A ka integrale në profilin e provimit? Zhvillimi metodologjik në algjebër (klasa e 11-të) me temën: Antiderivativ në provimin e shtetit të bashkuar Problemet në matematikë

Autonome Komunale institucion arsimor

"Mesatare shkollë gjithëpërfshirëse nr 56 s studim i thelluar Matematika" e qytetit të Magnitogorsk

Zhvillimi metodologjik mësim

matematikë

Antiderivativë dhe integral i caktuar në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Rishikimi i detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit me temën "Primordiale")

për nxënësit e klasës së 11-të

(mësimi përmbledhës)

Filimonova Tatyana Mikhailovna

Magnitogorsk 2018

shënim

Mësimi është i dedikuar për nxënësit e klasës së 11-të. Tema e mësimit është “Një antideriv dhe një integral i caktuar në provimin e unifikuar të shtetit.Rishikimi i detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit me temën “Primordiale”. Faza e trajnimit për këtë temë është e fundit. Motivimi për studimin e kësaj teme sigurohet nëpërmjet përdorimit të TIK-ut, përdorimit lloje të ndryshme detyra, duke tërhequr detyra FIPI dhe detyra nga faqja Unë do të zgjidh Provimin e Unifikuar të Shtetit. Synimi prioritar në mësim është zbatimi i njohurive të marra, praktikimi i aftësive dhe zgjidhja e problemeve me Provimin e Bashkuar të Shtetit.

Shënim shpjegues

Zhvillimi metodologjik është zhvillimi i një mësimi specifik në matematikë duke përdorur mjete TIK. Rëndësia e zhvillimit qëndron në faktin se studentët zgjidhin problemin e gjetjes së sipërfaqes së një figure metoda të ndryshme Mënyra të ndryshme zgjidhje për një problem, qartësi, informacion historik dhe prania e lidhjeve ndërdisiplinore kontribuojnë në zhvillim interesi njohës tek matematika, ndërgjegjësimi për rëndësinë e matematikës në Jeta e përditshme person.

Gjatë testit nxënësit përsërisin informacion teorik rreth antiderivativit dhe integralit, i cili do t'i ndihmojë ata të sistemojnë teorinë mbi këtë temë dhe të përgatiten për provimin e ardhshëm.

Përmbledhja e mësimit

Lloji i mësimit: mësim përmbledhës.

Qëllimet:

Edukative:

Formimi i kompetencave edukative, njohëse dhe informative përmes përgjithësimit dhe sistemimit të njohurive mbi temën "Antiderivativ.Integrale".

Zhvillimore:

Formimi i informacionit, kompetencave të përgjithshme kulturore nëpërmjet zhvillimit aktiviteti njohës, interesi për këtë temë, Kreativiteti nxënësit, duke zgjeruar horizontet e tyre, duke zhvilluar të folurit matematikor.

arsimore:

Formimi kompetenca komunikative dhe kompetencat e vetë-përmirësimit personal, përmes punës për aftësitë e komunikimit, aftësinë për të punuar në bashkëpunim dhe edukimin e të tillëve. cilësitë personale si organizimi dhe disiplina.

Pajisjet:PC, projektor, ekran.

Gjatë orëve të mësimit

I. Koha e organizimit:

Ç'kemi djema! Më vjen mirë që ju mirëpres në mësim.CQëllimi i mësimit tonë është të përgjithësojmë dhe sistemojmë njohuritë mbi temën “Primordiale. Integrale”, përgatituni për Provimin e ardhshëm të Unifikuar të Shtetit.

II . Kontrollimi i detyrave të shtëpisë:

Gjeni sipërfaqen e figurës, e kufizuar me linja y= x2 , y=. Tretësira përgatitet në rrëshqitje.

Një detyrë për nxjerrjen e formulës për vëllimin e një sfere është përgatitur paraprakisht në tabelë.

2 persona vijnë me radhë në tabelë për të shpjeguar shkurtimisht zgjidhjen, e cila

Pjesa tjetër po kontrollohet në këtë moment.

I II . Ngroheni.

Secilit student i jepet një test.

Mblidhni testet e përfunduara.

Analiza e detyrave kryhet frontalisht sipas detyrave të shfaqura në ekran.

I V . Gara me stafetë matematikore.

Tani le të shkojmë! Ngjitja në “Majën e Dijes” nuk do të jetë e lehtë, mund të ketë bllokime, rrëshqitje dherash dhe rrëshqitje. Por ka edhe ndalesa ku jo vetëm detyrat ju presin. Për të ecur përpara, duhet të tregoni njohuri.

Nxënësit marrin fletë pune në çdo tavolinë me detyra me temën “Primordiale”.

1. Kuptimi i antiderivatitF( x) funksionef( x)=11 x+5 në pikën 0 është 6. GjeniF(-3).

2. Kuptimi i antidervatitF( x) funksionef( x)=8 cosxnë pikën -π është 13. GjeniF( π /6).

3. Vlera e funksionit antiderivativF( x) funksionef( x)=6 në pikën 0 është e barabartë me -18. GjejF(ln3).

4. Figura tregon një grafik të një antiderivatiy= F( x) funksionef( x) dhe tetë pika në boshtin x: , , …, . Në sa prej këtyre pikave është funksionif( x) është pozitive?

5. Në figurë është paraqitur grafiku i antiderivativit y=F( x) funksionef( x) dhe tetë pika në boshtin x: , , , …,. Në sa prej këtyre pikave është funksionif(x)negativ?

V . Ndaloni.

“Aksidentet e lumtura vijnë vetëm te mendjet e përgatitura” (Louis Pasteur).

Lexohet informacion nga historia llogaritja integrale. Shfaqen gazetat e përgatitura nga studentët mbi historinë e llogaritjes integrale. Gazetat i kushtohen Njutonit dhe Leibnizit.

VI. Ngjitja më e vështirë.

Detyra e mëposhtme supozohet të përfundojë në të shkruarit, pra nxënësit punojnë në fletore.

Detyrë. Në sa mënyra mund të gjeni sipërfaqen e një figure të kufizuar me vija (rrëshqitje)

Kush ka ndonjë sugjerim? (figura përbëhet nga dy trapezoide të lakuar dhe një drejtkëndësh) (zgjidhni një metodë zgjidhjeje, rrëshqisni)

Pas diskutimit të këtij problemi, një regjistrim shfaqet në rrëshqitje

Metoda 1: S=S1 +S2 +S

Metoda 2: S=S1 +SABCD-SOCD

Dy nxënës zgjidhin në tabelë, pasuar nga një shpjegim i zgjidhjes, pjesa tjetër e nxënësve punojnë në fletoret e tyre, duke zgjedhur një nga metodat e zgjidhjes.

konkluzioni (nxënësit bëjnë): gjetëm dy mënyra për të zgjidhur këtë problem, duke marrë të njëjtin rezultat. Diskutoni se cila metodë është më e lehtë.

Të gjithë janë shumë të lodhur, por sa më afër qëllimit, detyrat bëhen më të lehta dhe më të lehta.

VSH. Përmbledhja e mësimit (rrëshqitje)

"Të menduarit fillon me habi," vuri re Aristoteli 2500 vjet më parë. Bashkatdhetari ynë Sukhomlinsky besonte se “një ndjenjë befasie është një burim i fuqishëm i dëshirës për të ditur; nga befasia në njohuri - një hap." Dhe matematika është një lëndë e mrekullueshme për befasi.

Integralet përdoren kur:

zgjidhjen e problemeve nga fusha e fizikës;

vendim detyrat ekonomike(për të optimizuar punën e kompanisë në një mjedis konkurrues, llogaritja e përfitimit të kredive konsumatore);

zgjidhja e problemeve socio-demografike ( modeli matematik popullsia e Tokës, etj.).

IX . Detyre shtepie. (rrëshqitje)

Detyra u përpilua nga mësuesi në faqen "Unë do të zgjidh Provimin e Unifikuar të Shtetit".

X . Bërja e shenjave.

Bibliografi

Vilenkin N.Ya. dhe etj. Algjebra dhe fillimet analiza matematikore. Klasa 11. V. Pjesa 2. (niveli i profilit). - M.: Mnemosyne, 2009. - 264 f.

Alexandrova L.A. Algjebra dhe fillimi i analizës matematikore. Klasa 11. Punë e pavarur. - M.: Mnemosyne, 2009. - 100 f.

3. Shipova T.A. Algjebra dhe fillimet e analizës: Derivat. Integral i caktuar. Testet. - M.: Shkola-Press, 1996. - 64 f.

4. Faqja e internetit metaschool.ru për zhvillimin e mësimit.

5. Faqja e internetit do të zgjidh Provimin e Unifikuar të Shtetit, katalog detyrash, antiderivativ.

Për të përdorur pamjet paraprake të prezantimeve, krijoni një llogari Google dhe identifikohuni në të: https://accounts.google.com

Titrat e rrëshqitjes:

Antiderivativ në provimin e unifikuar të shtetit në matematikë, detyra nr. 7, klasat 10-11 Kurganskaya L.V. Institucioni arsimor komunal "Shkolla e mesme nr. 4", vendbanimi urban rrethi Poikovsky Nefteyugansk

1. Figura tregon një grafik të një funksioni të caktuar (dy rreze me një të përbashkët pikënisje). Duke përdorur figurën, llogarisni se ku është një nga funksionet antiderivative

2. Në figurë është paraqitur grafiku i një funksioni të caktuar (dy rreze me pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogaritni se ku është një nga antiderivativët e funksionit

3. Figura tregon një grafik të një funksioni të caktuar. Një funksion është një nga primitivet e një funksioni. Gjeni zonën e figurës me hije.

4. Figura tregon një grafik të një funksioni të caktuar. Një funksion është një nga primitivet e një funksioni. Gjeni zonën e figurës me hije.

5. Figura tregon një grafik të funksionit y = F (x) - një nga antiderivativët e një funksioni f (x), të përcaktuar në intervalin (−3;5). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f (x)=0 në intervalin [−2;4].

6. Figura tregon një grafik të funksionit y = F (x) - një nga antiderivativët e një funksioni f (x), të përcaktuar në intervalin (−3;5). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f (x)=0 në intervalin [−2;5].

7.Funksioni f(x) është përcaktuar për të gjitha x reale. Figura tregon një grafik të derivatit të tij. Gjeni vlerën e shprehjes f (3) - f (6) .

Me temën: zhvillime metodologjike, prezantime dhe shënime

Mbi hartimin e zgjidhjeve për problemet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në grupin e matematikës C.

Artikulli shpjegon në detaje rregullat për kryerjen e detyrave nga grupi C i Bashkuar Provimi i Shtetit Matematika...

Zgjidhja e problemave të provimit të unifikuar të shtetit në matematikë

Të mësim publik u mbajt në kuadër të përvjetorit të shkollës sonë. Detyrat e provimit të unifikuar të shtetit për mësimin përgatiteshin nga vetë nxënësit dhe këto detyra duhej të lidheshin me përvjetorin. Shtëpi shkollë, me vetë qytetin e Srednekolës...

Detyra nga banka e hapur e Problemeve të Provimit të Bashkuar të Shtetit në matematikë (me përgjigje)

Ky material është i përshtatshëm për mësuesit dhe nxënësit e klasave 10-11 për t'u përgatitur për Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë.

Manual autori “DETYRAT E ORIENTUARA NË PRAKTIKË NË DETYRA TË PËRDORIMIT NË MATEMATIKË”. Shtëpia botuese e BSU, Ulan-Ude

Që nga viti 2015, në Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikën e nivelit të profilit është shfaqur një problem i ri nr. 17 i orientuar drejt praktikës, i ashtuquajturi problem “bankar”. Në këto detyra...

Përshëndetje miq! Në këtë artikull do të shqyrtojmë detyrat për antiderivativët. Këto detyra përfshihen në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Përkundër faktit se vetë seksionet - diferencimi dhe integrimi - janë mjaft të mëdha në një kurs algjebër dhe kërkojnë një qasje të përgjegjshme për të kuptuar, por vetë detyrat, të cilat përfshihen në bankë e hapur Detyrat e matematikës do të jenë jashtëzakonisht të thjeshta në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe mund të zgjidhen në një ose dy hapa.

Është e rëndësishme të kuptohet saktësisht thelbi i antiderivativit dhe, në veçanti, kuptimi gjeometrik i integralit. Le të shqyrtojmë shkurtimisht bazat teorike.

Kuptimi gjeometrik i integralit

Shkurtimisht për integralin mund të themi këtë: integrali është zona.

Përkufizimi: Lëreni plan koordinativ jepet një grafik i një funksioni pozitiv f të përcaktuar në segment. Nëngrafi (ose trapezoid i lakuar) është një figurë e kufizuar nga grafiku i një funksioni f, drejtëzat x = a dhe x = b dhe boshti x.

Përkufizimi: Le të jepet funksion pozitiv f, e përcaktuar në një segment të fundëm. Integrali i një funksioni f në një segment është zona e nëngrafit të tij.

Siç u tha tashmë F′(x) = f (x).Çfarë mund të konkludojmë?

Është e thjeshtë. Duhet të përcaktojmë se sa pika ka këtë grafik, në të cilën F′(x) = 0. Dimë se në ato pika ku tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me boshtin x. Le t'i tregojmë këto pika në intervalin [–2;4]:

Këto janë pikat ekstreme të një funksioni të caktuar F (x). Janë dhjetë prej tyre.

Përgjigje: 10

323078. Figura tregon një grafik të një funksioni të caktuar y = f (x) (dy rreze me një pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogaritni F (8) – F (2), ku F (x) është një nga antiderivativët e funksionit f (x).

Le të shkruajmë përsëri teoremën e Njuton-Leibniz:Le të f këtë funksion, F është antiderivati ​​i tij arbitrar. Pastaj

Dhe kjo, siç u tha tashmë, është zona e nëngrafit të funksionit.

Kështu, problemi zbret në gjetjen e zonës së trapezit (intervali nga 2 në 8):

Nuk është e vështirë të llogaritet sipas qelizave. Marrim 7. Shenja është pozitive, pasi figura ndodhet mbi boshtin x (ose në gjysmëplanin pozitiv të boshtit y).

Gjithashtu në në këtë rast mund të thuhet kështu: ndryshimi në vlerat e antiderivativëve në pika është sipërfaqja e figurës.

Përgjigje: 7

323079. Figura tregon një grafik të një funksioni të caktuar y = f (x). Funksioni F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1.875 është një nga antiderivativët e funksionit y= f (x). Gjeni zonën e figurës me hije.

Siç u tha tashmë për gjeometrikisht integrale është sipërfaqja e figurës i kufizuar nga orari funksionet f (x), drejtëzat x = a dhe x = b dhe boshti ox.

Teorema (Njuton-Leibniz):

Kështu, problemi reduktohet në llogaritje integral i caktuar të këtij funksioni në intervalin nga -11 në -9, ose me fjalë të tjera, duhet të gjejmë ndryshimin në vlerat e antiderivativëve të llogaritur në pikat e treguara:

Përgjigje: 6

323080. Figura tregon një grafik të disa funksioneve y = f (x).

Funksioni F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 është një nga antiderivativët e funksionit f (x). Gjeni zonën e figurës me hije.

Teorema (Njuton-Leibniz):

Problemi zbret në llogaritjen e integralit të caktuar të një funksioni të caktuar në intervalin nga –10 në –8:

Përgjigje: 4 Ju mund të shikoni .

Derivatet dhe rregullat e diferencimit janë gjithashtu në . Është e nevojshme t'i njohësh ato, jo vetëm për të zgjidhur detyra të tilla.

Ju gjithashtu mund të shikoni informacion në sfond në faqen e internetit dhe.

Shikoni një video të shkurtër, ky është një fragment nga filmi "Ana e verbër". Mund të themi se ky është një film për edukimin, për mëshirën, për rëndësinë e takimeve gjoja “të rastësishme” në jetën tonë... Por këto fjalë nuk do të mjaftojnë, ju rekomandoj ta shikoni vetë filmin, e rekomandoj shumë.

Ju uroj suksese!

Sinqerisht, Alexander Krutitskikh

P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.

Dosja për mësimin 23

Gjetja e vlerës më të madhe dhe më të vogëlfunksionon në një interval

Ushtrimi 1. Gjej vlera më e lartë funksionet y=x 5 +20x 3 −65x në intervalin [− 4;  0]. Përgjigje: 44

Detyra 2. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y = në intervalin [−38; -3]. Përgjigje: -54
Detyra 3. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y = në segment.
Përgjigje: -6

Për më tepër.Gjej vlera më e vogël funksioney = e 2 x − 2 e x + 8 në segment [−   2 ;   1 ] . Përgjigje: 7

Detyra 4. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=15x−3sinx+5 në intervalin [− π/2;  0]. Përgjigje: 5

Për më tepër. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=59x−56sinx+42 në intervalin [− π/2;  0]. Përgjigje: 42

Ushtrimi 5. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y=13cosx+17x+21 në segment. Përgjigje: 34

Ushtrimi 6. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit y=25x−25tgx+41 në segment. Përgjigje: 41

Detyra 7. Gjeni vlerën më të vogël të funksionit y = 3x -ln (x +3) 3 në intervalin [−2,5; 0]. Përgjigje: -6
Për më tepër. Gjeni pikën minimale të funksionit y = 2x -ln (x +8) 2 . Përgjigje: -7

Detyra 8. Gjeni pikën minimale të funksionit y = (1-2x )cosx + 2sinx +7 në segmentin Përgjigjja: 0,5

Për më tepër. Gjeni pikën maksimale të funksionit y=(x+5) 2 ​⋅e 2 − x .

Antiderivativ.

AntiderivativfunksioninF(x)për funksioninf(x)është një funksion derivati ​​i të cilit është i barabartë me funksionin origjinal.F " ( x )= f ( x ).

Çdo funksion i vazhdueshëm në një grup të caktuar ka një antiderivativ në këtë grup.

Shembull. Funksioni F (x )= x 3 është antiderivati ​​i funksionit f (x )= 3x 2 që nga (x 3 )"= 3x 2. Funksione F 1 (x )= x 3 + 5 dhe F 2 (x )= x 3 - 7 janë gjithashtu antiderivate të funksioneve f (x ). Çdo funksion i formës F (x )= x 3 +s, Ku Me – numër arbitrar, është antiderivati ​​i funksionit f (x ).

Çdo funksion mund të ketë pafundësisht shumë antiderivativë që ndryshojnë nga një term konstant.

Detyra 9. Figura tregon grafikun y=F(x) të njërit prej antiderivativëve të një funksioni f(x), të përcaktuar në intervalin (− 7; 8). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x)=0 në segment. Përgjigje: 1

Detyra 10. Figura tregon një grafik të funksionit y =F (x) - një nga antiderivativët e një funksioni f (x), të përcaktuar në intervalin (-2;4). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x) = 0 në intervalin [−1; 3]. Përgjigje: 6

Për më tepër.

1 . Figura tregon grafikun y=F(x) të njërit prej antiderivativëve të një funksioni f(x), të përcaktuar në intervalin (− 7; 5). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x)=0 në intervalin [− 5;  2]. Përgjigje: 3

2 . Figura tregon një grafik të funksionit y =F (x) dhe një nga antiderivativët e ndonjë funksioni f (x), të përcaktuar në intervalin (-2;4). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x) = 0 në intervalin [−1; 3]. Përgjigje: 7.

Detyra 11. Figura tregon një grafik y=F(x) të njërit prej antiderivativëve të disa funksionit f(x) dhe tetë pika janë shënuar në boshtin e abshisës: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 . Në sa nga këto pika funksioni f(x) është negativ?

Zgjidhja: Sepse f(x)= F`(x), pastaj funksioni f(x) është negative nëseF(x) funksioni gjithashtu zvogëlohetf(x) është pozitive nëseF(x) rritet. Duke përdorur figurën, ne përcaktojmë se sa pika bien brenda intervalit në rënieF(x). Këto janë pikat x 1, x 4, x 8.

Kjo do të thotë se ka 3 pika të tilla: 3

Detyra 12. Figura tregon një grafik y=F(x) të njërit prej antiderivativëve të një funksioni f(x) dhe dhjetë pika janë shënuar në boshtin e abshisës: x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 9 , x 10 . Në sa nga këto pika funksioni f(x) është pozitiv? Përgjigje: 6

Trapezoid lakor

Lëreni në segmentin [A; c] jepet një funksion i vazhdueshëm që nuk ndryshon shenjë në të. Një figurë e kufizuar nga grafiku i këtij funksioni, segmenti [a; c] dhe drejtëza x=a dhe x=b thirrurtrapezoid i lakuar .

Nëse funksioni është i vazhdueshëm dhe jo negativ i ndezursegment[A; c], dheF është antiderivati ​​i tij në këtë segment, pastaj zonaS i trapezit lakor përkatës është i barabartë me rritjen e antiderivativit në këtë segment[A; V].

S = F ( b )- F ( a )

Detyra 13. Figura tregon një grafik të disa funksioneve y =f (x) (dy rreze me një pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogaritni F(8) − F(2), ku F(x) - një nga antiderivativët e funksionit f(x). Përgjigje: 7

Zgjidhja: Dallimi midis vlerave të antiderivativit në pikat 8 dhe 2 është i barabartë me sipërfaqen e trapezoidit ABCD të theksuar në figurë. Prandaj

S= F(b) – F(a)= Përgjigje: 7.

Detyra 14. Figura tregon një grafik të një funksioni y=f(x) (dy rreze me një pikënisje të përbashkët). Duke përdorur figurën, llogaritni F(− 1)−F(− 8), ku F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x). Përgjigje: 20

Çdo funksion mund të ketë pafundësisht shumë antiderivativë që ndryshojnë nga një term konstant. Bashkësia e të gjithë antiderivave të një të dhënë funksion të vazhdueshëm quhet integral i pacaktuar i këtij funksioni dhe shënohet .

NëseF(x)është një antiderivativ i këtij funksioni, atëherë =F(x) + C,KuC- konstante arbitrare.

Procesi i gjetjes integral i pacaktuar quhet integrimi i një funksioni të caktuar, ose marrja e integralit të një funksioni të caktuar.

SheshiS i një trapezi të lakuar është i barabartë me rritjen e antiderivativit në segment[A; V].

S= F(b)-F(a)=

Detyra 15. Figura tregon grafikun e funksionit y = f(x). Funksioni F (x)= x 3 +30x 2 +302x - një nga antiderivativët e funksionit y = f(x). Gjeni zonën e figurës me hije. Përgjigje: 6

Detyra 16. Figura tregon një grafik të disa funksioneve y=f(x). Funksioni F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 është një nga antiderivativët e funksionit f(x). Gjeni zonën e figurës me hije. Përgjigje: 592

Detyra 17. Figura tregon një grafik të disa funksioneve y=f(x). Funksioni F(x)=− x 3 −92x 2 −6x+2 është një nga antiderivativët e funksionit f(x). Gjeni zonën e figurës me hije. Përgjigje: 263

Lloji i punës: 7
Tema: Antiderivativ i funksionit

gjendja

Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) (i cili është një vijë e thyer e përbërë nga tre segmente të drejta). Duke përdorur figurën, llogaritni F(9)-F(5), ku F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x).

Zgjidhje

Sipas formulës Njuton-Leibniz, diferenca F(9)-F(5), ku F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x), është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor të kufizuar. nga grafiku i funksionit y=f(x), drejtëza y=0 , x=9 dhe x=5. Nga grafiku përcaktojmë se trapezi i lakuar i treguar është një trapez me baza të barabarta me 4 dhe 3 dhe lartësi 3.

Sipërfaqja e saj është e barabartë \frac(4+3)(2)\cdot 3=10.5.

Përgjigju

Lloji i punës: 7
Tema: Antiderivativ i funksionit

gjendja

Figura tregon një grafik të funksionit y=F(x) - një nga antiderivativët e një funksioni f(x) të përcaktuar në intervalin (-5; 5). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f(x)=0 në segmentin [-3; 4].

Zgjidhje

Sipas përkufizimit të një antiderivati, barazia vlen: F"(x)=f(x). Prandaj, ekuacioni f(x)=0 mund të shkruhet si F"(x)=0. Meqenëse figura tregon grafikun e funksionit y=F(x), ato pika duhet t'i gjejmë në intervalin [-3; 4], në të cilin derivati ​​i funksionit F(x) është i barabartë me zero. Nga figura mund të shihni se këto do të jenë abshisa pikat ekstreme(maksimumi ose minimumi) i grafikut F(x). Janë saktësisht 7 prej tyre në intervalin e treguar (katër pikë minimale dhe tre pikë maksimale).

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 7
Tema: Antiderivativ i funksionit

gjendja

Figura tregon një grafik të funksionit y=f(x) (i cili është një vijë e thyer e përbërë nga tre segmente të drejta). Duke përdorur figurën, llogaritni F(5)-F(0), ku F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x).

Zgjidhje

Sipas formulës Njuton-Leibniz, diferenca F(5)-F(0), ku F(x) është një nga antiderivativët e funksionit f(x), është e barabartë me sipërfaqen e trapezoidit lakor të kufizuar. nga grafiku i funksionit y=f(x), drejtëza y=0 , x=5 dhe x=0. Nga grafiku përcaktojmë se trapezi i lakuar i treguar është një trapez me baza të barabarta me 5 dhe 3 dhe lartësi 3.

Sipërfaqja e saj është e barabartë \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 7
Tema: Antiderivativ i funksionit

gjendja

Figura tregon një grafik të funksionit y=F(x) - një nga antiderivativët e një funksioni f(x), i përcaktuar në intervalin (-5; 4). Duke përdorur figurën, përcaktoni numrin e zgjidhjeve të ekuacionit f (x) = 0 në segmentin (-3; 3].

Zgjidhje

Sipas përkufizimit të një antiderivati, barazia vlen: F"(x)=f(x). Prandaj, ekuacioni f(x)=0 mund të shkruhet si F"(x)=0. Meqenëse figura tregon grafikun e funksionit y=F(x), ato pika duhet t'i gjejmë në intervalin [-3; 3], në të cilin derivati ​​i funksionit F(x) është i barabartë me zero.

Nga figura duket qartë se këto do të jenë abshisat e pikave ekstreme (maksimale ose minimale) të grafikut F(x). Janë saktësisht 5 prej tyre në intervalin e treguar (dy pikë minimale dhe tre pikë maksimale).

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 7
Tema: Antiderivativ i funksionit

gjendja

Figura tregon një grafik të disa funksioneve y=f(x). Funksioni F(x)=-x^3+4,5x^2-7 është një nga antiderivativët e funksionit f(x).

Gjeni zonën e figurës me hije.

Zgjidhje

Figura e hijezuar është një trapez lakor i kufizuar nga lart me grafikun e funksionit y=f(x), drejtëza y=0, x=1 dhe x=3. Sipas formulës Njuton-Leibniz, zona e saj S është e barabartë me diferencën F(3)-F(1), ku F(x) është antiderivati ​​i funksionit f(x) të specifikuar në kusht. Kjo është arsyeja pse S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4.5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4.5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Përgjigju

Burimi: “Matematika. Përgatitja për Provimin e Unifikuar të Shtetit 2017. Niveli i profilit." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Lloji i punës: 7
Tema: Antiderivativ i funksionit

gjendja

Figura tregon një grafik të disa funksioneve y=f(x). Funksioni F(x)=x^3+6x^2+13x-5 është një nga antiderivativët e funksionit f(x). Gjeni zonën e figurës me hije.