjejmë në mënyrë sekuenciale shifrat e vlerës së rrënjës.

Le të fillojmë.

Përdorimi i një tabele me katrorë, një tabelë me kube, etj.

Në rastet më të thjeshta, tabelat e katrorëve, kubeve etj. ju lejojnë të nxirrni rrënjë. Cilat janë këto tabela?

Tabela e katrorëve të numrave të plotë nga 0 në 99 përfshirëse (treguar më poshtë) përbëhet nga dy zona. Zona e parë e tabelës është e vendosur në një sfond gri duke zgjedhur një rresht specifik dhe një kolonë specifike, ju lejon të kompozoni një numër nga 0 në 99. Për shembull, le të zgjedhim një rresht me 8 dhjetëshe dhe një kolonë me 3 njësi, me këtë ne fiksuam numrin 83. Zona e dytë zë pjesën tjetër të tabelës. Çdo qelizë ndodhet në kryqëzimin e një rreshti të caktuar dhe një kolone të caktuar dhe përmban katrorin e numrit përkatës nga 0 në 99. Në kryqëzimin e rreshtit tonë të zgjedhur prej 8 dhjetëshe dhe kolonës 3 prej njësh ka një qelizë me numrin 6,889, që është katrori i numrit 83.

Tabelat e kubeve, tabelat e fuqive të katërta të numrave nga 0 deri në 99, e kështu me radhë janë të ngjashme me tabelën e katrorëve, vetëm ato përmbajnë kube, fuqi të katërt, etj. në zonën e dytë. numrat përkatës.

Tabelat e katrorëve, kubeve, fuqive të katërta etj. ju lejon të nxirrni rrënjë katrore, rrënjë kubike, rrënjë të katërta, etj. përkatësisht nga numrat në këto tabela. Le të shpjegojmë parimin e përdorimit të tyre gjatë nxjerrjes së rrënjëve.

Le të themi se duhet të nxjerrim rrënjën e n-të të numrit a, ndërsa numri a gjendet në tabelën e fuqive të n-të. Duke përdorur këtë tabelë gjejmë numrin b të tillë që a=b n. Pastaj , pra, numri b do të jetë rrënja e dëshiruar e shkallës së n-të.

Si shembull, le të tregojmë se si të përdorim një tabelë kubike për të nxjerrë rrënjën e kubit prej 19,683. Ne gjejmë numrin 19,683 në tabelën e kubeve, prej saj gjejmë se ky numër është kubi i numrit 27, pra, .

Është e qartë se tabelat e fuqive të n-të janë shumë të përshtatshme për nxjerrjen e rrënjëve. Megjithatë, ato shpesh nuk janë pranë, dhe përpilimi i tyre kërkon pak kohë. Për më tepër, shpesh është e nevojshme të nxirren rrënjë nga numrat që nuk përmbahen në tabelat përkatëse. Në këto raste, duhet të përdorni metoda të tjera të nxjerrjes së rrënjëve.

Faktorizimi i një numri radikal në faktorët kryesorë

Një mënyrë mjaft e përshtatshme për të nxjerrë rrënjën e një numri natyror (nëse, natyrisht, rrënja nxirret) është zbërthimi i numrit radikal në faktorët kryesorë. E tij çështja është kjo: pas kësaj është mjaft e lehtë ta përfaqësosh atë si një fuqi me eksponentin e dëshiruar, i cili ju lejon të merrni vlerën e rrënjës. Le ta sqarojmë këtë pikë.

Le të merret rrënja e n-të e një numri natyror a dhe vlera e tij është e barabartë b. Në këtë rast, barazia a=b n është e vërtetë. Numri b, si çdo numër natyror, mund të përfaqësohet si prodhim i të gjithë faktorëve të tij të thjeshtë p 1 , p 2 , ..., p m në formën p 1 ·p 2 · ... · p m , dhe numri radikal a në këtë rast paraqitet si (p 1 ·p 2 ·…·p m) n . Meqenëse zbërthimi i një numri në faktorë të thjeshtë është unik, zbërthimi i numrit radikal a në faktorë të thjeshtë do të ketë formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, gjë që bën të mundur llogaritjen e vlerës së rrënjës. si.

Vini re se nëse zbërthimi në faktorë të thjeshtë të një numri radikal a nuk mund të përfaqësohet në formën (p 1 ·p 2 ·…·p m) n, atëherë rrënja e n e një numri të tillë a nuk është nxjerrë plotësisht.

Le ta kuptojmë këtë kur zgjidhim shembuj.

Shembull.

Merrni rrënjën katrore të 144.

Zgjidhje.

Nëse shikoni tabelën e katrorëve të dhënë në paragrafin e mëparshëm, mund të shihni qartë se 144 = 12 2, nga e cila është e qartë se rrënja katrore e 144 është 12.

Por në dritën e kësaj pike, ne jemi të interesuar se si nxirret rrënja duke zbërthyer numrin radikal 144 në faktorët kryesorë. Le të shohim këtë zgjidhje.

Le të shpërbëhemi 144 tek faktorët kryesorë:

Domethënë 144=2·2·2·2·3·3. Bazuar në dekompozimin që rezulton, mund të kryhen transformimet e mëposhtme: 144=2·2·2·2·3·3=(2·2) 2·3 2 =(2·2·3) 2 =12 2. Prandaj, .

Duke përdorur vetitë e shkallës dhe vetitë e rrënjëve, zgjidhja mund të formulohet pak më ndryshe: .

Përgjigje:

Për të konsoliduar materialin, merrni parasysh zgjidhjet e dy shembujve të tjerë.

Shembull.

Llogaritni vlerën e rrënjës.

Zgjidhje.

Faktorizimi i thjeshtë i numrit radikal 243 ka formën 243=3 5 . Kështu, .

Përgjigje:

Shembull.

A është vlera e rrënjës një numër i plotë?

Zgjidhje.

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të faktorizojmë numrin radikal në faktorë të thjeshtë dhe të shohim nëse ai mund të përfaqësohet si një kub i një numri të plotë.

Kemi 285 768=2 3 · 3 6 · 7 2. Zgjerimi që rezulton nuk mund të përfaqësohet si një kub i një numri të plotë, pasi fuqia e faktorit kryesor 7 nuk është shumëfish i treshit. Prandaj, rrënja e kubit e 285,768 nuk mund të nxirret plotësisht.

Përgjigje:

Nr.

Nxjerrja e rrënjëve nga numrat thyesorë

Është koha të kuptojmë se si të nxjerrim rrënjën e një numri thyesor. Le të shkruhet numri radikal thyesor si p/q. Sipas vetive të rrënjës së një herësi, barazia e mëposhtme është e vërtetë. Nga kjo barazi rrjedh rregull për nxjerrjen e rrënjës së një thyese: Rrënja e një thyese është e barabartë me herësin e rrënjës së numëruesit pjesëtuar me rrënjën e emëruesit.

Le të shohim një shembull të nxjerrjes së një rrënjë nga një fraksion.

Shembull.

Sa është rrënja katrore e thyesës së përbashkët 25/169?

Zgjidhje.

Duke përdorur tabelën e katrorëve, gjejmë se rrënja katrore e numëruesit të thyesës origjinale është e barabartë me 5, dhe rrënja katrore e emëruesit është e barabartë me 13. Pastaj . Kjo përfundon nxjerrjen e rrënjës së thyesës së përbashkët 25/169.

Përgjigje:

Rrënja e një thyese dhjetore ose numri i përzier nxirret pas zëvendësimit të numrave radikalë me thyesa të zakonshme.

Shembull.

Merrni rrënjën kubike të thyesës dhjetore 474.552.

Zgjidhje.

Le ta imagjinojmë thyesën dhjetore origjinale si një thyesë të zakonshme: 474.552=474552/1000. Pastaj . Mbetet për të nxjerrë rrënjët e kubit që janë në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton. Sepse 474 552=2·2·2·3·3·3·13·13·13=(2 3 13) 3 =78 3 dhe 1 000 = 10 3, atëherë Dhe . Mbetet vetëm për të përfunduar llogaritjet .

Përgjigje:

Marrja e rrënjës së një numri negativ

Vlen të ndalemi në nxjerrjen e rrënjëve nga numrat negativë. Kur studiojmë rrënjët, thamë se kur eksponenti i rrënjës është një numër tek, atëherë mund të ketë një numër negativ nën shenjën e rrënjës. Ne u dhamë këtyre hyrjeve kuptimin e mëposhtëm: për një numër negativ −a dhe një eksponent tek i rrënjës 2 n−1, . Kjo barazi jep rregull për nxjerrjen e rrënjëve tek nga numrat negativë: për të nxjerrë rrënjën e një numri negativ, duhet të merrni rrënjën e numrit pozitiv të kundërt dhe të vendosni një shenjë minus përpara rezultatit.

Le të shohim shembullin e zgjidhjes.

Shembull.

Gjeni vlerën e rrënjës.

Zgjidhje.

Le të transformojmë shprehjen origjinale në mënyrë që të ketë një numër pozitiv nën shenjën e rrënjës: . Tani zëvendësoni numrin e përzier me një fraksion të zakonshëm: . Ne zbatojmë rregullin për nxjerrjen e rrënjës së një fraksioni të zakonshëm: . Mbetet për të llogaritur rrënjët në numëruesin dhe emëruesin e fraksionit që rezulton: .

Këtu është një përmbledhje e shkurtër e zgjidhjes: .

Përgjigje:

Përcaktimi në bit i vlerës së rrënjës

Në rastin e përgjithshëm, nën rrënjë ka një numër që, duke përdorur teknikat e diskutuara më sipër, nuk mund të përfaqësohet si fuqia e n-të e çdo numri. Por në këtë rast është e nevojshme të dihet kuptimi i një rrënje të caktuar, të paktën deri në një shenjë të caktuar. Në këtë rast, për të nxjerrë rrënjën, mund të përdorni një algoritëm që ju lejon të merrni në mënyrë sekuenciale një numër të mjaftueshëm vlerash shifrore të numrit të dëshiruar.

Hapi i parë i këtij algoritmi është të zbuloni se cili është pjesa më e rëndësishme e vlerës së rrënjës. Për ta bërë këtë, numrat 0, 10, 100, ... ngrihen në mënyrë sekuenciale në fuqinë n deri në momentin kur një numër tejkalon numrin radikal. Atëherë numri që kemi ngritur në fuqinë n në fazën e mëparshme do të tregojë shifrën përkatëse më domethënëse.

Për shembull, merrni parasysh këtë hap të algoritmit kur nxjerrni rrënjën katrore të pesë. Merrni numrat 0, 10, 100, ... dhe katrori i tyre derisa të marrim një numër më të madh se 5. Kemi 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5, që do të thotë se shifra më e rëndësishme do të jetë shifra njësh. Vlera e këtij biti, si dhe e atyre më të ulëta, do të gjendet në hapat e ardhshëm të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës.

Të gjithë hapat e mëvonshëm të algoritmit synojnë të sqarojnë në mënyrë sekuenciale vlerën e rrënjës duke gjetur vlerat e pjesëve të ardhshme të vlerës së dëshiruar të rrënjës, duke filluar nga më e larta dhe duke kaluar në ato më të ulëtat. Për shembull, vlera e rrënjës në hapin e parë rezulton të jetë 2, në të dytin - 2.2, në të tretën - 2.23, dhe kështu me radhë 2.236067977…. Le të përshkruajmë se si gjenden vlerat e shifrave.

Shifrat gjenden duke kërkuar në vlerat e tyre të mundshme 0, 1, 2, ..., 9. Në këtë rast, fuqitë e n-të të numrave përkatës llogariten paralelisht dhe ato krahasohen me numrin radikal. Nëse në një fazë vlera e shkallës tejkalon numrin radikal, atëherë vlera e shifrës që korrespondon me vlerën e mëparshme konsiderohet e gjetur dhe kalimi në hapin tjetër të algoritmit të nxjerrjes së rrënjës, nëse kjo nuk ndodh; atëherë vlera e kësaj shifre është e barabartë me 9.

Le t'i shpjegojmë këto pika duke përdorur të njëjtin shembull të nxjerrjes së rrënjës katrore të pesë.

Së pari gjejmë vlerën e shifrës së njësive. Ne do të kalojmë në vlerat 0, 1, 2, ..., 9, duke llogaritur përkatësisht 0 2, 1 2, ..., 9 2, derisa të marrim një vlerë më të madhe se numri radikal 5. Është e përshtatshme për të paraqitur të gjitha këto llogaritje në formën e një tabele:

Pra, vlera e shifrës së njësive është 2 (pasi 2 2<5 , а 2 3 >5). Le të kalojmë në gjetjen e vlerës së vendit të dhjetë. Në këtë rast, ne do të vendosim në katror numrat 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, duke krahasuar vlerat që rezultojnë me numrin radikal 5:

Që nga 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5, atëherë vlera e vendit të dhjetës është 2. Mund të vazhdoni të gjeni vlerën e vendit të qindtave:

Kështu u gjet vlera tjetër e rrënjës së pesë, është e barabartë me 2.23. Dhe kështu mund të vazhdoni të gjeni vlera: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Për të konsoliduar materialin, ne do të analizojmë nxjerrjen e rrënjës me një saktësi prej të qindtave duke përdorur algoritmin e konsideruar.

Së pari ne përcaktojmë shifrën më domethënëse. Për ta bërë këtë, ne kubojmë numrat 0, 10, 100, etj. derisa të marrim një numër më të madh se 2,151,186. Kemi 0 3 = 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, pra shifra më domethënëse është shifra e dhjetësheve.

Le të përcaktojmë vlerën e saj.

Që nga 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151.186, atëherë vlera e vendit të dhjetësheve është 1. Le të kalojmë te njësitë.

Kështu, vlera e shifrës së njëshit është 2. Le të kalojmë në të dhjetat.

Meqenëse edhe 12.9 3 është më pak se numri radikal 2 151.186, atëherë vlera e vendit të dhjetës është 9. Mbetet për të kryer hapin e fundit të algoritmit do të na japë vlerën e rrënjës me saktësinë e kërkuar;

Në këtë fazë, vlera e rrënjës gjendet e saktë në të qindtat: .

Në përfundim të këtij artikulli, dua të them se ka shumë mënyra të tjera për të nxjerrë rrënjët. Por për shumicën e detyrave, ato që studiuam më sipër janë të mjaftueshme.

Bibliografi.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algjebra: Libër mësuesi për klasën e 8-të. institucionet arsimore.
Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dhe të tjera Algjebra dhe fillimet e analizës: Libër mësuesi për klasat 10 - 11 të institucioneve të arsimit të përgjithshëm.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (një manual për ata që hyjnë në shkolla teknike).

Artikulli i mëparshëm: Sa është shpejtësia e dritës Artikulli vijues: Lëkundjet harmonike Formula e fizikës së frekuencës së lëkundjeve